倍长中线法 (1)
全等三角形辅助线之倍长中线法
可证EFD EGC
F
(平行线夹中点)
D
E
C
G
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．若AB=5， AC=3，求AD的取值范围．
A
延长AD至E使DE=AD，连接BE
在ADC和EDB中
AD=DE，ADC=EDB，BD=CD
故ADC EDB(SAS)
B
D
C AB-BE AE AB+BE即２ AE ８
A F
E
A
1 2
F
3E
B
D
C
BDCM 全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作 EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG． 求证：EG=CG且EG⊥CG．
M
A
D
A
D
G G
F EB
F
1
4
2
3
C
EB
全等三角形辅助线之倍长中线法
倍长中线法：遇中线，要倍长，倍长之后有全等．
AD为ABC的中线
A
B
D
C
延长AD至E使DE=AD，连接BE 在ADC和EDB中 AD=DE，ADC=EDB，BD=CD 故ADC EDB(SAS) 与此相关的重要结论AC PBE
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
AD为ABC的中线
１<AD<４
E
全等三角形辅助线之倍长中线法
如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC． 求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
C
倍长中线法构造全等三角形例题
倍长中线法构造全等三角形例题《倍长中线法构造全等三角形》一、引言在数学中，全等三角形是非常重要的概念，它们具有相同的三边和三角角度，但形状和位置可能有所不同。
而倍长中线法是构造全等三角形的一种重要方法。
本文将深入探讨倍长中线法的原理和应用，通过具体的例题来演示构造全等三角形的过程。
二、倍长中线法的原理1. 什么是倍长中线法？倍长中线法是指通过将三角形中的两条边分别延长相等的长度，然后连接延长后的两条边的中点，得到一个边长为原来中线的两倍的新三角形的方法。
2. 倍长中线法的原理当我们通过倍长中线法构造全等三角形时，我们实际上是借助了中线的性质。
在三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段就是该对边的中线，中线的定义是连接三角形的一个顶点和边对面中点的线段。
对于一个三角形ABC来说，若D为AB的中点，那么有AD = BD，这就是中线的性质之一。
而倍长中线法利用了中线的这一性质，通过延长两条边相等的长度，再连接延长后的两条边的中点，可以构造出一条新的中线，新中线的长度是原中线的两倍。
这样就得到了一个边长为原三角形中线长度两倍的全等三角形。
三、倍长中线法构造全等三角形的例题现在，让我们通过具体的例题来演示倍长中线法对全等三角形的构造过程。
例题1：已知△ABC中，AB = 6cm, AC = 4cm，以AC为底边做三角形ACD，且AD = 6cm，BD = 4cm，连接BC并延长到E，使得CE = AB。
连接DE并延长到F，使得DF = AB。
证明△ADF≌△ABC。
解题步骤：1. 延长BC和DE我们根据题目要求，延长BC和DE，使得CE = AB，DF = AB。
2. 连接CD接下来，连接CD，得到三角形ACD。
3. 寻找AD和DB的中点我们在AD和DB上分别寻找其中点，分别记为G和H。
4. 连接GH连接GH，得到新的中线GH。
5. 观察三角形ADF和三角形ABC我们可以观察到，三角形ADF和三角形ABC中，AD = AB，DG = BH。
倍长中线法口诀用法
倍长中线法口诀用法
倍长中线法是一种用于解决数学中直角三角形中线问题的方法，它的口诀用法可以帮助我们更快速地应用该方法。
倍长中线法的口诀用法如下：
首先，我们需要了解倍长中线法的原理。
直角三角形中，以直角边为底，连接斜边的中点，并向斜边的另一侧延长，再连接直角边与延长线的交点，得到一条中线。
倍长中线法的核心思想是，通过延长中线，将三角形转化为四边形，借助四边形的性质求解。
接下来，我们通过口诀用法来应用倍长中线法。
口诀为“倍中长乖隔离，解四算九找斜。
”下面逐句解释该口诀的用法：
1. 倍中长：将直角边向两侧延长成等长线段。
2. 乖隔离：将延长线与中线进行乖离，使它们不重合。
3. 解四：将四边形的四个顶点标记为A、B、C、D。
4. 算九：计算四边形的两个对角线之和AB+CD的数值。
5. 找斜：找到线段AC或BD上的交点E，该点即为直角三角形斜边的中点。
通过以上步骤，我们成功应用了倍长中线法，并求解出直角三角形中线问题。
总结起来，倍长中线法是一种能够帮助我们解决直角三角形中线问题的方法。
它的口诀用法通过清晰的步骤让我们能够更加快速准确
地使用该方法。
无论是解题还是应用倍长中线法，理解口诀的用法都是非常重要的。
倍长中线法总结
倍长中线法总结1. 引言倍长中线法（The Doubling Midline Method）是一种用来解决数学问题的方法，它主要应用于图形和数列的问题。
该方法通过找出中线并将其倍增来寻找问题的解。
本文将详细介绍倍长中线法的思想和应用，并通过示例展示其实际运用。
2. 思想和原理倍长中线法的思想源于对图形和数列的观察和分析。
当遇到需要找到图形或数列的某个特定点或者结果时，我们可以通过找出中线并将其倍增来逐步逼近目标。
该方法的原理是基于中线的特性，即中线两侧长度相等。
通过不断倍增中线的长度，我们可以逐步逼近目标点或结果。
3. 应用步骤倍长中线法的应用可以分为以下几个步骤：步骤一：观察问题首先，我们需要观察和分析问题，确定需要找到的目标点或结果。
这可以帮助我们确定使用倍长中线法的运算方式和步骤。
步骤二：确定初始中线然后，我们需要确定初始中线。
中线的选择要尽可能接近目标点或结果，以提高计算的准确性和效率。
步骤三：倍增中线长度接下来，我们将中线的长度倍增。
具体的倍增倍数可以根据实际情况而定。
每次倍增后，我们检查新的中线是否更接近目标点或结果。
如果是，我们继续倍增中线的长度，直到达到预定的精度要求。
步骤四：确定最终结果最后，我们确定最终结果。
根据具体的问题，我们可以根据中线的位置和长度计算出目标点的坐标或者得出数列的结果。
4. 实际应用示例为了更好地理解倍长中线法的应用，以下是一个实际示例：问题描述在平面直角坐标系中，有一条直线L通过点A(2, 3)和点B(5, 9)。
现在需要确定直线L和Y轴的交点C的坐标。
解决步骤1.观察问题，确定需要找到交点C的坐标。
2.初始中线的选择可以是线段AB的中点M，即M(3.5, 6)。
3.根据倍长中线法，将线段AM的长度倍增，得到线段CM。
4.假设线段CM的长度为d，当d接近垂直距离MC时，我们可以认为目标点C的坐标已经确定。
5.通过不断倍增线段AM的长度，我们最终确定了线段CM的长度为2.5，即MC的长度为2.5。
倍长中线法(1)
小结
实际上，由倍长中线时的操作便可知，我们总是能通过SAS的全等
模型（“8”字型）构造全等三角形。之后便能将一些看似“分散”
的条件聚集于同一个三角形中，从而将问题明晰。
练习1 ： 如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F， 且AE＝EF， 求证：AC＝BF.
A F B D E C
练习2：已知：如图，在 △ABC中，AB ≠AC ，D、E在B C上，且DE=EC，过D作 DF ∥BA交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分∠BAC.
解：延长BD至E，使DE＝BD.连接CE.∵BD是AC边上 的中线 ， ∴AD ＝ CD ， ∵∠ BDA ＝∠EDC ， ∴△ BDA
≌△EDC(SAS)．∴CE＝AB.
在△CBE中，BC－CE＜BE＜BC＋CE，∴2 cm＜2BD ＜10 cm.∴1 cm＜BD＜5 cm
倍长中线法的初步应用
例题 3：在△ ABC,△A, B, C 中,AD、A D 分别是BC,、 B C 边的中线，AB= , , , , , , A B ，AC=A C ，AD=A D ，请证明△ABC ≌ △A B C 。
解：不妨延长AD至E，使得DE=AD，连结B,E。则 显然AE=2AD，又易证△ADC ≌ △EDB（SAS）。 故AC=EB，在△ABE中，利用三边的不等关系，AB -BE<AE<AB+BE,可知2<2AD<12.
倍长中线法的初步应用
例题2：已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线， 求BD的取值范围。
证明： 分别延长AD至E、A D 至E 使得DE=AD、D E =A D ， 连结B,E、B ,E 。可以证明： △ADC ≌ △EDB，△A D C ≌ △E D B （SAS）。 故有BE=CA，B E =C A ，∠1=∠E，∠2=∠E 。
倍长中线法(经典例题)
N作 BE! AD 的延长线于倍长中线法知识网络详解:中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时, 常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全 等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么 等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模 型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线△ ABC 中式1:延长AD 到E,B --------------- ■ ------------- CDAD 是E BC使 DE=AD接BE方式2:间接倍长 AB 延长MD 到N, CE连接CN 经典例题讲解：例〔：△ ABC 中，AB=5 AC=3求中线 AD 的取值范围例2:已知在△ ABC 中，AB=AC D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F ,且 DF=EF 求证：BD=CE例3：已知在△ ABC 中 , AD 是 BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE 二AC例4:已知：如图，在- ABC 中，AB = AC , DE 在 BC 上 ,且 DE 二EC 过 D 作 DF//BA 交 AE 于点 F , DF=AC.例 5：已知 CD=AB Z BDA M BAD AE 是A ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE自检自测:1、如图，△ ABC 中 , BD=DC=AC,是 DC 的中点，求证，AD 平分/ BAE.使 DN=M ,BE延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF求证：AE 平分.BACDEAECCFAC2、在四边形ABCD K AB// DC E 为BC 边的中点，/ BAE K EAF AF与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关 系，并证明你的结论.3、如图，AD 为 MBC 的中线，DE 平分.BDA 交AB 于E,DF 平分.AD 交 AC 于 F.求证：BE CF EF4、已知：如图， ABC 中， C=90，CM AB 于 M AT 平 分 BAC 交 CM 于 D,交 BC 于 T ，过 D 作 DE//AB 交 BC 于 E ，求证：CT=BE.ADBF。
中点出来技巧(一)中线倍长法(作平行线)
中点出来技巧（一）中线倍长法（作平行线）
方法技巧：将中点处的线段倍长，根据SAS构造全等三角形，这就是“中线倍长法”，倍长中线法具有构造全等三角形、平行线、平移线段等作用，能将题中已知的、未知的条件集中在同一对三角形中来处理问题。
基本图形：如图若OA=OC,OB=OD，则△AOB≌△COD(SAS)
1、如图在△ABC和△DEF中,AB=DE，AC=DF,,AM和DN分别是中线，且AM=DN，求证：△ABC≌△DEF
2、在△ABC中，D是BC边上的中点。
（1）求证：AB+AC＞2AD；
（2）若AB=5，AC=7，直接写出AD的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿
3、如图CE是△ACD的中点，点B在AD的延长线上，BD=AC,∠ACD-∠ADC，求证：CE=BC
4、如图在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC中点，∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线交于点F，求证：AF+CF=AB。
倍长中线法(经典例题)
倍長中線法知識網路詳解：中線是三角形中の重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常採用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形の中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形の有關知識來解決問題の方法．倍長中線法の過程：延長某某到某點，使某某等於某某，使什麼等於什麼（延長の那一條），用SAS證全等（對頂角）倍長中線最重要の一點，延長中線一倍，完成SAS全等三角形模型の構造。
【方法精講】常用輔助線添加方法——倍長中線△ABC中方式1：延長AD到E，AD是BC邊中線使DE=AD，連接BE方式2：間接倍長作CF⊥AD於F，延長MD到N，作BE⊥ADの延長線於E 使DN=MD，連接BE 連接CN經典例題講解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中線ADの取值範圍例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC の延長線上，DE 交BC 於F ，且DF=EF ，求證：BD=CE過D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 邊上の中線，E 是AD 上一點，且BE=AC ，延長BE 交AC 於F ，求證：AF=EF例4：已知：如圖，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，過D 作BA DF //交AE 於點F ，DF=AC. 求證：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABDの中線，求證：∠C=∠BAE自檢自測：1、如圖，△ABC中，BD=DC=AC,E是DCの中點，求證，AD平分∠BAE.2、在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊の中點，∠BAE=∠EAF，AF與DCの延長線相交於點F。
試探究線段AB與AF、CF之間の數量關係，並證明你の結論.3、如圖，AD 為ABC ∆の中線，DE 平分BDA ∠交AB 於E ，DF 平分ADC ∠交AC 於F. 求證：EF CF BE >+4、已知：如圖，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 於M ，AT 平分∠BAC 交CM 於D ，交BC 於T ，過D 作DE//AB 交BC 於E ，求證：CT=BE.。
倍长中线法(经典例题)知识讲解
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围D ABCEDAB C F EDC B AN D C B AM例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠FE DA B CF EC ABD ABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABCF EAB C D3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
倍长中线法
倍长中线法(经典例题)2(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 14 题图DF CBE AB自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。
2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠FEA B C DA BFDEC4、如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE．5、如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.4、已知：如图，ABC 中，C=90，CM AB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC于T ，过D 作DE倍长中线法（加倍法）知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
08倍长中线法
倍长中线法： 把中线延长到原来的2倍
如图，△ABC中，D为BC的中点．
（1）求证：AB+AC＞2AD；
（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围
倍长中线： 构筑全等三角形
• 如图，D是△ABC的BC边上一点且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线． 求证：∠C=∠BAE．
倍长中线： 构筑全等三角形
• 如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点 P．则∠NPC的度数为 ．
倍长中线： 构筑全等三角形
• 如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连 接NM，NP．（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP= 度；（2）求证： NM=NP；（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．源自倍长中线： 构筑全等三角形
• 如图，已知AB=12；AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10．点E是CD的中点，则AE的
长是 ．
倍长中线： 构筑全等三角形
• 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于F， 且DF=EF，求证：BD=CE.
倍长中线： 构筑全等三角形
倍长中线： 构筑全等三角形
• 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线
段AE的中点，连接MF，则MF的长为
．
• 已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA，交AE于点F， DF=AC.
• 求证：AE平分∠BAC.
倍长中线： 构筑全等三角形
• 如图，在梯形ABCD中，∠D=90°，M是AB的中点，若CM=6.5，BC+CD+DA=17，则梯形 ABCD的面积为（ ）．
倍长中线法(经典例题)全新
倍长中线法(经典例题)全新
倍长中线法是解决几何问题的一种方法，常用于构造全等三角形。
具体做法是将三角形的中线延长一倍，构造出全等三角形，再利用全等三角形的性质来解决问题。
最重要的一步是构造SAS全等三角形模型，即延长中线一倍。
常用的辅助线添加方法有两种。
第一种是将中线延长到某点，使其等于另一条边，再连接相应的点构造全等三角形。
第二种是通过垂线和平移的方式间接倍长中线。
例题可以帮助理解和应用倍长中线法。
例如，可以利用倍长中线法求中线的取值范围，证明线段相等的关系，或证明角度相等的关系。
自测题可以帮助巩固和检验对倍长中线法的理解和应用。
例如，可以证明角平分线的性质，探究线段之间的数量关系，或证明三角形的一些性质。
最后祝愿大家生活如意，事业高升，前程似锦，美梦成真。
3.年年今日，岁岁今朝。
每年的今天，每岁的此时，我们都在一起，共同度过这美好的时光。
4.百事大吉，万事顺利。
愿你的所有事情都能如愿以偿，一切顺利，没有任何困难和挫折。
5.愿与同僚，共分此乐。
希望我们能一起分享这份快乐，一起度过这个特别的日子。
6.事业有成，幸福快乐。
祝你在事业上能够获得成功，同时也能够享受到幸福和快乐。
7.生日快乐，幸福安康。
祝你生日快乐，希望你一生都能够健康幸福，平安安康。
倍长中线法(经典例题)
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=M 连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CEFEC ABD例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交ACDABCEDAB C F ED C B AN D C B AM于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+第 14 题图DF CBEA4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，FEDABCABFDECE DABCF EAB C D过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.DABCMTE。
倍长中线法
(1)．倍长中线法：1、已知，如图，△ABC 中，D 是BC 中点，DE⊥DF,试判断BE ＋CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.【答案与解析】BE ＋CF ＞EF ；证明：延长FD 到G ，使DG ＝DF,连结BG 、EG∵D 是BC 中点∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG 和△EDF 中ED ED EDG EDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDG ≌△EDF （SAS ）∴EG＝EF在△FDC 与△GDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE ＞EG∴BE＋CF ＞EF【点评】因为D 是BC 的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF ，使DG ＝DF,证明△EDG≌△EDF ，△FDC≌△GDB，这样就把BE 、CF 与EF 线段转化到了△BEG 中，利用两边之和大于第三边可证.有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：【变式】已知：如图所示，CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线，且∠ACB ＝∠ABC．求证：CD ＝2CE ．【答案】证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵ EC为中线，∴ AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEF CE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴ AB＝BF．又∵ BC为△ADC的中线，∴ AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴ CF＝CD．即CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．【答案与解析】证明：在AB上截取AE＝AC．在△AED与△ACD中，()12()() AE ACAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已作，已知，公用边，∴△AED≌△ACD（SAS）．∴ ED＝CD．∴ ∠AED ＝∠C(全等三角形对应边、角相等)．又∵ ∠C ＝2∠B ∴∠AED ＝2∠B ．由图可知：∠AED ＝∠B ＋∠EDB ，∴ 2∠B ＝∠B ＋∠EDB ．∴ ∠B ＝∠EDB ．∴ BE ＝ED ．即BE ＝CD ．∴ AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋CD(等量代换)．【点评】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB ＞AC ．故用截长补短法．在AB 上截取AE ＝AC ．这样AB 就变成了AE ＋BE ，而AE ＝AC ．只需证BE ＝CD 即可．从而把AB ＝AC ＋CD 转化为证两线段相等的问题．举一反三：【变式】如图，AD 是ABC ∆的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且BD HD =.(1)求证：B ∠与AHD ∠互补；(2)若︒=∠+∠1802DGA B ，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.【答案】证明：（1）在AB 上取一点M, 使得AM ＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD,∴ △AHD≌△AMD.∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD.∵ HD＝DB,∴ DB＝ MD.∴ ∠DMB＝∠B.∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180︒,∴ ∠AHD＋∠B＝180︒.即 ∠B 与∠AHD 互补.（2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180︒.∵ ∠B＋2∠DGA ＝180︒,∴ ∠AHD＝2∠DGA.∴ ∠AMD＝2∠D GM.∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴ ∠DGM＝∠GDM.∴ MD＝MG.∴ HD＝ MG.∵ AG＝ AM ＋MG,∴ AG＝ AH ＋HD.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：3、如图所示，已知△ABC 中AB ＞AC ，AD 是∠BAC 的平分线，M 是AD 上任意一点，求M G H D C A证：MB －MC ＜AB －AC ．【答案与解析】因为AB ＞AC ，则在AB 上截取AE ＝AC ，连接ME ．在△MBE 中，MB －ME ＜BE （三角形两边之差小于第三边）．在△AMC 和△AME 中，()()()AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边， ∴ △AMC ≌△AME （SAS ）．∴ MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵ BE ＝AB －AE ，∴ BE ＝AB －AC ，∴ MB －MC ＜AB －AC ．【点评】因为AB ＞AC ，所以可在AB 上截取线段AE ＝AC ，这时BE ＝AB －AC ，如果连接EM ，在△BME 中，显然有MB －ME ＜BE ．这表明只要证明ME ＝MC ，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ＞AC,求证：AB －AC ＞BD －DC【答案】证明：在AB 上截取AE ＝AC,连结DE∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD在△AED 与△ACD 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD AC AE∴△AED≌△ADC（SAS ）∴DE＝DC在△BED 中，BE ＞BD －DC E D B A即AB －AE ＞BD －DC∴AB－AC ＞BD －DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.4、如图所示，已知E 为正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE ＝∠FAE ．求证：AF ＝AD ＋CF ．【答案与解析】证明： 作ME ⊥AF 于M ，连接EF ．∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ ∠C ＝∠D ＝∠EMA ＝90°．又∵ ∠DAE ＝∠FAE ，∴ AE 为∠FAD 的平分线，∴ ME ＝DE ．在Rt △AME 与Rt △ADE 中，()()AE AE DE ME =⎧⎨=⎩公用边，已证，∴ Rt △AME ≌Rt △ADE(HL)．∴ AD ＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵ E 为CD 中点，∴ DE ＝EC ．∴ ME ＝EC ．在Rt △EMF 与Rt △ECF 中，()(ME CE EF EF =⎧⎨=⎩已证，公用边)，∴ Rt △EMF ≌Rt △ECF(HL)．∴ MF ＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF ＝AM ＋MF ，∴ AF ＝AD ＋FC(等量代换)．【点评】与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD 为正方形，则∠D ＝90°．而∠DAE ＝∠FAE 说明AE 为∠FAD 的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E 到AD 的距离已有，只需作E 到AF 的距离EM 即可，由角平分线性质可知ME ＝DE ．AE ＝AE ．Rt △AME 与Rt △ADE 全等有AD ＝AM ．而题中要证AF ＝AD ＋CF ．根据图知AF ＝AM ＋MF ．故只需证MF ＝FC 即可．从而把证AF ＝AD ＋CF 转化为证两条线段相等的问题．5、如图所示，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD的延长线于E， AE=BD，求证：BD是∠ABC的平分线．【答案与解析】证明：延长AE和BC，交于点F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．则AF=BD（全等三角形对应边相等）．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．【点评】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.。
初中数学倍长中线法(最全最新倍长中线法专题)
∴△CBD≌△CBF（SAS）， ∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF， ∴CF＝2CE，∴CD＝2CE.
课堂练习
练习5.已知: 如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点． 求证: CD＝2CE
课堂练习
练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证: ∠C＝∠BAE．
课后练习
5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F， 求FCE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE， 求证: AM⊥CD．
课后练习
7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD.BC的延长线交 MN于E、F．
课堂练习
练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的 中线．求证: AD是∠EAC的平分线．
例题讲解
例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD交AB于点G，交CA的 延长线于点F．求证: BG＝CF．
证明: 作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM， ∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点， ∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，
求证: ∠DEN＝∠F．
课后练习
1.如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD． （1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积． （2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并 延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．
例2.已知，如图△ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是
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全等三角形的类型题常见辅助线的作法有以下几种：
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋
转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所
考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相
等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
倍长中线法
1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
2、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：
1
2
CD AB
A
D
B C
D
C
B
A
E 3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF
⊥⊥⊥︒=∠90ACB BC AC =MN C MN AD ⊥D MN BE ⊥E (1)当直线
MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；
(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
角平分线的逆定理
1、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：DE =DF ．
2、如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA
3、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
C
D
B F
A
E
D
C B
B
A C
D
F
2 1 E
A F E
D
C
B
A
F
E
D
C
B A
A
E B
F A
E
B M C
F。