2020年浙江苍南县“姜立夫杯”高一数学试题(附答案)

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2020 年苍南县、龙港市“姜立夫杯”数学竞赛

高一试卷

考生注意事项：

1 本卷共有 17 道题目,全卷满分 100 分,考试时间 120 分钟.

2 答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.

3 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.

4 本卷解答一律不准使用计算器.

一、单选题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分，每小题有且仅有一个正确的答案）

1．已知集合 A = {x | y = x + 1}, B = { y | y = lg x } ，则 A B = （ ）

A ．[-1, +∞)

B ．[0, +∞)

C ． (0, +∞)

D ． R

2.已知函数对任意的 x ∈ R 有 f ( x ) + f (- x ) = 0 ，且当 x > 0 时， f ( x ) = ln( x + 1) ，则函数

f ( x ) 的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

⎧ 3.已知函数 f ( x ) = log 3 x , x > 0 ，函数 F ( x ) = f ( x ) - b 有四个不同的零点 x ，x ，x ， ⎨ x 2 + 4x + 1, x ≤ 0 1 2 3 x 4 ，且满足： x 1 < x 2 < x 3 < x 4 ，则 x 1 + x 2 x 3 x 4 的值是（ ）.

A ．-4

B ．-3

C ．-2

D ．-1

4. x 3 - 2 < 0是 x 3 + x 2 + x - 1 < 0的

（

）条件 .

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的

公式：设三角形的三条边长分别为 a ， b ， c ，则三角形的面积 S 可由公式

S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦

—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a = 6 ，b + c = 8 ，则三角形面积最大值为（ ）

A ． 3 7

B ．8

C ． 4 7

D ． 9 3

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二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 4 分，满分 12 分，每小题有多个正确的答案，错选 不给分，少选给一半分数）

⎧0, 0 < x < 1 6.定义“正对数”： ln + x = ⎨ ⎩ln x , x ≥ 1 ，下列命题中正确的有（ ）

A.若 a > 0 ， b > 0 ，则

ln + (ab ) = ln + a + ln + b ；B.若 a > 0 ， b > 0 ，则 ln + a b = b ln + a ；

⎛ a ⎫ ≥ - C.若 a > 0 ， b > 0 ，则 ln +

⎪ ⎝ b ⎭ ln + a ln + b ； D.若 a > 0 ， b > 0 ，则 ln + (a + b ) ≤ ln + a + ln + b + ln + 2 .

7.（ln x - a )( x - a )( x - b ) ≥ 0对x ∈ (0,+∞）恒成立，则下列结论正确的是（ ）

A . a ≤ 0

B . a ≥ 1

C . b ∈ (0,1]

D . b > 1

8.若函数 f ( x ) 对任意的 x ∈ R ，均有 f ( x - 1) + f ( x + 1) ≥ 2 f ( x ) ，则称函数 f ( x ) 具有性

质

P ，则下列判断正确的有（ ）

A. 函数f ( x ) = 3x 具有性质

P

B. 函数f ( x ) = x 3具有性质P

C. 函数f ( x )具有性质P , 若f (1) = f (99) = 0, 则f (10) ≤ 0

D. 函数f ( x )具有性质P , 若f (1) = f (14) = 0, 则f ( 15) ≤ 0

三、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 6 分，满分 36 分.）

9.我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步. 问人车各几何？”其大意是：“每车坐 3 人，两车空出来；每车坐 2 人，多出

9 人步行.问人 数和车数各多少？”根据题意，其车．数为 辆.

10. 定义在R 上的函数f ( x )具有性质：(1) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y （) 2）当x > 0时，f ( x )单调增

则不等式 f ( x + 1) + f (3x - 3) + 4x > 2的解集为

11. 已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ， f (2017) = 2018，f (2018) = 2019

f (2019) = 2020，则f (2020) =

12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数， 且 f ( x + 4) = f (2 - x ) .若当 x ∈

（0, 3）时，

f ( x ) = 4 x , 则f (lo

g 2 60) =

.

13. f ( x ) = 3x 2 + 2(1 - a ) x - a (a + 2), y = f ( f ( x ))有且只有两个零点