必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语第2讲 集合的表示方法教师版
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语 第2课时集合的表示学案含解析新人教A版必修第一册

第2课时集合的表示[目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法);2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.[重点] 集合的两种表示方法及其运用.[难点] 对描述法表示集合的理解.知识点一列举法[填一填]把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法.{}表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”;书写时不需要考虑元素的顺序.[答一答]1.实数集也可以写成{实数},那么能写成{实数集}或{全体实数}吗?提示:不能,因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思.2.列举法能表示元素个数很少的有限集,那么可以用列举法表示无限集吗?提示:对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示,如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5,…}.3.集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合?提示:不是.知识点二描述法[填一填]1.一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.2.具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.[答一答]4.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合吗?提示:是同一个集合.虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同,但实质上它们均表示大于3的所有实数,故表示同一个集合.类型一 用列举法表示集合[例1] (1)若集合A ={(1,2),(3,4)},则集合A 中元素的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .4(2)用列举法表示下列集合.①不大于10的非负偶数组成的集合; ②方程x 2=x 的所有实数解组成的集合; ③直线y =2x +1与y 轴的交点所组成的集合;④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1,x -y =-1的解.[解析] (1)集合A ={(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4).(2)解:①因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.②方程x 2=x 的解是x =0或x =1,所以方程的解组成的集合为{0,1}.③将x =0代入y =2x +1,得y =1,即交点是(0,1),故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1,x -y =-1,得⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1,x -y =-1的解集为{(0,1)}.[答案] (1)B (2)见解析用列举法表示集合应注意的三点:(1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素; (2)集合中的元素一定要写全,但不能重复;(3)若集合中的元素是点时,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. [变式训练1] 用列举法表示下列集合: (1)15的正约数组成的集合; (2)所有正整数组成的集合;(3)直线y =x 与y =2x -1的交点组成的集合. 解:(1){1,3,5,15}.(2)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y =x ,y =2x -1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,所求集合用列举法表示为{(1,1)}. 类型二 用描述法表示集合[例2] 用描述法表示下列集合: (1)不等式2x -7<3的解集A ;(2)二次函数y =x 2+1的函数值组成的集合B ; (3)被3除余2的正整数的集合C ;(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D .[分析] 先确定集合元素的符号,再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面. [解] (1)解2x -7<3得x <5,所以A ={x |x <5}.(2)函数值组成的集合就是y 的取值集合,所以B ={y |y =x 2+1,x ∈R }.(3)被3除余2的正整数可以表示为3n +2(n ∈N ),所以集合C ={x |x =3n +2,n ∈N }. (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0, 所以D ={(x ,y )|x ·y =0,x ∈R ,y ∈R }.(1)用描述法表示集合,应先弄清集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素.(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明其含义或指出其取值范围. [变式训练2] 用描述法表示下列集合: (1)函数y =-x 的图象上所有点组成的集合; (2)方程x 2+22x +121=0的解集;(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫13,12,35,23,57,…. 解:(1){(x ,y )|y =-x ,x ∈R ,y ∈R }. (2){x |x =-11}.(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x ∈R ||x |>3}.(4)先统一形式13,24,35,46,57,…,找出规律,集合表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x =n n +2,n ∈N *. 类型三 两种方法的灵活应用[例3] 用适当的方法表示下列集合:(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y =14,3x +2y =8的解组成的集合;(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)所有的正方形组成的集合;(4)抛物线y =x 2上的所有点组成的集合.[分析] (1)中的元素个数很少,用列举法表示;(2)是有限集,但个数较多,用描述法;(3)(4)是无限集,用描述法表示.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -3y =14,3x +2y =8,得⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =-2,故该集合用列举法可表示为{(4,-2)}.(2)设集合的代表元素是x ,则该集合用描述法可表示为{x |x =3k +2,k ∈N ,且k ≤332}. (3)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}或{正方形}. (4)集合用描述法表示为{(x ,y )|y =x 2}.当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时,常用列举法表示集合;当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时,常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集,也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1,3,5,7,9,…}.但值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.)[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合: (1)大于2且小于5的有理数组成的集合; (2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合. 解:(1)用描述法表示为{x |2<x <5,且x ∈Q }. (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x ,y )到x 轴的距离为|y |,到y 轴的距离为|x |,所以该集合用描述法表示为{(x ,y )||y |=|x |}.1.集合{x ∈N |x <5}的另一种表示方法是( A ) A .{0,1,2,3,4} B .{1,2,3,4} C .{0,1,2,3,4,5}D .{1,2,3,4,5}解析:∵x ∈N ,且x <5,∴x 的值为0,1,2,3,4,用列举法表示为{0,1,2,3,4}.2.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =2,x -2y =-1的解集是( C )A .{x =1,y =1}B .{1}C .{(1,1)}D .{(x ,y )|(1,1)}解析:方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D 中的条件是点(1,1),不含x ,y ,排除D.3.集合{x |x =a ,a <36,x ∈N },用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}. 解析:由a <36,可得a <6,即x <6,又x ∈N ,故x 只能取0,1,2,3,4,5.4.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为{x |x =2n ,n ∈N +}. 解析:正整数中所有的偶数均能被2整除. 5.用适当的方法表示下列集合:(1)已知集合P ={x |x =2n,0≤n ≤2,且n ∈N };(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合; (3)x 2-4的一次因式组成的集合;(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =3,x -y =-1的解所组成的集合.解:(1)用列举法表示为P ={0,2,4}.(2)可用列举法表示为{6,9,12};也可用描述法表示为{x |x =3n,4<x <15,且n ∈N }. (3)用列举法表示为{x +2,x -2}.(4)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =3,x -y =-1得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2,故可用列举法表示为{(1,2)},也可用描述法表示为{(x ,y )|x =1,y =2}.——本课须掌握的两大问题1.表示集合的要求:(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则. (2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意:(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式.(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.。
高中数学(新人教A版)必修第一册:第1章章末 集合与常用逻辑用语【精品课件】

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1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有
A.2个
√B.4个
C.6个
D.8个
2.命题p:“对任意一个实数x,均有x2≥0”,则 命题 的否定p为( C ) (A)存在x0∈R,使得x02 ≤0 (B)对任意x∈R,均有x2≤0 (C)存在x0∈R,使得 x02 <0 (D)对任意x∈R,均有x2<0
解题技巧: 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元 素及其属性是解题的关键. 2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共 同特征是解题的关键. 3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重 复.
【跟踪训练1】 设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素 的个数为( )
解:CU B x x 1或x>2 可画数轴如下:
1
12
1
数形结合的思想 x 1 1 2数轴法 x
A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
点评 (I),画数轴上方的线时,同一集合画同一高度,
不同的集合画不同的高度。
3 2
或
a≥32
解题技巧:
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举 出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对 此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处 理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.
分析: 画出韦恩图,形 象地表示出各数 量关系的联系
方法归纳:解决这一类问题一般借用数形结合,借 助于Venn 图,把抽象的数学语言与直观 的图形结合起来
人教高中数学必修一B版《集合及其表示方法》集合与常用逻辑用语说课教学课件复习(集合的表示方法)

所以集合 A=x1x=0
是空集.
D.正确,x2 =0,可得 x=0,故选 B.]
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2.把集合{x|x2-3x+2=0}用列举法表示为( )
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A.{x=1,x=2}课件
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B.{x|x=1,x=2}
C.{ x2-3x+2=0}
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法 第2课时 集合的表示方法
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学习目标
核心素养
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1. 掌 握 集 合 的 两 种 表 示 方 课件课件
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1.借助空集,区间的概念,培养数学抽
法.(重点)
0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.方程x2-2=0有两
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个实数根 2,- 2,因此,用列举法表示为A={ 2,- 2}.
(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10<x<20.因
(2)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐 标中至少有一个为 0, 即 xy=0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
最新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语1.1 第2课时 集合的表示

提示:能.{-1,0,1}.
2.“大于-2且小于2的实数”组成的集合,能用列举法表示吗?为
什么?
提示:不能.因为大于-2且小于2的实数有无数多个,用列举法
是列举不完的,所以不能用列举法表示.
?
3.设x为“大于-2且小于2的实数”组成的集合的元素,x有何特
征?
提示:x∈R,且-2<x<2.
x= 或
x=-2,所求集合为
-,
.
(1)方程组
的解集;
+ =
(2)绝对值不大于 3 的所有实数组成的集合;
(3)反比例函数
y=-的自变量组成的集合;
(4)抛物线 y=x2-2x 与 x 轴的交点组成的集合.
?
=得
= -,
+ = ,
故该集合用列举法表示为{(4,-2)}.
(3)集合的代表元素是x,共同特征是x是三角形,故该集合用描
述法表示为{x|x是三角形}.
?
思 想 方 法
?
分类讨论思想在集合表示中的应用
【典例】 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,试求实
数k的值,并用列举法表示集合A.
审题视角:集合A中只有一个元素,说明关于x的方程kx28x+16=0只有一个或两个相等的实数根,此方程不确定为一元
怎样表示?
解:小于10的正偶数有2,4,6,8,用式子表示为x=2k,1≤k<5,且
k∈Z,所求集合用描述法表示为{x|x=2k,1≤k<5,且k∈Z}.
2.把本例(3)换成在平面直角坐标系中,第一、第三象限的点
组成的集合,如何求解?
人教版高中数学A版高中数学必修一《集合的概念》集合与常用逻辑用语(第2课时集合的表示)

综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.
23
1.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”, 其他条件不变,求实数k的值组成的集合.
(2)由(1)中三个集合各自的含义知,它们是不同的集合.
21
【例3】 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素, 求实数k的值组成的集合.
[思路点拨] A中只有一个元素 等―价―转→化 方程kx2-8x+16=0只有一解 分―类―讨→论 求实数k的值
22
[解] (1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x= 2,满足题意;
16
描述法表示集合的2个步骤
17
2.用描述法表示下列集合: (1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合; (2)不等式2x-3<5的解组成的集合; (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合; (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合.
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[解] (1)函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为 {(x,y)|y=-2x2+x}.
的意义和作用.(重点) 2.借助描述法转化为列举法时的运
2.会用集合的两种表示方法表示一 算,培养数学运算的素养.
些简单集合.(重点、难点)
2
自主预习 探新知
3
1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用 花括号“{}” 括起来表示集 合的方法叫做列举法. 2.描述法 一般地,设 A 是一个集合,把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的表示课件新人教A版必修第一册

C.-12,0
D.-12,0
解析:解方程组yx= =20x,+1, 得xy= =01, . 故该集合为{(0,1)}.
3.已知x∈N,则方程x2+x-2=0的解集为( C ) A.{x|x=2} B.{x|x=1或x=-2} C.{x|x=1} D.{1,-2}
解析:方程x2+x-2=0的解为x=1或x=-2.由于x∈N,所以 x=-2舍去.故选C.
(2)①A中只有一个元素时,由(1)知a=0或a=1.
②A中有两个元素时,aΔ≠>00,, 解得a<1且a≠0. 综上知A中至少有一个元素时,a的取值范围为a≤1.
谢谢观赏!
Thanks!
4.若A={1,2},则可用列举法将集合{(x,y)|x∈A,y∈A}表
示为( D )
A.{(1,2)}
B.{1,2}
C.{(1,2),(2,1)} D.{(1,2),(2,2),(1,1),(2,1)}
解析:因为集合{(x,y)|x∈A,y∈A}是点集或数对构成的集 合,其中x,y均属于集合A,所以用列举法可表示为{(1,2), (2,2),(1,1),(2,1)}.
13.(13分)已知集合A={x|x2+ax+b=0}. (1)若0∉A,求实数b的取值集合; (2)若2∈A,3∈A,求实数a,b的值.
解:(1)若0∉A,则0不是方程x2+ax+b=0的根, 所以02+a×0+b≠0,解得b≠0. 所以实数b的取值集合为{b|b≠0}. (2)由已知可得方程x2+ax+b=0有两实根x1=2,x2=3. 由根与系数的关系得a=-(2+3)=-5,b=2×3=6.
解析:选项A中,M是由3,-1两个元素构成的集合,而集合 P是由点(3,-1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的 点,故M≠P;选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有因 变量组成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图象上所有 点组成的集合.
第一章 集合与常用逻辑用语 教案

第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念第二课时集合的表示方法教学目标1.掌握集合的表示法——列举法和描述法,使学生正确把握集合的元素构成与集合的特征性质的关系,从而可以更准确地认识集合.2.能选择适当的方法表示给定的集合,提高学生分析问题和解决问题的能力.重点难点教学重点:集合的表示法.教学难点:集合的特征性质的概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单的集合.课时安排1课时教学过程提出问题①上节所说的集合是如何表示的?②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合?③集合共有几种表示法?活动:①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.②教师可以举例帮助引导:例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意:大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,,100},自然数集N:n;区分a与{}a:{}a表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这{0,1,2,3,4,,,}个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序,相同的元素不能出现两次.又例如,不等式32x ->的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示. 可以表示为{|32}x x ∈->R 或{|32}x x ->,这种表示集合的方法是描述法. ③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.讨论结果:方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N 、Q ,所有的正方形组成的集合记为A 等等;方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等. 方法三(列举法):把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法.方法四(描述法):在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只需去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{|x x 是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.应用示例例1.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程290x -=的解组成的集合;(4){15以内的质数};(5)6{|,}3x x x∈∈-Z Z . 活动:教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可.提示学生注意:(2)中满足条件的数通常按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;(5)中3x -是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6.解:(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3};(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};(3)方程290x -=的解为3-、3,故用列举法表示为{3,3}-;(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};(5)满足63x∈-Z 的x 有31x -=±、2±、3±、6±,解之,得2x =、4、1、5、0、6、3-、9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,3,9}-.点评:本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合:先明确集合中的元素,再把元素写在大括号内并用逗号隔开,相同的元素写成一个.变式训练1用列举法表示下列集合:(1)24x -的一次因式组成的集合;(2)方程2690x x ++=的解集;(3){20以内的质数};(4)2{|5140}x x x ∈+-=R ;(5){(,)|6,,}x y x y x y +=∈∈N N .分析:用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地用“,”隔开放在大括号内.【解析】(1)24(2)(2)x x x -=+-,故符合题意的集合为{2,2}x x +-;(2)由2690x x ++=,得123x x ==-,∴方程2690x x ++=的解集为{3}-;(3){20以内的质数}{2,3,5,7,11,13,17,19}=;(4)25140x x +-=的解为17x =-,22x =,则2{|5140}{7,2}x x x ∈+-==-R ;(5){(,)|6,,}{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}x y x y x y +=∈∈=N N . 例2.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数2y x =图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式73x -<的解集.活动:让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点,如何表示数轴上的点,如何表示不等式的解.学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(,)x y 来表示,其特征是满足2y x =;(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x 来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x 来表示,把不等式化为x a <的形式,则这些实数的特征是满足x a <.【解析】(1)二次函数2y x =上的点(,)x y 的坐标满足2y x =,则二次函数2y x =图象上的点组成的集合表示为2{(,)|}x y y x =;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合, 则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{|||6}x x ∈>R ;(3)不等式73x -<的解是10x <,则不等式73x -<的解集表示为{|10}x x <.点评:本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(,)x y ,数集的元素代表符号常用x .集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.变式训练2用描述法表示下列集合:(1)方程25x y +=的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程组11x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合;(4){1,3,5,7,};(5)非负偶数;【解析】(1),25{()|}x y x y +=;(2){|010,}x x x ≤<∈Z ;(3)1{(,)|}1x y x y x y +=⎧⎨-=⎩; (4)*{|21,}x x k k =-∈N ;(5)*{|2,}x x k k =∈N .当堂检测1.(口答)说出下面集合中的元素:(1){大于3小于11的偶数};(2){平方等于1的数};(3){15的正约数}.【解析】(1)其元素为4,6,8,10;(2)其元素为-1,1;(3)其元素为1,3,5,15.2.用列举法表示下列集合:(1)所有绝对值等于8的数的集合A ;(2)所有绝对值小于8的整数的集合B .【解析】(1){8,8}A =-;(2){7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7}B =-------.3.定义集合运算{|(,)}AB z z xy x y x A y B ==+∈∈,,设集合{}0,1A =,{}2,3B =,则集合A B 的所有元素之和为( ) A .0 B .6C .12D .18【解析】∵x ∈A ,∴x =0或x =1.当x =0,y ∈B 时,总有z =0.当x =1时,若x =1,y =2,有z =6;若x =1,y =3,有z =12.综上所得,集合A B 的所有元素之和为061218++=,故选D .4.分别用列举法、描述法表示方程组322327x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集.【解析】322327x yx y+=⎧⎨-=⎩的解为37xy=⎧⎨=-⎩,用描述法表示该集合为32 {(,)|}2327x yx yx y+=⎧⎨-=⎩;用列举法表示该集合为{(3,7)}-.。
22人教A版新教材数学必修第一册课件--集合的表示法

“ | ”将代表元素与其特征分隔开来.一般来说,集合中元素 的取值范
围 需写明确,但若从上下文的关系看, ∈ 是明确的,则 ∈ 可以
省略,只写元素 .
1. 用描述法表示下列集合:
(1) 被3除余2的正整数组成的集合 ;
解题感悟
用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素;
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;
(3)用花括号括起来.
注意:二元方程组的解集,函数图象上的点构成的集合都是点的集合,一定
要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开.如 {(2,3), (5, −1)} .
1. 用列举法表示下列集合:
= {| = 2 + 1} ;
= {(, )| = 2 + 1} .
问:
(1) 它们是不是相同的集合?
[答案] 不是.在 、、 三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,
但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.
(2) 它们各自的含义是什么?
[答案] 集合 的代表元素是 , 满足 = 2 + 1,
[答案] 可以表示成 {(, )| ± = 0} .
(4) 正奇数集 .
[答案] 设 ∈ ,故全体奇数可用式子 = 2 + 1 , ∈ 表示,但此题
要求为正奇数,故 ∈ ,所以正奇数集 = {| = 2 + 1, ∈ } .
解题感悟
描述法的一般形式为 { ∈ ∣ ()} ,其中的 表示集合中的代表元素,
9
8
围是 {| ≥ 或 = 0} .
人教高中数学必修一A版《集合的概念》集合与常用逻辑用语教学说课(第二课时集合的表示)

已知集合 A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2
+p(x-1)+q=x+3},当 A={2}时,集合 B=( )
A.{1}
B.{1,2}
C.{2,5}
D.{1,5}
解析:选 D.由 A={x|x2+px+q=x}={2}知,22+2p+q=2,且 Δ=(p-1)2-4q=0.计算得出,p=-3,q=4.
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第一章 集合与常用逻辑用语
[注意] (1)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义,如实数 集 R 可以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R} 都是不确切的. (2)用列举法表示集合时,要求元素不重复、不遗漏.
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第一章 集合与常用逻辑用语
用列举法表示下列给定的集合: (1)大于 1 且小于 6 的整数组成的集合 A; (2)方程 x2-9=0 的实数根组成的集合 B; (3)小于 8 的素数组成的集合 C; (4)一次函数 y=x+3 与 y=-2x+6 的图象的交点组成的集合 D. 解:(1)大于 1 且小于 6 的整数包括 2,3,4,5, 所以 A={2,3,4,5}.
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
2.描述法 一般地,设 A 是一个集合,我们把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所组成的集合表示为_{_x_∈__A__|P_(_x_)_}_,这种表示集 合的方法称为描述法,有时也用冒号或分号代替竖线,写成 {_x_∈__A__:__P_(_x_) _ }或{_x_∈__A__;__P_(_x_) _ }.
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第一章 集合与常用逻辑用语
用描述法表示集合 用描述法表示下列集合: (1)函数 y=-2x2+x 图象上的所有点组成 的集合; (2)不等式 2x-3<5 的解组成的集合; (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合; (4)3 和 4 的所有正的公倍数构成的集合.
必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第2讲集合的表示方法教师版

必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第2讲集合的表示方法教师版第2讲集合的表示【知识梳理】知识点一列举法把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.【要点讲解】使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“,”分隔开,其一般形式为{a 1,a 2,…,a n };(2)元素不重复,满足元素的互异性; (3)元素无顺序,满足元素的无序性;(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合,采取该方法较合适;若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律,在不会产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.【知识精讲】例1 (1)设集合A ={1,2,3},B ={1,3,9},若x ∈A 且x ?B ,则x =( )A .1B .2C .3D .9(2)用列举法表示下列集合:①不大于10的非负偶数组成的集合;②方程x 2=x 的所有实数解组成的集合;③直线y =2x +1与y 轴的交点组成的集合;④方程组x +y =1,x -y =-1的解.【解】选B (1)∵x ∈A ,∴x =1,2,3.又∵x ?B ,∴x ≠1,3,9,故x =2.(2)①因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}.②方程x 2=x 的实数解是x =0或x =1,所以方程x 2=x 的所有实数解组成的集合为{0,1}.③将x =0代入y =2x +1,得y =1,即交点是(0,1),故直线y =2x +1与y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}.④解方程组x +y =1,x -y =-1,得x =0,y =1.∴用列举法表示方程组?x +y =1,x -y =-1的解集为{(0,1)}.【变式训练】1、已知集合A ={-2,-1,0,1,2,3},对任意a ∈A ,有|a |∈B ,且B 中只有4个元素,求集合B .解:对任意a ∈A ,有|a |∈B .因为集合A ={-2,-1,0,1,2,3},由-1,-2,0,1,2,3∈A ,知0,1,2,3∈B . 又因为B 中只有4个元素,所以B ={0,1,2,3}. 2、用列举法表示下列集合. (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x 2=x 的所有实数根组成的集合.解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A ,那么A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x 2=x 的所有实数根组成的集合为B ,那么B ={0,1}. 3、用列举法表示下列集合.(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;(2)由1~20以内的所有素数组成的集合.解:(1)满足条件的数有3,5,7,所以所求集合为{3,5,7}.(2)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C ,那么C ={2,3,5,7,11,13,17,19}.4、用列举法表示集合A ={(x ,y )|y =x 2,-1≤x ≤1,且x ∈Z}.解:由-1≤x ≤1,且x ∈Z ,得x =-1,0,1,当x =-1时,y =1;当x =0时,y =0;当x =1时,y =1. ∴A ={(-1,1),(0,0),(1,1)}.【方法技巧总结】用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素;(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次; (3)用花括号括起来.【知识梳理】知识点二描述法(1)定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.【要点讲解】1.描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,不能将它们一一列举出来,可以将集合中元素的共同特征描述出来,即采用描述法.2.描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)},其中的x表示集合中的代表元素,A 指的是元素的取值范围;p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征,其中“|”将代表元素与其特征分隔开来.一般来说,集合元素x的取值范围A需写明确,但若从上下文的关系看,x∈A是明确的,则x∈A 可以省略,只写元素x.例1 (1)用符号“∈”或“?”填空:①A={x|x2-x=0},则1____A,-1____A;②(1,2)________{(x,y)|y=x+1}.(2)用描述法表示下列集合:①正偶数集;②被3除余2的正整数的集合;③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.【解】(1)①将1代入方程,成立;将-1代入方程,不成立.故1∈A,-1?A.②将x=1,y=2代入y=x+1,成立,故填“∈”.(2)①偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N*,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N*}.②设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n +2,n∈N}.③坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.【答案】(1)①∈?②∈【变式训练】1、下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?解:(1)由于三个集合的代表元素互不相同,故它们是互不相同的集合.(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即A=R;集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对.可以认为集合C是坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合,其实就是抛物线y=x2+1的图象.2、试用描述法表示下列集合.(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解:(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为A ={x∈R|x2-2=0}.(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10<x<20.< p="">因此,用描述法表示为B={x∈Z|10<x<20}.< p="">3、用描述法表示函数y=x2-2图象上所有的点组成的集合.解:{(x,y)|y=x2-2}.4、用描述法表示下列集合.(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解:(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2=0,解得x=2,y=-3.所以方程的解集为{(x,y)|x=2,y=-3}.(2)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.5、集合A={1,-3,5,-7,9,…}用描述法可表示为( )A.{x|x=2n±1,n∈N}B.{x|x=(-1)n(2n-1),n∈N}C.{x|x=(-1)n(2n+1),n∈N}D.{x|x=(-1)n-1(2n+1),n∈N}【解】选C (1)观察规律,其绝对值为奇数排列,且正负相间,且第一个为正数,故应选C.【方法技巧总结】利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x∈Z|x=2k},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x∈Z|x=2k,k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.(5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.知识点三集合表示的综合应用【知识梳理】用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.【知识精讲】题型1 选择适当的方法表示集合例1 用适当的方法表示下列集合.(1)由x=2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合;(2)抛物线y=x2-2x与x轴的公共点的集合;(3)直线y=x上去掉原点的点的集合.解(1)列举法:{0,2,4};或描述法{x|x=2n,0≤n≤2且n∈N}.(2)列举法:{(0,0),(2,0)}.(3)描述法:{(x,y)|y=x,x≠0}.【变式训练】1、若集合A={x∈Z|-2≤x≤2},B={y|y=x2+2 000,x∈A},则用列举法表示集合B=________.【答案】{2 000,2 001,2 004}【解析】由A ={x ∈Z|-2≤x ≤2}={-2,-1,0,1,2},所以x 2∈{0,1,4},x 2+2 000的值为2 000,2 001,2 004,所以B ={2 000,2 001,2 004}.2、设集合B =?∈+∈N x N x 26|. ①试判断元素1,2与集合B 的关系;②用列举法表示集合B . 【解】①当x =1时,62+1=2∈N ;当x =2时,62+2=32?N.所以1∈B,2?B . ②∵62+x ∈N ,x ∈N ,∴2+x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ={0,1,4}.【方法技巧总结】判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合,判断元素与集合的关系时,观察即得元素与集合的关系.例如,集合A ={1,9,12},则0?A,9∈A .(2)用描述法给出的集合,判断元素与集合的关系时就比较复杂.此时,首先明确该集合中元素的一般符号是什么,是实数?是方程?…,其次要清楚元素的共同特征是什么,最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征,即可确定所给元素与集合的关系.题型2 新定义的集合例2 在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ],即[k ]={}5n +k |n ∈Z ,k =0,1,2,3,4,给出如下四个结论:①2 016∈[1];②-3∈[3];③若整数a ,b 属于同一“类”,则a -b ∈[0];④若a -b ∈[0],则整数a ,b 属于同一“类”.其中,正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4 答案 C解析由于[k ]={ 5n +k |n ∈Z|,对于①,2 016除以5等于403余1,∴2 016∈[1],∴①正确;对于②,-3=-5+2,被5除余2,∴②错误;对于③,∵a ,b 是同一“类”,可设a =5n 1+k ,b =5n 2+k ,则a -b =5(n 1-n 2)能被5整除,∴a -b ∈[0],∴③正确;对于④,若a -b ∈[0],则可设a -b =5n ,n ∈Z ,即a =5n +b ,n ∈Z ,不妨令b =5m +k ,m ∈Z ,k =0,1,2,3,4,则a =5n +5m +k =5(m +n )+k ,m ∈Z ,n ∈Z ,∴a ,b 属于同一“类”,∴④正确,则正确的有①③④,共3个.【变式训练】1、定义集合运算:A ※B ={t |t =xy ,x ∈A ,y ∈B },设A ={1,2},B ={0,2},则集合A ※B 中的所有元素之和为________.答案 6解析由题意得t =0,2,4,即A ※B ={0,2,4},又0+2+4=6,故集合A ※B 中的所有元素之和为6.【易错题】[典例] 集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R}中只有一个元素,求a 的取值范围.【解析】当a =0时,原方程变为2x +1=0,此时x =-12,符合题意;当a ≠0时,方程ax 2+2x +1=0为一元二次方程,当Δ=4-4a =0,即a =1时,原方程的解为x =-1,符合题意.故当a =0或a =1时,原方程只有一个解,此时A 中只有一个元素.【易错点】解答上面例题时,a =0这种情况极易被忽视,对于方程“ax 2+2x +1=0”有两种情况:一是a =0,即它是一元一次方程;二是a ≠0,即它是一元二次方程,也只有在这种情况下,才能用判别式Δ来解决问题.【易错点训练】1、集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R}中只有一个元素,若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围解:A 中至多有一个元素,即A 中有一个元素或没有元素.当A 中只有一个元素时,由例题可知,a =0或a =1. 当A 中没有元素时,Δ=4-4a <0,即a >1.故当A 中至多有一个元素时,a 的取值范围为{a |a =0或a ≥1}.2、集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R}中只有一个元素,若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围解:A 中至少有一个元素,即A 中有一个或两个元素.由例题可知,当a =0或a =1时,A 中有一个元素;当A 中有两个元素时,Δ=4-4a >0,即a <1. ∴A 中至少有一个元素时,a 的取值范围为{a |a ≤1}.3、集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R}中只有一个元素,若1∈A ,则a 为何值?解:∵1∈A ,∴a +2+1=0,即a =-3.4、集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R}中只有一个元素,是否存在实数a ,使A ={1},若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.解:∵A ={1},∴1∈A ,∴a +2+1=0,即a =-3.又当a =-3时,由-3x 2+2x +1=0,得x =-13或x =1,即方程ax 2+2x +1=0存在两个根-13和1,此时A =-13,1,与A ={1}矛盾.故不存在实数a ,使A ={1}.【课堂小测】1.方程组x +y =1,x 2-y 2=9的解集是( )A .(-5,4)B .(5,-4)C .{(-5,4)}D .{(5,-4)}解析:选D 解方程组x +y =1,x 2-y 2=9,得x =5,y =-4,故解集为{(5,-4)}.2.下列四个集合中,不同于另外三个的是( ) A .{y |y =2} B .{x =2}C .{2}D .{x |x 2-4x +4=0}解析:选B 集合{x =2}表示的是由一个等式组成的集合,其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.3.给出下列说法:①平面直角坐标内,第一、三象限的点的集合为{(x ,y )|xy >0};②方程x -2+|y +2|=0的解集为{2,-2};③集合{(x ,y )|y =1-x }与集合{x |y =1-x }是相等的.其中正确的是________(填序号).解析:直角坐标平面内,第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的,且集合中的代表元素为点(x ,y ),故①正确;方程x -2+|y +2|=0等价于x -2=0,y +2=0,即x =2,y =-2,解为有序实数对(2,-2),解集为{(2,-2)}或?x ,yx =2,y =-2,故②不正确;集合{(x ,y )|y =1-x }的代表元素是(x ,y ),集合{x |y =1-x }的代表元素是x ,前者是有序实数对,后者是实数,因此这两个集合不相等,故③不正确.答案:①4.已知A ={-1,-2,0,1},B ={x |x =|y |,y ∈A },则B =________. 解析:∵|-1|=1,|-2|=2,且集合中的元素具有互异性,∴B ={0,1,2}.答案:{0,1,2}5.用适当的方法表示下列集合: (1)一年中有31天的月份的全体;(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;(3)梯形的全体构成的集合;(4)所有能被3整除的数的集合;(5)方程(x -1)(x -2)=0的解集;(6)不等式2x -1>5的解集.解:(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. (2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.(3){x |x 是梯形}或{梯形}. (4){x |x =3n ,n ∈Z}.(5){1,2}. (6){x |x >3}.【课后作业】一、选择题1.方程组?x +y =3,x -y =-1的解集不可以表示为( )A.?(x ,y )x +y =3,x -y =-1 B.?(x ,y )x =1,y =2 C .{1,2} D .{(1,2)}考点集合的表示综合题点用适当的方法表示集合答案 C解析方程组的集合中最多含有一个元素,且元素是一个有序实数对,故C 不符合. 2.集合A ={x ∈Z|-2<="" p="" 用描述法表示有限数集="" 用描述法表示集合="" 答案="" 考点="" 题点="" .1="" .2="" .3="" .4="">解析因为A ={x ∈Z|-2<="" )|y="" 3.集合{(x=""C .平面直角坐标系中的所有点组成的集合D .函数y =2x -1图象上的所有点组成的集合考点用描述法表示集合题点用描述法表示点集答案 D解析集合{(x ,y )|y =2x -1}的代表元素是(x ,y ),x ,y 满足的关系式为y =2x -1,因此集合表示的是满足关系式y =2x -1的点组成的集合,故选D.4.已知x ,y 为非零实数,则集合M =m ?m =x |x |+y |y |+xy|xy |为( ) A .{0,3} B .{1,3} C .{-1,3} D .{1,-3}考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合答案 C解析当x >0,y >0时,m =3,当x <0,y <0时,m =-1-1+1=-1. 当x ,y 异号,不妨设x >0,y <0时,m =1+(-1)+(-1)=-1.因此m =3或m =-1,则M ={-1,3}. 5.下列选项中,集合M ,N 相等的是( ) A .M ={3,2},N ={2,3} B .M ={(3,2)},N ={(2,3)} C .M ={3,2},N ={(3,2)}D .M ={(x ,y )|x =3且y =2},N ={(x ,y )|x =3或y =2} 考点集合的表示综合题点集合的表示综合问题答案 A解析元素具有无序性,A 正确;点的横坐标、纵坐标是有序的,B 选项两集合中的元素不同;C 选项中集合M 中元素是两个数,N 中元素是一个点,不相等;D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2),而N 中元素是两条直线x =3和y =2上所有的点,不相等.6.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的是( ) A.{}x |x 是小于18的正奇数 B.{}x |x =4k +1,k ∈Z ,且k <5 C.{}x |x =4t -3,t ∈N ,且t ≤5 D.{}x |x =4s -3,s ∈N *,且s ≤5考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合答案 D解析对于x =4s -3,当s 依次取1,2,3,4,5时,恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.7.已知集合A ={}x |x =2m -1,m ∈Z ,B ={}x |x =2n ,n ∈Z ,且x 1,x 2∈A ,x 3∈B ,则下列判断不正确的是( ) A .x 1·x 2∈A B .x 2·x 3∈B C .x 1+x 2∈BD .x 1+x 2+x 3∈A考点用描述法表示集合题点用描述法表示与余数有关的整数集合答案 D解析∵集合A 表示奇数集,集合B 表示偶数集,∴x 1,x 2是奇数,x 3是偶数,∴x 1+x 2+x 3为偶数,故D 错误.8.对于任意两个正整数m ,n ,定义某种运算“※”如下:当m ,n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m +n ;当m ,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn ,则在此定义下,集合M ={(a ,b )|a ※b =16}中的元素个数是( ) A .18 B .17 C .16 D .15 答案 B解析因为1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16,8+8=16,9+7=16,10+6=16,11+5=16,12+4=16,13+3=16,14+2=16,15+1=16,1×16=16,16×1=16,集合M 中的元素是有序数对(a ,b ),所以集合M 中的元素共有17个,故选B. 二、填空题9.集合{x ∈N|x 2+x -2=0}用列举法可表示为________.考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合答案 {1}解析由x 2+x -2=0,得x =-2或x =1. 又x ∈N ,∴x =1.10.已知集合A ={1,2,3},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈A },则B 中所含元素的个数为________.考点集合的表示综合题点用适当的方法表示集合答案 3解析根据x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈A ,知集合B ={(1,1),(1,2),(2,1)},有3个元素.11.定义集合A -B ={x |x ∈A ,且x ?B },若集合A ={x |2x +1>0},集合B =?x ??x -23<0,则集合A -B =________.考点集合的表示综合题点集合的表示综合问题答案{x |x ≥2}解析 A =x ?x >-12,B ={x |x <2}, A -B =?xx >-12且x ≥2={x |x ≥2}.三、解答题12.已知集合A ={x |y =x 2+3},B ={y |y =x 2+3},C ={(x ,y )|y =x 2+3},它们三个集合相等吗?试说明理由.考点用描述法表示集合题点用描述法表示集合的综合问题解因为三个集合中代表的元素性质互不相同,所以它们是互不相同的集合.理由如下:集合A 中代表的元素是x ,满足条件y =x 2+3中的x ∈R ,所以A =R ;集合B 中代表的元素是y ,满足条件y =x 2+3中y 的取值范围是y ≥3,所以B ={y |y ≥3}.集合C 中代表的元素是(x ,y ),这是个点集,这些点在抛物线y =x 2+3上,所以C ={P |P 是抛物线y =x 2+3上的点}.13.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合; (2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.考点集合的表示综合题点用适当的方法表示集合解 (1)用描述法表示为{x |2<=""(3)在平面直角坐标系内,点(x ,y )到x 轴的距离为|y |,到y 轴的距离为|x |,所以该集合用描述法表示为{(x ,y )||y |=|x |}.四、探究与拓展14.已知集合A ={x |x =3m ,m ∈N *},B ={x |x =3m -1,m ∈N *},C ={x |x =3m -2,m ∈N *},若a ∈A ,b ∈B ,c ∈C ,则下列结论中可能成立的是( ) A .2 006=a +b +c B .2 006=abc C .2 006=a +bc D .2 006=a (b +c )考点用描述法表示集合题点用描述法表示与余数有关的整数集合答案 C解析由于2 006=3×669-1,不能被3整除,而a+b+c=3m1+3m2-1+3m3-2=3(m1+m2+m3-1)不满足;abc=3m1(3m2-1)(3m3-2)不满足;a+bc=3m1+(3m2-1)(3m3-2)=3m-1适合;a(b+c)=3m1(3m2-1+3m3-2)不满足.故选C.15.若P={0,2,5},Q={1,2,6},定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},用列举法表示集合P+Q.考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合解∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}.</x<20}.<></x<20.<>。
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语11集合的概念第2课时集合的表示课件新人教A版必修第一册

复习课件
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第2课时集合的 表示课件新人教A版必修第一册
2021/4/17
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑A版必修第一册
休息时间到啦
同学们,下课休息十分钟。现在是休 息时间,你们休息一下眼睛,
看看远处,要保护好眼睛哦~站起来 动一动,久坐对身体不好哦~
结束
语 同学们,你们要相信梦想是价值的源泉,相信成
功的信念比成功本身更重要,相信人生有挫折没 有失败,相信生命的质量来自决不妥协的信念,
考试加油。
新教材 人教A版高中数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 习题课件(精选配套习题,含解析)

A.1
B.2
C.3
D.4
解析:方程 x2-5x+6=0 的解为 x=2 或 x=3,x2-x-2=0 的解为 x=2 或 x=-1,所以集合 M 中含有 3 个元素.
4.设x∈N,且1x∈N,则x的值可能是( B )
A.0
B.1
C.-1
D.0或1
解析:∵-1∉N,∴排除C;0∈N,而 10 无意义,排除A、D, 故选B.
——能力提升—— 14.若11-+aa∈A,且集合 A 中只含有一个元素 a,则 a 的值为 ______-__1_±__2___.
解析:由题意,得11- +aa=a, ∴a2+2a-1=0且a≠-1,∴a=-1± 2.
15.已知数集 A 满足条件:若 a∈A,则1-1 a∈A(a≠1),如果 a=2,试求出 A 中的所有元素.
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
解析:根据集合中元素的互异性可知,一定不是等腰三角形.
8.有下列说法:
①集合 N 中最小的数为 1;②若-a∈N,则 a∈N;③若 a∈
N,b∈N,则 a+b 的最小值为 2;④所有小的正数组成一个集合.
其中正确命题的个数是( A )
A.0
解析:深圳不是省会城市,而广州是广东省的省会.
10.设直线 y=2x+3 上的点集为 P,点(2,7)与点集 P 的关系 为(2,7)___∈__ P(填“∈”或“∉”).
解析:直线 y=2x+3 上的点的横坐标 x 和纵坐标 y 满足关系: y=2x+3,即只要具备此关系的点就在直线上.由于当 x=2 时,y =2×2+3=7,∴(2,7)∈P.
(2)不能.理由:若-5 为集合 A 中的元素,则 a-3=-5 或 2a-1=-5.
1.1集合的概念第2课时集合的表示方法课件(人教版)

核心素养
1.会用列举法表示有限集.
1.数学抽象:列举法、描述法表示
2.理解描述法的格式及其适用情况, 集合.
并会用描述法表示相关集合.
2.数学运算、直观想象:用描述法
3.学会在集合的不同表示法中作出选 表示的集合转化为用列举法表示的
择和转换.
集合.
【解】 若集合A只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0, 当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2}. 当k≠0时,则关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0时方程解为x1=x2=4,集合A={4},满足.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
解:当 a=0 时,方程 ax2+2x+1=0,即 2x+1=0, 解得 x=-12 .此时 A=-12 ; 当 a≠0 时,若集合 A 中有且只有一个元素,则方程 ax2+2x+1=0 有两 个相等的实数根, 所以Δa≠=04,-4a=0, 解得 a=1,此时 A={-1}. 综上,当 a=0 或 a=1 时,集合 A 中有且只有一个元素, 所以 a 的值组成的集合 B={0,1}.
(2)方程组
2x+y=8, x-y=1
的解组成的集合 B.
解:解方程组2xx-+y=y=18,
x=3, 得y=2,
所以 B={(3,2)}.
新知探究:集合的表示方法
思考 (1)你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗?
“10以内能被3整除的所有自然数”
(2)你能用列举法表示不等式 x-7<3的实数解集吗? 满足“x<10”的实数有无数个,无法一一列举.
(2)3和4的所有正的公倍数构成的集合; 解:3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x =12n,n∈N*}.
《集合及其表示方法》示范课教学设计(2)【人教B版必修第一册】

第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法第2课时1.掌握用列举法和描述法表示集合;2.能够用区间表示集合.3.在理解集合表示方法的过程中,列举法的理解,以及区间可以用数轴形象地表示,提高学生分析问题和解决问题的能力,提升学生的直观想象素养;对描述法的理解,提升学生的数学抽象素养.对给出的集合进行化简运算后用区间表示,提升学生的数学运算素养.教学重点:集合的表示、区间.教学难点:对集合的特征性质的理解及运用特征性质描述法来表示集合.【新课导入】前面提到的集合都是用自然语言描述的,但在数学中,我们经常要使用符号来表示集合.设计意图:承上启下,自然过渡到本节课的内容.【探究新知】知识点1列举法问题1:(1)由两个元素0,1组成的集合如何用符号语言表示?(2)24的所有正因数1,2,3,4,6,8,12,24组成的集合如何用符号语言表示?(3)中国古典长篇小说四大名著组成的集合如何用符号语言表示?师生活动:阅读教科书第5页,给出列举法的定义:把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号要隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.根据列举法的定义,学生回答,教师分析指导.本图片为微课截图,本视频资源主要讲解列举法的定义,加深学生对于知识的理解和掌握.若需使用,请插入微课【知识点解析】列举法的定义.预设的答案:(1){0,1};(2){1,2,3,4,6,8,12,24};(3){《红楼梦》,《三国演义》,《水浒传》,《西游记》}.设计意图:从学生熟悉的具体实例出发,说明可用列举法表示一类集合.追问1:用列举法表示集合时,要考虑元素的顺序吗?(一般不考虑元素的顺序)追问2:如何用列举法表示:“不大于100的自然数组成的集合”?({0,1,2,3,...,100})教师点评:{1,2}与{2,1}表示同一个集合.但是,如果一个集合的元素较多,且能够按照一定的规律排列,那么在不致于发生误解的情况下,可按照规律列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.例如,不大于100的自然数组成的集合,可表示为{0,1,2,3,...,100}.追问3:是不是只有有限集才可以用列举法表示呢?(不是)教师点评:无限集有时也可用列举法表示.例如,自然数集N可表示为{0,1,2,3,...,n,...} . 追问4:{a}与a相同吗?(不同)教师点评:{a}是只含一个元素的集合,这一个元素是a,要将{a}与它的元素a加以区别,事实上,a∈{a}.知识点2 描述法问题2:以下集合用列举法表示方便吗?如果不万便,你觉得可以怎样表示? (1)满足x >3的所有数组成的集合A ; (2)所有有理数组成的集合Q .本图片为微课截图,本微课资源主要讲解描述法的概念及用描述法表示集合的方法,加深学生对于知识的理解和掌握..若需使用,请插入微课【知识点解析】认识描述法.师生活动:与学生一起探讨:显然,用列举法表示上述集合并不方便,但因为集合A 中的元素x 都具有性质“x 是大于3的数”,而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,因此可以把集合A 表示为{x |x 是大于3的数}或{x |x >3),即A ={x |x 是大于3的数}或A ={x |x >3}.类似地,Q 中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”,而不属于Q 的元素都不具有这个性质,因此可以把Q 表示为Q ={x |x 是两个整数的商}或{|,,,0}mQ x x n Z m Z n n==∈∈≠. 教师总结:上述表示集合的方法中,大括号内竖线的左边是元素的形式,竖线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质.一般地,如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x ),而不属于集合A 的元素都不具有这个性质,则性质p (x )称为集合A 的一个特征性质.此时,集合A 可以用它的特征性质p (x )表示为{x |p (x )}.这种表示集合的方法,称为特征性质描述法,简称为描述法.设计意图:以问题为切入口,通过解决问题来引入新知,有助于培养学生的学习兴趣,提高分析问题解决问题的能力.追问1:集合{ x> 3} 与{x|x>3}是相同的集合吗?(不是)教师点评:根据集合的表示方法,集合{ x> 3} 与{x|x>3} 是有区别的:前者表示的是由不等式x> 3组成的集合,其只包含一个元素,它是有限集;后者是满足不等式x> 3的所有数组成的集合,包含无穷多个元素,它是无限集.【做一做】试用描述法表示下列集合:(1)所有平行四边形组成的集合({x|x是一组对边平行且相等的四边形})(2)所有能被3整除的整数组成的集合({x|x=3n,n∈Z})(3)所有被3除余1的自然数组成的集合({x|x=3n+1,n∈N})【想一想】集合{x∈N|x=3n+1,n∈Z)是不是表示“所有被3除余1的自然数组成的集合”?教师点评:集合{x|p(x)}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合,可以表示为{x∈I|p(x)}. 知识点3区间及其表示阅读教科书第7、8页:区间及其表示师生活动:学生阅读后总结用区间表示集合:如果a<b,则集合{x|a≤x≤b}可简写为[a,b],并称为闭区间;集合{x|a<x<b}可简写为(a,b),并称为开区间;集合{x|a≤x<b}可简写为[a,b),集合{x|a<x≤b}可简写为(a,b],并都称为半开半闭区间.【想一想】我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,那么区间可以用数轴形象地表示吗?师生活动:学生探讨,教师总结:区间中,a,b分别称为区间的左、右端点,b-a称为区间的长度.区间可以用数轴形象地表示.例如,区间[-2,1)可用下图表示,注意图中一2处的点是实心点,而1处的点是空心点.在用数轴表示区间时,实心点代表取得到,空心点代表取不到.【做一做】如果用“+∞”表示“正无穷大”,用“-∞”表示“负无穷大”,则:实数集R可表示为区间__________;集合{x|x≥a}可表示为区间__________;集合{x|x>a}可表示为区间__________;集合{ x |x≤a}可表示为区间__________;集合{x |x<a}可表示为区间__________;将区间[7,+∞)用数轴表示为__________.预设的答案:(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a] (-∞,a)【巩固练习】例1用适当的方法表示下列集合,并指出它是有限集还是无限集.(1)方程x(x一1)=0的所有解组成的集合A;(2)平面直角坐标系中,第一象限内所有点组成的集合B.(3)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.(4)不等式3x+4≥x的解集.师生活动:学生完成,教师点评,并思考选用哪种表示方法合适.预设的答案:(1)因为0和1是方程x(x-1)=0的解,而且这个方程只有两个解,所以A={0,1).(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零,因此B={(x,y)|x>0,y>0}.(3)用描述法表示该集合为M={(x,y)|y=-x+4,x∈N,y∈N},或用列举法表示该集合为{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.有限集.(4)由3x+4≥x得2x≥-4,所以x≥-2,所以不等式3x+4≥x的解集是[-2,+∞).无限集.设计意图:锻炼学生分析问题、解决问题的能力.在这里可以引导学生总结和归纳集合的两种不同的表示方法的优缺点。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1第二课时集合的表示课件新人教A版必修第一册

答案:B
2.用列举法表示下列集合: (1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合; (2)不大于10的非负偶数组成的集合; (3)一次函数y=x-2与y=-x的图象的交点组成的集合.
解:(1)中国古典长篇小说四大名著构成的集合是{《三国演义》,《西游 记》,《水浒传》,《红楼梦》}. (2)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不 大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}. (3)解方程组yy= =x--x2,,得xy==-1,1,即交点是(1,-1),故两函数图象的交 点组成的集合是{(1,-1)}.
[迁移应用] 给定数集A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A 为闭集合.判断集合A={-4,-2,0,2,4},B={x|x=3k,k∈Z }是不 是闭集合,并给出证明. 解:因为4∈A,-4∈A,4-(-4)=8∉A,所以A不是闭集合; 任取a,b∈B,设a=3m,b=3n,m,n∈Z ,
答案:D
2.选择适当的方法表示下列集合: (1)大于1且小于8的有理数; (2)由|aa|+|bb|(a,b∈R )所确定的实数集合; (3)不等式2x-3<5的解组成的集合. 解:(1)大于1且小于8的有理数有无数个,用描述法表示为{x∈Q |1<x<8}.
(2)关键是根据绝对值的意义化简,设x=
用描述法表示集合的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素,如数或点等; (2)说明该集合中元素的共同属性,如满足的方程、不等式、函数或几何 图形等; (3)所有描述的内容都要写在大括号内,用于描述内容的语言力求简洁、 准确; (4)“{}”有“所有”“全体”的含义,因此自然数集可以表示为{x|x为自然
数}或N ,但不能表示为{x|x为所有自然数}或{N }.
高中数学第1章集合与逻辑11第2课时表示集合的方法课件必修第一册

5-2
为
,其长度是
.
答案 (1)(2,7] (2)
5
1,
2
3
2
解析 (1)由题意可知a-2≤5,且a>2,
所以2<a≤7,即实数a的取值范围是(2,7].
-1 ≥ 0,
(2)函数 y= -1与 y=
同时有意义的实数 x 满足
即
5-2 > 0,
5-2
1
≥ 1,
<
5 因此
.
2
x 同时满足 x≥1 且
(2)方程(x-4)2(x-2)=0的根构成的集合;
(3)一次函数 y=x-1 与
2 4
y=- x+ 的图象的交点构成的集合.
3 3
分析(1)要明确公约数的含义;(2)注意4是重根;(3)要写成点集形式.
解 (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12,所求集合可表示为{1,2,3,4,6,12}.
2021
第1章
第2课时 表示集合的方法
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.掌握集合的两种表示方法—
—列举法和描述法.(数学抽象)
2.针对具体问题,能在自然语言
和图形语言的基础上,用符号
语言刻画集合.(数学抽象、直
观想象)
思维脉络
课前篇 自主预习
情境导入
根据集合的概念,我们知道:
当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需
Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
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第2讲 集合的表示【知识梳理】知识点一 列举法把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.【要点讲解】使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“,”分隔开,其一般形式为{a 1,a 2,…,a n };(2)元素不重复,满足元素的互异性;(3)元素无顺序,满足元素的无序性;(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合,采取该方法较合适;若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律,在不会产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.【知识精讲】例1 (1)设集合A ={1,2,3},B ={1,3,9},若x ∈A 且x ∉B ,则x =( )A .1B .2C .3D .9 (2)用列举法表示下列集合:①不大于10的非负偶数组成的集合;②方程x 2=x 的所有实数解组成的集合;③直线y =2x +1与y 轴的交点组成的集合;④方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1,x -y =-1的解.【解】选B (1)∵x ∈A ,∴x =1,2,3.又∵x ∉B ,∴x ≠1,3,9,故x =2.(2)①因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}.②方程x 2=x 的实数解是x =0或x =1,所以方程x 2=x 的所有实数解组成的集合为{0,1}. ③将x =0代入y =2x +1,得y =1,即交点是(0,1),故直线y =2x +1与y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}.④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1,x -y =-1,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,y =1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1,x -y =-1的解集为{(0,1)}.【变式训练】1、已知集合A ={-2,-1,0,1,2,3},对任意a ∈A ,有|a |∈B ,且B 中只有4个元素,求集合B .解:对任意a ∈A ,有|a |∈B .因为集合A ={-2,-1,0,1,2,3},由-1,-2,0,1,2,3∈A ,知0,1,2,3∈B .又因为B 中只有4个元素,所以B ={0,1,2,3}.2、 用列举法表示下列集合.(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x 2=x 的所有实数根组成的集合.解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A ,那么A ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x 2=x 的所有实数根组成的集合为B ,那么B ={0,1}.3、用列举法表示下列集合.(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;(2)由1~20以内的所有素数组成的集合.解:(1)满足条件的数有3,5,7,所以所求集合为{3,5,7}.(2)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C ,那么C ={2,3,5,7,11,13,17,19}.4、用列举法表示集合A ={(x ,y )|y =x 2,-1≤x ≤1,且x ∈Z}.解:由-1≤x ≤1,且x ∈Z ,得x =-1,0,1,当x =-1时,y =1;当x =0时,y =0;当x =1时,y =1.∴A ={(-1,1),(0,0),(1,1)}.【方法技巧总结】用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素;(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次;(3)用花括号括起来.【知识梳理】知识点二描述法(1)定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.【要点讲解】1.描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,不能将它们一一列举出来,可以将集合中元素的共同特征描述出来,即采用描述法.2.描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)},其中的x表示集合中的代表元素,A指的是元素的取值范围;p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征,其中“|”将代表元素与其特征分隔开来.一般来说,集合元素x的取值范围A需写明确,但若从上下文的关系看,x∈A是明确的,则x∈A可以省略,只写元素x.例1 (1)用符号“∈”或“∉”填空:①A={x|x2-x=0},则1____A,-1____A;②(1,2)________{(x,y)|y=x+1}.(2)用描述法表示下列集合:①正偶数集;②被3除余2的正整数的集合;③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.【解】(1)①将1代入方程,成立;将-1代入方程,不成立.故1∈A,-1∉A.②将x=1,y=2代入y=x+1,成立,故填“∈”.(2)①偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N*,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N*}.②设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故x=3n+2,n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.③坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.【答案】(1)①∈∉②∈【变式训练】1、下列三个集合:①A={x|y=x2+1};②B={y|y=x2+1};③C={(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义分别是什么?解:(1)由于三个集合的代表元素互不相同,故它们是互不相同的集合.(2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即A=R;集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对.可以认为集合C是坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的集合,其实就是抛物线y=x2+1的图象.2、试用描述法表示下列集合.(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解:(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为A ={x∈R|x2-2=0}.(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10<x<20.因此,用描述法表示为B={x∈Z|10<x<20}.3、用描述法表示函数y=x2-2图象上所有的点组成的集合.解:{(x,y)|y=x2-2}.4、用描述法表示下列集合.(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解:(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2=0,解得x=2,y=-3.所以方程的解集为{(x,y)|x=2,y=-3}.(2)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.5、集合A={1,-3,5,-7,9,…}用描述法可表示为( )A.{x|x=2n±1,n∈N}B.{x|x=(-1)n(2n-1),n∈N}C.{x|x=(-1)n(2n+1),n∈N}D.{x|x=(-1)n-1(2n+1),n∈N}【解】选C (1)观察规律,其绝对值为奇数排列,且正负相间,且第一个为正数,故应选C.【方法技巧总结】利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x∈Z|x=2k},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x∈Z|x=2k,k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.(5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等.知识点三集合表示的综合应用【知识梳理】用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.【知识精讲】题型1 选择适当的方法表示集合例1 用适当的方法表示下列集合.(1)由x=2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合;(2)抛物线y=x2-2x与x轴的公共点的集合;(3)直线y=x上去掉原点的点的集合.解(1)列举法:{0,2,4};或描述法{x|x=2n,0≤n≤2且n∈N}.(2)列举法:{(0,0),(2,0)}.(3)描述法:{(x,y)|y=x,x≠0}.【变式训练】1、若集合A={x∈Z|-2≤x≤2},B={y|y=x2+2 000,x∈A},则用列举法表示集合B=________.【答案】{2 000,2 001,2 004}【解析】由A ={x ∈Z|-2≤x ≤2}={-2,-1,0,1,2},所以x 2∈{0,1,4},x 2+2 000的值为2 000,2001,2 004,所以B ={2 000,2 001,2 004}.2、设集合B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∈N x N x 26|. ①试判断元素1,2与集合B 的关系;②用列举法表示集合B .【解】①当x =1时,62+1=2∈N ; 当x =2时,62+2=32∉N. 所以1∈B,2∉B .②∵62+x∈N ,x ∈N , ∴2+x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ={0,1,4}.【方法技巧总结】判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合,判断元素与集合的关系时,观察即得元素与集合的关系. 例如,集合A ={1,9,12},则0∉A,9∈A .(2)用描述法给出的集合,判断元素与集合的关系时就比较复杂.此时,首先明确该集合中元素的一般符号是什么,是实数?是方程?…,其次要清楚元素的共同特征是什么,最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征,即可确定所给元素与集合的关系.题型2 新定义的集合例2 在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ],即[k ]={}5n +k |n ∈Z ,k =0,1,2,3,4,给出如下四个结论:①2 016∈[1];②-3∈[3];③若整数a ,b 属于同一“类”,则a -b ∈[0];④若a -b ∈[0],则整数a ,b 属于同一“类”.其中,正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4答案 C解析 由于[k ]={ 5n +k |n ∈Z|,对于①,2 016除以5等于403余1,∴2 016∈[1],∴①正确;对于②,-3=-5+2,被5除余2,∴②错误;对于③,∵a ,b 是同一“类”,可设a =5n 1+k ,b =5n 2+k ,则a -b =5(n 1-n 2)能被5整除,∴a -b ∈[0],∴③正确;对于④,若a -b ∈[0],则可设a -b =5n ,n ∈Z ,即a =5n +b ,n ∈Z ,不妨令b =5m +k ,m ∈Z ,k =0,1,2,3,4,则a =5n +5m +k =5(m +n )+k ,m ∈Z ,n ∈Z ,∴a ,b 属于同一“类”,∴④正确,则正确的有①③④,共3个.【变式训练】1、 定义集合运算:A ※B ={t |t =xy ,x ∈A ,y ∈B },设A ={1,2},B ={0,2},则集合A ※B 中的所有元素之和为________.答案 6解析 由题意得t =0,2,4,即A ※B ={0,2,4},又0+2+4=6,故集合A ※B 中的所有元素之和为6.【易错题】[典例] 集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R}中只有一个元素,求a 的取值范围.【解析】当a =0时,原方程变为2x +1=0,此时x =-12,符合题意; 当a ≠0时,方程ax 2+2x +1=0为一元二次方程,当Δ=4-4a =0,即a =1时,原方程的解为x =-1,符合题意.故当a =0或a =1时,原方程只有一个解,此时A 中只有一个元素.【易错点】解答上面例题时,a =0这种情况极易被忽视,对于方程“ax 2+2x +1=0”有两种情况:一是a =0,即它是一元一次方程;二是a ≠0,即它是一元二次方程,也只有在这种情况下,才能用判别式Δ来解决问题.【易错点训练】1、集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R}中只有一个元素,若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围解:A 中至多有一个元素,即A 中有一个元素或没有元素.当A 中只有一个元素时,由例题可知,a =0或a =1.当A 中没有元素时,Δ=4-4a <0,即a >1.故当A 中至多有一个元素时,a 的取值范围为{a |a =0或a ≥1}.2、集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R}中只有一个元素,若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围解:A 中至少有一个元素,即A 中有一个或两个元素.由例题可知,当a =0或a =1时,A 中有一个元素;当A 中有两个元素时,Δ=4-4a >0,即a <1.∴A 中至少有一个元素时,a 的取值范围为{a |a ≤1}.3、集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R}中只有一个元素,若1∈A ,则a 为何值?解:∵1∈A ,∴a +2+1=0,即a =-3.4、集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R}中只有一个元素,是否存在实数a ,使A ={1},若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.解:∵A ={1},∴1∈A ,∴a +2+1=0,即a =-3.又当a =-3时,由-3x 2+2x +1=0,得x =-13或x =1, 即方程ax 2+2x +1=0存在两个根-13和1,此时A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-13,1,与A ={1}矛盾. 故不存在实数a ,使A ={1}.【课堂小测】1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1,x 2-y 2=9的解集是( )A .(-5,4)B .(5,-4)C .{(-5,4)}D .{(5,-4)} 解析:选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1,x 2-y 2=9,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =5,y =-4,故解集为{(5,-4)}.2.下列四个集合中,不同于另外三个的是( )A .{y |y =2}B .{x =2}C .{2}D .{x |x 2-4x +4=0} 解析:选B 集合{x =2}表示的是由一个等式组成的集合,其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.3.给出下列说法:①平面直角坐标内,第一、三象限的点的集合为{(x ,y )|xy >0}; ②方程x -2+|y +2|=0的解集为{2,-2};③集合{(x ,y )|y =1-x }与集合{x |y =1-x }是相等的.其中正确的是________(填序号).解析:直角坐标平面内,第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的,且集合中的代表元素为点(x ,y ),故①正确;方程x -2+|y +2|=0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x -2=0,y +2=0,即⎩⎪⎨⎪⎧ x =2,y =-2,解为有序实数对(2,-2),解集为{(2,-2)}或⎩⎨⎧ x ,y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x =2,y =-2,故②不正确;集合{(x ,y )|y =1-x }的代表元素是(x ,y ),集合{x |y =1-x }的代表元素是x ,前者是有序实数对,后者是实数,因此这两个集合不相等,故③不正确.答案:①4.已知A ={-1,-2,0,1},B ={x |x =|y |,y ∈A },则B =________.解析:∵|-1|=1,|-2|=2,且集合中的元素具有互异性,∴B ={0,1,2}.答案:{0,1,2}5.用适当的方法表示下列集合:(1)一年中有31天的月份的全体;(2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;(3)梯形的全体构成的集合;(4)所有能被3整除的数的集合;(5)方程(x -1)(x -2)=0的解集;(6)不等式2x -1>5的解集.解:(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.(3){x |x 是梯形}或{梯形}.(4){x |x =3n ,n ∈Z}.(5){1,2}.(6){x |x >3}.【课后作业】一、选择题1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =3,x -y =-1的解集不可以表示为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =3,x -y =-1 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =2 C .{1,2}D .{(1,2)} 考点 集合的表示综合题点 用适当的方法表示集合答案 C解析 方程组的集合中最多含有一个元素,且元素是一个有序实数对,故C 不符合.2.集合A ={x ∈Z|-2<x <3}的元素个数为( )A .1B .2C .3D .4考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示有限数集答案 D解析 因为A ={x ∈Z|-2<x <3},所以x 的取值为-1,0,1,2,共4个.3.集合{(x ,y )|y =2x -1}表示( )A .方程y =2x -1B .点(x ,y )C .平面直角坐标系中的所有点组成的集合D .函数y =2x -1图象上的所有点组成的集合考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示点集答案 D解析 集合{(x ,y )|y =2x -1}的代表元素是(x ,y ),x ,y 满足的关系式为y =2x -1,因此集合表示的是满足关系式y =2x -1的点组成的集合,故选D.4.已知x ,y 为非零实数,则集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m =x |x |+y |y |+xy |xy |为( ) A .{0,3}B .{1,3}C .{-1,3}D .{1,-3}考点 集合的表示综合题点 用另一种方法表示集合答案 C解析 当x >0,y >0时,m =3, 当x <0,y <0时,m =-1-1+1=-1.当x ,y 异号,不妨设x >0,y <0时,m =1+(-1)+(-1)=-1.因此m =3或m =-1,则M ={-1,3}.5.下列选项中,集合M ,N 相等的是( )A .M ={3,2},N ={2,3}B .M ={(3,2)},N ={(2,3)}C .M ={3,2},N ={(3,2)}D .M ={(x ,y )|x =3且y =2},N ={(x ,y )|x =3或y =2}考点 集合的表示综合题点 集合的表示综合问题答案 A解析 元素具有无序性,A 正确;点的横坐标、纵坐标是有序的,B 选项两集合中的元素不同;C 选项中集合M 中元素是两个数,N 中元素是一个点,不相等;D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2),而N 中元素是两条直线x =3和y =2上所有的点,不相等.6.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的是( )A.{}x |x 是小于18的正奇数B.{}x |x =4k +1,k ∈Z ,且k <5C.{}x |x =4t -3,t ∈N ,且t ≤5D.{}x |x =4s -3,s ∈N *,且s ≤5 考点 集合的表示综合题点 用另一种方法表示集合答案 D解析 对于x =4s -3,当s 依次取1,2,3,4,5时,恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.7.已知集合A ={}x |x =2m -1,m ∈Z ,B ={}x |x =2n ,n ∈Z ,且x 1,x 2∈A ,x 3∈B ,则下列判断不正确的是( )A .x 1·x 2∈AB .x 2·x 3∈BC .x 1+x 2∈BD .x 1+x 2+x 3∈A 考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示与余数有关的整数集合答案 D解析 ∵集合A 表示奇数集,集合B 表示偶数集,∴x 1,x 2是奇数,x 3是偶数,∴x 1+x 2+x 3为偶数,故D 错误.8.对于任意两个正整数m ,n ,定义某种运算“※”如下:当m ,n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m +n ;当m ,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn ,则在此定义下,集合M ={(a ,b )|a ※b =16}中的元素个数是( )A .18B .17C .16D .15答案 B解析 因为1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16,8+8=16,9+7=16,10+6=16,11+5=16,12+4=16,13+3=16,14+2=16,15+1=16,1×16=16,16×1=16,集合M 中的元素是有序数对(a ,b ),所以集合M 中的元素共有17个,故选B.二、填空题9.集合{x ∈N|x 2+x -2=0}用列举法可表示为________.考点 集合的表示综合题点 用另一种方法表示集合答案 {1}解析 由x 2+x -2=0,得x =-2或x =1.又x ∈N ,∴x =1.10.已知集合A ={1,2,3},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈A },则B 中所含元素的个数为________.考点 集合的表示综合题点 用适当的方法表示集合答案 3解析 根据x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈A ,知集合B ={(1,1),(1,2),(2,1)},有3个元素.11.定义集合A -B ={x |x ∈A ,且x ∉B },若集合A ={x |2x +1>0},集合B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x -23<0,则集合A -B =________.考点 集合的表示综合题点 集合的表示综合问题答案 {x |x ≥2}解析 A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >-12,B ={x |x <2}, A -B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >-12且x ≥2={x |x ≥2}. 三、解答题12.已知集合A ={x |y =x 2+3},B ={y |y =x 2+3},C ={(x ,y )|y =x 2+3},它们三个集合相等吗?试说明理由.考点 用描述法表示集合题点 用描述法表示集合的综合问题解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同,所以它们是互不相同的集合.理由如下:集合A 中代表的元素是x ,满足条件y =x 2+3中的x ∈R ,所以A =R ;集合B 中代表的元素是y ,满足条件y =x 2+3中y 的取值范围是y ≥3,所以B ={y |y ≥3}. 集合C 中代表的元素是(x ,y ),这是个点集,这些点在抛物线y =x 2+3上,所以C ={P |P 是抛物线y =x 2+3上的点}.13.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.考点 集合的表示综合题点 用适当的方法表示集合解 (1)用描述法表示为{x |2<x <5,且x ∈Q}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x ,y )到x 轴的距离为|y |,到y 轴的距离为|x |,所以该集合用描述法表示为{(x ,y )||y |=|x |}.四、探究与拓展14.已知集合A ={x |x =3m ,m ∈N *},B ={x |x =3m -1,m ∈N *},C ={x |x =3m -2,m ∈N *},若a ∈A ,b ∈B ,c ∈C ,则下列结论中可能成立的是( )A .2 006=a +b +cB .2 006=abcC .2 006=a +bcD .2 006=a (b +c ) 考点 用描述法表示集合题点用描述法表示与余数有关的整数集合答案 C解析由于2 006=3×669-1,不能被3整除,而a+b+c=3m1+3m2-1+3m3-2=3(m1+m2+m3-1)不满足;abc=3m1(3m2-1)(3m3-2)不满足;a+bc=3m1+(3m2-1)(3m3-2)=3m-1适合;a(b+c)=3m1(3m2-1+3m3-2)不满足.故选C.15.若P={0,2,5},Q={1,2,6},定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},用列举法表示集合P+Q.考点集合的表示综合题点用另一种方法表示集合解∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}.。