2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件

② S球面 4 R2
图3
图4
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球图面5 上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 多面体的内切球 。
棱切： 一个几何体各个面分别与另一个几 何体各条棱相切。
例5、 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。
变式题：1、一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一 球面上，则此球的表面积为（ A）
A. 3 B. 4 C. 3 3 D. 6
A B
A B
O
O
D
C 求正多面体外接球的半径
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D
B. 6
2
C
C. 6 8
D. 6 24
P
A
E
B
D
C
E
图3
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2、构造长方体 已知A点B A、6,BA、C=C2、1D3在,A同D一=8个，球则面B上、，CA两B点 间平的面A 球BC面D距离B是C 34DC.
思考题：半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都 相切)的表面积为________，体积为________．
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五、构造直角三角形
例13、求棱长为1的正四面体外接 球的体积．
解：设SO1是正四面体S ABCD的高，外接球的球心O在SO1上，设外接球半径为R, AO1 r,
D C
求正方体外接球的半径
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2、在等腰梯形ABCD中，AB 2DC 2,DAB 600， E为AB的中点，将ADE与BEC 分布沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ C ）
A. 4 3
27
8
解
：
9
设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有8
6 6
x
3, 3 4
x2
h,
x
h
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离
.∴外接球的半径
R
r2
d2
2
1,V球
4 3
.
d 3 2
小结 本题是运用公式 R2 r2 d 2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
B
中截面
O
C1设棱长为1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
B1
S甲 4 R12 =
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D
A
D1
C 球内切于正方体的棱
B
中截面
O
.
C1
A1
B1
设棱长为1
正方形的对角线等于球的直径。 S乙 4 R22 =2
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解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于 球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体
体对角线长为 14，故球的表面积为14 .
变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32
一、 球体的体积与表面积
二、球与①多V面球体的43接、R切3
均为 3，则其外接球的表面积是 9
变式题（浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D， DA 平面ABC，AB BC, DA AB BC 3 则球O的体积等于
9
2
D
A
O
A
B
图4 C
O C
P
B
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12
B.125
9
C.125
6
D.125
3
D
AO
C
图4 B
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四、公式法
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱
的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为
O B
C D 图 5
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三、确定球心位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形
ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为( Ｃ )
A.125
球与棱柱的组合体问题 2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件 例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )
A. 1:2:3 D
B. 1: 2: 3
C
C. 1:3 4:3 9
D. 1: 8: 27
A
D1 A1
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球外接于正方体
D A
D1 A1
C
对角面 A
源自文库
B
O
设棱长为1
C1
A1
B1
C
2R 3
O
2
C1
球的内接正方体的对角线等于球直径。 S丙 4 R32 =3
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二、构造法 2021届高三一轮复习专题《球的内切和外接问题》课件 1、构造正方体 例4、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
如果一个多面体的各个顶点都在同一个
球面上，那么称这个多面体是球的内接多 面体，这个球称为多面体的外接球.有关多 面体外接球的问题，是立体几何的一个重 点，也是高考考查的一个热点.研究多面体 的外接球问题，既要运用多面体的知识， 又要运用球的知识，并且还要特别注意多 面体的有关几何元素与球的半径之间的关 系，而多面体外接球半径的求法在解题中 往往会起到至关重要的作用.