正多边形

正多边形的外接圆.
A６ A７
An
· O
A1
A２
A５ A４
A３
我们以圆内接正五边形为例证明.
如图, 把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得 到五边形ABCDE.
∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
A
∵弧BCE=弧CDA， ∴ ∠A=∠B.
B
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O·
同理∠B = ∠C = ∠D = ∠E.
C
D
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形 ABCDE的外接圆.
我们把一个正多边形外接圆的圆心叫做这 个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形 的中心角. 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距.
连接OB，则OB=R.
在Rt△OBD中 ， ∠OBD=30°,
边心距＝OD= 1 R. 2
在Rt△ABD中 ， ∠BAD=30°,
AD OA OD R 1 R 3 R， 22
B
A
·O
D
C
由勾股定理，求得AB= 3R
1
1
S
ABC
BC 2
AD
2
3R 3 R 3 3 R2. 24
解：连接OB，OC，过点O 作OE⊥BC垂足为E.
例1 已知一个正多边形的内角为176.4°，这 个正多边形是几边行？有没有内角为100° 的正多边形？
【练一练】
1．如果正多边形的一个外角等于45°，那么它的边
数为 A．6
B．7
( C)
C．8
D．9
2．一个正多边形它的一个外角等于内角的 则这个多边形是
14，
(
B)
A．正十二边形
B．正十边形
C．正八边形
作业练习
F
E
O
D
rR
BP C
练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢? 为什么?
矩形不一定是正多边形.因为四条边不一 定都相等;
菱形不一定是正多边形.因为四个角 不一定都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相 等，四个角都相等.
2.分别求出半径为R的圆内接正三角形， 正方形的边长，边心距和面积.
解：作等边△ABC的边BC上的高AD,垂足为D.
D．正六边形
3．正三角形外接圆的半径为R，则三角形边 长为 ( A )
A. 3R C．2R
3 B. 2 R D.12R
4．正八边形如图所示，点A，B，C是它的顶点，则 ∠ABC＝____2_2_.5_°____.
探索：
你知道正多边形与圆的关系吗？
做一做：课本99页
1.如图，已知正三角形，用直尺和圆规作它的外接圆.
2.如图，已知正方形，用直尺和圆规作它的外接圆.
探索：
正多边形的外接圆
我们把经过一个正多边形的各个顶点的 圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边 形叫做圆内接正多边形.
任何正多边形都有一个外接圆.
探索：
正多边形和圆的关系非常密切,只要
把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出
这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个
a3= 3R a4= a6=R
探究活动
我们来探索正多边形的轴对称性和中心对称性。
1.正三角形和正方形都是轴对称图形吗？ 都是中心对称图形吗？
2.填写下表：
3.用命题的形式概括正n边形的中心对 称性和轴对称性，以及轴对称图形的 对称轴的条数.
课堂小结： 这节课你学习了什么？有什么体会？
1.正多边形的定义. 2.正多边形的判定. 3.正多边形的画法. 4.正多边形的有关计算.
6
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4, PC= BC 4 2， 22
利用勾股定理,可得边心距 r 42 22 2 3.
亭子地基的面积
A
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
则∠OEB=90°，∠OBE= ∠ BOE=45°.
Rt△OBE为等腰直角三角形.则有
BE2 OE2 OB2
2OE2 OB2
OE 2 OB2
2
边心距OE 2 OB 2 R
2
2
边长BC 2BE 2 2 R 2R 2
A
D
·O
B
E
C
2
S正方形ABCD ABgBC 2R 2R2
几个正多边形的边长与半径的关系：
· 中心角 半径R O 边心距r
怎样画一个边长为2cm的正六边形？
第一种方法：如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一 个等于 360 60 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上
6
依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连 接各分点，即可得出正六边形．
利用这种
方法可以
O·
画出任意 的正n边
60°
形.
第二种方法： 如图，以2cm为半径作一个⊙O，由于正六
边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取等 于2cm的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各 分点即可．
O·
生活中数学：
例 有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1m2).
解: 如图，由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 360 60，
这个美丽图案的主体部分由一些 多边形构成.你发现这些多边形有什 么特别之处吗？
3.7 正多边形
问题1:什么样的图形是正多边形？
定义：各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
根据正多边形的边数的不同，分别把它们叫做 正三角形、正方形、正五边形、正六边形等.
问题2：日常生活中,我们经常能看到正多 边形的物体,利用正多边形,我们也可以得 到许多美丽的图案,你还能举出一些这样的 例子吗?