博弈中的“嵌套问题”-修订版

博弈中的“嵌套问题”

Phybi

Math group

Humanity group

Carridon University

1.无间道-谍中谍

参见电影《无间道-I，II》，这个希望后来者详细分析.

2.剪刀石头布

二人A，B博弈，策略空间维数都为3，且两空间相等.我们令其元素剪刀石头布为{a，b，c}收益空间均为{胜，平，负}，我们用{1，0，-1}表示.很容易写出A，B两人的收益函数.

开始出拳应该是随机的，之后双方都会观察对方的出拳套路，如果允许的思考时间足够长，则其中会出现“嵌套问题”，比如：前手A出两次剪刀，B出两次石头；A就会猜测对方可能继续出石头，以及B则猜测对方继续出剪刀，我们称这

两个个现象为一阶嵌套.考虑A的一阶嵌套，则描述一阶嵌套的公式为fA1=fA（B）B的二阶嵌套为fB2=fB（fA1）=fB（fA（B））

而更复杂的是，A猜测：B猜测自己（A）要出剪刀，它必然出石头，于是A采取出布的策略.我们称此为“二阶嵌套”.简而言之，一阶嵌套就是“A猜（B 猜A），并且根据B因其对A的猜想，做出的获胜测量，采取恰当策略获胜”.这是一个三阶嵌套，用公式表示为：fA3=fA（fB2）=f（fB（fA（B）））

为了更好地理解嵌套的概念，我们最后举例说明“三阶嵌套”.A猜测，B已经猜测到了A能猜到自己B猜测A的策略，即A将出布，则B将出剪刀，于是A采取出石头的策略期望获胜.用公式表示为fA（fB（fA（B）））.此种嵌套理论上可以无限循环下去，但现实意义不大，特别是多因素下，过高阶的嵌套是无意义的.

我们可以认为，有应用价值的嵌套，应该不超过5阶.

3.贾贵-黑藤嵌套

在抗日情景喜剧《地下交通站》某集中，有这样一个剧情.敌人（日伪和日军）（简称D）获得八路军（简称B）的情报（在高庄开会），如果B不知道D知道（自己开会的消息），则D可以成功攻击B.然而贾贵在黑藤的授意下，在鼎香楼散布D攻击B的消息.最终野尻依然下令按原计划，贾贵说，这难道不会扑空吗？野尻的逻辑是，既然八路知道了敌人要攻击的消息，并且敌伪知道自己走漏了消息，比如会认为敌伪不会攻击，因而放松警惕，照常开会；如果这样，攻击就能成功.

然而，石青山猜到了野尻的这个逻辑，设下伏击，大获全胜.下面我们就用嵌套公式来描述这个过程.先看敌军方面，一阶：敌人知道八路军开会的消息：

fD1=fD（B），三阶：敌人知道八路军知道自己知道八路军要开会的消息：fD3=fD （fB（fD（B）））于是采取按原计划攻击的策略，以为能获得成功.

对于八路军B，二阶嵌套：八路军知道敌人知道自己要开会的消息:嵌套公式为fB2=fB（f1D）=fB（fD（B）），四阶嵌套，八路军知道敌人知道，八路军知道，敌人知道，八路军知道（攻击计划泄露），嵌套公式为fB4=fB（fD3）=fB（fD（fB（fD （B）））），即八路军敌人在fD3的嵌套公式下，会按计划攻击，所以设下伏击.

从上面的演算可知，二维博弈中，嵌套公式可以用AB相互的低阶嵌套公式递推.即：A的高阶基于B的次一低阶嵌套.反之亦然，即B的高阶基于A的次一低阶嵌套.所以，我们很容易写出任何阶数的嵌套公式.递推公式为：

fA N=fA（fB N-1）

以及：

fB N=fB（fA N-1）

-phybi嵌套公式-

此处还有一个需要讨论的是，二人博弈的嵌套问题中，我们需要设置一个起点，可以是A，也可以是B，但是现实的状况是，可能会有自然的，确定的一个起点，比如上述例子中，八路军开会的消息，就很自然地成为嵌套的起点.而剪刀石头布案例中，游戏双方都可以作为分析起点——他们是等价的.将嵌套理论应用于博弈论，我们不知道起点的选择，是否会对决策和收益产生影响，后继的研究，留给后来者吧！

尾论

基于本小研究，我们认为博弈论应该纳入一个新空间：信息空间.而“嵌套问题”的研究，是这个信息空间结构的重要组成部分.希望有兴趣的研究者继续.此外，本研究只考虑了信息空间，由信息空间映射的决策空间，也存在嵌套现象，其代数结构也留给后继者.

2020.07.10