珠海市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)

2017-2018学年广东省珠海市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．把二进制数101化为十进制数为（）（2）A．2 B．3 C．4 D．52．如图程序的输出结果为（）A．3，2 B．3，3 C．2，2 D．2，33．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了运动员在8场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该组数据的标准差为（）A．B． C． D．4．在一段时间内，某种商品的价格x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表：如果y与x呈线性相关且解得回归直线的斜率为=0.9，则的值为（）5．下列四个命题中可能成立的一个是（）A．，且B．sinα=0，且cosα=﹣1C．tanα=1，且cosα=﹣1D．α是第二象限角时，6．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列事件是对立事件的为（）A．恰好一个白球和全是白球B．至少有一个白球和全是黑球C．至少有一个白球和至少有2个白球D．至少有一个白球和至少有一个黑球7．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则φ的值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣8．已知sin （+α）=，则sin （﹣α）值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣9．在平行四边形ABCD 中，点F 为线段CD 上靠近点D 的一个三等分点．若=， =，则=（ ）A ． +B ． +C ． +D ． +10．已知||=3，||=2，|﹣|=，则在上的投影为（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣11．要得到函数y=sin2x 的图象，可由函数（ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位12．若关于x 的方程：x 2+4xsin θ+atan θ=0（＜θ＜）有两个相等的实数根．则实数a的取值范围为（ ）A ．（，2）B ．（2，4）C ．（0，2）D ．（﹣2，2）二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13．向量=（2，3），=（4，﹣1+y ），且∥．则y= ．14．已知扇形的弧长是6cm ，面积是18cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 ． 15．从编号为0，1，2，…，89的90件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是9的样本．若编号为36的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 ．16．已知tanx=2，则= ．17．质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，每次抛掷这样两个相同的骰子，规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数，则每次抛掷时点数被4除余2的概率是 ．18．设α为锐角，若，则的值为 ．19．随机抽取高一年级n名学生，测得他们的身高分别是a1，a2，…，a n，则如图所示的程序框图输出的s=．20．设=（sinx，sinx），=（﹣sinx，m+1），若•=m在区间（，）上有三个根，则m的范围为．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．为了迎接珠海作为全国文明城市的复查，爱卫会随机抽取了60位路人进行问卷调查，调查项目是自己对珠海各方面卫生情况的满意度（假设被问卷的路人回答是客观的），以分数表示问卷结果，并统计他们的问卷分数，把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70），…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：（1）求出问卷调查分数低于50分的被问卷人数；（2）估计全市市民满意度在60分及以上的百分比．22．在区间[﹣1，1]上任取两个数a，b，在下列条件时，分别求不等式x2+2ax+b2≥0恒成立时的概率：（1）当a，b均为整数时；（2）当a，b均为实数时．23．已知函数（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），B（2，0），||=1．（1）求与夹角；（2）若与垂直，求点C的坐标；（3）求|++|的取值范围．25．如图：点P在直径AB=1的半圆上移动（点P不与A，B重合），过P作圆的切线PT 且PT=1，∠PAB=α，（1）当α为何值时，四边形ABTP面积最大？（2）求|PA|+|PB|+|PC|的取值范围？2017-2018学年广东省珠海市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．把二进制数101化为十进制数为（）（2）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】进位制．【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．【解答】解：101（2）=1+0×2+1×22=1+4=5（10）故选：D．2．如图程序的输出结果为（）A．3，2 B．3，3 C．2，2 D．2，3【考点】赋值语句．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能，顺序赋值即可得解．【解答】解：模拟执行程序，根据赋值语句的功能可得a=2b=3a=3b=3输出a，b的值为3，3．故选：B．3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了运动员在8场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该组数据的标准差为（）A．B． C． D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据茎叶图中的数据计算平均数与方差、标准差即可．【解答】解：根据茎叶图可知这8场比赛中得分为18，18，14，17，18，18，20，21，这8场比赛得分的平均数是=×（18+18+14+17+18+18+20+21）=18，所以他在这8场比赛中得分的方差是s2=×[（18﹣18）2+（18﹣18）2+（14﹣18）2+（17﹣18）2+（18﹣18）2+（18﹣18）2+（20﹣18）2+（21﹣18）2]=．所以该组数据的标准差为s=．故选：B．4．在一段时间内，某种商品的价格x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表：如果y与x呈线性相关且解得回归直线的斜率为=0.9，则的值为（）【考点】线性回归方程．【分析】由已知表格中的数据，我们根据平均数公式计算出变量x，y的平均数，根据回归直线一定经过样本数据中心点，可求出值．【解答】解：由==8，==7，∵回归直线一定经过样本数据中心点，由a=﹣=﹣0.2，故选：C．5．下列四个命题中可能成立的一个是（）A．，且B．sinα=0，且cosα=﹣1C．tanα=1，且cosα=﹣1D．α是第二象限角时，【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】由sin2α+cos2α=1 可得A不正确、B正确，根据tanα=1，可得sinα=cosα=，或sinα=cosα=﹣，得C不正确，由tanα=可得D不正确．【解答】解：由sin2α+cos2α=1 可得A不正确、B正确．根据tanα=1，可得sinα=cosα=，或sinα=cosα=﹣，故C不正确．由tanα=可得D不正确．故选B．6．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列事件是对立事件的为（）A．恰好一个白球和全是白球B．至少有一个白球和全是黑球C．至少有一个白球和至少有2个白球D．至少有一个白球和至少有一个黑球【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由已知条件利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【解答】解：袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，∵恰好一个白球和全是白球不能同时发生，但能同时不发生，∴恰好一个白球和全是白球是互斥但不对立事件，故A错误；∵至少有一个白球和全是黑球不能同时发生，也不能同时不发生，∴至少有一个白球和全是黑球是对立事件，故B正确；∵至少有一个白球和至少有2个白球能同时发生，∴至少有一个白球和至少有2个白球不是互斥事件，故C错误；∵至少有一个白球和至少有一个黑球能同时发生，∴至少有一个白球和至少有一个黑球不是互斥事件，故D错误．故选：B．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则φ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，0），可得φ=kπ﹣，k∈Z，结合|φ|＜，即可求出φ的值．【解答】解：由函数的图象可得A=1，T=4×（﹣）=π，由T=，解得ω=2．又图象经过（，0），可得：0=sin （2×+φ），可得：2×+φ=k π，k ∈Z ，解得：φ=k π﹣，k ∈Z ，由于：|φ|＜，可得：φ=，故选：C ．8．已知sin （+α）=，则sin （﹣α）值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简sin （﹣α），求出sin （+α）的形式，求解即可．【解答】解：故选C ．9．在平行四边形ABCD 中，点F 为线段CD 上靠近点D 的一个三等分点．若=， =，则=（ ）A ． +B ． +C ． +D ． +【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】设=，=．则===，===﹣，可用，表示，．代入=即可得出．【解答】解：设=， =．则===，===﹣，∴=， =．则==+=+=+×=+．故选：B ．10．已知||=3，||=2，|﹣|=，则在上的投影为（ ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得•=﹣3，再由在上的投影为，计算即可得到所求值．【解答】解：||=3，||=2，|﹣|=，可得（﹣）2=19，即为2﹣2•+2=19，即有9﹣2•+4=19，可得•=﹣3，则在上的投影为==﹣．故选：A ．11．要得到函数y=sin2x 的图象，可由函数（ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】利用y=sin2x=cos （2x ﹣），利用函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换即可求得答案．【解答】解：∵y=sin2x=cos （2x ﹣），∴y=cos （2x ﹣）y=cos [2（x ﹣）﹣]=cos （2x ﹣）=sin2x ．故选B ．12．若关于x 的方程：x 2+4xsin θ+atan θ=0（＜θ＜）有两个相等的实数根．则实数a的取值范围为（ ）A ．（，2）B ．（2，4） C ．（0，2） D ．（﹣2，2）【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据关于x的方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，表示出a，利用正弦函数的值域求出a的范围即可．【解答】解：∵关于x的方程：x2+4xsinθ+atanθ=0（＜θ＜）有两个相等的实数根，∴△=16sin2θ﹣4atanθ=0，即16sin2θ﹣4a=0，整理得：4sinθ﹣=0，即a=4sinθcosθ=2sin2θ，∵＜θ＜，∴＜2θ＜π，∴0＜sin2θ＜1，即0＜2sin2θ＜2，则实数a的取值范围为（0，2），故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）13．向量=（2，3），=（4，﹣1+y），且∥．则y=7．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵=（2，3），=（4，﹣1+y），且∥，∴12=2（﹣1+y），解得：y=7，故答案为：7．14．已知扇形的弧长是6cm，面积是18cm2，则扇形的中心角的弧度数是1．【考点】扇形面积公式．【分析】先根据扇形面积公式S=lr，求出r，再根据求出α．【解答】解：设扇形的半径为r，中心角为α，根据扇形面积公式S=lr，得18=×6×r，∴r=6，又扇形弧长公式l=r•α，∴==1．故答案为：1．15．从编号为0，1，2，…，89的90件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是9的样本．若编号为36的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为86．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．【解答】解：样本间隔为90÷9=10，设第一个号码为x，∵编号为36的产品在样本中，则36=3×10+6，则第一个号码为6，则最大的编号6+8×10=86，故答案为：86．16．已知tanx=2，则=3．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式===3，故答案为：317．质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，每次抛掷这样两个相同的骰子，规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数，则每次抛掷时点数被4除余2的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出每次抛掷时点数被4除余2包含的基本事件个数，由此能求出每次抛掷时点数被4除余2的概率．【解答】解：质地均匀的正方体骰子各面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，每次抛掷这样两个相同的骰子，规定向上的两个面的数字的和为这次抛掷的点数，基本事件总数n=6×6=36，每次抛掷时点数被4除余2包含的基本事件有：（1，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（4，6），（6，4），（5，5），共9个，∴每次抛掷时点数被4除余2的概率是p=．故答案为：．18．设α为锐角，若，则的值为．【考点】二倍角的余弦．【分析】先设β=α+，根据sinβ求出cosβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到cos（2α+）的值．【解答】解：设β=α+，α为锐角，β=α+∈（，），∵sinβ=＜=sin，可得β为锐角，可求cosβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=1﹣2sin2β=，∴cos（2α+）=cos（2α+﹣）=cos（2β﹣）=cos2βcos+sin2βsin=．故答案为：．19．随机抽取高一年级n名学生，测得他们的身高分别是a1，a2，…，a n，则如图所示的程序框图输出的s=．【考点】程序框图．【分析】首先判断循环体的类型，然后对循环进行分析，根据3次循环归纳出规律，写出第n次循环的结果即为答案．【解答】解：经过判断，此结构为“当型“循环结构，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：当i≤n成立时执行循环体第1次循环：S=a1，i=2第2次循环：S=，i=3第3次循环：S==，i=4…观察规律可知：第n次循环：S=，n=n+1．此时，不满足条件，退出循环，输出S的值为．故答案为：．20．设=（sinx，sinx），=（﹣sinx，m+1），若•=m在区间（，）上有三个根，则m的范围为（，1）．【考点】三角函数中的恒等变换应用；根的存在性及根的个数判断；平面向量数量积的运算．【分析】本题先对向量进行了数量积的运算，再对关于sinx的二次函数进行了因式分解，再讨论根的个数．【解答】解：，设f（x）==﹣sin2x+（m+1）sinx﹣m=（1﹣sinx）（sinx﹣m）=0，解得sinx=1或sinx=m．当sinx=1时，x=，只有一个解．当sinx=m时，有两个解，此时，故m的范围是三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．为了迎接珠海作为全国文明城市的复查，爱卫会随机抽取了60位路人进行问卷调查，调查项目是自己对珠海各方面卫生情况的满意度（假设被问卷的路人回答是客观的），以分数表示问卷结果，并统计他们的问卷分数，把其中不低于50分的分成五段[50，60），[60，70），…[90，100]后画出如图部分频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：（1）求出问卷调查分数低于50分的被问卷人数；（2）估计全市市民满意度在60分及以上的百分比．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据各组的频率和等于1，即可求出低于50分的被问卷人数，（2）满意度在60分及以上的频率为0.75，于是可以估计全市市民满意度在60分及以上的百分比【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为f1=1﹣（0.015×2+0.03+0.025+0.005）×10=0.1，故低于50分人数为60×0.1=6人（2）依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组）频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75所以，抽样满意度在60分及以上的百分比为75%，于是，可以估计全市市民满意度在6及以上的百分比为75%22．在区间[﹣1，1]上任取两个数a，b，在下列条件时，分别求不等式x2+2ax+b2≥0恒成立时的概率：（1）当a，b均为整数时；（2）当a，b均为实数时．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）x2+2ax+b2≥0恒成立的充要条件为4a2﹣4b2≤0，即a2≤b2，用列举法求出基本事件数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；（2）由题意求出点（a，b）所构成的正方形的面积，再由线性规划知识求出满足a2≤b2的区域面积，由测度比是面积比求概率．【解答】解：设事件A为“x2+2ax+b2≥0恒成立”．x2+2ax+b2≥0恒成立的充要条件为4a2﹣4b2≤0，即a2≤b2．（1）基本事件共9个：（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含7个基本事件：（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（（1，1）．事件A发生的概率为P（A）=；（2）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1}．构成事件A的区域为{（a，b）|﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，a2≤b2}．如图，∴当a，b均为实数时，不等式x2+2ax+b2≥0恒成立的概率为．23．已知函数（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）先用两角和公式对函数f（x）的表达式化简得f（x）=2sin（ωx+φ﹣），利用偶函数的性质即f（x）=f（﹣x）求得ω，进而求出f（x）的表达式，把x=代入即可．（Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数g（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数g（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）==．∵f（x）为偶函数，∴对x∈R，f（﹣x）=f（x）恒成立，∴．即，整理得．∵ω＞0，且x ∈R ，所以．又∵0＜φ＜π，故．∴．由题意得，所以ω=2．故f （x ）=2cos2x ．∴．（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．∴．当（k ∈Z ），即（k ∈Z ）时，g （x ）单调递减，因此g （x ）的单调递减区间为（k ∈Z ）．24．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （1，1），B （2，0），||=1．（1）求与夹角；（2）若与垂直，求点C 的坐标；（3）求|++|的取值范围． 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由已知，得到与的坐标，然后根据数量积求夹角；（2）由与垂直，得到数量积为0，得到点C 的坐标的方程解之；（3）根据||=1，结合|++|的几何意义求最值．【解答】解：因为在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （1，1），B （2，0），所以，所以（1）与夹角的余弦值为，所以夹角为45°；（2）设=（x ，y ）．因为与垂直，又||=1．所以，解得，或，所以C （），或C （）．（3）由以上得到++=（3+x，1+y），|++|2=（x+3）2+（y+1）2，又x2+y2=1，所以|++|的最大值为，最小值为．25．如图：点P在直径AB=1的半圆上移动（点P不与A，B重合），过P作圆的切线PT 且PT=1，∠PAB=α，（1）当α为何值时，四边形ABTP面积最大？（2）求|PA|+|PB|+|PC|的取值范围？【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由AB为圆的直径，利用圆周角定理得到∠APB为直角，再由AB=1，表示出PA与PB，根据PT与圆相切，表示出BC，进而表示出四边形ABTP的面积，整理后，利用正弦函数的值域及二次函数性质确定出最大值即可；（2）把表示出的PA，PB，PC代入所求式子，设t=cosα+sinα，可得出t2=1+2cosαsinα，进而表示出cosαsinα，代入所求式子整理为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域及二次函数性质确定出范围即可．【解答】解：（1）∵AB为直径，∴∠APB=90°，AB=1，∵∠PAB=α，∴PA=cosα，PB=sinα，又PT切圆于P点，∠TPB=∠PAB=α，∴BC=sinα•PB=sin2α，=S△PAB+S△TPB∴S四边形ABTP=PA•PB+PT•BC=sinαcosα+sin2α=sin2α+（1﹣cos2α）=（sin2α﹣cos2α）+=sin（2α﹣）+，∵0＜α＜，﹣＜2α﹣＜π，∴当2α﹣=，即α=π时，S最大；四边形ABTP（2）|PA|+|PB|+|PC|=cosα+sinα+sinαcosα，设t=cosα+sinα，则t2=cos2α+sin2α+2cosαsinα=1+2cosαsinα，∴cosαsinα=，∴|PA|+|PB|+|PC|=+t=+t﹣，∵t=cosα+sinα=sin（α+）∈（1，]，且t=﹣1∉（1，]，∴|PA|+|PB|+|PC|=+t﹣在t∈（1，]时单调递增，则（|PA|+|PB|+|PC|）∈（1， +]．2018年7月31日。