经济学微积分定积分的应用,求面积、体积
七大积分总结范文
七大积分总结范文积分是微积分的一个重要概念，它在数学、物理及工程学等领域中具有广泛的应用。
在微积分中，积分被认为是导数的逆运算，可以用来求函数的面积、弧长、体积等。
在数学中，有七大积分，包括定积分、不定积分、曲线积分、曲面积分、重积分、线积分和路径积分。
下面将对这七大积分进行详细总结。
定积分是微积分中最基本的积分形式，它可以用于计算曲线下面积。
定积分被表示为∫f(x)dx，在区间 [a,b] 上计算函数 f(x) 的定积分，可以得到曲线 f(x) 和 x 轴之间的面积。
定积分的计算有很多方法，如牛顿-莱布尼茨公式、Riemann 可积性等。
定积分广泛应用于计算几何、物理学、经济学等领域。
不定积分是定积分的逆运算，表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x) 是函数 f(x) 的原函数，C 是常数。
不定积分求解的过程中，要确定函数 f(x) 的原函数 F(x)，然后加上一个常数 C。
不定积分在微积分中有着广泛应用，如求函数的原函数、求定积分中的不定系数等。
曲线积分是一种沿曲线或曲线段对给定函数进行积分的方法。
它可以用来计算沿曲线运动的物体的工作量、流量、质心等。
曲线积分有两种形式：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分表示为∫Cf(x,y) ds，第二类曲线积分表示为∫C Pdx + Qdy。
曲线积分的计算可以通过参数方程、向量法、Green 公式等方法进行。
曲面积分是对给定曲面上的函数进行积分的方法。
它可以用来计算质量、重心、通量等。
曲面积分有两种形式：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分表示为∫∫S f(x,y,z) dS，第二类曲面积分表示为∫∫S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy。
曲面积分的计算可以通过参数方程、向量法、高斯公式等方法进行。
重积分是对多元函数在给定区域上进行积分的方法。
它可以用来计算体积、质量、质心、惯性矩等。
重积分可以分为二重积分和三重积分。
变上限定积分导数的应用
变上限定积分导数的应用上限定积分导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来求解各种实际问题，在数学、物理、经济等领域都有广泛的应用。
下面将介绍变上限定积分导数的应用，并举例说明。
1. 面积和体积的计算：变上限定积分导数可以用来计算曲线围成的面积和曲线绕轴旋转所形成的体积。
当需要计算函数f(x)在区间[a,b]上的面积时，可以使用定积分∫[a,b]f(x)dx。
而如果需要计算区间[a,b]上由曲线y=f(x)绕x轴旋转所形成的体积时，则可以使用定积分∫[a,b]πf(x)^2dx。
上限定积分导数可以帮助我们求解这些问题。
2. 平均值的计算：利用上限定积分导数，我们可以计算一个函数在某个区间上的平均值。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的平均值，可以使用定积分∫[a,b]f(x)d x除以区间长度(b-a)来计算。
上限定积分导数可以帮助我们确定这个平均值。
3. 物理中的速度、加速度和位移：在物理学中，速度v是位移x对时间t的导数，加速度a是速度v对时间t的导数。
如果我们知道加速度函数a(t)在某个时间区间内的变化情况，可以通过上限定积分导数求解速度和位移函数。
速度函数v(t)可以通过定积分∫[t1,t2]a(t)dt求解，位移函数x(t)可以通过定积分∫[t1,t2]v(t)dt求解。
4. 经济学中的边际效应：在经济学中，边际效应是指某个变量增加一个单位所引起的效应变化。
边际效应可以通过上限定积分导数求解。
假设某个企业的生产函数为y=f(x)，其中y表示产出，x表示投入。
那么边际产出的变化可以通过上限定积分导数dy/dx求解，即求生产函数f(x)的导数。
5. 优化问题的求解：变上限定积分导数在求解优化问题中也有重要应用。
对于函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，可以通过上限定积分导数求得。
最大值可以通过上限定积分导数f'(x)在[a,b]上为零的点求得，最小值可以通过上限定积分导数f'(x)在[a,b]上不存在的点求得。
定积分求面积
解决物理问题
微积分基本定理在物理学中有广 泛的应用，例如在计算变速直线 运动的位移、变力做功等问题中
都会用到。
微积分基本定理的证明
证明方法
微积分基本定理的证明通常采用极限 的思想，通过将积分区间分成若干小 区间，然后在每个小区间上应用微元 法，最后取极限得到定积分的值。
关键步骤
证明的关键步骤包括构造原函数、应 用牛顿-莱布尼兹公式和取极限等。
积分常数倍性质
定积分具有积分常数倍性质，即∫[a,b] cf(x) dx = c∫[a,b] f(x) dx。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形的面积。例如，∫ab (f(x)) dx 表示曲线y=f(x)， 直线x=a和x=b所围成的曲边梯形的面积。
长度
定积分也可以用来计算曲线的长度。例如，对于参数方程x=φ(t), y=ψ(t) (a≤t≤b)所表示的曲线，其长度可以表示为∫ab [φ'(t)]^2 + [ψ'(t)]^2 dt。
总结词：量化分析
详细描述：在经济分析中，定积分求面积可 以用于量化各种经济指标。例如，在金融领 域中，可以通过定积分求面积的方法计算出 股票价格、期权价值等金融产品的变化范围 。此外，在市场营销中，也可以使用定积分 求面积的方法计算市场份额、销售量等指标
的变化趋势，从而更好地制定营销策略。
感谢观看
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，则该函数在区间$[a, b]$上的定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于 由$x=a$到$x=b$的区间内曲线$y=f(x)$与$x$轴、直线$x=a$和直线$x=b$所围成的平面图形的面 积。
定积分的应用
图1-1图1-2a =x x x x x x x i1定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。
在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。
恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。
凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。
正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。
以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。
1 定积分的概念的提出问题的提出曲边梯形的面积（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线a x =、b x =（b a <），x 轴及连续曲线)(x f y =（0)(≥x f ）所围成的图形。
其中x 轴上区间],[b a 称为底边，曲线)(x f y =称为曲边。
不妨假定0)(≥x f ，下面来求曲边梯形的面积。
由于cx f ≠)(（],[b a x ∈）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21b a x x ∈ ，12x x -很小时，)(1x f ，)(2x f 间的图形变化不大，即点1x 、点2x 处高度差别不大。
于是可用如下方法求曲边梯形的面积。
（1） 分割 用直线1x x =，2x x =，1-=n x x （b x x x a n <<<<<-121 ）将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形，区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =，n x b =。
区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -，用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度，i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积，),,2,1(n i =，整个曲边梯形的面积S 等于n 个小曲边梯形的面积之和，即∑=∆=ni i S S 1（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度i x ∆很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，用以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1）， 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.（3）求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和，即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同，i ξ选取不同是不一样的，即近似值与分割及i ξ选取有关（图1－2）。
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
定积分的几何应用
定积分的几何应用定积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是在几何学中的应用。
本文将探讨定积分在几何学中的具体应用，并解释其背后的原理和意义。
一、平面图形的面积通过定积分，我们可以计算出复杂平面图形的面积。
假设有一个曲线方程y=f(x)，该曲线与x轴所围成的图形为A。
我们可以将A分解成无限个极小的矩形条，然后通过求和的方式来逼近A的面积。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应小矩形的高度为f(xi)。
由于每个小矩形的宽度Δx非常小，因此在计算总面积时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：A = ∫[a,b] f(x) dx其中[a,b]表示x的取值范围。
通过对上述定积分进行求解，即可得到图形A的面积。
二、曲线的弧长除了计算平面图形的面积外，定积分还可以用来计算曲线的弧长。
假设有一个曲线L，其方程为y=f(x)。
我们希望计算出曲线L的弧长。
与计算面积类似，我们同样可以将曲线L分解为无限个极小的线段，然后通过求和的方式来逼近曲线L的弧长。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应线段的长度为Δs。
同样地，由于每个小线段的长度Δs非常小，因此在计算总弧长时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx其中[a,b]表示x的取值范围，f'(x)表示函数f(x)的导数。
通过对上述定积分进行求解，即可得到曲线L的弧长。
三、体积与质量除了平面图形的面积和曲线的弧长外，定积分还可以用来计算体积和质量。
当我们需要计算一个曲线绕某个轴旋转一周所形成的立体的体积时，定积分就派上用场了。
定积分应用旋转体体积公式
定积分应用旋转体体积公式
在微积分中，定积分可以应用于求解旋转体体积问题。
旋转体是指某个曲线绕某个轴线旋转得到的几何体。
定积分可以通过对曲线的旋转来计算旋转体的体积。
旋转体体积公式可以表示为：
V = π∫ a^b (f(x))^2 dx
其中，a和b分别是积分的上下限，f(x)是曲线方程。
这个公式的意思是，将曲线f(x)绕x轴旋转，所得到的旋转体体积V等于π乘以积分（a到b）f(x)的平方dx。
这个公式可以用来计算任意曲线绕x轴旋转所得到的旋转体体积。
例如，当f(x)为常数函数时，旋转体是一个圆柱体，公式可以化简为：
V = πr^2h
其中，r是圆柱体的半径，h是圆柱体的高度。
这个公式可以用来计算圆柱体的体积。
定积分应用旋转体体积公式是微积分中的一个重要应用，可以帮助我们计算各种形状的旋转体的体积。
- 1 -。
定积分和不定积分举例
定积分和不定积分举例定积分和不定积分是微积分的重要概念，它们在实际问题的建模和求解中具有重要的应用。
定积分和不定积分有着密切的关系，但又有着不同的性质和意义。
下面，我们将分别从概念、计算方法和应用角度对定积分和不定积分进行详细介绍。
首先，我们来介绍定积分。
定积分是对函数在一个区间上的“面积”或“积累”进行求解的操作。
它可以用于计算曲线下的面积、函数的平均值以及物理问题中的总量等。
定积分的定义涉及到区间、函数和极限，它表示一个函数在区间上的“累加效应”。
定积分的符号表示为∫，被积函数写在符号的右边，后面紧跟被积区间。
举一个简单的例子，我们考虑求解函数f(x) = x^2在区间[0,2]上的定积分。
根据定积分的定义，我们可以将区间[0,2]分成许多小的区间，并且在每个小区间上计算函数值与x轴之间的“高度×宽度”的面积，并将所有的小面积加和。
通过不断增加小区间的个数，我们可以使得这个和逐渐逼近函数在整个区间上的积累效应。
最终，我们可以得到函数f(x) = x^2在区间[0,2]上的定积分的值为8/3。
接下来，我们介绍不定积分。
不定积分是定积分的逆运算，它表示一个函数的反导函数。
不定积分的符号表示为∫，但是没有指定被积区间。
不定积分求解的结果是一个函数，而不是一个具体的数值。
我们可以通过对函数的求导运算来验证不定积分的结果。
不定积分的一个重要应用是求解函数的原函数，从而进一步计算定积分的值。
举一个简单的例子，我们考虑求解函数f(x) = 2x的不定积分。
根据不定积分的定义，我们需要找到一个函数F(x)，使得它的导函数等于2x。
通过对常数函数求导的逆运算，我们可以得到F(x) = x^2 + C，其中C为常数。
因此，函数f(x)的不定积分为∫2x dx = x^2 + C。
在实际应用中，定积分和不定积分有着广泛的应用。
比如，在物理学中，我们可以通过计算函数的定积分来求解物体的位移、速度和加速度等问题。
经济学微积分定积分的应用,求面积、体积
y=ƒ(x) y=g(x)
o a
x x+dx
b
x
x y 例：求由椭圆 2 2 1所围成 a b 的图形绕x轴旋转而成的
2
2
y
b 2 2 y a x a
旋转椭球体的体积．
O
a
x
x
解： 旋转椭球体可看作由上半椭圆
b 2 y a x2 绕x轴旋转。 a 2 2 a a b b 2 2 2 2 V a x d x 2 a x d x x 2 a a 0 a 4 ab2 3
d b
fx () d x fx () d x fx () d x S S S S 1 2 3 a c d
| f ( x)| dx
a b
由 y fxx () , a , x bx 及 轴 所 围 图 形 的 面 积 为 S () |x |fxd
由连续曲线y=f(x), x=a, x=b, y=0 所围图形绕x轴旋转一周 生成旋转体的体积为：
y f x
O
a x
b
x
V dx x f x
b 2 a
S f2(x ) x
y
d
x y
由连续曲线x= (y), y=c, y=d, x=0 所围图形绕y轴旋转一周 生成旋转体的体积为：
2 S ( xx ) d x 选x为积分变量 0 1
y
y2 x
(1,1)
y x2
[ x ]
2 3
3 x 3
3 2
1 0
1 3
2 3
o
y ]
3 2
1
x
经济学微积分定积分的应用求面积体积
(3) 生产多少单位产品才能获得最大利润；
(4) 最大利润是多少?
解：(1)
C( x) C(0)
x
C(t)dt 200
x
(16 0.002t)dt
0
0
16x 0.001x2 200
(2) L( x) R( x) C( x) px C( x) (20 0.001x)x (16x 0.001x2 200) 0.002x2 4x 200
S
2
y
4
2
dy
18.
选x为积分变量
2
8
S 0 2x ( 2x ) dx 2 ( 2x ( x 4))dx 18.
例：求由曲线 y 1 与y x, x 2 所围面积。
x
解： 画草图，
y y 1
x
2
1
S
1
(x
)dx x
c
d
b
S S1 S2 S3
f ( x)dx
a
c
f ( x)dx
d
f ( x)dx
b
a | f ( x) | dx
由y f ( x), x a, x b及x轴所围图形的面积为
b
S a | f ( x) | dx
一条曲线（积分变量为y）
y
d
x (y)
y
d
y
d
x (y) e
c
c
c
O
x
O
x
O
x
(1) ( y) 0 (2) ( y) 0
(完整版)定积分的简单应用——求体积
4.2定积分的简单应用(二)复习：（1） 求曲边梯形面积的方法是什么？（2） 定积分的几何意义是什么？（3） 微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。
求体积问题也是定积分的一个重要应用。
下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。
1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲）绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V ？分析：在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。
设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -∆=-，1,2,,i n =L 。
这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ∆的小圆片，如图乙所示。
当i x ∆很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。
因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=∆该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈∆+∆++∆L这个问题就是积分问题，则有：22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==⎰⎰归纳：设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=⎰ 2. 利用定积分求旋转体的体积（1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2） 分清端点（3） 确定几何体的构造（4） 利用定积分进行体积计算3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为2()b a V g y dy π=⎰类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。
微积分中的不定积分与定积分
微积分中的不定积分与定积分微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的变化率、极限和积分。
在微积分中，不定积分和定积分是两个重要的概念。
它们有着不同的性质和应用场景。
不定积分是指对函数进行积分运算得到的一类函数集合。
通常用符号∫f(x)dx表示，其中f(x)为被积函数，x为积分变量，dx表示积分变量的微元。
不定积分的结果是一个函数族，其中每个函数的导数都等于被积函数f(x)。
也就是说，不定积分反映了被积函数的原函数。
对于一个给定的函数f(x)，以及其不定积分∫f(x)dx，我们可以进行一些基本的运算。
首先，我们可以对常数进行积分运算。
积分运算满足线性性质，即对于任意实数a和b，有∫(af(x)+bf(x))dx=a∫f(x)dx+b∫f(x)dx。
其次，我们可以对不定积分进行微分运算。
根据牛顿-莱布尼茨公式，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有d/dx∫f(x)dx=f(x)。
因此，如果我们已经知道一个函数的不定积分，我们可以很容易地求出其导数。
不定积分在数学和物理学中有着广泛的应用。
首先，它可以用于计算函数的面积。
例如，给定一个曲线和两个竖直线段，我们可以通过计算曲线下方的面积来求解不定积分。
其次，不定积分可以用于求解微分方程。
微分方程是自然界和物理学中描述变化和运动的重要工具，而不定积分可以帮助我们找到这些方程的解。
而定积分则是对一个函数在给定区间上面积的度量。
通常用符号∫[a,b]f(x)dx表示，其中f(x)为被积函数，a和b为积分的上下限。
定积分的结果是一个实数，表示了函数在[a,b]区间上面积的大小。
通过定积分，我们可以求解函数的平均值、最大值和最小值等。
例如，如果我们想要求解一个函数在[a,b]区间上的平均值，我们可以计算定积分∫[a,b]f(x)dx，并除以区间的长度b-a。
同样地，通过定积分，我们可以计算曲线下方的面积、曲线长度、体积等。
定积分在科学和工程领域中有着广泛的应用。
微积分求法
微积分求法微积分是数学的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律以及相关的数学概念和计算方法。
通过微积分，我们可以解决许多实际问题，例如求曲线的斜率、计算曲线下的面积和体积等等。
本文将以微积分求法为主题，探讨微积分的应用和求解方法。
微积分的基础是导数和积分。
导数描述了函数在某一点上的变化率，可以理解为函数的斜率。
而积分则是导数的逆运算，描述了函数曲线下的面积或函数的累积变化量。
通过研究导数和积分，我们可以深入理解函数的性质和变化规律。
在微积分中，求导是一个重要的操作。
通过求导，我们可以求得函数在每一点上的斜率，从而了解函数的变化趋势。
求导的方法有很多，其中常见的方法包括基本求导法则、链式法则、乘积法则和商法则等。
这些方法可以帮助我们快速准确地求得函数的导数。
积分是求解曲线下的面积或累积变化量的方法。
在微积分中，积分有两种形式：不定积分和定积分。
不定积分可以看作是导数的逆运算，通过求不定积分，我们可以得到原函数。
而定积分则是求解曲线下的面积，它可以用于计算弧长、质量、体积等问题。
求解积分的方法有很多，常见的方法包括换元法、分部积分法和特殊积分法等。
微积分的应用十分广泛，几乎涉及到所有科学领域。
在物理学中，微积分可以用于描述物体的运动规律、计算力学量和能量等。
在经济学中，微积分可以用于分析市场需求和供给、计算边际效益和成本等。
在工程学中，微积分可以用于设计建筑、计算流体力学和电路分析等。
微积分还被广泛应用于统计学、生物学、计算机科学等领域。
除了求导和积分，微积分还包括一些其他的概念和方法。
例如，微分方程是描述变化率的方程，可以用于模拟和预测各种现象。
级数是由无穷个数相加或相乘而成的数列，可以用于近似计算和函数展开。
微积分还与向量、多元函数和空间曲线等概念有着密切的联系，通过对这些概念的研究，我们可以更加深入地理解微积分的应用和性质。
微积分是数学中的重要分支，它研究的是函数的变化规律和相关的数学概念。
通过微积分，我们可以解决许多实际问题，例如求曲线的斜率、计算曲线下的面积和体积等。
微积分 第六章 第四节 定积分的应用
4ab
1
ab .
0
22
2 0
sinn
xdx
n
n
n
n
1 1
n n n n
3 2 3 2
3 4 4 5
1 2 2 3
, n为正偶数
2
, n为大于1的奇数
19
例4 计算由曲线 y2 2x 和直线 y x 4所围成
的图形的面积. 解 两曲线的交点
y
y2 2x
(8, 4)
2
Vy 2
1 x 2x2dx .
0
o 1x
35
例12 求由曲线 y ( x 1)( x 2) 和 x 轴所围平面图
形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体体积.
解
Vy 2
2
x( x 1)( x 2)dx
.
1
2
y
y
a
b
12
o
xo
x
y f (x)
“套筒法”推广：
由平面图形 0 a x b, f ( x) y 0 绕 y 轴
t (t 2 x2 )dx
1
(
x2
t
2
)
dx
0
t
y
1
y = x2
[t 2 x
x3 3
]
t 0
x3 [
3
t
2
x]
1 t
4t 3 t 2 1 ， 0 t 1
3
3
t2
S2
S1
o
t1 x
S 4t 2 2t
令
2t(2t 1)
0 ，得驻点:
t
0, t
1，
2
经比较，当t 1 时两面积和最小.
定积分经济学应用
定积分经济学应用
定积分是微积分的一个重要分支，它在经济学中有广泛的应用。
下面将从不同的角度来阐述定积分在经济学中的应用。
一、利润和成本的计算
在商业经济学中，利润和成本是企业最为关注的指标。
通过定积分，可以精确地计算企业的利润和成本。
例如，利润可以用销售额减去成本来计算，而成本中的各项费用可以通过定积分来计算。
这样，企业就可以更加准确地了解自己的利润和成本情况，从而做出更好的经营决策。
二、消费者剩余的测算
在市场经济中，商品的价格由供需关系决定。
为了衡量市场价格的合理性，经济学家引入了消费者剩余这一概念。
消费者剩余是指消费者愿意为某种商品支付的最高价格与实际支付的价格之差。
通过定积分的计算，可以精确地测算消费者剩余的大小，进而了解市场经济的运行情况，为政策制定和市场规划提供参考。
三、市场需求的计算
市场需求是指所有购买该商品的消费者的数量总和。
定积分常常用于计算市场需求，这能够帮助企业预测未来市场的走势以及生产规模。
除此之外，市场需求的计算还可以帮助政府了解市场需求量的大小，从而决定政策的制定方向。
四、投资决策的分析
在投资决策中，经济学家需要对不同投资方案的收益率进行计算。
通过定积分，可以计算出不同时期内各种投资方案的收益率，并选择其中最优的投资方案。
这样，企业就可以获得更大的收益。
总而言之，定积分在经济学中有着广泛的应用。
其中，利润和成本的计算、消费者剩余的测算、市场需求的计算以及投资决策的分析都是常见的应用。
这些应用帮助企业和政府更好地了解市场经济的运行情况，从而做出更加合理的决策。
微积分课件(定积分及其应用
10 圆的渐伸线
11 笛卡儿叶形线
12 双纽线
13 阿基米德螺线
14 双曲螺线
15 求曲线 r 3cosθ 及 r 1 cos θ 分别所围成的图形的公共部分的 面积
16 求曲线 r 2sinθ 及 r2 cos2 θ 分别所围成的图形的公共部分的面 积
2
17 圆ρ 1被心形线 ρ 1 cosθ 分割为两部分，求这两部分的面积。
P
F (a,0)
0
r
F (a,0)
2a . x
. . . . .
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = , 3 , 5 , 7 36
. .
44 4 4
么么么么方面
• Sds绝对是假的
12. 例 求双纽线 r 2 2a 2 cos 2 所围面积
由对称性
S
r
(
)d
a cosd
切线所围成图形的面积
。
y
由 y x
。 。
得两切线的斜率为
k , k
l1
l2
故两切线为 l : y x , l : y x
其交点的横坐标为
x
o
3
x
3
S = 2 [4x 3 ( x 2 4x 3)]dx 0
[ x
( x
x
)]dx
–3
8
4. 曲边扇形的面积
分析
1. 曲线关于 y= x 对称
2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0
3. 令 y = t x, 得参数式
x
3at t3 1
y
3at 2 t3 1
(- t , t -1)
定积分的应用--简单几何体的体积
11
结论 2
旋转体由曲线x=(y), ya, yb
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
周后体积V b((y))2dy bx2dy
a
a
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12
探究3 设两抛物线yx22x,yx2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V？
精品文档
13
2. 5
2
y x2
1. 5
1
0. 5
fx = -x2+2x
a
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6
旋转轴是 x 轴的旋转体的体积公式是 V＝πb[f(x)]2dx(a＜b)．
a
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7
结论 1
由y f (x)，xa,xb和x轴围
成的平面图形绕x轴旋转一周，则
V=
b
2
(f (x)) dx
b y2dx
a
a
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8
练习： 一个半径为 1 的球可看作由曲线y 1x2
与 x 轴所围成的区域（半圆）绕 x 轴旋转一周得到 的，求球的体积。
本节课用定积分解决了 简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
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16
gx = x2
-2
-1
1
2
3
4
-0. 5
yx2 2x
-1
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14
-1. 5
结论 3
探由y f (x)2和y g(x)2所
围成的图形为M，将M绕
x轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体
的 体 积 V
b
[
f
(
x)2
g
(x)2
]d x
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Q(t)
t
f (s)ds
t (100 10s 0.45s2 )ds
0
0
100 t 5t 2 0.15t3 (吨)
Q Q(8) Q(4)
(100 8 582 0.15 83) (100 4 5 42 0.15 43)
10
| ln x | dx
0.1
y
y ln x
1
10
ln xdx ln xdx
0.1
1
x
ln
x
|1
0.1
1
xd ln x
0.1
o
x
x ln x |110
10
xd ln x
1
0.1ln0.1 1 0.1 10ln10 9 0.1ln10 0.9 10ln10 9
y2
2
dy
9
20
x y2
x
三、经济应用举例（一）
已知总产量的变化率求总产量
已知某产品总产量Q的变化率是时间t的连续函数
f(t),且时刻t0的产量Q0,即Q‘(t)=f(t), Q0=Q(t0) .则产品在 t时刻的总产量函数可表示为
t
Q(t) Q(t0 )
f (t )dt
t0
解 画草图.
解方程组
y y
2 x x2
得交点 (0, 0) 和 (1, 1)
y
y2 x
(1,1)
S
1
(
x x2 )dx
选x为积分变量
0
y x2
[
2 3
3
x2
] x3
3
11
03
o
1
x
1
另解. S ( 0
y
y
2
)dy
[
2 3
3
y2
]y3
3
1 1 03
15
16
5
32 3 2
(2, 4)
y 2x y x2
y
y x
(1,1)
O
x
求由x y2 , y 2x 1所围图形的面积，及绕x轴, y轴
旋转生成旋转体的体积.
解：画图，
y 2x 1
y
x y2
交点为(1,1),(1 , 1).
(1,1)
Oa x
bx
S x f 2(x)
y
d
x y
c
O
x
S y 2( y)
一般地, 由连续曲线 y =ƒ(x) 、 y =g(x) 和直线 x =
a 、x = b所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的立
体的体积为
Vx
b
[
f
2
(x)
g2
(
x)]dx
a
y
y=ƒ(x)
§6.4 定积分的应用
一、平面图形的面积 二、立体的体积 三、经济应用
一、平面图形的面积
平面图形面积可借助定积分几何意义进行求解。
一条曲线情形：（积分变量为x）
y
y Oa
S
bx
ya O
S
S1
bx
cO
a S2
d
S3
bx
(1) f(x)≥0,
(2) f(x)≤0,
（3）一般情况
b
S a f ( x)dx
(t0 0)
t
Q Q(t) Q(t0 )
f (t)dt
t0
(t0 0)
注：通常假设t0=0时，Q0=0即Q(t0)=0。
例：某产品总产量变化率为f(t)=100+10t-0.45t2
(吨/小时),求⑴总产量函数Q(t);⑵从t0=4到t1=8这
段时间内的总产量Q。
解：
y
y f2(x)
f2(c) f1(c)
S
c
a
f1( x)
f2( x) dx
oa c
bx
y f1( x)
b
c b f2(x)
f1( x)dx
a f2( x) f1( x) dx
注：求面积时保证被积函数的非负性
x y
y d
y d
c
O
e
x ( y)
(3) 生产多少单位产品才能获得最大利润；
(4) 最大利润是多少?
解：(1)
C( x) C(0)
x
C(t)dt 200
x
(16 0.002t)dt
0
0
16x 0.001x2 200
(2) L( x) R( x) C( x) px C( x) (20 0.001x)x (16x 0.001x2 200) 0.002x2 4x 200
1
o
x
而
S1
1a (1 x2 ax2 )dx
0
1 [ x 1 (1 a)x3 ] 1 a
3 0
2 3 1a
再由
S1
1 2
S
得
3
2 1 1a 2
1
(1
0x2)来自x1 3解之得
a3
二、平行截面面积已知的立体体积
设为一空间立体，夹在平面x a和x b(a b)之间,
解： 两曲线的交点
(8,4)
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
选 y为积分变量
y x4
(2,2) y2 2x
4
y2
S
2
y
4
2
dy
18.
选x为积分变量
2
8
S 0 2x ( 2x ) dx 2 ( 2x ( x 4))dx 18.
两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
(0,0), (2,4), (3,9).
选 x为积分变量
y x2
于是所求面积
S 0 ( x3 6x x2 )dx 2
3(x2 0
x3
6 x )dx
253. 12
y x3 6x
例：计算由曲线y2=2x和y=x-4直线所围成的图形的面积.
y
y f2(x)
积分区间的确定
oa c
bx
y f1( x)
选取积分变量 x 应为区域的左右两个边界点所确定的区间; 选取积分变量 y 应为区域的上下两个边界点所确定的区间;
被积函数应遵循的原则 ---大减小(x上减下, y右减左)
例：计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.
解
过任意点x [a, b]作垂直于x轴的平面,它截立体的截
平面的面积为S( x（) 连续）,则该立体的体积为
b
V a S( x)dx
y
S(x)
o
a
x
bx
具体求法如下：
1.分割 y
a x0 x1 L xn b
xi xi xi1
|| || m1iaxn {xi }
e
d
d
S c ( y)dy e ( y)dy c | ( y) | dy
由x ( y), y c, y d及y轴所围图形的面积为
d
S c | ( y) | dy
求由y ln x, x 0.1, x 10, y 0所围图形的面积.
解：S
9.9ln10 8.1
2条曲线（选择合适的积分变量）
b
b
y
y f2( x) S a f2 ( x)dx a f1( x)dx
y f1( x)
b
a ( f2( x) f1( x))dx
oa
b x 选x作为变量上边曲线减去下边曲线
f2( x) f1( x)
(3) L( x) 0.004x 4 L( x) 0 x 1000 L( x) 0.004 L(1000) 0.004 0 x 1000是极大值点,也是最大值点.
1
y)dy
例 设曲线 y 1 x2 , x 轴与 y 轴在第一象限所围的图形
被曲线 y ax2 (a分为0面) 积相等的两部分，试确定a的值.
解
如图，解方程组
y 1 x2
y ax2
y y 1 x2 y ax2
S1
得交点坐标 ( 1 , a )
S2
1a 1a
y 2x 1
4
S
1 1
2
y1 (
2
y2)
dy
1 16
Vx
1
0
2
1
x dx 1 2x 1
2
2
O
2
(0, 1)
dx
3
(1 ,0) 2 (1, 1) 42
Vy
1 1
2
y
2
1
2
dy
1
1 2
b
S a | f ( x) | dx
一条曲线（积分变量为y）
y
d
x (y)
y
d
y
d