最小二乘法原理及应用【文献综述】
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用一、研究背景在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。
其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。
它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。
随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。
本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。
二、最小二乘法的原理人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。
如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。
为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型,q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。
参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。
（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。
其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。
一般情况下，观测值远多于所选择的参数。
其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。
高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。
令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。
人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。
除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。
确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。
并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。
用函数表示为：用欧几里得度量表达为：最小化问题的精度，依赖于所选择的函数模型。
最小二乘法综述及举例
最小二乘法综述及算例一最小二乘法的历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
经过两百余年后，最小二乘法已广泛应用与科学实验和工程技术中，随着现代电子计算机的普及与发展，这个方法更加显示出其强大的生命力。
二最小二乘法原理最小二乘法的基本原理是：成对等精度测得的一组数据),...,2,1(,n i y x i i =，是找出一条最佳的拟合曲线，似的这条曲线上的个点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小。
设物理量y 与1个变量l x x x ,...,2,1间的依赖关系式为:)(,...,1,0;,...,2,1n l a a a x x x f y =。
其中n a a a ,...,1,0是n +l 个待定参数,记()21∑=-=mi i i y vs 其中 是测量值, 是由己求得的n a a a ,...,1,0以及实验点),...,2,1)(,...,(;,2,1m i v x x x i il i i =得出的函数值)(,...,1,0;,...,2,1n il i i a a a x x x f y =。
在设计实验时, 为了减小误差, 常进行多点测量, 使方程式个数大于待定参数的个数, 此时构成的方程组称为矛盾方程组。
通过最小二乘法转化后的方程组称为正规方程组(此时方程式的个数与待定参数的个数相等) 。
我们可以通过正规方程组求出a最小二乘法又称曲线拟合, 所谓“ 拟合” 即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点, 只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势。
【文献综述】最小二乘法的原理和应用
【文献综述】最小二乘法的原理和应用文献综述数学与应用数学最小二乘法的原理和应用一、国内外状况天文学自古代至18世纪是应用数学中最发达的领域。
观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子，在此种意义下，天文学家就是最初的数理统计学家。
天文学的问题逐渐引导到算术平均，以及参数模型中的种种估计方法，以最小二乘法为顶峰。
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
勒让德是法国军事学校的教授，曾任多界政府委员，后来成了多科工艺学校的总监，直至1833年逝世。
有记载最小二乘法最早出现在勒让德1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中。
他在该书中描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点。
勒让德的成功在于它从一个新的角度来看待这个问题，不像其前辈那样致力于找出几个方程（个数等于未知数的个数）再去求解，而是考虑误差在整体上的平衡。
从某种意义讲，最小二乘法是一个处理观测值的纯粹代数方法。
要将其应用于统计推断问题就需要考虑观测值的误差，确定误差分布的函数形式。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y=a+dx,对其进行n（n>2）次观测而获得n对数据，若将这n对数据代入方程求解a 、b 之值则无确定解。
最小二乘法原理及其简单应用
i=1
i=1
aij xj +
2
m
m
aijai,j+1 xj+1+ … +
aijain xn=
aijbi (j=1,2, … n)
i=1
ห้องสมุดไป่ตู้
i=1
i=1
a11x1+a12x2+ … +a1nxn-b1=0 a21x1+a22x2+ … +a2nxn-b2=0
…………
这就是方程组 ⑵ 。 不难看出方程组 ⑵ 的系数矩阵为 ATA （AT 表示 A 的转置矩阵 ）， 由 A 列满秩知 |ATA|≠0 ， 故 ⑵ 有唯一解 。 必要性得证 。 充 分 性 ： 设 X 是 方 程 组 （2 ）2.2 的 解 ， 由 xj( j =1,2,...,n) 满 足 方 程 组 2.2 ， 也就是满足 ⑷ 式 ， 再由于 A 列满秩 ，aij(i =1 ，2 ，... ，m) 不全为零 ， 故 ⑶
Y=AX=x1α1+x2α2+ … +xnαn
是所要求的向量 ， 则
试根据以上数据确定 S0 和 v 、g. 解 现在要用五个实验点拟合的是二次多项式 （n=5,m=21 ） 即 S=a0+a1t+a2t2 有最小二乘法的曲线拟合原理知
C=B-Y=B-AX
必须垂直于子空间 L(α1,α2, … ,αn) 。 为此只需而且必须 (C,α1)＝(C,α2)= … =(C,αs)=0 根据矩阵乘法规则 ， 上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子 ， 即
a a a
…
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ … +x
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用1. 最小二乘法的原理最小二乘法是一种常用的数学优化方法，其原理是通过最小化残差平方和来寻找数据的最佳拟合线或曲线。
当数据存在随机误差时，最小二乘法可以有效地估计模型参数。
最小二乘法的基本原理可以概括为以下几个步骤：1.首先，假设模型的形式，如线性模型：y=mx+b。
2.然后，定义一个衡量模型拟合程度的误差函数，通常采用残差的平方和：$E(m, b) = \\sum_{i=1}^{n} (y_i - (mx_i + b))^2$。
3.接下来，根据最小二乘法的原理，我们需要通过对误差函数求偏导数，得出使误差函数最小化的模型参数。
4.最后，通过优化算法，如梯度下降法等，迭代地调整模型参数，使误差函数达到最小值，从而获得最佳拟合模型。
最小二乘法的原理非常简单和直观，因此被广泛应用于各个领域，如统计学、经济学、工程学等。
2. 最小二乘法的应用最小二乘法在实际问题中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个应用场景。
2.1 线性回归线性回归是最小二乘法最常见的应用之一。
在线性回归中，最小二乘法用于估计自变量与因变量之间的线性关系。
通过最小化残差平方和，我们可以找到一条最佳拟合直线，从而对未知的因变量进行预测。
线性回归广泛应用于经济学、社会学等领域，帮助研究者探索变量之间的相互关系。
2.2 曲线拟合最小二乘法还可以用于曲线拟合。
当我们需要拟合一个非线性模型时，可以通过最小二乘法来估计参数。
通过选择适当的模型形式和误差函数，可以得到最佳拟合曲线，从而准确地描述数据的变化趋势。
曲线拟合在信号处理、图像处理等领域具有重要的应用。
2.3 数据降维数据降维是指将高维度的数据转化为低维度表示，以便于可视化和分析。
最小二乘法可以用于主成分分析（PCA）等降维方法中。
通过寻找投影方向，使得在低维度空间中的数据点到其投影点的平均距离最小化，可以实现数据的有效降维。
2.4 系统辨识在控制工程中，最小二乘法经常被用于系统辨识。
最小二乘法的应用及原理解析
最小二乘法的应用及原理解析最小二乘法，英文称为 Least Squares Method，是一种经典的数学优化技术，广泛应用于数据拟合、信号处理、机器学习、统计分析等领域。
本文将从应用角度出发，介绍最小二乘法的基本原理、优缺点以及实际应用中的具体操作流程。
一、最小二乘法的基本原理最小二乘法的基本思路是：已知一组样本数据（x1,y1），(x2,y2)，...(xn,yn)，要求找到一条曲线（如直线、多项式等），使得该曲线与样本数据的误差平方和最小。
其数学表示式为：$min {\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}$其中，$\hat{y}_i$是曲线在$x_i$处的预测值，代表曲线对样本数据的拟合程度。
显然，当误差平方和最小时，该曲线与样本数据的拟合效果最好，也就是最小二乘法的优化目标。
最小二乘法的求解方法有多种，比较常用的有矩阵求导法、正规方程法、QR分解法等。
这里以正规方程法为例进行介绍。
正规方程法的思路是：将目标函数中的误差平方和展开，取它的一阶导数为零，求得最优解的系数矩阵。
具体过程如下：1.将样本数据表示为矩阵形式，即 $X=[1,x_1,x_2,...,x_n]^T$。
2.构建方程组 $X^TX\beta=X^TY$，其中$\beta=[\beta_0,\beta_1,...,\beta_p]$是待求系数矩阵。
3.求解方程组，得到最优解的系数矩阵 $\beta$。
最小二乘法的优点是：对于线性问题，最小二乘法是一种解析解，可以求得精确解。
同时，最小二乘法易于理解、简单易用，可以快速拟合实际数据，避免过度拟合和欠拟合。
二、最小二乘法的优缺点最小二乘法虽然有很好的拟合效果，但是也存在一些不足之处：1.对异常值敏感。
最小二乘法基于误差平方和的最小化，如果样本中存在离群值或噪声，会对最终结果产生较大影响，导致拟合结果不准确。
2.对线性假设敏感。
最小二乘法只适用于线性问题，如果样本数据的真实规律是非线性的，则拟合效果会大打折扣。
最小二乘法的原理及其应用
最小二乘法的原理及其应用一、研究背景在科学研究中，为了揭示某些相关量之间的关系，找出其规律，往往需要做数据拟合，其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德（Pade）逼近等，以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等。
其中，最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法。
它在建模中有着广泛的应用，用这一理论解决讨论问题简明、清晰，特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位。
随着最小二乘理论不断的完善，其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题。
本文着重讨论最小二乘法在化学生产以及系统识别中的应用。
二、最小二乘法的原理人们对由某一变量t或多个变量t1…..tn 构成的相关变量y感兴趣。
如弹簧的形变与所用的力相关，一个企业的盈利与其营业额，投资收益和原始资本有关。
为了得到这些变量同y之间的关系，便用不相关变量去构建y，使用如下函数模型,q个相关变量或p个附加的相关变量去拟和。
通常人们将一个可能的、对不相关变量t的构成都无困难的函数类型充作函数模型（如抛物线函数或指数函数）。
参数x是为了使所选择的函数模型同观测值y相匹配。
（如在测量弹簧形变时，必须将所用的力与弹簧的膨胀系数联系起来）。
其目标是合适地选择参数，使函数模型最好的拟合观测值。
一般情况下，观测值远多于所选择的参数。
其次的问题是怎样判断不同拟合的质量。
高斯和勒让德的方法是，假设测量误差的平均值为0。
令每一个测量误差对应一个变量并与其它测量误差不相关（随机无关）。
人们假设，在测量误差中绝对不含系统误差，它们应该是纯偶然误差，围绕真值波动。
除此之外，测量误差符合正态分布，这保证了偏差值在最后的结果y上忽略不计。
确定拟合的标准应该被重视，并小心选择，较大误差的测量值应被赋予较小的权。
并建立如下规则：被选择的参数，应该使算出的函数曲线与观测值之差的平方和最小。
用函数表示为：用欧几里得度量表达为：最小化问题的精度，依赖于所选择的函数模型。
最小二乘法的原理和应用
最小二乘法的原理和应用最小二乘法是一种常见的数学统计方法，常用于数据分析、回归分析和预测模型的建立。
听起来有些抽象，但如果您掌握了最小二乘法，您将能够更好地理解许多现代技术的工作原理。
一、最小二乘法的原理所谓“最小二乘法”，是指根据离散点的数据，以一条最佳直线来逼近这些点，这条直线被称为“回归线”，这个过程也叫做“回归分析”。
当然，如果数据呈非线性关系，类似的曲线模型也可以使用最小二乘法来拟合。
那么，最小二乘法到底是如何工作的呢？它的基本思路是，根据实际数据的偏差，通过数学方法，找到一条最佳的回归线，这条线距离所有数据点的距离之和最小。
也就是说，最小二乘法的目标是尽可能地减少偏差，使回归线的拟合效果越来越好。
那么，如何计算这个距离之和呢？具体来说，我们可以使用误差平方和这个指标。
误差平方和是指所有数据点与回归线之间的距离平方和，也就是所有偏差的平方之和。
这可以通过计算最小二乘法函数来实现。
二、最小二乘法的应用最小二乘法是一种非常广泛应用的数学方法，尤其是在数据分析、回归分析和预测建模方面。
无论是商业分析，还是学术研究，都可以使用最小二乘法来处理真实的数据，并获得更准确的结果。
其中，最常见的应用之一就是从数据中预测未来趋势。
我们可以使用最小二乘法模型来分析可预测的变化趋势、发现趋势异常，甚至拟合出完善的预测模型，为未来的计划和决策提供直观的信息支持。
在市场营销和销售方面尤为突出。
此外，最小二乘法还可以用于估计相应变量的效应。
例如，在经济学上，我们可以使用最小二乘法来分析支出、收入和利率之间的关系，进而预测未来的经济走势。
另外，最小二乘法还可以给强大的机器学习算法提供支持。
例如，在图像识别和自然语言处理领域，我们可以使用最小二乘法来训练神经网络，或优化线性回归模型，进而实现更准确、更稳定的机器学习算法。
总之，最小二乘法是一种非常重要的数学方法，适用于许多领域，其原理和应用仅仅是数学的一小部分。
如果您能掌握它的高级应用，比如说自动建模和自动预测等，您将能够在数据分析和决策中站得更高，走得更远。
浅谈最小二乘法的原理及其应用【开题报告】
开题报告信息与计算科学浅谈最小二乘法的原理及其应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义最小二乘法（Least Square Method ）是提供“观测组合”主要工具之一, 它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式. 如已知两变量为线性关系y a bx =+, 对其进行(2)n n >次观测而获得n 对数据. 若将这n 对数据代入方程求解,a b 的值则无确定解, 而最小二乘法提供了一个求解方法, 其基本思想是寻找“最接近”这n 个观测点的直线.最小二乘法创立与十九世纪初, 是当时最重要的统计方法, 在长期的发展中, 人们一直处于不断的研究中, 在传统最小二乘法的基础上, 出现了许多更为科学先进的方法, 如移动最小二乘法、加权最小二乘法、偏最小二乘法、模糊最小二乘法和全最小二乘法等, 使得最小二乘法在参数估计、系统辨识以及预测、预报等纵多领域都有着广泛的应用. 相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础, 所以最小二乘法被称之为数理统计学的灵魂. 正如美国统计学家斯蒂格勒（S. M. Stigler ）所说, “最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”. 因此对最小二乘法的研究就显得意义重大.国内外的学者们一直在对传统最小二乘法做进一步的研究. 勒让德（A. M. Legender ）于1805年发表了论著《计算彗星轨道的新方法》, 在书中勒让德描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点, 他认为: 赋予误差的平方和为极小, 则意味着在这些误差间建立了一种均衡性, 它阻止了极端情形所施加的过分影响. 1809年高斯（C. F. Gauss ）在著作《天体沿圆锥截面围绕太阳运动的理论》中发表有关最小二乘法的理论, 随后在1826年的著作中阐述了最小二乘法的全部内容. 统计学者对最小二乘法做了进一步的研究探讨, 1970年, 由霍尔（A. E. Horel ）和肯纳德（R. W. Kennard ）提出的岭估计（Ridge Estimate ）, 用()()11ˆni i i k S kI x y β-==+∑取代ˆβ, 有效的降低了原方法的病态性.在国内, 学者们也对传统最小二乘法做了非常多的改进: 孙彦清在《最小二乘法线性拟合应注意的两个问题》一文中对最小二乘法线性拟合应注意的两个问题中从理论上分析了最小二乘法原理及其在实际曲线拟合问题中的应用, 指出了最小乘法处理线性拟合应注意的两个问题: 拟合应用条件和误差比较. 在文《最小二乘法处理自变量误差实验数据的方法》中, 学者代锦辉对最小二乘法在实验数据处理和在数学研究上面的应用做了相应的介绍和研究, 使人们认识到: 在科学实验中处理数据时, 在自变量有误差的情况下, 用最小二乘法的几种方法处理实验数据, 这样可以降低在实际测量中由于测量数据无法避免的误差, 从而提高科学实验的准确性, 更加突出实验的科学性. 这也使得最小二乘法在数学研究及科学实验中有着更为广泛的运用. 程玉民等人在《移动最小二乘法研究进展与评述》一文中对移动最小二乘法做了进一步的研究探讨, 对移动最小二乘法做了改进, 同时还评述了各种移动最小二乘法的优缺点, 并概述各种移动最小二乘法形成的无网格方法的研究进展. 运用各种移动最小二乘法求解静态和动态断裂力学, 求解弹塑性等问题. 在《改进的最小二乘法在水文分析计算中的应用》一文中, 王淑英、高永胜为了达到所有实测点与拟合曲线间的相对误差尽量不超过某一百分比的原则要求, 提出了非线性的加权最小二乘法及线性相关方程的最小距离平方和法, 探讨改进了传统的最小二乘法达到优化的效果.虽然最小二乘法简单易行, 应用广泛, 但仍然存在一些问题: 计算量较大, 当观测数据较多时, 计算会显得复杂, 尤其是要进行矩阵求逆, 矩阵阶数高时更为复杂; 容易受系统误差的影响, 系统误差的存在导致了最小二乘估计不再是无偏估计, 使得估计无效; 受测量误差相关性的影响, 从理论上讲, 当观测误差相关时, 取权矩阵为协方差矩阵的逆, 便可得到线性无偏最小方差估计. 但在实际情况中, 协方差矩阵是未知的; 当观测数据含较大异常值时, 将严重影响最小二乘估计结果.本文拟在理解传统最小二乘法的原理及思想基础上，对几种改进算法进行研究分析，并深入探讨该方法在实际问题中的应用，希望进一步拓宽其应用领域.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 对最小二乘法原理及其应用的研究拟解决的主要问题:1.对几种改进的最小二乘法进行分析研究；2.研究最小二乘法在实际问题中的应用.三、研究步骤、方法及措施研究步骤:1.理解并掌握最小二乘法的基本原理及其思想方法；2.分析研究对最小二乘法改进的算法；3.研究最小二乘法在实际问题中的应用.方法、措施:通过到图书馆、上网等查阅收集资料,上万方数据库查找文章, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同组同学研究讨论, 用数据调查结合文献论证的方法来解决问题.四、参考文献[1]GU Xiangqian, KANG Hongwen, CAO Hongxing. The least-square method in complexnumber domain[J]. Progress in Natural Science.2006,1:59-63.[2]LI Guo-qing, MENG Zhao-ping, MA Feng-shan, ZHAO Hai-jun, DING De-min, LIU Qin,WANG Cheng. Calculation of stratum surface principal curvature based on moving least square method[J]. Journal of China University of Mining&Technology.2008,3:307-312.[3]陈希孺.最小二乘法的历史回顾与现状[J].中国科学院研究生院学报.1998,1:4-11.[4]程玉民.移动最小二乘法研究进展与评述[J].计算机辅助工程.2009,2:5-11.[5]王淑英,高永胜.改进的最小二乘法在水文分析计算中的应用[J].水文.2003. 5: 5-9.[6]宋殿瑞,宋文臣,刘朋振.最小二乘法应用探讨[J].青岛化工学院学报.1998,3:296-301.[7]孙彦清.最小二乘法线性拟合应注意的两个问题[J].汉中师范学院学报.2002,1: 59-61.[8]张庆海,潘华锦,齐建英.用最小二乘法测弹簧的有效质量[J].大学物理.2002,11:33-34.[9]代锦辉.最小二乘法处理自变量误差实验数据的方法[J].实验科学与技术学报,2006,4(4):21-46.[10]张红贵,宋志尧,章卫胜.潮位相关分析中的最小二乘法研究[J].水道港口.2007,3:153-155.。
浅谈最小二乘法的原理及其应用【文献综述】
文献综述信息与计算科学浅谈最小二乘法的原理及其应用最小二乘法最早是由高斯提出来的, 主要用于天文学和地测学, 在早期数理统计方法的发展中, 这两门科学起了很大的作用, 故丹麦统计学家霍尔把它们称为“数理统计学的母亲”.随着现代电子计算机的发展, 也使得最小二乘法的运用变得更为普及, 在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域都有着广泛的作用.最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术.它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配. 传统的曲线最小二乘法的原理是成对等精度地测得一组数据, 试找出一条最佳的拟合曲线, 使得这条拟合曲线上的各点的值与测(,)(1,2,...,)i i x y i n 量值的差的平方和在所有拟合曲线中最小.虽然最小二乘法简单易行, 应用广泛, 但仍然存在一些问题: 计算量较大, 当观测数据 较多时, 计算会显得复杂, 尤其是要进行矩阵求逆, 矩阵阶数高时更为复杂; 容易受系统误差的影响, 系统误差的存在导致了最小二乘估计不再是无偏估计, 使得估计无效; 受测量误差相关性的影响, 从理论上讲, 当观测误差相关时, 取权矩阵为协方差矩阵的逆, 便可得到线性无偏最小方差估计. 但在实际情况中, 协方差矩阵是未知的; 当观测数据含较大异常值时, 将严重影响最小二乘估计结果.经过长期的发展研究, 针对传统最小二乘法存在的问题, 人们对其做了进一步的探究并提出了一些改进方法:1. 移动最小二乘法移动最小二乘法是形成无网格方法逼近函数的方法之一, 已在无网格方法中得到广泛 应用. 其优点是有很好的数学理论支持, 因为基于最小二乘法, 所以数值精确度较高. 对于每个固定点, 移动最小二乘法即为通常的最小二乘法. 移动最小二乘法和最小二乘法具有同样的缺点, 即易形成病态或奇异的方程组.程玉民等人在文[6]中对移动最小二乘法做了进一步的研究探讨, 对移动最小二乘法做了改进, 同时还评述了各种移动最小二乘法的优缺点, 并概述各种移动最小二乘法形成的无网格方法的研究进展. 运用各种移动最小二乘法求解静态和动态断裂力学, 求解弹塑性等问题.2. 加权最小二乘法如果模型被检验证明存在异方差性, 则需要发展新的方法估计模型, 最常用的方法是加权最小二乘法. 加权最小二乘法是对原模型加权, 使之变成一个新的不存在异方差性的模型, 然后采用普通最小二乘法估计其参数.在文[7]中, 王淑英、高永胜为了达到所有实测点与拟合曲线间的相对误差尽量不超过某一百分比的原则要求, 提出了非线性的加权最小二乘法及线性相关方程的最小距离平方和法, 探讨改进了传统的最小二乘法达到优化的效果.3. 偏最小二乘法偏最小二乘法是通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配. 其特点为: 能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模; 允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模; 偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量; 偏最小二乘回归模型更易于辨识系统信息与噪声（甚至一些非随机性的噪声）; 在偏最小二乘回归模型中, 每一个自变量的回归系数将更容易解释.另外, 在文[8]中, 宋殿瑞等人结合一元线性拟合、多元线性拟合、非线性拟合等多个问题提出了最小二乘法在应用时应该注意的几个问题: 一个是慎重选择拟合关系式; 另一个则是注意自变量的选择. 孙彦清在文[9]中对最小二乘法线性拟合应注意的两个问题中从理论上分析了最小二乘法原理及其在实际曲线拟合问题中的应用, 指出了最小乘法处理线性拟合应注意的两个问题: 拟合应用条件和误差比较. 在文[10]中, 张庆海等人通过实验观测, 用一种新型的实验方法表明了弹簧振子系统中弹簧的惯性质量对小振动系统的减震周期（或减震频率）有影响, 其振动有效质量系数在误差范围内和理论推导一致. 在文[11]中, 学者代锦辉对最小二乘法在实验数据处理和在数学研究上面的应用做了相应的介绍和研究, 使人们认识到: 在科学实验中处理数据时, 在自变量有误差的情况下, 用最小二乘法的几种方法处理实验数据, 这样可以降低在实际测量中由于测量数据无法避免的误差, 从而提高科学实验的准确性, 更加突出实验的科学性. 这也使得最小二乘法在数学研究及科学实验中有着更为广泛的运用. 在文[12]中, 张红贵等人有效地解决了传统最小二乘法在线性相关分析中出现的不合理问题, 使分析结果与实际符合良好, 回归方程具有良好的可逆性.为解决各种实际问题, 人们还提出了很多其他改进, 如主成份估计（用较少的变量去估算原来模型中大部分的数据, 将我们手中相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量）、全最小二乘估计、模糊最小二乘估计等. 所有这些方法, 各有特色和针对性, 但每种方法或多或少都存在一些问题, 所以还需要对其继续研究, 并进行相应的改进, 使其能更好地应用于实际问题的解决中.参考文献[1] GU Xiangqian,KANG Hongwen,CAO Hongxing.The least-square method in complexnumber domain[J].Progress in Natural Science.2006,1:59-63.[2] LI Guo-qing,MENG Zhao-ping,MA Feng-shan,ZHAO Hai-jun,DING De-min,LIUQin,WANG Cheng.Calculation of stratum surface principal curvature based on moving least square method. Journal of China University of Mining&Technology.2008,3:307-312.[3] 陈希孺.最小二乘法的历史回顾与现状[J].中国科学院研究生院学报.1998,1:4-11.[4] 张玉祥.最小二乘法述评[J].飞行器控制技术.1993,1:19-25.[5] 贾小勇,徐传胜,白欣.最小二乘法的创立及其思想方法[J].西北大学学报.2006,3:507-511.[6] 程玉民.移动最小二乘法研究进展与评述[J].计算机辅助工程.2009,2:5-11.[7] 王淑英,高永胜.改进的最小二乘法在水文分析计算中的应用[J].水文.2003.5:5-9.[8] 宋殿瑞,宋文臣,刘朋振.最小二乘法应用探讨[J].青岛化工学院学报.1998,3:296-301.[9] 孙彦清.最小二乘法线性拟合应注意的两个问题[J].汉中师范学院学报.2002,1:59-61.[10] 张庆海,潘华锦,齐建英.用最小二乘法测弹簧的有效质量[J].大学物理.2002,11:33-34.[11] 代锦辉. 最小二乘法处理自变量误差实验数据的方法 [J]. 实验科学与技术学报, 2006,4(4): 21-46.[12] 张红贵,宋志尧,章卫胜.潮位相关分析中的最小二乘法研究[J].水道港口.2007,3:153-155.。
【文献综述】最小二乘法及其应用
文献综述信息与计算科学最小二乘法及其应用计算方法是应用数学的重要专业基础课，它讨论的是如何运用现代计算工具高效求解科学与工程中的数值计算问题。
今天，科学与实验、理论分析一起成为当今科学活动的主要方式。
在物理、化学、力学、材料科学、环境科学、信息科学和生物科学等领域，计算方法和技术已经成为被广泛接受的科学研究手段。
现在，计算在科学研究和工程设计中几乎无所不在，对科技的发展起到举足轻重的作用。
[1]最小二乘法作为计算方法中一个重要的数学方法，得到了广泛的研究与应用。
发现最小二乘法的动因是天文学和测地学中处理数据的需要。
陈希孺先生所著《数理统计学简史》中记载了这样一段历史。
在18世纪，天文学和测地学中的一些数据分析问题可以描述如下：有（m＋1）个可以测量的量x0，x1，…，xm，和m个未知的参数β1，β2，…，βm。
按照某种理论，它们之间应有线性关系。
⑴但是由于实际工作中对x0，x1，…，xm的测量存在误差，而且⑴式只是理论上的近似而非严格成立。
也就是说，⑴式左边的表达式实际上不等于0，其真实值与测量有关，可视为一种误差。
若进行了n次测量，在实际问题中，n总是大于甚至是远远大于m，目的是多提供一些信息，以便对参数β1，β2，…，βm作出较精确的估计。
设在第i次测量中，x0，x1，…，xm分别取值x0i，x1i，…，xmi，则按照⑴式，应有（i=1，2，…，n）⑵若⑵式严格成立，则只要从上述n个方程中任意挑出m个就可以解出β1，β2，…，βm的值。
但⑵式并非严格成立，于是需要设计合适的算法来估计参数的值。
1750年，天文学家梅耶发表了一种方法，他在研究海上航行船只的定位问题时，得到了一个包含3个未知参数的形如⑴式的关系式以及27组观测数据。
梅耶把这27个方程分成3组，然后把每组中的9个方程相加，共得到3个方程，这样可以解出3个未知参数。
至于分组的方法，梅耶以其中一个系数为准，按各方程中此系数的大小分组：最大的9个，最小的9个和剩下的9个各成一组。
最小二乘法原理的应用
最小二乘法原理的应用一、什么是最小二乘法最小二乘法（Least Squares Method）是一种数学优化方法，用于寻找数学模型与一组观测数据之间的最佳拟合。
它通过最小化观测数据与拟合模型之间的残差平方和，来确定模型参数的估计值。
二、最小二乘法的原理最小二乘法的原理基于以下假设和观察：1.假设观测数据与拟合模型之间存在一个线性关系；2.观测数据的噪声是独立同分布的，即各个观测值之间相互独立且服从相同的分布；3.拟合模型的参数是未知的，并需要通过观测数据来估计。
根据上述假设，我们可以定义一个目标函数，即残差平方和（Residual Sum of Squares，RSS）。
最小二乘法的目的就是找到使目标函数最小化的参数估计值。
三、最小二乘法的应用最小二乘法在各个领域都有着广泛的应用，下面是一些常见的应用场景：1.线性回归分析最小二乘法可以用于线性回归分析，即通过拟合一条直线来描述两个变量之间的线性关系。
在线性回归中，通过最小化残差平方和来估计直线的斜率和截距。
在机器学习和数据分析中，线性回归是最基本且常用的方法之一，可用于预测、分类等任务。
2.曲线拟合最小二乘法不仅可以用于线性关系的拟合，还可以拟合曲线。
通过选择合适的多项式模型，可以将最小二乘法应用于曲线拟合问题。
曲线拟合广泛应用于信号处理、图像处理以及物理实验数据的分析与建模等领域。
3.数据平滑最小二乘法可以用于对数据进行平滑处理。
通过拟合一条曲线或曲面来代替原始数据中的噪声，从而得到更平滑的数据。
数据平滑在信号处理、时间序列分析以及图像处理中都有着重要的应用。
4.数据降维最小二乘法可以用于数据降维。
通过寻找一个较低维度的线性子空间，可以将高维数据映射到低维空间中，并保留尽可能多的信息。
数据降维在数据可视化、特征提取和模式识别等领域起着重要的作用。
四、最小二乘法的步骤最小二乘法的应用通常包括以下步骤：1.建立数学模型根据问题的具体情况，建立数学模型并假设模型的形式。
【文献综述】最小二乘法的原理和应用
文献综述数学与应用数学最小二乘法的原理和应用一、国内外状况天文学自古代至18世纪是应用数学中最发达的领域。
观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子，在此种意义下，天文学家就是最初的数理统计学家。
天文学的问题逐渐引导到算术平均，以及参数模型中的种种估计方法，以最小二乘法为顶峰。
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
勒让德是法国军事学校的教授，曾任多界政府委员，后来成了多科工艺学校的总监，直至1833年逝世。
有记载最小二乘法最早出现在勒让德1805年发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中。
他在该书中描述了最小二乘法的思想、具体做法及其优点。
勒让德的成功在于它从一个新的角度来看待这个问题，不像其前辈那样致力于找出几个方程（个数等于未知数的个数）再去求解，而是考虑误差在整体上的平衡。
从某种意义讲，最小二乘法是一个处理观测值的纯粹代数方法。
要将其应用于统计推断问题就需要考虑观测值的误差，确定误差分布的函数形式。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。
如已知两变量为线性关系y=a+dx,对其进行n（n>2）次观测而获得n对数据，若将这n对数据代入方程求解a 、b 之值则无确定解。
数学专业毕业论文-最小二乘法的应用研究
最小二乘法的应用研究如需要图纸等资料，联系QQ1961660126 如需要图纸等资料，联系QQ1961660126如需要图纸等资料，联系QQ1961660126最小二乘法的应用研究摘要最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识,并在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域中得到极为广泛的应用.然而,最小二乘法因其抽象、难懂常常不能被准确理解.本文探讨了最小二乘法的基本原理及其各种变形的拟合方法,其中包括:一元线性最小二乘法拟合、多元线性拟合、多项式拟合、非线性拟合,并且讨论了用镜像映射和切比雪夫多项式解“病态”矛盾方程组的基本原理和方法,在此基础上给出了几种最小二乘法程序的设计原理.关键词：最小二乘法,线性拟合,曲线拟合,切比雪夫多项式Study on the Application about Method of Least SquareAbstractLeast square was used to estimate parameters and identify system of regression model, by the point of error fitting. And it has widely application in the parameters estimate, system identification, prediction, forecasting and other fields. However, the least square method because of its abstract and difficult ，often can not be accurately understanding. The least square method’s principle and the various kinds of fitting methods such as the linear least square fitting, multiple linear fitting, polynomial fitting a nonlinear fitting are dealt with. And discussed using mirror and Chebyshev polynomial solution pathological contradictory equations basic principles and methods. Finally some kinds of the principle of the programs on the least square method are given.Key Words：least square method, linear fitting, curve fitting, Chebyshev polynomial目 录一、最小二乘法的统计学原理………………………………………………………1 二、曲线拟合…………………………………………………………………………2 1.一元线性拟合……………………………………………………………………2 2.多元线性拟合……………………………………………………………………4 3.多项式拟合………………………………………………………………………5 4.非线性最小二乘法拟合…………………………………………………………6 5.多项式回归的高精度快速算法…………………………………………………7 三、应用最小二乘法的几个问题……………………………………………………9 四、程序设计原理……………………………………………………………………10 1.线性拟合程序的设计原理………………………………………………………10 2.多元线性拟合程序的设计原理…………………………………………………10 3.Shehata 方程1212k s k su k s k s=+++的拟合程序设计原理..............................11 结束语..........................................................................................11 参考文献 (12)一、最小二乘法的统计学原理[1]基本最小二乘法,其统计学原理是:设物理量y 与l 个变量12,,,l x x x …间的依赖关系式为1201(,,,,,,,)l n y f x x x a a a =……,其中01,,,n a a a …是方程中需要确定的1n +个参数.最小二乘法就是通过()1m m n >+个实验点12(,,,,)(1,2,)i i il i x x x y i m =……,确定出一组参数值01(,,,)n a a a …,使由这组参数得出的函数值1201=(,,,,,,,)i i il n y f x x x a a a ……与实验值i y 间的偏差平方和2011(,,,)()mn i i s a a a y y ==-∑…取得极小值.在设计实验时,为了减小随机误差,一般进行多点测量,使方程式个数大于待求参数的个数,即1m n >+.这时构成的方程组叫做矛盾方程组.通过用最小二乘法进行统计处理,将矛盾方程组转换成未知数个数和方程个数相等的正规方程组,再进行求解得出01,,,n a a a ….由微分学的求极值方法可知01,,,n a a a …应满足下列方程组:0iya ∂=∂ (1,2,,)i n =…, 这样就实现矛盾方程组向正规方程组的转换.二、曲线拟合1.一元线性拟合[2]设变量y 与x 成线性关系,即01y a a x =+.现在已知m 个实验点,i i x y(1,2,,)i m =…,求两个未知参数01,a a .[方法一] 由最小二乘法原理,参数01,a a 应使201011(,)()mi i i s a a y a a x ==--∑取得极小值.根据极小值的求法,0a 和1a 应满足011001112()02()0mi i i mi i ii sy a a x a s y a a x x a ==∂⎧=---=⎪∂⎪⎨∂⎪=---=⎪∂⎩∑∑, 10112011111m m i i i i m m mi i i ii i i a a x y m m a x a x x y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑, 这就是含有两个未知数和两个方程的正规方程组.从中解得01,a a ,即221111()/()m m i i i i i a x y mxy x mx a y a x==⎧=--⎪⎨⎪=-⎩∑∑ (1) 其中1111,m mi i i i x x y y m m ====∑∑,线性相关系数/xy R l =式中2222111,,m m mxy i i xx iyy i i i i l x y mxy l x mx l y my ====-=-=-∑∑∑,相关系数是用来衡量实验点的线性特性.[方法二] 将,(1,2,,)i i x y i m =代入01y a a x =+得矛盾方程组1011201201m my a a x y a a x y a a x =+⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩ (2) 令12111m x x A x ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,12m y y B y ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则（2）式可写成01a B A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则有01TTa A B A A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以011()T Ta A A A B a -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 其中A 称为结构矩阵,B 称为数据矩阵,T A A 称为信息矩阵,T A B 称为常数矩阵.为了定量地给出01y a a x =+与实验数据之间线性关系的符合程度,可以用相关系数r 来衡量.它定义为11122221111m m mi i j ii j i mmmmi i i i i i i i m x y x y r m x X m y y =======-=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑.r 值在01r <≤中,r 值越接近1,x 与y 的线性关系越好.r 为正时,直线斜率为正,称为正相关；r 为负时,直线斜率为负,称为负相关.r 接近于0时,测量数据点分散或之间为非线性.不论测量数据好坏都能求出0a 和1a ,所以我们必须有一种判断测量数据好坏的方法,用来判断什么样的测量数据不宜拟合,判断的方法是0r r <时,测量数据是非线性的.0r 称为相关系数的起码值,与测量次数n 有关,如图表所示.相关系数起码值0r在进行一元线性拟合之前应先求出r 值,再与0r 比较,若0r r >,则x 和y 具有线性关系,可求回归直线；否则反之.2.多元线性拟合设变量y 与n 个变量x 间存在线性关系,01nj j j y a a x ==+∑.设变量j x 的第i 次测量值为ij x ,对应的函数值为(1,2,,)i y i m =,则偏差平方和22010111(,,,)()()mmnn i i j ij i i j s a a a y y y a a x ====-=--∑∑∑为使s 取极小值,得正规方程组为:0110011110112()02()02()0m ni j ij i j m n i j ij i i j m ni j ij in i j nsy a a x a sy a a x x a sy a a x x a ======∂⎧=---=⎪∂⎪⎪∂=---=⎪∂⎨⎪⎪⎪∂=---=⎪∂⎩∑∑∑∑∑∑, 即011101111()n m m ij j ij i i mn m mik ij ik j ik i j j i i ma x a y x a x x a x y =======⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩∑∑∑∑∑∑∑,1,2,,k n =.将实验数据(,)ij i x y 代入上述正规方程组中,即得出未知参数01,,,n a a a .3.多顶式拟合对于n 次多项式0nj j j y a x ==∑,令(0,1,2,,)j j x x j n ==,则可转化为线性形式01nj j j y a a x ==+∑这是曲线化直.对于1,2,,i m =个实验点有j ij i x x =,代入多元线性拟合的正规方程:001111111()()nm m m n m mij j i ik ij ik j ik i j i i i j i i ma x a y x a x x a x y =======⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,可直接得出多项式最小二乘拟合的正规方程:011nm mj k i j ik i j i i x a x y +===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑ (0,1,2,,)k n =；矩阵形式:0120012311123422212ni i i i i i n i i i i i i n i iiii i n n n n m n ii ii i i n x x x x x y a x x x x x y a x xxxx y a x x x x x y a +++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑,式中∑代表1mi =∑,这是一个具有1n +个参数012,,,,n a a a a 和1n +个方程的线性方程组,可用高斯迭代法求出这些未知参数,得出回归方程.4.非线性最小二乘法拟合将非线性关系1212(,,,,,,,)i n y f x x x b b b =直接代入偏差平方和表达式中,采用极小值的求法得出12,,,n b b b 的数值,此方法常常较为繁琐.为此,先将函数展开成泰勒级数,忽略高次项,化成线性形式后按线性拟合的方法求出参数,经多次逼近可得到满足精度要求的结果.计算步骤:(1) 设所求参数真值为(1,2,,)j b j n =,另取初值(0)j b ,其差值(0)j j j b b σ=-,故(0)j j j b b σ=+.(2) 将函数1212(,,,,,,,)l n f x x x b b b在(0)j b 处展开成泰勒级数.由于初值(0)j b 与真值j b 应当很接近,故可以略去函数的泰勒展开式高次项,取得一阶近似展开式:(0)11iii i n nf f f f b b σσ∂∂=+++∂∂, 式中(0)(0)(0)(0)1212(,,,,,,,)i i i il n f f x x x b b b =1212(,,,,,,,)i i i il n f f x x x b b b =(1,2,,.)i m m =为实验点数(3) 令(0),,iij i i i j j jf x y f f a b σ∂==-=∂,则展开式可以写为: 11221ni i in n ij j j y x a x a x a x a ==+++=∑,这是线性关系式的特殊形式.(4) 将多元线性最小二乘法拟合的正规方程式应用于上式,得出其正规方程组:111()()(1,2,,)n mmij ikj ik i j i i x xa x y k n =====∑∑∑令111212122212n n m m mn x x x x x x A x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(,,,)T n a a a a =(0)(0)(0)121122(,,,)(,,,)T Tm m m y y y y f f f f f f ==---,则上式成为:T T a y A A =A .(5) 以高斯消元法或其它方法求解正规方程,即可得出j a 即j σ,求出(0)j j j b b σ=+,此式是一个近似式,因而得出的j b 也是一个近似值.将首次求出的j b 值赋给(0)j b 作为新的初值,重复上述过程,再求出新的j σ值,从而得到新的初值,反复迭代,直到得出足够精度的j b 为止.5.多项式回归的高精度快速算法多项式回归分析在回归分析方法中具有特别重要的地位.在多项式回归分析的矩阵运算中,解决数字病态问题则成为重要问题之一.为此采取两个措施:第一,因为正规方程的条件数是矛盾方程组的平方倍,所以首先采用镜像影射法解矛盾方程组,不解正规方程组；第二,采用切比雪夫多项式,使矛盾方程组系数矩阵正交化,使条件数进一步减小.采用这两种有效方法后,多项式逐次分析的运算工作就容易了,并且提高了精度.算法原理:(1) 运用切比雪夫多项式降低矛盾方程的条件数.对矛盾方程组的系数矩阵(0)(1)()[,,,]n X x x x =,向量(0)(1)()[,,,]n x x x 的ε线性相关程度与X 矩阵的条件数有密切关系.当系数矩阵为正交向量时条件数最小.因此,如果将多项式回归转化成切比雪夫多项式回归,就能将条件数降低到尽可能小的程度.(2) 将测量数据化为[1,1]-区间的数据{}k y .将一般多项式的测量数据12n x x x <<<线性影射到[1,1]-内,就能把一般多项式的回归问题转化成切比雪夫回归问题.(3) 对数据{}k x 拟合切比雪夫多项式.对2201122()()y a a T x a T x =+++用切比雪夫多项式拟合数据(,)k k x y ,1,2,,k n =,并经过模型方次和参数的最小二乘估计,算出i a ,1,2,,i n =.(4) 由切比雪夫多项式还原成普通多项式.这种算法能在一次输入实验数据后,系统自动根据残差平方和的F 检验快速确定方次并求出参数.例如[3],某振动筒式压力传感器的静态标定数据,在95%的置信带内,运行建模程序得到静态频率-压力特性为二次多项式；2()6850.4116000.21141.781f p p p =+-三、应用最小二乘法的几个问题最小二乘法虽然在数据处理方面具有显著的效果,但如果使用不当会导致很大的误差,甚至错误的结果.因此,在应用时必须注意以下几个问题:(1) 慎重选择拟合关系式在实际问题中,适当选择拟合关系式是一项十分谨慎的工作,它将直接影响计算的工作量和结论.(2) 自变量的选择在实际工作中,对一组实验(,)i i x y 数据按不同的拟合形式,结果会不一样.特别注意当两个变量都有一定误差时,应当使用双变量最小二乘法进行处理,否则可以使用单变量最小二乘法.(3) 加权最小二乘法此法是应用于实验测量值i y 非等精度的情况下的拟合方法.它不同程度的消除误差因素,结果更准确可靠.设拟合函数为()y f x =,当x 值取i x 时y 的实测值为i y ,取()i i i y f x σ=-.加权偏差平方和()2211()mmi ii i i i i s w w y f x σ====-∑∑,式中i w 为i 个实验点的权重因子.选取合适的权重因子i w 可获得高精度的拟合参数.四、程序设计原理1.线性拟合程序的设计原理[4]对于给定的实验数据(,),1,2,i i x y i n =,求作拟合直线y a bx =+,使总误差21[()]ni i i Q y a bx ==-+∑为最小.再由数学中极值求法得LS 公式:211()()/()nni i i i i b x x y y x x ===---∑∑,a y bx =-,式中11n i i x x n ==∑,11ni i y y n ==∑.2.多元线性拟合程序的设计原理对式01nj j j y a a x ==+∑,设变量j x 的第i 次测量值为ij x ,对应的函数值(1,2,)i y i n =偏差平方和22010111(,,,)()()m m nn i i j ij i i j s a a a y y y a a x ====-=--∑∑∑…,求其极小值得正规方程组0111()nmmij j i j i i ma x a y ===+=∑∑∑,01111()()nn m mikij ik j ij ik j j i i xa x x a x x ====+=∑∑∑∑ (1,2,,)k n =,式中：m 为实验点数,n 为未知参数个数,(,)x m n 为变量(1,2,,)j x j n =在第i (1,2,,)i m =次测量中的取值ij x ；()y m 为函数第i 次测量值i y ,(,1)c m n +为正规方程组的系数1mij i x =∑和1mij ik i x x =∑,第1n +列存放1mi i y =∑和1mik i i x y =∑;()a n 为存放未知参数01,,,n a a a .3.Shehata 方程1212k s k su k s k s=+++的拟合程序设计原理 将方程考虑为12,k k 的函数,将2211()u s k k s ∂=∂+,2222()u s k k s ∂=∂+, 代入正规方程即得结果.结束语最小二乘法是一个比较古老的方法,早在十八世纪,就由首先创立并成功地应用于天文观测和大地测量工作中.此后近三百年来,它己广泛应用于科学实验与工程技术中.最小二乘法能将从实验中得出的一大堆看上去杂乱无章的数据中找出一定规律,拟合成一条曲线来反映所给数据点总趋势,以消除其局部波动.它为科研工作者提供了一种非常方便实效的数据处理方法.随着现代电子计算机的普及与发展,这个占老的方法更加显示出其强大的生命力.参考文献:[1]李庆扬,王能超,易大义.数值分析(第4版)[M].北京:清华大学出版社,2001.[2]黄俊钦.静动态数学模型的实用建模方法[M].北京:机械工业出版社,1988.[3]宋文臣主编.True Basic语言程序设计[M].北京:电子工业出版社,1994.[4]王能超.数值分析简明教程[M].北京:高等教育出版社,1984.[5]肖明耀.误差理论与应用[M].北京:计量出版社,1985.[6]宋文臣,王卫国等.微生物工程数据处理与建模研究[J].青岛化工学院学报,1996,17(3):284-289.[7]赵新那等.数值分析在分析化学中的应用[M].武汉:中南工业大学出版社,1987.[8]徐成贤,陈志平,李乃成.近代优化方法[M].北京:科学出版社,2002.。
最小二乘法的原理与应用
最小二乘法的原理与应用原理介绍最小二乘法是一种常见的数学优化方法，广泛应用于各个领域，特别是在统计学和机器学习中。
它的原理是通过最小化误差平方和来拟合观测数据和数学模型之间的差距，从而找到数据背后的真实模型。
最小二乘法的核心思想是，通过找到一个数学模型，使得该模型下的预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
为了达到这个目标，需要建立一个关于模型参数的误差函数，并对该函数进行求解。
最终，通过最小化这个误差函数，找到最佳的模型参数。
应用场景最小二乘法在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.线性回归分析：最小二乘法用于分析两个或多个变量之间的线性关系，并用线性模型进行预测。
例如，通过身高和体重之间的线性关系，预测一个人的理想体重。
2.时间序列分析：最小二乘法用于预测时间序列数据的未来趋势。
通过对历史数据进行回归分析，可以建立一个时间序列模型，并利用该模型进行未来的预测。
3.信号处理：最小二乘法用于滤波器设计和频谱估计。
通过最小化残差平方和，可以得到一个最佳的滤波器或频谱估计。
4.数据拟合：最小二乘法用于拟合数据到数学模型。
例如，在曲线拟合中，可以通过最小二乘法来找到一个最佳拟合曲线，使得该曲线与实际数据之间的残差最小。
5.优化问题：最小二乘法可用于求解各种优化问题，例如最小化成本、最大化收益等。
通过建立一个优化目标函数，并将其转化为最小二乘法问题，可以找到一个最佳的方案。
最小二乘法的实现步骤最小二乘法的实现包括以下步骤：1.确定数学模型：首先需要确定一个数学模型，用于描述观测数据和待拟合模型之间的关系。
2.建立误差函数：通过数学模型和观测数据，建立一个关于模型参数的误差函数。
通常，误差函数是观测值与模型预测值之间的差异度量。
3.最小化误差函数：利用最小二乘法的原理，对误差函数进行求解，找到使误差函数最小化的模型参数。
4.验证拟合效果：使用找到的最佳模型参数，通过拟合数据，并与实际观测值进行比较，验证拟合效果。
最小二乘法的原理及应用
最小二乘法的原理及应用最小二乘法是一种统计学上的回归分析方法，它用于确定两个变量之间的线性关系。
最小二乘法可以用于处理一组数据，以得到数据中变量之间的关系。
在实际应用中，最小二乘法的应用非常广泛，如经济学、物理学、工程学等领域。
一、最小二乘法的原理最小二乘法的原理是通过最小化误差平方和来确定数据之间的线性关系。
在最小二乘法中，误差指的是预测值与实际值之间的差异。
最小二乘法的步骤如下：1. 收集数据，并绘制出散点图。
2. 绘制最佳拟合直线，使所有数据点到直线的距离之和最小。
3. 计算最佳拟合直线的方程式。
最小二乘法是通过最小化误差平方和的数学公式来计算最佳拟合直线的。
误差平方和等于每个数据点与最佳拟合直线之间的距离的平方和。
最小二乘法的目的就是要使这个误差平方和最小。
二、最小二乘法的应用最小二乘法的应用非常广泛，其中一些典型的应用包括：1. 经济学在经济学中，最小二乘法被用于研究价格、产量和需求之间的关系。
最小二乘法可以帮助经济学家确定供求曲线，并预测价格和数量的走向。
2. 物理学在物理学中，最小二乘法被用于研究物理系统中的不确定性。
物理学家可以使用最小二乘法来确定实验数据中的误差以及物理定律的适用性。
3. 工程学在工程学中，最小二乘法被用于研究不同变量之间的关系。
最小二乘法可以帮助工程师预测材料的性能、机器的寿命、以及其他相关的工程问题。
最小二乘法在各种学科中的应用范围是非常广泛的，它可以帮助研究人员发现不同变量之间的关系，从而预测未来的趋势。
因此，最小二乘法在科学研究和实践中具有重要地位。
最小二乘法原理及其应用
最⼩⼆乘法原理及其应⽤
⼤纲
提出背景
在分析数据的时候常⽤到插值，如线性插值、抛物线插值、拉格朗⽇插值等，但是其
存在缺陷是：
1.所表达的多项式次数⼀般为n次
2.数据存在误差时会偏离实际的曲线
最⼩⼆乘法定义
样本数据xi在y轴上的点yi与拟合曲线zi=f（xi）之间的差的平⽅和。
设所求的多项式为
假设存在n+1个样本即（），i=0,1，…n
则由最⼩⼆乘法的定义可知：使得所有样本差的平⽅和最⼩时时多项式的系数。
即
分别对a0，a1，…,ak求偏导，即
即存在存在n+1元⼀次线性⽅程组。
即如果拟合曲线是线性多项式，则相当于求解⼆元⼀次⽅程组。
如果拟合曲线是⾮线性多项式，如⼆次，则求解三元⼀次⽅程组。
以此类推，求解n次多项式，则相当于求解n+1阶线性⽅程组。
3.为什么是平⽅和？
假设如果取绝对值的话，曲线存在尖点就不能求导（偏导）。
最⼩⼆乘法的本质就是求解线性⽅程组。
4.应⽤
这是⼀篇硕⼠论⽂中运⽤拟合（最⼩⼆乘法的案例，详情见参考⽂献），由于硬件原因，测量距离和实际距离存在偏差，通过⼆次多项式拟合⽅式的补差误差。
前⾯谈到，⼆次的话需要求解三元⼀次⽅程组。
参考⽂献
[1] 蔡锁章，杨明等. 数值计算⽅法[M]:2 版. 北京：国防⼯业出版社，2016.2.
[2] 徐国平. 智能感控视⼒保护仪的设计[D]. 湖北省武汉市：华中师范⼤学物理科学与技术学院，,2013.（p66）时间：2021-06-13/15:41:56。
最小二乘法的原理和应用
最小二乘法的原理和应用1. 原理最小二乘法是一种最常用的参数估计方法，用于拟合数据点与理论模型之间的误差。
它通过最小化误差的平方和来确定模型参数的最佳估计值。
在最小二乘法中，我们假设数据点服从一个线性模型，即y = mx + b其中，y是因变量，x是自变量，m和b是待求的参数。
我们希望找到最优的m和b，使得模型的预测值与实际观测值之间的误差最小。
最小二乘法的核心思想是将误差平方化，即将每个数据点的误差差值平方，并将所有的差值平方求和。
通过最小化这个平方差和，我们可以得到最优的参数估计值。
2. 应用最小二乘法在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：2.1 线性回归最小二乘法在线性回归中被广泛使用。
线性回归是一种统计分析方法，用于确定两个变量之间的线性关系。
通过最小二乘法，我们可以估计线性回归模型中的斜率和截距，从而预测因变量的值。
2.2 数据拟合最小二乘法还可以用于数据拟合。
通过选择适当的模型和参数，最小二乘法可以拟合数据点，并生成一个描述数据行为的数学模型。
这对于预测未来的数据点或分析数据的趋势非常有价值。
2.3 图像处理最小二乘法在图像处理中也有应用。
例如，在图像平滑和去噪方面，最小二乘法可以用于拟合图像上的像素值，并通过消除噪声来提高图像的质量。
2.4 物理建模在物理建模中，最小二乘法可以用于确定物理系统的参数。
通过测量物理系统的输入和输出，并使用最小二乘法，我们可以估计出系统的参数，以便更好地理解和预测系统的行为。
3. 实现步骤最小二乘法的实现步骤如下：1.收集数据：首先，需要收集一组包含自变量和因变量的数据。
2.建立模型：根据问题的要求，选择适当的模型。
例如，在线性回归中，我们选择了y = mx + b的线性模型。
3.计算预测值：通过代入自变量的值，并使用模型中的参数，计算预测值。
4.计算误差：将预测值与实际观测值进行比较，并计算误差。
误差可以通过求差值的平方来计算。
5.求解参数：通过最小化误差的平方和，可以得到最优的参数估计值。
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毕业论文文献综述
信息与计算科学
最小二乘法的原理及应用
一、国内外状况
国际统计学会第56届大会于2007年8月22-29日在美丽的大西洋海滨城市、葡萄牙首都里斯本如期召开。
应大会组委会的邀请，以会长李德水为团长的中国统计学会代表团一行29人注册参加了这次大会。
北京市统计学会、山东省统计学会，分别组团参加了这次大会。
中国统计界（不含港澳台地区）共有58名代表参加了这次盛会。
本届大会的特邀论文会议共涉及94个主题，每个主题一般至少有3-5位代表做学术演讲和讨论。
通过对大会论文按研究内容进行归纳，特邀论文大致可以分为四类：即数理统计，经济、社会统计和官方统计，统计教育和统计应用。
数理统计方面。
数理统计作为统计科学的一个重要部分，特别是随机过程和回归分析依然展现着古老理论的活力，一直受到统计界的重视并吸引着众多的研究者。
本届大会也不例外。
二、进展情况
数理统计学19世纪的数理统计学史, 就是最小二乘法向各个应用领域拓展的历史席卷了统计大部分应用的几个分支——相关回归分析, 方差分析和线性模型理论等, 其灵魂都在于最小二乘法; 不少近代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来, 作为其进一步发展或纠正其不足之处而采取的对策, 这包括回归分析中一系列修正最小二乘法而导致的估计方法。
数理统计学的发展大致可分 3 个时期。
① 20 世纪以前。
这个时期又可分成两段，大致上可以把高斯和勒让德关于最小二乘法用于观测数据的误差分析的工作作为分界线，前段属萌芽时期，基本上没有超出描述性统计量的范围。
后一阶段可算作是数理统计学的幼年阶段。
首先，强调了推断的地位，而摆脱了单纯描述的性质。
由于高斯等的工作揭示了最小二乘法的重要性，学者们普遍认为，在实际问题中遇见的几乎所有的连续变量，都可以满意地用最小二乘法来刻画。
这种观点使关于最小二乘法得到了深入的发展，②20世纪初到第二次世界大战结束。
这是数理统计学蓬勃发展达到成熟的时期。
许多重要的基本观点和方法，以及数理统计学的主要分支学科，都是在这个时期建立和发展起来的。
这个时期的成就，包含了至今仍在广泛使用的大多数统计方法。
在其发展中，以英国统计学家、生物学家费希尔为代表的英国学派起了主导作用。
③战后时期。
这一时期中，数理统计学在应用和理论两方面继续获得很大的进展。
三、研究方向
数理统计方法在工农业生产、自然科学和技术科学以及社会经济领域中都有涉及而最小二乘法在这些领域内都有广泛的应用。
我从学习最小二乘法，最小二乘法拟合，Matlab实现，在它们的基础上加上自己得出的一些结论。
以便我们更好、更清楚理解最小二乘法崇高地位。
四、存在问题
国家统计部门的数据质量后认为，公众不喜欢枯燥的统计数字。
因此，他们建议采取各种措施，加强数据生产者和使用者之间的联系。
学生在学习数理统计学中的最小二乘法，要让他们了解其历史背景及学习的意义来调动学生的积极性。
并且要求学生能够更好的学习重要的理论知识，
五、参考依据
[1]邹乐强，最小二乘法原理及其简单应用[J] 河南：职校论坛 2010, (23)
[2]施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2009. 103-104
[3]施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2009. 105-106
[4]施吉林刘淑珍；计算机数值方法（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2009. 107-108
[5] 高富德.最小二乘法的初等证明[J].玉溪师专学报，1989,4：1-2.
[6]丁丽娟. 数值计算方法[M] . 北京:北京理工大学出版社,1997 :127 - 130.
[7]庄楚强,吴亚森. 应用数理统计基础[M] . 广州:华南理工大学出版社,2000.
[8]罗批,郭继昌,李锵,等. 基于偏最小二乘回归建模的
探讨[J ] . 天津大学学报. 2002 ,35 (6) :783 - 786.
[9] 杜天玉，蔡波，王吉，陈振雄.最小二乘法及其在Matla中的应用[J].福建厦门：
[10]王可等.基于Matlab实现最小二乘曲线拟合[J].北京广播学院学报，2005,12(2):52～56.
[11]王武义, 徐定杰, 陈键翼. 误差原理与数据处理[M ] . 哈尔滨: 哈尔滨工业大
学出版社, 2002.。