矩阵级数 ppt课件

定义：设 A C nn , 如果有lim Ak 0 则称A为收敛矩阵。 k
定理：设 A C nn , 则 lim Ak 0 的充分必要条件为 A 1 k
证明 由Rordan分解定理，存在可逆矩阵P，使得
P 1 AP J diagJ1, J 2 ,, J s
而
ik

J
k i



C1 k 1 ki ik
C 2 k 2 ki
C1 k 1 ki

ni 1
C k
ni 2
C k
k ni 1 i
k ni 2 i


C ni ni
ik
C1 k 1 ki

ik

则
lim
研究矩阵级数 Ak 的收敛性
k 1
提示：由 S N
N
Ak k 1

1


1 2

N

0


9
1


1 4

N


1 1

N 1
故有
S

1

9
0 1
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收敛矩阵级数的性质：

（1）若矩阵级数
定理：设矩阵序列{Ak},
Ak C mn , k 1,2,
若
lim
k
Ak

A
则对于任一范数矩阵有
lim
k
Ak

A
提示：利用矩阵范数的性质 Ak A Ak A
及矩阵序列的收敛性即可。
说明：此定理的逆命题不正确，反例见P97例2
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收敛的矩阵序列的性质
设矩阵序列{Ak}, {Bk}分别收敛于A，B；则
lim
k
Ak

A
lim
k
a(k ij
)
aij
例1、
mlim1

1
m 1
1 m em



1 1
00
sin k

lim k
k k
2k
(1 1 )k k 0

0 0
0e
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等价定义

正 项 级 数 Ak 收 敛 k 1
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方阵幂级数

ak Ak a0I a1A a2 A2 ak Ak
k 1
A C nn , ak C
矩阵幂级数也有类似于数项幂级数的收敛定理：

k 1
Ak
收敛，则
lim
k
Ak
0;


（2）若矩阵级数 Ak S1 , Bk S2 , 则
k 1
k 1

(aAk bBk ) aS1 bS2 , a, b C
k 1

（3）设 P C mm , Q C nn , 若矩阵级数 Ak 收敛，则 k 1
设矩阵序列{Ak}, Ak C mn , k 1,2,
如果存在矩阵 AC mn , 使得对于矩阵A的任一范数有
lim
k
Ak
A
0
则称矩阵序列{Ak}收敛于A，或称矩阵A是矩阵序列{Ak}的 极限,记作
lim
k
Ak

A
如果矩阵序列{Ak}不收敛，则称它是发散的。
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k 1
定义矩阵级数的部分和为
N
SN Ak A1 A2 AN k 1
因此，可构成部分和序列 S1,S2 ,, SN ,
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矩阵级数的收敛性
如果矩阵级数的部分和序列收敛于A，即
lim
N
SN

A

则称矩阵级数收敛于A，记做 Ak A.
k 1
矩阵级数收敛的等价定义
第四章 矩阵分析
1·矩阵序列与矩阵级数 2·矩阵函数 3·函数矩阵与矩阵值函数的微分及应用
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第一节 矩阵序列 第二节 矩阵级数
主要内容 矩阵序列及其收敛性 2·矩阵级数的收敛性 3·矩阵幂级数的收敛性
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矩阵序列的极限
矩阵序列{Ak}收敛于A当且仅当相应的元素序列是收敛的。
即设 Ak (ai(jk) ), A (aij )
k
J
k i
0 i
1
A 1
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推论·设A C nn , 如果存在 C nn 上的相容矩阵范数使 A 1,
则有 lim Ak 0 n
例2、判断矩阵是否为收敛矩阵
0.2 0.1 0.2 A 0.5 0.4 0.4
0.1 0.3 0.2

PAk Q
k 1


收敛，且 PAk Q P( Ak )Q
k 1
k 1
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绝对收敛
如果矩阵级数相应的每个数项级数是绝对收敛的，则 称该矩阵级数是绝对收敛的。 利用数学分析中的相应结果，可得到： 性质1：若矩阵级数绝对收敛，则该矩阵级数一定收敛。
性质2： 矩阵级数是绝对收敛的充要条件为
其中
i 1


i 1

Ji




i
1


i ni ni
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则
P 1 Ak P
Jk
diag
J
k 1
,
J
k 2
,,
J
k s
因此lim Ak k
0 lim J k k
0
lim
k
J ik

0 i
1,2,, s
(1) lkim(Ak

Bk
)


lim
k
Ak


lim
k
Bk
(2) lim k
Ak Bk

AB;
(3)若Ak，A都
可
逆
，
则lim k
Ak1

A1
说明：在性质（3）中Ak与A必须都可逆。反例见P96例
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在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列。关 于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理。
矩阵级数收敛当且仅当相应的mn个数项级数是收敛的。


即设 Ak (ai(jk) ), A (aij ) 则
Ak A
来自百度文库
a(k) ij

aij
k 1
k 1
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例1、已知
1
Ak


2
k

0

3 4k 1

k 1,2,

kk 1

提示：由 A 0.8 1 知A为收敛矩阵。 1
注意： A 1是矩阵A为收敛矩阵的充分条件，不是必要条件。
即：矩阵A的范数都大于1，该矩阵也有可能是收敛矩阵。
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第二节 矩阵级数 设矩阵序列{Ak}, Ak C mn , k 1,2,
定义矩阵级数为

Ak A1 A2 Ak