清华离散数学(第2版)：1.3
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(A1B)(A2B)…(AkB)
8
实例
例5 证明:max(a, max(b,c))=max(max(a,b),c) 证
情况 abc u=max(b,c) c
max(a,u)
c
v=max(a,b) b
max(v,c)
c
acb bac bca cab cba
b c c b b
19
1.3 证明方法概述
• 逻辑推理的形式结构 • 证明方法 直接证明法 间接证明法 归谬法(反证法) 数学归纳法 穷举法 构造证明法 空证明法 平凡证明法 举反例——命题为假的证明
1
逻辑推理的形式结构
逻辑推理的形式结构 A1A2…AkB (*) 当(*)为重言式时, 记作 A1A2…AkB (**) 并称推理有效或推理正确, 又称B是A1,A2,…,Ak的有效(或 逻辑)结论; 否则称推理不正确. A (1) (2) (3) (4) 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 1 1 0 1 (1),(2),(4)推理正确 (3)推理不正确 (1)中B是A的逻辑结论,但不 是正确结论; (2)和(4)中B既 是逻辑结论,又是正确结论.
5
归谬法(反证法)
做法 假设A真并且¬ B真, 推出矛盾, 即证明:A¬ B0 理由 A¬ B0为真 A¬ B为假 A为假或 B为真 AB为真
例3 若A-B=A, 则AB= 证 用归谬法, 假设AB, 则存在x,使得 xAB xAxB xA-BxB (A-B=A) xAxBxB xBxB, 矛盾
6
归谬法(续)
例4 证明 2 是无理数 证 假设 2 是有理数, 存在正整数n,m, 使得
2=m/n,
不妨设m/n为既约分数. 于是m=n 2 , m2=2n2, m2是偶数, 从而m是偶数. 设m=2k, 得 (2k)2=2n2, n2=2k2, 这又得到n也
是偶数, 与m/n为既约分数矛盾.
间接证明法是归谬法的特殊形式: ¬ ¬ A¬ B A, A0
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注释
归纳基础 证P(n0),P(n0+1),…,P(n1)为真, n0n1. 例10 可用4分和5分邮票组成n分邮资, n12. 证 归纳基础. 12=34, 13=24+5, 14=25+4, 15=35, 得证对n=12,13,14,15时结论成立. 归纳步骤. 设n15, 假设对12,13,…,n结论成立, 由12n-3< n和归纳假设, n-3分邮资可用4分和5分邮票组 成, 再加一张4分邮票即可得到n+1分邮资, 得证结论对n+1 也成立.
猜想 对所有n1, 1+2+ … +n=n(n+1)/2
13
数学归纳法的步骤
(1)归纳基础 证P(n0)为真 (2)归纳步骤 x(xn0), 假设P(x)为真, 证P(x+1)为真. 称“P(x)为真”为归纳假设 例8 证明:对所有n1, 1+2+ … +n=n(n+1)/2 证 归纳基础. 当n=1时, 1=1(1+1)/2, 结论成立. 归纳步骤. 假设对n1结论成立, 则有 1+2+ … +n +(n+1)=n(n+1)/2 +(n+1) (归纳假设) = (n+1)(n+2)/2 得证当n+1时结论也成立.
2
逻辑推理的证明
推理的常见形式: (1)若A, 则B (2)A当且仅当B (3)证明B 都可归结为形式(1) AB AB B
3
直接证明法
做法 证明“若A为真, 则B为真” 理由 “若A为真, 则B为真” “AB为真”
例1 若n是奇数, 则n2也是奇数. 证 存在kN, n=2k+1. 于是, n2 = (2k+1)2 = 2(2k2+2k)+1 得证n2是奇数.
b c a b a
b a a b a
b c a b a
9
构造证明法
推理AB, 其中B是存在具有某种性质的客体 做法 在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体
例6 对于每个正整数n, 存在n个连续的正合数. 证 令x=(n+1)! 则 x+2, x+3,…, x+n+1是n个连续的正合数: i | x+i, i=2,3,…,n+1
n 3 4 5 6 7 8 9 2n-1-1 3 7 15 31 63 127 255 整除 Y N Y N Y N N n 10 11 12 13 14 15 16 2n-1-1 511 1023 2047 4095 8191 16383 32767 整除 N Y N Y N N N
16
反例2(续)
11
命题为假的证明——举反例
例7 判断下述命题是真是假: 若AB=AC, 则B=C. 解 反例: 取A={a,b}, B={a,b,c}, C={a,b,d}, 有 AB=AC = {a,b} 但BC, 故命题为假.
12
数学归纳法的应用对象
命题形式: x(xNxn0), P(x) 命题的提出——归纳与猜想 例如, 观察 1 =1(1+1)/2 1+2 =3=2(2+1)/2 1+2+3 =6=3(3+1)/2 1+2+3+4 =10=4(4+1)/2 ……
但此命题不真. 561=31117是合数, 而2560-1能被561整除.
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第二数学归纳法
归纳基础 证明P(n0)为真 归纳步骤 x(xn0), 假设P(n0),P(n0+1),…,P(x)为真, 证P(x+1)为真. 归纳假设 y(n0yx), P(y)为真 例9 任何大于等于2的整数均可表成素数的乘积 证 归纳基础. 对于2, 结论显然成立. 归纳步骤. 假设对所有的k(2kn)结论成立, 要证结论 对n+1也成立. 若n+1是素数, 则结论成立; 否则n+1=ab, 2a,b<n. 由归纳假设, a,b均可表成素数的乘积, 从而n+1 也可表成素数的乘积. 得证结论对n+1成立.
14
数学归纳法的步骤(续)
注意: 归纳基础与归纳步骤两者缺一不可 反例1 命题 n1, 21+22++ 2n= 2n+1 证 假设n1, 结论成立, 则 21+22++ 2n+2n+1= 2n+1+2n+1 = 2n+2 对n+1结论成立, 故命题成立.
15
数学归纳法的步骤(续)
反例2 观察2n-1-1 是否被n整除
4
间接证明法
做法 证明“ ¬ B ¬ A”为真 理由 “AB为真” “ ¬ B ¬ A为真”
例2 若n2是奇数, 则n也是奇数. 证 用间接证明法. 只要证:若n是偶数, 则n2也是偶数. 假设n是偶数, 则存在kN, n=2k. 于是, n2 = (2k)2 = 2(2k2) 得证n2是偶数.
n 17 18 19 20 2n-1-1 65535 131071 262143 524287 整除 Y N Y N n 21 22 23 24 2n-1-1 1048575 2097151 4194303 8388607 整除 N N Y N
由上表可能会提出下述命题
命题 设n3, n是素数的充分必要条件是2n-1-1被n整除.
7
穷举法(分情况证明法)
推理AB, 其中A= A1A2…Ak. 做法 证明A1B, A2B,…, AkB 均为真 理由 A1A2…AkB ¬ 1A2…Ak)B (A (¬ 1¬ 2… ¬ k)B A A A
(¬ 1B)(¬ 2B)…(¬ kB) A A A
10
空证明法与平凡证明法
空证明法(前件假证明法) 做法 证明“A恒为假” 理由 “A恒为假” “AB为真” 例如, “是任何集合的子集”(定理1.1)的证明 平凡证明法(后件真证明法) 做法 证明“B恒为真” 理由 “B恒为真” “AB为真” 例如, 若ab, 则a0b0. 常在归纳证明的归纳基础中出现
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实例
例5 证明:max(a, max(b,c))=max(max(a,b),c) 证
情况 abc u=max(b,c) c
max(a,u)
c
v=max(a,b) b
max(v,c)
c
acb bac bca cab cba
b c c b b
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1.3 证明方法概述
• 逻辑推理的形式结构 • 证明方法 直接证明法 间接证明法 归谬法(反证法) 数学归纳法 穷举法 构造证明法 空证明法 平凡证明法 举反例——命题为假的证明
1
逻辑推理的形式结构
逻辑推理的形式结构 A1A2…AkB (*) 当(*)为重言式时, 记作 A1A2…AkB (**) 并称推理有效或推理正确, 又称B是A1,A2,…,Ak的有效(或 逻辑)结论; 否则称推理不正确. A (1) (2) (3) (4) 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 1 1 0 1 (1),(2),(4)推理正确 (3)推理不正确 (1)中B是A的逻辑结论,但不 是正确结论; (2)和(4)中B既 是逻辑结论,又是正确结论.
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归谬法(反证法)
做法 假设A真并且¬ B真, 推出矛盾, 即证明:A¬ B0 理由 A¬ B0为真 A¬ B为假 A为假或 B为真 AB为真
例3 若A-B=A, 则AB= 证 用归谬法, 假设AB, 则存在x,使得 xAB xAxB xA-BxB (A-B=A) xAxBxB xBxB, 矛盾
6
归谬法(续)
例4 证明 2 是无理数 证 假设 2 是有理数, 存在正整数n,m, 使得
2=m/n,
不妨设m/n为既约分数. 于是m=n 2 , m2=2n2, m2是偶数, 从而m是偶数. 设m=2k, 得 (2k)2=2n2, n2=2k2, 这又得到n也
是偶数, 与m/n为既约分数矛盾.
间接证明法是归谬法的特殊形式: ¬ ¬ A¬ B A, A0
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注释
归纳基础 证P(n0),P(n0+1),…,P(n1)为真, n0n1. 例10 可用4分和5分邮票组成n分邮资, n12. 证 归纳基础. 12=34, 13=24+5, 14=25+4, 15=35, 得证对n=12,13,14,15时结论成立. 归纳步骤. 设n15, 假设对12,13,…,n结论成立, 由12n-3< n和归纳假设, n-3分邮资可用4分和5分邮票组 成, 再加一张4分邮票即可得到n+1分邮资, 得证结论对n+1 也成立.
猜想 对所有n1, 1+2+ … +n=n(n+1)/2
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数学归纳法的步骤
(1)归纳基础 证P(n0)为真 (2)归纳步骤 x(xn0), 假设P(x)为真, 证P(x+1)为真. 称“P(x)为真”为归纳假设 例8 证明:对所有n1, 1+2+ … +n=n(n+1)/2 证 归纳基础. 当n=1时, 1=1(1+1)/2, 结论成立. 归纳步骤. 假设对n1结论成立, 则有 1+2+ … +n +(n+1)=n(n+1)/2 +(n+1) (归纳假设) = (n+1)(n+2)/2 得证当n+1时结论也成立.
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逻辑推理的证明
推理的常见形式: (1)若A, 则B (2)A当且仅当B (3)证明B 都可归结为形式(1) AB AB B
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直接证明法
做法 证明“若A为真, 则B为真” 理由 “若A为真, 则B为真” “AB为真”
例1 若n是奇数, 则n2也是奇数. 证 存在kN, n=2k+1. 于是, n2 = (2k+1)2 = 2(2k2+2k)+1 得证n2是奇数.
b c a b a
b a a b a
b c a b a
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构造证明法
推理AB, 其中B是存在具有某种性质的客体 做法 在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体
例6 对于每个正整数n, 存在n个连续的正合数. 证 令x=(n+1)! 则 x+2, x+3,…, x+n+1是n个连续的正合数: i | x+i, i=2,3,…,n+1
n 3 4 5 6 7 8 9 2n-1-1 3 7 15 31 63 127 255 整除 Y N Y N Y N N n 10 11 12 13 14 15 16 2n-1-1 511 1023 2047 4095 8191 16383 32767 整除 N Y N Y N N N
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反例2(续)
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命题为假的证明——举反例
例7 判断下述命题是真是假: 若AB=AC, 则B=C. 解 反例: 取A={a,b}, B={a,b,c}, C={a,b,d}, 有 AB=AC = {a,b} 但BC, 故命题为假.
12
数学归纳法的应用对象
命题形式: x(xNxn0), P(x) 命题的提出——归纳与猜想 例如, 观察 1 =1(1+1)/2 1+2 =3=2(2+1)/2 1+2+3 =6=3(3+1)/2 1+2+3+4 =10=4(4+1)/2 ……
但此命题不真. 561=31117是合数, 而2560-1能被561整除.
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第二数学归纳法
归纳基础 证明P(n0)为真 归纳步骤 x(xn0), 假设P(n0),P(n0+1),…,P(x)为真, 证P(x+1)为真. 归纳假设 y(n0yx), P(y)为真 例9 任何大于等于2的整数均可表成素数的乘积 证 归纳基础. 对于2, 结论显然成立. 归纳步骤. 假设对所有的k(2kn)结论成立, 要证结论 对n+1也成立. 若n+1是素数, 则结论成立; 否则n+1=ab, 2a,b<n. 由归纳假设, a,b均可表成素数的乘积, 从而n+1 也可表成素数的乘积. 得证结论对n+1成立.
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数学归纳法的步骤(续)
注意: 归纳基础与归纳步骤两者缺一不可 反例1 命题 n1, 21+22++ 2n= 2n+1 证 假设n1, 结论成立, 则 21+22++ 2n+2n+1= 2n+1+2n+1 = 2n+2 对n+1结论成立, 故命题成立.
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数学归纳法的步骤(续)
反例2 观察2n-1-1 是否被n整除
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间接证明法
做法 证明“ ¬ B ¬ A”为真 理由 “AB为真” “ ¬ B ¬ A为真”
例2 若n2是奇数, 则n也是奇数. 证 用间接证明法. 只要证:若n是偶数, 则n2也是偶数. 假设n是偶数, 则存在kN, n=2k. 于是, n2 = (2k)2 = 2(2k2) 得证n2是偶数.
n 17 18 19 20 2n-1-1 65535 131071 262143 524287 整除 Y N Y N n 21 22 23 24 2n-1-1 1048575 2097151 4194303 8388607 整除 N N Y N
由上表可能会提出下述命题
命题 设n3, n是素数的充分必要条件是2n-1-1被n整除.
7
穷举法(分情况证明法)
推理AB, 其中A= A1A2…Ak. 做法 证明A1B, A2B,…, AkB 均为真 理由 A1A2…AkB ¬ 1A2…Ak)B (A (¬ 1¬ 2… ¬ k)B A A A
(¬ 1B)(¬ 2B)…(¬ kB) A A A
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空证明法与平凡证明法
空证明法(前件假证明法) 做法 证明“A恒为假” 理由 “A恒为假” “AB为真” 例如, “是任何集合的子集”(定理1.1)的证明 平凡证明法(后件真证明法) 做法 证明“B恒为真” 理由 “B恒为真” “AB为真” 例如, 若ab, 则a0b0. 常在归纳证明的归纳基础中出现