1.6 向量在轴上的投影
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角可在0与 之间任意取值.
4. 向量在轴上的射影有以下性质：
(1)向量 AB在轴 u上的射影等于向量的模乘以
向量与轴的夹角的余弦： Prju AB || AB || cos
证 Prju AB Prju AB || AB || cos
(1) 0 ,
2 射影为正；
B
A
作业：习题1.6 1
Biblioteka Baidu
在 x轴上的射影为 13,
在 y轴上的分向量为7 j .
3. 空间两向量夹角的概念：
a
0,
b 0,
向量
a与向量
b 的夹角
b
为使其中一个向量与另
a
一个向量方向一致时所
旋转的最小角度，记为
a,b b,a (0 )
当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹
2i 4 3n
j
7k，
p在 x 轴上
的射影及在 y轴上的分向量.
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k )
13i 7 j 15k,
Prju AB
||A’B’||, A’B’与u同向 - ||A’B’||, A’B’与u反向
空间直角坐标系下，
向量OA的坐标a1, a2, a3分别是
A
OA 在三个坐标轴上的射影. o A'
B
B' u
例 p
5i设jm4k3，i求5向j 量8ak， 4nm
B
A
B
(2) ,
2
u
射影为负；
u (3) ,
2
射影为零；
(2）两个向量的和在轴上的射影等于两个向量
在该轴上的射影之和.
rr
r
r
Prju (a1 a2 ) Prjua1 Prjua2.
A
C
a1 B a2
u
A
B
C
(3） Prju (ar ) Prjuar.
1.6 向量在轴上的射影（投影）
彭赛列 Poncelet （ 1788～1867） 法国数学家、工程师 射影几何学的创始人
1. 空间一点在轴（事先给定一个方向） 上的射影
•A
过点 A作轴u的垂直
A
u
平面，交点 A即为点
A在轴u上的射影.
2. 向量在轴上的射影（Projection）
过点 A, B 作垂直于轴 u 的平面，与轴 u 交于A’, B’点，于是向量 AB 在轴 u 上的射影向量定义 为A’B’，向量 AB 在轴 u 上的射影定义为
4. 向量在轴上的射影有以下性质：
(1)向量 AB在轴 u上的射影等于向量的模乘以
向量与轴的夹角的余弦： Prju AB || AB || cos
证 Prju AB Prju AB || AB || cos
(1) 0 ,
2 射影为正；
B
A
作业：习题1.6 1
Biblioteka Baidu
在 x轴上的射影为 13,
在 y轴上的分向量为7 j .
3. 空间两向量夹角的概念：
a
0,
b 0,
向量
a与向量
b 的夹角
b
为使其中一个向量与另
a
一个向量方向一致时所
旋转的最小角度，记为
a,b b,a (0 )
当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹
2i 4 3n
j
7k，
p在 x 轴上
的射影及在 y轴上的分向量.
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k )
13i 7 j 15k,
Prju AB
||A’B’||, A’B’与u同向 - ||A’B’||, A’B’与u反向
空间直角坐标系下，
向量OA的坐标a1, a2, a3分别是
A
OA 在三个坐标轴上的射影. o A'
B
B' u
例 p
5i设jm4k3，i求5向j 量8ak， 4nm
B
A
B
(2) ,
2
u
射影为负；
u (3) ,
2
射影为零；
(2）两个向量的和在轴上的射影等于两个向量
在该轴上的射影之和.
rr
r
r
Prju (a1 a2 ) Prjua1 Prjua2.
A
C
a1 B a2
u
A
B
C
(3） Prju (ar ) Prjuar.
1.6 向量在轴上的射影（投影）
彭赛列 Poncelet （ 1788～1867） 法国数学家、工程师 射影几何学的创始人
1. 空间一点在轴（事先给定一个方向） 上的射影
•A
过点 A作轴u的垂直
A
u
平面，交点 A即为点
A在轴u上的射影.
2. 向量在轴上的射影（Projection）
过点 A, B 作垂直于轴 u 的平面，与轴 u 交于A’, B’点，于是向量 AB 在轴 u 上的射影向量定义 为A’B’，向量 AB 在轴 u 上的射影定义为