求向量组的极大无关组-向量组极大无关组例题19页PPT
合集下载
3.4极大线性无关组
称为这个向量组的秩, 记作 r(1,2 , , s )
2 4 2
例如：
向量组
1
-1 3
,
2
-2 5
,
3
-1 4
的
1
4
-1
秩为2。
2. 矩阵的秩
2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
（2）用非零常数k乘以A的第i行
引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列）
（行）
证：设矩阵A经过初等行变换变为B，
即存在有限个初等矩阵 P1, P2 , , PS 使得 P1P2 PS A B 令 P P1P2 PS 则 PA B
把 Amn 按列分块，设 Amn (1, 2 , , n ) 不妨设A的列向量组的极大无关组为 1,2 , ,r ,
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1m xm b1 a2m xm b2 有解,
anm xm bn
或者，令
a11 a12
A
a21
a22
an1
an2
a1m
a2m
(1
,
2
,
anm
,m )
得方程组 Ax 有解.
x1
x
等价向量组的基本性质
定理：设 1,2 , , s 与 1, 2 , , t 是两个向量组，如果 (1) 向量组1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示；
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
2 4 2
例如：
向量组
1
-1 3
,
2
-2 5
,
3
-1 4
的
1
4
-1
秩为2。
2. 矩阵的秩
2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
（2）用非零常数k乘以A的第i行
引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列）
（行）
证：设矩阵A经过初等行变换变为B，
即存在有限个初等矩阵 P1, P2 , , PS 使得 P1P2 PS A B 令 P P1P2 PS 则 PA B
把 Amn 按列分块，设 Amn (1, 2 , , n ) 不妨设A的列向量组的极大无关组为 1,2 , ,r ,
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1m xm b1 a2m xm b2 有解,
anm xm bn
或者，令
a11 a12
A
a21
a22
an1
an2
a1m
a2m
(1
,
2
,
anm
,m )
得方程组 Ax 有解.
x1
x
等价向量组的基本性质
定理：设 1,2 , , s 与 1, 2 , , t 是两个向量组，如果 (1) 向量组1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示；
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
向量组的秩和极大线性无关组
3.若向量组B能由向量组A线性表示，则
.
极大线性无关组 定义
• 定义：向量组T中如果有一部分组α1，α2，···，αr满足： 1.α1，α2，···，αr线性无关； 2.任取向量组T中β，有α1，α2，···，αr，β线性相关。 则称α1，α2，···，αr为向量组T的一个极大线性无关向量组， 简称为极大无关组
3
6
9
7
9
0
0
0
0
0
得到R（A）=3，故最大无关组含有3个向量，取1,2,4列，故 a1, a2, a4
为列向量最大无关组。
•注意：只要分别取不在同一阶梯上的列向量即可，可以125列，134列
都是最大无关组，这里为了方便去只取124列
•剩下3，5列用线性表式：3，5列单独写出来
1 4
•例题：设矩阵
2 1 1 2
4
求矩阵A的列向量组的一个最大无关
4
3
6
9
7
9
组，并把不是组最大无关组的列向量用最大无关线性表示
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
•解： A
1
1
2
1
4
r
0
1
1
0
3
(先化为行最简)
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
• 定理： 1.设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果 （1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出（2）r>s；
那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。 2.只含零向量的向量组没有极大无关组； 3.一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身
.
极大线性无关组 例题
1
.
极大线性无关组 定义
• 定义：向量组T中如果有一部分组α1，α2，···，αr满足： 1.α1，α2，···，αr线性无关； 2.任取向量组T中β，有α1，α2，···，αr，β线性相关。 则称α1，α2，···，αr为向量组T的一个极大线性无关向量组， 简称为极大无关组
3
6
9
7
9
0
0
0
0
0
得到R（A）=3，故最大无关组含有3个向量，取1,2,4列，故 a1, a2, a4
为列向量最大无关组。
•注意：只要分别取不在同一阶梯上的列向量即可，可以125列，134列
都是最大无关组，这里为了方便去只取124列
•剩下3，5列用线性表式：3，5列单独写出来
1 4
•例题：设矩阵
2 1 1 2
4
求矩阵A的列向量组的一个最大无关
4
3
6
9
7
9
组，并把不是组最大无关组的列向量用最大无关线性表示
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
•解： A
1
1
2
1
4
r
0
1
1
0
3
(先化为行最简)
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
• 定理： 1.设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果 （1）向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出（2）r>s；
那么向量组a1,a2,…,ar必线性相关。 2.只含零向量的向量组没有极大无关组； 3.一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身
.
极大线性无关组 例题
1
3.3 向量组的极大无关组与秩
矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt
3.4 向量组的极大线性无关组
11
第 三 章 n 维 向 量 空 间
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 个数相等。 个数相等。 证明 向量组 α1 , α 2 , L , α m
等价 极大线性无关组 等价 等价
向量组 β 1 , β 2 ,L , β n
等价 极大线性无关组
α i 1 , α i 2 ,L , α i r
β i 1 , β i 2 ,L , β i s
12
第 三 章 n 维 向 量 空 间
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 个数相等。 个数相等。 证明 即 α i 1 , α i 2 ,L , α i r 可由 β i 1 , β i 2 ,L , β i s 线性表示， 线性表示， 线性无关， 且 α i 1 , α i 2 ,L , α i r 线性无关，因此 r ≤ s . 同理 r ≥ s . 即得 r = s .
化为标准形
I 即 C Q = P −1 t 0 0 0
It 0 , 其中 t ≤ s . 0 0 I t 0 = P1 I t 0 , = ( P1 P2 ) 0 0 0 0
下面利用反证法证明 t = s . 18
§3.4 向量组的极大线性无关组
二、向量组的秩
1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 3. 向量组的秩 4. 向量组的秩与矩阵秩的关系
16
第 三 章 n 维 向 量 空 间
3.4 极大无关组
2 ' ) A 中每一个 i 可由 j , j ,, j 表出 即 1)+2) 1)+ 2 ')
1 2 r
定义: A : 1 ,,s , A0 : j ,, j 是 A 部分组 若 1) j , j ,, j 线性无关 2 ' ) A 中每一个i 可由 j , j ,, j 表出 (说明 A 与 A0 等价 ) 称 A0 为 A 的极大组, r 为向量组的秩, 记为 r (1 ,2 ,, s ) r (上界,个数超过 r 的 向量相关） 注1 1 ,, s 相关 r(1,2 ,, s ) r s
i j i j
A : 1 ,, s
的极大组满足
1) A 的部分组 2)线性无关组 3)含向量最多
r ( s ) 个
部分组, A0 是 满足 1) j , j ,, j 无关
A0 : j1 ,, jr
是
A
A
极大组
1
2
r
2)任意 r 1(若 )个向量相关
在条件1)之下，2)可等价地换为
( 1 ,2 ,3 ,4 相关 r( A) 4, A (1,2 ,3 ,4 ) ) 2)求 1 ,2 ,3 ,4 极大组,并将其它向量 用极大组表示
解：
1 1 0 4 A (1 ,2 ,3 ,4 ) 1 2 2 1
1 2 3 4
T 1
的列向量组 的行向量组
T m
定理3.4.4
r ( A) r(1 ,, s ) r( ,, )
A 的列秩
A 的行秩
定理3.4.3 初等行(列)变换不改变矩阵 A 的列(行)向量组的线性关系 A 1 ,, s 行 B 1 ,, s
1 2 r
定义: A : 1 ,,s , A0 : j ,, j 是 A 部分组 若 1) j , j ,, j 线性无关 2 ' ) A 中每一个i 可由 j , j ,, j 表出 (说明 A 与 A0 等价 ) 称 A0 为 A 的极大组, r 为向量组的秩, 记为 r (1 ,2 ,, s ) r (上界,个数超过 r 的 向量相关） 注1 1 ,, s 相关 r(1,2 ,, s ) r s
i j i j
A : 1 ,, s
的极大组满足
1) A 的部分组 2)线性无关组 3)含向量最多
r ( s ) 个
部分组, A0 是 满足 1) j , j ,, j 无关
A0 : j1 ,, jr
是
A
A
极大组
1
2
r
2)任意 r 1(若 )个向量相关
在条件1)之下，2)可等价地换为
( 1 ,2 ,3 ,4 相关 r( A) 4, A (1,2 ,3 ,4 ) ) 2)求 1 ,2 ,3 ,4 极大组,并将其它向量 用极大组表示
解：
1 1 0 4 A (1 ,2 ,3 ,4 ) 1 2 2 1
1 2 3 4
T 1
的列向量组 的行向量组
T m
定理3.4.4
r ( A) r(1 ,, s ) r( ,, )
A 的列秩
A 的行秩
定理3.4.3 初等行(列)变换不改变矩阵 A 的列(行)向量组的线性关系 A 1 ,, s 行 B 1 ,, s
第四节 向量组的极大线性无关组
故A是极大线性无关组为 1 , 2 , 4 .
n 例6 设R 中的向量组1 , 2 ,, n 线性无关,证明
向量组
1 =1 + 2 ,2 = 2 +3 ,, n1 = n1 + n , n = n +1,
当n为奇数时线性无关;当n为偶数时线性相关. 向量组1 , 2 ,, n 可以由向量组 证明： 1 0 0 0 1 具体为 1 , 2 ,, n 线性表示. 1 1 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 A 0 0 1 2 1 3 0 3 0 0 0 0 0 7 3 1
13
1 0 0 0
故B的列向量极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 且
0 1 2 n = 1 2 n 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 nn
20
当向量组1 , 2 ,, n 线性无关时,
矩阵1 2 n 可逆,则
i T1 ,
k1i k s 2i , i 1, 2,, r. ksi
i 1 2
2
即
1
2 r
1
2
k11 k 21 s ks1
k12 k1r k22 k2 r , ks 2 k sr
r 1 2 m r r B ;
r 1 2 m r A r
由 r A r AT , 可证明A的秩等于行向量组的秩.
15
r A r. 则有 推论 设A为 m n 矩阵，
极大线性无关组
（1）当P为何值时，该向量组线性无关？
（2）当P为何值时，该向量组线性相关？此时 ，求出它的秩， 和一个极大线性无关组.
解：作矩阵 ， 1 1 3 2
，
1
3
2
6
1 5 1 10
3
1
p2
p
对矩阵A作初等行变换化阶梯形
1 1 3 2 1 1 3 2
A
0
2
1
0 6 4
4
0
1,2线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故
1,2是1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组
1
,
3和
3
,
4等也是1
,
2
,
3
,
的极大无关组.
4
( 5 )向量组的所有极大无关组含向量个数相同
二、向量组的秩
定义 向量组1,2 ,L ,s 的极大无关组所含向量个
数称为这个向量组的秩. R1,2,L ,s r
其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
(任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.1,2,L ,s线性无关， ,1,2 ,L ,s 线性相关
可由 1,2,L ,s 唯一线性表示.
§4. 1 n维向量概念 §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 3 极大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构
§4. 3 极大无关组
一、极大线性无关组
定义 设 1,2 ,L ,s 为 Pn 中的一个向量组，它的 一个部分组 i1,i2 ,L ,ir 若满足
i) i1,i2 ,L ,ir线性无关； ii) 对任意的 j (1 j s) , j 可经 i1,i2 ,L ,ir
线性表出；
则称 i1,i2 ,L ,ir 为向量组 1,2 ,L ,s 的一个
（2）当P为何值时，该向量组线性相关？此时 ，求出它的秩， 和一个极大线性无关组.
解：作矩阵 ， 1 1 3 2
，
1
3
2
6
1 5 1 10
3
1
p2
p
对矩阵A作初等行变换化阶梯形
1 1 3 2 1 1 3 2
A
0
2
1
0 6 4
4
0
1,2线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故
1,2是1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组
1
,
3和
3
,
4等也是1
,
2
,
3
,
的极大无关组.
4
( 5 )向量组的所有极大无关组含向量个数相同
二、向量组的秩
定义 向量组1,2 ,L ,s 的极大无关组所含向量个
数称为这个向量组的秩. R1,2,L ,s r
其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
(任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.1,2,L ,s线性无关， ,1,2 ,L ,s 线性相关
可由 1,2,L ,s 唯一线性表示.
§4. 1 n维向量概念 §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 3 极大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构
§4. 3 极大无关组
一、极大线性无关组
定义 设 1,2 ,L ,s 为 Pn 中的一个向量组，它的 一个部分组 i1,i2 ,L ,ir 若满足
i) i1,i2 ,L ,ir线性无关； ii) 对任意的 j (1 j s) , j 可经 i1,i2 ,L ,ir
线性表出；
则称 i1,i2 ,L ,ir 为向量组 1,2 ,L ,s 的一个
4[1].3向量组的秩和极大线性无关组
![4[1].3向量组的秩和极大线性无关组](https://img.taocdn.com/s3/m/6e3036264b35eefdc8d333e1.png)
第二节 向量组的极大无关组与秩
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
极大无关组求法
因此3=21-2, 4=-1+22
• 同理 , 也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵 , 通过做初向量组
1=(2,1,3,-1)T, 2=(3,-1,2,0)T, 3=(1,3,4,-2)T, 4=(4,-3,1,1)T,
的秩和一个极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量 用极大无关组线性表示。
方法3 初等变换法
初等行变换保持了列向量间的线性无关性 和线性表出性
可以证明，若对矩阵A仅施以初等行变换 得矩阵B, 则B的列向量组与A的列向量组间有 相同的线性关系。（行变换对列没有影响）
1 2 4 2 4 0 如Ａ 2 4 0 ，有 2 =21 对于B1 = 1 2 4 ，有 2 =2 1 3 6 1 3 6 1
即初等行变换保持了列向量间的线性无关性和 线性表出性。
由此提供了求向量组的极大无关组的方法：
(1)以向量组中各向量为列向量构成矩阵A; (2)对A做初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵,则 可求出r(A)=r(向量组的秩为r，说明向量组中线性无 关的向量最多有r个，任何r+1个线性相关). (3)在A中找出r个线性无关的向量即是所求向量组的 极大无关组，这一步需将行阶梯型化为行最简形。
求极大无关组方法,找阶梯型矩 阵非零行的非零首元所在的列
知r(1,2)=2, 故1,2 线性无关
• 为把3,4用1,2线性表示, 把A变成行最简形矩阵
1 0 A 0 0 0 2 -1 将A化为一个行最简形矩阵B, 1 -1 2 B 是因为较容易看出B 的列向 0 0 0 量组各向量之间的线性关系 0 0 0
记矩阵B=(1, 2, 3, 4),因为初等行变换保持了列向 量间的线性表出性，因此向量1,2,3,4与向量1, 2, 3, 4之间有相同的线性关系。
线性代数第三章第二节 向量组及其最大无关组(2014版)
反证法，若 盾。
s
t
则由定理1知
1
,
2
,
, t 线性相关，矛
推论2 若 r(1,2 , ,s ) r 则 1,2 , , s 中任何r+1个
向量都是线性相关的。
证明：设 1,2 , ,r 是 1,2 , , s 的一个极大线性无 关组 1,2 , ,r ,r1是 1,2 , , s 的部分组， 则 1,2 , ,r ,r1 可由1,2 , ,r 线性表示， 又r+1>r，由定理1知，1,2 , ,r ,r1 线性相关。
a222
a2nn
(1)
n an11 an22 annn
证明：若 D | aij |，0 则向量组1, 2 , n 与 1 ,2 ,
n 等价。
反之如何？
证: 由于D 0 ，则根据（1），可按克莱姆法则把
i (i 1, 2, , n) 解出，用 Aij 表示D中元素 aij 的
代数余子式，于是用 A11 , A21 , , An依1 次乘（1）中 第（1），（2），… ，（n）个等式两端，再相加，
的一个极大线性无关组，A中任何一个向量都可由A0 线性表出， 即A中任意r+1个向量必线性相关，另外，A0,是A的部分组，故 A0中的任一向量都可由A线性表出。所以，A0与A可互为线性表 出。一般来说有：
3.2.2 向量组的等价
定义：如果向量组
A :1,2, ,m
中的每一个向量 i (i 1,2,m)
思考题解答
证法一根据向量组等价的定义，寻找两向量 组相互线性表示的系数矩阵；
证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量 组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价” 这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；
线性代数向量组的极大线性无关组和秩
称为向量组的秩，记作 r(1,2,L , p ).
2 4 2
例：向量组
1
1
3
, 2
2 5
,
3
1 4
1
4
1
秩为2.
关于向量组的秩的一些结论：
（1）零向量组的秩为0.
（2）向量组 1,2,L , p 线性无关 r(1,2,L , p ) p
向量组 1,2,L , p 线性相关 r(1,2,L , p ) p
且 p t, 则向量组1,2,L , p必线性相关.
证明：给出 p 2,t 3 时的证明. 为说明 1,2,3 线性相关，需找到三个不全 为零的数 k1, k2, k3, 使
k11 k22 k33 0.
由已知，1,2,3 可由生成集 1, 2 线性表出：
12
a111 a12 1
a212 a222 .
§4.3 向量组的极大无关线性组和 秩
问题 （1）一个向量组（含有限多个向量，或无限多
个向量）线性无关的向量最多有几个？ （2）如何找出这一组线性无关向量组？ （3）其余向量与这一组向量有何关系？
1.向量组的线性表出
定义4.3.1 如果向量组 A :1,2,L , p 中的每个向量 i (i 1, 2,L , p) 都可以由向量组 B : 1, 2,L , t
（3）若向量组 1,2,L , p 可由向量组 1, 2,L , t
线性表出，则
r(1,2,L ,s ) r(1, 2,L , t )
（4）等价的向量组必有相同的秩。
两个有相同的秩的向量组等价吗？ 不一定
思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个 可以被另一个线性表出，则这两个向量组等价.
4.向量组的秩、极大无关组的求法
2 4 2
例：向量组
1
1
3
, 2
2 5
,
3
1 4
1
4
1
秩为2.
关于向量组的秩的一些结论：
（1）零向量组的秩为0.
（2）向量组 1,2,L , p 线性无关 r(1,2,L , p ) p
向量组 1,2,L , p 线性相关 r(1,2,L , p ) p
且 p t, 则向量组1,2,L , p必线性相关.
证明：给出 p 2,t 3 时的证明. 为说明 1,2,3 线性相关，需找到三个不全 为零的数 k1, k2, k3, 使
k11 k22 k33 0.
由已知，1,2,3 可由生成集 1, 2 线性表出：
12
a111 a12 1
a212 a222 .
§4.3 向量组的极大无关线性组和 秩
问题 （1）一个向量组（含有限多个向量，或无限多
个向量）线性无关的向量最多有几个？ （2）如何找出这一组线性无关向量组？ （3）其余向量与这一组向量有何关系？
1.向量组的线性表出
定义4.3.1 如果向量组 A :1,2,L , p 中的每个向量 i (i 1, 2,L , p) 都可以由向量组 B : 1, 2,L , t
（3）若向量组 1,2,L , p 可由向量组 1, 2,L , t
线性表出，则
r(1,2,L ,s ) r(1, 2,L , t )
（4）等价的向量组必有相同的秩。
两个有相同的秩的向量组等价吗？ 不一定
思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个 可以被另一个线性表出，则这两个向量组等价.
4.向量组的秩、极大无关组的求法
2线性相关性的结论、极大线性无关组
i)向量 可由 1 , 2 , 3 唯一线性表示.
ii)向量 可由1 , 2 , 3 线性表示，但不唯一. iii)向量 不可由 1 , 2 , 3 线性表示.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
解：
1 1 1 因为 (1 , 2 , 3 , ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r1 r3 1 1 1 1 1 1
的一个极大线性无关组. 注：1）求极大无关组的方法. 2）一个向量组的极大无关组不是唯一的.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
例4
求向量组1 (1, 1,2,4)T , 2 (0,3,1,2)T ,
3 (3,0,7,14)T , 4 (1, 1,2,0)T , 5 (2,1,5,6)T
由矩阵 B 知 1 , 2 , 4 线性无关且为极大无关组.
1 , 2 , 5 1 , 3 , 4 1 , 3 , 5
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
三、向量组的线性表示与等价
定义3
若向量组 1 , 2 ,
, s 中每一个向量 i ( i 1,2,
, s)
向量 可由 1 , 2 ,
有l11 l2 2
lm m ,
(2)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
(1) (2)
( k1 l1 )1 ( k2 l2 ) 2
又 k1 , k2 ,
( km lm ) m
, km 是不全为零的数 .
, s 可由 1 , 2 ,
, m
线性表示，且 1 , 2 ,
推论5 若 1 , 2 ,
, s 线性无关，则 s m . , s 与 1 , 2 , , m等价，且它们
ii)向量 可由1 , 2 , 3 线性表示，但不唯一. iii)向量 不可由 1 , 2 , 3 线性表示.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
解：
1 1 1 因为 (1 , 2 , 3 , ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r1 r3 1 1 1 1 1 1
的一个极大线性无关组. 注：1）求极大无关组的方法. 2）一个向量组的极大无关组不是唯一的.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
例4
求向量组1 (1, 1,2,4)T , 2 (0,3,1,2)T ,
3 (3,0,7,14)T , 4 (1, 1,2,0)T , 5 (2,1,5,6)T
由矩阵 B 知 1 , 2 , 4 线性无关且为极大无关组.
1 , 2 , 5 1 , 3 , 4 1 , 3 , 5
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
三、向量组的线性表示与等价
定义3
若向量组 1 , 2 ,
, s 中每一个向量 i ( i 1,2,
, s)
向量 可由 1 , 2 ,
有l11 l2 2
lm m ,
(2)
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
(1) (2)
( k1 l1 )1 ( k2 l2 ) 2
又 k1 , k2 ,
( km lm ) m
, km 是不全为零的数 .
, s 可由 1 , 2 ,
, m
线性表示，且 1 , 2 ,
推论5 若 1 , 2 ,
, s 线性无关，则 s m . , s 与 1 , 2 , , m等价，且它们
向量组的极大无关组与向量组的秩
上一页
27
Hale Waihona Puke 下一页*§4 向量组的极大无关组与向量组的秩 在第十一章中我们意已讲过了矩阵的概念。它于本节说讲的向量组的极大无关 组及向量组的秩有什么联系呢？我们先引入其概念。 定义1 设有向量组T，如果 (i) 在T中有r个向量 (ii) T中任意r+1个向量（若有的话）都线性相关。 那么称 a1 , a2 ,, ar 是向量组T的一个极大无关组。 例1 设向量组 1 (1,1), 2 (3,5), 3 (1,3) 1 ( 2 1 ), 所以 1 , 2 , 3 线性相关，既有 3 因 1 , 2 线性无关，而
证 设向量T:
1 (a11 , a 21 ,, a m1 )' 2 (a12 , a 22 ,, a m 2 )'
n (a1n , a 2 n ,, a mn )'
是矩阵A的列向量组。由定义知，向量组 a1 , a2 ,, an 若线性相关，即存在不全
k11 k 2 2 k r r
11 2 2 r r
0 (k1 1 )1 (k 2 2 ) 2 (k r r ) r
a1 , a2 ,, ar 线性无关，
则必有 即
k1 1 k 2 2 k r r 0
即
所以
4 1 3
上一页
31
下一页
同理可求得
5 1 2 3
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯 一呢?我们有下面的命题. 证 设 a1 , a2 ,, ar 是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意 一个向量。 若 且又有 那么 因 命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
向量组的极大无关组.ppt
3 (0, 0, 0, 5) 4 (0, 0, 0, 0)
1 , 2 , 3 是A的行向量组的一个极大无关组， 可以证明，
因为，由 k1 1 k2 2 k3 3 0 即 k1 (1,1,3,1) k2 (0,2, 1,4) k3 (0,0,0,5)
（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话） 那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。 简称极大无关组。
注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示
2 4 2 1 2 1 , 2 , 3 中， 例如：在向量组 1 3 5 4 1 4 1 首先 1 , 2 线性无关， 又 1 , 2 , 3 线性相关， 所以 1 , 2 组成的部分组是极大无关组。
问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩 引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列）
?
证：把 Amn 按行分块，设 Amn
（1）对换矩阵A的两行
1 2 m
A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行
1 2 0 0
2 1 0 0
1 1 5 0
4 0 3 0
行最简形矩阵：
在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元 为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。
1 0 例如： 0 0
0 1 0 1 1 0 0 0
4 3 B 0 1 3 0 0 0
秩为2。
3.3 向量组的极大线性无关组
(2) 极大线性无关组为 1 , 2 ; (3) 线性组合关系为 3 21 2 ,
4 (1)1 2 .
15
§3.3 向量组的极大线性无关组
例设
求 (1) 向量组的秩; (2) 向量组的极大线性无关组； (3) 将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。
解
T 1
T 2
T 3
T 4
1 1 2 3 1 2 3 4 行变换 2 3 5 7 2 4 6 8
(1) 向量组的秩为 3;
(2) 极大线性无关组为1 , 2 , 4 ;
(3) 组合关系
3 21 52 04 , 5 41 2 64 .
12
§3.3 向量组的极大线性无关组
三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系
1. 原理 2. 方法
(1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量 排列，并构成矩阵 A；
由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择 不同的极大线性无关组，此时只需按要求对矩阵继续进行 行变换，比如：
17
§3.3 向量组的极大线性无关组
第一种选择
1 0 1 2
1 2 1 0
0 1 1 1 行变换 0 1 1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
r1 (2)r2
0 0
0 0
0 0
0 0
极大线性无关组为 1, 4 ; 线性组合关系为 2 (2)1 4 ,
3 (1)1 4 .
18
§3.3 向量组的极大线性无关组
第二种选择
1 0 1 2
1 0 1 2
0 1 1 1 行变换 1 1 0 1
0 0
0 0
0 0
4 (1)1 2 .
15
§3.3 向量组的极大线性无关组
例设
求 (1) 向量组的秩; (2) 向量组的极大线性无关组； (3) 将其余向量表示为极大线性无关组的线性组合。
解
T 1
T 2
T 3
T 4
1 1 2 3 1 2 3 4 行变换 2 3 5 7 2 4 6 8
(1) 向量组的秩为 3;
(2) 极大线性无关组为1 , 2 , 4 ;
(3) 组合关系
3 21 52 04 , 5 41 2 64 .
12
§3.3 向量组的极大线性无关组
三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系
1. 原理 2. 方法
(1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量 排列，并构成矩阵 A；
由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择 不同的极大线性无关组，此时只需按要求对矩阵继续进行 行变换，比如：
17
§3.3 向量组的极大线性无关组
第一种选择
1 0 1 2
1 2 1 0
0 1 1 1 行变换 0 1 1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
r1 (2)r2
0 0
0 0
0 0
0 0
极大线性无关组为 1, 4 ; 线性组合关系为 2 (2)1 4 ,
3 (1)1 4 .
18
§3.3 向量组的极大线性无关组
第二种选择
1 0 1 2
1 0 1 2
0 1 1 1 行变换 1 1 0 1
0 0
0 0
0 0
求向量组的一个极大线性无关组
已知向量组，怎么求极大线性无关组。
可以将向量组转化为矩阵，将向量看作矩阵的列向量，然后对矩阵进行初等行变换可以得到矩阵的阶梯形式，得到矩阵的秩，即为向量组的极大线性无关组的向量的个数。
观察矩阵可以看出互相线性无关的列向量，他们对应的向量组中的向量即为一个极大线性无关组。
例如：
扩展资料：
设S是一个n维向量组，α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果满足α1,α2,...αr 线性无关；向量组S中每一个向量均可由此
部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组，或极大无关组。
向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。
长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，箭头所指的方向表示向量的方向。
当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量。
— 1 —。
列向量的极大无关组
列向量的极大无关组对于一个列向量组$\mathbf{A}=\left[\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n\right]$，其中$\mathbf{a}_i$ 表示第$i$ 个列向量，如果存在一组系数 $c_i$，使得$$c_1\mathbf{a}_1+c_2\mathbf{a}_2+\ldots+c_n\mathbf{a}_n=\mathbf{0}$$当且仅当$c_1=c_2=\ldots=c_n=0$，则称向量组$\mathbf{A}$ 是线性无关的，否则称向量组 $\mathbf{A}$ 是线性相关的。
对于线性相关的向量组，我们可以通过删除一些向量来获得一个新的向量组，使得新的向量组是线性无关的。
这个线性无关的向量组称为原向量组的极大线性无关组。
具体来说，对于向量组 $\mathbf{A}$，如果存在一组非零系数 $c_i$，使得$$c_1\mathbf{a}_1+c_2\mathbf{a}_2+\ldots+c_n\mathbf{a}_n=\mathbf{0}$$则至少存在一个系数$c_i$ 不为零。
不失一般性，我们可以假设$c_1\neq 0$。
那么，$$\mathbf{a}_1 = -\frac{c_2}{c_1}\mathbf{a}_2-\frac{c_3}{c_1}\mathbf{a}_3-\ldots-\frac{c_n}{c_1}\mathbf{a}_n$$这说明 $\mathbf{a}_1$ 可以由向量组 $\mathbf{A}$ 中其他向量线性表示。
因此，我们可以删除向量$\mathbf{a}_1$，得到一个新的向量组$\mathbf{B}=\left[\mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \ldots, \mathbf{a}_n\right]$。
向量组 $\mathbf{B}$ 显然是线性无关的。