高等数学_第一讲__极限与连续

四、典例精析
n n n n
例1、求极限：
（ 1） lim
( 1) n n
n n 1 n 1 2 4 2n 2 ( 4 ) lim ( n n n ); ( 5 ) lim ( 2 2 ... 2 ). n n n n n n n
2
1 lim(1 ) 1. n n
【解析】
n 1 例2、已知 lim ( an b) 1, 求实数a,b的值。 n n 1
(1 a)n (a b)n b 1 原式 lim n n 1 1 (1 a)n (a b) bn lim 1 , n 1 1 n 故1 - a 0, 且 (a b) 1, a 1, b 2.
2
2
1.2 函数的极限
一、函数极限的定义
1. 当 x 时，函数 f ( x ) 的极限
定义 1 如果当 x 的绝对值无限增大时，函数 f ( x) 无 限接近于一个确定的常数 A ， 则称常数 A 为函数 f ( x) 当 x 趋 向于无穷（记为 x ）时的极限，记为
lim f ( x) A
x
由上述极限定义，不难得到如下结论： lim f ( x) A 的充分必要条件是：
x
x
lim f ( x ) lim f ( x ) A .
x
2. x x0 时， f ( x) 的极限
定义 4 如果当 x 无限接近于定值 x0 （ x 可以不等于 x0 ） 时， 函数 f ( x) 无限接近于一个确定的常数 A， 则称常数 A 为 函数 f ( x) 当 x 趋向于 x0 （记为 x x0 ）时的极限，记为
x 0 x 0
x 0
2 lim f ( x ) lim x 0 ，所以 lim f ( x)不存在 ； x 0 x 0
2 因为 lim f ( x ) lim x 1，且 lim f ( x) lim1 1， x1 x1
x1 x1
所以 lim f ( x) 1.
解析
1.3
定义1
无穷小量与无穷大量
一、无穷小量与无穷大量的定义
极限为零的量称为无穷小量，简称无穷小.
定义 2 若函数 f ( x) 的绝对值 f ( x) 在 x 的某一个变化过程中 无限增大，则称函数 f ( x) 是 x 的这个变化过程中的无穷大 量，简称无穷大. 注意：
（1）说一个函数 f ( x) 是无穷小，必须指明自变量 x 的变化 趋向，也就是说函数 f ( x) 在自变量的某个变化过程中是无 穷小，在其它过程中则不一定是无穷小 （2）绝对值很小的常数，不是无穷小，因为这个常数的极 限是常数本身，并不是零。
注意：第一个重要极限特点： 0 （1）它是“ ”型； 0 sin ( x) （2） 形式必须一致， 即 lim 中的三个 ( x) 必 ( x )0 ( x ) 须是一样的, ( x) 是指同一个变量或表达式.
1 cos x 例 1 计算 lim 2 . x 0 x
lim 解析： 1 cos x x
n
lim a n A
3. lim q n 0(0 q 1).
n
n
三、数列极限的四则运算法则
设 数 列 ｛ a n } ,{b n } ,当 lim a n a , lim b n b 时 ， 有 1 . lim ( a n b n ) a b ; 2 . lim ( a n b n ) a b ; an a 3 . lim (b 0 ). n bn b
数 e 是一个无理数，其前八位是 e 2 . 7 1 8 2 8 1 8 .
注意:第二个重要极限特点： （1）它是1 型；
1 x ) 或 （2）形式必须一致，即 lim (1 x x
x 0
lim (1 ( x))
1 ( x)
中的三个 ( x) 应该是一样的. ( x) 是指
x
定义 3 如果当 x <0 且 x 的绝对值无限增大时，函 数 f ( x) 无限接近于一个确定的常数 A ， 则称常数 A 为函 数 f ( x) 当 x 趋向于负无穷（记为 x ）时的极限， 记为
lim f ( x) A （或当 x 时， f ( x) A ）.
2 x 0

x 2 sin 2 2 lim x 0 x2
sin 1 lim x x 0 2 2
2
x 2

2
x sin 1 1 1 2 = lim = 1 . x 0 x 2 2 2 2
1x 2. 第二个重要极限 lim(1 ) e x x
（3）无穷大不是一个很大的数，它是一个绝对值无限增 大的变量；
（4）说一个函数 f ( x) 是无穷大，必须指明自变量 x 的变
一般地，有理分式函数，当 x 时，分子、分母是 无穷大，称为“ ”型，可得以下结论： 若 an 0，bm 0, m、n 为正整数，则
an , m n; bm
an x n an1 x n1 a1 x a0 lim = 0，m>n m 1 x b x m b b1 x b0 m m 1 x
x1
二、 极限的四则运算法则
定理 1 在自变量的同一变化过程中，若
lim f ( x) A ， lim g ( x) B ，则
(1) lim[ f ( x) g ( x)]= lim f ( x) lim g ( x) = A B ； (2) lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) = AB ； f ( x) lim f ( x) A (3) lim = = ， (其中 B 0 ) . g ( x) lim g ( x) B
第一讲 极限与连续
1.1 数列的极限
1.2Leabharlann Baidu函数的极限
1.3 无穷小量与无穷大量 1.4 函数的连续性
1.1数列的极限
一、数列极限的定义
1.定义 如果当 n 时，无穷数列｛ a n ｝的项
an 无限接近于一个确定的常数 A（即 | a n A | 无限趋近
于 0） ，则称常数 A 为数列｛ a n ｝的极限.记为 （或当 n 时， an A）. 二、几个常用的数列极限 1 1. lim 0; n n 2. lim C C (C是常数）；
例 求极限 lim
1 2 n . 2 n n
，m n.
解
因为1 2 n n(n 1) / 2 ，所以
1 2 n n 1 1 lim . = lim 2 n n n 2n 2
三. 两个重要极限
sin x 1 1. 第一个重要极限 lim x 0 x
2
lim
n
2 n

1
n
1 n2 1 n2
0;
1
1 （4） lim( n n n) lim lim ; 2 n n n 1 1 1 2 n n n n
（5） lim
n
2 4 6 ... 2n n
2
lim
n
n(n 1) n
; ( 2 ) lim
3n 2 2n 1
2
; ( 3 ) lim
2n 1
2
;
【解析】 （ 1 ） lim
2
( 1) n n
n
0;
（2） lim
3n 2n 1 n 1
2
n
lim
3
2 n

1 n2
1 n2
n
1
3;
（ 3 ） lim
n
2
2n 1 n 1
如果 x 只能取正值（或取负值）趋于无穷，则有下 面的定义： 定义 2 如果当 x >0 且无限增大时，函数 f ( x) 无
限接近于一个确定的常数 A ， 则称常数 A 为函数 f ( x) 当
x 趋向于正无穷（记为 x ）时的极限，记为
lim f ( x) A （或当 x 时， f ( x) A ）.
x x0
如果当 x x0 时，函数 f ( x) 无限接近于一个确定的常
数 A，则称常数 A 为函数 f ( x) 当 x x0 时的右极限，记为
x x0
lim f ( x) A .
左(右)极限统称为函数 f ( x) 的单侧极限. 由定义 4 和定义 5 可得，函数 f ( x) 的极限与左、右极 限有以下关系： f ( x) A 且 lim f ( x) A的充分必要条件是 lim
x 2 x 2
p ( x) 结论： 对于有理分式函数 （其中 p( x), q( x) 为多项 q( x)
式函数） ，当 x x0 时，其极限分为下列几种类型：
(1) 分式的分子分母的极限都存在，且分母极限不 为零，则函数在 x0 处的极限等于该函数在x0 处的函数值. (2) 分子极限不为零，分母极限为零，不能直接运 用商的极限运算法则，通常是先计算其倒数的极限，再 运用无穷大与无穷小的关系得到其结果. 0 " " 型，不能直接 (3) 分子、分母极限皆为零，称为 0 运用商的极限运算法则，而是先将分子、分母因式分解， 然后消去无穷小因子，再计算得到其结果.
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) A .
x 1, x 0 2 例 1 试求函数 f ( x) x , 0 x 1 在 x 0和 1, x 1
x 1处的极限.
解析： 因为 lim f ( x) lim ( x 1) 1，而
x x0
lim f ( x) A（或当 x x0 时， f ( x) A ）.
3. 左极限与右极限
定义 5 如果当 x x0 时， 函数 f ( x) 无限接近于一个确
定的常数 A， 则称常数 A 为函数 f ( x) 当 x x0 时的左极限， 记为 lim f ( x) A ；
注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.
推论 1 常数可以提到极限号前，即
lim Cf ( x) C lim f ( x) CA .
推论 2 若 m 为正整数，则lim[ f ( x)]m =[lim f ( x)]m = Am .
结论： 一般地， 多项式函数在 x0 处的极限等于该函数在 x0 处 的函数值，即 lim(an x n an1 x n1
x x0
a1 x a0 ) = an x0 n an1 x0 n1
a1 x0 a0 .
例2
x 2 3x 2 求 lim 2 . x 2 x x 2
x 1)( x 2) lim( x 1) 1 x 2 3x 2 lim( 解析： lim 2 = x 2 = x 2 . x 2 x x 2 lim( x 1)( x 2) lim( x 1) 3
x
(或当 x 时， f ( x) A ).
极限 lim f ( x) A 表示的是自变量 x 的绝对值无限增
x
大时，相应的函数值 f ( x) 的一种变化趋势——无限逼近 常数 A .或者换个说法，相应的函数值 f ( x) 与常数 A 的差 的绝对值 f ( x) A 无限逼近零.
1 x x0
同一个变量或表达式.因而，lim(1 x) e .
x 1 2 例 2 计算 lim(1 ) . x x
x 1 1 1 2 1 x 1 1 lim(1 ) = lim[(1 ) ] 2 =[lim(1 ) x ] 2 e 2 . x x x x x x