第二章 一维平面光波导

4πh n1 − n2 = 2mπ − ϕ 2 − ϕ 3
2 2
二、一维平面光波导的波动光学描述
对称性考虑 场分解与模式分类 场方程和解 模式的特征方程
一维平面光波导的描述
• 几何光学描述： 几何光学描述： 给出波导特性清晰的物理图象和解释； 给出波导特性清晰的物理图象和解释； 结论粗糙， 结论粗糙，不能够获得有关电磁场模式在 波导内的具体场分布和传输特性等方面的完整 细节。 细节。 • 波动光学描述： 波动光学描述： 方程组出发， 从Maxwell方程组出发，结合电磁场的边 方程组出发 界条件获得光波导的严格理论分析： 界条件获得光波导的严格理论分析：各模式的 场分量分布和特征方程。 场分量分布和特征方程。
一维平面光波导的场方程及其解
光波导将空间分为三个均匀的区 域，各区域内电磁场分量的切向 分量在介质分界面上满足连续性 条件。 条件。三个区域内的电磁场的各 个直角分量均满足下述波动方程： 个直角分量均满足下述波动方程： y
∇2Ψ + k 2Ψ = 0 k = k 0 n, k 0 =
x h z
限制层 波导层 限制层
δ (γ 2 + γ 3 ) k x h = arctan 2 + mπ δ − γ 2γ 3
特征方程
j dH y Ez = − ϖε dx
TM模 模 Ez连续
δk12 k3 2γ 2 + k 2 2γ 3 tan (δh ) = 2 2 2 4 k 2 k3 δ − k1 γ 2γ 3
δ (γ 2 + γ 3 ) tan (δh ) = 2 δ − γ 2γ 3
kx
δ 2 = k12 − β 2 , γ 2 2 = β 2 − k 2 2 , γ 3 2 = β 2 − k3 2 , k j = k0 n j , ( j = 1,2,3) k
kz δ
2
= k1
2
− β
2
= k
2 x
？
Maxwell方程 方程
∂B ∂D ∇×E = − ,∇ × H = ∂t ∂t
ex ∂ ∇ × A = ∂x Ax
ey ∂ ∂y Ay
ez ∂ ∂z Az
直角坐标系内的形式
∂H z ∂H y ∂H y ∂H x ∂H x ∂H z ex ∂y − ∂z + e y ∂z − ∂x + e z ∂x − ∂y = jϖε (e x E x + e y E y + e z E z ) ∂E z ∂E y ∂E y ∂E x ∂E x ∂E z ex ∂y − ∂z + e y ∂z − ∂x + e z ∂x − ∂y = − jϖµ 0 (e x H x + e y H y + e z H z )
∂ψ ∂y = 0, ∂ψ ∂z = − jβψ
E x = 0 βE y = −ϖµ 0 H x
dE y dx = − jϖµ 0 H z dH z = − jϖεE y dx
βH y = ϖεE x
dH y dx = jϖεE z dE z = jϖµ 0 H y dx
Ey = 0
jβH x +
jβE x +
δ 2 = k12 − β 2 , γ 2 2 = β 2 − k 2 2 , γ 3 2 = β 2 − k3 2 , k j = k0 n j , ( j = 1,2,3)
切向分量连续 Ψ（Ey，Hy），（Ez，Hz） ？
γ：衰减系数
特征方程
TE模 模 Hz连续
j dE y Hz = ϖµ 0 dx
λcm
全反射条件 1 2 2 2 cosθ < cosθc = 1 − sin θc = n1 − n2 模式数 n1 4πh 特征方程 2 2 n1 − n2 + ϕ 2 + ϕ3 偏振简并：TE、TM 偏振简并： 、 2k0n1h cosθ + ϕ2 + ϕ3 = 2mπ λ m≤M = 模式总数约2M 模式总数约 2π
半导体光电子器件、 波导器件、平面光波回路PLC 半导体光电子器件、LiNbO3波导器件、平面光波回路 一维平面光波导的基本结构 由多层平板介质构成的波导结构， 由多层平板介质构成的波导结构，折射率 在垂直于介质分界面的方向上发生变化。 在垂直于介质分界面的方向上发生变化。 三层均匀一维平面光波导
n1 ,0 ≤ x ≤ h n(x ) = n2 , x ≤ 0 (n1 > n2 ≥ n3 ) n , x ≥ h 3
模式分类
场的迭加原理： 场的迭加原理：波导内的电磁场总可以分解为两种正交的 偏振状态来进行分析
TE模 E x = 0 E z = 0 模
β j dE y Hx = − Ey , H z = , Ez = H y = 0 ϖµ 0 ϖµ 0 dx
TM模 E y = 0 H z = 0 模
j dH y β Ex = − H y , Ez = ,Hz = Hy = 0 ϖε ϖε dx
(
)
导模条件： k 0 n 2 < β < k 0 n1
模式解
0≤ x≤h A cos(δx ) + B sin (δx ) , x<0 ψ ( x ) = A exp(γ 2 x ) [ A cos δh + B sin (δh )]exp[− γ ( x − h )] x>h 3
′
n2 TE θ2 n1 θ 1 θ 1’
δ
二维矩形光波导— —x偏振基模
二维矩形光波导— —y偏振基模
全反射条件 θ>θc12>θc13 θ θ 传输常数
波矢量在传输方向上的分量
sin θ > n2 n1 h kx
k kz
ϕ2 A θ B
C
n3 n1 D n2
ϕ3 波前
β = k z = k0 n1 sin θ
电磁场纵向分量和横向分量之间关系
Hz = 1 jϖµ 0 1 jϖε ∇ t × Et = 1 jϖµ 0 1 jϖε ∇ t ⋅ (e z × Et ) ∇ t ⋅ (e z × H t )
Ez = −
∇t × H t = −
对称性考虑
一维均匀平面光波导中，电磁 一维均匀平面光波导中， 方向均匀， 场在 y 和 z 方向均匀，对于波 方向传输的电磁波， 导内沿 z 方向传输的电磁波， 其任一电磁场分量均具有如下 形式： 形式： x h y
直角坐标系内的形式
∂H z ∂H y ∂H y ∂H x ∂H x ∂H z ex ∂y − ∂z + e y ∂z − ∂x + e z ∂x − ∂y = jϖε (e x Ex + e y Ey + e z Ez ) ∂Ez ∂Ey ∂Ey ∂Ex ∂Ex ∂Ez ex ∂y − ∂z + e y ∂z − ∂x + e z ∂x − ∂y = − jϖµ0 (e x H x + e y H y + e z H z )
n3 n1 n2
ϖ
c
=
2πf 2π = c λ
ψ = ψ ( x) exp(− jβz )
∇2 = ∇t +
2
d 2ψ 2 2 + k0 n j − β 2 ψ = 0, j = 1,2,3 dx 2
TE :ψ = E y TM :ψ = H y
(
)
∂ ∂z 2
2
场方程
TE :ψ = E y d 2ψ 2 2 2 + k0 n j − β ψ = 0, j = 1,2,3 2 TM :ψ = H y dx
满足： 满足：
限制层 z 波导层 限制层
n3 n1 n2
ψ = ψ ( x) exp(− jβz )
∂ψ ∂z = − jβψ
∂ψ ∂y = 0,
n1 ,0 ≤ x ≤ h 波导结构（折射率空间分布）： 波导结构（折射率空间分布）： n( x ) = n2 , x ≤ 0 (n1 > n2 ≥ n3 ) n , x ≥ h 3
TE
TM
利用纵向场与横向场的对应关系进一步可得： 利用纵向场与横向场的对应关系进一步可得：
TE模 E x = 0 E z = 0
β j dE y Hx = − Ey , H z = , Ez = H y = 0 ϖµ 0 ϖµ 0 dx
TM模 E y = 0 H z = 0
j dH y β Ex = − H y , Ez = ,Hz = Hy = 0 ϖε ϖε dx
n1 n2 n3 n4 限制层
x h y z
n3 n1 n2
波导层 限制层
Байду номын сангаас
对称结构： 对称结构： n2 = n3 非对称结构： 非对称结构：n2 ≠ n3
光在介质分界面上的全反射
H E k E H TM k
Snell定律 定律
θ1 = θ1 , n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
Goos- Haenchen位移 δ 位移 波动特性——穿透深度 波动特性 穿透深度 入射点与反射点的位移 反射相位损失 ϕ 振幅反射系数 R = R exp(− jϕ )
(
)
特征方程
2k0 n1h cosθ + ϕ 2 + ϕ 3 = 2mπ
AD − BC = 2h cos θ
返回
横向谐振条件 = 特征方程
kx
k kz
2k x h + ϕ 2 + ϕ 3 = 2mπ
k x = k0 n1 cosθ
TE模、TM模反射时相位损失（ϕ2+ϕ3）不同，一个m，两个模式 模 模反射时相位损失（ 模反射时相位损失 ϕ 不同，一个 ， 因此特征方程不同。 因此特征方程不同。 TEm模、TMm模 截止波长λcm 截止波长λ 当光波波长超过λ 指标m的模式截止 当光波波长超过λcm时，指标 的模式截止 基模： 基模：TE0模 截止波长最长！ 截止波长最长！
相干加强条件
k = k0n1
k0 n2 < β < k0 n1
满足全反射条件时， 满足全反射条件时，只有某 些以特定角度入射的光线才 同一波阵面上各点的振动情况完全相同，相位相同或相差2π 同一波阵面上各点的振动情况完全相同，相位相同或相差 π整数倍 能在波导内传导， 能在波导内传导，每一种可 2πn1 AD − BC + ϕ 2 + ϕ 3 = 2m以传导的电磁波称为波导的 π , m = 0,1,2,... λ 一种模式 模式。 一种模式。
(
)
kx
δ 2 = k12 − β 2 , γ 2 2 = β 2 − k 2 2 , γ 3 2 = β 2 − k3 2 , k j = k0 n j , ( j = 1,2,3) k
kz δ
2
= k1
2
− β
2
= k
2 x
波导内各模式场分布与传输特性的求解
波动光学获得TE模式和TM模式的特征方程与几何光 波动光学获得TE模式和TM模式的特征方程与几何光 TE模式和TM 学分析获得的横向谐振条件类似， 学分析获得的横向谐振条件类似，但是表述起来更 为严格。 为严格。 求解特征方程，可以获得传输常数的一系列解， 求解特征方程，可以获得传输常数的一系列解，每 一个解对应一个模式。 一个解对应一个模式。 由传输常数可以获得其他的分布参数， 由传输常数可以获得其他的分布参数，进一步得出 电磁场的各个场分量。 电磁场的各个场分量。 分别对TE TM模 TE和 分别对TE和TM模，找出满足 k0n2 < β < k0n1 的β 的个数（总是有限的）， ），按从大到小依次记为 的个数（总是有限的），按从大到小依次记为βm m=1,2…M) M)； TE或TM模式的传输 （m=1,2 M)； βm 即为第 m 个TE或TM模式的传输 常数， 常数，其随 ω 的变化关系决定了该模式在波导中 的传输特性
第二章 一维平面光波导
主要内容
一、一维平面光波导及其几何光学描述 二、一维平面光波导的波动光学描述 附: Maxwell电磁理论基础 电磁理论基础
一、一维平面光波导及其几何光学描述
一维平面光波导的基本结构 Snell定律 定律 一维平面光波导中模式的几何光 学描述
一维平面光波导基本结构
平面光波导
纵向场与横向场
横向电场和横向磁场之间关系
∂Et 1 1 ez × e z × ∇ t ∇ t ⋅ (e z × H t ) = − jϖµ 0 H t − jϖ ∂z ε ∂H t 1 ez × = jϖε 0 Et + e z × ∇ t (∇ t ⋅ (e z × Et )) ∂z jϖµ 0
一维平面光波导的波动光学描述
• 波动光学描述： 波动光学描述： 各模式的场分量分布和特征方程的 获得----由于 由于Maxwell方程组的约束，实 方程组的约束， 获得 由于 方程组的约束 际当中，并不需要对其逐一求解， 际当中，并不需要对其逐一求解，只要 求得电场或磁场的两个分量， 求得电场或磁场的两个分量，即可以获 得电磁场的其他四个分量。 得电磁场的其他四个分量。对应关系如 下：