1.6 向量在轴上的投影
向量的方向余弦及投影
向量的模与方向余弦的坐标表示式.
非零向量 a 的方向角：、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0 ,
• M2
M1•
0 , 0 .
o
y
x
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
ax | a| cos ay | a| cos az | a| cos
向 量 的 方 向
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
方向余弦的特征
cos2 cos2 cos2 1
特殊地：单位向量的方向余弦为
a
0
|
ar ar
|
(|aarx
|
,
|aarx
|
,
|aary
) |
{cos, cos , cos }.
例1 已uAu知Buv 两的点模A，（方2向,2,余2弦）和,B方(1,向3,0角),。求向量
解：
uuuv uuuv uuuv AB OB OA (1,3, 0) (2, 2, 2) (1,1, 2) uuuv AB 11 2 4 2
(a)u=|a|cos, (Prjua=|a|cos );
(a+b) u=(a)u+(b)u, (Prju (a+b)=Prjua+Prjub); (λa)u= λ(a)u , (Prju (λa)= λ Prju (a)).
uuur 例7 设点A位于第I卦限，其向径的模 AB ＝6，
uuur 且向径OA与x轴、y轴的夹角依次为
一条棱为OA，且 OA a,
uuur uuuur
uuur
向量在轴上的投影与投影定理
r e
1
o
A u1
B u2
u
机动
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空间两向量的夹角的概念： 空间两向量的夹角的概念：
r r r r a ≠ 0, b ≠ 0 , r r 向量 a 与向量 b 的夹角 r r r r ϕ = (a , b ) = (b , a )
r b
ϕ
r a
(0 ≤ ϕ ≤ π)
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 向量与一轴 的夹角 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 特殊地，当两个向量中有一个零向量时， 它们的夹角可在0与 之间任意取值. 它们的夹角可在 与 π 之间任意取值
2 2 2
cos α =
ax a x + a y + az ay
2 2 2
,
cos β =
a x + a y + az
2 2
2
,
cos γ =
az a x + a y + az
2 2 2
.
机动
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方向余弦的特征
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
特殊地： 特殊地：单位向量的方向余弦为
M2 M1
P1 P2 = OP2 − OP1 = u2 − u1 ,
∴ au = u2 − u1 .
o
P 1
P2
u
机动
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r 轴正向一致的单位向量， 如果e 是与u 轴正向一致的单位向量，
《解析几何》教学大纲
《解析几何》教学大纲一、课程基本信息课程编码：061106B中文名称：解析几何英文名称：Analytic Geometry课程类别：专业基础及核心课总学时：48总学分：3适用专业：数学与应用数学专业先修课程：平面解析几何、线性代数基础知识二、课程的性质、目标和任务解析几何是数学与应用数学专业的专业基础及核心课，是初等数学通向高等数学的桥梁，在大学一年级第一学期开设的专业必修课程。
解析几何的基本思想是以向量、坐标为工具，将几何结构代数化，从而利用代数的方法研究、解决几何问题，其理论与方法对整个数学的发展起着重要的作用，为学习数学分析、微分几何、高等几何等数学学科的后续课程提供必要的理论基础。
通过本课程的教学，使学生对空间解析几何的基本思想与研究方法有完整的认识，系统地掌握几何知识和几何图形代数化的基本理论，受到几何直观性思维及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域；培养学生的空间想象能力，以及运用向量法与坐标法计算和证明几问题的能力，为进一步学习其它课程打下基础；另外能够加深对中学几何的理解和应用，从而获得在比较高的观点下处理中学几何问题的能力，为将来中学数学教学打下良好的基础；能够借助解析几何所具有的较强的直观效果，提高学生认识事物，解决实际问题的能力，为学生在创新能力培养等方面获得重要的平台。
三、课程教学基本要求1、教学方法：以课堂教学讲授方法为主，采用多媒体先进的教学手段。
讲清楚数学概念产生的实际背景、内涵和外延，定理的条件、结论和应用，比较分析类似数学概念的异同，找出内在联系，使学生在庞杂的学习内容面前能时刻抓住主线，有整体概念。
2、作业布置：课后习题选作，由于所用教材课后习题较多，根据教学内容选作部分题目，要求学生完成课后布置习题的80%以上，作业每周批改一次。
3、教学辅导：习题课，典型问题分析，方法总结，难题讲解；课后答疑辅导，解答课内或课外学习中的问题。
四、课程教学内容及要求第一章向量与坐标（16学时）【教学目标与要求】1、教学目标：向量、坐标是研究解析几何的工具，是学习该课程的基础。
《解析几何》教案.doc
《解析几何》教案第一章向量与坐标本章教学目的：通过木章学习，使学生掌握向量及其运算的概念，熟练掌握线性运算和非线性运算的基木性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间朋标系和解决某些儿何问题，为以下各章利用代数方法硏究空间图形的性质打下基础.本章教学重点：（1）向量的基本概念和向量间关系的各种刻划。
（2）向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示.本章教学难点：（1）向量及其运算与空间处标系的联系；（2）向量的数量积与向量积的区别与联系；（3）向量及其运算在平面、立体几何中的应用.§1.1向量的基本概念本章教学内容：一、定义：既有大小乂有方向的量称为向量，如力、速度、位移等.二、表示：在几何上，用带箭头的线段表示向量，箭头表示向量的方向，线段长度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（长度）.始点为A,终点为B的向量，记作石，其模记做注：为方便起见，今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外，我们一般用小写黑体字母a、b、c…… 标记向量，而用希腊字母入、口、v……标记数量.三、两种特殊向量：1、零向量：模等于0的向量为零向量，简称零向量，以0记之.注：零向量是唯一方向不定的向量.2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量•特别地，与非0向量7同向的单位向量称为么的单位向量,记作日.四、向量间的几种特殊关系：1、平行（共线）：向量a平行于向量b,意即a所在直线平行于b所在宜线，记作a〃b,规定：零向聚平行于任何向量.2、相等：向量a等于向量b,意即a与b同向且模相等，记作a二b.注：二向量相等与否，仅収决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自山向量, 我们以后提到的向量都是指EI由向量.3、反向最：与向最a模相等但方向相反的向最称为a的反向量，记作-a,显然一上・=®^,零向量的反向量还是其自身.4、共面向昼平行于同一平面的一组向量称为共面向量•易见，任两个向量总是共面的，三向屋中若冇两向量共线，则三向量一定共血，零向量与任何共血向量组共面.①向量不能比较人小，如切没有意义; ②向量没有运算, 如类似的式子没有意义.注意：应把向量与数量严格区别开來：§ 1.2向量的加法向量的加法："回、以皿与为邻边作一平行四边形QQ,取对角线向量OC,记这种用平行四边形的对角线向量來规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则.如竺）量s=alLj向量?=a»在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量：若QALjOi的指向相同吋，和向量的方向打原来两向量相同，其模等丁俩向屋的模z和.若32与丽的指向相反时，和向量的模等于两向量的模z差的绝对值，其方向与模值大的向量方向一致.由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样來作岀两向量的和向量：定义2作可以冠的终点为起点作盍莎，联接无（图1-2）得^i=oc该方法称作向量加法的三角形法则.向量加法的三角形法则的实质是: 将两向量的首尾和联，则一•向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量. 据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律：定理1向量的加法满足卜•而的运算律：(1.2-2)(1.2-3)交换律的证明从向量的加法定义即可得证.则冇所以(a+J) + c = «+^+c)二向量的减法定义3若E=S+*,贝I」我们把奈叫做的差，记为显然，tt—S+(—一 ,特别地，tf—•由三角形法则可看出：要从空减去产，只要把与厂长度相同而方向相反的向最-芹加到向最心上去.由平行四边形法可(1-2)2、结介律由定理1知,or脅&脅雲对三向相加，不论其先后顺序和结合顺序如何，结果总是相同的，可以简单的写作(图1-2)下证结合律.自空间任-点0开始依次作皿=2*如下作出向量侖一石•设S=QA &=Q*y以莎与両为邻边作一平行四边形■，则对角线向例1设互不共线的三向量X、歹与匚试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三介形的充要条件是它们的和是零向虽.证必要性设三向量住、b、c可以构成三角形QC （图1-3）,充分性设2+5+c=o,作那么左匸M,所以^+c=ob 、£可以构成三角形41C.例2用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 证设四边形厶总的对角线"C 、砂交于°点且互和平分（图1-4）因此从图可看出：皿=M*O ・=g*人O=DO*OC=DC,§ 1. 3数量乘向量定义1.3.1设2是一个数量，向量玄打2的乘积是一向量，记作血，其模等于1剑的国倍，即I 石1=1見11・|；且方向规定如下：当^>0时，向量花的方向与方的方向相同；当丄=°时，向量血是零向量，当A <°时，向量"的方向与方的方向相反.特别地，取; 匸一 1,则向量日•曲的模与方的模相等，而方向相反，由负向最的定义知：（-9据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律:定理1.3.1. 1） 2） 结合律 3） 分配律数址与向量的乘法满足下而的运算律：1 ・ a=S 3=4=叶（13】）4)(1.3-3)证1）据定义显然成立.2）显然，向量如叭"旳、如^的方向是-致,3）分配律如果« = ®或&八丄■事中至少有一个为0,等式显然成立; 反之 门若“"，显然。
平面向量的投影与投影定理
平面向量的投影与投影定理平面向量是在二维平面上的有方向和大小的量，可以通过投影来分解为两个分量，垂直于彼此的两个方向上。
本文将探讨平面向量的投影及投影定理。
一、平面向量的投影平面向量可以将其投影分解为两个互相垂直的分量，分别可称为水平分量和垂直分量。
对于平面向量a，它的投影可以表示为a的水平分量和a的垂直分量之和。
设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量a的模为|a|，向量a与x轴的夹角为θ。
那么a的水平分量是a₁，垂直分量是a₂。
二、投影定理投影定理是指一个向量在另一个向量上的投影等于这个向量的模与这两个向量之间的夹角的余弦值的乘积。
设向量a在向量b上的投影为P，向量a的模为|a|，向量b的模为|b|，两个向量之间的夹角为θ。
根据投影定理，P的计算公式为：P = |a|cosθ投影定理的推导基于向量的内积运算，通过使用向量的模和夹角的余弦值，可以计算出投影的大小。
三、应用场景平面向量的投影与投影定理在实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 物体运动学：在物体运动的过程中，可以将物体的位移向量投影到不同的方向上，如水平和垂直方向，从而分析物体在不同方向上的运动特性。
2. 力学：在力学中，可以将力向量投影到不同的方向上，如水平和垂直方向，从而分析物体受到的不同方向上的力的作用。
3. 电磁学：在电磁学中，可以将电场向量和磁场向量投影到不同的方向上，从而计算出电场和磁场在不同方向上的分量。
四、总结平面向量的投影与投影定理是解决许多物理问题的重要工具。
通过将向量投影到不同的方向上，我们可以分析向量在不同方向上的分量，从而更好地理解和解决实际问题。
投影定理为我们提供了计算投影大小的便捷方法，通过使用向量的模和夹角的余弦值，我们可以准确地计算出投影的大小。
在物理、工程和数学等领域中，投影定理都有广泛的应用和实际意义。
在求解平面向量投影问题时，我们可以根据具体问题的要求灵活选择合适的计算方法和公式。
向量在轴上的射影的辨析
向量在轴上的射影的辨析上海市宜山路655弄4号121室陈振宣向量在轴上的射影是向量加减运算化归为实数运算的理论基础.对此各种版本的书上存在两种完全不同的定义，因而产生了一些混乱，造成了广大师生的困惑.一、问题呈现下面以人教社的两种教材为例做些讨论，并从此引出澄清混乱的办法，请专家与广大师生讨论指正.《普通高中课程标准实验教科书（B版）》数学4必修（以下简称课标本）P115：3.向量在轴上的正射影已知向量和轴(图1).作过点分别作轴的垂线，垂足分别为则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称做在轴上的数量或在轴的方向上的数量.在轴上正射影的坐标记作向量的方向与轴的正向所成的角为则由三角中的余弦定义有图1图2例1 已知轴（图2）：(1)向量，在上的正射影；(2)向量在上的正射影.解：(1).(2).上述向量在轴上的正射影的定义是向量，但例1中求在上的射影，无论写法还是结果却都是数量，这样是否自相矛盾？《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）》（以下简称大纲本）P136页:如图3，，，过点B作垂直于直线，垂足为，则叫做向量在方向上的投影，当为锐角时（图3（1）），它是正值；当为钝角时（图3（2）），它是负值；当时（图3（3）），它是0.当时，它是；当时，它是.图3该书虽未给向量在轴上的射影下定义，但上述“叫做向量在方向上的投影”,已隐含向量在轴上的投影是数量.可见课标本与大纲本的定义是完全不同的.高里德凡著《矢算概论》P17-P18对此的表述如下：10.矢量的分量及射影可以区别正负方向的无限直线称为轴.例如在解析几何中，直线及是轴,因为在它们上面具有正负方向.A点在S轴上的射影是自A点至射影轴S所作垂线的垂足(图4).如果A点位于射影轴上，那么，它的射影与其本身重合.矢量在S轴上的分量是矢量，它由矢量的两端A及B在S轴上的射影所构成（图5a）.用表示矢量的分量：.矢量在S轴的射影是带有正号或负号的分量的模.究为正号或负号，那就决定于矢量的分量的方向与S轴的方向一致或者不一致.为与矢量的分量区别，矢量的射影用表示：或.如果在射影轴上，取自左至右为正方向，那么在图5a中，矢量的射影是正：.而在图5b中，矢量的射影是负：.由射影的定义可知，它们是数量.补助定理设是轴的正方向的单位矢量，那么任意矢量在S轴上的分量等于这矢量的射影乘轴的单位矢量.这本书明确提出：“矢量在S轴的射影是带有正号或者负号的分量的模”，并断言“由射影的定义可知它们是数量”.这与向量在轴上的射影是向量之说是完全不同的.华罗庚的《高等数学引论》第一卷第一分册对向量在坐标上的射影并未下过定义，但有一段如下的说明(P40)：以下所讨论的矢量仅指自由矢量，一个自由矢量的长度是.方向由决定.显然各是矢量在轴上的投影的长度，而是矢量与轴所成的角度，称（）为矢量的方向余弦.”由“各是矢量在轴上的投影的长度”，可知正是在轴上的射影的数量，是在轴上的分向量的数量，它们是数量不是向量.其他国外教材的翻译之作更加混乱，这里不再一一列举了.二、问题辨析造成这样混乱的原因，窃以为是忽视轴上的向量（即一维向量）的数量这一核心概念所致。
1.6向量在轴上的射影
(0 )
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (a , b )
a
注1. 若 a , b 中有一个为零向量，规定它们的夹
角可在0到之间任意取值. 注2. 类似可定义向量与一轴的夹角或空间两轴的 夹角. 注3. 若 a, b 同向，则 (a , b) 0；若 a, b 反向，则 (a , b) = ; 若 a, b 不平行，则 0 (a , b) 。
A
A
B
B
Pr ju AB Pr ju AB
B
u u
| AB | cos
定理1的说明：
(1) 0 , 射影为正； 2
( 2) , 射影为负； 2 ( 3) , 射影为零； 2
c
b
a
u
推论： 相等向量在同一轴上射影相等；
性质2. 两个向量的和在轴上的射影等于两个向量 在该轴上的射影之和. Pr ju (a1 a2 ) Pr ju a1 Pr ju a2
A x
称 OA、OB、OC分别是OM 在 x 轴, y 轴, z 轴上 的分向量, 而x, y, z,分别是OM 在三坐标轴上的投影, 称为OM 的坐标. 简记为 r ={x, y, z}, 此称为向量r = OM的坐标表示式.
二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 1. 起点在原点的向量OM 设点 M (x,y, z) 以 i, j, k分别表示沿x, y, z轴 正向的单位向量, 称为基本单位 向量.
z zC o i k j N M B y y
x
r = OM = OA + AN +NM = OA + OB + OC = xi + yj + zk
(完整版)解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精)
任意向量 r可以由向量 e1 , e2 , e3线性表示，或说空间
任意向量 r可以分解成向量 e1 , e2 , e3的线性组合，即
r xe1 ye2 ze3 ,
(1.4 3) 上一页 下一页
并且其中系数 x, y, z被e1 , e2 , e3 , r唯一确定.
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第一章 向量与坐标 §1.4向量的线性关系与向量的分解
这时e1 , e2 , e3叫做空间向量的基底 .
例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且
互相平分.
证 设四面体ABCD一组
D
对边AB,CD的中点E, F的连
线为EF ,它的中点为P1,其余
e3
两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
下只需证P1 , P2 , P3三点重合
就可以了.取不共面的三向量 A
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1) 0, (2) 0,
aa与a0同向，| a| | a|
(3) 0, a与a反向，| a|| | | a|
a 2a
1 a 2
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第一章 向量与坐标 §1.3 数乘向量
|
a a|
ea .
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
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第一章 向量与坐标 §1.3 数乘向量
例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
uuuur AM
1
uuur ( AB
uuuur AC)
2
如图
证
uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur
D
向量在轴上的射影
z
R(0,0, z)
r
o x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
y
Q(0, y,0)
N
r
o
x P( x,0,0)
• M(x, y,z)
空间一点在轴上的射影
•A
A
l
设已知空间的一点 A 与一轴 l ， 通过 A 作垂直于轴 l 的平面 ，称该平面与轴l 的
交点 A' 叫做点 A 在轴 l 上的射影.
P37
1
《解析几何》
－Chapter 1
§6 向量在轴上的射影
Contents
空间一点在轴上的射影 空间一向量在轴上的射影 向量的射影定理
r
在三个坐标轴上的分向量：
OP xi , OQ yj, OR zk.
只考虑 r 与 x 轴的关系，有
r在 x 轴上的分向量 OP xi ,
且 x r cos.
空间一点在轴上的射影
定义 1.6.1 设向量 AB 的始点 A 与终点 B 在轴 l 上的射影分别为点 A' 和
B
'
，那么向量
A
'
B
'
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影向量，记做射影
向量 l
AB
.
如果在轴上取与轴同方向的单位向量 e ，那么有
射影向量 l
AB
A'
B
'
xe
.
A
A e
x
叫做向量
AB
在轴
l
上的射影，记做
射影 l
AB
，即
射影 l
AB
x
.
矢量与坐标
a
M
或 M 1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. a 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M 1 M 2 |
1
或 e 单位向量： 模为1的向量. e a M
零向量： 模为0的向量. 0
1M 2
定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向 相同，那么叫做相等向量.记为 a b
A E e 1 B P1 e2 C e3 F
连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有 又因为AF1是△ACD 的中线，所以又有
1 1 AF ( AC AD) (e2 e3 ), 2 2 1 1 而 AE AB e1 , 2 2 1 1 1 1 从而得 AP1 e1 (e2 e3 ) (e1 e2 e3 ), 2 2 2 4 1 同理可得 APi (e1 e2 e3 ), ( i 2,3) 4 所以 AP1＝AP2＝AP3
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.8
向量的概念 向量的加法 数量乘向量 向量的线性关系与分解 标架与坐标 向量在轴上的射影 两向量的数性积 两向量的矢性积
§1.1 向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称向量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向.
定义1.3.1 实数与向量 a 的乘积是一个向量，记做 a, 它的 模是 a a ； a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a 相反我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘. .
向量在坐标轴上的投影公式
向量在坐标轴上的投影公式
首先，让我们来看一下向量在坐标轴上的投影是什么意思。
假设我们有一个二维向量v，它可以表示为(vx, vy)，其中vx和vy 分别是v在x和y轴上的分量。
如果我们想要计算向量v在x轴上的投影，我们可以使用向量的内积公式：
投影长度= |v| cos(θ)。
其中|v|是向量v的长度，θ是向量v与x轴的夹角。
根据三角函数的定义，我们知道cos(θ)等于向量v在x轴上的投影长度与向量v的长度之比。
因此，我们可以将向量v在x轴上的投影长度表示为：
投影长度= |v| cos(θ) = vx.
类似地，我们可以计算向量v在y轴上的投影长度：
投影长度= |v| cos(θ) = vy.
这就是向量在坐标轴上的投影公式。
通过这个公式，我们可以
轻松地计算任意向量在x和y轴上的投影长度，从而更好地理解向
量在坐标系中的分布和方向。
向量在坐标轴上的投影公式在实际应用中有着广泛的用途。
例如，在物理学中，我们可以使用这个公式来计算物体在坡面上的重
力分量，或者计算一个物体在斜面上的加速度。
在工程学中，这个
公式可以帮助我们分析力的分解和合成，从而更好地理解复杂的力
学系统。
在计算机图形学中，我们可以使用这个公式来进行向量投
影和仿射变换，从而实现三维图形的显示和渲染。
总之，向量在坐标轴上的投影公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和分析向量在空间中的分布和方向，同
时也具有广泛的实际应用。
希望通过本文的介绍，读者们能够更好
地理解这一概念，并在实际问题中灵活运用。
三维空间某向量在另一向量所在平面的投影公式
在三维空间中，向量的投影是一种对向量在另一向量所在平面上的“投影”，它可以帮助我们理解向量在空间中的相对位置关系。
而三维空间中某向量在另一向量所在平面的投影公式则是描述这一投影的数学表达式，可以帮助我们准确计算向量的投影。
让我们来看一下向量的定义和性质。
向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在三维空间中，一个向量可以由其在x、y、z轴上的分量表示。
假设有两个向量a和b，向量a在向量b所在的平面上的投影就是将向量a沿着向量b所在的平面投影到这个平面上，产生的新向量。
这一投影可以让我们更清晰地看到向量a在向量b所在平面上的位置。
接下来，我们来探讨三维空间中某向量在另一向量所在平面的投影公式。
假设向量a在向量b所在平面的投影为p，那么p等于向量a在向量b上的投影除以向量b的模长的平方，再乘以向量b本身，即p = ((a·b) / |b|^2) * b，其中·表示向量的点积，|b|表示向量b的模长。
这个公式的推导可以通过向量的投影性质和点乘的定义进行推导，通过这个公式我们可以准确计算出向量a在向量b所在平面上的投影，从而更好地理解向量在空间中的位置关系。
对于这个主题，个人认为理解三维空间中向量的投影公式可以帮助我们更好地理解向量的几何意义，从而更好地应用向量进行问题求解。
向量的投影不仅可以帮助我们理解空间中向量的相对位置关系，还可以应用在物理、工程等领域的问题中。
深入理解三维空间中某向量在另一向量所在平面的投影公式对于数学和工程领域的学习和应用都具有重要意义。
三维空间中某向量在另一向量所在平面的投影公式是我们理解向量在空间中相对位置关系的重要工具，通过深入研究和理解这一公式，我们可以更好地应用向量进行问题求解，同时也能够更好地理解向量在空间中的几何意义。
希望通过本文的阐述，读者能对这一主题有更深入的理解和应用。
向量的投影在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在工程领域，向量的投影可以帮助工程师理解和处理各种复杂的空间结构，比如建筑物、桥梁、道路等。
投影向量的计算公式推导
投影向量的计算公式推导投影向量是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解向量空间中的向量之间的关系。
在本文中，我们将详细介绍投影向量的计算公式推导过程，帮助读者更好地理解投影向量的概念和应用。
一、什么是投影向量？在向量空间中，一个向量可以被分解成两个向量的和，其中一个向量是另一个向量在某个方向上的投影向量。
投影向量是一个向量在另一个向量方向上的投影，通常用符号proj(a, b)表示。
其中，a是需要投影的向量，b是投影方向的向量。
投影向量的定义可以用一个简单的例子来说明。
假设有一个向量a=(3,4)，我们想要将它在x轴上的投影向量求出来。
我们可以先找到x轴的单位向量e1=(1,0)，然后计算a在e1上的投影，即：proj(a, e1) = (a·e1) e1其中，a·e1表示a和e1的点积，e1表示e1的长度为1的单位向量。
根据向量的乘法法则，我们可以得到：proj(a, e1) = ((3,4)·(1,0)) (1,0)= (3,0)因此，a在x轴上的投影向量为(3,0)。
二、投影向量的计算公式在上面的例子中，我们使用了点积的方法来计算投影向量。
实际上，投影向量还可以使用向量的投影公式来计算。
向量的投影公式可以表示为：proj(a, b) = (a·b/|b|^2) b其中，a·b表示a和b的点积，|b|表示b的长度。
根据这个公式，我们可以计算出任何向量在任何方向上的投影向量。
下面，我们将使用向量的投影公式来计算一个向量a在向量b上的投影向量。
假设有一个向量a=(3,4)，我们想要将它在向量b=(1,2)上的投影向量求出来。
我们可以使用向量的投影公式，计算出投影向量的长度和方向：|proj(a, b)| = |(a·b/|b|^2) b|= |(3,4)·(1,2)/(1^2+2^2)| |(1,2)|= 2.2方向：投影向量的方向与b的方向相同。
投影向量和投影公式
投影向量和投影公式投影向量是向量分析中一个重要的概念。
在数学和物理学中，向量通常是一个有方向和大小的量，可以用箭头表示。
而投影向量是指一个向量在一个特定方向上的投影。
投影公式则是计算投影向量的数学公式。
在二维空间中，一个向量可以由它在水平方向和垂直方向上的分量表示。
若向量A在方向v上的投影为向量P，则P = ，A，* cosθ，其中，A，表示向量A的大小，θ表示向量A和方向v的夹角。
这个公式可以简化为P = A * cosθ，其中A是向量A在方向v上的投影大小。
在三维空间中，一个向量可以由它在三个坐标轴上的分量表示。
若向量A在方向v上的投影为向量P，则P = ，A，* cosθ，其中θ表示向量A和方向v的夹角。
这个公式可以简化为P = A * cosθ，其中A是向量A在方向v上的投影大小。
投影向量和投影公式在实际问题中有着广泛应用。
例如在物理学中，一个物体沿一些轴的运动可以用一个位移向量来表示。
位移向量沿轴的投影可以表示物体在该轴上的位移。
在力学中，一个力可以分解为在不同方向上的分力，各分力的大小可以用投影公式来计算。
在计算机图形学中，投影向量和投影公式被广泛应用于三维对象的投影和视觉效果的渲染。
例如，当计算机生成一个三维物体的投影时，它会使用投影公式来计算物体在观察者视角下的投影大小。
投影向量和投影公式也与向量的正交性和投影子空间有关。
正交投影是指一个向量在一个正交空间（即由正交基向量张成的空间）上的投影。
正交投影可以用来计算向量在正交空间上的投影向量。
投影子空间是指一个向量空间中一个向量在另一个向量空间上的投影向量空间。
投影子空间可以用来计算向量在其他向量空间上的投影向量。
总的来说，投影向量和投影公式是向量分析中重要的概念。
它们在数学和物理学中有广泛的应用，可以用来计算向量在特定方向上的投影大小，以及向量在投影空间上的投影向量。
投影向量和投影公式也与向量的正交性和投影子空间有关，可以用来计算向量在正交空间或其他向量空间上的投影向量。
二维向量在坐标轴上的投影
二维向量在坐标轴上的投影
坐标向量的投影设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，向量AB=(x2-x1,y2-y1)，它在XOY面上的投影=(x2-x1,y2-y1) 在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。
如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。
在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。
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2i 4 3n
j
7k，
p在 x 轴上
的射影及在 y轴上的分向量.
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k )
13i 7 j 15k,
在 x轴上的射影为 13,
在 y轴上的分向量为7 j .
3. 空间两向量夹角的概念：
a
0,
b 0,
向量
a与向量
b 的夹角
b
为使其中一个向量与另
a
一个向量方向一致时所
旋转的最小角度，记为
a,b b,a (0 )
当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹
1.6 向量在轴上的射影（投影）
彭赛列 Poncelet （ 1788～1867） 法国数学家、工程师 射影几何学的创始人
1. 空间一点在轴（事先给定一个方向） 上的射影
•A
过点 A作轴u的垂直
A
u
平面，交点 A即为点
A在轴u上的射影.
2. 向量在轴上的射影（Projection）
过点 A, B 作垂直于轴 u 的平面，与轴 u 交于A’, B’点，于是向量 AB 在轴 u 上的射影向量定义 为A’B’，向量 AB 在轴 u 上的射影定义为
作业：习题1.6 1
B
A
B
(2) ,
2
u
射影为负；
u (3) ,
2
射影为零；
(2）两个向量的和在轴上的射影等于两个向量
在该轴上的射影之和.
rr
r
r
Prju (a1 a2 ) Prjua1 Prjua2.
A
C
a1 B a2
u
A
B
C
(3） Prju (ar ) Prjuar.
Prju AB
||A’B’||, A’B’与u同向 - ||A’B’||, A’B’与u反向
空间直角坐标系下，
向量OA的坐标a1, a2, a3分别是
A
OA 在三个坐标轴上的射影. o A'
B
B' u
例 p
5i设jm4k3，i求5向j 量8ak， 4nm
角可在0与 之间任意取值.
4. 向量在轴上的射影有以下性质：
(1)向量 AB在轴 u上的射影等于向量的模乘以
向量与轴的夹角的余弦： Prju AB || AB || cos
证 Prju AB Prju AB || AB || cos
(1) 0 ,
2 射影为正；
B
A