大学课件：数学归纳法及原理
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选修4-5《数学归纳法》课件
05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。
数学归纳法课件
更深入的学习和研究
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
通过对数学归纳法的学习和研究，我们可以更深入地理解数学思维和逻辑推理的本质，探 索更多的数学问题和证明方法。
与其他学科的交叉应用
数学归纳法不仅在数学领域有广泛的应用，还可以与其他学科如计算机科学、物理学等进 行交叉应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
个人未来的学习和研究计划
在未来的学习和研究中，我将继续深入学习和研究数学归纳法等数学思维和逻辑推理方法 ，探索更多的应用领域和实际问题，提高自己的学术水平和解决问题的能力。
数学归纳法的扩展概念
归纳法的基本步骤
设置初始条件，递归推理，以及 通过递归关系得出结论
归纳法的局限性
需要注意初始条件是否满足，以 及递归关系是否正确
数学归纳法的证明技巧
选择合适的归纳变量
确保所选择的变量在递归过程 中保持不变，并且能够代表整
个数学命题
确定归纳基础
通常是最小的自然数或者一个 已知的数学事实，作为递归推 理的基础
数学归纳法的难点在于如何证明 归纳步骤，即如何从命题对n成 立推导出命题对n+1也成立。需 要仔细考虑和证明每一步的逻辑
关系。
数学归纳法的意义
数学归纳法是数学思维和逻辑推 理的重要体现，它不仅可以帮助 我们解决各种数学问题，还可以 培养我们的逻辑思维能力和抽象
思维能力。
对未来学习和研究的展望和规划
02
数学归纳法的基本原理
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明无限等式或不等式的数学方法，它基 于一个初始条件和递推关系，通过有限个步骤来推断无限个 结论。
数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。基础步骤 是证明当n取第一个值时，等式或不等式成立；归纳步骤是证 明如果当n取某一正整数k时等式或不等式成立，那么当n取 k+1时，等式或不等式也成立。
2024年完整版《数学归纳法》课件
2024年完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的原理，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法证明简单的数学问题。
3. 了解数学归纳法在实际问题中的应用。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法的证明步骤及运用。
教学重点：理解数学归纳法的原理，能够运用数学归纳法解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何证明一个与自然数有关的命题对所有自然数都成立。
2. 例题讲解以教材中的一个例题为例，详细讲解数学归纳法的证明步骤。
a. 基础步骤：验证命题在第一个自然数上成立。
b. 归纳步骤：假设命题在第n个自然数上成立，证明命题在第n+1个自然数上也成立。
3. 随堂练习让学生尝试用数学归纳法证明一些简单的数学问题，巩固所学知识。
4. 知识拓展介绍数学归纳法在实际问题中的应用，如数列求和、不等式证明等。
六、板书设计1. 《数学归纳法》2. 主要内容：a. 数学归纳法的原理b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：a. 证明1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明2^n > n (n为自然数)2. 答案：a. 证明1+2+3++n = n(n+1)/21. 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。
2. 假设当n=k时等式成立，即1+2+3++k = k(k+1)/2。
当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。
所以，等式在n=k+1时也成立。
综上，等式对所有自然数n成立。
b. 证明2^n > n (n为自然数)1. 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。
2. 假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。
当n=k+1时，2^(k+1) = 2^k 2 > 2k > k+1。
选修4-5数学归纳法PPT
应用
双数学归纳法在证明一些与两个自然数集有 关的定理时非常有用，例如排列组合中的一 些问题。
反向数学归纳法
定义
反向数学归纳法是一种从特殊到一般的归纳推理方法 ，它从给定的特殊情况出发，逐步推导出一般情况。
应用
反向数学归纳法在证明一些与自然数有关的定理时非 常有用，例如一些与自然数有关的数学问题。
THANKS FOR WATCHING
05 数学归纳法的扩展与推广
超数学归纳法
定义
超数学归纳法是一种对自然数和集合进行归纳推理的方法，它不仅考虑自然数的性质， 还考虑集合的性质。
应用
超数学归纳法在证明集合论中的一些定理时非常有用，例如集合的基数、集合的运算性 质等。
双数学归纳法
定义
双数学归纳法是一种对两个自然数集进行归 纳推理的方法，它需要同时考虑两个自然数 集的性质。
然后根据已知条件或已知事实，推导出当$n=k+1$ 时命题与当$n=k$时命题之间的关系。
结论
通过初始状态和递推关系，得出对于所有正整 数$n$，命题都成立的结论。
04 数学归纳法的应用实例
等差数列求和公式
要点一
等差数列求和公式
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项， $d$是公差，$n$是项数。
反向证明法
反证假设
首先假设数学命题不成立，即假设存在某个正整数 $n$使得命题不成立。
导出矛盾
然后根据这个假设，推导出与已知条件或已知事实相 矛盾的结论。
结论
通过反证假设和导出矛盾，得出原命题成立的结论。
递推证明法
初始状态
首先验证数学命题在初始状态下的成立情况 ，即当$n=1$时，命题成立。
数学归纳法PPT教学课件
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
《数学归纳法》课件PPT
探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立
数学归纳法 课件
数学归纳法
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所 有正整数 n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n0，这个 n0， 就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定 都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清 由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(3)利用假设是核心 在第二步证明 n＝k＋1 成立时，一定要利用归纳假设， 即必须把归纳假设“n＝k 时命题成立”作为条件来导出 “n＝k＋1”，在书写 f(k＋1)时，一定要把包含 f(k)的式子 写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核 心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
用数学归纳法证明不等式
[典例] 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋31n＞56(n≥2，n∈N*) [证明] (1)当 n＝2 时，13＋14＋15＋16＞56，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立． 即k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k＞56.
则当 n＝k＋1 时，k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋31k＋3k1＋1＋
1 3k＋2
＋
1 3k＋1
＝
1 k＋1
＋
1 k＋2
＋
…
＋
1 3k
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
4-4数学归纳法 课件【共44张PPT】
检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上 述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”． 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立， 这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．
数学归纳法(第一课时)
当$r=k+1$时，从$n$个不同元素中取出 $k+1$个元素的所有排列的个数为
$A_n^{k+1} = n A_n^k / (n-k) = n(n-1)(n2)...(n-k) times n / (n-k) = n(n-1)(n-2)...(n-
(k+1)+1)$，公式也成立。来自05总结与思考
数学归纳法的意义和价值
数学归纳法的应用
证明数列的恒等式、等差数列和等比数列的性质。
解决一些与自然数有关的数学问题，例如鸽笼原理 、排列组合问题等。
在计算机科学中，数学归纳法也被广泛应用于算法 设计和数据结构等领域。
02
数学归纳法的原理
归纳基础步骤
归纳基础步骤
验证$n=1$时，命题成立。这是数学归纳法的前提和出发点 。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，广泛应用于数列、 组合数学、概率论等领域。它能够证明对所有正整数都成立 的数学命题，使得数学理论更加严谨和可靠。
数学归纳法通过对递推关系的探究，揭示了数列、组合数学 等问题的内在规律，有助于发现新的数学定理和性质，推动 了数学的发展。
如何更好地理解和应用数学归纳法
归纳基础步骤的重要性
只有当$n=1$时命题成立，才能假设当$n=k$时命题成立， 进而推导$n=k+1$时命题也成立。
归纳递推步骤
归纳递推步骤
假设当$n=k$时命题成立，推导当$n=k+1$时命题也成立。这是 数学归纳法的核心和关键。
归纳递推步骤的逻辑
基于归纳基础步骤和归纳递推步骤，可以证明对于所有的自然数$n$， 命题都成立。
深入理解数学归纳法的原理
掌握数学归纳法的核心思想，理解递推关系和归纳 假设的运用，是正确运用数学归纳法的关键。
$A_n^{k+1} = n A_n^k / (n-k) = n(n-1)(n2)...(n-k) times n / (n-k) = n(n-1)(n-2)...(n-
(k+1)+1)$，公式也成立。来自05总结与思考
数学归纳法的意义和价值
数学归纳法的应用
证明数列的恒等式、等差数列和等比数列的性质。
解决一些与自然数有关的数学问题，例如鸽笼原理 、排列组合问题等。
在计算机科学中，数学归纳法也被广泛应用于算法 设计和数据结构等领域。
02
数学归纳法的原理
归纳基础步骤
归纳基础步骤
验证$n=1$时，命题成立。这是数学归纳法的前提和出发点 。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，广泛应用于数列、 组合数学、概率论等领域。它能够证明对所有正整数都成立 的数学命题，使得数学理论更加严谨和可靠。
数学归纳法通过对递推关系的探究，揭示了数列、组合数学 等问题的内在规律，有助于发现新的数学定理和性质，推动 了数学的发展。
如何更好地理解和应用数学归纳法
归纳基础步骤的重要性
只有当$n=1$时命题成立，才能假设当$n=k$时命题成立， 进而推导$n=k+1$时命题也成立。
归纳递推步骤
归纳递推步骤
假设当$n=k$时命题成立，推导当$n=k+1$时命题也成立。这是 数学归纳法的核心和关键。
归纳递推步骤的逻辑
基于归纳基础步骤和归纳递推步骤，可以证明对于所有的自然数$n$， 命题都成立。
深入理解数学归纳法的原理
掌握数学归纳法的核心思想，理解递推关系和归纳 假设的运用，是正确运用数学归纳法的关键。
数学归纳法PPT课件
归纳步骤的正确性
归纳步骤必须严谨、准确， 确保从$n=k$到 $n=k+1$的推理过程无误， 才能保证数学归纳法的正 确性。
03 数学归纳法的证明方法
直接证明法
总结词
通过直接验证n=1和归纳假设验证n=k+1，逐步推导归纳步骤。
详细描述
在直接证明法中，首先验证基础步骤（n=1），然后提出归纳假设，即假设对 于某个自然数k，结论成立。接着利用归纳假设推导n=k+1时的结论，从而完成 归纳步骤。
归纳基础的作用
归纳基础的作用是提供一个初始 的判断依据，为后续的归纳步骤 提供支撑和依据。
归纳步骤
01
02
03
归纳假设
归纳假设是数学归纳法的 核心，即在$n=k$时命题 成立的基础上，推导出 $n=k+1$时命题也成立。
归纳推理
在归纳假设的基础上，通 过逻辑推理和演绎，推导 出$n=k+1$时命题成立的 过程称为归纳推理。
反向证明法
总结词
通过证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立。
详细描述
在反向证明法中，首先提出结论的反面，然后试图证明这个反面不成立。如果反 面不成立，那么原结论必然成立。反向证明法常常用于解决一些不易直接证明的 问题，通过反证发现矛盾，从而得出原结论的正确性。
04 数学归纳法的应用实例
数列求和
详细描述
数学归纳法的变种包括但不限于超数 学归纳法、双数学归纳法和反向数学 归纳法等。这些变种可以使得证明更 加简洁、直观和易于理解。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
二项式定理的证明过程可以通过数学归纳 法进行推导。通过归纳法的应用，我们可 以逐步推导出二项式定理的各项展开式， 从而证明了二项式定理的正确性。
《数学归纳法》课件
数学归纳法
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
《数学归纳法》课件ppt
= （k +1)[1+(2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
2
例:用数学归纳法证明
12 + 22 + 32 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可.
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0
(2)(归纳递推)是递推的依据
的值都是质数，提出猜想得到的．半个世 纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉
（Euler）发现 225 ＝41294 967 297＝
6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
举例说明：
一个数列的通项公式是：
an= (n2－5n+5)2 请算出a1=1，a2= 1，a3=1 ，a4= 1
观 察 数 列{an },已 知a1
1, an1
an 1 an
,
二、数学归纳法的概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法
来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。
｛ 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
特点: 由特殊
一般
a2=a1+d a3=a1+2d a4…=a…1+3d
an=a1+(n-1)d
如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)
数学归纳法章末综合课件
【例 4】 已知数列{xn}满足 x1＝12，xn＋1＝1＋1 xn，n∈N*. (1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论； (2)证明：|xn＋1－xn|≤1625n－1.
解 (1)x1＝12，x2＝1＋1 x1＝23，x3＝1＋1 x2＝35， x4＝1＋1 x3＝58，x5＝1＋1 x4＝183，x6＝1＋1 x5＝1231，….可知 x2＞ x4＞x6＞… 可推测{x2n}为递减数列，下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，x2＞x4 猜想成立；
2．放缩法
涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k＋1”，有 时也考虑用放缩法．
【例 2】 求证：1＋12＋13＋…＋2n1－1＞n2(n∈N＋)． 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝12. 左边＞右边，∴不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立， 即 1＋12＋13＋…＋2k1－1＞2k.
专题一 数学归纳法证题的常用技巧
在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较 简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤 的证明方法是十分重要的．其实归纳步骤可以看作是一个独 立的证明问题，归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而 “命题P(k＋1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用 归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析 一些常用技巧．
1．分析综合法
用数学归纳法证明关于正整数n的不等式，从“P(k)”到 “P(k＋1)”，常常可用分析综合法．
【例 1】 求证： 11×2＋ 21×3＋…＋ nn1＋1＜ n，n∈N＋. 证明 (1)当 n＝1 时，因为 11×2＝ 12＜1，所以原不等式成
立．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，原不等式成立，即有
课件2：§4.4 数学归纳法
(2)推测 an＝n－n－1－n－n1－a2a. 证明如下： ①当 n＝1 时，左边＝a1＝a， 右边＝1－1－1－1－11－a2a＝a，结论成立．
②假设当 n＝k 时，有 ak＝k－k－1－k－k1－a2a， 则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝2－1 ak＝2－k－k－11－k－k1－a2a ＝2[k－k－1ka－]－k[－k－1a1－k－2a]＝kk－＋k1－－1kaa， 故当 n＝k＋1 时，结论成立． 由①②可知，对任何 n∈N*，都有 an＝n－n－1－n－n1－a2a.
金版点睛 数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由 n＝k 到 n＝k＋1 时的推证过程与证明等式有 所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进 行“放大”或者“缩小”才能使用到 n＝k 时的假设，所以需要认 真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明 不等式时常用的方法之一． (2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如 比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程．
[跟踪训练 4]
证明：1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 n>2(
n＋1－1)，n∈N*.
证明 ①当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2( 2－1)．
左边>右边，结论成立．
②假设当 n＝k 时结论成立，
即
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 k>2(
k＋1－1)．
则当
n＝k＋1
时，1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1＋ k
2．做一做
(1)数学归纳法证明中，在验证了 n＝1 时命题正确，假定
n＝k 时命题正确，此时 k 的取值范围是( )
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则命题T对一切自然数正确. .
证明 如果命题T不是对所有自然数都成立，那么使 命题不成立的自然数集合M就是非空集合，由定 理2，M中含有一个最小数k，且k>1(因为k=1命题
正确)，所以对一切n < k,命题T成立，又由（2）
推出命题T对k正确. 结论矛盾. 下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法 而不能应用第一数学归纳法解题的例子
命题3 若 b > a,则b a+1. (即数a与a+1是邻接的两个数，中间没有其他
自然数，不存在b，使得a+1>b>a. )
证明 若b > a,则b = a + k. 因为k 1，所以a+k a+1，即b a+1.
最小数原理
定理2 自然数的任何非空集合A含有一个最小数，
即存在一个数 a A ，使得对集合A中任意数b， 均有 b a .
证明 设M这样的集合：
对于M中任意元素 m M ，对A中任意元素a，均
有
am
,则M是非空集合.
因为1 M ，由归纳公理（4）知，一定存在一 个元素 m M . ， 但 m M ,即 m 1 M 可能.
否则由 m M m M 得M=N，这显然不
现在我们证明 m A . 因为若 m A 则A中任意元素a>m.
足够了: 但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是
不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳 法的严格证明.
定理1 如果某个命题T，它的叙述含有自然数，如果
命题T对n=1是正确的，而且假定如果命题T对n的正确性
就能推出命题T对n+1也正确，则命题T对一切自然数都成 立.（第一数学归纳法）
证明 设M是使所讨论的例题T正确的自然数集合，则 （1） 1 M .
，有
假设命题对 n k 正确，则
ak 3ak 1 2ak 2 3(2k 1 1) 2(2k 2 1)
= 3 2 3 2 所以命题对n=k正确.
k 1 k 1
2 2k 1
例3 已知对任意自然数 n N 均有
3 a i ( ai ) i 1 i 1 n n 2
那么当 k n 1 时,有
12 22 n2 (n 1)2 (12 22 n2 ) (n 1)2
= =
=
=
n(n 1)(2n 1) 6(n 1) 6 (n 1) n(2n 1) 6(n 1) 62 ( n 1)(2n 7 n 6) 6
数学归纳法及原理
数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然
数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n-1正确，
就能推出命题对
n 也正确，则命题对所有自然数都正
确. 通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也 正确，然后命题对n=3也正确，如此类推，命题对所有 自然数都正确. 对于中学生来说，这样形象地说明就
a m 1
所以 m 1 M ，与 m 1 M
所以m即为A中最小元素. 上述定理也称为最小数原则，有的作者把它当成公 理，用它也可以证明数学归纳法，下面我们给出所谓第 二数学归纳法.（第二数学归纳法）
矛盾。
定理3 对于一个与自然数有关的命题T，若 (1)当n=1时命题T正确;
(2)假设命题T对n < k正确，就能推出命题T对n=k正确.
n( n 1)(2n 1) (n 1) 2 6 2
=
(n 1)((n 1) 1)(2(n 1) 1) = 6 所以公式对n+1也正确.
(n 1)(n 2)(2n 3) 6
在利用数学归纳法证明某些命题时，证
明的过程往往归纳到n-1或n-2，而不仅仅是
n-1，这时上述归纳法将失败，因而就有了第 二数学归纳法. 在叙述第二数学归纳法之前， 我们先证明几个与自然数有关的命题.
设 n M ，则命题T对n正确，这时命题对 n 1 n
也正确，即 （2）n M . 所以由归纳公理D，M含有所有自然数，即命题T对所 有自然数都成立.
例1 求证
n(n 1)(2n 1) 6 证明 （1）当n=1时，有 1 (1 1) (2 1 1) 2 1 1 6 所以n=1，公式正确. （2）假设当 k n 时,公式正确， 即 n(n 1)(2n 1) 12 22 n 2 6 12 22 n 2
但是
3 2 2 a ( a ) ( a a ) i i i k 1
2 ( ai ) 2 2( ai )ak 1 ak 1 i 1
k 1 i 1
k 1 i 1
k
k
k 1 i 1
i 1
命题1 若a > b,则a + c > b + c. 证明 因为a > b 所以 a = b + k a + c= b + k + c=（b + c）+ k 所以 a + c > b + c 命题2 1是自然数中最小的一个. 证明 若 a 1 ，则a有前元b，所以 b a , a = b + 1 ( a>1. )
(这里ai
0
)
求证 : an n 3 2 a1 a1 ，得a1 证明（1）当n=1时, 由 所以命题对n=1正确. （2假设 n k 命题正确，这时 当 n=k+1时， a , a k 1 1 a2 2
k
k 1 i 1a ( a ) a i i k 1 i k 1 i 1 i 1
例2 已知数列
3 an 3an1 2an2 且 a1 , a0 2 2 求证 ： an 2n 1
3 1 a 3 a 2 a 3 2 2 2 1 证明 对 n 1 ,有 1 0 1 2 所以命题对 n 1 正确。
a1, a0, a1, a2 an
证明 如果命题T不是对所有自然数都成立，那么使 命题不成立的自然数集合M就是非空集合，由定 理2，M中含有一个最小数k，且k>1(因为k=1命题
正确)，所以对一切n < k,命题T成立，又由（2）
推出命题T对k正确. 结论矛盾. 下面我们给出两个只能应用第二数学归纳法 而不能应用第一数学归纳法解题的例子
命题3 若 b > a,则b a+1. (即数a与a+1是邻接的两个数，中间没有其他
自然数，不存在b，使得a+1>b>a. )
证明 若b > a,则b = a + k. 因为k 1，所以a+k a+1，即b a+1.
最小数原理
定理2 自然数的任何非空集合A含有一个最小数，
即存在一个数 a A ，使得对集合A中任意数b， 均有 b a .
证明 设M这样的集合：
对于M中任意元素 m M ，对A中任意元素a，均
有
am
,则M是非空集合.
因为1 M ，由归纳公理（4）知，一定存在一 个元素 m M . ， 但 m M ,即 m 1 M 可能.
否则由 m M m M 得M=N，这显然不
现在我们证明 m A . 因为若 m A 则A中任意元素a>m.
足够了: 但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是
不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳 法的严格证明.
定理1 如果某个命题T，它的叙述含有自然数，如果
命题T对n=1是正确的，而且假定如果命题T对n的正确性
就能推出命题T对n+1也正确，则命题T对一切自然数都成 立.（第一数学归纳法）
证明 设M是使所讨论的例题T正确的自然数集合，则 （1） 1 M .
，有
假设命题对 n k 正确，则
ak 3ak 1 2ak 2 3(2k 1 1) 2(2k 2 1)
= 3 2 3 2 所以命题对n=k正确.
k 1 k 1
2 2k 1
例3 已知对任意自然数 n N 均有
3 a i ( ai ) i 1 i 1 n n 2
那么当 k n 1 时,有
12 22 n2 (n 1)2 (12 22 n2 ) (n 1)2
= =
=
=
n(n 1)(2n 1) 6(n 1) 6 (n 1) n(2n 1) 6(n 1) 62 ( n 1)(2n 7 n 6) 6
数学归纳法及原理
数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然
数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n-1正确，
就能推出命题对
n 也正确，则命题对所有自然数都正
确. 通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也 正确，然后命题对n=3也正确，如此类推，命题对所有 自然数都正确. 对于中学生来说，这样形象地说明就
a m 1
所以 m 1 M ，与 m 1 M
所以m即为A中最小元素. 上述定理也称为最小数原则，有的作者把它当成公 理，用它也可以证明数学归纳法，下面我们给出所谓第 二数学归纳法.（第二数学归纳法）
矛盾。
定理3 对于一个与自然数有关的命题T，若 (1)当n=1时命题T正确;
(2)假设命题T对n < k正确，就能推出命题T对n=k正确.
n( n 1)(2n 1) (n 1) 2 6 2
=
(n 1)((n 1) 1)(2(n 1) 1) = 6 所以公式对n+1也正确.
(n 1)(n 2)(2n 3) 6
在利用数学归纳法证明某些命题时，证
明的过程往往归纳到n-1或n-2，而不仅仅是
n-1，这时上述归纳法将失败，因而就有了第 二数学归纳法. 在叙述第二数学归纳法之前， 我们先证明几个与自然数有关的命题.
设 n M ，则命题T对n正确，这时命题对 n 1 n
也正确，即 （2）n M . 所以由归纳公理D，M含有所有自然数，即命题T对所 有自然数都成立.
例1 求证
n(n 1)(2n 1) 6 证明 （1）当n=1时，有 1 (1 1) (2 1 1) 2 1 1 6 所以n=1，公式正确. （2）假设当 k n 时,公式正确， 即 n(n 1)(2n 1) 12 22 n 2 6 12 22 n 2
但是
3 2 2 a ( a ) ( a a ) i i i k 1
2 ( ai ) 2 2( ai )ak 1 ak 1 i 1
k 1 i 1
k 1 i 1
k
k
k 1 i 1
i 1
命题1 若a > b,则a + c > b + c. 证明 因为a > b 所以 a = b + k a + c= b + k + c=（b + c）+ k 所以 a + c > b + c 命题2 1是自然数中最小的一个. 证明 若 a 1 ，则a有前元b，所以 b a , a = b + 1 ( a>1. )
(这里ai
0
)
求证 : an n 3 2 a1 a1 ，得a1 证明（1）当n=1时, 由 所以命题对n=1正确. （2假设 n k 命题正确，这时 当 n=k+1时， a , a k 1 1 a2 2
k
k 1 i 1a ( a ) a i i k 1 i k 1 i 1 i 1
例2 已知数列
3 an 3an1 2an2 且 a1 , a0 2 2 求证 ： an 2n 1
3 1 a 3 a 2 a 3 2 2 2 1 证明 对 n 1 ,有 1 0 1 2 所以命题对 n 1 正确。
a1, a0, a1, a2 an