关于费马点知识总结
2023-2024学年人教版初三下学期中考《旋转模型之费马点问题》知识点专题解析及练习PPT
图1 图2
4 费马点的性质
1. 到三个顶点的距离之和最短：费马点是三角形内唯一一 个使得从该点到三角形三个顶点的距离之和最短的点。 2. 等角性质：从费马点出发，向三角形的三个顶点引出的 三条线段与对应的三角形边所成的角均相等，且均等于120 度。 3. 唯一性：在三角形内部，费马点是唯一的具有上述性质 的点。
∵点A'可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA'为
定长，
∴当B、P、P'、A'四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小．最小
值为 BA' .
图2
【如图 1 和图 2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】
∴在图2中，∠APC=∠A′ P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°， ∠APB=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.
情感、态度与价值观目标：
激发学生对于学习的热情，树立学生对于数学的追求。
五、教学过程
总结费马点的性质，构造
方法以及解题思路，最后
通过模型展示讲授费马点
布置作业。
的原理、证明过程以及如
何构建费马点。
讲解中考例题，引导学生
熟练运用费马点性质解题，
以介绍费马点
巩固加深学生的印象。
的来历和实践
开始课程。
中物理
（4）此时以BC为 边作等边△BCF。 连接AF必过点P。
这个图成立的一个必要条件是∠BAC<120°, 若∠BAC 120°, 这个图就会变成这
个样子：
D
E P
A
BHale Waihona Puke C此时CD与BE的交点P点还是我们的费马点吗？ 显然这时候就不是了，此时
费马点
费马点一.费马点的发现者费马(Fermat，Pierre de Fermat) (1601～1665）法国数学家，被誉为“业余数学家之王。
”二.费马点的定义在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
三.费马点的判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
四.费马点的证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC 以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
费马点_精品文档
费马点简介费马点（Fermat Point）是一个在三角形内部的特殊点，以法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）的名字命名。
费马点有很多有趣的性质和应用，被广泛研究和探索。
费马点是指在三角形内，到三个顶点的距离之和最小的点。
具体地说，对于一个给定的三角形ABC，它的费马点F满足以下两个条件：- 从F到三个顶点A、B、C的距离之和最小； - 在角A、B、C所代表的扇形内，F所在的扇形的角度之和最小。
费马点在三角形内的位置可能会有三种不同的情况：内部费马点、外部费马点和退化费马点。
内部费马点内部费马点是指在三角形内部的费马点。
在一个普通的三角形中，内部费马点F的位置是唯一确定的。
内部费马点是一个各边角度之和最小的点，也就是在给定的三角形内，到三个顶点的距离之和最小的点。
寻找内部费马点的方法有多种，其中较为常用的是通过构造费马三角形来找到内部费马点。
费马三角形是一个与给定三角形的三边共线的三角形，该三角形的顶点就是内部费马点。
外部费马点外部费马点是指在三角形外部的费马点。
在一个锐角三角形中，外部费马点的位置是唯一确定的。
外部费马点和内部费马点的性质类似，也是一个各边角度之和最小的点，但是它位于三角形外部。
与内部费马点不同的是，寻找外部费马点的方法需要通过构造两个辅助三角形，即外费马三角形和反费马三角形。
利用这两个辅助三角形，可以找到外部费马点。
退化费马点退化费马点是指在一个直角三角形中的费马点。
在直角三角形中，由于某个角度为90度，从而导致费马点出现在角的对边上，所以退化费马点存在于直角三角形中。
在直角三角形中，退化费马点的求解方法与寻找内部费马点的方法相同。
只需要找到构成费马三角形的边即可确定退化费马点。
应用费马点在数学、物理等领域有着广泛的应用。
在数学中，费马点常常与最优化问题相关联。
寻找费马点是一个最小化总距离问题，而最小化总距离问题又与很多实际问题相关，例如最短路径问题、设施选址问题等。
费马点问题知识点
费马点问题知识点费马点问题是一个深奥而有趣的数学难题，涉及到费马大定理的相关内容。
费马大定理是说：对于任何大于2的整数n，不存在任何整数a、b、c，使得a^n +b^n = c^n成立。
这个问题最初由法国数学家费马在17世纪提出，并直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马点问题是针对这个定理的一个特殊情况展开的。
费马点问题是指在三维空间中，给定一系列点，找出其中距离其他点最近的点。
换句话说，对于给定的点集合，找出其中的一个点，使得该点到其他点的距离最小。
这个问题在计算几何学中被广泛讨论和应用。
解决费马点问题的方法可以通过一步一步的思考来完成。
下面将介绍一种常见的解决方法：第一步：确定问题首先，我们需要明确问题的描述和要求。
费马点问题要求找到一个点，使得该点到其他点的距离最小。
第二步：理解问题在解决问题之前，我们需要理解问题的背景和相关知识。
费马点问题涉及到距离的计算和最小值的确定。
第三步：分析问题接下来，我们需要对问题进行分析。
费马点问题可以通过计算每个点到其他点的距离，并找到最小距离对应的点来解决。
这个过程可以使用数学公式和计算方法来完成。
第四步：解决问题在分析完问题之后，我们可以开始解决费马点问题。
首先，我们需要计算每个点到其他点的距离，可以使用欧几里得距离公式来计算。
然后，找到最小距离对应的点，并将其作为费马点。
第五步：验证解决方案解决问题之后，我们需要验证解决方案的准确性。
可以通过重新计算费马点到其他点的距离，并验证其是否是最小距离。
第六步：总结最后，我们需要总结问题的解决过程和结果。
费马点问题是一个有趣且复杂的数学难题，通过分析和计算，我们可以找到最佳解决方案。
这篇文章介绍了费马点问题的基本知识点和解决方法。
通过一步一步的思考和分析，我们可以解决这个有趣的数学难题。
费马点问题在计算几何学中有广泛的应用，对于理解和掌握相关知识具有重要意义。
希望本文对读者有所帮助，引起大家对数学问题的兴趣和思考。
初中几何模型：费马点问题的全面分析、处理和归纳，收藏！
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【问题处理】下⾯简单说明如何找点，使它到三个顶点的距离之和最⼩？这就是所谓的费马点问题.
因此，当的每⼀个内⾓都⼩于时，所求的点对三⾓形每边的张⾓都是，可按照如上的办法找到点；当有⼀内⾓⼤于或等于时，所求的点就是钝⾓的顶点.
费马问题告诉我们，存在这么⼀个点到三个定点的距离之和最⼩，解决问题的⽅法是运⽤旋转变换.
【问题归纳】符合条件的点P,我们把它叫做费马点。
所谓的“费马点”就是法国著名业余数学家费马在给数学朋友的⼀封信中提出关于三⾓形的⼀个有趣问题：“在三⾓形所在平⾯上，求⼀点，使该点到三⾓形三个顶点距离之和最⼩．”让朋友思考,并⾃称已经证明了。
这是费马通信的⼀贯作风。
⼈们称这个点为“费马点”。
还有像著名的费马⼤定理（当整数n >2时，关于x, y, z的⽅程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
）也是这样，给欧拉的信中提出的，⾃称已经“有了⾮常巧妙的证明”。
直到离开也没告诉⼈家这个所谓证明，结果困扰世界数学界三百多年。
费马点就是到三⾓形的三个顶点的距离之和最⼩的点．费马点结论：对于⼀个各⾓不超过120°的三⾓形，费马点是对各边的张⾓都是120°的点；对于有⼀个⾓超过120°的三⾓形，费马点就是这个内⾓的顶点．
【综合应⽤】
中考真题1：
【答案解析】
中考真题2：【答案解析】。
关于费马点知识总结
费马点一、研究目的费马点是17世纪法国著名的数学家费马发现的。
所指的是在三角形所在的平面上,有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。
而费马点有许多有意义的性质，即为此,本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。
二、研究结果（一）费马点的发现者费马点的发现者是费马［Fermat, Pierre de, 1601-1665],17世纪的法国数学家。
1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙——德洛马涅出生。
早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师.自1631年起任图卢兹议会议员。
任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往,讨论数学问题。
他饱览群书,精通数国文字,掌握多门自然科学的知识.虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。
最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世。
他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着,大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。
他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书［共两卷]，在图卢兹出版。
由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为「业余数学家之王」。
（二）费马点的求法△ABC需是三个内角皆小于120°三角形，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。
（三）费马点的验证1。
△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为费马点。
则可得出结论:①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③点P是内心,是在三角形三个内角的角平分线的交点;④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点;⑤△ABP、△ACP、△BCP全等。
⑥点P是△ABC各边的中线的交点；⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小。
费马点的定理及应用
费马点的定理及应用费马点的定理是一项基本的几何学定理，它的内容是在给定的平面上，一个三角形的三条边上可以找到三个点，使得这三个点到三个顶点的距离的和最小。
费马点的定理是由法国数学家费马在1660年提出的，而费马点是指到三个点的距离的和最小的点。
在数学中，这个问题可以转化为求解费马点，也就是费马问题的解。
费马问题是对于一个给定的点到几个点的距离之和的最小化问题。
费马点的定理可以有很多应用，下面我将介绍其中的几个常见应用。
首先，费马点的定理可以用于建筑设计中的路径规划。
在建筑规划和设计中，我们经常需要确定最佳路径，以最小化人员和物资的运输成本。
使用费马点的定理可以帮助我们确定最佳路径，从而提高建筑设计的效率。
其次，费马点的定理可以用于无线通信中的天线布局。
在无线通信中，天线的布局对于信号的强弱和覆盖范围都有很大的影响。
利用费马点的定理，我们可以确定最佳的天线布局，以最大化信号的强度和覆盖范围。
此外，费马点的定理还可以应用于水资源管理中的水流路径规划。
在水利工程中，我们常常需要确定最佳的水流路径，以最大限度地减少水资源的浪费和损失。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳的水流路径，提高水资源的利用效率。
另外，费马点的定理也可以应用于自动驾驶车辆的路线规划。
在自动驾驶技术中，路线规划是一个非常重要的问题，它直接影响到车辆的行驶安全和效率。
使用费马点的定理，我们可以确定最佳的路线规划，以最小化车辆的行驶时间和能耗。
最后，费马点的定理还可以应用于电力系统中的电缆布置。
在电力系统的规划和设计中，电缆的布置对于电力传输的效率和可靠性都有很大的影响。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳的电缆布置方案，以最大化电力传输的效率和可靠性。
综上所述，费马点的定理是一项非常有用的几何学定理，它可以应用于各种领域，如建筑设计、无线通信、水资源管理、自动驾驶技术和电力系统等。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳路径、布局和规划方案，以提高效率、降低成本和提高系统的可靠性。
中考专题复习-费马点+课件+-2023-2024学年人教版数学九年级下册+
（PA+PB+PC）min=B'C
由旋转得AB'=AB=3，∠BAB'=60°
∴∠B'AD=60°
在Rt△AB'D中，AD=12
AB'=
3 2
，B'D=23
3
在Rt△CB'D中 B'C CD2 B' D2 2 6
B' B
D
A P'
P
C
模型应用
例2．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 ________．
（PA+PB+PC）min=B'C
A
P' P
B
C
模型应用
例1 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，
∠BAC=60°，P为△ABC内一点，求
PA+PB+PC的最小值．
解：将△APB绕点A顺时针旋转60°得到△AP'B'
连接PP'，B'C
∴PA+PB+PC=P'A+P'B'+PC≥B'C
∴当B'、P'、P、C四点共线时PA+PB+PC的值最小
B'
△AP'B'
A
P' P
B
C
模型应用
例1 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，P为△ABC内一点，求
PA+PB+PC的最小值．
解：将△APB绕点A顺时针旋转60°得到△AP'B'
费马点及经典例题与解析
费马点及经典例题与解析费马点，这是一个与数学息息相关的话题，它是由法国数学家费马提出的一种几何概念，即在一个凸多边形中，哪个边的长度最长，使得任意两边之和大于第三边。
这个概念在现实生活中有着广泛的应用，比如在计算机图形学、工程设计等领域都有所涉及。
本文将围绕费马点展开，介绍其基本概念、经典例题及其解析，帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
一、费马点的基本概念费马点是在凸多边形内的一点，使得多边形的任意两边之和大于第三边的长度。
根据费马的基本定理，任意一个凸多边形中都存在一个费马点。
它与几何中的重心不同，费马点是在一个特定区域内寻找一个点，使得该区域的任何两边之和最短。
二、经典例题及其解析例题1：求三角形中的费马点已知一个三角形ABC，求其费马点P的坐标。
解析：在三角形ABC中，费马点P的坐标可以通过以下方法求解：1.将三角形ABC分成三个区域：A区、B区和C区。
2.在每个区域内分别找到最短边的中点，并将这些中点连接起来。
3.连接形成的线段与三角形的边相交，交点即为费马点P。
在上述方法中，最短边的长度可以通过海伦公式求解，也可以通过三角形的性质直接得到。
具体来说，对于三角形ABC，其最短边为AB，则AC和BC的长度之和为AB的两倍。
因此，可以得出结论：在三角形ABC中，费马点P的坐标为((x,y))，其中：x=(A+C)/2+AB/2y=(B+C)/2-AB/2例题2：求五边形中的费马点已知一个五边形ABCDE，求其费马点P的坐标。
解析：在五边形ABCDE中，可以先将其分成五个区域，再按照上述方法求解费马点P的坐标。
由于五边形中有五条边，因此需要将每条边的中点连接起来形成新的线段。
这些线段与五边形的边相交，交点即为费马点P。
同样地，也可以通过海伦公式求解最短边的长度。
三、应用场景费马点在计算机图形学和工程设计中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，可以通过费马点来确定一个图像区域的最佳缩放比例，以达到最佳的视觉效果。
三角形的费马点问题
项目
内容费马Βιβλιοθήκη 定义在一个三角形中，使得该点到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点。
费马点性质
- 费马点是三角形内部或边界上的一个点，具体位置取决于三角形的形状。- 对于任意三角形，费马点到三个顶点的距离之和是最小的。- 在某些特定情况下（如等边三角形），费马点与三角形的重心、垂心、外心等重合。
钝角三角形
- 费马点位于三角形的外部，且位于钝角的补角所对应的边的垂直平分线上。- 通过构造以钝角顶点为顶点的两个等腰三角形（腰长等于原三角形的钝角两边），然后连接这两个等腰三角形的底边中点，得到的交点（在三角形外部）即为费马点。- 费马点到三个顶点的距离之和等于这两个等腰三角形的腰长之和减去钝角两边之差（或加上它们的和，但通常我们关注的是减去的情况，因为费马点是使距离和最小的点）。
锐角三角形
- 费马点位于三角形的内部。- 通过构造等边三角形（以原三角形的每一边为底边向外作等边三角形），然后连接这些等边三角形的顶点，得到的交点即为费马点。- 费马点到三个顶点的距离之和等于这三个等边三角形的高之和。
直角三角形
- 费马点位于斜边的中点上（对于直角而言，该点也是直角三角形的重心和垂心）。- 费马点到直角顶点的距离等于斜边的一半，到另外两个顶点的距离之和等于斜边的另一半加上直角边之差（或和，取决于具体直角三角形的边长关系）。
特殊情况
- 对于等边三角形，费马点与重心、垂心、外心等重合，位于三角形的中心。- 对于等腰三角形，费马点位于底边的垂直平分线上，且到两个底边顶点的距离相等。
费马大定理全章知识点归纳总结
费马大定理全章知识点归纳总结费马大定理，又称费马最后定理，是世界数学史上的一个重要问题。
本文将对费马大定理的全章知识点进行归纳总结。
问题背景费马大定理最早由法国数学家费尔马在17世纪提出，其表述是：对于大于2的整数n，不存在满足a^n+b^n=c^n的整数解，其中a、b、c是大于0的整数。
这个问题成为数学界的一个谜题，持续困扰着数学家们几个世纪。
重要概念在了解费马大定理前，我们需要了解一些相关的重要概念。
1. 整数：整数是数学中的基本概念，包括正整数、负整数和零。
2. 指数：指数是数学中表示乘方运算的数字。
在费马大定理中，指数n大于2。
3. 不可约整数：一个整数如果不能写成两个较小整数的乘积形式，就称为不可约整数。
不可约整数在证明费马大定理时经常用到。
知识点归纳1. 费马最小定理：费马最小定理是费马大定理的一个特例。
该定理表明，如果p是一个素数，a是任意一个整数，且a不是p的倍数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
这个定理在证明费马大定理时具有重要作用。
2. 模运算：模运算是指对一个整数进行除法操作，取其余数的运算。
在费马大定理的证明中，模运算经常用到。
3. 费马大定理证明的历程：费马大定理的证明历程非常复杂，涉及到许多数论、代数和几何等数学领域。
目前最为著名的证明是英国数学家安德鲁·怀尔斯证明，他借助现代代数学和模形式理论的工具成功解决了费马大定理。
4. 应用和影响：费马大定理的解决对数学领域产生了深远影响。
它促进了数论、代数和几何等数学领域的深入研究，推动了数学理论的发展。
总结费马大定理是数学史上一个具有重大影响的难题。
通过了解费马最小定理、模运算以及费马大定理的证明历程，我们可以更好地理解这一定理的重要性和影响。
费马大定理的解决不仅推动了数学理论的发展，也为数学家们提供了更多的研究方向和思路。
旋转中的最值模型(费马点模型)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上学期(人教版)
旋转中的最值模型（费马点模型）【知识点归纳】费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值证明过程：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。
即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE【例题精讲】例1．（等边三角形费马点）如图，在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC Ð=°，P 为ABC V 内一点，则PA PB PC ++的最小值为 ．【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，旋转的性质，以及等边三角形的性质和求线段最值的问题，掌握做辅助线是解题的关键．例2．（直角三角形费马点）如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，斜边AC ＝4，点P 是三角形内的一动点，则PA +PB +PC 的最小值是 ．∵∠90,30ABC ACB °°=Ð=，AC 2,AB \=结AD，BE，CE．若AB＝DE＝BC＝10，∠ABC＝75°，则AD+BE+CE的最小值为．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质，通过构造平行四边形、旋转例4．（加权费马点）如图，Rt ABC △中，30CAB Ð=°，3BC =，点P 为ABC V 内一点，连接,,PA PB PC ，则PC PB +的最小值为 .++++的最小值为．AP BP PQ QC QD∴AP BP PQ CQ DQ ++++B P P P PQ QQ Q C ¢¢¢¢¢¢=++++，∴当,,,,,B P P Q Q C ¢¢¢¢六点共线时AP BP PQ CQ ++++连接,¢¢BB CC ，∵AB AB ¢=，60B AB ¢Ð=°，∴ABB ¢V 是等边三角形，∴1AB BB ¢¢==，∴B ¢在AB 的垂直平分线上，例6．（培优综合）在ABCD Y 中，45ABC Ð=°，连接AC ，已知AB AC ==E 在线段AC 上，将线段DE 绕点D 顺时针旋转 90° 为线段DF ．(1)如图1，线段AC 与线段BD 的交点和点E 重合，连接EF ，求线段EF 的长度；(2)如图2，点G 为DC 延长线上一点，使得GC EC =，连接FG 交AD 于点H ，求证：CD =；(3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P ，当HP CP +最小时，求HPB △的面积．∵45BAC Ð=°，AB AC ==∴45ACB ABC Ð=Ð=°，BAC Ð∴2222BC AB ==´=，∵ABCD Y ，∴45DCG ABC Ð=Ð=°，CD∵90BAC Ð=°，AB CD ∥，∴AC GD ^，90GCA ECD Ð=Ð=°，又∵GC EC =，AC DC =，∴()SAS GCA ECD V V ≌，∴GA ED =，GAC EDC Ð=Ð，∵ED FD =，ED FD ^，∴GA FD =，90AGC GDF Ð+Ð=°-Ð由旋转的性质可得，2BC BC ¢==，∵AD BC ∥，∴90AIB Ð=°，45IAB ABC Ð=Ð=°，∴222122IB IA AB ===´=，在Rt IC H ¢V 中，12IC IB BC ¢¢=+=+22223213C H IC IH ¢¢=+=+=，∵1122BC H S C H BJ BC IH ¢¢¢=⋅=⋅V ，即：在Rt IBH V 中，221BH IB IH =+=在Rt BJH V 中，22JH BH BJ =-=【课后训练】1．如图，在ABC V 中，90,5,BAC AB AC Ð==°=P 为ABC V 内部一点，则点P 到ABC V 三个顶点之和的最小值是 ．∴BAP HAE Ð=Ð，AE AP =，AH AB ==∴60HAB EAP Ð=Ð=°，∴AEP △是等边三角形，∴AE AP EP ==，∴AP BP PC EP EH PC ++=++，∴当点H 、E 、P 、C 共线时，AP BP PC ++∵18018060NAC BAH BAC Ð=°-Ð-Ð=°-条动线段MN BC ∥，且MN =，则AN BM CN ++的最小值为 ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转变换，的一半，等边三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．．如图，点M 是矩形ABCD 内一点，且,,MA MD MN ，则MA MD MN ++的最小值为 ．【答案】7532+根据旋转的性质有：ADD ¢\△为等边三角形，同理AMM ¢V 为等边三角形，AM AM MM ¢==\MA MD MN +\+=\当线段M D ¢¢、MM 在矩形ABCD 中，D 即可知四边形ABEF 是矩形，ADD ¢QV 为等边三角形，\12AF FD AD ===\2D F D A AF ¢¢=-4．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB＝2，则PA＋PB＋PC的最小值为．(1)如图1，已知150AOB Ð=°，120BOC Ð=°，将BOC V 绕点C 按顺时针方向旋转60°得ADC △．①DAO Ð的度数是 ；②用等式表示线段OA ，OB ，之间的数量关系，并证明；(2)设AOB a Ð=，BOC b Ð=．①当a ，b 满足什么关系时，OA OB OC ++有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边ABC V 的边长为1，直接写出OA OB OC ++的最小值．QV ADC BOC \≌△△，OCD ÐCD OC \=，ADC BOC Ð=ÐOCD \△是等边三角形，OC OD CD \==，COD Ð=150AOB Ð=°Q ，120BOC Ð=90AOC \Ð=°，\O C OC ¢\=，O A OA ¢¢=，A C BC ¢=，A O C AOC ¢¢Ð=Ð．(1)如图1， 连接DE BE 、， 若5,3BCE ABE S S ==V V ，求BED S V ；(2)如图2， 若,DM BC DM BM ^=， 延长BE 交DM 于点N ， 且NM MC =， 求证：AD DN =-；(3)如图3，若4,90AD AB ABD ==Ð=°，P 为BCD △内一点，请直接写出PD PC PB ++的最小值．∵,DM BC DM BM ^=，∴BDM V 是等腰直角三角形，∴222BD BM DM DM =+=∴BD BF =，∴45F BDM CBD Ð=Ð=Ð=∴90DBF Ð=°，∴2DF BD =，∴4CH BC ==，DCH BCD BCH Ð=Ð+Ð∴PG PC =，∴PD PC PB PD PG GH DH ++=++³即当点D ，P ，G ，H 四点共线时，PD 在Rt DCH △中，22DH CD CH =+=即PD PC PB ++的最小值为27．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，图形的形ACFG ，点D 恰好在线段GF 上．(1)若AB的长度比BC少4，8V的面积；AC=，求ABC(2)求证：BG DG-；(3)已知点P是ABCV的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直V内一动点，且P不与ABC接写出PA PB++的最小值．∵90BED HEG Ð=Ð=°，∴BED HED HEG Ð-Ð=Ð-即BEH DEG Ð=Ð，∵EMG BED EBG =Ð+Ð=∠∴EBG GDE Ð=Ð，∵90BAC Ð=°，∴1122ABC S AB AC BC AG =´=´△，∴6824105AB AC AG BC ´´===，针旋转90°交DC 的延长线于点F ，求证：AE CF =；（2）边长4AB =把边AB 沿BE 翻折．①如图2，若点P 落在对角线BD 上，则AE = ；②如图3，点G 在边CD 上，1DG =，连接AG 、BG ，当点P 落在ABG V 内部时（不含边上），线段AE 长度的取值范围为 ；（3）如图4，点M 是正方形ABCD 内一点，连接MA 、MC ，若5AB =，求MA MC +最小值；（4）如图5，点M 是矩形ABCD 内一点，连接,,MA MB MC ，若AB =4BC =，则MA MB MC ++最小值为 ．当点P 落到BG 上，连接由折叠的性质可得，∴=EPG EDG ÐÐ∵1DG =，（3）①当A 、M AM MC AC +>，②当点A 、M 、C ∵AB BC =，ABC Ð（4）如图，将V ∴A M AM ¢¢=，BM 又∵60M BM ¢Ð=°∴M BM ¢V 是等边三角形，【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、等边三角形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．。
费马点与加权费马点详细总结(解析版)
费马点与加权费马点详细总结知识点梳理【常规费马点】【加权费马点】题型一普通费马点最值问题题型二加权费马点·单系数型题型三加权费马点·多系数型知识点梳理【常规费马点】【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，当PA+PB+PC的值最小时，求此时∠APB与∠APC的度数.【问题处理】如图1，将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A'CP'，则△ACP≌△A'CP'，CP=CP'，AP =A'P'，又∵∠PCP'=60°，∴△PCP'是等边三角形，∴PP'=PC，∴PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'，如图2，当且仅当点B、P、P'、A'共线时，PA+PB+PC最小，最小值为A'B，此时∠BPC=∠APC=∠APB =120°【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：①对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心；②对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．【如何作费马点】如图3，连接AA'，我们发现△ACA'为等边三角形，点P在A'B上，同理，我们可以得到等边△BAB'，点P也在CB'上，因此，我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。
(最大角小于120°时)【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．【答案】6+2 2【分析】如图，以AC为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果．【练习1】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+ MD+ME的最小值为______．【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．【加权费马点】如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。
压轴密训之八：最值之费马点
中考考点-------费马点一、历史背景和定义【历史背景】皮埃尔·德·费马（Pierre De Fermat )，法国律师和业余数学家。
被誉为"业余数学家之王"。
曾提出关于三角形的一个有趣问题：若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.【数学定义】(1)托里拆利的解法中提到：对于每一个角都小于120°的△ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。
托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。
这个点因此也叫做托里拆利点。
（如下左图）(2)也可以，如上右图，分别以BC 、AC 为边向外侧作等边三角形ACE 、BCF ，连结AF 、BE 交于一点，则该点即为所求的P 点（即费马点）.【证明过程】类似证明方法还有如下：（只提供图，过程同学们自己研究）E二、 实战演练先来一个正规的三角形的题吧!【例1】 （2019年龙岩市质检）如图，△ABC 中， ∠ABC =30°，AB =4，BC =5，P 是△ABC 内部的任意一点，连结P A ，PB ，PC ，则P A +PB +PC 的最小值为 ．【解析】如图，将△ABP 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△DBE ，连结EP 、AD 、CD ，∴△ABP ≌△DBE ，∴∠ABP ＝∠DBE ，BD ＝AB ＝4，∠PBE ＝∠ABD ＝60°，BE ＝PE ，AP ＝DE ， ∴△BPE 是等边三角形，∴EP ＝BP ， ∴AP +BP +PC ＝PC +EP +DE ≥CD ， ∴当点D 、E 、P 、C 四点共线时，P A +PB +PC 有最小值CD ，∵∠ABC ＝30°， ∴∠DBC ＝∠ABD ＋∠ABC ＝90°，22224541CD BD C =+=+=做完一个题，那就来个灵魂三问？（1）如何作三角形的费马点？ （2）为什么是这个点？ （3）费马点怎么考？问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG =42，点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．OMNG图2图1ABCD EP下面这个题可能会给你一点想法正方形的题目也来一个！【例2】 （2019年中雅真题）如图，点P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，2AB =，则AP BP CP ++的最小值为( ) A.25+B.26+C.4D.32【解析】利用旋转，费马点思维将ABP △绕着点A 顺时针旋转60︒，得''AB P △， ∵'AP AP =，'60PAP ∠=︒∴'APP △为等边三角形， ∴'AP PP =，又由旋转可知，''BP B P = ∴'''AP BP CP CP PP B P ++=++，当120APC ∠=︒时，∵'180APC APP ∠+=︒，''180AP P AP B ∠+=︒∴此时''C P P B 、、、四点共线， 此时AP BP CP ++的最小值为'B C ∵'2AB AB ==，且'60BAB =︒过B ’作AD BC 、的垂线分别交AD BC 、于G H 、，可知'30B AG ∠=︒，''13B G B H AG HB ====， ()()22'32184362B C =++=+=+62=+如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .(1)求证：△AMB ≌△ENB ；(2)①当M 点在何处时，AM +CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM +BM +CM 的值最小，并说明理由；(3)当AM +BM +CM 的最小值为31+时，求正方形的边长。
费马点整理文档
1图1PCBAB`图2B探究费马点1．来历：费马在阅读“将军饮马”问题时，联想到“如何确定平面内到三个已知点距离和最小的点？” 写信给托里拆利，托里拆利解决了这个难题，后来斯坦纳进行了完善和推广。
2．结论：三角形的费马点：平面上，到一个已知三角形三个顶点的距离和最小的点叫做这个三角形的费马点． （1）当已知三角形最大内角小于120°时，费马点在该三角形内，且与任两个顶点的连线的夹角均为120°；（2）当已知三角形最大内角大于或等于120°时，费马点就是这个最大内角的顶点．3．证明．求三条发散的线段和的最小值，一般通过图形变换，形成确定两端点的折线，运用“两点之间线段最短”解决．1）当三角形的最大内角小于120°的情形．已知：如图1，P 为△ABC 内一点，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．设平面内有一点'P ．求证：PA+PB+PC ≤C P B P A P '''++．证明：如图2，分别以AP 、AC 为边作正三角形，连结E B ''，得△APC ≌△'AEB ，易知',,,B E P B 在同一直线上，PA+PB+PC='EB PE BP ++≤C P B P A P '''++．2B'B2）当三角形的最大内角不小于120°的情形．4．如何确定费马点的位置（最大内角小于120°的情形）．分别以BC 、AC 为边向外作正三角形，连结'',AA BB ，交点即为所求费马点P 。
（连结PC ，先证明△'ACA ≌△CB B '，得∠PAC=∠C PB '，所以',,,B C P A 四点共圆，得∠APC=120°，同理∠BPC=120°）可以看作两个等边△ACB ’和△BCA ’绕C 点旋转而成。
费马点
一．缘起;1638年，勒内·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶点距离为定值的函数的问题。
这大概也是1643年，费马写信向埃万杰利斯塔·托里拆利询问关于费马点的问题的原因。
费马的问题是这样的：平面上有三个不在同一条直线上的点A,B,C，对平面上的另一个点P，考虑这一点到原来的三个点的距离之和： PA + PB + PC是否有这样一个点P0，使得它到点A,B,C的距离之和P0A + P0B + P0C比任何其它的PA + PB + PC都要小？二．费马点费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点三．作法1当有一个内角不小于120度时，费马点为此角对应顶点。
2当三角形的内角都小于120度时。
以三角形的每一边为底边，向外做三个正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'。
连接CC'、BB'、AA'，则三条线段的交点就是所求的点。
3．用三根绳子分别系上三个同样质量的物体，穿过三个顶点的洞再打个结系在一起。
（结当然也是理想的啦，无限小）松手让整个系统自由运动。
那么，绳结一定会落在费马点（能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短）然后，由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡，（三个物体质量一样）所以三根绳子之间的夹角均为120度。
四。
证明。
目的：在三角形中1)费马点对边的张角为120°费马点到三角形三顶点距离最短1．△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60°=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60°，得∠PCB+∠CBP=60°,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120°，∠APC=120°(2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60°与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60°又∠BPA=120°，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠CPB=∠A1DB=120°，∠PDB=60°，∠PDA1=180°，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
初中数学微专题——费马点
初中数学·几何综合几何模型·专题复习——费马点一、费马点及结论费马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。
费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。
二、费马点结论的证明例：P为△ABC内任一点，请找点P使它到ABC△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？（1）当△ABC各角不超过120°时，如下图。
解析：如图，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，当ABC△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点。
（2）当△ABC有一个内角超过120°时，如下图。
解析：如图，延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点因此，当ABC△有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．三、费马点的求法当△ABC是三个内角皆小于120°三角形时，分别以 AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。
中考数学几何模型专题12费马点问题(老师版) 知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题12费马点问题年8月17日﹣1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Toulouse ）附近的波蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A ，B ，C ，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，△ABC （三个内角均小于120°）的三条边的张角都等于120°，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P ，就是到点A ，B ，C 的距离之和最小的点，后来人们把这个点P 称为“费马点”． 下面是“费马点”的证明过程：如图2，将△APB 绕着点B 逆时针旋转60°得到△A ′P ′B ，使得A ′P ′落在△ABC 外，则△A ′AB 为等边三角形，∴P ′B ＝PB ＝PP ′， 于是P A +PB +PC ＝P ′A ′+PP ′+PC ≥A ′C ，∴当A '，P '，P ，C 四点在同一直线上时P A +PB +PC 有最小值为A 'C 的长度， ∵P ′B ＝PB ，∠P 'BP ＝60°，∴△P 'BP 为等边三角形，则当A '，P '，P ，C 四点在同一直线上时，∠BPC ＝180°﹣∠P 'PB ＝180°﹣60°＝120°，∠APB ＝∠A 'PB ＝180°﹣∠BP 'P ＝180°﹣60°＝120°，∠APC ＝360°﹣∠BPC ﹣∠APC ＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∴满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P ，就是到点A ，B ，C 的距离之和最小的点；为△ABC 所在平面上一点，且∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°，则点P 叫做△ABC 的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC＝60°，P A＝3，PC＝4，求PB的长．（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝P A+PB+PC．（3）已知锐角△ABC，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．【分析】（1）由题意可得△ABP∽△BCP，所以PB2＝P A•PC，即PB＝2；（2）在BB'上取点P，使∠BPC＝120°，连接AP，再在PB'上截取PE＝PC，连接CE．由此可以证明△PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°，而△ACB'为正三角形，由此也可以得到AC＝B'C，∠ACB'＝60°，现在根据已知的条件可以证明△ACP≌△B'CE，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（3）作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点即费马点；要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【解析】（1）∵∠P AB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠P AB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP，∴＝∴PB2＝P A•PC＝12，∴PB＝2；（2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC＝120°．连接AP，再在PB'上截取PE＝PC，连接CE．∠BPC＝120°，∴∠EPC＝60°，∴△PCE为正三角形，∴PC＝CE，∠PCE＝60°，∠CEB'＝120°．∵△ACB'为正三角形，∴AC＝B′C，∠ACB'＝60°，∴∠PCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECB′＝60°，∴∠PCA＝∠ECB′，∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC＝∠B′EC＝120°，P A＝EB′，∴∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，∴P为△ABC的费马点．∴BB'过△ABC的费马点P，且BB'＝EB'+PB+PE＝P A+PB+PC．（3）如下图，作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点就是费马点；证明：过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，∵∠ACB＝60°，∠CAF＝60°，∴∠ACB＝∠CAF，∴AF∥MC，∴四边形AMCF是平行四边形，又∵F A＝FC，∴四边形AMCF是菱形，∴AC＝CM＝AM，且∠MAC＝60°，∵在△BAC与△EMC中，CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，∴△BAC≌△EMC，∵∠DAM＝∠DAB+∠BAM＝60°+∠BAM∠BAC＝∠MAC+∠BAM＝60°+∠BAM∴∠BAC＝∠DAM在△ABC和△ADM中AB＝AD，∠BAC＝∠DAM，AC＝AM∴△ABC≌△ADM（SAS）故△ABC≌△MEC≌△ADM，在CB上截取CM，使CM＝CA，再连接AM、DM、EM（辅助线这样做△AMC就是等边三角形了，后边证明更简便）易证△AMC为等边三角形，在△ABC与△MEC中，CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，∴△ABC≌△MEC（SAS），∴AB＝ME，∠ABC＝∠MEC，又∵DB＝AB，∴DB＝ME，∵∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝60°+∠ABC，∠BME＝∠BCE+∠MEC＝60°+∠MEC，∴∠DBC＝∠BME，∴DB∥ME，即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，∴四边形DBEM是平行四边形，∴S△BDM+S△DAM+S△MAC＝S△BEM+S△EMC+S△ACF，即S△ABC+S△ABD＝S△BCE+S△ACF．。
正方形中的费马点
正方形中的费马点一、费马点的定义费马点，又称费马中心，指的是一个平面图形中到图形上所有顶点的距离之和最小的点。
在一个正方形中，费马点就是到四个顶点距离之和最小的点。
二、费马点的求解方法1. 穷举法首先，我们可以采用穷举法来求解正方形中的费马点。
穷举法的思路是，先确定一个点，然后计算该点到四个顶点的距离之和，不断移动这个点，直到找到到距离之和最小的点为止。
具体步骤如下： 1. 在正方形内随机选取一个点作为初始点； 2. 计算该点到四个顶点的距离之和； 3. 在正方形内随机选取一个相邻的点，计算该点到四个顶点的距离之和； 4. 比较两个点的距离之和，保留距离之和较小的点作为新的当前点；5. 重复步骤3和4，直到找到距离之和最小的点。
这种方法虽然直观，但由于考虑了所有可能的点，计算量较大，时间复杂度为O(n^2)，在实际应用中可能效率较低。
2. 几何法除了穷举法外，我们还可以通过几何方法来求解正方形中的费马点。
几何法的思路是利用正方形的对称性，寻找费马点的位置。
具体步骤如下： 1. 连接正方形的对角线，得到两个交点，分别为A和B； 2. 连接正方形的两条相邻边的中点，分别为C和D； 3. 连接AC、BC、AD和BD，得到四条线段； 4. 这四条线段两两相交的点即为正方形中的费马点。
几何法的时间复杂度较低，仅为O(1)，且不需要考虑所有可能的点，因此在实际应用中更为常用和有效。
三、费马点的性质费马点具有一些特殊的性质，我们可以通过这些性质来进一步理解和应用费马点。
1. 最短路径性质费马点是指到正方形上所有顶点的距离之和最小的点，因此从费马点到任意一个顶点的路径也是最短路径。
利用这个性质，我们可以在无线通信中优化信号传输路径，或者在运输领域规划货物的最佳路径等。
2. 最大面积性质费马点还具有一个有趣的性质，即费马点到正方形上所有顶点的线段所围成的区域面积最大。
这个性质在图形和几何领域中有着广泛的应用，例如寻找最大面积的矩形或三角形等。
2023年中考数学重难点复习：费马点(附答案解析)
2023年中考数学重难点复习：《费马点》
破解策略
费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．
若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．
1.若三角形有一个内角大于等于
120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点
证明：
如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP
则△APC≌△APC，PC＝PC
因为∠BAC≥120°
所以∠PAP＝∠CAC≤60
所以在等腰△PAP中，AP≥PP
所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC
所以点A为△ABC的费马点
2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．
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费马点
一、研究目的
费马点是17世纪法国著名的数学家费马发现的。
所指的是在三角形所在的平面上，有一个点到三角形三个顶点距离之和最小。
而费马点有许多有意义的性质，即为此，本人以费马点的性质为因来进行一系列的调查与研究。
二、研究结果
（一）费马点的发现者
费马点的发现者是费马［Fermat, Pierre de, 1601-1665］，17世纪的法国数学家。
1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙--德洛马涅出生。
早年于家乡受教育，后入图卢兹大学供读法律，毕业后任职律师。
自1631年起任图卢兹议会议员。
任职期间，他利用工余时间钻研数学，并经常以书信与笛卡儿、梅森、惠更斯等著名学者交往，讨论数学问题。
他饱览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学的知识。
虽年近三十才认真注意数学，但成就累累。
最后于1665年1月12日在卡斯特尔逝世。
他生前由于性情淡泊，为人谦逊，因此较少发表论着，大多成果只留在手稿、通信或书页之空白处。
他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书［共两卷］，在图卢兹出版。
由于他在数论、解析几何、概率论等方面贡献良多，被后世誉为「业余数学家之王」。
（二）费马点的求法
△ABC需是三个内角皆小于120°三角形，分别以AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。
（三）费马点的验证
1.△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外
侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为
费马点。
则可得出结论：
①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③点P
是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点；④
点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点；⑤△ABP、
△ACP、△BCP全等。
⑥点P是△ABC各边的中线的交
点；⑦△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点
P为费马点时和最小。
2.△ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ABC外
侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为
费马点。
则可得出结论：
①△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为
费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③
△ABP与△ACP全等；④△BCP为等腰三角形。
3.△ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ABC外
侧作等边三角形，连接DC、EB，交点为点P，点P为
费马点。
则可得出结论：
①△ABC 的三顶点的距离之和为AP+BP+CP ，且点P 为
费马点时和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°
（四）费马点的性质
1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小
2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°
3.费马点为三角形中能量最低点。
（调查得知）
4..三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
（调查得知）
（五）费马点的应用
在实际生活中，若三角形的三个顶点分别是在三个地方，而要求是在“三角形”内建一处车站等，且要是车站到三个地方的公路路程和最短，可利用费马点的性质①：费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
则这车站应建在费马点上。
三、结论
由此次研究可让我们知道，若想要在某方面做出伟大成就必先努力、锲而不舍的钻研，就如胡适所言：“做学问要再不疑处有疑……”。
并且，将成就运用于生活，服务生活，方便生活，才是他们的价值所在！
二、找费马点
在平面上一三角形ABC ，试找出内部一点P ，使得PC PB PA ++为最小。
首先，让我们先找到P 点的性质，再来研究怎么做出P 点。
P 点有什么性质呢？它的位置是否有什么特殊意义呢？在中学里，我们学过三角形的内心、外心、重心以及垂心，P 点和这些心之间有关联吗？还是和有些线段长、角度大小有关系呢？
APB ∠、BPC ∠和CPA ∠很接近，这三个角度有何关联？
【解法1】
○1如右图，以B 点为中心，将APB ∆旋转︒60到'B C'P ∆
因为旋转︒60，且B P'PB =，所以PB P'∆为一个正三角形P P PB '=⇒
因此，PC P P P PC PB PA ++=++''C '
由此可知当'C 、'P 、P 、C 四点共线时，PC P P P PC PB PA ++=++''C '为最小 ○
2若P P --''C 共线时，则 ︒=∠60'P BP ︒=∠=∠⇒120''C APB B P
同理，若C P P --'共线时，则︒=∠60'BPP ︒=∠⇒120BPC
所以P 点为满足︒=∠=∠=∠120CPA BPC APB 的点。
但是，该用什么方法找出P 点呢？
A'
以ABC ∆三边为边，分别向外作正三角形'ABC 、BC A '、C AB '
连接'AA 、'BB 、'CC 'AA 、'BB 、'CC 三线共点，设交点为P ，即为所求 【证明1】
(在解法1曾提到若PC P P C P PC PB PA ++=++'''，即PC P C ''四点共线时， C C PC PB PA '=++有最小值，所以P 要在'CC 上。
)
C AC ABB ''∆≅∆ 21∠=∠∴
则'~DAC DPB ∆∆，得︒=∠=∠6043 在'PC 上取点'P ，使得'BP BP ='BPP ∆⇒为正三角形
则''BP C ABP ∆≅∆，得''P C AP =
所以PC P P C P PC PB PA ++=++'''C C '=
【证明2】
A'
︒=∠=∠=∠120CPA BPC APB ，又BPC A '四点共圆(︒=∠+∠180'C BA BPC ) 所以︒=∠60'CPA
故︒=∠+∠180'CPA APC ，因此P 在'AA 上
同理可证P 在'BB 、'CC 上，
故P 为'AA 、'BB 、'CC 三线交点
三、画出费马点
经过上面的讨论，可以知道，在平面上ABC ∆，想找出一点P ，使PC PB PA ++为最小，
方法为：分别以AB 、BC 为边长做出正三角形'ABC ∆及'A BC ∆，连接'AA 、'CC ，两线交于一点P ，P 点即为费马点。
使用上述方法需要注意到一点，ABC ∆的每一个内角均小于120︒，如果其中有一内角大于120︒，那么P 点就是ABC ∆最大内角的顶点。