矩阵级数 ppt课件
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6-2 矩阵级数
A
(k ) 1
( aijk) ∑k=0 ∑i=1∑j=1 m n ∞
都收敛 ,由于 由于
m n
= max ∑ a
m j
(k ) i=1 ij
( ≤ ∑i=1 ∑j=1 aijk )
由正项级数的比较判别法， 由正项级数的比较判别法，
Department of Mathematics
可知级数 ∑k=0
∞
S = ∑k=0 A
∞
(k )
( n aijk) = sij i =1,L, m; ∑k=0
∞
j =1,L, n;
π
1 例1. 2k (k ) 已知矩阵序列{A } 的通项为A(k) = 0 ∞ A(k ) 判断矩阵级数 的敛散性 k =0
∑
4k 1 (k +1)(k + 2)
A(0) B(0) + ( A(0) B(1) + A(1) B(0) ) +L+ ( A(0) B(k ) +L+ A(k ) B(0) ) +L
绝对收敛, 绝对收敛 记: S
S
(n) 3 n
(n) 1
= ∑k=0 A
n
(k )
S
(n) 2
= ∑k=0 B(k)
n
( ( 则 S1(n)S2n) − S3n) = A(1) B(n) + A(2) B(n−1) +L+ A(n) B(1) +L+ A(n) B(n)
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当 ρ ( <
∞
R 时，幂级数
k k i
∑c λ
(k ) 1
( aijk) ∑k=0 ∑i=1∑j=1 m n ∞
都收敛 ,由于 由于
m n
= max ∑ a
m j
(k ) i=1 ij
( ≤ ∑i=1 ∑j=1 aijk )
由正项级数的比较判别法， 由正项级数的比较判别法，
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可知级数 ∑k=0
∞
S = ∑k=0 A
∞
(k )
( n aijk) = sij i =1,L, m; ∑k=0
∞
j =1,L, n;
π
1 例1. 2k (k ) 已知矩阵序列{A } 的通项为A(k) = 0 ∞ A(k ) 判断矩阵级数 的敛散性 k =0
∑
4k 1 (k +1)(k + 2)
A(0) B(0) + ( A(0) B(1) + A(1) B(0) ) +L+ ( A(0) B(k ) +L+ A(k ) B(0) ) +L
绝对收敛, 绝对收敛 记: S
S
(n) 3 n
(n) 1
= ∑k=0 A
n
(k )
S
(n) 2
= ∑k=0 B(k)
n
( ( 则 S1(n)S2n) − S3n) = A(1) B(n) + A(2) B(n−1) +L+ A(n) B(1) +L+ A(n) B(n)
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当 ρ ( <
∞
R 时，幂级数
k k i
∑c λ
矩阵级数
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c di 1 kdi 1 ki
c1 k1 ki ik
di di
所以
ck Ak ck (PJ k P1)
k 0
k 0
= P( ck J k )P1
k 0
= Pdiag(
，则它们按项
与B(k) k 0
相乘所得的矩阵级数
A(0) B(0) ( A(0) B(1) A(1) B(0) ) ( A(0) B(k)
也绝对收敛，且其和为AB
证明：只证4.及5.
均绝对收敛
A(k) B(0) )
4.因
A(k) A，记 S (n)
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其中
i
J
i
(i
)
1
i
(i 1, 2, , r) 1
i di di
于是
Ak
Pdiag( J1k
(1),
J
k 2
(2 ),
,
J
k r
(r
))
P
1
ik
J
k i
(i
)
c1 k1 ki ik
sA( k )(
n)
1
2k
a1
(1
q4kn
)
0
1 q11
(k 11)(2k
1 22) 3
1 34
大学数学矩阵ppt课件
，达到降维的目的。
矩阵运算过程
02
构建协方差矩阵，计算特征值和特征向量，选择主成分进行投
影。
应用场景
03
高维数据处理、数据可视化、异常检测等。
图像处理和计算机视觉中矩阵运算实例
图像处理基础
图像可以表示为矩阵，矩阵运算可用于图像处理的各种操作，如 滤波、变换等。
计算机视觉应用
矩阵运算在计算机视觉领域有广泛应用，如目标检测、图像分割等 任务中的特征提取和降维处理。
拓展延伸：广义逆矩阵、张量等概念简介
广义逆矩阵
介绍广义逆矩阵的概念、性质及其在解决实际问题中的应用，如最小二乘法等。
张量简介
引入张量的概念、性质及其在数学、物理和工程领域的应用，为学生提供更广阔的视野。
THANKS
感谢观看
适用于求解中小规模线性方程组，具有计算简单、直观易懂等优点。
矩阵求逆方法及性质讨论
要点一
矩阵求逆方法
包括伴随矩阵法、初等行变换法等，用于求解方阵的逆矩 阵。
要点二
逆矩阵性质讨论
探讨逆矩阵的唯一性、性质及其在线性方程组求解中的应 用。
线性方程组解存在性判定
齐次线性方程组解存在性 判定
利用系数矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关 系，判断齐次线性方程组是否有非零解。
具体实例
卷积神经网络中的卷积运算、图像压缩中的离散余弦变换等。
机器学习算法中优化问题转化为矩阵形式求解
机器学习优化问题
许多机器学习算法可以转化为优 化问题进行求解，如线性回归、
支持向量机等。
矩阵形式表示
优化问题可以表示为矩阵形式，便 于使用矩阵运算进行高效求解。
求解方法
常用的求解方法包括梯度下降法、 牛顿法等，这些方法可以通过矩阵 运算实现并行计算，提高求解效率 。
2.3矩阵级数与方阵的幂级数ljg
若 lim S
N →∞ N
=S
∞ k =1
(收敛 则称级数∑ A 收敛 收敛), 收敛, 收敛
k =1 k ∞ k k =1 k
Hale Waihona Puke ∞S 为级数 ∑ A 的和 记作 ∑ A = S . 的和,
发散, 若 { S }发散 则称 ∑ A 发散 发散.
∞
n k =1 k
收敛, 定理 A ∈ C , ∑ A 收敛
矩阵级数是绝对收敛 绝对收敛的 称 ∑ A 矩阵级数是绝对收敛的. 性质1 A ∈ C , ∑ A 绝对收敛
m× n k
k =1 k ∞
收敛. ⇒ ∑ Ak 收敛.
k =1
∞
性质2
⇔
Ak ∈ C
n× n
方阵, 方阵 ∑ A 绝对收敛
k =1 k
∞ k =1 k
∞
对任意方阵范数 || ⋅ || , 有∑ || A ||收敛. 收敛
∞ k k =0 k 0
则当 ρ ( A − λ E ) < R 时,
0
绝对收敛; ck ( A − λ0 E )k 绝对收敛 ∑
k =0
∞
发散. 当 ρ ( A − λ E ) < R 时, ∑ c ( A − λ E ) 发散
k
0
∞
k =0
k
0
推论2 推论 若 ∑ c z 收敛半径为 +∞ , 则对任意方阵 A ,有 有
n×n n× n k
∑c A
k =0 k
∞
k
称为方阵的幂级数 . 称为方阵的幂级数
2. 方阵的幂级数的收敛性
定理: 定理 设复数项级数(幂级数 幂级数) 设复数项级数 幂级数 ∑ c z 的收敛半
N →∞ N
=S
∞ k =1
(收敛 则称级数∑ A 收敛 收敛), 收敛, 收敛
k =1 k ∞ k k =1 k
Hale Waihona Puke ∞S 为级数 ∑ A 的和 记作 ∑ A = S . 的和,
发散, 若 { S }发散 则称 ∑ A 发散 发散.
∞
n k =1 k
收敛, 定理 A ∈ C , ∑ A 收敛
矩阵级数是绝对收敛 绝对收敛的 称 ∑ A 矩阵级数是绝对收敛的. 性质1 A ∈ C , ∑ A 绝对收敛
m× n k
k =1 k ∞
收敛. ⇒ ∑ Ak 收敛.
k =1
∞
性质2
⇔
Ak ∈ C
n× n
方阵, 方阵 ∑ A 绝对收敛
k =1 k
∞ k =1 k
∞
对任意方阵范数 || ⋅ || , 有∑ || A ||收敛. 收敛
∞ k k =0 k 0
则当 ρ ( A − λ E ) < R 时,
0
绝对收敛; ck ( A − λ0 E )k 绝对收敛 ∑
k =0
∞
发散. 当 ρ ( A − λ E ) < R 时, ∑ c ( A − λ E ) 发散
k
0
∞
k =0
k
0
推论2 推论 若 ∑ c z 收敛半径为 +∞ , 则对任意方阵 A ,有 有
n×n n× n k
∑c A
k =0 k
∞
k
称为方阵的幂级数 . 称为方阵的幂级数
2. 方阵的幂级数的收敛性
定理: 定理 设复数项级数(幂级数 幂级数) 设复数项级数 幂级数 ∑ c z 的收敛半
矩阵代数ppt课件
特征向量
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
4-1,2矩阵级数
π
研究矩阵级数 ∑ A k 的收敛性 提示：由 S = ∑ A = 提示： N k
k =1 N
π
1 1− 9 4 1 1− N +1
N
故有
π 1 S = 9 0 1
收敛矩阵级数的性质： 收敛矩阵级数的性质： （1）若矩阵级数 ∑ A k 收敛，则 lim A k = 0 ; 若矩阵级数 收敛，
n×n
如果有 lim Ak = 0 则称A为收敛矩阵。 则称A为收敛矩阵。 , k →∞
lim k 定理： 定理：设 A ∈ C n×n , 则 k →∞ A = 0 的充分必要条件为 ρ ( A) < 1
证明
由Rordan分解定理，存在可逆矩阵P，使得 Rordan分解定理，存在可逆矩阵P 分解定理
正项级数 ∑ Ak 收敛
k =1
∞
方阵幂级数
∑a A
k =1 k
∞
k
= a0 I + a1 A + a2 A + ⋯ + ak A + ⋯
2 k
A ∈ C n×n , ak ∈ C
矩阵幂级数也有类似于数项幂级数的收敛定理： 矩阵幂级数也有类似于数项幂级数的收敛定理： 定理： 定理：设 A ∈ C
n×n
m×n 定理：设矩阵序列{A 定理：设矩阵序列{Ak}, Ak ∈ C , k = 1,2,⋯ 若 lim
lim 则对于任一范数矩阵有 k →∞ Ak = A
提示：利用矩阵范数的性质 提示：
k→ ∞
Ak = A
Ak − A ≤ Ak − A
及矩阵序列的收敛性即可。 及矩阵序列的收敛性即可。 说明：此定理的逆命题不正确，反例见P97例 说明：此定理的逆命题不正确，反例见P97例2 P97
2024全新矩阵及其运算ppt课件
06
矩阵在实际问题中应 用举例
图像处理中矩阵运算应用
图像表示
将图像转换为矩阵形式，每个像 素点对应矩阵中的一个元素，方
便进行数学处理。
图像变换
通过矩阵运算实现图像的旋转、缩 放、平移等变换，满足图像处理的 各种需求。
图像压缩
利用矩阵分解等技术，对图像数据 进行压缩，减少存储空间和提高传 输效率。
一个矩阵可以与一个数相 乘，相乘的结果是一个维 度相同的矩阵，其元素为 原矩阵对应位置的元素与 数的乘积。
两个矩阵可以相乘当且仅 当第一个矩阵的列数等于 第二个矩阵的行数。相乘 的结果是一个维度为 $(m,p)$的矩阵，其中$m$ 为第一个矩阵的行数，$p$ 为第二个矩阵的列数。新 矩阵的元素由第一个矩阵 的一行与第二个矩阵的一 列对应元素相乘后求和得 到。
矩阵定义及表示方法
end{pmatrix}$
这$m times n$个数称为矩阵A的元素，简称为元，数$a_{ij}$位于矩阵A的第$i$行第$j$列 ，称为矩阵A的$(i,j)$元，以数$a_{ij}$为$(i,j)$元的矩阵可记为$(a_{ij})$或$(a_{ij})_{m times n}$，$m times n$矩阵A也记作$A_{mn}$。
单元刚度矩阵
根据单元的物理特性和形状函数，构造单元刚度矩阵，反映单元 的力学特性。
整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵按照一定规则组装成整体刚度矩阵，用于 求解整个系统的力学响应。
THANK YOU
配方法
通过配方将二次型化为标 准型。
合同变换法
利用合同变换将二次型化 为标准型。
正交变换法
利用正交变换将二次型化 为标准型。
正交变换在二次型化简中应用
高等代数课件PPT之第4章矩阵
策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分， 平手各得零分
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
矩阵论-矩阵级数
例：判断矩阵序列Ak的敛散性.
1 0 0
(1)
A
1 0
11,
(2)
A
0.9
0
01.9,
(3)
A
0 0
0.9 0
1 , 0.9
0.3 0.8 (4)A 0.6 0.1
1 0
0
1 0 0
解：(3)Ak 0
0.9k
k
0.9k
1
,
故
limA k
k
0
0 0.
0 0 0.9k
0 0 0
(4) A 0.9 1,故Ak收敛，且lim Ak 0.
Ck2i k2 kik1
i
ik
例：判断矩阵序列Ak的敛散性.
1 0 0
(1)
A
1 0
11,
(2)
A
0.9
0
01.9,
(3)
A
0 0
0.9 0
1 , 0.9
0.3 0.8 (4)A 0.6 0.1
解：(1)Ak
1 0
k 1
,
故
limA k
k
发散.
(2)(A) 0.9 1,故limA k 0. k
yH ( cmAm ) y cm yH Am y cm yH km y cmkm yH y
m0
m0
m0
m0
cmkm也收敛. 与Able定理矛盾. m0
故当(A) R时， cmAm发散. m0
注：定理1实际上定义了一种映射f(z)= cmzm , z R(收敛半径)， m0
A Cnn满足(A) R, f (A)= cmAm收敛，所以对应一个矩阵， m0
5.2矩阵级数
zk
的收敛半径为2，再求A的特
征值为 1 1.1, 2 0.4 ，则谱半径 ( A) r ，
由此可得此矩阵级数绝对收敛。
都绝对收敛，其和分别为A与B . 则级数 与
级数 按项相乘所得的矩阵级数
S3：A(1) B(1) ( A(1) B(2) A(2) B(1) ) ( A(1) B(3) A(2) B(2) A(3) B(1) )
( A(1) B(k ) A(2) B(k 1) A(k ) B(1) )
k
A(i) B(k 1i)
k 1 i1
绝对收敛，且和为AB.
定理5.4 方阵A 的幂级数（Neuman级数）
收敛 A 为收敛矩阵，且在收敛时，其和为 .
证 必要性. 由于该矩阵幂级数的第i 行第 j 列的元素是数项级数
因为
收敛，所以
从而
即 A 为收敛矩阵.
充分性. 由于 可逆，又因为
1
例5.2
已知 A(k )
2k 0
3 4k
1 k
(k
1)
研究矩阵级数
的收敛性.
解 因为
S N
N
A(k )
N k 1
1 2k
k 1
0
N
k 1 3 4k
N
k 1
1
k
(k
S (N )
N
1 0
9 1
所以，级数收敛.
定义5.6 如果 绝对收敛的，则称
中的mn个数项级数都是 是绝对收敛的.
的收敛半径为r ，如果方阵A 的特征值为
1, 2 , , n ，当 i 0 r i 1,2, , n
时，则方阵级数
绝对收敛；若
存在j，使得 j 0 r ，则方阵级数
第4讲(1)矩阵序列与矩阵级数、矩阵函数
设A为方阵，且当k趋于无穷时，Ak趋于0，则称A为 收敛矩阵. 定理2：A是收敛矩阵的充要条件是(A)<1.
定理3：A是收敛矩阵的充要条件是存在某种矩阵范 数满足||A||<1.
5
2. 矩阵级数
矩阵级数 A( k ) 收敛到S，是指它的部分和序列
S N A 收敛，且极限为S.
(k ) k 0 N k 0
0 e 2t 0
0 0 1 1 2t te 0 1 0 1 1 1 e 2t
0 1 0 2t e t 1 t t t t 1 t
32
例
设
2 0 0 A 1 1 1 , 1 1 3
阵A满足(A)<r，则矩阵幂级数 ck A 绝对收敛；
k
k 0
若(A)>r，则矩阵幂级数发散.
k 0
10
3. H 矩阵
引理 1：设 r 阶方阵 H 为
0 1 H 1 0 则当 k r 时, H k O, 当 k r 时,
1 2!
f (i )
1 ( r 1 )!
f ( r 1 ) ( i ) 1 2! f ( i ) f ( i ) f (i )
15
1 k 1 J ik (i E H )k ik E Ck i H Ckk 1i H k 1 H k
22
矩阵函数的性质
性质：设A, B为 n 阶方阵，则 d At (1) e e At A dt
( 2) (e A )1 e A
23
e
At
2024年度矩阵分析课件精品PPT
2024/3/24
6
矩阵性质总结
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
05
2024/3/24
(A+B)+C=A+(B+C)，(AB)C=A(BC)。 A+B=B+A，但AB≠BA。 (A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB。 λ(μA)=(λμ)A，(λ+μ)A=λA+μA。 λ(A+B)=λA+λB。
12
03
线性方程组与矩阵解法
2024/3/24
13
线性方程组表示形式
80%
一般形式
Ax = b，其中A为系数矩阵，x为 未知数列向量，b为常数列向量 。
100%
增广矩阵形式
[A|b]，将系数矩阵A和常数列向 量b合并为一个增广矩阵。
80%
向量形式
x = Ab，表示通过矩阵A的逆求 解未知数列向量x。
04
典型例题解析
10
秩及其求法
2024/3/24
01
矩阵秩的定义与性质
02
利用初等变换求矩阵秩的方法
03
利用向量组的极大无关组求矩阵秩的方法
04
典型例题解析
11
典型例题解析
01 02 03 04
2024/3/24
初等变换与初等矩阵相关例题 矩阵等价性判断相关例题 秩及其求法相关例题 综合应用相关例题
矩阵分析课件精品PPT
2024/3/24
1
目
CONTENCT
录
2024/3/24
• 矩阵基本概念与性质 • 矩阵变换与等价性 • 线性方程组与矩阵解法 • 特征值与特征向量 • 相似对角化与二次型 • 矩阵函数与微分方程求解
线性代数(第二版)第四节矩阵级数
证明 如果 A 可与对角矩阵相似，则存在 n 阶 可 逆 矩 阵 P ， 使 得 P -1A P = ， 其 中
= diag( 1 , 2 , … , n ) 1 , 2 , … , n 是 A 的 全 部 特 征 值 ， 由 此 可 得
A k = P kP -1 而
k = d ia g ( 1k , 2k , … , nk ) 不 难 看 出 ， Ak O ( k ) 的 充 分 必 要 条 件 是 k O ( k ) . 而 k O ( k ) 的 充分必 要
该矩阵级数收敛. 否则，称该矩阵级数发散.
当矩阵级数 A ( k ) 收敛于 S 时，就称 S 是该 k 1
矩阵级数的和. 记作
A(k) S
k 1
对于 n 维 (列) 向量序列 { (k) } ，可以类似地定
义向量无穷级数及其敛散性.
例 3 讨论向量无穷级数 ( k ) 的敛散性. k 1
线性代数（第二版）第四节矩阵级 数
一、矩阵序列和 矩阵级数的收敛性质
定理 4.5 设 A(k) 为实数域上的矩阵：
a1(k1) A(k) a2(k1)
am (k1)
a(k) 12
a(k) 22
a(k) m2
a(k) 1n
a(k) 2n
,
am (k)n
k1,2,
A(1) , A(2) , … , A(k) , … 称为矩阵序列，简记为
敛. 即数项级数
ij
a (1) j 1,2, , n) (4.14 )
收敛. 其中
ij
1,
0
,
i j i j
(i, j 1,2 , , n )
而 数 项 级 数 (4.14) 收 敛 的 必 要 条 件 是 其 一 般 项
矩阵及其运算PPT课件
第9页/共2题 (课后题2题)：
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
23
3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
设
1 A 1
1 1
1 1 2 3 1, B 1 2 4
1 1 1 0 5 1
求3AB 2A及 AT B
2 13 22
0 5 8
答案：3AB 2A 2 17 20 , AT B 0 5 6.
第22页/共24页
六、方阵的行列式
2010年期末考题(I)
二、选择（每题4分，共16分）
1、设A与B均为n阶方阵，则下列结论中成立的是( B )
A. |AB|=0,则A=0或B=0; B. |AB|=0,则|A|=0或|B|=0； C. AB=0,则A=0或B=0; D. AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0；
T ，
则An ____1___12.
1 3
23
3
n
1
2
1
2 3
矩阵拆分相乘
3
3
1
2
第13页/共24页
2012年期末考试题
二项式法
1
4、设A
0
0 0
2012年期末考试题
0
1
,
则A
n
n nn1
_0____n .
0
0
n(n 1) n2
2
nn1
n
五.(10分)(线性代数I，36学时专业学时做 )设
转置矩阵的运算性质 (1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
第2页/共24页
由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式叫做方阵A 的行列式, 记作 | A | 或 detA .
1.3——矩阵线性代数课件PPT
A,C可逆，A C 2 0可逆，但A1 C 1 ( A C )1 0 1
故 ( A B)1 A1 B1
例 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明 由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
则称A为可逆矩阵, A1为A 的逆阵.
1、可逆矩阵的概念和性质
定义 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B, 使得
AB BA E
则称矩阵A是可逆的, 并把矩阵B称为A的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1, 即 A1 B
注 可逆矩阵也称为非退化阵或非奇异阵.
注 方阵才有可逆矩阵.
例
设
1
A
1
1 1 2
1
,
B
1
2
1 2
1
2
解 因为 AB BA E, 则B是A的一个逆矩阵.
定理 (唯一性) 若A是可逆矩阵, 则其逆矩阵是唯一的. 证 设B和C 都是A的逆矩阵, 则有
AB BA E, AC CA E 可得 B EB (CA)B C( AB) CE C
所以A的逆矩阵是唯一的, 即 B C A1
逆矩阵的求法一：待定系数法（第2章讲解）
a1
注 对角矩阵 A
a2
,其中
a1a2
an nn
对角矩阵A可逆, 且其逆矩阵
an 0
1 a1
A1
1 a2
1
an
nn
单位阵E可逆, 且其逆矩阵为其自身: E 1 E
逆矩阵的运算性质
1 若A可逆,则A1亦可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
北航矩阵论课件7-4.2矩阵级数
4.2矩阵级数定义设矩阵序列，则无穷和{})(k A++++)()1()0(k AAA称为矩阵级数，记为∑∞=0)(k k A，即有++++=∑∞=)()1()0(0)(k k k AA AA定义设，称其为矩阵级数的部分和. 如果矩阵序列收敛，且有∑==Nk k N AS)()({})(N SSSN N =∞→)(lim 则称矩阵级数收敛，且和是S ，记为∑∞=0)(k k A∑∞==0)(k k A S ，不收敛的矩阵级数称为是发散的.π定义如果中的mn 个数项级数都是绝对收敛的，则称是绝对收敛的.∑∞=0)(k k A∑∞=0)(k k A 性质1若是绝对收敛的，则它也一定收敛，并且任意调换其项的顺序所得的级数还是收敛的，且其和不变.∑∞=0)(k k A∞∞性质3如果是收敛（或绝对收敛）的，那么也是收敛（或绝对收敛）的，并且有()∑∞=0k k A()∑∞=0k k Q PA ()()QA P Q PA ⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∞=∞=00k k k k 证因为收敛，设其和为S ，令()∑∞=0k k A()∑==Nk k )N (0AS，则有，于是，S S =∞→)N (Nlim 当，所以它是收敛.时，∞→N ()PSQ Q PS →N()()()++++k :S BBB102都绝对收敛，其和分别为A 与B . 则级数与1S 级数按项相乘所得的矩阵级数2S ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()∑∑∞==--⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++++++++0001100211200110003k ki i k i k k k S B A BA BA BA B A B A BA BA B A BA：绝对收敛，且和为AB .∞∞绝对收敛.的一种特殊排法⎪⎭⎫BB A()()()()()()()()()()()()()+⎪⎭⎫⎝⎛∙-∙+++++∑∑∑∑-=-===10100001111000k j j k i i kj j ki i B A B A BA BA BA BA 设与的k 项部分和为，则1S 2S )(2)(1k k S S 与3S 的部分和矩阵序列为,,,,)(2)(1)2(2)2(1)1(2)1(1k k SSSSSS所以()()()()ABS S S S =∙=∞→∞→∞→k k k k k k k lim lim lim 2121故矩阵级数的和为AB . 证毕3S矩阵幂级数定义设，称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。
矩阵及其运算课件PPT学习教案
☞ (1) | AT || A |
(2) | A | n | A |
(3) | AB || A || B | (4) | AB || BA |
第17页/共72页
三、几类特殊的矩阵
1.数量矩阵： 矩阵 k E 称为数量矩阵。
1 0 ... 0 k 0 ... 0
kE
k
0 ...
1 ...
元素是实数的矩阵，称为实矩阵； 元素是 复数的 矩阵称 为复矩 阵。 行数与列数都等于 n 的矩阵称之为 n 阶方阵，记作 An。
第4页/共72页
2.行矩阵、列矩阵与方阵 只有一行的矩阵称行矩阵，又称行 向量。 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称 为列向 量。 行数与列数都等于n的矩阵叫方阵 ，记为A n。
二、可逆矩阵的判断
1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则
B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2
第28页/共72页
2.若| A|≠0，则 A可逆，且
A1 1 A* A
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
1 3 0 0 1 5
B
0 0
0 0
1 0
0 1
2 0
0 9
0 0 0 0 0 0
第20页/共72页
5.正交矩阵： 若 n 阶方阵 A 满足 AAT= ATA=E 称 A为正交矩阵。 6.幂等、幂零、幺幂矩阵： 若 n 阶方阵A满足：
A2 = A，称 A为幂等矩阵 Ak = O，称 A为幂零矩阵 Ak = E，称 A为幺幂矩阵 7.伴随矩阵：设 A=(aij)n×n，矩阵A中元素aij的代数余子式Aij构成的如下矩阵
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第四章 矩阵分析
1·矩阵序列与矩阵级数 2·矩阵函数 3·函数矩阵与矩阵值函数的微分及应用
PPT课件
第一节 矩阵序列 第二节 矩阵级数
主要内容 矩阵序列及其收敛性 2·矩阵级数的收敛性 3·矩阵幂级数的收敛性
PPT课件
矩阵序列的极限
矩阵序列{Ak}收敛于A当且仅当相应的元素序列是收敛的。
即设 Ak (ai(jk) ), A (aij )
矩阵级数收敛当且仅当相应的mn个数项级数是收敛的。
即设 Ak (ai(jk) ), A (aij ) 则
Ak A
a(k) ij
aij
k 1
k 1
PPT课件
பைடு நூலகம்
例1、已知
1
Ak
2
k
0
3 4k 1
k 1,2,
kk 1
其中
i 1
i 1
Ji
i
1
i ni ni
PPT课件
则
P 1 Ak P
Jk
diag
J
k 1
,
J
k 2
,,
J
k s
因此lim Ak k
0 lim J k k
0
lim
k
J ik
0 i
1,2,, s
PAk Q
k 1
收敛，且 PAk Q P( Ak )Q
k 1
k 1
PPT课件
绝对收敛
如果矩阵级数相应的每个数项级数是绝对收敛的，则 称该矩阵级数是绝对收敛的。 利用数学分析中的相应结果，可得到： 性质1：若矩阵级数绝对收敛，则该矩阵级数一定收敛。
性质2： 矩阵级数是绝对收敛的充要条件为
设矩阵序列{Ak}, Ak C mn , k 1,2,
如果存在矩阵 AC mn , 使得对于矩阵A的任一范数有
lim
k
Ak
A
0
则称矩阵序列{Ak}收敛于A，或称矩阵A是矩阵序列{Ak}的 极限,记作
lim
k
Ak
A
如果矩阵序列{Ak}不收敛，则称它是发散的。
PPT课件
研究矩阵级数 Ak 的收敛性
k 1
提示：由 S N
N
Ak k 1
1
1 2
N
0
9
1
1 4
N
1 1
N 1
故有
S
1
9
0 1
PPT课件
收敛矩阵级数的性质：
（1）若矩阵级数
k 1
Ak
收敛，则
lim
k
Ak
0;
（2）若矩阵级数 Ak S1 , Bk S2 , 则
k 1
k 1
(aAk bBk ) aS1 bS2 , a, b C
k 1
（3）设 P C mm , Q C nn , 若矩阵级数 Ak 收敛，则 k 1
定义：设 A C nn , 如果有lim Ak 0 则称A为收敛矩阵。 k
定理：设 A C nn , 则 lim Ak 0 的充分必要条件为 A 1 k
证明 由Rordan分解定理，存在可逆矩阵P，使得
P 1 AP J diagJ1, J 2 ,, J s
k
J
k i
0 i
1
A 1
PPT课件
推论·设A C nn , 如果存在 C nn 上的相容矩阵范数使 A 1,
则有 lim Ak 0 n
例2、判断矩阵是否为收敛矩阵
0.2 0.1 0.2 A 0.5 0.4 0.4
0.1 0.3 0.2
(1) lkim(Ak
Bk
)
lim
k
Ak
lim
k
Bk
(2) lim k
Ak Bk
AB;
(3)若Ak，A都
可
逆
，
则lim k
Ak1
A1
说明：在性质（3）中Ak与A必须都可逆。反例见P96例
PPT课件
在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列。关 于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理。
正 项 级 数 Ak 收 敛 k 1
PPT课件
方阵幂级数
ak Ak a0I a1A a2 A2 ak Ak
k 1
A C nn , ak C
矩阵幂级数也有类似于数项幂级数的收敛定理：
k 1
定义矩阵级数的部分和为
N
SN Ak A1 A2 AN k 1
因此，可构成部分和序列 S1,S2 ,, SN ,
PPT课件
矩阵级数的收敛性
如果矩阵级数的部分和序列收敛于A，即
lim
N
SN
A
则称矩阵级数收敛于A，记做 Ak A.
k 1
矩阵级数收敛的等价定义
定理：设矩阵序列{Ak},
Ak C mn , k 1,2,
若
lim
k
Ak
A
则对于任一范数矩阵有
lim
k
Ak
A
提示：利用矩阵范数的性质 Ak A Ak A
及矩阵序列的收敛性即可。
说明：此定理的逆命题不正确，反例见P97例2
PPT课件
收敛的矩阵序列的性质
设矩阵序列{Ak}, {Bk}分别收敛于A，B；则
lim
k
Ak
A
lim
k
a(k ij
)
aij
例1、
mlim1
1
m 1
1 m em
1 1
00
sin k
lim k
k k
2k
(1 1 )k k 0
0 0
0e
PPT课件
等价定义
提示：由 A 0.8 1 知A为收敛矩阵。 1
注意： A 1是矩阵A为收敛矩阵的充分条件，不是必要条件。
即：矩阵A的范数都大于1，该矩阵也有可能是收敛矩阵。
PPT课件
第二节 矩阵级数 设矩阵序列{Ak}, Ak C mn , k 1,2,
定义矩阵级数为
Ak A1 A2 Ak
而
ik
J
k i
C1 k 1 ki ik
C 2 k 2 ki
C1 k 1 ki
ni 1
C k
ni 2
C k
k ni 1 i
k ni 2 i
C ni ni
ik
C1 k 1 ki
ik
则
lim
1·矩阵序列与矩阵级数 2·矩阵函数 3·函数矩阵与矩阵值函数的微分及应用
PPT课件
第一节 矩阵序列 第二节 矩阵级数
主要内容 矩阵序列及其收敛性 2·矩阵级数的收敛性 3·矩阵幂级数的收敛性
PPT课件
矩阵序列的极限
矩阵序列{Ak}收敛于A当且仅当相应的元素序列是收敛的。
即设 Ak (ai(jk) ), A (aij )
矩阵级数收敛当且仅当相应的mn个数项级数是收敛的。
即设 Ak (ai(jk) ), A (aij ) 则
Ak A
a(k) ij
aij
k 1
k 1
PPT课件
பைடு நூலகம்
例1、已知
1
Ak
2
k
0
3 4k 1
k 1,2,
kk 1
其中
i 1
i 1
Ji
i
1
i ni ni
PPT课件
则
P 1 Ak P
Jk
diag
J
k 1
,
J
k 2
,,
J
k s
因此lim Ak k
0 lim J k k
0
lim
k
J ik
0 i
1,2,, s
PAk Q
k 1
收敛，且 PAk Q P( Ak )Q
k 1
k 1
PPT课件
绝对收敛
如果矩阵级数相应的每个数项级数是绝对收敛的，则 称该矩阵级数是绝对收敛的。 利用数学分析中的相应结果，可得到： 性质1：若矩阵级数绝对收敛，则该矩阵级数一定收敛。
性质2： 矩阵级数是绝对收敛的充要条件为
设矩阵序列{Ak}, Ak C mn , k 1,2,
如果存在矩阵 AC mn , 使得对于矩阵A的任一范数有
lim
k
Ak
A
0
则称矩阵序列{Ak}收敛于A，或称矩阵A是矩阵序列{Ak}的 极限,记作
lim
k
Ak
A
如果矩阵序列{Ak}不收敛，则称它是发散的。
PPT课件
研究矩阵级数 Ak 的收敛性
k 1
提示：由 S N
N
Ak k 1
1
1 2
N
0
9
1
1 4
N
1 1
N 1
故有
S
1
9
0 1
PPT课件
收敛矩阵级数的性质：
（1）若矩阵级数
k 1
Ak
收敛，则
lim
k
Ak
0;
（2）若矩阵级数 Ak S1 , Bk S2 , 则
k 1
k 1
(aAk bBk ) aS1 bS2 , a, b C
k 1
（3）设 P C mm , Q C nn , 若矩阵级数 Ak 收敛，则 k 1
定义：设 A C nn , 如果有lim Ak 0 则称A为收敛矩阵。 k
定理：设 A C nn , 则 lim Ak 0 的充分必要条件为 A 1 k
证明 由Rordan分解定理，存在可逆矩阵P，使得
P 1 AP J diagJ1, J 2 ,, J s
k
J
k i
0 i
1
A 1
PPT课件
推论·设A C nn , 如果存在 C nn 上的相容矩阵范数使 A 1,
则有 lim Ak 0 n
例2、判断矩阵是否为收敛矩阵
0.2 0.1 0.2 A 0.5 0.4 0.4
0.1 0.3 0.2
(1) lkim(Ak
Bk
)
lim
k
Ak
lim
k
Bk
(2) lim k
Ak Bk
AB;
(3)若Ak，A都
可
逆
，
则lim k
Ak1
A1
说明：在性质（3）中Ak与A必须都可逆。反例见P96例
PPT课件
在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列。关 于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理。
正 项 级 数 Ak 收 敛 k 1
PPT课件
方阵幂级数
ak Ak a0I a1A a2 A2 ak Ak
k 1
A C nn , ak C
矩阵幂级数也有类似于数项幂级数的收敛定理：
k 1
定义矩阵级数的部分和为
N
SN Ak A1 A2 AN k 1
因此，可构成部分和序列 S1,S2 ,, SN ,
PPT课件
矩阵级数的收敛性
如果矩阵级数的部分和序列收敛于A，即
lim
N
SN
A
则称矩阵级数收敛于A，记做 Ak A.
k 1
矩阵级数收敛的等价定义
定理：设矩阵序列{Ak},
Ak C mn , k 1,2,
若
lim
k
Ak
A
则对于任一范数矩阵有
lim
k
Ak
A
提示：利用矩阵范数的性质 Ak A Ak A
及矩阵序列的收敛性即可。
说明：此定理的逆命题不正确，反例见P97例2
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收敛的矩阵序列的性质
设矩阵序列{Ak}, {Bk}分别收敛于A，B；则
lim
k
Ak
A
lim
k
a(k ij
)
aij
例1、
mlim1
1
m 1
1 m em
1 1
00
sin k
lim k
k k
2k
(1 1 )k k 0
0 0
0e
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等价定义
提示：由 A 0.8 1 知A为收敛矩阵。 1
注意： A 1是矩阵A为收敛矩阵的充分条件，不是必要条件。
即：矩阵A的范数都大于1，该矩阵也有可能是收敛矩阵。
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第二节 矩阵级数 设矩阵序列{Ak}, Ak C mn , k 1,2,
定义矩阵级数为
Ak A1 A2 Ak
而
ik
J
k i
C1 k 1 ki ik
C 2 k 2 ki
C1 k 1 ki
ni 1
C k
ni 2
C k
k ni 1 i
k ni 2 i
C ni ni
ik
C1 k 1 ki
ik
则
lim