信号与系统常用公式 ()

常用公式第一章判断周期信号方法两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβπβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性，1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。

2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。

信号的能量 def2()E f t dt +∞-∞=⎰信号的平均功率 def2/2/21lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞-∞=⎰()()()f t t a dt f a δ∞-∞-=⎰()()11()()n n nat t a a δδ=001()()t at t t a aδδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞∞=-⎰- ''()()(0)t f t dt f δ∞∞=-⎰-动态系统是线性系统的条件可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x ∙=∙+∙=∙+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=∙+∙⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦判断系统时不变、因果、稳定的方法。

线性时不变的微分和积分特性。

第二章微分方程的经典解：()()()()()()h p y t y t y t =+完全解齐次解特解 齐次解 ()(1)(1)110()()...()()0n n n yt a y t a y t a y t --++++＝特解的函数形式与激励函数的形式有关。

初始状态和初始值。

零输入和零状态响应 ()()()x f y t y t y t =+()()()()()()(0)(0)(0)(0)(0)(0)j j j j j j x f x f y y y y y y -=-+-+=+++()()()(0)(0)(0)j j j x x y y y +=-=- ()(0)0j f y -=冲激响应 ()[{0},()]h t T t δ= 卷积 1212()()()()f t f t f f t d τττ∞-∞*=-⎰1221()()()()f t f t f t f t *=* 1231213()[()()]()()()()f t f t f t f t f t f t f t *+=*+* 123123[()()]()()[()()]f t f t f t f t f t f t **=**卷积积分特性1.()()()()()f t t t f t f t δδ *=*=2.()'()'()f t t f t δ *= ()()()()()n n f t t f t δ*= ()3.()(()())tf t d f d f t t τεττττε∞∞∞*-=⎰⎰－－＝卷积微分特性121221()()1.[()()]()()n n nn n n d f t d f t d f t f t f t f t dt dt dt *=*=* 1212122.()()[()]()()[()]t ttf f d f d f t f t f d τττττττ∞∞∞*=*=*⎰⎰⎰－－－(1)(1)1212123.()0()0()()'()()f f f t f t f t f t -- -∞=∞=*=*在或时，卷积的时移性质1212121212121212()()()()()()()()()()f t f t f t f t f t t t t t t t f t f t f t f t f t t t --- =**=----*=*=-若，则第四章周期信号f(t)的傅立叶级数011()cos()sin()2n n n n a f t a n t b n t ∞∞===+Ω+Ω∑∑/2/22()cos()T n T a f t n t dt T -=Ω⎰ /2/22()sin()T n T b f t n t dt T -=Ω⎰a n 是n 的偶函数，b n 是n 的奇函数01()cos()2n n n A f t A n t ϕ∞==+Ω+∑00A a =n A =arctannn nb a ϕ=- n n A n n ϕ是的偶函数，是的奇函数 cos sin ,1,2,...n n n n n n a A b A n ϕϕ =- ==波形的对称性与谐波特性1. f(t)为偶函数－－对称纵坐标：b n =0，展开为余弦级数。

2. f(t)为奇函数－－对称原点：a n =0，展开为正弦级数。

3. f(t)为奇谐函数()(/2)f t f t T =-±：a 0=a 2=…=b 2=b 4=…=04. f(t)为偶谐函数()(/2)f t f t T =±：a 1=a 3=…=b 1=b 3=…=0傅立叶级数的指数形式1()2n j jn t n n f t A e e ϕ∞Ω=-∞=∑ 000000j j t A A e e ϕϕΩ= =，12n nj j n n n A e F e F ϕϕ== ()jn t n n f t F e ∞Ω=-∞=∑ /2/21()T jn t n T F f t e dt T -Ω-=⎰F 0=A 0/2为直流分量周期信号的功率—Parseval 等式222200111()22T n n n n A f t dt A F T ∞∞==-∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰ 0,/2n n n F A ≥=时 幅度为1，脉冲宽度为τ，周期为T 的矩形脉冲频谱：()(),0,1,2,...2n n n F Sa Sa n TT TτττπτΩ===±± 傅立叶变换()lim ()j t n T F j F T f t e dt ωω∞--∞→∞==⎰1()()2j t f t F j e d ωωωπ∞-∞=⎰(0)()F f t dt ∞-∞=⎰1(0)()2f F j d ωωπ∞-∞=⎰常用函数的傅里叶变换傅立叶变换的性质（见第五章）奇偶性：()()()F j R jX ωωω=+()F j ω=()()arctan ()X R ωϕωω⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)()(),()()()(),()()R R X X F j F j ωωωωωωϕωϕω =- =--=- =--(2)()(),()0,()()()(),()0,()()f t f t X F j R f t f t R F j jX ωωωωωω=-= ==--= =若则若则周期信号的傅立叶变换2()()()()T n n t n n Tπδδωδωδω∞∞Ω=-∞=-∞↔-Ω=Ω-Ω=Ω∑∑普通周期信号的傅立叶变换：00()()()()()n F j F j F jn n ωδωωδω∞Ω=-∞=Ω=ΩΩ-Ω ∑无失真传输：y(t)=Kf(t-t d ) ()()dj t Y j KeF j ωωω-=实现无失真传输，对系统的要求：()()d h t K t t δ=-()()/()dj t H j Y j F K j e ωωωω-==取样定理取样信号f s (t)的频谱为：()(1/2)()()s F j F j S j ωπωω=* 冲激取样：()()()()()ssT s s s s n n s t t t nT n ωδδωδωωδωω∞∞=-∞=-∞==-↔=-∑∑[]()(1/1()()2))(s sn s s s F j T F F n j j ωωωπωωδωω∞=-∞=*=-∑第五章双边拉普拉斯变换对()()st b F s f t e dt ∞--∞=⎰1()()2j st b j f t F s e ds j σσπ+∞-∞=⎰收敛域因果信号：[]Re s σα=>反因果信号：[]Re s σβ=< 双边信号：[]Re s βα>>收敛域的确定方法：lim()0t t f t e σ-→∞=单边拉氏变换0()()defstF s f t e dt ∞--=⎰ 1()()()2defj stj f t F s e ds t j σσεπ+∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 常见函数的拉氏变换（单边）单边拉氏变换与傅立叶变换的关系拉普拉斯变换性质（与傅立叶变换性质对比）：初值定理和终值定理0(0)lim ()lim ()t s f f t sF s →+→∞+== 0()lim ()s f sF s →∞=拉普拉斯逆变换:部分分式展开法 （1） F (s)为单极点（单根）1212()()......()i ni nB s K K K K F s A s s p s p s p s p ==+++++----()()ii i s p K s p F s ==- 11()i p ti L e t s p ε-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1,2()()F s p j αβ=-±特例：包含时共轭复根[]1121()()j s j K s j F s K e A jB K K θαβαβ*=-+=+-==+=11121()()()()()j j K e K e K K F s s j s j s j s j θθαβαβαβαβ-=+=++-+++-++ 11()2cos()()t f t K e t t αβθε-=+ 或 []1()2cos()sin()()t f t e A t B t t αββε-=-(2) F(s)有重极点（重根）1111111211111()(),(/)()()1()()(1)!rrs p s p r r r s p r k s p F s k d ds s p F s d k s p F s r ds===-=-⎡⎤⎡⎤-=-⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦-11111!11()()()!p t nn n n n L t t L t e t s s p n εε-++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎣⎦复频域分析 微分方程的变换解11()0000()(0)()n n i m i i p p j i i j i i p j a s Y s a s y b s F s ---====⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ ()()()()()()()()x f M s B s Y s F s Y s Y s A s A s =+=+ 系统函数()()()()()deff Y s B s H s F s A s ==电路的S 域框图电感 电容()()(0)L L U s sLI s Li =-- 1(0)()()CC u U s I s sC s-=+系统的信号流图表示－－梅森公式1()()()mi if i p Y s H s F s =∆==∆∑,,,1...j m n p q r jm np q rL L L L L L ∆=-+-+∑∑∑系统函数与系统特性H(s)的零、极点与时域响应h(t)关系 1、极点在左半平面：在负实轴上：211122()()())t t tke t k s k e k te t αααεαεα---→+→+1k一阶极点：s+k 二阶极点：(s+ i L (t)L +u(t)-+-U(s)Li (0-)I LU(s)或u(t)+-U(s)U (0-)/sU C (s)或不在负实轴上：221122222cos()())()cos()())cos()()t t t ke t t Bs k te t t k te t t αααβθεαββθεαββθε---→++→+⎡⎤+⎣⎦++B(s)一阶极点：(s+二阶极点：(s+ 2、极点在j ω轴上：在原点：()()k t kt t εε→→2k 一阶极点：s k 二阶极点：s不在原点：211222cos()()cos()()cos()()k t t k t t k t t t βθεββθεββθε→++→+⎡⎤+⎣⎦++222B(s)一阶极点：s B(s)二阶极点：s 3、极点在右半平面 在正实轴上：()()()t t e t kt e t ααεαεα→-→-2k 一阶极点：s k 二阶极点：s 不在实轴上：22211222222cos()())cos()())cos()()t t t ke t t k t e t t k e t t αααβθεαββθεαββθε→+-+→+⎡⎤-+⎣⎦++22B(s)一阶极点：(s B(s)二阶极点：(sH(s)的零、极点与h(t)的关系：（1）零点影响h(t)的幅度、相位；（2） 极点决定h(t)的形式a) 左半平面极点对应h(t)，随时间增加，是按指数函数规律衰减的；b) 虚轴上一阶极点对应h(t)是阶跃函数或正弦函数，二阶及二阶以上极点对应h(t)是随时间增加而增大的；c) 右半平面极点对应h(t)都是随时间增加按指数函数规律增加的。