关于费马点知识总结

费马点

一、研究目的

费马点是17世纪法国著名的数学家费马发现的。所指的是在三角形所在的平面上，有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。而费马点有许多有意义的性质，即为此，本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。

二、研究结果

（一）费马点的发现者

费马点的发现者是费马［Fermat, Pierre de, 1601-1665］，17世纪的法国数学家。1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙--德洛马涅出生。早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师。自1631年起任图卢兹议会议员。任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题。他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识。虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世。

他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书［共两卷］，在图卢兹出版。

由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为「业余数学家之王」。

（二）费马点的求法

△ABC需是三个内角皆小于120°三角形，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。

（三）费马点的验证

1.△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外

侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为

费马点。则可得出结论：

①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③点P

是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；④

点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；⑤△ABP、

△ACP、△BCP全等。⑥点P是△ABC各边的中线的交

点；⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点

P为费马点时和最小。

2.△ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ABC外

侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为

费马点。则可得出结论：

①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为

费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③

△ABP与△ACP全等；④△BCP为等腰三角形。

3.△ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ABC外

侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为

费马点。则可得出结论：

①△ABC 的三顶点的距离之和为AP+BP+CP ，且点P 为

费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°

（四）费马点的性质

1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小

2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°

3.费马点为三角形中能量最低点。（调查得知）

4..三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。（调查得知）

（五）费马点的应用

在实际生活中，若三角形的三个顶点分别是在三个地方，而要求是在“三角形”内建一处车站等，且要是车站到三个地方的公路路程和最短，可利用费马点的性质①：费马点到三角形三个顶点距离之和最小。则这车站应建在费马点上。

三、结论

由此次研究可让我们知道，若想要在某方面做出伟大成就必先努力、锲而不舍的钻研，就如胡适所言：“做学问要再不疑处有疑……”。并且，将成就运用于生活，服务生活，方便生活，才是他们的价值所在！

二、找费马点

在平面上一三角形ABC ，试找出内部一点P ，使得PC PB PA ++为最小。首先，让我们先找到P 点的性质，再来研究怎么做出P 点。

P 点有什么性质呢？它的位置是否有什么特殊意义呢？在中学里，我们学过三角形的内心、外心、重心以及垂心，P 点和这些心之间有关联吗？还是和有些线段长、角度大小有关系呢？

APB ∠、BPC ∠和CPA ∠很接近，这三个角度有何关联？

【解法1】

○1如右图，以B 点为中心，将APB ∆旋转︒60到'B C'P ∆

因为旋转︒60，且B P'PB =，所以PB P'∆为一个正三角形P P PB '=⇒

因此，PC P P P PC PB PA ++=++''C '

由此可知当'C 、'P 、P 、C 四点共线时，PC P P P PC PB PA ++=++''C '为最小 ○

2若P P --''C 共线时，则 ︒=∠60'P BP ︒=∠=∠⇒120''C APB B P

同理，若C P P --'共线时，则︒=∠60'BPP ︒=∠⇒120BPC

所以P 点为满足︒=∠=∠=∠120CPA BPC APB 的点

。

但是，该用什么方法找出P 点呢？

A'

以ABC ∆三边为边，分别向外作正三角形'ABC 、BC A '、C AB '

连接'AA 、'BB 、'CC 'AA 、'BB 、'CC 三线共点，设交点为P ，即为所求 【证明1】

(在解法1曾提到若PC P P C P PC PB PA ++=++'''，即PC P C ''四点共线时， C C PC PB PA '=++有最小值，所以P 要在'CC 上。)

C AC ABB ''∆≅∆ 21∠=∠∴

则'~DAC DPB ∆∆，得︒=∠=∠6043 在'PC 上取点'P ，使得'BP BP ='BPP ∆⇒为正三角形

则''BP C ABP ∆≅∆，得''P C AP =

所以PC P P C P PC PB PA ++=++'''C C '=

【证明2】

A'

︒=∠=∠=∠120CPA BPC APB ，又BPC A '四点共圆(︒=∠+∠180'C BA BPC ) 所以︒=∠60'CPA

故︒=∠+∠180'CPA APC ，因此P 在'AA 上

同理可证P 在'BB 、'CC 上，

故P 为'AA 、'BB 、'CC 三线交点

三、画出费马点

经过上面的讨论，可以知道，在平面上ABC ∆，想找出一点P ，使PC PB PA ++为最小，