2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件

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高考数学一轮复习第2课时球的切接问题课件

7. 已知三棱锥 S - ABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA ＝1， SB ＝ SC ＝
2，则三棱锥 S - ABC 的外接球的半径是
.
⁠
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9. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆
柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相
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1. 如图，已知球 O 是棱长为1的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的内切球，
则平面 ACD 1截球 O 的截面面积为（）
A.
B.
C.
D.
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2. 已知三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥底面 ABC ， AC ＝4， BC ＝3， AB ＝
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（2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的
球的体积为
.
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解题技法内切球问题的处理思路
通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，解题思路如下：（1）定球心：内切球中球心到切点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包
5， PA ＝3，则该三棱锥的内切球的体积为
.
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与球切、接有关的最值问题

球的内切和外接问题课件

内切与外接问题的解题思路与方法
01
认真审题，明确题目中的已知条件和所求目标。
02
分析几何体的结构特征，确定内切或外接关系。
03
合理利用内切或外接的性质和定理，建立方程或不等式求解。
04
对于复杂问题，可以采用数形结合、分类讨论等数学思想方法。
05
典型例题解析
简单几何体的内切与外接问题
判断一个球是否是多面体的内切球。
利用内切球的性质解决一些与多面体相关的问题，如求解多面体的体积、表面积等。
外接球的定义与性质
定义
外接球是指一个球完全包含一个多面体，且与多面体的各个顶点都相切。
性质
外接球的半径等于多面体外接圆半径，也等于从多面体中心到任意一个顶点的距离。
外接球的计算方法
直接法
，也希望教师能够增加一些互动环节，提高课堂的趣味性。
对未来学习的建议与展望
加强基础知识的巩固
建议学生在课后加强对基础知识的学习和巩固，为后续的学习打下坚实的基础。
增加实践环节
希望教师能够增加一些实践环节，如小组讨论、案例分析等，帮助学生更好地应用所学知识解决实际问题。
拓展相关领域的学习
鼓励学生拓展相关领域的学习，如学习其他几何体的内切与外接问题、了解相关数学史等，以拓宽视野并加深对课程内容的理解。
性质
内切球的半径等于多面体的内切圆半径，也等于多面体各个面上的内切圆半径的最小值。
内切球的计算方法
直接法
通过已知条件直接求出内切球的半径。
间接法
利用体积关系求出内切球的半径。对于棱锥、棱柱等多面体，可以先求出其体积和表面积，再利用体积和表面积的关系求出内切球的半径。

2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第7章 §7.2 球的切、接问题[培优课]

思维升华
(1)与球截面有关的解题策略 ①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； ②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的. (2)正四面体的外接球的半径 R＝ 46a，内切球的半径 r＝126a，其半径之比 R∶r＝3∶1(a 为该正四面体的棱长).
题型二补形法
例2 (1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的
中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，
EF折起，使A，B，C三点重合，得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外
接球半径R与内切球半径r的比值为
A.2 3
√C.2 6
B.4 3 D. 6
跟踪训练 2 (1)在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，△ABC，
△ACD，△ADB 的面积分别为 22， 23， 26，则三棱锥 A－BCD 的外接球
的体积为
√A. 6π
B.2 6π
C.3 6π
D.4 6π
在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径. 设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，由题意得 ab＝ 6，ac＝ 3，bc＝ 2，解得 a＝ 3，b＝ 2，c＝1，所以球的直径为 32＋ 22＋1＝ 6，它的半径为 26，球的体积为43π× 263＝ 6π.
3 3和 4 3 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
√A.100π
B.128π
C.144π
D.192π
由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为

高考数学一轮总复习第八章立体几何专题研究球与几何体的切接问题课件理

A．36π C.92π
B．8π D.287π
第十三页，共38页。
【解析】根据几何体的三视图，得该几何体是底面为等腰直角三角形、高为2的三棱锥，如图所示．该三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球．设外接球的半径为R，∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为 1，∴R2＝1＋1＝2，∴外接球的表面积是4πR2＝8π，故选B.
π，得R＝OA＝ 3 ，又易得AM＝ 2 ，由勾股定理可知，OM＝
1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为
3 4
×
( 6)2×2＝3 3.
【答案】 3 3
第十八页，共38页。
★状元笔记★ 柱体的外接球问题，其解题关键在于确定球心在多面体中的位置，找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系，结合原有多面体的特性求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积公式进行正确计算．常见的方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．
32π D. 3
第三十一页，共38页。
【解析】由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面
相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为
4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底
面相切，此时球的半径R＝
3 2
，此时的体积最大，Vmax＝
4 3
πR3＝
4π3 ×287＝9π2 .
第十七页，共38页。
(2)(2017·长春模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为 6 的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表
面积为12π，则该三棱柱的体积为________．【解析】设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题
意，外接球球心为MN的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12

球的内切与外接问题讲课

综合应用举例
例1
解
已知一个三角形的三边长度，求其内切圆半径和外接圆半径。
首先利用海伦公式求出三角形面积，再结合半周长计算内切圆半径。对于外接圆半径，可以通过正弦定理或余弦定理求解。
例2
解
给定一个正多边形，求其内切圆与外接圆的半径比。
根据正多边形的性质，其所有内角相等，且每条边与内切圆相切。由此可推导出内切圆半径与外接圆半径的比例关系。
体对角线的长度来求解外接球的半径。
解答
03
长方体的体对角线长为$sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = sqrt{50} =
5sqrt{2}$，因此其外接球的半径为$frac{5sqrt{2}}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
已知一个正四面体的棱长为$a$，求其外接球的半径。
正四面体的外接球半径可以通过构造一个包含该正四面体的正方体来求解。
长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半，即 r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
解答
根据内切球的定义和性质，我们知道长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半。所以，r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
典型例题分析与解答
例题3
分析
解答
解答
构造一个棱长为$frac{sqrt{2}}{2}a$的正方体，则该正方体的体对角线长等于正四面体的外接球直径，即$2R = sqrt{(frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2} = frac{sqrt{6}}{2}a$，因此正四面体的外接球半径为$frac{sqrt{6}}{4}a$。

高三总复习数学课件与球有关的切、托问题

[方法技巧] 由几何体外接球的定义可知，几何体的各顶点到球心的距离相等．常见的两种情况是： (1)若四面体的两个面是公共斜边的直角三角形，则球心是斜边的中点； (2)直三棱柱的外接球的球心在该直三棱柱的上下底面三角形外心的连线的中点处．
[针对训练]
1．(2022·宣城期末)在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，AP＝2，AB＝2 2，
[针对训练]
1．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-
ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个
顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为
()
A．12π B．20π C．24π
D．32π
解析：将三棱锥P-ABC放入长方体中，如图，三棱锥P-ABC 的外接球就是长方体的外接球．因为PA＝AB＝2，AC＝4， △ABC为直角三角形，所以BC＝2 3 .设外接球的半径为R，依题意可得(2R)2＝4＋4＋12＝20，故R2＝5，则球O的表面积为S＝4πR2＝20π. 答案：B
球心O到底面△PAB的距离为d＝
1 2
AC＝1，由
正弦定理，可得△PAB的外接圆的半径为r＝12×sinPA60°＝ 23，所以球O的半径为
R＝ d2＋r2＝ 12＋ 2 2＝ 3
[答案]
77 (1) 6 π
28π (2) 3
73，所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×73＝283π.
[方法技巧] 补形求心的常用模型
＋OG2＝DO2，即 23a×232＋12a2＝1，得 a＝2 721，故正三棱
柱
的
体
积
为
1 2
a2×
3 2
×a

高中数学难点突破：球的外切和内接问题 (共10张PPT)

解析：设正方体的棱长为a
∵球的外切正方体的棱长等于球直径：2R=a ∴ S甲 = 4πR22 = π
∵球内切于正方体的棱时
正方体的面对角线等于球的直径
2Rห้องสมุดไป่ตู้=
2a
∴ S乙
=
4πR
2 2
=
2π
球的内接正方体的体对角线等于球直径： 2R = 3a S丙 =4πR32 =3π
∴三球表面积之比为1:2:3
跟踪练习2
a
r1
=
a 2
a
r2 =
2a 2
a
r3 =
3a 2
a
2a
2a
• 画出正确的截面：(1)中截面； (2)对角面
• 找准数量关系
典型例题一
若正方体的棱长为a，求：正方体的外接球的体积 .
球的内接正方体的对角线等于球直径 .
D
C
A
A
B
O
D1
C1
对角面

A1
A1
B1
V2
=
4 3
π(
3a)3 = 2
3a3 π 2
解析：作轴截面如图所示，
CC = 6 , AC = 2 6 = 2 3
设球半径为R ,则：
R2 =OO2 +CC2
=( 6 )2 +( 3)2 = 9 ∴ R =3
∴ S球 =4πR2 =36π
V球
=
4 3
πR3
=36π
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
A’
O’
C’
A
O
C
C 2RO= 3a

高考文科数学一轮复习课件——高考微专题五球与几何体的切、接问题

径 R= l = a2 b2 c2 .
2
2
︱高中总复习︱一轮·文数
类型三球与直棱柱、圆柱
【例3】正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上,则正四棱柱的
侧面积有最
值,为
.
解析:如图,截面图为长方形 ACC1A1 和其外接圆.球心为 EE1 的中点 O, 则 R=OA.设正四棱柱的侧棱长为 b,底面边长为 a,
︱高中总复习︱一轮·文数
高考微专题五球与几何体的切、接问题
︱高中总复习︱一轮·文数
很多几何体,如正方体、长方体、正棱柱、锥体等都能够和球进行充分的组合,特别是以外接和内切的形式进行组合,考查空间想象能力,题目的结论一般是要求几何体或球的表面积、体积.
︱高中总复习︱一轮·文数
类型一球与正方体【例1】棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为( )
︱高中总复习︱一轮·文数
2
︱高中总复习︱一轮·文数
|OG|=R= 2 a;三是球为正方体的外接球,截面图为长方形 ACC1A1 和其外接圆,则 2
|A1O|=R′= 3a .通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工 2
具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.
(C)4π (D) 4π 3
解析:如图所示,过 P 点作底面 ABC 的垂线,垂足为 O,设 H 为外接球的球心,连接
AH,AO,因为∠PAO=60°,PA= 3 ,故 AO= 3 ,PO= 3 ,

8-2 专题研究球与几何体的切接问题 PPT课件【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学】

推导如下：设正四面体 S－ABC 的棱长为 a，其内切球的半径为 r，外接球的半径为 R，如图，取 AB 的中点 D，连接 SD，CD，SE 为正四面体的高，在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，且圆心在高 SE 上的圆．由正四面体的对称性，可知其内切球和外接球的球心同为 O.
高考一轮总复习 · 数学·理（新课标版）
【解析】由题意作图，如图所示．由题知圆柱的底面半径 r＝12，球的半径 R＝1，设圆柱的高为 h. 则由 R＝ h22＋r2得 12＝h22＋122，解得 h＝ 3，所以该圆柱的体积为 V＝πr2h＝ 34π.故选 B.
【答案】 B
第17页
高考一轮总复习 · 数学·理（新课标版）
(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径
r＝
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
a(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径
R＝
6 4 a(a
为正四
面体的棱长)；
第6页
高考一轮总复习 · 数学·理（新课标版）
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r＝126a(a 为正四面体的棱长)．
四棱锥 P－ABCD 体积的最大值是( )
16R3 A. 81
64R3 C. 81
32R3 B. 81 D．R3
【解析】如图，记 O 为正四棱锥 P－ABCD 外接球的球心，O1 为底面 ABCD 的中心，则 P，O， O1 三点共线，连接 PO1，OA，O1A.
第20页
高考一轮总复习 · 数学·理（新课标版）
第18页
高考一轮总复习 · 数学·理（新课标版）
在 Rt△AOO1 中，由勾股定理，得

立体几何中的与球有关的内切外接问题分解课件

公式
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时，圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时，圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球面相切，所以底面圆心到球心的距离等于底面圆的半径，顶面圆心到球心的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面半径为$R_2$，高为$h$，则球的半径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$，其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切

高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件

C.
1变变:2式式则 :3题题：：在一已A个知正各B方顶中 BC 体点. 的都各在，顶一点个用均球在面同上解一的球正直的四球棱面柱角上高识，为三若4，该得体角正积方r为，体形 1的6，3表3则知面,这从积个为球2而 S的4，表O 则1面该积球为S的（体A2积为）AO 12 .
球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
O
设棱长为1
C1
A1
B1
C
2R 3
O
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
二、构造法
1、构造正方体例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
均为 3 ，则其外接球的表面积是 9
变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， D 平 A A，面 B A C B B ,D C A A B B C 3 则球O的体积等于
高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ）【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 (h
A. 1 6 B. C. 2 4 D. 2 0 3 2 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。
66x433,x2h,hx
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 .∴外接球的半径 Rr2d21, V 2球43 .
d
3 2
小结本题是运用公式 R2r2d2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________．

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思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________，体积为________．
2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件
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五、构造直角三角形
例13、求棱长为1的正四面体外接球的体积．
解：设SO1是正四面体S ABCD的高，外接球的球心O在SO1上，设外接球半径为R, AO1 r,
D
B. 6
2
C
C. 6 8
D. 6 24
P
A
E
B
D
C
E
图3
2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件
2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件
2、构造长方体已知A点B A、6,BA、C=C2、1D3在,A同D一=8个，球则面B上、，CA两B点间平的面A 球BC面D距离B是C 34DC.
均为 3，则其外接球的表面积是 9
变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， DA 平面ABC，AB BC, DA AB BC 3 则球O的体积等于
9
2
D
A
O
A
B
图4 C
O C
P
B
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2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件
O B
C D 图 5
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2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件
三、确定球心位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形
ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为( Ｃ )
A.125
D C
求正方体外接球的半径
2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件
2、在等腰梯形ABCD中，AB 2DC 2,DAB 600， E为AB的中点，将ADE与BEC 分布沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ C ）
A. 4 3
27
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体
体对角线长为 14，故球的表面积为14 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
一、球体的体积与表面积
二、球与①多V面球体的43接、R切3
球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？
.r
a
如果一个多面体的各个顶点都在同一个
球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
例5、求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。
变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ A）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
A B
A B
O
O
D
C 求正多面体外接球的半径
2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件
8
解
：
9
设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有8
6 6
x
3, 3 4
x2
h,
x
h
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离
.∴外接球的半径
R
r2
d2
2
1,V球
4 3
.
d 3 2
小结本题是运用公式 R2 r2 d 2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
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球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
B
O
设棱长为1
C1
A1
B1
C
2R 3
O
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
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二、构造法 2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件 1、构造正方体例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 .
球与棱柱的组合体问题 2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
D. 1: 8: 27
A
D1 A1
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12
B.125
9
C.125
6
D.图4 B
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四、公式法
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱
的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为
② S球面 4 R2
图3
图4
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球图面5 上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个多面体的内切球。
棱切：一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。
B
中截面
O
C1设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
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D
A
D1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
设棱长为1
正方形的对角线等于球的直径。 S乙 4 R22 =2
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