正多边形
正多边形的性质与判定解析
正多边形的性质与判定解析正多边形是指所有边相等且所有角相等的多边形。
本文将探讨正多边形的性质以及如何判定一个多边形是否为正多边形。
1. 什么是正多边形正多边形是指所有边相等且所有角相等的多边形。
正多边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n，其中n为正多边形的边数。
2. 正多边形的性质正多边形具有以下几个重要性质：- 所有边相等：正多边形的每条边长度均相等。
- 所有角相等：正多边形的所有内角均相等，并且每个内角等于(n-2)×180°/n。
3. 正多边形的判定如何判定一个多边形是否为正多边形呢？我们可以通过以下两种方法进行判定：方法一：边长相等法- 方法：测量多边形的各条边长度，如果它们的长度都相等，则该多边形是正多边形。
- 解析：正多边形的边长相等是其最基本的性质，因此只需检查多边形的边长是否一致即可。
方法二：角度相等法- 方法：测量多边形的各个角度，如果它们的度数都相等，则该多边形是正多边形。
- 解析：由于正多边形的所有内角度数相等，因此只需检查多边形的内角度数是否一致即可。
4. 实例分析假设我们有一个五边形ABCDE，各边和角度如下：AB = BC = CD = DE = EA∠ABC = ∠BCD = ∠CDE = ∠DEA = ∠EAB我们可以通过测量边长和角度来判断该五边形是否为正多边形。
方法一中，我们测量各边长度，发现AB = BC = CD = DE = EA，因此符合边长相等法的要求。
方法二中，我们测量各角度，发现∠ABC = ∠BCD = ∠CDE =∠DEA = ∠EAB，因此符合角度相等法的要求。
综上所述，五边形ABCDE满足正多边形的定义，是一个正五边形。
5. 结论正多边形具有所有边相等和所有角相等的性质。
我们可以通过测量边长或角度来判定一个多边形是否为正多边形。
边长相等法和角度相等法是常用的判定方法。
对于一个n边形，我们只需测量n条边的边长或n个角的度数，如果它们都相等，则该多边形为正多边形。
正多边形边数公式
正多边形边数公式正多边形是指所有边相等，所有角度相等的多边形。
正多边形的边数公式是指通过正多边形的内角度数公式，计算出正多边形的边数。
正多边形的内角度数公式是：(n-2)×180°/n，其中n为正多边形的边数。
这个公式的意思是，正多边形的每个内角的度数是(180°×(n-2))/n。
因为正多边形的每个内角都相等，所以可以通过这个公式计算出每个内角的度数。
通过正多边形的内角度数公式，我们可以推导出正多边形的边数公式。
因为正多边形的每个内角的度数是(180°×(n-2))/n，所以正多边形的所有内角的度数之和是180°×(n-2)。
而正多边形的所有内角的度数之和也可以表示为360°，因为正多边形的所有内角加起来等于360°。
因此，我们可以得到以下公式：180°×(n-2) = 360°解这个方程，可以得到：n = 360°/(180°-360°/n)这就是正多边形的边数公式。
通过这个公式，我们可以计算出任意正多边形的边数。
例如，如果要计算一个正六边形的边数，可以将n代入公式中：n = 360°/(180°-360°/6) = 6因此，正六边形有6条边。
正多边形的边数公式在数学和几何学中都有广泛的应用。
它可以用于计算各种正多边形的边数，例如正三角形、正四边形、正五边形等等。
此外，正多边形的边数公式还可以用于解决一些实际问题，例如在建筑设计中计算多边形的边数，或者在计算机图形学中生成多边形的边数。
正多边形模型总结及经典练习题
正多边形模型总结及经典练习题
正多边形是一个具有相等边长和相等内角的多边形。
在几何学中，正多边形是非常重要的概念，它有许多有趣的性质和应用。
在本文档中，我们将总结正多边形的特点，并提供一些经典的练题来加深研究。
正多边形的特点
正多边形具有以下特点：
1. 边长相等：正多边形的每条边都具有相同的长度。
2. 内角相等：正多边形的每个内角都具有相同的大小。
3. 外角相等：正多边形的每个外角都具有相同的大小。
4. 中心对称：正多边形以中心为对称轴，对称的各个部分完全相同。
经典练题
以下是一些经典的正多边形练题，供大家练和巩固所学知识：
1. 一个正三角形的内角和是多少？
2. 一个正五边形的外角和是多少？
3. 如果一个正七边形的边长是5厘米，它的周长是多少？
4. 一个正十边形的内角和是多少？
5. 如果一个正十二边形的外角是30度，它的内角是多少度？
希望通过对以上练题的思考和求解，能够加深对正多边形的理解和掌握。
以上就是对正多边形模型的总结及经典练习题的介绍。
希望本文档能够帮助大家更好地理解和运用正多边形的概念。
如果有任何疑问或需要进一步的解释，请随时向我提问。
谢谢！。
正多边形的有关计算
正多边形的有关计算正多边形是指所有边相等且所有角相等的多边形。
它们具有一些特殊的性质和计算方法，让我们来探讨一下。
公式推导我们以正n边形为例，其中n表示边的数量。
对于正n边形，可以推导出以下一些重要的公式：内角和正n边形的内角和等于(n-2) * 180度。
这可以通过以下方法推导得出：正n边形的每个内角都相等，表示为α度。
根据正多边形的性质，α ° + α ° + α ° + … + α ° = 360 °。
而正n边形有n个角，所以总的内角和为n * α °。
因此，我们可以得出公式：n * α = 360 °，即α = 360 ° / n。
由此可得，内角和= n * α = n * (360 ° / n) = 360°。
外角正n边形的外角等于360° / n。
这可以通过以下方法推导得出：正n边形的每个内角α加上与之相邻的外角β等于180°，即α + β = 180°。
我们已经求得α = 360° / n，所以β = 180° - α。
因此，正n边形的外角角度为β = 180° - (360° / n) = 360° / n。
边长正n边形的边长可以通过以下方法计算得出：假设正n边形的边长为s，那么可以使用三角函数来计算边长。
以正n边形的一个角的一条边为底边，那么根据三角函数，可以得到s = 2 * R * sin(π / n)，其中R为正n边形的外接圆半径。
另一种方法是使用正多边形的周长公式来计算边长。
正n边形的周长等于n * s，即n * s = 2 * n * R * sin(π / n)。
这样我们可以得到边长为s = 2 * R * sin(π / n)。
面积正n边形的面积可以通过以下方法计算得出：假设正n边形的边长为s，那么可以使用正多边形的面积公式来计算面积。
正多边形的性质与计算公式解析
正多边形的性质与计算公式解析正多边形是指所有边相等，所有内角相等的多边形，是几何学中的重要概念。
本文将对正多边形的性质及计算公式进行详细解析。
一、正多边形的性质1. 所有边相等：正多边形的每条边长度相等，记作a。
2. 所有内角相等：正多边形的每个内角的度数相等，记作α。
3. 边数与内角数的关系：正多边形的边数n与内角数m存在以下关系：m = n - 2。
例如，三角形（n=3）的内角数为1，四边形（n=4）的内角数为2，以此类推。
4. 内角的度数：正多边形每个内角的度数可以通过公式计算：α = (n-2) × 180° / n，其中n为边数，α为内角度数。
二、正多边形的计算公式1. 周长：正多边形的周长可以通过公式计算：周长 = n × a，其中n 为边数，a为边长。
2. 面积：正多边形的面积可以通过公式计算：面积 = (1/4) × n × a^2 × cot(π/n)，其中n为边数，a为边长，cot为余切函数。
3. 外接圆半径：正多边形的外接圆半径可以通过公式计算：外接圆半径= a / (2 × sin(π/n))，其中n为边数，a为边长，sin为正弦函数。
4. 内切圆半径：正多边形的内切圆半径可以通过公式计算：内切圆半径= a / (2 × tan(π/n))，其中n为边数，a为边长，tan为正切函数。
三、计算示例以一个六边形为例，边长为5cm。
根据上述公式计算：1. 周长 = 6 × 5 = 30cm。
2. 内角的度数α = (6-2) × 180° / 6 = 120°。
3. 面积= (1/4) × 6 × 5^2 × cot(π/6) ≈ 64.95cm^2。
4. 外接圆半径= 5 / (2 × sin(π/6)) ≈5.77cm。
正多边形的性质
正多边形的性质正多边形是一个具有特殊性质的几何形状，它有着一系列独特的特点和性质。
本文将介绍正多边形的定义、性质以及相关公式，以全面了解这一几何形状。
一、正多边形的定义正多边形是一个平面上的封闭图形，它的所有边长相等且所有内角相等。
正多边形的每个内角都等于360度除以多边形的边数。
例如，一个正三角形的内角为60度，一个正五边形的内角为108度，依此类推。
二、正多边形的性质1. 边数和内角正多边形具有明确的边数和内角数，记作n。
正多边形的内角和公式为：(n-2) × 180度。
因此，正多边形的每个内角都等于((n-2) × 180度)/n。
2. 对称性正多边形具有高度的对称性。
它可以通过一个中心点将多边形分为对称的若干部分，其中每一部分都可以与其他部分通过旋转重合。
正多边形的每个内角相等，每对相对边平行且长度相等，这些对称特点使得正多边形在几何学中具有重要意义。
3. 外角正多边形的外角是指从多边形的一个顶点出发，以其相邻两边作延长线所形成的角。
正多边形的每个外角都等于360度除以多边形的边数。
因此，一个正五边形的外角为72度，一个正六边形的外角为60度，依此类推。
4. 对角线正多边形的对角线是指多边形内部任意两个非相邻顶点之间的线段。
正多边形的对角线数量为n(n-3)/2。
例如，一个正六边形有9条对角线，一个正七边形有14条对角线。
5. 面积计算正多边形的面积计算公式为：面积 = (边长^2 × n) / (4 × tan(π/n))。
其中，边长为正多边形的边长，n为多边形的边数，tan为正切函数。
6. 外接圆和内切圆正多边形可以外接于一个圆内，这个圆被称为正多边形的外接圆。
正多边形的外接圆的半径等于多边形的边长除以(2 × sin(π/n))。
正多边形也可以内切于一个圆中，这个圆被称为正多边形的内切圆。
正多边形的内切圆的半径等于多边形的边长除以(2 × tan(π/n))。
各种正多边形的特点
各种正多边形的特点正多边形，又称为规则多边形，是以顶点、边来构成的图形。
它有几个特点，每一条边都是等长的、每个内角都是相等的，外角总和是(n-2)180°（n为多边形的边数）。
正多边形从三角形开始，在三边、四边、五边、六边这样逐渐增加，由此可以得出三角形、四边形、五边形、六边形、七边形、八边形、九边形、十边形等各种正多边形。
三角形是正多边形中最简单的形状，其中有三边、三个内角，外角总和为180°，是由三条连线所组成的，它在很多地方都有应用，比如建筑、机械、航空、医学等领域都有它的身影，它非常常见，是数学中最重要的几何图形之一。
四边形是由4条垂直线构成的，它是平面图形的一种，它的特点是拥有四边，四个内角，外角总和为360°，它有正方形、长方形和菱形等三种，它们的特点是正方形的四条边都是等长的，长方形的两边相等，而菱形的4条边是不等长的。
四边形在几何图形中是非常重要的，它们有许多应用，比如建筑、木工、机械等各个方面都有它们的身影。
五边形是由5条线连接而成的，它有五条边，五个内角，外角总和为540°，它有正五边形和非正五边形两种，正五边形的边长相等，而非正五边形的边长不等。
五边形有许多应用，比如在图案、平面图形设计、图像处理等各个方面都有它们的身影。
六边形是由6条线连接而成的，它有六条边，六个内角，外角总和为720°，它有正六边形、非正六边形、三角六边形等三种，正六边形的边长相等，而非正六边形的边长不等，三角六边形的内角有三个相等的。
六边形使用广泛，比如在数据处理、图像处理、图案设计等各个方面都有它们的身影。
七边形是由7条线连接而成的，它有七条边，七个内角，外角总和为900°，它有正七边形、非正七边形、三角七边形等三种，正七边形的边长相等，而非正七边形的边长不等，三角七边形的内角有三个相等的。
七边形在几何图形中是非常重要的，它们有许多应用，比如建筑、机械、建模、美术设计等各个方面都有它们的身影。
正多边形的面积计算公式
正多边形的面积计算公式正多边形是指所有边都相等且所有内角都相等的多边形。
当给定正多边形的边长或者半径时，我们可以使用特定的公式来计算其面积。
本文将介绍如何计算正多边形的面积，并提供相应的公式。
1. 正多边形面积的基本原理正多边形可以看作是由若干个相等的等边三角形组成。
因此，计算正多边形的面积只需计算一个等边三角形的面积，再乘以正多边形的边数即可。
2. 正多边形面积计算公式假设正多边形的边长或半径为a，正多边形的边数为n。
根据上述原理，正多边形的面积公式可以表示为：面积 = 正三角形的面积 ×边数正三角形的面积公式为：面积= (a²√3) / 4因此，正多边形的面积计算公式可以改写为：面积= (a²√3 × n) / 43. 面积计算公式的解释上述面积公式的原理是，首先计算等边三角形的面积，即(a²√3) / 4，然后乘以正多边形的边数来得到整个正多边形的面积。
由于正多边形中每个等边三角形的面积相等，因此通过乘以边数可以得到整个正多边形的面积。
4. 举例说明假设有一个正五边形，其中边长为a = 5 cm。
根据上述公式，我们可以计算出这个正五边形的面积：面积= (5²√3 × 5) / 4= (25√3 × 5) / 4≈ 54.44 cm²因此，该正五边形的面积约为54.44平方厘米。
5. 应用场景正多边形的面积计算公式可以广泛应用于几何学和工程学中。
例如，在建筑领域中，我们可以使用该公式来计算正多边形的面积，以便进行规划和设计。
总结：本文介绍了正多边形的面积计算公式。
正多边形的面积可以通过计算一个等边三角形的面积，并乘以边数来得到。
这一公式在几何学和工程学领域有着广泛的应用。
通过掌握这个公式，我们可以更方便地计算正多边形的面积，为相关领域的问题提供解决方案。
数学正多边形课件(共10张PPT)
我们以圆内接正五边形为例证明.
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接 各分点得到正五边形ABCDE.
∵ A B B C C D D E E A ，
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
A
BCECD A3AB. ∴ ∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
B
E
O·
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
1 各边相等的圆内接多边形是正多边形. 边心距＝OD= R . 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例. 2 问题1，什么样的图形是正多边形？
在Rt△ABD中 ∠BAD=30°, O 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?
·
各边相等的圆内接多边形是正多边形.
l =4×6=24(m).
1 3 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? ADO AO DR R R ， 分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积. 2 2 ∴ AB=BC=CD=DE=EA,
B
D
C
cosBAD AD，
AB
AD
AB
3R 2
3R.
cosBAD cos30
SA B C1 2B CA D 1 23 R 2 3R 第9页 ，共3 104 页。3R 2.
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E， ∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°
在Rt△OBE中为等腰直角三角形
正多边形性质定理汇总
正多边形性质定理汇总一个正多边形是一个几何图形，它具有以下一些性质和定理。
性质一：边数和角数正多边形有相等长度的边和相等大小的内角。
具体来说：- 一个正三边形有3条边和3个内角；- 一个正四边形有4条边和4个内角；- 一个正五边形有5条边和5个内角；- 以此类推，一个正$n$边形有$n$条边和$n$个内角。
性质二：内角和对于一个正多边形来说，所有内角的和等于$(n-2)\times180$度，其中$n$是多边形的边数。
换句话说：- 对于一个正三边形，三个内角的和为$180$度；- 对于一个正四边形，四个内角的和为$360$度；- 对于一个正五边形，五个内角的和为$540$度；- 以此类推。
性质三：内角的度数在一个正多边形中，每个内角的度数可以通过公式$180\times \left(1-\frac{2}{n}\right)$来计算，其中$n$是多边形的边数。
具体来说：- 对于一个正三边形，每个内角的度数为$60$度；- 对于一个正四边形，每个内角的度数为$90$度；- 对于一个正五边形，每个内角的度数为$108$度；- 以此类推。
性质四：外角的度数在一个正多边形中，每个外角的度数可以通过公式$360 \div n$来计算，其中$n$是多边形的边数。
具体来说：- 对于一个正三边形，每个外角的度数为$120$度；- 对于一个正四边形，每个外角的度数为$90$度；- 对于一个正五边形，每个外角的度数为$72$度；- 以此类推。
以上是一些关于正多边形的性质和定理的总结。
这些性质和定理有助于我们理解和计算正多边形的属性。
正多边形的特点和性质
正多边形的特点和性质一、正多边形的定义正多边形是指所有边相等，所有角也相等的多边形。
二、正多边形的性质1.正多边形的所有边相等。
2.正多边形的所有角相等。
3.正多边形的对角线互相平分，且对角线将正多边形分成若干个全等的小三角形。
4.正多边形的中心角等于其所对的外角，且中心角和外角的和为180度。
5.正多边形的内角和为(n-2)×180度，其中n为正多边形的边数。
6.正多边形的对角线数量为n(n-3)/2，其中n为正多边形的边数。
三、正多边形的特点1.正多边形的边数必须是正整数。
2.正多边形的边数越多，其形状越接近圆。
3.正多边形的面积可以通过其边长和中心角来计算。
4.正多边形的外接圆半径等于其边长乘以根号2除以2。
5.正多边形的内切圆半径等于其面积除以边长。
四、正多边形与圆的关系1.正多边形的中心即为外接圆的圆心。
2.正多边形的边长等于外接圆的直径。
3.正多边形的内切圆半径等于其中心到边的距离。
五、正多边形的分类1.根据边数，正多边形可以分为正三角形、正四边形、正五边形、正六边形等。
2.根据对称性，正多边形可以分为正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。
六、正多边形的应用1.在建筑中，正多边形的形状常用于设计美观和结构稳定。
2.在艺术中，正多边形的形状常用于图案设计和装饰。
3.在数学中，正多边形的研究可以帮助理解多边形的性质和几何学的基本概念。
七、正多边形的证明1.欧几里得证明了正多边形的中心角等于其所对的外角。
2.欧拉证明了正多边形的对角线互相平分。
3.哈密顿证明了正多边形的中心到边的距离等于内切圆半径。
八、正多边形的拓展1.正多边形可以扩展为正多面体，即所有面都是正多边形的三维图形。
2.正多边形的对称性可以扩展到正多面体的对称性。
3.正多边形的性质和应用也可以扩展到正多面体。
习题及方法：1.习题：一个正八边形的边长是8厘米，求它的面积。
答案：首先，正八边形的中心角是360°/8 = 45°。
正多边形半径公式
正多边形半径公式正多边形半径公式是指，一个正多边形的半径（r）可以通过它的边长（a）和边数（n）来计算得出。
以下是正多边形半径公式的详细解释。
一、什么是正多边形？正多边形是指每个角度相等，每个边长相等的多边形。
最常见的正多边形是正三角形（三边相等）、正方形（四边相等）、正五边形（五边相等）、正六边形（六边相等）等等。
二、正多边形的内角和公式正多边形的内角和是指所有内角之和。
在一个n边形中，每个内角的度数为((n-2)×180°)/n。
因此，正多边形的内角和公式为：内角和=(n-2)×180°三、正多边形的外角和公式正多边形的外角和是指所有外角之和。
在一个n边形中，每个外角的度数为360°/n。
因此，正多边形的外角和公式为：外角和=360°四、正多边形的周长公式正多边形的周长是指所有边长之和。
在一个n边形中，每条边的长度为a。
因此，正多边形的周长公式为：周长=n×a五、正多边形的面积公式正多边形的面积是指正多边形内部所包含的区域大小。
在一个n边形中，可以将其分为n个等腰三角形。
因此，正多边形的面积公式为：面积=(n×a×r)/2六、正多边形半径公式正多边形的半径可以通过它的边长和边数计算得出。
在一个n边形中，半径（r）的公式为：半径=r=a/(2×sin(π/n))这里的π是圆周率，sin是正弦函数。
因此，如果知道正多边形的边长和边数，就可以通过以上公式计算出它的半径大小了。
总结：正多边形半径公式是通过正多边形的边长和边数来计算半径大小的公式。
除了半径公式外，还有内角和公式、外角和公式、周长公式和面积公式等。
在学习正多边形时，了解这些公式是非常重要的。
正多边形的性质
正多边形的性质正多边形是初中数学中的一个重要概念，它具有一些独特的性质。
本文将从不同角度对正多边形的性质进行举例、分析和说明，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一概念。
一、边数和角度关系正多边形的边数和角度是密切相关的。
以正三角形为例，它有三条边和三个内角。
我们可以通过计算得知，每个内角的度数是60度。
同样地，正四边形的每个内角为90度，正五边形为108度，正六边形为120度，以此类推。
这个规律可以总结为：正多边形的每个内角度数等于(边数-2)乘以180度再除以边数。
这个公式可以帮助我们快速计算正多边形的内角度数，从而更好地理解和解决与正多边形相关的问题。
二、对称性和等边性正多边形具有显著的对称性和等边性。
以正五边形为例，它有五条边和五个内角。
五边形的每两条边都可以通过一个中心点对称，即对称轴是从中心点到两条边的中点。
此外，五边形的五个内角也是相等的，每个内角都是108度。
对称性和等边性使得正多边形在几何学中具有重要的应用价值。
例如，在设计中，我们常常会利用正多边形的对称性和等边性来创造美观的图案和结构。
三、正多边形的面积和周长正多边形的面积和周长也是我们需要了解和应用的重要概念。
以正六边形为例，它有六条边和六个内角。
我们可以通过将六边形划分为六个等边三角形来计算它的面积。
假设六边形的边长为a，那么每个等边三角形的面积为(√3/4)a²。
因此，六边形的面积为6×(√3/4)a²，即(3√3/2)a²。
同样地，我们可以通过将正多边形划分为若干个等边三角形来计算它的面积。
而正多边形的周长则等于边长乘以边数。
四、正多边形的内切圆和外接圆正多边形还具有内切圆和外接圆。
内切圆是指能够与正多边形的每条边都相切的圆，而外接圆则是指能够通过正多边形的每个顶点的圆。
以正六边形为例，我们可以通过将正六边形分割为六个等边三角形来构造内切圆和外接圆。
内切圆的半径等于正六边形的边长，而外接圆的半径等于正六边形的外接圆心到顶点的距离。
正多边形与圆
正多边形与圆正多边形和圆是几何学中的基本概念，它们具有独特的性质和特点。
正多边形是指所有边相等且所有内角相等的多边形，而圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的形状。
本文将详细讨论正多边形和圆的定义、性质以及它们之间的关系。
一、正多边形的定义与性质正多边形是指所有边相等且所有内角相等的多边形。
按照边的数量，我们可以称之为正三边形、正四边形、正五边形等。
下面以正三边形为例，介绍正多边形的一些性质。
1. 正多边形的特点正三边形是最简单的正多边形，它的三条边相等，三个内角也相等。
除了边长和角度相等外，正多边形的对角线长度也相等，对称轴的存在使得正多边形具有额外的对称性。
2. 正多边形的内角和外角正多边形的内角和外角和的关系是一个重要的性质。
以正三边形为例，它的内角和为180度，外角和为360度。
无论正多边形的边数增加到多少，内角和始终是180度，而外角和始终是360度。
二、圆的定义与性质圆是一个平面上所有点到圆心的距离都相等的形状。
以下是圆的一些定义与性质。
1. 圆的定义圆是由平面上到一个给定点（圆心）的距离相等的所有点所组成的集合。
圆的长度单位是周长，面积单位是平方单位。
2. 圆的性质圆具有许多独特的性质，如以下几点：- 圆的直径是圆上任何两点间的最长线段，它等于圆的半径的两倍。
- 圆的周长是圆上任意一点绕圆心一周所经过的长度，用2πr表示，其中r代表圆的半径。
- 圆的面积是圆内所有点所构成的区域的大小，用πr²表示，其中r代表圆的半径。
三、正多边形与圆的关系正多边形与圆之间存在着密切的关系，下面将介绍两者之间的一些关联性。
1. 内接圆和外接圆正多边形与圆的关系可以通过内接圆和外接圆来描述。
内接圆是指一个圆完全位于正多边形内部且与多边形的每一边都相切，而外接圆是指一个圆完全包围住正多边形且与多边形的每一条边都相切。
对于正多边形来说，内接圆和外接圆的圆心都位于正多边形的中心。
2. 正多边形与圆的面积关系正多边形与圆的面积关系可以通过比较它们的面积得出。
正多边形的画法初中数学课件
C
B
使∠BAO=∠CAO=30°．
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、
正六边形吗？
A
A D
F E
B E
O
·
90°
C B
O
·
A
72°
C D
O D
·
60°
B C
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
A
D
O
·
B
C
只要作出已知⊙O的互相垂直 的直径即得圆内接正方形，再 过圆心作各边的垂线与⊙O相 交，或作各中心角的角平分线 与⊙O相交，即得圆接正八边 形，照此方法依次可作正十六 边形、正三十二边形、正六十
D．32 6
5．若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为
(B ) A．6，3 2 B．3 2 ，3 C．6，3 D．6 2 ，3 2
6．(教材 P106 例题变式)颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古 代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四 大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是边长为 2 米的正六边形， 那么这个地基的面积是_6___3__平方米．
人教版数学 九年级上册
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
第2课时 正多边形的画法
导入新知
正多边形和圆有什么关系？
O·
你能借助圆画一个正多边形吗？
学习目标
1. 掌握正多边形的画法. 2. 掌握画正多边形的关键——等分圆周的两种方法 ：一是量角器等分圆周；二是用尺规作图等分圆周.
合作探究
新知 正多边形的画法
多姿多彩的正多边形:观察生活中的 正多边形图案.
几种常见的正多边形
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性， 所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
正多边形相关计算公式
正多边形相关计算公式正多边形指的是所有边相等，所有角度相等的几何图形。
在正多边形的研究中，我们常用到的计算公式有：1.内角和公式：在一个正n边形中，内角和的计算公式可以通过以下公式获得：S=(n-2)×180°其中，S代表内角和的度数，n代表正多边形的边数。
2.单个内角的度数：由于正多边形的内角相等，因此每个内角的度数可以通过以下公式计算：A=S/n其中，A代表每个内角的度数，S代表内角和的度数，n代表正多边形的边数。
3.外角的度数：在正多边形中，外角是与内角相对的角。
根据几何关系，外角的度数与内角的度数之和等于180°，因此可以通过以下公式计算外角的度数：B=180°-A其中，B代表外角的度数，A代表内角的度数。
4.边长的计算：在正多边形中，边长可以通过以下公式计算：L = 2 × R × sin(π/n)其中，L代表边长，R代表正多边形的外接圆半径，n代表正多边形的边数，π代表圆周率。
5.周长的计算：在正多边形中，周长可以通过以下公式计算：P=n×L其中，P代表周长，n代表正多边形的边数，L代表边长。
6.面积的计算：在正多边形中，面积可以通过以下公式计算：A = (n × L^2) / (4 × tan(π/n))其中，A代表面积，n代表正多边形的边数，L代表边长，π代表圆周率，tan代表正切函数。
这些计算公式可以帮助我们进行正多边形的相关计算，如内角和、单个内角的度数、外角的度数、边长、周长和面积等。
通过这些公式，我们可以更深入地研究正多边形的性质和特点。
初中数学精品课件：正多边形
叫做正n边形。
根据边数不同，分别叫做
正三角形 正方形
正五边形 正六边形正八边形
思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
矩形不是正多边形，因为四条边不都相等; 菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;
正方形是正多边形．因为四条边都相等， 四个角都相等.
2. 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形。
课堂检测
1．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长 的比是（ A ）
6
3
6
4
A. 2
B.4
C. 3
D.3
2．如图，正△ABC内接于半径为1cm的圆，则阴
影部分的面积为__π_－__3_4_3___cm2.
做一做：
用直尺和圆规作出它们的外接圆
A
A
D
B
C
B
C
定义：经过正多边形各个顶点的圆叫做正多边 形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接正多边形。
A
A
D
B
C
B
C
我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边 形的外接圆，这个正多边形也就叫做圆内接多边形.任何 一个正多边形都有一个外接圆.
分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边 长，边心距和面积.
二、正多边形的性质
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各个内角都相等
3、正n边形的内角的度数是： （n 2）•180
n
4、正n边形的每一个外角的度数是：360
n
例题教学
例1 已知一个正多边形的内角为176.4°，
这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的 正多边形？
解：设正多边形的边数为n，由内角为176.4°得
正多边形求边公式
如何计算正多边形的边数解答：已知内角和内角和÷180+2已知一个内角360÷(180-内角)已知一个外角360÷外角正方形是数学中常见的多边形之一，它的内角和公式及定义有哪些呢。
以下为大家整理的“正多边形内角和公式及定义”，仅供参考，欢迎大家阅读。
正多边形内角和公式及定义已知已知正多边形内角度数则其边数为：360÷(180-内角度数)。
推论任意多边形的外角和=360。
正多边形任意两个相邻角的连线所构成的三角形是等腰三角形。
多边形的内角和定义〔n-2〕×180·多边形内角和定理证明证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n 个三角形，因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°，所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=(n-2)·180°，即n边形的内角和等于(n-2)×180°。
证法二：连结多边形的任一顶点A1与其他各个顶点的线段，把n边形分成(n-2)个三角形，因为这(n-2)个三角形的内角和都等于(n-2)·180°，所以n边形的内角和是(n-2)×180°。
证法三：在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成(n-1)个三角形，这(n-1)个三角形的内角和等于(n-1)·180°，以P为公共顶点的(n-1)个角的和是180°，所以多边形内角和公式n边形的内角和是(n-1)·180°-180°=(n-2)·180°。
拓展阅读：多边形知识概念1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、多边形内角和定理:n边形的内角的和等于：(n - 2)×180°正多边形各内角度数为：(n-2)×180°÷n...。
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60°
形.
第二种方法： 如图，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六
边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取等 于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各 分点即可．
O·
生活中数学：
例 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
解: 如图，由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 360 60，
则∠OEB=90°，∠OBE= ∠ BOE=45°.
Rt△OBE为等腰直角三角形.则有
BE2 OE2 OB2
2OE2 OB2
OE 2 OB2
2
边心距OE 2 OB 2 R
2
2
边长BC 2BE 2 2 R 2R 2
A
D
·O
B
E
C
2
S正方形ABCD ABgBC 2R 2R2
几个正多边形的边长与半径的关系：
例1 已知一个正多边形的内角为176.4°，这 个正多边形是几边行？有没有内角为100° 的正多边形？
【练一练】
1．如果正多边形的一个外角等于45°，那么它的边
数为 A．6
B．7
( C)
C．8
D．9
2．一个正多边形它的一个外角等于内角的 则这个多边形是
14，
(
B)
A．正十二边形
B．正十边形
C．正八边形
2.如图，已知正方形，用直尺和圆规作它的外接圆.
探索：
正多边形的外接圆
我们把经过一个正多边形的各个顶点的 圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边 形叫做圆内接正多边形.
任何正多边形都有一个外接圆.
探索：
正多边形和圆的关系非常密切,只要
把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出
这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个
6
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4, PC= BC 4 2， 22
利用勾股定理,可得边心距 r 42 22 2 3.
亭子地基的面积
A
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
F
E
O
D
rR
BP C
练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢? 为什么?
矩形不一定是正多边形.因为四条边不一 定都相等;
菱形不一定是正多边形.因为四个角 不一定都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相 等，四个角都相等.
2.分别求出半径为R的圆内接正三角形， 正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的边BC上的高AD,垂足为D.
作业练习
a3= 3R a4= a6=R
探究活动
我们来探索正多边形的轴对称性和中心对称性。
1.正三角形和正方形都是轴对称图形吗？ 都是中心对称图形吗？
2.填写下表：
3.用命题的形式概括正n边形的中心对 称性和轴对称性，以及轴对称图形的 对称轴的条数.
课堂小结： 这节课你学习了什么？有什么体会？
1.正多边形的定义. 2.正多边形的判定. 3.正多边形的画法. 4.正多边形的有关计算.
连接OB，则OB=R.
在Rt△OBD中 ， ∠OBD=30°,
边心距＝OD= 1 R. 2
在Rt△ABD中 ， ∠BAD=30°,
AD OA OD R 1 R 3 R， 22
B
A
·O
D
C
由勾股定理，求得AB= 3R
1
1
S
ABC
BC 2
AD
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3R 3 R 3 3 R2. 24
解：连接OB，OC，过点O 作OE⊥BC垂足为E.
正多边形的外接圆.
A６ A７
An
· O
A1
A２
A５ A４
A３
我们以圆内接正五边形为例证明.
如图, 把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得 到五边形ABCDE.
∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
A
∵弧BCE=弧CDA， ∴ ∠A=∠B.
B
E
O·
同理∠B = ∠C = ∠D = ∠E.
C
D
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形 ABCDE的外接圆.
我们把一个正多边形外接圆的圆心叫做这 个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形 的中心角. 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
D．正六边形
3．正三角形外接圆的半径为R，则三角形边 长为 ( A )
A. 3R C．2R
3 B. 2 R D.12R
4．正八边形如图所示，点A，B，C是它的顶点，则 ∠ABC＝____2_2_.5_°____.
探索：
你知道正多边形与圆的关系吗？
做一做：课本99页
1.如图，已知正三角形，用直尺和圆规作它的外接圆.
这个美丽图案的主体部分由一些 多边形构成.你发现这些多边形有什 么特别之处吗？
3.7 正多边形
问题1:什么样的图形是正多边形？
定义：各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
根据正多边形的边数的不同，分别把它们叫做 正三角形、正方形、正五边形、正六边形等.
问题2：日常生活中,我们经常能看到正多 边形的物体,利用正多边形,我们也可以得 到许多美丽的图案,你还能举出一些这样的 例子吗?
· 中心角 半径R O 边心距r
怎样画一个边长为2cm的正六边形？
第一种方法：如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一 个等于 360 60 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上
6
依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连 接各分点，即可得出正六边形．
利用这种
方法可以
O·
画出任意 的正n边