数阵图与数字谜问题教案

数阵图与数字谜问题

（一）知识点梳理

一数阵图

数阵图就是将一些数，按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵．它的类型一般分为三种：辐射型数阵图；封闭型数阵图；复合型数阵图．二、幻方

幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆”．4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……

三、数字谜

数字谜，一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．

解数字谜，一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意：

①数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0－9中的某个数字；

②要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；

③必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；

④数字谜解出之后，最好验算一遍．

（二）例题

【例题】构造一个八阶幻方：在8×8的方阵中填入1－64，使每行每列及两条对角线上的8个数字之和都相等．

横式数字谜

竖式数字谜

习题

辐射式数阵图

1、请你将1～7这七个数字填入下图的○中，使每条线段上的三个○内的数的和相等。

分析：设中心数为a，中心数在计算和的过程中用到了3次。

解答：每条边上的3数之和为k。

3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＋2a

=28＋2a

k=(28＋2a)÷3

当a=1时，k=30÷3=10；

当a=2时，k=32÷3，有余数，舍去；

…………

2、将1～11这11个数字填入下图的○中，使每条线段上的三个○内的数的和相等。

解答：设中心数为a，中心数在求和过程中使用了5次。

每条边上的3数之和为k。

5k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11)＋4a

=66＋4a

k=(66＋4a)÷5

经实验：当a=1时，k=70÷5=14；

当a=6时，k=90÷5=18，

当a=11时，k=110÷5=22。

答案：

封闭式数阵图

1、将1～8这八个数字填在下图的8个○内，使每条边上的和都相等。

解答：设顶点上的数分别为a，b，c，d，每条边上三个数的和为k。

4k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＋(a＋b＋c＋d)

=36＋a＋b＋c＋d

k=(36＋a＋b＋c＋d)÷4

当a=1，b=2，c=3，d=4时，k=46÷4=11.5，k为整数，最小值为12。

当a=5，b=6，c=7，d=8时，k=62÷4=15.5，k最大值为15。

因此，k的值是12、13、14、15。

2、把1～9这九个数分别填在三角形三条边的9个○内，使每条边上4个○内的数的和相等。(求出两个基本解)

解答：设顶点上的数分别为a，b，c，每条边上四个数的和为k。

3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＋(a＋b＋c)

=45＋a＋b＋c

k=(45＋a＋b＋c)÷3

当a=1，b=2，c=3时，k=51÷3=17（最小值）

当a=7，b=8，c=9时，k=69÷3=23（最大值）

因此，k的值是17、18、19、20、21、22、23。

（1）当k=19时，a＋b＋c=12，a=2，b=3，c=7。

（2）当k=21时，a＋b＋c=18，a=3，b=7，c=8。

复合型数阵图

横式数字谜

竖式数字谜

1.在下面算式的空格内,各填上一个合适的数字,使算式成立.

1. 我们仍按前面所说的三个步骤进行分析.

(1)审题 这是一个两位数加三位数,和为四位数的加法算式.在算式中,个位上已经给出了两个数字,并且个位上的数字相加后向十位进了1,百位上数字之和又向千位进了1.

(2)选择解题突破口 由上面的分析,显然选择个位上的空格作为突破口.

(3)确定各空格中的数字 ①填个位 因为所以个位上的空格应填9.

②填千位 千位数字只能是百位上数字之和向前进的数,因此只能是1.

③填百位 第二个加数的百位上的数字最大是9,而和是四位数,因此算式中十位上的数字之和必须向百位进1,

所以第二个加数的百位上填9,和的百位上填0.

④填十位 由于算式中个位上数字之和向十位进了1,十位上的数字相加后又向百位进1,所以第二个加数的十位上的空格,可以填8

或9.

此题有两个解:

14.把下面除法算式缺少的数字补上.

解 (1)设除数为ab ,商为ef cd 8.显然,d =e =0.

由ab ⨯8= , ab ⨯可知c =9.同理,f =9.所以商为90809.

因为ab ⨯9>99,所以ab >11.又因为ab ⨯8<100,所以ab <12.5.

由于ab 是整数,因此ab =12.

由逆运算可知,被除数为(12 90809=)1089708.除法算式为:

9

08090

80180169798

01807980112

幻方

1、把1～8这8个数填入下面的□中，使每一横行、每一竖列相邻的三个数的和相等。

解答：设中心数为a ，中心数在求和过程中使用了2次。 每条边上的3数之和为k 。 3k=(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＋a =36＋a k=(36＋a)÷3

经实验：当a=3时，k=39÷3=13; 当a=6时，k=42÷3=14。