暑假新高一数学衔接讲义含初中高中部分

第1讲数与式

1

910

+⨯的正整数n ，有1(1)n n +

+

第2讲一元二次函数与二次不等式

第3讲一元二次方程与韦达定理

第4讲绝对值不等式与无理式不等式

第5讲集合的基本概念

}6

x<．

N*．

例5.设集合}{12A x x =<<，}

{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤

变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2

－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为___ ___

【典型例题—2】韦恩图：

【内容概述】

用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。

例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．

A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，

B ＝｛x ｜x 是菱形｝，

C ＝｛x ｜x 是矩形｝，

D ＝｛x ｜x 是正方形｝．

【典型例题—3】集合相等：

设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？

【概括】

集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等， 即：A=B

例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}

240B x x =-=的关系．

例8.判断集合A 与B 是否相等？

(1) A={0}，B= ∅；

(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；

(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．

变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．

【典型例题—4】真子集：

【内容概述】

如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合

A 的真子集．记作

B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．

[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果A

B ，B

C ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：

(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集

变式：已知集}{2230A x x x =--=，}

{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．

【典型例题—5】空集

【内容概述】

1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅

2、空集是任何集合的子集。

3、空集是任何非空集合的真子集

例11.求方程x 2+1=0的实数根

变式：下列四个集合中，表示空集的是（ ）

Ａ．｛０｝ Ｂ．},,|),{(22R y R x x y y x ∈∈-=

Ｃ．},,5|||{N x Z x x x ∉∈= Ｄ．},0232|{2

N x x x x ∈=-+

课后练习

1.已知集合Ａ＝｛c b a ,,｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ｝，则集合Ｂ的真子集个数最多是（ ） Ａ．５个 Ｂ．６个 Ｃ．７个 Ｄ．８个

2.设集合Ｍ⊆｛1,2,3,4,5｝，且a ∈Ｍ时，６－a ∈Ｍ，则集合Ｍ=_______________．

3.写出满足条件｛0，1｝⊆Ｍ⊂≠｛0，１，２，３｝的集合Ｍ____________________

4.集合{3，x ，x 2－2x}中，x 应满足的条件是______．

第6讲集合的基本运算

变式2：已知集合}9,1,5{},,12,0{2

a a B a a A --=-=分别符合下列条件的a 的值.

（1）B A ∈9； （2）{}B A =9.

例4.设集合}|{},1,0,1{2x x x N M ≤=-=，则N M =_______________________. 变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.

变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.

（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；

（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.

知识点三、补集

【内容概述】

1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.

2.补集：如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集.

3.对补集定义的理解要注意以下几点：

（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.

(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.

（3）从符号角度来看，若U x ∈，U A ⊂，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一.

4.集合图形，理解补集的如下性质：

（1）∅====∅∅=)(,)(,)(,,A C A U A C A A A C C U C U C U U U U U U

(2)若B A ⊆，则)()(B C A C U U ⊇；反之，若)()(B C A C U U ⊇，则B A ⊆

（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B

【典型例题】

例5.设全集U 是实数集R ，}4|{2

>=x x A ，}13|{<≥=x x x B 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是__________________.

变式1：已知集合}012|{2=++=b ax x x A 和}0|{2=+-=b ax x x B

满足R U B C A B A C U U ===},4{)(},2{)( ,求实数a 、b 的值.

变式2：设集合}12

3|),{(},,|),{(=--=∈=x y y x M R y x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ， 则)()(N C M C U U =__________________.

例6.已知全集R U =，}12|{},523|{≤≤-=+<<=x x P a x a x M ，若P C M U ⊂，求实数a 的取值范围.

变式1：已知集合},0624|{2

R x m mx x x A ∈=++-=，},0|{R x x x B ∈<=，若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.