矢量图解法求运动
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v舟
若v舟＜v水，船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在
船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成 arc cos v舟
这时船的实际航程为
d v水 v舟
河岸
v舟 v
v舟
v
v水
河岸
v v舟
d
θ
v水
d
θ
v水
θ v水
河岸
河岸
当船的航程最短时，航行时间不是最短．
例3： 某一恒力作用在以初速度v运动的物体上，经过时间t，物
发，这点在港口后面的 v02 v2 D 处．⑵如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，
v
它在什么时候和什么地方截住这条船？
AA
方⑴向艇沿拦A截B连到线船即相两遇者,相有对艇速相度对为于船Vuv的 vv速0 度vv VD
v、V夹角不会超过90°
由速度矢量三角形得 arc cot v02 v2
则 S D cot v02 v2 D
v 4
v3t
D
v32t v2 3v2 2v 3v cos
例4：从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角θ 为多大时物体落地的水平位移最大．
物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的 时间t内，速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt;
落地时速度v的大小为
矢量关系:
uuv v
线．突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度v0＝2.5 km/h沿与湖岸 成α＝15°角的方向飘去．同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速度v1 ＝4 km/h行走或在水中以速度v2＝2 km/h游去，此人能否赶上快艇？ 当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？
设人以v1速度运动时间x，以v2速度运动时间y，则有
vvt
vt
vv0
v02 2gh
v0 θ
矢量△“面积”S
1 2
gt v0
cos
h
1 gx
2
1 2
v0
vt
sin
θ △v
x v0 v02 2gh sin
x
g
当 即 arc tan
2
v02
v0
2
gh
时xmax
v0
v02 2gh vt g
练习1：如图所示，甲、乙两船在静水中航行速度分别
人赶上艇，两者位移矢量构成闭合三角形，
位移的矢量关系 vv0 x y vv1 x vv2 y 即2y2 4x2 2v.5 x y2 24x 2v.5 x y cos15o
v0(x+y)
v2y
15°
v1x
整理得
9 y2 50 20
6
2
xy
89
20
6
2
x
2
0
Q 50 20
源自文库
冰雹近、离车的速度遵守“反射定律”
第一次 第二次 由两矢量图
vv雹对车 vv雹 vv1 vv雹对车 vv雹 vv2
v1 v雹 cot 30o
v雹离车
30o 30o
v1
v雹 30o
30o
v2 v雹 cot 60o
则
v1 3
v2 1
v v 雹离车 15o 15o 2
v雹60o
15o
练习6： 快艇系在湖面很大的湖的岸边．湖岸线可以认为是直
体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过
了3t时间后，物体的速度v3t之大小．
uuv v
vvt
vv
vvt 2
vvt1
vvt 3
vvt 2
在矢量三角形中运用
余弦定理:
v
O
Aα
vt
v 2
2
v2
v 2
2v
v cos
B
v 2 4
v2
2v 2
2v 2v cos
v2t
C
7
v3t
为 v甲和v乙 ，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲 船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两
船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时
间之比t甲∶t乙= v乙2 :v甲2
．
起、止点相同，甲、乙合速度 方向一致，运动合成情况如示:
V 甲合
V甲
α
两船航程相同，时间应与合速度成反比，由图
t甲 v乙合 v水 sin sin2
V=V1+V2
v2
v1
V
v2
v2
V12=V1-V2
V12
v1
v1
运动的合成与分解遵循的原理：
独立性原理 构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、
互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行， 不会因有其它分运动的存在而发生改变．
等时性合原运理动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动
的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义．
A h
S
1 2
gt v0 cos
1 2 v0 vB sin
90o
θ O
v0
其中v0t cos Lcos vB v02 2gLsin
1 2
gL cos
1 2
v0
v02 gL cos
αBθ △v
3 L v0 v02 gL cos
3L cos 1
的方向起跳，最后落在坡上Ｂ点，坡上OB两点距离L为
此项运动的记录．已知A点高于O点h＝50 m，忽略各种 阻力、摩擦，求运动员最远可跳多少米，此时起跳角为 多大？
A
h θ
O
αB
在O点起跳速度v的大小为 v0 2gh 10 10 m/s
在发生L位移的时间t内，速度增量
△矢v量恒为关竖系直: 向下u,u大vv 小 为vvBgt; vv0
v2m v1 sin =
d d 2 l 2 v1
方向与BC成 arcsin d
d2 l2
船对岸的速度（绝对速度） v
水对岸的速度（牵连速度）v水
⑴航行时间
船对水的速度（相对速度）v舟
渡河时间取决于船对水的速度v舟:
t s舟 v舟
当v舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移S舟=d最小，
x21
v12 v22
d
这个最短距离适用于 另一石块落地之前
即 l cos
v21
2h lv2 g v12 v22
v1l v12 v22
练习4：如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D，
船速为v0 ，一艘速率为v（v＜v0 ）的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行
去拦截这条船．⑴证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出
雨对地的速度（绝对速度） v雨=4 m/s 竖直向下 人对地的速度（牵连速度）v人=3 m/s 向东 雨对人的速度（相对速度）V雨对人
三速度矢量关系为 vv雨对人 vv雨 vv人
伞柄方向与竖直成 tan v人 ＝3
v雨 4
＝arctan 3 37o
4
例2：一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动，与此同时，
位移的合成与分解为 加速度的合成与分解为
SAC SAB SBC SAB SAC SBC aAC aAB aBC aAB aAC aBC
* 根据实际效果分解运动. v v1 v2
例1：雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落，人打着伞以3 m/s的速度向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面 而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
6
2
2
4
9
89
20
6
2
>
0
此式有解，即人能赶上以2.5 km/h飘行的快艇!
推至一般 3 1 v2 2 6 2 v 16 0
v 2 2 km/h 人总能赶上快艇!
雪练比习赛7：．如运图动所员示从，坡在上方仰角A点 开 6始的下雪滑坡，上到举起行跳跳点台O滑时 借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成θ角
vB
2
g
20 100 L
当 0即
此时由
时
v0
vB
sin sin 90o
Lmax 200 m 30o
矢量性原理 描述运动状态的位移、速度、加速度等
物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即 平行四边形定则作上述物理量的运算．
* 引入中介参照系． 若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为vAC，动 参考系B对C的速度（牵连速度）为vBC，而A对动参考系B的速
度（相对速度）为vAB，则有 v AC v AB vBC v AB vAC vBC
一个石块对地的速度为 v1+vy
另一个石块对地的速度为 v2+vy 两者相对速度为
v1
uuv
v21
vv2
vvy
vv1 vvy
vv2 vv1
l
v21
以石块1为参考系，石块2的位移方向
v2
与v21相同:
以石块1为参考系，两石块初始距离为l:
由图 d l sin
而 sin v1
v21
v1
t乙 v甲合 v水 / sin
而
sin2
v乙 v甲
2
故
t甲 t乙
v乙 v甲
2
V 乙合
V乙
α
V水
练习2： 骑自行车的人以20 km／h 的速率向东行驶，感到风从 正北方吹来，以40 km／h 的速率向东行驶，感到风从东北方向 吹来，试求风向和风速．
人对地的速度 V人1=20 km/h ,V人2=40 km/h,方向正东 风对人的速度 V风对人1方向正南， V风对人2方向西南
风对地的速度V风？
速度矢量V风= V风对人+ V人的关系如图
由图中几何关系易得
v风 2v人1 28km / h
风向西北
v风对人2
v风
v风对人1 v人1 v人2
练习3：从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块，
一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位 置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．
故可使渡河时间最短:
d tmin v舟
河岸
S S舟
v舟
v
d
v v舟
v水
河岸
v水
水速大小不影响渡河时间!
S水
⑵实际航程
为使航程最小，应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹角θ 尽量地小！
若 与船v舟的＞航v水线，成船的实 际arc位si移n v为水 河宽船d头航指程向即上最游短，故 v舟的方向
另一质点以v2速度从B点出发做匀速运动，如图所示，已知A、C 相距l，B、C相距d，且BC⊥AC，若要两质点相遇，v2的最小速 率为多少？其方向如何？
由“两质点相遇”知A处质
C l v1 A
点相对于B处质点的速度vAB
vvvv方1A向B沿vvAABvvB连1 线 vvvv22
θ d v2 θ
B
由几何三角形与矢量三角形关系得:
v
v
v0 v0
v
B
S
V
⑵上述是最迟出发的临界情况!
截住船的位置在A前方
此时Q
S相
D csc
v0 v
D
V v02 v2
t D csc v0 D
V
v v02 v2
Dv02 v v02 v2
练习5：一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1 ＝30°，另一次安装成倾斜角度为β2＝15°，问汽车两次速度 之比v1∶v2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的 正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）
若v舟＜v水，船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在
船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成 arc cos v舟
这时船的实际航程为
d v水 v舟
河岸
v舟 v
v舟
v
v水
河岸
v v舟
d
θ
v水
d
θ
v水
θ v水
河岸
河岸
当船的航程最短时，航行时间不是最短．
例3： 某一恒力作用在以初速度v运动的物体上，经过时间t，物
发，这点在港口后面的 v02 v2 D 处．⑵如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，
v
它在什么时候和什么地方截住这条船？
AA
方⑴向艇沿拦A截B连到线船即相两遇者,相有对艇速相度对为于船Vuv的 vv速0 度vv VD
v、V夹角不会超过90°
由速度矢量三角形得 arc cot v02 v2
则 S D cot v02 v2 D
v 4
v3t
D
v32t v2 3v2 2v 3v cos
例4：从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角θ 为多大时物体落地的水平位移最大．
物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的 时间t内，速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt;
落地时速度v的大小为
矢量关系:
uuv v
线．突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度v0＝2.5 km/h沿与湖岸 成α＝15°角的方向飘去．同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速度v1 ＝4 km/h行走或在水中以速度v2＝2 km/h游去，此人能否赶上快艇？ 当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？
设人以v1速度运动时间x，以v2速度运动时间y，则有
vvt
vt
vv0
v02 2gh
v0 θ
矢量△“面积”S
1 2
gt v0
cos
h
1 gx
2
1 2
v0
vt
sin
θ △v
x v0 v02 2gh sin
x
g
当 即 arc tan
2
v02
v0
2
gh
时xmax
v0
v02 2gh vt g
练习1：如图所示，甲、乙两船在静水中航行速度分别
人赶上艇，两者位移矢量构成闭合三角形，
位移的矢量关系 vv0 x y vv1 x vv2 y 即2y2 4x2 2v.5 x y2 24x 2v.5 x y cos15o
v0(x+y)
v2y
15°
v1x
整理得
9 y2 50 20
6
2
xy
89
20
6
2
x
2
0
Q 50 20
源自文库
冰雹近、离车的速度遵守“反射定律”
第一次 第二次 由两矢量图
vv雹对车 vv雹 vv1 vv雹对车 vv雹 vv2
v1 v雹 cot 30o
v雹离车
30o 30o
v1
v雹 30o
30o
v2 v雹 cot 60o
则
v1 3
v2 1
v v 雹离车 15o 15o 2
v雹60o
15o
练习6： 快艇系在湖面很大的湖的岸边．湖岸线可以认为是直
体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过
了3t时间后，物体的速度v3t之大小．
uuv v
vvt
vv
vvt 2
vvt1
vvt 3
vvt 2
在矢量三角形中运用
余弦定理:
v
O
Aα
vt
v 2
2
v2
v 2
2v
v cos
B
v 2 4
v2
2v 2
2v 2v cos
v2t
C
7
v3t
为 v甲和v乙 ，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲 船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两
船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时
间之比t甲∶t乙= v乙2 :v甲2
．
起、止点相同，甲、乙合速度 方向一致，运动合成情况如示:
V 甲合
V甲
α
两船航程相同，时间应与合速度成反比，由图
t甲 v乙合 v水 sin sin2
V=V1+V2
v2
v1
V
v2
v2
V12=V1-V2
V12
v1
v1
运动的合成与分解遵循的原理：
独立性原理 构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、
互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行， 不会因有其它分运动的存在而发生改变．
等时性合原运理动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动
的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义．
A h
S
1 2
gt v0 cos
1 2 v0 vB sin
90o
θ O
v0
其中v0t cos Lcos vB v02 2gLsin
1 2
gL cos
1 2
v0
v02 gL cos
αBθ △v
3 L v0 v02 gL cos
3L cos 1
的方向起跳，最后落在坡上Ｂ点，坡上OB两点距离L为
此项运动的记录．已知A点高于O点h＝50 m，忽略各种 阻力、摩擦，求运动员最远可跳多少米，此时起跳角为 多大？
A
h θ
O
αB
在O点起跳速度v的大小为 v0 2gh 10 10 m/s
在发生L位移的时间t内，速度增量
△矢v量恒为关竖系直: 向下u,u大vv 小 为vvBgt; vv0
v2m v1 sin =
d d 2 l 2 v1
方向与BC成 arcsin d
d2 l2
船对岸的速度（绝对速度） v
水对岸的速度（牵连速度）v水
⑴航行时间
船对水的速度（相对速度）v舟
渡河时间取决于船对水的速度v舟:
t s舟 v舟
当v舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移S舟=d最小，
x21
v12 v22
d
这个最短距离适用于 另一石块落地之前
即 l cos
v21
2h lv2 g v12 v22
v1l v12 v22
练习4：如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D，
船速为v0 ，一艘速率为v（v＜v0 ）的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行
去拦截这条船．⑴证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出
雨对地的速度（绝对速度） v雨=4 m/s 竖直向下 人对地的速度（牵连速度）v人=3 m/s 向东 雨对人的速度（相对速度）V雨对人
三速度矢量关系为 vv雨对人 vv雨 vv人
伞柄方向与竖直成 tan v人 ＝3
v雨 4
＝arctan 3 37o
4
例2：一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动，与此同时，
位移的合成与分解为 加速度的合成与分解为
SAC SAB SBC SAB SAC SBC aAC aAB aBC aAB aAC aBC
* 根据实际效果分解运动. v v1 v2
例1：雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落，人打着伞以3 m/s的速度向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面 而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
6
2
2
4
9
89
20
6
2
>
0
此式有解，即人能赶上以2.5 km/h飘行的快艇!
推至一般 3 1 v2 2 6 2 v 16 0
v 2 2 km/h 人总能赶上快艇!
雪练比习赛7：．如运图动所员示从，坡在上方仰角A点 开 6始的下雪滑坡，上到举起行跳跳点台O滑时 借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成θ角
vB
2
g
20 100 L
当 0即
此时由
时
v0
vB
sin sin 90o
Lmax 200 m 30o
矢量性原理 描述运动状态的位移、速度、加速度等
物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即 平行四边形定则作上述物理量的运算．
* 引入中介参照系． 若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为vAC，动 参考系B对C的速度（牵连速度）为vBC，而A对动参考系B的速
度（相对速度）为vAB，则有 v AC v AB vBC v AB vAC vBC
一个石块对地的速度为 v1+vy
另一个石块对地的速度为 v2+vy 两者相对速度为
v1
uuv
v21
vv2
vvy
vv1 vvy
vv2 vv1
l
v21
以石块1为参考系，石块2的位移方向
v2
与v21相同:
以石块1为参考系，两石块初始距离为l:
由图 d l sin
而 sin v1
v21
v1
t乙 v甲合 v水 / sin
而
sin2
v乙 v甲
2
故
t甲 t乙
v乙 v甲
2
V 乙合
V乙
α
V水
练习2： 骑自行车的人以20 km／h 的速率向东行驶，感到风从 正北方吹来，以40 km／h 的速率向东行驶，感到风从东北方向 吹来，试求风向和风速．
人对地的速度 V人1=20 km/h ,V人2=40 km/h,方向正东 风对人的速度 V风对人1方向正南， V风对人2方向西南
风对地的速度V风？
速度矢量V风= V风对人+ V人的关系如图
由图中几何关系易得
v风 2v人1 28km / h
风向西北
v风对人2
v风
v风对人1 v人1 v人2
练习3：从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块，
一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位 置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．
故可使渡河时间最短:
d tmin v舟
河岸
S S舟
v舟
v
d
v v舟
v水
河岸
v水
水速大小不影响渡河时间!
S水
⑵实际航程
为使航程最小，应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹角θ 尽量地小！
若 与船v舟的＞航v水线，成船的实 际arc位si移n v为水 河宽船d头航指程向即上最游短，故 v舟的方向
另一质点以v2速度从B点出发做匀速运动，如图所示，已知A、C 相距l，B、C相距d，且BC⊥AC，若要两质点相遇，v2的最小速 率为多少？其方向如何？
由“两质点相遇”知A处质
C l v1 A
点相对于B处质点的速度vAB
vvvv方1A向B沿vvAABvvB连1 线 vvvv22
θ d v2 θ
B
由几何三角形与矢量三角形关系得:
v
v
v0 v0
v
B
S
V
⑵上述是最迟出发的临界情况!
截住船的位置在A前方
此时Q
S相
D csc
v0 v
D
V v02 v2
t D csc v0 D
V
v v02 v2
Dv02 v v02 v2
练习5：一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1 ＝30°，另一次安装成倾斜角度为β2＝15°，问汽车两次速度 之比v1∶v2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的 正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）