四边形辅助线练习题

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形与梯形、在解决一些与四边形有关得问题时往往需要添加辅助线、下面介绍一些辅助线得添加方法、

一、与平行四边形有关得辅助线作法

平行四边形就是最常见得特殊四边形之一，它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形、

1。利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1 如图１,已知点O就是平行四边形ABCＤ得对角线AC得中点,四边形OＣDＥ就是平行四边形、

求证:ＯE与ＡD互相平分、

说明:当已知条件中涉及到平行，且要求证得结论中与平行四边形得性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形、

2。利用两组对边平行构造平行四边形

例2 如图２，在△ABC中，E、Ｆ为ＡB上两点,AE=BF,ＥD//AＣ，FG/／AＣ交BC分别为D,Ｇ、求证：ED+FG=AC、

说明:当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题、3．利用对角线互相平分构造平行四边形

例３如图3，已知AD就是△ABC得中线，BＥ交ＡC于E，交AD于F，且AE=EF、求证ＢF=AＣ、

图3 图4

说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上就是采用了平移法构造平行四边形、当已知中点或中线应思考这种方法、

二、与菱形有关得辅助线得作法

与菱形有关得辅助线得作法主要就是连接菱形得对角线，借助菱形得判定定理或性质定定理解决问题、

例4 如图５,在△ABC中,∠AＣB=９０°，∠BＡC得平分线交BＣ于点Ｄ,Ｅ就是AB上一点,且AＥ=AC，ＥＦ//BC交AD于点F,求证:四边形ＣDEF就是菱形、

例5 如图6，四边形ABＣＤ就是菱形,E为边AＢ上一个定点,F就是AC上一个动点,求证ＥF+BF得最小值等于DE长、

图6

说明:菱形就是一种特殊得平行四边形，与菱形得有关证明题或计算题作辅助线得不就是很多，常见得几种辅助线得方法有:（1）作菱形得高；(2）连结菱形得对角线、

三、与矩形有辅助线作法

与矩形有关得题型一般有两种:（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（２)证明或探索题，一般连结矩形得对角线借助对角线相等这一性质解决问题、与矩形有关得试题得辅助线得作法较少、

例６如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，ＰB=4,PC＝5、求 PD得长、

图７

四、与正方形有关辅助线得作法

A B C

D

E

M

N

正方形就是一种完美得几何图形,它既就是轴对称图形，又就是中心对称图形,有关正方形得试题较多、解决正方形得问题有时需要作辅助线,作正方形对角线就是解决正方形问题得常用辅助线、

例7如图8,过正方形AB ＣD 得顶点B 作BE ／/AC ，且AE=AC ，又C Ｆ//AE 、求证:∠ＢCF=∠A ＥＢ、 说明:本题就是一道综合题，既涉及正方形得性质,又涉及到菱形得性质、通过连接正方形得对角线构造正方形A ＨB Ｏ，进一步得到菱形，借助菱形得性质解决问题、

与中点有关得辅助线作法

一、有中线时可倍长中线,构造全等三角形或平行四边形．

例1．已知:如图,AD 为中线，求证：、

类题1。已知:如图，A Ｄ为得中线,A Ｅ=ＥF 、求证：BF=AC 、

二、有以线段中点为端点得线段时，常加倍此线段,构造全等三角形或平行四边形、

例２．已知：如图，在中，,M 为ＡB 中点,P 、Q 分别在AC 、BC 上，且于M 、求证:、 类题２。已知：得边B Ｃ得中点为Ｎ,过A 得任一直线于D ，于E 、求证:ＮE=N Ｄ、 三、有中点时，可连结中位线。

例3．如图，中，D 、E 分别为AB 、AC 上点,且ＢD=ＣE,M 、N 为BE 、CD 中点,连MN 交AB 、A Ｃ于P 、Q,求证：

AP ＝AQ 。

类题３.已知:如图，E 、F 分别为四边形A ＢＣＤ得对角线中点，AB 〉CD 、求证：、

类题4．如图,中，AD 就是高，ＣE 为中线，,G 为垂足，DC ＝B Ｅ、求证：（1）G 就是ＣE 得中点；(２）、

四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题

例4。已知:如图,在中,，A Ｂ=ＡC ，D 为ＢC 边中点，P 为ＢC 上一点，于F,于E 、求证：DF=ＤE 、 类题5．已知:如图,矩形ABCD,E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为A Ｅ中点，求证:、

六、与梯形中点有关得辅助线：有腰中点时,常见以下三种引辅助线法

例5.已知:如图,在直角梯形A ＢＣD 中,AD ∥BC,,Ｍ为CD 得中点、求证：A Ｍ=ＭB 、

类题6。已知:梯形ABCD 中,AB ∥CD ，E 为BC 中点，于Ｆ、求证：、 【作业】

1、 已知△AB Ｃ与△D ＢE 为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE ＝90°，A 、Ｂ、D 在同一直线上，Ｍ、Ｎ、Ｐ分别就是ＡＤ、A Ｃ、ＤE 边上得中点,试说明MP 与MN 得关系并证明.

2、如果上题中Ａ、B 、Ｄ不在同一直线上,其余条件不变,上述结论就是否发生变化?证明结论

.

3、平行四边形ABC Ｄ，对角线相交于点O ，P 、E 、F 分别就是AD 、OB 、O Ｃ得中点,ＡC=2AB 。 求证：PE=EF

4、等腰梯形ABC Ｄ中，DC ∥AB,∠ＡOB=６0°，E 、F 、Ｍ分别就是ＯＤ、ＯA 、BC 得中点。

求证:△EFM 就是等边三角形。 5、如图，在四边形ＡＢＣD 中,A Ｂ＝CD,M 、N 、Ｐ、Q 分别就是AD 、ＢC 、ＢD 、AC 得中点.求证:MN 与P Ｑ互相垂直平分。

6、如图，在△AB Ｃ中，Ｅ就是AB 得中点，CD 平分∠ＡCB,AD ⊥CD ，垂足为点D,求证:２ＤE ＝BC —AC

7、B Ｄ、CE 分别为△A ＢC 外角平分线,AM ⊥BD 于M ，AN ⊥C Ｅ于N ，探究ＭＮ与AB 、BC 、AC 得关系。 附加题: (1）若将上题中BD 改为∠ABC 得平分线,其它条件不变,则上题结论就是否成立.

A B D C

A B D

C

E

F A E D

G C B A D F B

C (1) E A

D B C (2)

E G A D

B C

(3)

E E

A B

D M C

A

D P B C

Q E M N

A

D

F E B C A F E D P C B B D C

F E A A P

M

Q B C N M P

E

D C B A

N

M P E D C B A A B C

D O

E P F

A

B

C D E

F M

O A B

C D M N P Q