电路 第五章 一阶电路分析3

0 图
+ U－S
R
uC (0
)
U+0
iC (t) C
－
+ U－S
R
+ iC (0 )
U0
－
r(0 ) iC (0 ) iCzi (0 ) iCzs (0 )
内激励引起
外激励引起
课件
16
从另一个角度说：
只有 电容电压 和 电感电流 ，只要知道全 响应表达式，就可以把它分成零输入响应 (分量)和零状态响应(分量) 。
直流激励下一阶电路的全响应取决于
r(0+)，r()和 这三个要素。只要分
别计算出这三个要素，就能够确定全响 应，而不必建立和求解微分方程。这种 方法称为三要素法。
三要素法求直流激励下响应的步骤：
1.初始值r(0+)的计算（换路前电路已稳 定）(1) 画t=0-图，求初始状态：电容 电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。
(t 0)
全响应 瞬态响Leabharlann Baidu 稳态响应
上式可改写为
t
t
uC (t) U0e US (1 e ) (t 0)
全响应＝零输入响应＋零状态响应
也就是说电路的完全响应等于零输入 响应与零状态响应之和。这是线性动 态电路的一个基本性质，是响应可以 叠加的一种体现。
U0
uC(t) US <U0
-
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+)
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4电阻中，
uC (0 ) 4 2 8V
由于开关转换时，电容电流有界，电容
电压不能跃变，故
uC (0 ) uC (0 ) 8V
画0+图如右2A
4
2 i(0+)
+
+
8V 4
-
10V
-
i(0 ) 10 uC (0 ) 10 8 1A
uC (0 ) uC (0 ) 0
画0+图如右, 用节点法
a + u (0+) -
2A 4
4
uab
(0
)(
1 4
1) 4
2
2i(0 4
)
4i(0 ) uab (0 )
i(0+)+ 2i (0+) -
b
解得： i(0 ) 0.8A uab (0 ) 3.2V
则：
u(0 ) 4.8 V
2，计算稳态值u()、i()
L L / R 0.1 s C RC 2 s
所以 iL (t) 8 7e10t V t 0
uC (t)
2 3
7 e0.5t 3
V
t 0
5-7 一阶电路的特殊情况分析
1.R＝0或G＝0的情况；
2.特殊情况——电路含全电容回路 或全电感割集； 电容电压和电感电流不连续，即跳 变——换路定则失效。 求初试值依据——瞬间电荷守恒， 磁链守恒
u(t ) 4.8e10t V
(t 0)
i(t) 2 (0.8 2)e10t 2 1.2e10t A (t 0)
例18 求u(t)。已知： uC(0 ) 1V, iL(0 ) 2A
t=0 + u -
+
+
1A 1
0.5F
u- C
2
u(t)
1H iL
2 _
解：电路可分成两部分分别求响应，然
在直流输入的情况下，t时，
rh(t)0， rp(t)为常数，则有
因而得到 rp (t ) r() rp (0 )
r(t)
r()
[r(0
)
r()]e
t
,
t
0
r(0+) ——响应的初始值 三要素：
r() ——响应的终值，
——时间常数=RC, =L/R
r(t) 三要素公式的 r(t)
r()
响应波形曲线
计算与电容相连接的电阻单口网络的 输出电阻，它是三个电阻的并联
2A
4
2 i(t)
+
+
uC 4 10V
-
-
Ro 4 // 4 // 2 1
时间常数为 τ RoC 1 0.1 0.1s
4，将初始值、终值及时间常数代 入三要素公式，得到响应表达式：
uC(t) 7 (8 7)e10t 7 1e10tV (t 0)
后迭加。 u(t) uC(t) uL (t)
RC部分： t=0
1A
+ 1A 1
2
uC
0.5F -
0.5F +u- C +
1H uL -
+
2
u(t)
2 _
uC (0 ) uC (0 ) 1V
uC () 2 V
C RC 1s
所以 uC (t) 2 et V
t 0
RL部分： t=0
1A
2
1H
+ 1A
uL
1
-
0.5F +u- C +
1H uL -
+
2
u(t)
2 _
iL (0 ) iL (0 ) 2A
所以
uL (0 ) 2 V
uL (t) 2e2t V t 0
uL () 0
u(t) uC (t) uL (t)
L L / R 0.5s 2 et 2e2t V t 0
U0
uC(t) US <U0
US
US
uCp(t)
uCzS(t)
U0 -US
uCh(t)
uCzi(t)
t
t
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
5-6 一阶电路的三要素法
R
+
+
RC
duC (t dt
)
uC
(t
)
uS
(t 0)
uS -
C
uC -
uC (0 ) U0
3.所谓“陷阱”。
例如：电路原已稳定，求开关动作后的电
流i。
解： t 0 , iL (0 ) 2 A
1H 5
5 + 由换路定则：
iL
t=0 i
10V
-
t 0 , iL(0 ) 2 A
如果认为 R0 0
得 R0 0
用三要素公式，得 iL () 0
R0 t
iL (t) 2e L A
取极限，得
L
R0 iL(t) 2 A
最后，得 i(t) 2 课件2 0 A
39
可见，采取极限的方法，三要素公式仍然 是成立的。
对偶地，储存电场能电容的情况。
+
－2V
R0
1t
uC (t) 2e RC 2 V
课件
40
例21 已知:uC1(0-)=U1, uC2 (0-)=U2 ，试求uC1(0+), uC2(0+)
电流源的电流is。其通解为
t
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae rp (t )
t=0+代入，得： A r(0 ) rp (0 )
因而得到
r(t)
rp (t )
[r(0
)
rp (0
)]e
t
,
t
0
一阶电路任意激励下uC(t)和iL(t)响
应的公式
推广应用于任意激励下任一响应
5-5 一阶电路的全响应
全响应：由储能元件的初始储能和 独立电源共同引起的响应。
下面讨论RC串联电路在直流电压源作 用下的全响应。已知：uC(0-)=U0。 t=0时开关闭合。
R
+
Us -
t=0
i+
C uC(0-)=U0 -
为了求得电容电压的全响应，以uC(t) 为变量，列出电路的微分方程
RC
duC dt
(2)由换路定则，确定电容电压或电感电 流初始值，即uC(0+)=uC(0-)和 iL(0+)=iL(0-)。
(3)画0+图，求其它初始值——用数值 为uC(0+)的电压源替代电容或用iL(0+) 的电流源替代电感，得电阻电路再计算
2，稳态值r()的计算(画终了图) 根据t>0电路达到新的稳态，将电容用 开路或电感用短路代替，得一个直流电 阻电路，再从稳态图求稳态值r()。
iS
iL
GL
diL (t dt
)
iL
(t
)
iS
(t 0)
G L iL (0 ) I0
若 用 r(t) 来 表 示 电 容 电 压 uC(t) 和 电 感 电流iL(t)，上述两个电路的微分方程
可表为统一形式
dr (t ) dt
r(t)
w(t)
(t 0)
r(0 )
r(0+)表示电容电压的初始值uC(0+)或电 感电流的初始值iL(0+)； =RC 或 =GL=L/R；w(t)表示电压源的电压uS或
uC
US
(t 0)
其解为
t
uC (t) uCh (t) uCp (t) Ae RC US
代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可
得
uC (0 ) U0 A US
求得
A U0 US
则：uC (t)
uCh (t)
uCp (t)
(U 0
U S )e
t RC
US
t
uC (t) (U0 US )e US 全响应 固有响应 强制响应
3，时间常数 的计算(开关已动作)
先计算与电容或电感连接的电阻单口网
络的输出电阻Ro，然后用公式 =RoC 或 =L/Ro计算出时间常数。
4，将r(0+),r()和 代入三要素公式得
到响应的一般表达式。
注意点：三要素公式可以计算全响应、 零输入响应分量和零状态响应。但千万 不要认为
1t
1t
uC (t) U0e U S (1 e )
+ US(1-e-1)
-
uC (R1C ) uC (R1C ) US (1 e1)
得t=R1C+ 图如上：
iC
( R1C
)
R1
1
R2
US (1
e 1 )
iC () 0 2 (R1 R2 )C
iC
(t
)
US (1 e1) R1 R2
e
(
t R1C R1 R2 )C
课件
t R1C
i(t) 1.5 (1 1.5)e10t 1.5 0.5e10t A (t 0)
下面看响应过程——波形
i(t)
1.5 5/3 1
8 uC(t)
t
7
0
t
课件
23
例17 求u(t)和i(t)。
+u-
已知：uC (0 ) 0 2A 4 4
t=0 +
0.01F uC
i + 2i - -
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+) 零状态电路，由换路定则得：
r(0+) r()<r(0+)
r()>r(0+)
r(0+)
r()
t
t
可见，直流激励下一阶电路中任一响应
总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规
律增长或衰减到稳态值r()，响应的快
慢取决于的时间常数 。
课件
10
注意：（1） 直流激励； （2）一阶电 路任一支路的电压或电流的（全）响应 ； （3）适合于求零输入响应和零状 态响应。
+
iC(t)
Us
C
iC
(0
)
US R1
iC () 0
-
iC (t)
US R1
1
e R1C
t
A
0 t R1C
1t
uC (t) US (1 e R1C ) 0 t R1C
uC (R1C ) US (1 e1)
t=R1C 时 ， 第 二 次换路, 由换路 定则得：
R2
R1
iC(R1C +)
33
iC (t)
US R1
1t
e R1C A
iC US/R1
1
0 t R1C
US (1 e1)
1
R1 R2
2 t
iC
(t)
US (1 e1) R1 R课2件
e(
t R1C R1 R2 )C
t R1C
34
例20 原电路已稳定。求t0的iL(t)和
uC(t)。
1 0.1H iL 6
+
10V
否则，在仅知道全响应的表达式时，无法 将零输入响应(分量)和零状态响应(分量)
分开。非要知道电路，画出零输入的 0 图或零状态的 0图，求出零输入响应或零
状态响应来才行。
课件
17
例16 电路原处于稳定状态。求 t 0 的
uC(t)和i(t)，并画波形图。
t=0
2 i
2A +
+
4
0.1F
uC
-
4
10V
t=0+
2
+ 3
-
2V
-
0.5F u- C
解：求初始状态 uC (0 ) 3 V iL (0 ) 1A
换路后，电路可分成两部分
1 0.1H iL
6
+
+ + 2
10V
2V 2V
+ 3
-
-
- 0.5F u- C
iL (0 ) iL (0 ) 1A uC (0 ) uC (0 ) 3V
iL () 8 A uC () 2 / 3 V
2
2
2，计算稳态值uC()、i()
换路后，经一 2A 段时间，重新 达到稳定，电 4 容开路，终值
+
uC
() -
2 i()
+
4 10V
-
图如右，运用
叠加定理得
uC() (4 // 4
//
2)
2
2
4
// 4
4 //
4
10
2
5
7V
i() 10 uC() 10 7 1.5A
2
2
3，计算时间常数
例19 开关在a时电路已稳定。t=0倒向
b,t=R1C倒向c，求t0的iC(t)并画波形
解 ： t<0 时 ， c
R1
uC(0-)=0 。 第 一次换路后由 换路定则得：
R2
+
Us
-
b
a
iC(t)
C
+
Us
R1
iC(t)
C
uC (0 ) uC (0 ) 0 uC () US
-
1 R1C
R1
uC (0
1t
)e
uC ()(1
1t
e )
uC
()
[uC
(0
)
uC
1
()]e
t
就推广到一般，得出结论，所有的响应
课件
14
rzi
(t
)
r
(0
)e
1
t
1t
rzs (t) r()(1 e )
应该是：
rzi (t)
rzi
(0
1t
)e
rzs
(t
)
r()
[rzs
(0
)
r
()]e
1
t
课件
15
如求全响应iC (t)。
t ，电路重
+ u ( ) -
新达到稳定， 电容开路，终
2A 4
4
值图如右，得：
i( ) + 2i ( ) -
u() 0 i() 2A
课件
26
3，计算时间常数
电容相连接的电阻网络如 4 4 右图，用加压求流法得： i + 2i R- eq
Req 10
时间常数为 ReqC 0.1s 代入三要素公式得：