《高中数学：直线方程的基本形式-吕建国》进阶练习(一)
(word完整版)高中数学必修2直线与方程练习题及答案详解(2021年整理)
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直线与方程复习A一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α,且sin cos 0αα+=,则,a b 满足( ） A ．1=+b a B ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180,不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线,则实数m 满足( ） A ．0≠mB ．23-≠mC ．1≠mD ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________。
高考数学第一轮总复习100讲含同步练习g31074直线的方程
第八章解析几何考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．（7）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．（8）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（9）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（10）了解圆锥曲线的初步应用．g3.1074直线的方程一、知识要点1、倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0.斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
2、过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=tan 1212x x y y --=α 若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900.理解直线的倾斜角和直线的斜率的概念;掌握过两点的直线的斜率公式;掌握已知一点和斜率导出直线方程的方法;掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式;能灵活运用条件求出直线的方程. 三、基本训练1、已知三点A （3，1）B （－2，K ）C （8，11）共线，则K 的取值是（ ） A 、－6 B 、－7 C 、－8 D 、－92、设,2παπ<<则直线y ＝xcos α＋m 的倾斜角的取值范围是（ ）A 、(,2ππ) B 、)43,2(ππ C 、)43,4(ππ ),43(ππ 3、已知A （－2，3）B （3，0），直线L 过O （0，0）且与线段AB 相交，则直线L 的斜率的取值范围是（ ）A 、－23≤K ≤0B 、K ≤－23或K ≥0C 、K ≤0或K ≥23D 、0≤K ≤234、a 为非零实数，直线（a ＋2）x ＋(1－a)y －3＝0恒过 点。
【精品】高中数学 必修2_直线的一般式方程及综合 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础
直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
高一年级数学下册直线的方程随堂练习
2019 高一年级数学下册直线的方程随堂练习我们从一出生到耋耄之年，一直就没有离开过数学，或者说我们根本无法离开数学，这一切有点像水之于鱼一样精品小编准备了高一年级数学下册直线的方程随堂练习，希望你喜欢。
1. 过点(-1,2) 且倾斜角为30 的直线方程为A.3x-3y+6+3=0B.3x-3y-6+3=0C.3x+3y+6+3D.3x+3y-6+3=0答案：A2. 过两点(-1,1) 和(0,3) 的直线在x 轴上的截距为A.-32B.32C.3D.-3解析：过两点(-1,1) 和(0,3) 的直线方程为y-13-1=x--10--1 ，即y=2x+3 ，令y=0 得x=-32 ，即为所求答案：A3. (2019 北京丰台质检) 直线x-2y+b=0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是A.[-2,2]B.(- ，-2][2 ，+)C.[-2,0)(0,2]D.(- ，+)解析：令x=0,得y=b2，令y=0,得x=-b，所以所求三角形面积为12b2|-b|=14b2，且b0, 14b21,所以b24,所以b[-2,0)(0,2].答案：C4. 已知直线l ：ax+y-2-a=0 在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是A.1B.-1C.-2 或-1D.-2 或1 解析：由题意得a+2=a+2a，a=-2 或a=1. 答案：D5. 若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为_________ .答案：45或1356. 直线I与两直线y=1, x-y-7=0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1 , -1)，贝U I的斜率是__________ .解析：设P(m,1) ，则Q(2-m，-3) ，(2-m)+3-7=0 ，m=-2，P(-2,1) ，k=1+1-2-1=-23.答案：-237. 已知A(3,0) , B(0,4)，直线AB上一动点P(x , y)，贝U xy的最大值是 ________ .解析：直线AB的方程为x3+y4=1 ,设P(x，y) ，贝x=3-34y ，xy=3y-34y2=34(-y2+4y)=34-y-22+43.即当P点坐标为32, 2时，xy取最大值3.答案：38. 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1) 过定点A(-3,4);(2) 斜率为16.解：⑴ 设直线I的方程是y=k(x+3)+4，它在x轴，y轴上的截距分别是-4k-3,3k+4 ，由已知，得(3k+4)4k+3=6 ，解得k1=-23 或k2=-83.故直线I 的方程为2x+3y-6=0 或8x+3y+12=0.⑵设直线I在y轴上的截距为b,则直线I的方程是y=16x+b，它在x轴上的截距是-6b ,由已知，得|-6bb|=6 ，b=1.直线I 的方程为x-6y+6=0 或x-6y-6=0.9. 经过P(0，-1) 作直线I ，若直线I 与连接A(1 ，-2) ，B(2,1) 的线段总有公共点，求直线I 的倾斜角与斜率k 的范围. 解：法一：如图所示，kPA=-2--11-0=-1 ，kPB=1--12-0=1 ，由图可观察出：直线I 倾斜角的范围是[135 ，180[0 ，45 直线I 的斜率k 的范围是[-1,1].法二：设直线I 的斜率为k，则直线I 的方程为y+1=kx，即kx-y-1=0.••• A B两点在直线的两侧或其中一点在直线I上(k+2-1)(2k-1-1)0 ，即2(k+1)(k-1)0.-11.直线I 的倾斜角的范围是[135 ，180[0 ，45 直线I 的斜率k 的范围是[-1,1].高一年级数学下册直线的方程随堂练习就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
直线一般方程的练习题高二
直线一般方程的练习题高二直线是几何学中最基本的图形之一，也是数学中最常见的概念之一。
高中数学中，直线的研究是一个重要的课题，掌握直线的一般方程求解能力对于学生来说具有重大意义。
本文将为大家提供一些关于高二学生练习直线一般方程的题目，通过练习题的解答来加深对这一知识点的理解。
1. 求过点A(-1, 2)且与直线L1：2x + y + 1 = 0 平行的直线L2的一般方程。
解析：由于L1的一般方程为2x + y + 1 = 0，其斜率为-2。
因为L2与L1平行，所以L2的斜率也为-2。
将点A(-1, 2)代入直线的点斜式可得：y - 2 = -2(x + 1)，化简得y = -2x。
所以L2的一般方程为y + 2x = 0。
2. 求过点B(3, -4)且垂直于直线L3: 3x - 4y - 5 = 0的直线L4的一般方程。
解析：由于L3的一般方程为3x - 4y - 5 = 0，其斜率为3/4。
因为L4与L3垂直，所以L4的斜率为-4/3。
将点B(3, -4)代入直线的点斜式可得：y + 4 = -4/3(x - 3)，化简得y = -4/3x + 16/3。
所以L4的一般方程为4x + 3y - 16 = 0。
3. 求直线L5与直线L6的交点，其中直线L5过点C(5, 1)且垂直于直线L6: y = 2x + 3。
解析：由于L6的方程为y = 2x + 3，其斜率为2。
因为L5与L6垂直，所以L5的斜率为-1/2。
将点C(5, 1)代入直线的点斜式可得：y - 1= -1/2(x - 5)，化简得y = -1/2x + 11/2。
联立L6和L5的方程可得交点的坐标为(2/3, 7/3)。
4. 求直线L7过点D(4, -3)且平行于直线L8: 4x + 2y - 7 = 0与直线L8的交点的坐标。
解析：由于L8的方程为4x + 2y - 7 = 0，其斜率为-2。
因为L7与L8平行，所以L7的斜率也为-2。
直线方程基础练习题
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………直线与方程 高一数学直线方程周测题一、填空题（每空4分，注：直线方程写成一般式）1、已知点A （-8，-2），B （-11,3），C （3,8），则三角形为___________________三角形.2、已知A （6,2），B （-2,5）则A ，B 两点之间的距离的d （A ，B ）=___________，线段AB 中点的坐标为_______3、点A （2,3）关于坐标原点的中心对称点为_____________,关于点（-1,2）的中心对称点为__________4、求经过A （-2,0），B （-5,3）两点的直线的斜率K=____________5、经过点（3,2），斜率为23的直线方程为_______________________________ 6、直线在y 轴上的截距为-3，斜率为2，则该直线方程为__________________7、已知点A （-3,6），B （7，-4），则直线AB 的方程为_____________________8、直线EF 在y 轴上的截距为12，在x 轴上的截距为3，则直线EF 的方程为_____________________9、直线方程2x-3y-6=0的斜率为_______,在y 轴上的截距为__________10、直线2x+y-5=0，写出一条与其平行的直线的方程_________________,写出一条与其垂直的直线的方程__________________11、若直线y=3x-2与直线ax+y-7=0平行，则a=______,若直线y=3x-2与直线ax+y-7=0垂直，则a=__________12、坐标原点到直线3x+4y-3=0的距离为____________13、平行直线3x-2y-5=0与6x-4y-1=0之间的距离为___________14、经过直线2x+y-4=0和x-y+1=0的交点，且与直线2x+3y-1=0垂直的直线的方程为______________________二、解答题（每小题12分，写出必要的求解过程）15、已知点A （-1,2），B （2,1），C （0,4），求三角形ABC 边BC 上的高所在直线的方程.16、已知点A （-7,4），点B （5，-6），求线段AB 的垂直平分线的方程。
人教B版高中数学选择性必修第一册2-2-2直线的方程练习含答案
2.2.2 直线的方程基础过关练题组一直线的点斜式方程与斜截式方程1.(2022北京西城回民学校期中)已知某直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为2,则此直线的方程为( )A.y=√3x+2B.y=−√3x+2C.y=-√3x−2D.y=√3x-22.(2024河南环际大联考期中)经过点P(2,-1),倾斜角为45°的直线方程为( )A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+3=0D.x-y-3=03.(多选题)(2024安徽蚌埠铁路中学期中)下列说法正确的有( )A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则点(k,b)在第二象限内B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)C.过点(2,-1),斜率为-√3的点斜式方程为y+1=-√3(x-2)D.斜率为-2,在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±34.若直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到直线l,则直线l的点斜式方程为.5.(2022吉林田家炳高级中学期中)已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:(1)直线AB的方程;(2)直线AC和BC的方程.题组二直线的两点式方程与截距式方程6.(2023黑龙江肇东第四中学期末)已知直线l在x轴上的截距为3,在y轴上的截距为-2,则l的方程为( )A.x2+y-3=1 B.x-3+y2=1C.x3+y-2=1 D.x-2+y3=17.(2024福建莆田锦江中学期中)若直线l过点A(2,1),B(-1,-1),则直线l的方程为( )A.2x-3y-1=0B.2x-3y+1=0C.2x+3y+1=0D.2x+3y-1=08.(多选题)(2024江苏无锡四校联考)下列说法错误的是( )A.过点A(-2,-3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为x+y+5=0B.直线x2−y3=1在y轴上的截距为3C.若直线l的一个方向向量是e=(-1,√3),则直线l的斜率为-√3D.过点(x1,y1),(x2,y2)的直线的方程可表示为y-y1y2-y1=x-x1x2-x19.(2022山东临沂平邑一中质检)两条直线xm −yn=1与xn−ym=1的图形可能是( )10.(2024重庆育才中学期中)已知入射光线经过点(3,1),被x轴反射后经过点(0,2),则反射光线所在直线的方程为.11.过点P(1,3)的直线l与x轴,y轴分别交于A,B两点,若P为AB 的中点,则直线l的截距式方程是.12.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6, -2),则直线l的方程为.题组三直线的一般式方程13.(2023山东潍坊寿光中学月考)在平面直角坐标系中,直线√3x-y+3=0绕它与x轴的交点A按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是( )A.x-√3y−√3=0B.x=√3C.x-√3y+√3=0D.x−√3y+3√3=014.(2023湖北部分高中期中)若方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一条直线,则实数m的取值范围为( )A.m≠0B.m≠2C.m≠±2D.m≠±2且m≠015.(2024河南南阳鸿唐高级中学月考)(1)求经过点(0,2),且倾斜角为π的直线的一般式方程;3(2)求经过点(1,2),且一个方向向量为v=(1,√3)的直线的一般式方程;(3)在△ABC中,点A(8,4),B(4,-1),C(-6,3),求BC边上中线所在直线的一般式方程.题组四直线方程几种形式的相互转化16.(2024福建龙岩名校期中)已知直线kx+y-6k+2=0恒过点P,则P 的坐标为( )A.(0,-2)B.(-2,0)C.(6,-2)D.(-6,2)17.(2023山东菏泽郓城一中期中)若ac>0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图形可能为( )A B C D18.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根据下列条件分别确定m的值.(1)直线l在x轴上的截距为-3;(2)直线l的倾斜角为45°.能力提升练题组直线方程的应用1.已知直线l过原点,且平分平行四边形ABCD的面积,若该平行四边形的两个顶点分别为B(1,4),D(5,0),则直线l的方程为( )A.y=32x B.y=2x+3C.y=-x+5D.y=23x2.(多选题)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论正确的是( )A.直线l与直线l1的斜率互为相反数B.直线l与直线l1的倾斜角互补C.直线l在y轴上的截距为-1D.这样的直线l有两条3.(2024黑龙江大庆第一中学期中)已知直线xa +yb=1经过第一、二、三象限且斜率小于1,则下列不等式中正确的是( ) A.|a|<|b| B.√-a<√bC.(b-a)(b+a)>0D.1a <1b4.(2024江苏徐州第七中学月考)已知O为坐标原点,过点P(3,2)的直线l与坐标轴交于A,B两点,三角形AOB的面积为16,则符合条件的直线的条数为( )A.1B.2C.3D.4x-k+4, 5.(2022广东深圳宝安第一外国语学校月考)已知直线l1:y=k2直线l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,则当k>4时,四边形面积的取值范围是.6.如图,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一块矩形草坪,另外△AEF内部为一文物保护区域,不能占用,经过测量,AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应该如何设计才能使草坪的面积最大?7.(2024江苏宿迁泗阳期中)设m为实数,直线(2m+1)x+(m+1)y-5m-3=0.(1)求证:无论m为何值,直线必过定点M,并求出定点M的坐标;(2)过点M引直线l1,使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小,求l1的方程.答案与分层梯度式解析2.2.2 直线的方程基础过关练1.A2.D3.ABC 6.C 7.A 8.ABD 9.B 13.C 14.B 16.C 17.B1.A由题意得,直线的斜率k=tan 60°=√3,又直线在y轴上的截距为2,故直线的方程为y=√3x+2.故选A.2.D因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为1,又直线经过点P(2,-1),所以直线方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.故选D.3.ABC对于A,由直线y=kx+b过第一、二、四象限,知k<0,b>0,故点(k,b)在第二象限内,故A正确;对于B,将直线方程y=ax-3a+2整理得y-2=a(x-3),故直线过定点(3,2),故B正确;显然C正确;对于D,直线方程为y=-2x+3,故D错误.故选ABC.4.答案y-4=-(x-3)解析∵直线y=x+1的斜率为1,∴其倾斜角为45°.∴直线l的倾斜角为135°,∴直线l的斜率为tan 135°=-1.又点P(3,4)在直线l上,∴直线l的点斜式方程为y-4=-(x-3).5.解析(1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1.(2)由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=45°,所以k AC=tan 45°=1.又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=x-1,即y=x.同理可知,直线BC的倾斜角为180°-∠B=135°,所以k BC=tan 135°=-1.又直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),即y=-x+6.6.C7.A由题意可得直线l的方程为y-1-1-1=x-2-1-2,即2x-3y-1=0.故选A.8.ABD对于A,当直线l过点A(-2,-3)和原点时,直线方程为y=32x;当直线l不过原点时,设直线l的方程为xa +ya=1,将A(-2,-3)代入,得-2a +-3a=1,解得a=-5,所以直线l的方程为x+y+5=0,故A中说法错误.对于B,在x2−y3=1中,令x=0,得y=-3,所以直线在y轴上的截距为-3,故B中说法错误.显然C中说法正确.对于D,只有当x1≠x2,y1≠y2时,才能表示为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,故D中说法错误.故选ABD.9.B直线xm −yn=1在x轴,y轴上的截距分别是m,-n,直线xn−ym=1在x轴,y轴上的截距分别是n,-m,因此四个截距中两正两负,对照选项中图形知B正确.10.答案x+y-2=0解析易知点(3,1)关于x轴的对称点(3,-1)在反射光线所在直线上,故反射光线所在直线的方程为y+12+1=x-30−3,化简得x+y-2=0.11.答案x2+y6=1解析设点A(m,0),B(0,n),由点P(1,3)是AB的中点可得m=2,n=6,即A,B的坐标分别为(2,0),(0,6),则直线l的截距式方程为x2+y6=1.12.答案x3+y2=1或x2+y=1解析设直线l在y轴上的截距为a(a≠0,a≠-1),则l在x轴上的截距为a+1,则l 的方程为x a+1+ya=1,将A(6,-2)代入,得6a+1−2a=1,即a 2-3a+2=0,∴a=2或a=1,∴直线l的方程为x 3+y2=1或x2+y=1. 13.C 易知直线√3x-y+3=0的斜率为√3,倾斜角为60°,与x 轴的交点为A(-√3,0).绕A 按顺时针方向旋转30°所得的直线的倾斜角为60°-30°=30°,故斜率为tan 30°=√33,∴旋转后所得的直线的方程为y-0=√33(x +√3),即x-√3y +√3=0.故选C .14.B 当m 2-4=0时,m=2或m=-2; 当m 2-2m=0时,m=0或m=2.∵方程(m 2-4)x+(m 2-2m)y+1=0表示一条直线,∴m 2-4,m 2-2m 不能同时为0,∴m ≠2.故选B .15.解析 (1)因为直线的倾斜角为π3,所以直线的斜率k=tanπ3=√3,又直线经过点(0,2),所以所求直线方程为y=√3x+2,即√3x-y+2=0. (2)由直线的一个方向向量为v =(1,√3),得直线的斜率为√3,又直线经过点(1,2),所以所求直线方程为y-2=√3(x-1),即√3x −y +2−√3=0.(3)易得BC 的中点为(-1,1),又A(8,4), 所以BC 边上中线所在直线的方程为y -14−1=x -(-1)8−(−1),即x-3y+4=0.16.C 由kx+y-6k+2=0,得k(x-6)+y+2=0.令{x -6=0,y +2=0,得{x =6,y =−2,所以直线恒过点(6,-2).故选C . 17.B 将直线方程ax+by+c=0化为斜截式方程为y=-a bx −c b.因为ac>0,bc<0,所以ab<0,-cb>0,所以-a b>0,所以直线不经过第四象限.故选B .18.解析 (1)由题意得{m 2-2m -3≠0,-2m+6m 2-2m -3=−3,解得m=-13.故当m=-13时,直线l 在x 轴上的截距为-3. (2)由题意得{2m 2+m −1≠0,-m 2-2m -32m 2+m−1=1,解得m=43.故当m=43时,直线l 的倾斜角为45°.能力提升练1.D2.ABC3.D4.D1.D 由于直线l 平分平行四边形ABCD 的面积,所以其必过平行四边形对角线的交点,而B(1,4),D(5,0),所以对角线的交点为(3,2),又直线l 过原点,所以其方程为y=23x. 2.ABC 由于直线l 与l 1及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形,所以l 与l 1的倾斜角互补,斜率互为相反数,故A,B 中结论均正确;易知直线l 的方程为y-1=-2(x+1),因此其在y 轴上的截距为-1,故C 中结论正确;易知这样的直线l 只有一条,故D 中结论错误. 3.D 由题意得a<0,b>0,-b a<1,所以a<0<b<-a,所以|a|>|b|,√-a >√b ,故A,B 错误.对于C,易得b-a>0,b+a<0,所以(b-a)(b+a)<0,故C 错误. 对于D,易得1a<0,1b>0,所以1a<1b,故D 正确. 故选D .4.D 由题意得直线l 不过原点,所以设直线l:x a+y b=1.因为点P(3,2)在直线l 上,所以3a+2b=1,所以|3a|=|1−2b|=|b -2b|. 因为三角形AOB 的面积为16,所以12|ab|=16,所以|3a|=3|b|32,所以|b -2b|=3|b|32,整理得3b 2-32|b-2|=0.当b ≥2时,方程为3b 2-32b+64=0,解得b=83或b=8,均满足题意,将b=83和b=8分别代入3a+2b=1中,得a 的值为12,4. 当b<2时,方程为3b 2+32b-64=0,解得b=-16-8√73或b=-16+8√73,均满足题意,将b=-16-8√73和b=-16+8√73分别代入3a +2b=1中,得a 的值为-8+4√7,−8−4√7.综上,满足题意的直线共有4条.故选D . 5.答案 (174,8)解析 l 2的方程可化为y=-2k 2x +4k 2+4.当k>4时,k 2>0,−2k 2<0,−k +4<0,4k2+4>0.易知l 1,l 2过定点(2,4),直线l 1与x 轴交于点(2−8k,0),直线l 2与y 轴交于点(0,4k 2+4),∴四边形的面积S=12×2×(4k2+4−4)+12×4×(2+2−8k )=4(1k)2−16(1k )+8=4(1k -2)2-8,∵k>4,∴0<1k <14,∴S ∈(174,8).6.解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则E(30,0),F(0,20),所以直线EF 的方程为x 30+y20=1.在线段EF 上取一点P(m,n),0≤m ≤30,0≤n ≤20,作PQ ⊥BC 于Q,PR ⊥CD 于R,则矩形PQCR 即为要建的矩形草坪.设矩形PQCR 的面积是S,则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).又因为m 30+n20=1(0≤m ≤30),所以n=20(1−m30),故S=(100-m)(80−20+23m) =−23(m −5)2+18 0503(0≤m ≤30),所以当m=5时,S 有最大值,此时|EP||PF|=30−55=5,即当点P 为线段EF 上靠近点F 的六等分点时,草坪的面积最大.7.解析 (1)由(2m+1)x+(m+1)y-5m-3=0,得m(2x+y-5)+x+y-3=0. 令{2x +y -5=0,x +y -3=0,解得{x =2,y =1,所以直线过定点M(2,1).(2)由题意设l 1:xa+y b=1(a>0,b>0),则2a+1b=1,所以a+b=(a+b)(2a+1b)=3+2b a +a b ≥3+2√2,当且仅当a b=2b a 且2a +1b=1,即a=√2+2,b =√2+1时,等号成立,此时l 1的方程为√2+2+√2+1=1,即y=-√22x +√2+1.。
【人教A版】高中数学必修2教学同步讲练第三章《直线的一般式方程》练习题(含答案)
第三章 直线与方程3.2 直线的方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程A 级 基础巩固一、选择题1．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32 B ．－23C ．25D ．22．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则( )A ．a ＝2，b ＝5B ．a ＝2，b ＝－5C ．a ＝－2，b ＝－5D ．a ＝－2，b ＝53．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－34．两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个( )5．过点P (1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题6．过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为________，若点(a，12)在此直线上，则a＝________．7．在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°角的直线方程是____________．8．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝________．三、解答题9．直线l过点(1，2)和第一、第二、第四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．10．已知在△ABC中，A、B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．B级能力提升1.已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A．b＞0，d＜0，a＜cB．b＞0，d＜0，a＞cC．b＜0，d＞0，a＞cD．b＜0，d＞0，a＜c2．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．3．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线经过第一、第三、第四象限，求a的取值范围．参考答案第三章 直线与方程3.2 直线的方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程A 级 基础巩固一、选择题1．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32 B ．－23C ．25D ．2解析：由两点式得过(－1，1)和(3，9)的直线的方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0.令y ＝0，得x ＝－32.答案：A2．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则( )A ．a ＝2，b ＝5B ．a ＝2，b ＝－5C ．a ＝－2，b ＝－5D ．a ＝－2，b ＝5解析：令x ＝0得y ＝－5，令y ＝0得x ＝2. 答案：B3．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－3解析：因为l 1⊥l 2，所以2(k －3)2－2(3－k )＝0.即k 2－5k ＋6＝0，得k ＝2或k ＝3.答案：C4．两直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个( )解析：由x m －y n ＝1，得y ＝n m x －n ；由x n －y m ＝1，得y ＝mn x －m ，即k 1与k 2同号且互为倒数．答案：B5．过点P (1，4)且在x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x a ＋yb＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋4b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝5.综上符合题意的直线共有3条． 答案：C 二、填空题6．过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为________，若点(a ，12)在此直线上，则a ＝________．解析：过(5，7)及(1，3)两点的直线方程为y －73－7＝x －51－5，即x －y ＋2＝0，点(a ，12)在x －y ＋2＝0上，a －12＋2＝0. 所以a ＝10.答案：x －y ＋2＝0 107．在y 轴上的截距为－6，且倾斜角为45°角的直线方程是____________．解析：设直线的点斜式方程为y ＝kx ＋b ， 由题意得k ＝tan 45°＝1，b ＝－6， 所以y ＝x －6，即x －y －6＝0 答案：x －y －6＝08．若直线mx ＋3y －5＝0经过连接点A (－1，－2)，B (3，4)的线段的中点，则m ＝________．解析：线段AB 的中点为(1，1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2. 答案：2 三、解答题9．直线l 过点(1，2)和第一、第二、第四象限，若直线l 的横截距与纵截距之和为6，求直线l 的方程．解：设直线l 的横截距为a ，由题意可得纵截距为6－a ， 所以直线l 的方程为x a ＋y6－a ＝1，因为点(1，2)在直线l 上， 所以1a ＋26－a ＝1，解得：a 1＝2，a 2＝3，当a ＝2时，直线的方程为2x ＋y －4＝0，直线经过第一、第二、第四象限；当a ＝3时，直线的方程为x ＋y －3＝0，直线经过第一、第二、第四象限．综上所述，所求直线方程为2x ＋y －4＝0或x ＋y －3＝0. 10．已知在△ABC 中，A 、B 的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．解：(1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－3.所以C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， 由直线方程的截距式，得直线MN 的方程是x 52＋y－12＝1，即y ＝15x －12.B 级 能力提升1.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A ．b ＞0，d ＜0，a ＜cB ．b ＞0，d ＜0，a ＞cC ．b ＜0，d ＞0，a ＞cD ．b ＜0，d ＞0，a ＜c解析：由题图可知直线l 1、l 2的斜率都大于0，即k 1＝－1a ＞0，k 2＝－1c ＞0且k 1＞k 2，所以a ＜0，c ＜0且a ＞c .又l 1的纵截距－b a ＜0，l 2的纵截距－dc ＞0，所以b ＜0，d ＞0. 答案：C2．垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．解析：设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d4，所以6＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224.所以d ＝±12，则直线在x 轴上截距为3或－3. 答案：3或－33．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线经过第一、第三、第四象限，求a 的取值范围． (1)证明：法一 将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，所以l的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．法二 直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.由于上式对任意的a 总成立，必有⎩⎨⎧5x －1＝0，5y －3＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35.即l过定点A ⎝⎛⎭⎪⎫15，35.以下同法一．(2)解：将方程化为斜截式方程：y ＝ax －a －35.要使l 经过第一、第三、第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－a －35＜0，即a ＞3.。
《高中数学：直线方程的基本形式-吕建国》进阶练习 (一)
《高中数学：直线方程的基本形式-吕建国》进阶练习一、选择题1.直线l1：x+2my-1=0与l2：（3m-1）x-my-1=0平行，则实数m的值为（）A.0B.C.0或D.0或2.直线3ax-y-1=0与直线x+y+1=0垂直，则a的值是（）A.-1或B.1或C.D.3.不论m取何值，直线mx-y+2m+1=0恒过定点（）A. B.（-2，1） C.（2，-1） D.二、解答题4.已知△ABC中，点A(1，2)，AB边和AC边上的中线方程分别是5x-3y-3=0和7x-3y-5=0，求BC所在的直线方程的一般式．5.△ABC的三个顶点为A(-3，0)，B(2，1)，C(-2，3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边上的垂直平分线DE的方程．参考答案【参考答案】1.C2.D3.B4.解：设C点坐标为(a，b)∵点C在AB边的中线上，∴有5a-3b-3=0又∵AC的中点坐标为，且AC的中点在AC边的中线上，∴有联立解得C(3，4)同理，可得B(-1，-4)则BC的方程是：2x-y-2=05.解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(-2，3)两点，由两点式得BC的方程为y-1=(x-2)，即x+2y-4=0．(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，则x==0，y==2．BC边的中线AD过点A(-3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线方程为+=1，即2x-3y+6=0．(3)BC的斜率k1=-，则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2．【解析】1. 解：∵直线l1：x+2my-1=0与l2：（3m-1）x-my-1=0平行，∴1×（-m）-2m（3m-1）=0，解得m=0或m=，经验当m=0或m=时，都有两直线平行．故选：C．由直线平行可得1×（-m）-2m（3m-1）=0，解方程验证排除直线重合即可．本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．2. 解：∵直线3ax-y-1=0与直线x+y+1=0垂直，∴斜率之积等于-1，即3a×（-a ）=-1，∴a=1或a=-，故选 D．先求出两直线的斜率，利用斜率之积等于-1，解方程求a的值．本题考查两直线垂直的性质，斜率都存在的两直线垂直时，斜率之积一定等于-1．3. 解：直线mx-y+2m+1=0，即 m（x+2）-y+1=0，令x+2=0，可得x=-2，y=1，故直线mx-y+2m+1=0恒过定点（-2，1），故选：B．把直线方程中参数m分离出来，再利用m（ax+by+c）+（a′x+b′y+c′）=0经过直线ax+by+c=0和直线a′x+b′y+c′=0的交点，可得定点的坐标．本题主要考查直线过定点问题，利用了m（ax+by+c）+（a′x+b′y+c′）=0经过直线ax+by+c=0和直线a′x+b′y+c′=0的交点，属于基础题．4. 我们设出C点坐标为(a，b)，由已知中A(1，2)，AB边和AC边上的中线方程分别是5x-3y-3=0和7x-3y-5=0，将C点坐标代入5x-3y-3=0，将AC的中点坐标代入7x-3y-5=0，可以得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可求出C坐标，同理求出B点坐标后，代入两点式方程，化为一般式方程即可得到答案．5. (1)利用B和C的坐标直接求出直线方程即可；(2)根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，利用A和D的坐标写出中线方程即可；(3)求出直线BC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出BC垂直平分线的斜率，由(2)中D的坐标，写出直线DE的方程即可．。
高中数学3.2直线的方程3.2.3直线方程的一般式课时作业新人教A版必修5
＋1，
1 由题意知 m＋ 1≠ 0，(m－ 2)y＝ 1，由题意得 m－ 2＝1，
∴ m＝ 3.
C 级 能力拔高
1．已知直线 l： 5ax－5y－ a＋ 3＝0. (1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；
(2)为使直线 l 不经过第一、三、四象限，求 a 的取值范围．
3
1
13
[解析 ] (1)将直线 l 的方程整理为 y－ 5＝ a x－5 ，所以 l 的斜率为 a，且过定点 A 5，5 ，
A． 1
B．－ 1
C．－ 2 或 1
D ．－ 1 或 2
a＋2 [解析 ] 在方程 ax＋ y－ 2－ a＝ 0 中，令 x＝ 0 得 y＝ 2＋ a，令 y＝ 0 得， x＝ a (a≠ 0)．
a＋2 ∴ 2＋ a＝ a ，∴ a＝－ 2 或 1.
当 a＝－ 2 时， l 的斜率 k＝2； 当 a＝ 1 时， l 的斜率 k＝－ 1.
13 而点 A 5， 5 在第一象限，故不论 a为何值，直线 l 恒过第一象限．
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
a>0
a－ 3
(2)将方程化为斜截式方程： y＝ ax－ .要使 l 经过第一、 三、四象限， 则 a－ 3
，
5
－ 5 <0
解得 a>3.
3．方程 y＝ k(x＋ 4)表示 ( C ) A．过点 (－ 4,0)的一切直线
B．过点 (4,0)的一切直线
C．过点 (－ 4,0)且不垂直于 x 轴的一切直线 D．过点 (－ 4,0)且不平行于 x 轴的一切直线
[解析 ] 方程 y＝ k(x＋ 4)表示过点 (－ 4,0)且斜率存在的直线，故选 C．
高中数学2.2直线的方程2.2.2直线方程的几种形式优化训练新人教B版必修2
2.2.2 直线方程的几种形式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.过点A(-2，1)且与x轴垂直的直线的方程是( )A.x=-2B.y=1C.x=1D.y=-2解析：过点(x0,y0)与x轴垂直的直线的方程是x=x0，所以所求直线的方程为x=-2.答案：A2.已知直线l过点P(3,2),且斜率为,则下列点不在直线l上的是( )A.(8,-2)B.(4,-3)C.(-2,6)D.(-7,10)解法一：由斜率公式k=(x1≠ｘ2)，知选项A、C及D中的点与点P确定的直线斜率都为.解法二：由点斜式方程，可得直线l的方程为y-2= (x-3),即4x+5y-22=0.分别将A、B、C、D中的点代入方程,可知点(4,-3)不在直线上.答案：B3.过点P(3,2)和点Q(4,7)的直线方程为____________.解：过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的两点式方程，代入点P(3,2)和点Q(4,7)，求得直线方程为，整理得5x-y-13=0.答案：5x-y-13=010分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a的图象正确的是( )图2-2-2解析：结合四个图象,a在两方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致.逐一判断知A、B、D均错,只有C正确.答案：C2.下列命题中：①=k表示过定点P(x0,y0)且斜率为k的直线;②直线y=kx+b和y轴交于B点,O是原点,那么b=|OB|;③一条直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,那么该直线的方程为=1;④方程(x1-x2)(y-y1)+(y2-y1)(x-x1)=0表示过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点的直线.其中错误命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析：①不是点斜式,因为它不包含点(x0,y0)；②b≠|OB|,b是点B的纵坐标,可正、可负、可零；③当a=b=0时,直线方程不能写成=1；④正确,这是两点式的变形形式,其可以表示过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的所有直线.答案：D3.直线y=x+1上一点P的横坐标是3,把已知直线绕点P按逆时针方向旋转90°后所得的直线方程是_______________.解析：可先求出P点的坐标再求出旋转后直线的倾斜角和斜率.把x=3代入方程y=x+1中得y=4,即P(3,4),因为直线y=x+1的倾斜角为45°,再将其绕点P 按逆时针方向旋转90°后得直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率为-1.由点斜式得直线方程y-4=-(x-3),即x+y-7=0.答案：x+y-7=04.已知直线过点P(0,1)，并与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分，求直线l的方程.解：∵点A、B分别在直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0上，∴可设A(a,),B(b,8-2b).∵AB中点是P，有∴B(4,0).由两点式得l:x+4y-4=0.5.直线l经过点A(2,1)和点B(a,2),求直线l的方程.解：①当a=2时,直线的斜率不存在,直线上每点的横坐标都为2,所以直线方程为x=2;②当a≠２时,直线的斜率为k=,直线的点斜式方程为y-1=(x-2),化成一般式为x+(2-a)y-4+a=0.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若ac<0,bc>0，那么直线ax+by+c=0必不过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由条件ac＜0,bc＞0知ab＜0,而原方程可化为y=,由于,所以直线过第一、三、四象限,不过第二象限.答案：B2.对于直线ax+y-a=0(a≠0),以下说法正确的是( )A.恒过定点,且斜率与纵截距相等B.恒过定点,且横截距恒为定值C.恒过定点,且与x轴平行的直线D.恒过定点,且与x轴垂直的直线解析：将直线ax+y-a=0化为点斜式方程为y-0=-a(x-1)，由此可得直线过定点(1,0),横截距为定值 1.答案：B3.过点(3,-4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( )A.x+y+1=0B.4x-3y=0C.4x+3y=0D.4x+3y=0或x+y+1=0解析：(1)当直线过原点时，可得y=；(2)当直线不过原点时，可设x+y=a，即得x+y+1=0.答案：D4.已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的位置如图2-2-3所示，则( )图2-2-3A.b>0,d<0,a<cB.b>0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>cD.b<0,d>0,a<c解析：由已知直线表达式，得l1:y=，由图象知答案：C5.过点P(3，2)的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析：此题画图分析会比较简单直观，符合条件的直线有如图所示两种情况.若直线经过一、二、四象限，此时三角形面积一定大于长与宽分别为3与2的距形的面积，即大于6，不符合条件.另外，此题还可能通过方程的根求解，过程如下：设直线方程y-2=k(x-3)与两坐标轴交点分别为A(0,2-3k)、B(,0),∵Ｓ△=6,∴|2-3k|·｜|=6.∴(3k-2)2=±6k，即9k2-12k+4=±6k.9k2-18k+4=0或9k2-6k+4=0，∴k=或无解.∴k=1±为所求.答案：B6.过点P(2,1)，以为斜率的直线方程为____________.解：依题意得y-1=(x-2)，整理得.答案：7.设A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线x=m将△ABC面积两等分,则m的值为___________.解：设直线x=m交AB和AC分别于D、E两点,由S△ABC=得S△ADE=,又AC的方程是=1,E在AC上,可求得E(m,),则|DE|=＞0,所以·m·=,解得m=.答案:38.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.解：解方程组所以,l1与l2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1.所以所求直线方程为y=x.另解：求直线交点，求解直线方程也可应用两点式,即y=x.9.已知三角形的三个顶点A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)，求BC边所在的直线方程，以及该边上中线所在的直线方程.解：过B(3，-3)、C(0，2)的两点式方程为，整理得BC边所在直线方程为5x+3y-6=0.由中点坐标公式可得BC边中点M坐标为(，).过A(-5，0)、M(，)的直线方程为,即x+13y+5=0.10.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)经过定点P(2,-1)；(2)在y轴上截距为6；(3)与y轴平行；(4)与x轴平行.解:(1)点P在直线l上,即P(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把P(2,-1)代入，得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.(2)令x=0,得y=,由题意知=6,解得m=或0.(3)与y轴平行，则有解得m=.(4)与x轴平行，则有解得m=3.11.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证：不论a为何值时,直线l总经过第一象限；(2)为使直线不过第二象限,求a的取值范围.(1)证明:直线l可化为,所以l的斜率为a且过定点A(),而A()在第一象限,所以l恒过第一象限.(2)解：如图,若直线不过第二象限,则直线必位于直线OA和AB之间,这时直线l的倾斜角大于OA的倾斜角且小于，l的斜率大于直线OA的斜率,因为k OA==3,所以直线l 的斜率a＞3.。
2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.2直线方程的几种形式练习新人教B版必修2
2.2.2 直线方程的几种形式1.下列说法中不正确的是( D )(A)点斜式y-y1=k(x-x1)适用于不垂直于x轴的任何直线(B)斜截式y=kx+b适用于不垂直于x轴的任何直线(C)两点式=适用于不垂直于x轴也不垂直于y轴的任何直线(D)截距式+=1适用于不过原点的任何直线解析:A,B正确,因为方程中含有斜率k,而垂直于x轴的直线k不存在,C正确,因为y1≠y2,x1≠x2,所以直线的两点式不能表示与x轴或y轴垂直的直线,D不正确,因为过原点与x轴垂直或平行的任何直线截距式都不能表示.2.若AC<0,BC<0,则直线Ax+By+C=0不通过( C )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:Ax+By+C=0可转化为y=-x-,因为AC<0,BC<0,所以-<0,->0,所以直线不通过第三象限.3.直线-=1与-=1在同一坐标系中的位置可能是( B )解析:两直线的方程分别化为斜截式:y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率的符号相同,四个选项中只有B选项的两直线的斜率符号相同.故选B.4.一条光线从点A(-,0)处射到点B(0,1)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程为( B )(A)2x-y-1=0 (B)2x+y-1=0(C)x-2y-1=0 (D)x+2y+1=0解析:由反射定律可得点A(-,0)关于y轴的对称点M(,0)在反射光线所在的直线上,再根据点B(0,1)也在反射光线所在的直线上,用两点式求得反射光线所在的直线方程为2x+y-1=0.故选 B.5.已知两条不同的直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线方程是.解析:因为点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,所以2a1+b1+1=0.由此可知点P1(a1,b1)的坐标满足2x+y+1=0.因为点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上,所以2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2,b2)的坐标也满足2x+y+1=0.因为两点确定一条直线,所以过P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线方程是2x+y+1=0.答案:2x+y+1=06.直线l经过点P(1,2),且与直线2x+3y-9=0在y轴上的截距相等,则直线l的方程为.解析:直线2x+3y-9=0在y轴上的截距为3,即直线l经过点M(0,3),故直线l的斜率k==-1,故直线l的方程为y=-x+3,即x+y-3=0.答案:x+y-3=07.在同一平面直角坐标系中,直线y=ax与y=x+a可能是图中的( C )解析:A中两个图象y=ax,要求a>0,y=x+a要求a<0,矛盾,故A不正确;B不正确,因一个函数图象要求a>0,另一个要求a<0矛盾;C正确,D不正确,y=x+a在两坐标轴上截距互为相反数,且斜率为 1.8.直线l与直线m:3x-y+2=0关于x轴对称,则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为.解析:由题意可得直线l:y=-3x-2,则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为×4×=.答案:9.如果对任何实数k,直线(3+k)x+(1-2k)y+1+5k=0都过一个定点A,那么点A的坐标是.解析:法一取k=-3,方程为7y-14=0,y=2;取k=0.5,方程为 3.5x+ 3.5=0,x=-1,所以点A的坐标是(-1,2),将点A的坐标代入方程得-(3+k)+2(1-2k)+1+5k=0,所以直线恒经过A 点.法二将k当作未知数,则方程可写成(x-2y+5)k+3x+y+1=0,对于任意k值,等式成立,所以x-2y+5=0,3x+y+1=0,解得x=-1,y=2,所以点A的坐标是(-1,2).答案:(-1,2)10.(2018·烟台调研)求满足下列条件的直线方程:(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;(2)过点P(3,-4),斜率k=3;(3)过点P(5,2),且与x轴平行;(4)过点P(3,2),且与y轴平行.解:(1)因为直线过点P(-4,3),斜率k=-3,所以直线的点斜式方程为y-3=-3(x+4),即y=-3x-9.(2)因为直线过点P(3,-4),斜率k=3,所以直线的点斜式方程为y+4= 3(x-3),即y=3x-13.(3)直线过点P(5,2),且与x轴平行,故斜率k=0,由直线的点斜式方程得y-2=0(x-5),即y=2.(4)直线过点P(3,2),且与y轴平行,故斜率k不存在,所以直线方程为x=3.11.直线过点P(,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为 6.若存在,求出直线的方程.若不存在,请说明理由.解:根据题意,设直线的方程为+=1(a>0,b>0),由△AOB的周长为12知,a+b+=12. ①又因为直线过点P(,2),所以+=1. ②由△AOB的面积为6知,ab=12. ③由①②③,解得a=4,b=3,所以存在这样的直线,直线方程为+=1,即3x+4y-12=0.12.已知直线l1:(2m+1)x+(m-2)y+3-4m=0,无论m为何实数,直线l1恒过一定点M.(1)求点M的坐标;(2)若直线l2过点M,且与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形面积为4,求直线l2的方程. 解:(1)将直线l1:(2m+1)x+(m-2)y+3-4m=0的方程整理为:m(2x+y-4)+(x-2y+3)=0,解方程组得x=1,y=2.所以定点M的坐标为(1,2).(2)由题意直线l2的斜率存在,设为k(k<0),于是l2:y-2=k(x-1),即y=kx+2-k,令y=0,得x=;令x=0,得y=2-k,于是S=··(2-k)=-=4. 解得k=-2.所以直线l2的方程为y=-2x+2-(-2),即2x+y-4=0.。
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《高中数学：直线方程的基本形式-吕建国》进阶练习
一、选择题
1. 直线l i：x+2my-仁0与I 2：(3m-1) x-my-仁0平行，则实数m的值为( )
1 亠1 亠I
A.0
B.
C.0 或
D.0 或
(j (i 1
2
2. 直线3ax-y-仁0与直线花一匸::x+y+1=0垂直，则a的值是( )
A.-1 或I
B.1 或
C.
D.'
3 3 ；1
3. 不论m取何值，直线mx-y+2m+1=0恒过定点( )
A. B.(-2，1) C.(2, -1) D.
二、解答题
4. 已知△ ABC中，点
A(1 ,2) ,AB边和AC边上的中线方程分别是5x-3y-3=0和7x-3y-5=0，求BC所在的直线方程的一般式.
5. △ ABC的三个顶点为A(-3 , 0) , B(2, 1) , C(-2 , 3)，求:
(1) BC所在直线的方程；
(2) BC边上中线AD所在直线的方程；
(3) BC边上的垂直平分线DE的方程.
【参考答案】
1. C
2.D
3.B
4. 解：设C 点坐标为(a , b) •••点C 在AB 边的中线上， 有 5a-3b-3=0
且AC 的中点在AC 边的中线上,
联立解得C(3 , 4) 同理，可得B(-1 , -4) 则BC 的方程是：2x-y-2=0
5. 解：(1)因为直线BC 经过B(2 , 1)和C(-2 , 3)两点，由两点式得 BC 的方程为
3： y
BC 边的中线AD 过点A(-3 , 0) , D(0, 2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为 一? +-=1, 即 2x-3y+6=0 .
(3)BC 的斜率k i =-—,贝U BC 的垂直平分线 DE 的斜率k 2=2,由斜截式得直线 DE 的方程为
2
y=2x+2 . 【解析】
1. 解：•••直线 丨1： x+2my-仁0 与 I 2： ( 3m-1) x-my-仁0 平行， • 1 x( -m ) -2m (3m-1) =0,解得 m=0或 m=,
6
经验当m=0或m=时，都有两直线平行.
b
故选：C.
由直线平行可得1X( -m ) -2m (3m-1) =0,解方程验证排除直线重合即可. 本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题.
2
2. 解：•••直线 3ax-y-1=0与直线工一〒；x+y+1=0垂直，
4/
•斜率之积等于-1,
2
即 3a X( -a ) =-1 ,
3 • a=1 或 a=-, 故选D .
先求出两直线的斜率，利用斜率之积等于
-1，解方程求a 的值.
本题考查两直线垂直的性质，斜率都存在的两直线垂直时，斜率之积一定等于
-1 .
3. 解：直线 mx-y+2m+1=Q 即 m (x+2) -y+1=0，令 x+2=0,可得 x=-2 , y=1, 故直线 mx-
参考答案
又••• AC 的中点坐标为
--'， 1+fl
-3x
2 + b
~2~
-5 = 0 ，即 x+2y-4=0 .
⑵设BC 中点D 的坐标为(x , y)，则
2-2 x=
=0,
2
y=
=2.
y_1 =
y+2m+1=0恒过定点(-2 , 1),
故选：B.
把直线方程中参数m分离出来，再利用m(ax+by+c) + (a' x+b' y+c') =0经过直线ax+by+c=O和直线a' x+b' y+c' =0的交点，可得定点的坐标.
本题主要考查直线过定点问题，利用了m( ax+by+c) + (a' x+b' y+c') =0经过直线
ax+by+c=0和直线a' x+b' y+c' =0的交点，属于基础题.
4. 我们设出C点坐标为(a , b)，由已知中A(1 , 2) , AB边和AC边上的中线方程分别是5x-
3y-3=0 和7x-3y-5=0，将C点坐标代入5x-3y-3=0，将AC的中点坐标
代入7x-3y-5=0，可以得到关于a, b的二元一次方程组，解方程组即可求出
C坐标, 同理求出B点坐标后，代入两点式方程，化为一般式方程即可得到答案.
5. (1)利用B和C的坐标直接求出直线方程即可；(2)根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，利用A和D的坐标写出中线方程即可；(3)求出直线BC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出BC垂直平分线的斜率，由(2)中D的坐标，写出直线DE的方程即可.。