第九章 电磁感应 电磁场(一)

1 2 = 0 U a − U c = − B ωl 2 1 ε = Bωl 2 U a − U c = − 2 Bωl 2
1 2 (A) ε = 0 U a − U c = B ωl (B) ε 2 1 2 2 (C) ε = Bωl U a − U c = B ωl (D) 2 【提示】
ab 边以匀速转动时
图 12-25 3
a b
图 12-32
a′ b′
K v
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第九章
在轴线上的磁场
B= 2(R + x
2
μ0 IR 2
2
)
3
≈
2
μ0 IR 2
2 x3
( x >> R )
φ = BS =
μ 0 IR 2πr 2
2x3
μ 0 IR 2πr 2 − 3 dx 3μ 0 IR 2πr 2 dφ =− = v ε =− 2 dt x 4 dt 2x 4
K × B
θ
a× d
附图 D－10
ε =−
dφ dB 1 θ ⎞ dB ⎛1 S = −⎜ R 2θ − ab ⋅ oa cos ⎟ =− 2 ⎠ dt dt dt 2 ⎝2 1 π 1 π =− ×1 （ × 0.12 × − × 0.06 2 × cos ） 2 3 2 6 3 = −3.68 × 10-（ V）
所以金属杆 MN 两端的电势差为：Βιβλιοθήκη I aM lN x
UN −UM = ∫
a+l
a
μ Iv a + l μ0 Igt a + l vμ0 I = ln dx = 0 ln 2πx 2π 2π a a
2
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第九章
8.（基础训练 16）如图 12-24 所示，aOc 为一折成∠形的金属导线(aO =Oc =L)，位于 xy 平 面中；磁感强度为 B 的匀强磁场垂直于 xy 平面．当 aOc 以速度 v 沿 x 轴正向运动时，导线 上 a、c 两点间电势差 Uac = Bvl sin θ ；当 aOc 以速度 v 沿 y 轴正向运动时，a、c 两点的电 势相比较, 是 a 点电势高． 【提示】 当沿 x 轴运动时，导线 oc 不切割磁力线，
Δq = ∫ I i dt = ∫ −
t1 t1
t2
t2
φ2 N dφ N N N (φ1 − φ2 ) = Δφ dt = ∫ − dφ = φ1 R + r dt R+r R+r R+r
由于为匀强磁场 故B =
Δφ = BS
Δq( R + r ) = 5 × 10−2 T NS
13. （基础训练 20 ）一长直导线旁有一矩形线圈，两者共面(如图 12-27)。求长直导线与矩形线圈之间的互感系数。 【解答】
W = wmV =
1B d × L 2 μ0 4
7.（基础训练 15）如图 12-23 所示，一段长度为 l 的直导线 MN，水平 放置在载电流为 I 的竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位
I a M l N
μ Igt a + l ln 置自由下落，则 t 秒末导线两端的电势差 U M − U N = − 0 2π a
B=
μ0 I
μ0 I b
εi = −
当 x = d时
dφ ⎛ μ0 Ib x + a μ0 Ib a ⎞ =⎜ v ln − v⎟ dt ⎝ 2 π a x 2πa x + a ⎠
εi =
μ0 Ibv ⎡ d + a a ⎤ ln − ⎢ 2π a ⎣ d d +a⎥ ⎦
K
c × R O b×
15.（附录 D：20）均匀磁场 B 被限制在半径 R =10 cm 的无限长圆柱空间
(C) 电动势在 AB 和 p AB 中都产生，且两者大小相等．
图 12-16
A
⊗B O
K
B
AB 导线中的电动势 (D) AB 导线中的电动势小于 p
【提示】
图 12-18
连接 oa 与 ob， ε oab = ε oa + ε ab + ε bo 。因为涡旋电场总是与圆柱截面垂直，所以 oa 和 ob 上的涡旋电场方向处处垂直于 oa、ob，即 ε oa = ε bo =
负号表示感生电动势逆时针绕向。
[附加题]
16. （自测提高 15） 有一水平的无限长直导线, 线中通有交变电流 I = I0cos(ωt) , 其中 I0 和ω为常数, t 为时间, I > 0 的方向如图 12-36 所示,导线离地的高度为 h, D 点在导线的正下方, 地面上有一 N 匝平面矩形线圈，其一对边与导线平行, 线圈中心离 D 点水平距离为 d0 ,线圈的边长为 a ( a / 2 < d0)及 b ,总电阻为 R, K 取法线 n 竖直向上, 试计算导线中的交流电在线圈中引起的感应电流 (忽略 线圈自感)。 【解答】 解：选如图坐标系，在 x 处取面元 ds=bdx，则通过 ds 的磁通量为
K K μI dΦ = B ⋅ ds = 0 bdx 2π x
Φ=∫
d +a
μ0 I
2π x
d
bdx =
μ 0 Ib
2π
ln(
a+d ) d
图 12-27
M =
Φ μ 0b a + d = ln( ) 2π I d
I B d
14.（自测提高 18）如图 12-39 所示，无限长直导线通以常定电 流 I． 有一与之共面的直角三角形线圈 ABC， 已知 AC 边长为 b， 且与长直导线平行，BC 边长为 a。若线圈以垂直导线方向的速
φ = ∫ dφ = ∫ B ⋅ d S
εi = −
dφ dt
φ = MI
10． （自测提高 10）在一个中空的圆柱面上紧密地绕有两个完全相同的线 圈 aa′和 bb′(如图 12-32)．已知每个线圈的自感系数都等于 0.05 H．若 a、b 两端相接，a′、b′接入电路，则整个线圈的自感 L = 0 ．若 a、 b′两端相连， a′、 b 接入电路， 则整个线圈的自感 L = 0.2H ．若 a、b 相连，又 a′、b′相连，再以此两端接入电路，则整个线圈的自感 L = 0.05H ． 【提示】 a、b 两端相接，a′、b′接入电路，反接， L = L1 + L2 − 2 L1 L2 ； a、b′两端相连，a′、b 接入电路，顺接， L = L1 + L2 + 2 L1 L2 ； a、b 相连，又 a′、b′相连，再以此两端接入电路，不变。 三. 计算题 11.（基础训练 17）如图 12-25 两个半径分别为 R 和 r 的同轴圆形线圈相距 x， 且 R >>r，x >>R．若大线圈通有电流 I 而小线圈沿 x 轴方向以速率 v 运动， 试求 x =NR 时(N 为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小． 【解答】 x r I R
内，方向垂直纸面向里．取一固定的等腰梯形回路 abcd，梯形所在平面的 法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示．设磁感强度以 dB /dt =1 T/s 的
1 匀速率增加，已知 θ = π ， Oa = Ob = 6 cm ，求等腰梯形回路中感生 3
电动势的大小和方向。 解：由法拉第电磁感应定律有感生电动势大小
【提示】 长直导线在周围空间产生的磁场的磁感应强度为 B =
图 12－23
旋关系。在金属杆 MN 处 B 的方向垂直纸面向内。在 MN 上取一微元 dx ，则该微元两端的 电势差为：
K
μ0 I ，方向与电流方向成右手螺 2πx
K
μI gtμ0 I K K K dε i = (v × B ) ⋅ dx = v 0 dx = dx 2πx 2πx
K ⊗B
O
O
O (A)
⊗B
K
(B)
K ⊗B
O (C)
⊗B
K
(D)
K K K K dB K dB 根据公式 ∫ E 感 ⋅dl = − ∫∫ ⋅ dS ， 因为 < 0 且磁场方 L S dt dt
图 12-29
向垂直图面向里，所以感应电流为顺时针方向，再由于感应电流是涡电流，故选 B 图。 二. 填空题 6.（基础训练 11）真空中两只长直螺线管 1 和 2，长度相等，单层密绕匝数相同，直径之比 d1 / d2 =1/4．当它们通以相同电流时，两螺线管贮存的磁能之比为 W1 / W2= 1：16 。 2 2 【提示】
A c a
图 12-39
b C
K v
G 度 v 向右平移，当 B 点与长直导线的距离为 d 时，求线圈 ABC
内的感应电动势大小和感应电动势的方向． 【解答】
4
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φ=∫
x+a
x
2πr μ Ib μ Ib x+a ( r − x) dr = 0 − 0 x ln x 2πr a 2π 2πa
y × ×K K v × a ×
K
K
K
U o = U c , U ao = U ac = Blv sin θ
当沿 y 轴运动时，
B
× K v x ×
× O ×
U oc = Blv U oa = Blv cosθ
c 点和 a 点都比 O 点电势底，所以 a 点电势高。
θ
c ×
图 12-24
9. （自测提高 9）面积为 S 的平面线圈置于磁感应强度为 B 的均匀磁场中，若线圈以匀角 速度ω绕位于线圈平面内且垂直于 B 方向的固定轴旋转， 在时刻 t=0 时， B 与线圈平面垂直。 则任意时刻 t 时通过线圈的磁通量为 BS cos ωt ，线圈中的感应电动势为 BSω sin ωt 。若均 匀磁场 B 是有由通有电流 I 的线圈所产生，且 B=kI（k 为常量），则旋转线圈相对于产生 磁场的线圈最大互感为 kS 。 【提示】