(第1部分)微分方程(简单模型)解析

建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技
术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至
可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，
其影响是广泛的。
例 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分
方程，并得出理想单摆运动的周期公式。
（3.1）的 近似方程
根据（从牛从m3&l&图顿而&.&(&20第得3）)g-l1二 出的中m0定两g解,不s0律阶为(i难n0微可):看θ分得(出t)方：0=，程θ小0c：球osω所t（受3.的2）合力为mgsinθ，
（2）可改写成：模程时对师型r据得 马(原，N实到 尔我则)际的 萨是们。背就 斯未工不景是 模知程妨，马 型函师采它尔 的数们用无萨 最，一在法斯 简但下建用模 单根立工型 的。 改

5 24v0
.
若 v0=1,
则在 t=0.21 处被击中.
马尔萨斯（Malthus）模型
马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后
发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=bd,b为出生率，d为死亡率），因而提出了著名的
人口指数增长模型 。
分析与建模：
人口的净增长率是一个常数，也就是单位时 间内人口增长量与当时人口数成正比。
y x2 2.
导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰 发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度 v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导 弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？
（解析法）
假设 t 时刻导弹的位置为 P(x(t), y(t))，乙舰位于 Q(1, v0t) .
由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线 PQ 就是导弹的轨迹曲线弧 OP 在点 P 处的切线，
即有 y' v0t y 1 x
即 v0t (1 x) y' y (1)
又根据题意，弧 OP 的长度为 AQ 的 5 倍，
即
x 0
1 y '2 dx 5v0t
(2)
由(1),(2)消去t, 整理得模型:
M
P Q
l
mg
图3-1
例 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.
解: 设所求的曲线方程为 y f (x). 由导数的几何意义, 应有
f '(x) 2x,
即
f (x) 2xdx t C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即
f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
口 约 量 每 即 而 肩数每，3使到上4为3发.海2排656年现洋7成3年00增两全二.增年6加者部层（加，所净它一M 数生生等几变了一人即以增应倍不物存原乎成。倍口3a.M 长当l，0t太群空因完陆。 达6故h率与a两×u大体间，全地检3l马t6231不人s..者553h时的，就一，查×0x模尔1u9可口01也1）1才各有可致每1型s萨07能数模几1，合成限能，人0实5斯个0始量型乎人理员的发且也年际模，终有假相口，之自生按只至上型只保关设同增到间然生马有1只是好9持。的。马长总由资存氏69有尔不一1.常萨人3率数于源竞模的斯在完平个模数口约型增有及争型2群善方人人6，口为大限食等计0体预的英站年测2时的物现算总。尺%在人，，的，另口人活人一实口动口人际数范数的数量围大，
微分方程简单模型
重庆邮电大学
数理学院
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空
间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。

在研究某些实际问题时，经常无法直接得
到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关
于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以
这是理想单摆应 满足的运动方程
当&&&(t0)glT4s时0in,,θ((0t))=00其0 中
故有
g
T
g l（3.1）

l
易求（解由3。此.1当即）是可θ很一得小个出时两，阶s非inθ线≈性θl，方4此程时，2，不可
考察（3.1）的近似线性T 方 2程 ：g
(1 x) y" 1 1 y'2
(3)
5
初值条件为: y(0) 0 y'(0) 0
其解即为导弹的运行轨迹:
y


5
(1
x)
4 5

5
6
(1 x) 5

5
8
12
24
当 x 1时 y 5 ，即当乙舰航行到点 (1, 5 ) 处时被导弹击中.
24
24
被击中时间为: t

y v0
恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养 的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，
K-N恰此为时环得境到还能微供分养方的程种：群数量，（3）指出，种群增长率与两者的乘积 成称正为比 统，计正筹好算符律d合的dNt统原计因(r规。为律ra了(NN，得))最得N出简到一或单了个的实dd有N形t验实式结际r是果(1意常的义数KN支的)，持N此，（这2就）是（3）也被
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：
2N0 Biblioteka Baidu N0erT
故 T ln 2
r
模型检预验测
假比如较人历口年数的真人能口保统持计每资3料4.，6年可增发加现一人倍口，增那长么的人实口际数情将况
与 以马几尔何萨级斯数模的型方的式预增报长结。果例基如本，相到符25，10例年如，，人1口96达1年2×世10界14个人，
设t时刻人口数为N(t)，t=t0时，N(t0)=N0， 则
N (t t) N (t) N (t)rt
即

dN (t) dt

N (t)r
Malthus模型
N (t0 ) N0
这个方程的解为：
N (t)

N er (tt0 ) 0
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻 一番所需的时间是固定的。
象。 2
几何级数的增长
N/人
1.5
1
0.5
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N)
增长从的(3)种而式群还有个有：体另，dd一Nt当解种释r群(，N数)由N量于过空多间时和，资由源于都（人是1）均有资限源的占，有不率可的能下供降养及无环限境