电路 第五章 一阶电路分析3
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第五章 一阶电路分析
代表积聚电荷、储存电场能的元件
符号和特性曲线：
q
斜率为C
i(t)+ q(t) + u(t) -
u
线性时不变电容的特性
线性电容——特性曲线是通过坐标原 点一条直线，否则为非线性电容。时 不变——特性曲线不随时间变化，否 则为时变电容元件。
线性非时变电容元件的数学表达式：
q(t) Cu(t)
系数 C 为常量，为直线的斜率，称 为电容，表征积聚电荷的能力。 单位是法[拉],用F表示。
形。
+ iC
1 iS
iS
uC C -
0 1t (b)
解：
1 0 t 1
iC(t ) iS (t ) 0
( A) t 1
0t 1
uC
(t)
uC
(0)
1 C
t
0 iC ()d
0.5 0.5t (V )
t 1
uC
(t
)
uC
(1)
1 C
t
1 iC ()d
1 (V )
1 uC 0.5
0
1
t
2. 电感是惯性元件
di
u 有限时，电流变化率 dt 必然有限； 电流只能连续变化而不能跳变。
3.电感是记忆元件
i(t) 1
t
u( )d
L
电感电流i有“记忆”电压全部历史
的作用。取决于电压(, t )的值。
i(t) 1
t
u( )d
L
1
t0 u()d 1
t
u( )d
L
L t0
例５ 开关闭合已久,求电容初始值uC(0+)
解：由于开关闭合已久，由直流电源驱 动的电路中，各电压电流均为不随时间 变化的恒定值，造成电容电流等于零， 电容相当于开路。得t=0－等效图
符号和特性曲线：
q
斜率为C
i(t)+ q(t) + u(t) -
u
线性时不变电容的特性
线性电容——特性曲线是通过坐标原 点一条直线，否则为非线性电容。时 不变——特性曲线不随时间变化，否 则为时变电容元件。
线性非时变电容元件的数学表达式：
q(t) Cu(t)
系数 C 为常量，为直线的斜率，称 为电容，表征积聚电荷的能力。 单位是法[拉],用F表示。
形。
+ iC
1 iS
iS
uC C -
0 1t (b)
解：
1 0 t 1
iC(t ) iS (t ) 0
( A) t 1
0t 1
uC
(t)
uC
(0)
1 C
t
0 iC ()d
0.5 0.5t (V )
t 1
uC
(t
)
uC
(1)
1 C
t
1 iC ()d
1 (V )
1 uC 0.5
0
1
t
2. 电感是惯性元件
di
u 有限时，电流变化率 dt 必然有限； 电流只能连续变化而不能跳变。
3.电感是记忆元件
i(t) 1
t
u( )d
L
电感电流i有“记忆”电压全部历史
的作用。取决于电压(, t )的值。
i(t) 1
t
u( )d
L
1
t0 u()d 1
t
u( )d
L
L t0
例５ 开关闭合已久,求电容初始值uC(0+)
解：由于开关闭合已久，由直流电源驱 动的电路中，各电压电流均为不随时间 变化的恒定值，造成电容电流等于零， 电容相当于开路。得t=0－等效图
第5章一阶电路的暂态分析
i (0 ) iC (0 ) i L (0 ) 8 2i (0 ) 4iC (0 ) 4 i ( 0 ) iC ( 0 ) 1
例2： 换路前电路处稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。 R i R
+ _
2 U 8V t =0 R1
iC
R2
4
设：t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0-— 表示换路前的终了瞬间 t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）
L (0 ) L (0 ) 电感电路：
电容电路： uC (0 ) uC (0 )
注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。
3. 初始值的确定
dt
duC pt (2) 解方程： RC uC 0 通解 : uC A e dt 1 特征方程 RCP 1 0 \ P
齐次微分方程的通解：
由初始值确定积分常数 A
uC A e RC
RC t
根据换路定则 ，t (0 )时，uC (0 ) U , 可得 AU
初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。 求解要点： (1) 先求 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 1) 由t =0-的电路（换路前稳态）求uC ( 0– ) 、iL ( 0– )；
2) 根据换路定律求 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 (2) 再求其它电量初始值。
1) 由t =0+的电路求其它电量的初始值；
1 1 4 4 41 1 V 3 3
计算结果：
+ _
R
2 U 8V t =0 R1
iC
(电路分析)一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
电路分析路基础一阶电路的三要素法
三要素法可用于求解在直流激励下，一阶动态电路 中任一支路的电压和电流。
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1Leabharlann ＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1Leabharlann ＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
第五章 一阶动态电路
(c)、t=0+时， 若uc(0+)=0，用短路线置换电容； iL(0+)＝0， 则用开路置换电感； uc(0+)=U0， 则用电压为U0的电压源置换电容； iL(0+)＝I0，则用电流为I0的电流源置换电感。 2、求f()：
换路后的稳态值，此时C开路，L短路，得 到t＝∞时的等效电路，求出u(∞)、i(∞)。
3、已知1v电压源在t=0时作用于电路，
iL (t ) 0.001 0.005e
t
A t 0
若将1v电压源改为2v电压源作用，则iL(t)=?
+ 1v －
1k
iL 1H
1k
§5－6
三要素法
一、三要素法 三要素：初值f(0+)、稳态值f()、 时间常数τ
f (t ) [ f (0 ) f ()]e
1A t=0
2 4
＋ u1 －
＋ 2F u c 1.5 u1 －
4、t<0时电路已经稳定，求u0(t) t≥0。
C
பைடு நூலகம்
t=0 R1 － uc+ + R2 + u1 ib ib u0 － －
+ u2 －
5.开关闭合前电路已稳定，求uab
30
a
t=0 20 0.05F
＋ 4v －
20 10
b
3、时间常数τ: 同一个电路只有一个τ; τ＝RC或τ=L/R; R为从动态元件两端看进去的等效电阻。
1、求i(t) i(t) ＋ ＋ 1A 10v uc 1F － － 1
2、求ik。
5 i1 i2 1A ＋ u 0.2F c － 3 t=0 6 ik iL
1H
电工电子技术基础 第2版 第5章 一阶电路暂态分析
i(0 )
S +
U -
+
u0 (0 ) R2
-
uC (0 )＝uC (0－)＝0V
iC
(0
)＝Biblioteka U R26V 20k0.3 mA
u0 (0 )＝6V
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第5章 一阶电路暂态分析——暂态过程与换路定则
3.t 等效电路
i
S
U
C uC
R1
u0 R2
L短路 C开路
i() U 6V 0.2mA R1 R2 30kΩ
L短路
t 0 C开路
L短路
t
C开路
L电感
C电容
返回
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第5章 一阶电路暂态分析——暂态过程与换路定则
L恒流源如电流为0，则将恒流源断开处理
t 0＋ C恒压源如电压为0，则将恒压源短路处理
iL(0_)
＋
uC(0_)
－
iL(0+)
电感的等效变换
iL(0+)=0A时
＋
uC(0+)
分析瞬态过程产生条件和原因，引伸确定储能元
件的初始值换路定律，用经典分析方法导出RC一阶
电路的零输入响应、零状态响应及全响应。分析三要
素法组成，利用三要素法分析RL一阶电路的零输入响
应、零状态响应及全响应，强化三要素法具体应用。 理解瞬态过程中电压和电流随时间变化的规律和
物理意义以及时间常数对瞬态过程的影响，充分利用 瞬态过程的特性为人类服务，避免它造成危害和损失。
+ uC () –
i()
S
U
R1 +
u0 () R2
电路原理5.3.3一阶电路的动态响应 - 一阶电路的动态响应2
解的构成：
dt
y = y' + y''
对应的齐次方程的通解
非齐次方程的特解
方法一：从数学方程形式求解
（1）先求对应齐次方程的通解y’’
dy + py = 0 dt
-t
y'' = Ae
动态电路的时域分析
（2）求非齐次方程的特解y’——待定系数法
a.形如
dy dt
+
py
=
K
（K为常数——直流）
则设 y' = （常数），代入非齐次方程，求得y’。
b.形如
dy + py = Kt dt
则设 y' = t + ，代入非齐次方程，求得y’。
c.形如 dy + py = Ksint （交流）
dt
则设 y' = sint + cost ，代入非齐次方程，求得y’。
（或者 y' = Am sin(t + ) ）
动态电路的时域分析
方法二：从电路的角度分析 y = y' + y''
i2 (t )
=
-
R1
+
R R2
+
R3
i(t)
=
-2e-t A
动态电路的时域分析
二、一阶电路的零状态响应 1、零状态响应：电路在储能元件零初始条件下(电容电压
值uC和电感电流值iL为零），而由外施激励引 起的电路响应。
2、RC电路的零状态响应
S(t = 0) R iC(t)
+ US
2
1
+
uR C
第5章 一阶、二阶电路的暂态分析
方向同原假定的 电容电压、电感 电流方向。
5.2 用三要素法计算 一阶电路的响应 1. 初始值的计算 f(0+)
独立的初始值：uC (0+) = uC (0–)； iL(0+) = iL(0–)
非独立的初始值：由0+ 等效电路方法计算
2. 时间常数的计算 RC ；动态元件为电容 = L/R ；动态元件为电感 R：换路后，移去动态元件所得一端口的戴维南等效电阻。 3. 稳态值的计算 4. 将三要素代入总计算公式中：
(2) 振荡电路（欠阻尼）：
(3) 临界振荡（临界阻尼）：
（4）无阻尼：
R0
t 解：由三要素法 iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e
i +
R
S( t =0 )
a iL
L
Is (a) b
iL(0+)=iL(0-)= – Is= –2A Req= R= 2 , τ =L/Req= 2s i'L= Us /R Is = 5 2 = 3A 所以
i
+ – C Us
i
R
uC
uC
–
+
C
S未动作前, 电路处于一个稳定状态，有i = 0 , uc = 0 S接通 后，电源向电容充电，经一段时间充电完毕，电路 达到一个新的稳定状态，此时有i = 0 , uc= Us 暂态： 电路由一个稳态转变到另一个稳态需要经历的过程, 称
为过渡过程，相对于稳态而言，该过程又称为暂态。
u L (0 ) 0 u L ( 0 )
求初始值的步骤
1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0–) 和 iL(0–)。 2. 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等效电路。
一阶电路分析的三要素法
一阶电路分析的三要素法采用“三要素法”分析一阶电路，可以省去建立和求解微分方程的复杂过程，使电路分析更为方便和高效。
适用于直流激励一阶电路的三要素法我们仍以简单一阶RC 电路为出发点。
图1 所示RC 电路的全响应结果如下：图1 一阶RC电路图( 1 )( 2 )由图1 容易知道，电容电压的初值为，电容电压的终值为；而电流的初值为，电流的终值为。
观察式( 1 ) 、式(2) 可见，一阶电路中任意电路变量的全响应具有如下的统一形式：( 3 )可见，为求解一阶电路中任一电路变量的全响应，我们仅须知道三个要素：电路变量的初值、电路变量的终值以及一阶电路的时间常数。
我们称式( 6-5-3 ) 为一阶电路分析的三要素法。
三要素法同样适用于一阶RL 电路，但是二阶以上动态电路不可采用此法。
推广的三要素法在前面分析一阶电路时，我们采用的独立源具有共同的特点，即所有独立源均为直流（直流电压源或直流电流源）。
对于直流激励电路，换路前电路变量为稳定的直流量，换路后经历一个动态过程，电路变量过渡到另外一个稳定的直流量。
我们容易根据电路的原始状态和电路结构确定电路变量的初值f(0+)、电路变量的终值f(∞)以及一阶电路的时间常数。
如果电路中激励源不是直流，而是符合一定变化规律的交流量（如正弦交流信号），则换路后电路经历一个动态过程再次进入稳态，此时的稳态响应不再是直流形式，而依赖于激励源的信号形式（如正弦交流信号）。
此时，我们无法确定电路变量的终值f(∞),故无法采用式( 3 ) “三要素法”确定一阶电路全响应。
对于这类一阶电路，我们可以采用推广的三要素法：〔4 )式中，为全响应的初值、为电路的稳态响应、τ为电路的时间常数，称为一阶线性电路全响应的三要素，为全响应稳态解的初始值。
“三要素”的计算与应用利用三要素法分析一阶电路的全响应时，必须首先计算出电路变量的初值、电路变量的终值以及一阶电路的时间常数。
假设激励源为直流电压源或电流源。
一阶电路的时域分析
第5章 一阶电路的时域分析
5.1 换路定则及初始值
5.2 三要素法 5.3 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应 5.4 RC微分电路和积分电路
概 述
• “稳态”与 “暂态”的概
K 念:R
+ _
R
+
E
uC
C
E _
uC
电路处）过程 :
旧稳态 新稳态
uC
E
暂态
稳态 t
RC uC () 0
t0
t
时RC电路
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
0 [U S 0]e U Se
t RC t RC
t0
u C 曲线与时间常数τ的关系
2. RL电路的零输入响应
US i L ( 0 ) i L (0 ) R L R iL () 0
uC、iL 不能突变。其它电量均可
电容相当于恒压 u (0 ) U0 0， 源，其值等于 U 0 ；uC (0 ) 0， 电容相当于短
3. 换路瞬间， L
i (0 ) I0 0
电感相当于恒流源，
其值等于
I 0 ；iL (0 ) 0
，电感相当于断路。
例2 电路如图所示。 t 0 时电路处于稳态，t 0 时开关S断开。已知：R1 = 3 ，R2 = 4 ，R3 = 8 ，R4
有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生 变化（换路）时（如：电路接入电源、从电源断 开、电路参数改变等）存在过渡过程； 没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡 过程。 电路中的 u、i 在过渡过程期间，从“旧稳态”进
入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，
5.1 换路定则及初始值
5.2 三要素法 5.3 一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应 5.4 RC微分电路和积分电路
概 述
• “稳态”与 “暂态”的概
K 念:R
+ _
R
+
E
uC
C
E _
uC
电路处）过程 :
旧稳态 新稳态
uC
E
暂态
稳态 t
RC uC () 0
t0
t
时RC电路
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
0 [U S 0]e U Se
t RC t RC
t0
u C 曲线与时间常数τ的关系
2. RL电路的零输入响应
US i L ( 0 ) i L (0 ) R L R iL () 0
uC、iL 不能突变。其它电量均可
电容相当于恒压 u (0 ) U0 0， 源，其值等于 U 0 ；uC (0 ) 0， 电容相当于短
3. 换路瞬间， L
i (0 ) I0 0
电感相当于恒流源，
其值等于
I 0 ；iL (0 ) 0
，电感相当于断路。
例2 电路如图所示。 t 0 时电路处于稳态，t 0 时开关S断开。已知：R1 = 3 ，R2 = 4 ，R3 = 8 ，R4
有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生 变化（换路）时（如：电路接入电源、从电源断 开、电路参数改变等）存在过渡过程； 没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡 过程。 电路中的 u、i 在过渡过程期间，从“旧稳态”进
入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，
电工电子技术第5章一阶电路的暂态分析
∴
dW ≠∞ dt
→W(t) 是连续函数（不能跃变）。
结论 ①具有储能的电路在换路时产生暂态是一种自然现象。 ②无论是直流电路还是交流电路均有暂态。
三、名词术语
激励：电路从电源（包括信号源）输入的信号 统称为激励。 响应：电路在外部激励的作用下，或者在内部 储能的作用下产生的电压和电流统称为响应。 阶跃激励
例5.3 已知 U0 = 18 V， S 合上前电路为稳 态，当 t = 0 时将 S 合上。求 uC (t) 和 i (t) 。
解：(1) 求 uC (t) ∵ S 合上前电路为稳态，
∴ uC (0－) = 0 则 uC (0＋) = uC (0－) = 0 原电路等效为右下图，
磁场能量:
WL =∫p dt
=∫u i dt
=
1 2L
i
2
结论
① 当 i = 0 时，WL = 0；当 u = 0 时，WL ≠ 0 。 ② 电感电流是电感的状态变量。
i ＋－ ue L －＋
2. 电容（线性电容） q=Cu
dq
du
i = dt = C dt
瞬时功率: du
p = u i = C u dt
iS i2 R2 6
例5.2 图示电路，已知 S 合上前电路为稳
态，当 t = 0 时将 S 合上。求 iL 和 uL 的初始值 和稳态值。
解：(1) 求初始值 对于稳态直流电路
uL (0－) = 0
R1
iL
10 k ＋
IS
L uL －
S 30 mA
iL (0－) =
RR1＋2=IR1S02 mA
p=－
1 RC
时间常数 = RC (s)
一阶电路暂态分析的三要素法
－t/RC
iC＝ －uC(t)／R
e t/ ＝－(US／R) － RC
ri = US / r
返回
例5、图示电路中U=20V,R=50KΩ,C=4μF,
u 1 2 1 在t=0时闭合S ,在T=0.1秒时闭合S ,试求S2闭合后的 C(t),并画出曲线,设S 闭合前 uC=0.
S1
解:S1闭合后:
u u C(0+)= C(0-)=0 uC(∞)= U = 20V
t = 6+(12－6)e－114 V t τ= [(R=16//+R62)e+－R131]4 ·CV=8.8×10－3s
返回
例4、图中电路原已稳定，求开关闭合后的 uC 和 iK 。
ir iC
r
u u 解：
( )= ( ) C 0+
C 0－ = US
iK
uC(∞)= 0
+C
uC
－US
R
τ = RC uC(t)=USe
因此将初始值、稳态值、时间常数τ 称为一阶电路的三要素。
返回
二、求解一阶电路的三要素法
全响应= 稳态分量+暂态分量
用f (t)表示电路中的某一元件的电压或电流, f (∞)表示稳态值, f (0+)表示初始值，τ
为时间常数。
f (t)=f (∞)+Ae－t／τ
e f (t)=f (∞) +[ f (0+) －f (∞)] －t／τ
R2=3kΩ，R3=1kΩ，R=5kΩ ，E=10V，换路前处于
稳态，在t 线。
=
0时将S由1打向2uC，(V试) 求uC(t)，画出曲
1 S R1
解:
一阶电路分析
１２（ａ）、(b)、(c)所示。其中ＲC为 电容极板间介质损耗，ＬＣ为电容引线
仅需要了解它的电容量，还要注意不得 超过它的额定电压。电压过大会使电容 器介质击.２ 换路定则及初始值计算
在电路分析中，把电路元件的连 接方式或参数的突然改变称为换路。 换路常用开关来完成。换路意味着电
与电阻元件相类似，若约束电容元件
的ｑ-u平面上的曲线为通过原点的直线，
则称它为线性电容；否则为非线性电容。 若曲线不随时间而变化，则称为非时变电
５.１.
电路理论中，电感元件是(实际)电感
通常把导线绕成线圈称为电感器或电 感线圈。当线圈通过电流时即在其线圈内 外建立磁场并产生磁通Φ，如图５-７所示。 各线匝磁通的总和称为磁链ψ（若线圈匝
(2)找出所需的初始条件求解微分 方程。
应用换路定则是有条件的，即必须
保证电路在换路瞬间电容电流、电感电
压为有限值。表现在电路结构上则要求
电路在换路后不形成仅由uＳ-Ｃ或Ｃ-Ｃ
构成的回路(简称全电容回路)以及仅由
ｉＳ-Ｌ或Ｌ-Ｌ构成的割集(简称全电感
割集)。一般电路均能满足这个条件，换 路定则成立。对某些不满足上述条件的
电感电流一般情况下不能跳变也
电感元件和电容元件是互为对偶 元件，它们的含义、特性都具有相应 的对偶关系。
5.1.3电容器和电感器的模型
实际部件可以近似地用理想电路元件 作为它的模型，条件不同，即使是同一个
实际电感器(电感线圈)可以用图５-
１１（ａ）电感元件作为其模型。如果
线圈的绕线电阻的影响不能忽略，则其
第5章 一阶电路分析
５.１ 电容元件和电感元件 ５.２ 换路定则及初始值计算 ５.３ 一阶电路的零输入响应 ５.４ 一阶电路的零状态响应 ５.５ 一阶电路的全响应 ５.６ 一阶电路的三要素法 ５.７ 一阶电路的特殊情况分析 ５.８ 阶跃信号和阶跃响应 ５.９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析
仅需要了解它的电容量，还要注意不得 超过它的额定电压。电压过大会使电容 器介质击.２ 换路定则及初始值计算
在电路分析中，把电路元件的连 接方式或参数的突然改变称为换路。 换路常用开关来完成。换路意味着电
与电阻元件相类似，若约束电容元件
的ｑ-u平面上的曲线为通过原点的直线，
则称它为线性电容；否则为非线性电容。 若曲线不随时间而变化，则称为非时变电
５.１.
电路理论中，电感元件是(实际)电感
通常把导线绕成线圈称为电感器或电 感线圈。当线圈通过电流时即在其线圈内 外建立磁场并产生磁通Φ，如图５-７所示。 各线匝磁通的总和称为磁链ψ（若线圈匝
(2)找出所需的初始条件求解微分 方程。
应用换路定则是有条件的，即必须
保证电路在换路瞬间电容电流、电感电
压为有限值。表现在电路结构上则要求
电路在换路后不形成仅由uＳ-Ｃ或Ｃ-Ｃ
构成的回路(简称全电容回路)以及仅由
ｉＳ-Ｌ或Ｌ-Ｌ构成的割集(简称全电感
割集)。一般电路均能满足这个条件，换 路定则成立。对某些不满足上述条件的
电感电流一般情况下不能跳变也
电感元件和电容元件是互为对偶 元件，它们的含义、特性都具有相应 的对偶关系。
5.1.3电容器和电感器的模型
实际部件可以近似地用理想电路元件 作为它的模型，条件不同，即使是同一个
实际电感器(电感线圈)可以用图５-
１１（ａ）电感元件作为其模型。如果
线圈的绕线电阻的影响不能忽略，则其
第5章 一阶电路分析
５.１ 电容元件和电感元件 ５.２ 换路定则及初始值计算 ５.３ 一阶电路的零输入响应 ５.４ 一阶电路的零状态响应 ５.５ 一阶电路的全响应 ５.６ 一阶电路的三要素法 ５.７ 一阶电路的特殊情况分析 ５.８ 阶跃信号和阶跃响应 ５.９ 脉冲序列作用下的一阶电路分析
一阶电路分析
一阶电路分析一阶电路:只含有一个动态元件的电路.一阶电路的描述方程为一阶线性常微分方程.稳态:电路达到的稳定状态.过渡状态(暂态): 由一种稳态到达另一种新的稳态的过程.一、分析方法(激励为直流量时);1.经典法:根据KCL,KVL,VCR（动态元件）列写线性常微分方程，求解线性常微分方程的方法。
2.三要素法：f(t)=f(∞)+[f(0+)- f(∞)]e-t/гf(0+)是暂态过程中变量的初始值，f(∞)是变量的稳态值，г是暂态过程中的时间常数，这三者称之为三要素。
三要素法适用于零输入，零状态，全响应的求解。
但是他的先决条件是其只适用于直流激励作用下的一阶电路。
换路定则：Uc(0+)=Uc(0-), i L（0+）= i L（0-）初值的计算1.计算Uc(0-)和i L（0-）, (画0-时刻等效电路图,L短路,C开路.)2.确定独立初始值Uc(0+)和i L（0+）(换路定则)3.计算非独立初始值U(0+)和i（0+）(画出0+时刻等效电路,L、C分别用电流源、电压源代替eg:电路如图1所示，在t=0时，开关S闭合，开关闭合前电路已处于稳态。
求初始值Uc（0+）和i（0+）解：（1）求初始状态Uc（0-）。
开关S闭合前电路已处于直流稳态，电容看做开路，得到环路前0-时刻等效电路图如图2所示，得Uc（0-）= -10V（2）确定独立初始值Uc（0+）一阶电路中电容电压不能突变，由换路定则得：Uc（0-）= Uc（0+）= -10V（3）由0+时刻等效电路确定初始值i（0+）。
电容用电压值为Uc（0+）的电压源替代，换路后的0+时刻等效电路图如图3所示，则根据回路电压方程得10 i（0+）+10【i（0+）-1】+ Uc（0+）+10=0i（0+）=0.5mA二、分析方法（激励为正弦量）方法：相量法。
将时域转化到复数域进行运算。
（但激励必须是单一频率的正选信号）。
*当激励为多个不同频率正选信号作用时，先借助相量法，分别求出各个不同频率正弦信号作用下的正弦稳态响应分量。
第5章 一阶动态电路分析
p为１式对应的特征方程的根。将２式代入１式可 得特征方程为 RCP+1=0
从而解出特征根为
则通解
1 p RC
6
uC Ae
t RC
３式
将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为
uC (0 ) A R 0 I S
将 uc (0 ) 代入３式，得到满足初始值的微分 方程的通解为
安培 伏特
库仑 秒 库仑 / 秒
故称τ为时间常数, 这样４、５两式可分别写为
uC uC (0 )e
t
t≥0 t≥0
i i (0 )e
t
1 由于 p 为负，故uc和 i 均按指数规律衰减， RC
它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及
R0 I S i (0 ) R
当t→∞时，uc和 i 衰减到零。
8
画出uc及i的波形如下图所示。
图 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
9
由此可见，时间常数τ 是表示放电快慢 的物理量。时间常数越大，放电速度越慢； 反之，则放电越快。
定性地看，时间常数τ 与电阻R和电容C
的取值呈正比。当R增大时，放电电流减
小，电容放电时间增长；当C增大时，电
容电压相同的情况下存储的电荷量增大，
放电时间增长。
5.1.2 RL电路的零输入响应
10
一阶RL电路如图5-1-2(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电 路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以 在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中 产生电流和电压，如图5-1-2 (b)所示。由于t>0后，放电 回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所 以为零输入响应。
从而解出特征根为
则通解
1 p RC
6
uC Ae
t RC
３式
将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为
uC (0 ) A R 0 I S
将 uc (0 ) 代入３式，得到满足初始值的微分 方程的通解为
安培 伏特
库仑 秒 库仑 / 秒
故称τ为时间常数, 这样４、５两式可分别写为
uC uC (0 )e
t
t≥0 t≥0
i i (0 )e
t
1 由于 p 为负，故uc和 i 均按指数规律衰减， RC
它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及
R0 I S i (0 ) R
当t→∞时，uc和 i 衰减到零。
8
画出uc及i的波形如下图所示。
图 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
9
由此可见，时间常数τ 是表示放电快慢 的物理量。时间常数越大，放电速度越慢； 反之，则放电越快。
定性地看，时间常数τ 与电阻R和电容C
的取值呈正比。当R增大时，放电电流减
小，电容放电时间增长；当C增大时，电
容电压相同的情况下存储的电荷量增大，
放电时间增长。
5.1.2 RL电路的零输入响应
10
一阶RL电路如图5-1-2(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电 路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以 在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中 产生电流和电压，如图5-1-2 (b)所示。由于t>0后，放电 回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所 以为零输入响应。
一阶电路的三要素分析法
后如果使用智慧盒供电连线如图6-2-17所示，使用NEWLab底座供电连接如图6-2-18所示，将st-link仿
真器的20PIN的头与M3主控模块的J1脚相连。
图6-2- 16 ST-LINK仿真器
图6-2- 17 智慧盒供电
图6-2- 18 底座供电
步骤2 打开仿真器下载软件STM32 ST-LINK Utility如右图所示。 步骤3 打开软件后，点击界面中Program verify，如下图所示。
《电路分析与实践项目化教程》
简单低通滤波电路的设计
直流激励下的一阶动态电路分析
一阶电路的三要素分析法
《电路分析与实践项目化教程》
目录
CONTENTS
1 什么是一阶电路的三要素 2 一阶电路三要素法的解题步骤 3 一阶电路三要素法的实例
一、什么是一阶电路的三要素
电路变量由初始值向新的稳态值过渡，并且按照指数规律逐渐趋向 新的稳态值，而过渡的快慢取决于时间常数。因此我们把初始值、稳 态值、时间常数称为一阶动态电路的三要素。一阶电路的全响应为：
f (t) = f (∞) + [f (0+)－f (∞) ] e -t/τ 式中f (t) -----电路中任意处的电压或电流
f (∞) -----电压或电流的稳态值 f (0+) ----换路后一瞬间电压或电流的初始值
τ-------电路的时间常数
一 二、一过阶渡电过路程三要素法的解题步骤
三要素法解题步骤如下： （1）确定电压或电流初始值f (0+)
步骤6 点击下一步
步骤7 选择STM32F1_High-density_512K，点击下一步
步 骤 8 选择download to device选项，选择需要下载的固件地址，并选择Erase necessary
电工技术基础第五章第一节 换路定则及初始值
第一篇 电路分析 三、初始值
例1：t＜0时电路为稳态，
t＝0时开关S断开，求i(0+)。
R1＝5，R2＝3，R3＝9 R4＝10，US2 12 V US1 27 V
解：（1）求uC1(0+)、 uC2(0+)
uC2 (0 )
US2 R2 R3
R2
12 39
3
V
3
V
I4
US1 US2 R1 R4
为正弦交流稳态电量y(∞) ，称为稳态电路。
第一篇 电路分析 一、一阶电路的基本概念 •产生RC稳过：端定渡耗电状过能压态程元＝的件0 元,不件充产放：电生电过渡C过稳端程定电状压态=UC
C、L：储能元过件渡，过当程状态发生变化时，不能瞬时 完成，将引起过渡过程。
由一种稳态转变到另一种稳态过程，在工程上称 为过渡过程。又由于过渡过程在时间上是短暂的，所 以又称暂态过程。
R1 R2 4 C 2 F US1 10 V US2 16 V
第一篇 电路分析 二、换路定则
例1：开关S动作前电路已处于稳态，在t＝0时开关S由 b点连接到a点，试求电容电压uC(0＋)。
R1 R2 4 C 2 F US1 10 V US2 16 V
解： uC (0 ) US1 10 V
令t0 0－，t＝0＋：
uC
(0＋
)
uC
(0－ )
1 C
0＋ 0－
iCdt
uC (0－)
第一篇 电路分析 二、换路定则 在 t =0换路瞬间：
L的电流不发生跃变：iL(0＋)＝iL(0－) C端电压不发生跃变：uC(0＋)＝uC(0－)
例1：开关S动作前电路已处于稳态，在t＝0时开关S由 b点连接到a点，试求电容电压uC(0＋)。
第5章 一阶电路分析
解：先写出电容电流的数学表达式：
1( A) iC (t ) = i S (t ) = 0 0 < t <1 t >1
根据电容的VCR的积分形式，得：
0 ≤ t <1
t ≥1
1 t u C (t ) = u C (0) + ∫ iC (ξ ) dξ = (0.5 + 0.5t )(V ) C 0
uL + uR = 0 u R = Ri L di L uL = L dt 或 i L (0 + ) = I 0 t >0
整理得：
L di L + iL = 0 R dt i L (0 + ) = I 0 t>0
从上式可知，RC是一个与时间有关的量，它的量纲应 该是秒。我们称之为电路的时间常数，用τ来表示。 注意到，当t=5τ时，上式有
u C (5τ ) = U 0 e = 0.0067U 0
与稳态相比很小，认为这时电路达到了新的稳态。
−5
电容的零状态响应也称为电容放电，时间常数越小，放 电越快。见图5-21所示。当放电时间等于时间常数时，电容 两端的电压下降到原来的36.8%。有关时间常数的测定可利 用如下式了来确定。
RC电路的零输入响应。所谓的零输入，就是电路没有 激励。对于图5-18所示电路。有：
uC − u R = 0 u R = Ri du C i = −C dt 及 u C (0 + ) = U 0 t>0
上述方程可化为：
du C RC + uC = 0 dt u C (0 + ) = U 0 t>0
电感的符号如图5-8所示。线性时不变电感的磁链与电流的 关系式如下式：
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后迭加。 u(t) uC(t) uL (t)
RC部分： t=0
1A
+ 1A 1
2
uC
0.5F -
0.5F +u- C +
1H uL -
+
2
u(t)
2 _
uC (0 ) uC (0 ) 1V
uC () 2 V
C RC 1s
所以 uC (t) 2 et V
t 0
RL部分： t=0
1A
U0
uC(t) US <U0
US
US
uCp(t)
uCzS(t)
U0 -US
uCh(t)
uCzi(t)
t
t
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
5-6 一阶电路的三要素法
R
+
+
RC
duC (t dt
)
uC
(t
)
uS
(t 0)
uS -
C
uC -
uC (0 ) U0
直流激励下一阶电路的全响应取决于
r(0+)，r()和 这三个要素。只要分
别计算出这三个要素，就能够确定全响 应，而不必建立和求解微分方程。这种 方法称为三要素法。
三要素法求直流激励下响应的步骤：
1.初始值r(0+)的计算（换路前电路已稳 定）(1) 画t=0-图，求初始状态：电容 电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。
t=0+
2
+ 3
-
2V
-
0.5F u- C
解：求初始状态 uC (0 ) 3 V iL (0 ) 1A
换路后，电路可分成两部分
1 0.1H iL
6
+
+ + 2
10V
2V 2V
+ 3
-
-
- 0.5F u- C
iL (0 ) iL (0 ) 1A uC (0 ) uC (0 ) 3V
iL () 8 A uC () 2 / 3 V
L L / R 0.1 s C RC 2 s
所以 iL (t) 8 7e10t V t 0
uC (t)
2 3
7 e0.5t 3
V
t 0
5-7 一阶电路的特殊情况分析
1.R＝0或G＝0的情况；
2.特殊情况——电路含全电容回路 或全电感割集； 电容电压和电感电流不连续，即跳 变——换路定则失效。 求初试值依据——瞬间电荷守恒， 磁链守恒
例19 开关在a时电路已稳定。t=0倒向
b,t=R1C倒向c，求t0的iC(t)并画波形
解 ： t<0 时 ， c
R1
uC(0-)=0 。 第 一次换路后由 换路定则得：
R2
+
Us
-
b
a
iC(t)
C
+
Us
R1
iC(t)
C
uC (0 ) uC (0 ) 0 uC () US
-
1 R1C
R1
2
2
2，计算稳态值uC()、i()
换路后，经一 2A 段时间，重新 达到稳定，电 4 容开路，终值
+
uC
() -
2 i()
+
4 10V
-
图如右，运用
叠加定理得
uC() (4 // 4
//
2)
2
2
4
// 4
4i() 10 uC() 10 7 1.5A
2
2
3，计算时间常数
取极限，得
L
R0 iL(t) 2 A
最后，得 i(t) 2 课件2 0 A
39
可见，采取极限的方法，三要素公式仍然 是成立的。
对偶地，储存电场能电容的情况。
+
－2V
R0
1t
uC (t) 2e RC 2 V
课件
40
例21 已知:uC1(0-)=U1, uC2 (0-)=U2 ，试求uC1(0+), uC2(0+)
uC (0
1t
)e
uC ()(1
1t
e )
uC
()
[uC
(0
)
uC
1
()]e
t
就推广到一般，得出结论，所有的响应
课件
14
rzi
(t
)
r
(0
)e
1
t
1t
rzs (t) r()(1 e )
应该是：
rzi (t)
rzi
(0
1t
)e
rzs
(t
)
r()
[rzs
(0
)
r
()]e
1
t
课件
15
如求全响应iC (t)。
0 图
+ U－S
R
uC (0
)
U+0
iC (t) C
－
+ U－S
R
+ iC (0 )
U0
－
r(0 ) iC (0 ) iCzi (0 ) iCzs (0 )
内激励引起
外激励引起
课件
16
从另一个角度说：
只有 电容电压 和 电感电流 ，只要知道全 响应表达式，就可以把它分成零输入响应 (分量)和零状态响应(分量) 。
33
iC (t)
US R1
1t
e R1C A
iC US/R1
1
0 t R1C
US (1 e1)
1
R1 R2
2 t
iC
(t)
US (1 e1) R1 R课2件
e(
t R1C R1 R2 )C
t R1C
34
例20 原电路已稳定。求t0的iL(t)和
uC(t)。
1 0.1H iL 6
+
10V
-
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+)
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4电阻中，
uC (0 ) 4 2 8V
由于开关转换时，电容电流有界，电容
电压不能跃变，故
uC (0 ) uC (0 ) 8V
画0+图如右2A
4
2 i(0+)
+
+
8V 4
-
10V
-
i(0 ) 10 uC (0 ) 10 8 1A
r(0+) r()<r(0+)
r()>r(0+)
r(0+)
r()
t
t
可见，直流激励下一阶电路中任一响应
总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规
律增长或衰减到稳态值r()，响应的快
慢取决于的时间常数 。
课件
10
注意：（1） 直流激励； （2）一阶电 路任一支路的电压或电流的（全）响应 ； （3）适合于求零输入响应和零状 态响应。
uC
US
(t 0)
其解为
t
uC (t) uCh (t) uCp (t) Ae RC US
代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可
得
uC (0 ) U0 A US
求得
A U0 US
则：uC (t)
uCh (t)
uCp (t)
(U 0
U S )e
t RC
US
t
uC (t) (U0 US )e US 全响应 固有响应 强制响应
电流源的电流is。其通解为
t
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae rp (t )
t=0+代入，得： A r(0 ) rp (0 )
因而得到
r(t)
rp (t )
[r(0
)
rp (0
)]e
t
,
t
0
一阶电路任意激励下uC(t)和iL(t)响
应的公式
推广应用于任意激励下任一响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
画0+图如右, 用节点法
a + u (0+) -
2A 4
4
uab
(0
)(
1 4
1) 4
2
2i(0 4
)
4i(0 ) uab (0 )
i(0+)+ 2i (0+) -
b
解得： i(0 ) 0.8A uab (0 ) 3.2V
则：
u(0 ) 4.8 V
2，计算稳态值u()、i()
2
1H
+ 1A
uL
1
-
0.5F +u- C +
1H uL -
+
2
u(t)
2 _
iL (0 ) iL (0 ) 2A
所以
uL (0 ) 2 V
uL (t) 2e2t V t 0
uL () 0
u(t) uC (t) uL (t)
L L / R 0.5s 2 et 2e2t V t 0
3.所谓“陷阱”。
例如：电路原已稳定，求开关动作后的电
流i。
解： t 0 , iL (0 ) 2 A
1H 5
5 + 由换路定则：
iL
t=0 i
10V
-
t 0 , iL(0 ) 2 A
如果认为 R0 0
得 R0 0
用三要素公式，得 iL () 0
RC部分： t=0
1A
+ 1A 1
2
uC
0.5F -
0.5F +u- C +
1H uL -
+
2
u(t)
2 _
uC (0 ) uC (0 ) 1V
uC () 2 V
C RC 1s
所以 uC (t) 2 et V
t 0
RL部分： t=0
1A
U0
uC(t) US <U0
US
US
uCp(t)
uCzS(t)
U0 -US
uCh(t)
uCzi(t)
t
t
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
5-6 一阶电路的三要素法
R
+
+
RC
duC (t dt
)
uC
(t
)
uS
(t 0)
uS -
C
uC -
uC (0 ) U0
直流激励下一阶电路的全响应取决于
r(0+)，r()和 这三个要素。只要分
别计算出这三个要素，就能够确定全响 应，而不必建立和求解微分方程。这种 方法称为三要素法。
三要素法求直流激励下响应的步骤：
1.初始值r(0+)的计算（换路前电路已稳 定）(1) 画t=0-图，求初始状态：电容 电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。
t=0+
2
+ 3
-
2V
-
0.5F u- C
解：求初始状态 uC (0 ) 3 V iL (0 ) 1A
换路后，电路可分成两部分
1 0.1H iL
6
+
+ + 2
10V
2V 2V
+ 3
-
-
- 0.5F u- C
iL (0 ) iL (0 ) 1A uC (0 ) uC (0 ) 3V
iL () 8 A uC () 2 / 3 V
L L / R 0.1 s C RC 2 s
所以 iL (t) 8 7e10t V t 0
uC (t)
2 3
7 e0.5t 3
V
t 0
5-7 一阶电路的特殊情况分析
1.R＝0或G＝0的情况；
2.特殊情况——电路含全电容回路 或全电感割集； 电容电压和电感电流不连续，即跳 变——换路定则失效。 求初试值依据——瞬间电荷守恒， 磁链守恒
例19 开关在a时电路已稳定。t=0倒向
b,t=R1C倒向c，求t0的iC(t)并画波形
解 ： t<0 时 ， c
R1
uC(0-)=0 。 第 一次换路后由 换路定则得：
R2
+
Us
-
b
a
iC(t)
C
+
Us
R1
iC(t)
C
uC (0 ) uC (0 ) 0 uC () US
-
1 R1C
R1
2
2
2，计算稳态值uC()、i()
换路后，经一 2A 段时间，重新 达到稳定，电 4 容开路，终值
+
uC
() -
2 i()
+
4 10V
-
图如右，运用
叠加定理得
uC() (4 // 4
//
2)
2
2
4
// 4
4i() 10 uC() 10 7 1.5A
2
2
3，计算时间常数
取极限，得
L
R0 iL(t) 2 A
最后，得 i(t) 2 课件2 0 A
39
可见，采取极限的方法，三要素公式仍然 是成立的。
对偶地，储存电场能电容的情况。
+
－2V
R0
1t
uC (t) 2e RC 2 V
课件
40
例21 已知:uC1(0-)=U1, uC2 (0-)=U2 ，试求uC1(0+), uC2(0+)
uC (0
1t
)e
uC ()(1
1t
e )
uC
()
[uC
(0
)
uC
1
()]e
t
就推广到一般，得出结论，所有的响应
课件
14
rzi
(t
)
r
(0
)e
1
t
1t
rzs (t) r()(1 e )
应该是：
rzi (t)
rzi
(0
1t
)e
rzs
(t
)
r()
[rzs
(0
)
r
()]e
1
t
课件
15
如求全响应iC (t)。
0 图
+ U－S
R
uC (0
)
U+0
iC (t) C
－
+ U－S
R
+ iC (0 )
U0
－
r(0 ) iC (0 ) iCzi (0 ) iCzs (0 )
内激励引起
外激励引起
课件
16
从另一个角度说：
只有 电容电压 和 电感电流 ，只要知道全 响应表达式，就可以把它分成零输入响应 (分量)和零状态响应(分量) 。
33
iC (t)
US R1
1t
e R1C A
iC US/R1
1
0 t R1C
US (1 e1)
1
R1 R2
2 t
iC
(t)
US (1 e1) R1 R课2件
e(
t R1C R1 R2 )C
t R1C
34
例20 原电路已稳定。求t0的iL(t)和
uC(t)。
1 0.1H iL 6
+
10V
-
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+)
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4电阻中，
uC (0 ) 4 2 8V
由于开关转换时，电容电流有界，电容
电压不能跃变，故
uC (0 ) uC (0 ) 8V
画0+图如右2A
4
2 i(0+)
+
+
8V 4
-
10V
-
i(0 ) 10 uC (0 ) 10 8 1A
r(0+) r()<r(0+)
r()>r(0+)
r(0+)
r()
t
t
可见，直流激励下一阶电路中任一响应
总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规
律增长或衰减到稳态值r()，响应的快
慢取决于的时间常数 。
课件
10
注意：（1） 直流激励； （2）一阶电 路任一支路的电压或电流的（全）响应 ； （3）适合于求零输入响应和零状 态响应。
uC
US
(t 0)
其解为
t
uC (t) uCh (t) uCp (t) Ae RC US
代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可
得
uC (0 ) U0 A US
求得
A U0 US
则：uC (t)
uCh (t)
uCp (t)
(U 0
U S )e
t RC
US
t
uC (t) (U0 US )e US 全响应 固有响应 强制响应
电流源的电流is。其通解为
t
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae rp (t )
t=0+代入，得： A r(0 ) rp (0 )
因而得到
r(t)
rp (t )
[r(0
)
rp (0
)]e
t
,
t
0
一阶电路任意激励下uC(t)和iL(t)响
应的公式
推广应用于任意激励下任一响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
画0+图如右, 用节点法
a + u (0+) -
2A 4
4
uab
(0
)(
1 4
1) 4
2
2i(0 4
)
4i(0 ) uab (0 )
i(0+)+ 2i (0+) -
b
解得： i(0 ) 0.8A uab (0 ) 3.2V
则：
u(0 ) 4.8 V
2，计算稳态值u()、i()
2
1H
+ 1A
uL
1
-
0.5F +u- C +
1H uL -
+
2
u(t)
2 _
iL (0 ) iL (0 ) 2A
所以
uL (0 ) 2 V
uL (t) 2e2t V t 0
uL () 0
u(t) uC (t) uL (t)
L L / R 0.5s 2 et 2e2t V t 0
3.所谓“陷阱”。
例如：电路原已稳定，求开关动作后的电
流i。
解： t 0 , iL (0 ) 2 A
1H 5
5 + 由换路定则：
iL
t=0 i
10V
-
t 0 , iL(0 ) 2 A
如果认为 R0 0
得 R0 0
用三要素公式，得 iL () 0