浅谈椭圆的中点弦问题

整
理
得
：ｙ１ ｘ１
－ｙ２ －ｘ２
＝
ｂ２ －ａ２
·ｘ１ ｙ１
＋ｘ２ ＋ｙ２
。
又因为 ＡＢ 的中点坐标为（１，－１），所 以
ｘ１＋ｘ２＝２，ｙ１＋ｙ２＝ －２。
所
以
ｋＡＢ
ｙ１ ＝
ｘ１
－ｙ２ －ｘ２
＝
ｂ２ －ａ２
·ｘ１ ｙ１
＋ｘ２ ＋ｙ２
ｂ２ ＝ａ２
。
又
因
为 ｋＡＢ
０－ （－１） ＝ ３－１ ＝
１ ２
，
所
求椭圆的方程。
解 ：设 Ａ （ｘ１，ｙ１ ），Ｂ （ｘ２，ｙ２ ），则 由 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）在 椭 圆 上 得 ：
烄ｘ２１
ａ２
ｙ２１ ＋ｂ２
＝１，
烅ｘ２２ 烆ａ２
ｙ２２ ＋ｂ２
＝１。
①
②
①
－
②
得
（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）
ａ２
＋
（ｙ１
＋ｙ２）（ｙ１ ｂ２
－ｙ２
） ＝０。
ｂ２ －ａ２
·ｘ０ ｙ０
。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这
类
涉
及
椭
圆
弦
的
中
点
问
题
就
是
中点弦 问 题，解 决 这 类 问 题 通 常 用 点 差 法。
本文就用具体的例子来谈谈这 类 问 题 的 解
法。
例
１
已
知
椭
圆ｘ ａ２２
ｙ２ ＋ｂ２
＝１（ａ＞ｂ＞０）的
右焦 点 为 Ｆ（３，０），过 点 Ｆ 的 直 线 交 椭 圆 于
Ａ，Ｂ 两点。 若 ＡＢ 的 中 点 坐 标 为 （１，－１），
以ａ ｂ２２
＝
１ ２
，即
ａ２
＝２ｂ２
。
由ｃ２＝ａ２－ｂ２＝ｂ２＝９，得ｂ２＝９，ａ２＝１８。
所
以
椭
圆
的
方
程
为
：ｘ２
ｙ２ ＋
＝１。
１８ ９
点评：本题是典型的 椭 圆 中 点 弦 问 题 ，应
用点差法解决。
例２ 椭 圆ａｘ２ ＋ｂｙ２ ＝１ 与 直 线ｘ＋ｙ－ １＝０ 相 交 于 Ａ，Ｂ 两 点，ＡＢ 的 中 点 为 Ｃ，若
作 者 单 位 ：重 庆 市 梁 平 红 旗 中 学 校
１６
数学篇 解题方法 学 习 研 究 版 ２０１７ 年 第 ２ 期
浅谈椭圆的中点弦问题
■何小刚
已
知
椭
圆ａ ｘ２２
ｙ２ ＋ｂ２
＝１（ａ＞ｂ＞０）与
直
线ｌ
相 交于 Ｍ ，Ｎ 两点，点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）是弦 ＭＮ 的 中点，则 由 点 差 法 可 得 直 线 ｌ 的 斜 率 ｋ ＝
ＡＢ
＝２ 槡２，ＯＣ
的 斜 率 为 槡２，求 椭 圆 的
２
方程。
解 ：设 Ａ （ｘ１，ｙ１），Ｂ （ｘ２，ｙ２），代 入 椭 圆
方程得：
｛ａｘ２１ ＋ｂｙ２１ ＝１，
ａｘ２２ ＋ｂｙ２２ ＝１。
① ②
① － ② 得ａ（ｘ１＋ｘ２）（ｘ１－ｘ２）＋ｂ（ｙ１＋
ｙ２）（ｙ１－ｙ２）＝０。
由
题
意
得ｙ１－ｙ２ ｘ１ －ｘ２
（ ） 所以
２ｂ ａ＋ｂ
２ －４·ａ ｂ－ ＋ｂ １＝４，把 ｂ＝ 槡２ ａ
代
入 得ａ＝
１ ３
，ｂ ＝槡３２。
故所求椭圆的方程为ｘ２ ＋槡２ ｙ２ ＝１。
３３ 点评：本题是一道椭 圆 的 综 合 应 用 题，它 涉及椭圆 的 中 点 弦 问 题 ，又 要 用 到 弦 长 公 式 及韦达定 理，对 各 个 知 识 点 的 总 体 把 握 要 求 较高。 总之，在直线与椭圆 相 交 的 问 题 中，如 果 涉及弦的中点，那就属于 中 点 弦 问 题，就 要 想 到用点差 法 去 解 决 。 当 然，这 类 题 一 般 都 是 综合性的 题 型，整 个 解 答 过 程 还 会 用 到 韦 达 定理和弦长公式等。
＝
－１，ｙ１ ｘ１
＋ｙ２ ＋ｘ２
＝ｋＯＣ
＝
槡２，代
２
入
上
式
得ｂ＝槡２ ａ。
再 由 ＡＢ ＝ 槡１＋ｋ２ ｘ１－ｘ２
＝槡２ ｘ１－ｘ２
＝槡２槡（ｘ１＋ｘ２）２－４ｘ１ｘ２ ＝２ 槡２。
｛ａｘ２＋ｂｙ２＝１，
联立方程 ｘ＋ｙ－１＝０，
得 （ａ＋ｂ）ｘ２ －２ｂｘ＋ｂ－１＝０。
ｘ１＋ｘ２＝ａ２＋ｂｂ，ｘ１ｘ２＝ａ ｂ－ ＋ｂ １。