广东地区人教版九年级数学上册223实际问题 与二次函数课件共18张
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人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数新课课件(共26张PPT)
（a≠0）
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) . 2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称 轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，抛 ；当
物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值， 是 。
65 元时，利润最大，最大利润是 即定价_________ ___________. 6250
(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论自己得出答案． 分析：我们来看降价的情况． （2）设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化 的函数式．降价x元时，每星期多卖18x件，实际卖出（300+18x）件，销售额为( 60 －x )( 300+18x )，买进商品需付出40 ( 300+18x )，因此所得的利润 y = ( 60－x )( 300+18x ) － 40 ( 300+18x ) 即 当
y = －18x2+60x+6000
x
b 60 5 2a 2 (18) 3
由（1）（2）的讨论及现在的想做状况，你知道应 如何定价能使利润最大了吗？
运用函数来决策定价的问题:
构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式.
求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)
最值 当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
探究
构建二次函数模型解决 一些实际问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已 知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) . 2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称 轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，抛 ；当
物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值， 是 。
65 元时，利润最大，最大利润是 即定价_________ ___________. 6250
(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论自己得出答案． 分析：我们来看降价的情况． （2）设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化．我们先来确定y随x变化 的函数式．降价x元时，每星期多卖18x件，实际卖出（300+18x）件，销售额为( 60 －x )( 300+18x )，买进商品需付出40 ( 300+18x )，因此所得的利润 y = ( 60－x )( 300+18x ) － 40 ( 300+18x ) 即 当
y = －18x2+60x+6000
x
b 60 5 2a 2 (18) 3
由（1）（2）的讨论及现在的想做状况，你知道应 如何定价能使利润最大了吗？
运用函数来决策定价的问题:
构建二次函数模型:将问题转化为二次函数的一个具体的表达式.
求二次函数的最大(或最小值):求这个函数的最大(或最小值)
最值 当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
探究
构建二次函数模型解决 一些实际问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已 知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
人教版九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 课件(共18张PPT)
3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．
课堂导入
前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题及实际问 题中的最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、 隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.
新知探究 知识点1
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m．水面下降 1 m， 水面宽度增加多少？
达到最大高度的时刻是( B )
A.第8秒
B.第10秒
C.第12秒
D.第15秒
D
一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物 线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确 落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直 角坐标系中，下列说法正确的是 ( A )
实际问题与二次函数
22.3
第3课时
知识回顾
建立函数 关系式
最大利润问题
确定自变量 取值范围
确定最 大利润
总利润=单件利润×销售量 或总利润=总售价-总成本.
涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式法求最大值 或利用函数简图和性质求出.
学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数 问题． 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
水面下降1 m，水面宽度增加_(_2__6__4_)_m.
新知探究 知识点1
解决抛物线型建筑问题的步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； (2)设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式； (3)利用二次函数的图象与性质求解实际问题.
新知探究 跟踪训练
课堂导入
前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题及实际问 题中的最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、 隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.
新知探究 知识点1
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m．水面下降 1 m， 水面宽度增加多少？
达到最大高度的时刻是( B )
A.第8秒
B.第10秒
C.第12秒
D.第15秒
D
一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物 线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确 落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直 角坐标系中，下列说法正确的是 ( A )
实际问题与二次函数
22.3
第3课时
知识回顾
建立函数 关系式
最大利润问题
确定自变量 取值范围
确定最 大利润
总利润=单件利润×销售量 或总利润=总售价-总成本.
涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0.
利用配方法或公式法求最大值 或利用函数简图和性质求出.
学习目标 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数 问题． 2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
水面下降1 m，水面宽度增加_(_2__6__4_)_m.
新知探究 知识点1
解决抛物线型建筑问题的步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中； (2)设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式； (3)利用二次函数的图象与性质求解实际问题.
新知探究 跟踪训练
22.3实际问题与二次函数 课件人教版数学九年级上册
【综合拓展类作业】
(2)设利润为w 当22≤x≤30 时 ，w=(x-20)(-x+70)=-x²+90x-1400=-(x45)²+625 ∵在22≤x≤30 范 围 内 ，w 随着x的增大而增大， ∴当x=30 时 ，w 取得最大值为400;
当30<x≤45 时 ，w=(x-20)(-2x+100)=-2x²+140x-2000=2(x-35)²+450 ∴当x=35 时 ，w 取得最大值为450 ∵450>400,
篱笆总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计),当AB=_ 150 _m 时，矩形土
地ABCD 的面积最大.
B
F
C
【知识技能类作业】选做题：
3. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近 似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A, B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90 米), 以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物 线钢拱的函数表达式为( B )
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：1)S=x(24 -4x)=-4x²+24x(0<x<6)
2)当
时，
3)∵墙的可用长度为8米 ∴0<24 -4x ≤8 ∴4≤x<6 ∴当x=4cm时，S最大值=32平方米
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路。 (1)建立适当的平面直角坐标系。 (2)根据题意找出已知点的坐标。 (3)求出抛物线解析式。 (4)直接利用图象解决实际问题。
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
数学人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数 PPT课件
x b 2a
时, 二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ． 4a
3．类比引入, 探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地, 矩形面积 S
随矩形一边长ห้องสมุดไป่ตู้l 的变化而变化．当 l 是多少米时, 场地
的面积 S 最大?
解:
S
（60 2
l）l
,
整理后得 S l2 30l（0＜l＜30）．
2．探究二次函数利润问题
问题4 在降价情况下, 最大利润是多少? 请你参考上述的讨 论, 自己得出答案．
由上面的讨论及现在的销售情况, 你知道应如何定价 能使利润最大了吗?
三．探究3“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥, 当拱顶离水面 2 m时, 水面宽 4 m . 水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
（1） 题目中有几种调整价格的方法? （2） 当每件涨 1 元时, 售价是多少? 每星期销量是 多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润呢? （3） 最多能涨多少钱呢? （4） 当每件涨 x 元时, 售价是多少? 每星期销量是 多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润 y 呢?
2．探究二次函数利润问题
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数
一．探究一 1.创设情境, 引出问题
从地面竖直向上抛出一小球, 小球的高度 h（单位: m）与小球的运动时间 t（单位: s）之间的关系式是
h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时, 小
球最高? 小球运动中的最大高度是多少?
t
b 2a
y=（300-10x）（60+x）-40（300-10x ）
y 10x2 100x 6 000（0≤x≤30）．
时, 二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ． 4a
3．类比引入, 探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地, 矩形面积 S
随矩形一边长ห้องสมุดไป่ตู้l 的变化而变化．当 l 是多少米时, 场地
的面积 S 最大?
解:
S
（60 2
l）l
,
整理后得 S l2 30l（0＜l＜30）．
2．探究二次函数利润问题
问题4 在降价情况下, 最大利润是多少? 请你参考上述的讨 论, 自己得出答案．
由上面的讨论及现在的销售情况, 你知道应如何定价 能使利润最大了吗?
三．探究3“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥, 当拱顶离水面 2 m时, 水面宽 4 m . 水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
（1） 题目中有几种调整价格的方法? （2） 当每件涨 1 元时, 售价是多少? 每星期销量是 多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润呢? （3） 最多能涨多少钱呢? （4） 当每件涨 x 元时, 售价是多少? 每星期销量是 多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润 y 呢?
2．探究二次函数利润问题
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数
一．探究一 1.创设情境, 引出问题
从地面竖直向上抛出一小球, 小球的高度 h（单位: m）与小球的运动时间 t（单位: s）之间的关系式是
h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时, 小
球最高? 小球运动中的最大高度是多少?
t
b 2a
y=（300-10x）（60+x）-40（300-10x ）
y 10x2 100x 6 000（0≤x≤30）．
22.3 实际问题与二次函数(商品利润问题)课件人教版数学九年级上册
巩固练习
该怎么解这个题 目呢？
本题是以文字信息形式出现的求最大总收入的 实际应用问题，解题时要抓住题目中关键词语， 对信息进行梳理，分析，建立二次函数模型。
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑 单件利润就可以，故 20-x≥0，且x≥0, 因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
新知探究 知识点一：利润问题中的数量关系
③降价多少元时，利润y最大，是多少？ 即：y=-20x2+100x+6000，
复习回顾
利润问题 一.几个量之间的关系. 1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量 2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价 3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量 二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
新课导入
某商店经营衬衫，已知获利以y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y=x2+24x+2956，则此店销售单价定为多少时，获利多少？最多获利多少？
巩固练习
解析 总利润=单件产品利润×销售教量
解：（1）获利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。 (2)设售价为每件x元时一个月的获利为y元。 由题意得y=（x-20）［105-5（x-25）］ =-5x2+330x-4600 =-5（x-33）2+845 当x=33时，y的最大值是845. 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。
新课导入
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大铸量等问题，解此类题的关健 是通过题意，找出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围。
人教版九年级上册课件 22.3 实际问题与二次函数 (共17张PPT)
建立二次函数的解析式。（建模） 把实际问题转换到二次函数的相关知 识上进行解决。（转化） 结合二次函数的图像解决相关的实际 问题（数形结合） 最优化
A题
假设篱笆（虚线）的长度为 40 米，两 面靠墙围成一个矩形，要求面积最大 ，如何围才能使矩形的面积最大？
B题
如图，在一面靠墙的空地上用长为40米的篱笆， 围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃 的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是 多少？ (3)若墙的最大可用长度为 8 米，则求围成花圃的 最大面积。
-5
O
5
10 15 20 25 30 35 40
x
X=16
方法二： ∵ 0＜x≤16＜20 ∴y随x的增大而增大 ∴当x=16时y最大，最大值为192。
解:(1)当AB=xm时，则BC=(40-2x)m ∴y=x(40-2x) Y=192 y =-2(x-10)² +200 x的取值范围是12 ≤ x ＜ 20 250 方法一：根据函数的图像 我们可以知道，当x=12时 y最大，最大值为192。
解： (1) ∵ AB为x米、∴ 花圃宽BC为
（40－4x）米
∴ S＝x（40－4x） ＝－4x2＋40 x （0<x<10）
A B
D C
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 5 时，S最大值＝ 4a ＝100（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<40－4x ≤8 8≤x<10 ∴当x＝8cm时，S最大值＝64平方米
总结
1.分析题目中的变量。
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第一课时课件
(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多 少？
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500
人教版数学九年级上册：2《实际问题与二次函数》课件(共37张)
【思路点拨】 （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数 据写出函数解析式。 （2）先求x=3米时y的值，用拱桥最大高度减去｜y｜，然后与3.6 相比较即可得出答案。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
Hale Waihona Puke 因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，
解：（1）由题意知点D的横坐标为5，点B的横坐标为10，EF＝ 3，设OE＝h，则OF＝h－3，则点B（10，－h），D（5，3－ h）。 设抛物线的函数解析式为y=ax2，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
解得
n 4
a
1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，
∴ 当x=3时，y 1 9
9
25 （ 4） 3.6
25
∴ 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥。
实际问题与二次函数
（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式： 当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）求 其解析式； 当已知顶点坐标为（k，h）和另外一点的坐标时，可用顶点式 y a(x h)2 k 求其解析式； 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0），（x2， 0）时，可用交点式 y a(x x1)(x x2 ) 求其解析式。
当水面降落1米，通过抛物线在图上的视察可转化为： 当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直 线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代 入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，
Hale Waihona Puke 因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，
解：（1）由题意知点D的横坐标为5，点B的横坐标为10，EF＝ 3，设OE＝h，则OF＝h－3，则点B（10，－h），D（5，3－ h）。 设抛物线的函数解析式为y=ax2，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
解得
n 4
a
1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，
∴ 当x=3时，y 1 9
9
25 （ 4） 3.6
25
∴ 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥。
实际问题与二次函数
（1）利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式： 当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c（a≠0）求 其解析式； 当已知顶点坐标为（k，h）和另外一点的坐标时，可用顶点式 y a(x h)2 k 求其解析式； 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0），（x2， 0）时，可用交点式 y a(x x1)(x x2 ) 求其解析式。
当水面降落1米，通过抛物线在图上的视察可转化为： 当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直 线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代 入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，
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(0≤x≤30)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x ) +6000
=-10［(x-5)2-25 ］+6000
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40- x)(300+20 x) =(20- x)(300+20 x)
继续
解一
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴，建立平
面直角坐标系，如图所示. ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ? ax 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即抛物线过点(2,-2)
? ?2 ? a? 22
? a ? ? 0.5
∴这条抛物线所表示的二
次函数为:
y ? ? 0.5 x 2
22.3 实际问题与二次函数
探究1--面积最大化问题
问题：用总长为 60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长 l的变化而变化 .当l是多少时，场地的 面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使 S最大的l的 值.
矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为
(
60 2
l)，? 场地的面积:
4a
探究2--利润最大化问题
方程问题：已知某商品的进价为每件 40元，售价是
每件 60元，每星期可卖出 300件。市场调查反映： 如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出 10件。 要想获得6090元的利润，该商品应 定价为多少元？
分析：没调价之前商场一周的利润为 6000元； 设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润 可表示为（20+x）元，每周的销售量可表示为 （300-10x）件，一周的利润可表示为 (20+x)( 300-10x)元，要想获得6090元利润可 列方程 (20+x)( 300-10x) =6090 。
每件利润为 (60+x-40)元，因此，所得利润
为 （60+x-40）(300-10x) 元.
y=(60+x-40)(3001即0xy)=-10 （x-5）
(0≤x≤30)
怎样确 定x的
取值范 围
2+6250
∴当x=5时，y最大值=6250
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ? ax2 ? 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
即:抛物线过点(2,0)
? 0 ? a? 22 ? 2
方程问题：已知某商品的进价为每件40元， 售价是每件60元，每星期可卖出300件。 市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价1元， 每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润， 该商品应定价为多少元？
若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表 示为（x-40）元，每周的销售量可表示
为 [300-10(x-60) ]件，一周的利润可表示
S=l(30-l)
即S=-l2+30l. (0<l<30)
请同学们画出此函数的图象
s
可以看出，这个函数的图
象是一条抛物线的一部分， 200
这条抛物线的顶点是函数
图象的最高点，也就是说， 100
当l取顶点的横坐标时，这
个函数有最大值.
O
5 10 15 20 25 30
l
因此，当l ? ? b ? ? 30 ? 15时
30
x \ 元 可以求出顶点的横坐标.
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量 的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或 通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
探究3--拱桥问题
图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2m，
水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？ 解一 解二 解三
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
? 3 ? ?0.5x2
x?? 6
? 这时水面宽度为 2 6 m
∴当水面下降1m时,水面宽
度增加了( 2 6 ? 4 )m
返回
解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2)
请同学们带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些 量随之发生了变化？
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品
的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式.涨
价x元,则每星期少卖 10件x ，实际卖出 (30件0-1,0x)
怎样确定x 的取值范围
=-20x2+100x+6000
=-20 （ x2-5x-300 ）
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
所以定价为 60-2.5=57.5 时利润最大 ,最大值为 6125元.
由(2)(3)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能
使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
为 (x-40)[300-10(x-60)] 元，要想获得6090元 利润可列方程 (x-40)[300-10(x-60)]=6090 .
探究2--利润最大化问题
函数问题：已知某商品的进价为每件40元。现在 的售价是每件60元，每星期可卖出300件。 市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元， 每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期 可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？
2a 2? (?1)
S有最大值 4ac ? b2 ? ? 302 ? 225. 即l是15m时，场地的面
4a 4? (?1)
积S最大.（S=225㎡)
一般地，因为抛物线 y=ax2+bx+c的顶点是
最低（高）点，所以当 x ? ? b 时，二次函
2a
数y=ax2+bx+c有最小（大）值 4ac ? b2 .
也可以这样求极值
x
?
?
b 2a
?
5时，y最大值
?
?10?
52
?
100?
5?
6000?
6250
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 Байду номын сангаас000
05
可以看出，这个函数的图
像是一条抛物线的一部分，
这条抛物线的顶点是函数
图像的最高点，也就是说
当x取顶点坐标的横坐标时，
这个函数有最大值.由公式