人教课标版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》章末综合检测B卷

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高中数学选修第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试

2、当由单调性知：，化简得：，解得
不合要求；综上，为所求。
20．<1）解法1：∵ ，其定义域为，
∴ ．
∵ 是函数的极值点，∴ ，即．
∵ ，∴ ．
经检验当时，是函数的极值点，
∴ ．
解法2：∵ ，其定义域为，
∴ ．
令，即，整理，得．
∵ ，
∴ 的两个实根 <舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：
<A） <B） <C） <D）
5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为< ）
A． B． C． D．
6．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为< ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
7．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是< ）
8．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为< ）A． B． C． D． b5E2RGbCAP
A
如图所示，切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
11．
12．32
13．
14. (1>
三、解答题
15. 解：设长方体的宽为x<m），则长为2x(m>，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′<x）＝0，解得x=0<舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′<x）＞0；当1＜x＜时，V′<x）＜0，
17．设函数分别在处取得极小值、极大值. 平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足 ,点是点关于直线的对称点，.求(Ⅰ>求点的坐标； (Ⅱ>求动点的轨迹方程. RTCrpUDGiT

数学人教B版选修1-1本章测评第三章导数及其应用 Word版含解析

本章检测
(时间分钟，满分分)
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.每题只有一个正确答案，请把正确答案的选项填在括号内)
.已知()在处可导，则等于( )
′()()
()·′()()·′()
解析：
()·′（).
答案：
.物体运动的方程为，则的瞬时速度为( )
解析：利用导数的物理意义.
答案：
.若曲线与在处的切线互相垂直，则等于( )
.或
解析：
∴·（).∴.∴
答案：
.(湖北高考，文)已知函数()在处的导数为，则()的解析式可能为( )
()()()()()
()()()
解析：对于选项，有′(),于是′().合题意，故选.
答案：
.函数()()在［］上的最大值为( )
.
.
解析：′(),由′(),得.而()()()，所以().故选. 答案：
.已知()，则′()等于 …()
.
解析：′()
将代入′()中得′(）.
答案：
.已知函数()′(),则()与()的大小关系是( )
()()()<()
()>().无法确定
解析：′()′(),
∴′()′().
∴′().∴().
∴()().
答案：
.函数()在(,］上取得最大值时，的值为( )
.
.
解析：′(),∴.。

人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题(含答案).docx

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

2019_2020学年高中数学第三章导数及其应用章末综合检测(三)课件新人教B版选修1_1

第三章导数及其应用
6．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点
第三章导数及其应用
解析：选 D.函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x22＋ 1x＝x－x22.当 x＝2 时，f′(x)＝0；当 x＞2 时，f′(x)＞0，函数 f(x)为增函数；当 0＜x＜2 时，f′(x)＜0，函数 f(x) 为减函数，所以 x＝2 为函数 f(x)的极小值点．故选 D.
5．若曲线 y＝1x在点 P 处的切线斜率为－4，则点 P 的坐标是( ) A.12，2 B.12，2或－12，－2 C.－12，－2 D.12，－2
第三章导数及其应用
解析：选 B.y′＝－x12，由－x12＝－4，得 x2＝14，从而 x＝ ±12，分别代入 y＝1x，得 P 点的坐标为12，2或－12，－2.
第三章导数及其应用
解析：选 A.
Δlxim→0
f（1－Δx）－f（1）－Δx
＝Δlxim→0 f（1－1－ΔΔx）x－－f1（1）＝f′(1)．
第三章导数及其应用
2．若函数 f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，则 f′(1)的值为(
)
A．0
B．2
C．1
D．－1
解析：选 A.f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则 f′(1)＝12－2f′(1)·1
第三章导数及其应用
11．函数 y＝x2－2sin x 的图象大致是(
)
第三章导数及其应用
解析：选 C.y′＝12－2cos x，令 y′＝0，解得 cos x＝14，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数 y＝x2－2sin x 有无穷多个极值点，又函数 y＝x2 －2sin x 是奇函数，图象关于坐标原点对称，故只能是选项 C 中的图象．

高中数学人教版选修1-1 第三章导数及其应用单元测试卷(B)

第三章导数及其应用单元测试卷（B ）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( )A ．5B ．25C ．125D ．625 2．函数y ＝x 2cos x 的导数为 ( ) A ．y ′＝2x cos x －x 2sin x B ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin xC ．y ′＝x 2cos x －2x sin xD ．y ′＝x cos x －x 2sin x 3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)4．若f (x 0)存在且f ′(x 0)＝0，下列结论中正确的是( ) A ．f (x 0)一定是极值点 B ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值 C ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值D ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值5．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为 ( ) A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x 6．函数f (x )＝ln x x (0<x <10)( )A ．在(0,10)上是增函数B ．在(0,10)上是减函数C ．在(0，e)上是增函数，在(e,10)上是减函数D ．在(0，e)上是减函数，在(e,10)上是增函数 7．若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( ) A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <18．函数y ＝12x －2sin x 的图象大致是( ) 9．已知函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为( )A ．a >13B ．a ≥13C ．a <13且a ≠0D ．a ≤13且a ≠010．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)11．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2 (0≤x ≤400)，80 000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品数是( )A ．100B ．150C ．200D ．30012.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 12＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.163第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13. 如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________. 14．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 15．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________． 16．已知f (x )＝(2x －x 2)e x ，给出以下四个结论： ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值；④f (x )有最大值，没有最小值．其中判断正确的是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．已知函数y ＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线方程． 18．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a ，b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性．19．设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．20.如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．21．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行． (1)求a ，b ； (2)求函数f (x )在[0，t ] (t >0)内的最大值和最小值． 22．已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12. (1)求f (x )的解析式； (2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．第三章导数及其应用单元测试卷（B ）答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．C 2．A 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C 9．C 10．D 11．D 12．C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．214．215.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π216．①②④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．解曲线方程为y ＝x 3－3x ，点A (0,16)不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 03－3x 0.因为f ′(x 0)＝3(x 02－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 02－1)(x －x 0)．点A (0,16)在切线上，则有16－(x 03－3x 0)＝3(x 02－1)(0－x 0)．化简得x 03＝－8，解得x 0＝－2.所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0.18．解 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得 f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3. 故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 19．解由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c . 因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*) 由于a >0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值范围是[1,9]． 20．解 (1)设长为x m ，则宽为200x m.据题意，得⎩⎨⎧ x ≤16，200x ≤16，解得252≤x≤16，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16.(2)由(1)知y ′＝800－259 200x 2，令y ′＝0，解得x ＝18，当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数；当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数．∴在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，16上，函数y 单调递减，∴当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45 000元．21．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0f ′(1)＝－3即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝02a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．f ′(x )与f (x )随x 变化状态如下：由f (x )＝f 因此根据f (x )图象，当0<t ≤2时，f (x )的最大值为f (0)＝2，最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2；当2<t ≤3时，f (x )的最大值为f (0)＝2，最小值为f (2)＝－2；当t >3时，f (x )的最大值为f (t )＝t 3－3t 2＋2，最小值为f (2)＝－2. 22．解 (1)∵f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)(a >0)． ∴f (x )在区间[－1,4]上的最大值是f (－1)＝6a . 由已知，得6a ＝12，∴a ＝2， ∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x (x ∈R )． (2)方程f (x )＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0 设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，h (x )是增函数． ∵h (3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0， ∴方程h (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根， ∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f (x )＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根．。

数学人教B版选修1-1单元测试第三章导数及其应用 Word版含解析

本章测评(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)根据导数的定义，′()等于( )．．函数＝在()处的切线方程为( )．＝－．＝．＝－．＝－()与()是定义在上的两个可导函数，若()、()满足′()＝′()，则()与()满足( )．()＝()．()－()为常数函数．()＝()＝．()＋()为常数函数设函数()在上的导函数为′()，且()＋′()＞.下面的不等式在上恒成立的是( )．()＞．()＜．()＞．()＜下列函数中，在(，＋∞)内为增函数的是…( )．＝．＝．＝－．＝－＋函数()＝＋＋－，已知()在＝－时取得极值，则的值为( )．．．．函数()＝－＋图象上点(，－)处的切线方程为( )．＋－＝．－＋＝．＋＋＝．－－＝在函数＝－的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( ) ．．．．已知函数＝′()的图象如图，则下列四个图中，＝()的图象大致为…( )已知对任意实数，有(－)＝－()，(－)＝()，且＞时′()＞，′()＞，则＜时( )．′()＞，′()＞．′()＞，′()＜．′()＜，′()＞．′()＜，′()＜二、填空题(本大题共个小题，每小题分，共分．把答案填在题中的横线上)函数＝在＝处的导数为．某物体的运动方程为＝－＋＋(＜≤)，则它的瞬时速度的最大值和最小值分别为．曲线＝在点(，)处的切线与坐标轴所围三角形面积为．若函数()＝－′()·＋＋，则′()＝.设＜＜，函数()＝－＋(－≤≤)的最大值为，最小值为－，则常数＝，＝.三、解答题(本大题共个小题，共分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(分)设函数()＝－－－，点为曲线＝()上一个动点，求以为切点的切线斜率取最小值时的切线方程．(分)设函数()＝＋＋在＝和＝－处有极值，且()＝－，求，，的值，并求出相应的极值。

2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学业分层测评：第3章导数及其应用 3-2-3 含答案精品

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标] 一、选择题1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x【解析】∵y＝sin x＋cos x，∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x．故选D. 【答案】 D2．函数y＝(x＋1)(x－1)的导数等于()A．1B．－1 2xC.12x D．－14x【解析】因为y＝(x＋1)(x－1)＝x－1，所以y′＝x′－1′＝1. 【答案】 A3．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为() A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2【解析】∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.故选A.【答案】 A4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) 【导学号：25650118】A ．3B ．2C ．1D.12【解析】因为y ′＝x 2－3x ，所以由导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．【答案】 A5．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．故选B.【答案】 B 二、填空题6．已知f (x )＝52x 2，g (x )＝x 3，若f ′(x )－g ′(x )＝－2，则x ＝________. 【解析】因为f ′(x )＝5x ，g ′(x )＝3x 2，所以5x －3x 2＝－2，解得x 1＝－13，x 2＝2.【答案】－13或2 7．若曲线处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.【解析】【答案】 648．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．【解析】 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1.【答案】 1 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝e x ＋1e x －1.【解】 (1)法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1， y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.10．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程.【导学号：25650119】【解】因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为：y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. [能力提升]1．函数y ＝x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos x －x 2sin x B ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x C ．y ′＝x 2cos x －2x sin xD ．y ′＝x cos x －x 2sin x【解析】 y ′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【答案】 A2．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，∴f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D3．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________. 【解析】因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋3)(x ＋4)·(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋4)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋5)＋x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120. 【答案】 1204．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 【导学号：25650120】【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为：y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x－x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为 12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

【数学】第三章《导数及其应用》测试(1)(新人教B版选修1-1)

第三章导数及其应用单元测试一、选择题 1 函数()323922y x x x x =---<<有（） A 极大值5，极小值27- B 极大值5，极小值11- C 极大值5，无极小值 D 极小值27-，无极大值 2 若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h→+--=（） A 3- B 6- C 9- D 12- 3 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 4 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（） A ()f x =()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 5 函数xx y 142+=单调递增区间是（） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),21(+∞ D ),1(+∞ 6 函数xx y ln =的最大值为（） A 1-e B e C 2e D 310 二、填空题 1 函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 2 函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________ 3 函数32x x y -=的单调增区间为，单调减区间为___________________4 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是5 函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________三、解答题1．已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值2 如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间4 平面向量13(3,1),(,)22a b =-= ，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+ 且x y ⊥ ，试确定函数()k f t =的单调区间参考答案[综合训练B 组]一、选择题 1 C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值 2 D '0000000()(3)()(3)lim 4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===- 3 C 设切点为0(,)P a b ，'2'2()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±，把1a =-，代入到3()2f x x x =+-得4b =-；把1a =，代入到3()2f x x x =+-得0b =，所以0(1,0)P 和(1,4)-- 4 B ()f x ,()g x 的常数项可以任意 5 C 令3'222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -=-=>-++>> 6 A 令'''22(ln )ln 1ln 0,x x x x x y x e x x -⋅-====，当x e >时，'0y <；当x e <时，'0y >，1()y f e e ==极大值，在定义域内只有一个极值，所以max 1y e= 二、填空题 1 36+π '12s i n 0,6y x x π=-==，比较0,,62ππ处的函数值，得max 36y π=+ 2 37- '2'3()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x =+==-=-==-时 3 2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '22320,0,3y x x x x =-+===或 4 20,3a b a c >≤且 '2()320f x ax bx c =++>恒成立，则220,0,34120a a b ac b ac >⎧><⎨∆=-<⎩且 5 4,11- '2'2()32,(1)230,(1)110f x x a x b f a b f a a b =++=++==+++= 22334,,3119a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩或，当3a =-时，1x =不是极值点三、解答题 1 解：00'''2'210202,|2;3,|3x x x x y x k y x y x k y x ========331200361,61,6k k x x =-=-=- 2 解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去） (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值，18V ∴=最大值 3 解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+ （2）'3310310()1090,0,1010f x x x x x =->-<<>或单调递增区间为310310(,0),(,)1010-+∞ 4 解：由13(3,1),(,)22a b =-= 得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=- '233()0,1,144f t t t t =-><->得或；2330,1144t t -<-<<得所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,1)-。

2019-2020新人教B版数学选修1-1 章末综合测评3 导数及其应用

章末综合测评(三) 导数及其应用(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，那么质点在t ＝4时的速度是( )A ．12523B ．110523C ．25523D ．110523B [∵s ＝5t ，∴s ′＝155t 4，∴v ＝s ′|t ＝4＝15544＝110523.]2．若f′(x 0)＝－2，则lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)2k等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．12C [lim k →0 f (x 0－k )－f (x 0)2k ＝－12lim －k →0 f (x 0－k )－f (x 0)－k ＝－12f′(x 0)＝1.] 3．下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x )′＝3x log 3e ； ②(log 2x )′＝1x ln 2； ③(e x )′＝e x ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝x ； ⑤(x e x )′＝e x ＋1. A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [求导运算正确的是②③，故选B.]4．曲线f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为 ( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5B [由f′(x )＝3x 2－6x ，知曲线f (x )在点(1，－1)处的切线的斜率k ＝f′(1)＝－3，所以切线方程为y －(－1)＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2.故选B.] 5．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( ) A ．－23B ．－43C ．43D ．34D [因为f′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D.] 6．函数f (x )的导函数f′(x )的图象是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴的交点坐标为(1,0)，则f (0)与f (3)的大小关系为( )A ．f (0)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (0)＝f (3)D ．无法确定B [由题意，知f (x )的图象是以直线x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f (0)＝f (2)>f (3)．]7．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )D [观察导函数f′(x )的图象可知，f′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A 、C.如图所示，f′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.]8．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意得f′(x )＝3x 2－12，令f′(x )＝0得x ＝±2，∴当x ＜－2或x ＞2时，f′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]9．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]B [f′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x.函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，等价于x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.]10．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜aB [由f (x )＝f (2－x )可知，函数图象关于直线x ＝1对称，当x <1时，f′(x )>0，则函数f (x )在区间(－∞，1)上单调递增，当x >1时，f′(x )<0，则函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，所以f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，故c <a <b .]11．如图，不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于点E ，当l 从左至右水平移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的图象大致为 ( )C [当直线l 从左至右水平移动时，一开始面积的增加速度越来越快，即导数为增函数，则f (x )的图象下凹，过了D 点后面积保持匀速增加，f (x )的图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度逐渐减慢，即导数为减函数，则f (x )的图象上凸，故选C.]12．若函数e x f(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是() A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos xA[若f(x)具有性质M，则[e x f(x)]′＝e x[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立．对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－x ln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意．经验证，选项B，C，D均不符合题意．故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)13．函数f(x)＝e x·cos x，x∈[0,2π]，若f′(x)＝0，则x＝________.π4或5π4[f′(x)＝ex(－sin x)＋e x cos x＝e x(cos x－sin x)，令f′(x)＝0得cos x－sin x＝0，∴cos x＝sin x.∵x∈[0,2π]，∴x＝π4或5π4.]14．已知定义在R上的函数f(x)＝e x＋x2－x＋sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．y＝x＋1[f(0)＝e0＋02－0＋sin 0＝1，故切点坐标为(0,1)．由于f′(x)＝(e x＋x2－x＋sin x)′＝e x＋2x－1＋cos x，∴f′(0)＝e0＋2×0－1＋cos 0＝1，∴在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即y＝x＋1.]15．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________．(2,6)[由题意知f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6.]16．已知f(x)＝(2x－x2)e x，给出以下四个结论：①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值；④f (x )有最大值，没有最小值．其中判断正确的是________．①②④ [f (x )>0⇔2x －x 2＞0⇔0＜x ＜2， ∴①正确；由f (x )＝(2x －x 2)e x ，得f′(x )＝(2－x 2)e x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2，∵在(－∞，－2)和(2，＋∞)上，f′(x )＜0，f (x )单调递减；在(－2，2)上f′(x )＞0，f (x )单调递增，∴f (－2)是极小值，f (2)是极大值，故②正确；由题意知，f (2)为最大值，且无最小值，故③错误，④正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 的图象在x ＝±1处的切线斜率均为0.(1)求a ，b 的值；(2)过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线的方程． [解] (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2－3x ， ∴f′(x )＝3ax 2＋2bx －3.∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 的图象在x ＝±1处的切线斜率均为0， ∴f′(1)＝f′(－1)＝0， ∴⎩⎨⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0， ∴a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知函数f (x )＝x 3－3x ，∴点A (0,16)不在曲线y ＝f (x )上． ∵f (x )＝x 3－3x ，∴f′(x )＝3x 2－3.设切点为(x 0，x 30－3x 0)，则f′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (0,16)代入，可得16－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(－x 0)，∴x 0＝－2，∴切点为(－2，－2)，故所求切线方程为9x －y ＋16＝0.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f (x )的单调区间； (2)讨论f (x )的极值．[解] (1)由已知，得f′(x )＝6x [x －(a －1)]，令f′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝a －1.当a ＝1时，f′(x )＝6x 2，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．当a >1时，f′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：上单调递减．综上，当a ＝1时，f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a >1时，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，(a －1，＋∞)，单调递减区间是(0，a －1)．(2)由(1)，知当a ＝1时，函数f (x )没有极值；当a >1时，函数f (x )在x ＝0处取得极大值1，在x ＝a －1处取得极小值1－(a －1)3.19．(本小题满分12分)已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件，需要另投入1.9万元，设R (x )(单位：万元)为销售收入，根据市场调查，知R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3，0≤x ≤10，2003，x ＞10，其中x 是年产量(单位：千件)．(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式；(2)当年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ [解] (1)依题意有W ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －130x 3－10－1.9x ，0≤x ≤10，2003－10－1.9x ，x ＞10＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋8.1x －10，0≤x ≤10，－1.9x ＋1703，x ＞10.(2)设f (x )＝－130x 3＋8.1x －10,0≤x ≤10，则f′(x )＝－110x 2＋8.1，由f′(x )＝0，得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0≤x ＜9时，f′(x )＞0，当9＜x ≤10时，f′(x )＜0，所以当x ＝9时，f (x )取得最大值为38.6，当x ＞10时，1703－1.9x ＜1133＜38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x . (1)求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．[解] (1)由f (x )＝12x 2＋ln x 得f′(x )＝x ＋1x . 当x ∈[1，e]时，f′(x )＞0，所以函数f (x )是增函数． f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1， f (x )min ＝f (1)＝12.(2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F′(x)＝x＋1x－2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x.因为x>1，所以F′(x)<0，所以函数F(x)在(1，＋∞)上是减函数．又因为F(1)＝－1 6，故在[1，＋∞)上有F(x)<0，即f(x)<g(x)，所以在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝23x3的图象的下方．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．[解](1)当a＝3时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋2 3.当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．(2)证明：因为x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于x3x2＋x＋1－3a＝0.设g(x)＝x3x2＋x＋1－3a，则g′(x)＝x2(x2＋2x＋3)(x2＋x＋1)2≥0，仅当x＝0时，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6⎝⎛⎭⎪⎫a－162－16<0，f(3a＋1)＝13>0，故f(x)有一个零点．综上，f (x )只有一个零点．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ＜0)． (1)若函数f (x )在定义域内单调递增，求a 的取值范围；(2)若a ＝－12且关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．[解] (1)f′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x ＞0)．依题意f′(x )≥0在x ＞0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x ＞0时恒成立．则a ≤1－2xx 2在x ＞0恒成立，即a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x ＞0)，当x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－12，由f (x )＝－12x ＋b 得14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x ＞0)，则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x ，列表：所以g (x )极小值为g (2)＝ln 2－b －2，g (x )极大值为g (1)＝－b －54，又g (4)＝2ln 2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根．则⎩⎨⎧g (1)≥0，g (2)＜0，g (4)≥0，得ln 2－2＜b ≤－54.。

数学人教B版选修1-1单元检测：第三章导数及其应用含

数学人教B 选修1-1第三章导数及其应用单元检测(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )在x ＝x 0处可导，则000lim 2x f x x f x x∆→(+∆)-()=∆( )A ．12f ′(x 0) B ．f ′(x 0) C ．2f ′(x 0) D ．4f ′(x 0)2．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知P 点在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点P 处的切线与直线x ＋2y ＝0垂直，则点P 的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,0)C ．(－1,0)或(1,0)D ．(1,0)或(1,1)4．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，0]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤1C ．a ＜5D ．a ≥15．设a ∈R ，若函数f (x )＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＞－1 B ．a ＜－1C ．13a >-D ．13a <-6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不正确7．曲线y ＝13x 3＋x 在点41,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A ．1 B ．19 C ．13 D ．238．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞) 9．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )，g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有( )A ．f (x )g (b )＞f (b )g (x )B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x )C ．f (x )g (x )＞f (b )g (b )D ．f (x )g (x )＞f (b )g (a )10．设函数y ＝f (x )在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的大致图象为( )二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．函数f (x )＝x 2＋x 在点(2，f (2))处的切线方程为__________． 12．函数f (x )＝x 3－3x 2＋3的单调递减区间为__________． 13．函数f (x )＝x ＋4x在(0，＋∞)上的最小值为__________，此时x ＝__________. 14．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________． 15．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是__________．(把你认为不是的序号都填上)①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1； ④f (x )＝x e x .三、解答题(本大题共2个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若函数f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值．(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．17．(15分)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)．(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？参考答案1.答案：A2.答案：A从f′(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增、减、增、减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点．3.答案：C4.答案：B f′(x)＝2x＋2a－2，因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f′(0)≤0，即2a －2≤0，a≤1.5.答案：B因为f(x)＝e x＋ax，所以f′(x)＝e x＋a.若函数在x∈R上有大于零的极值点，即f′(x)＝e x＋a＝0有正根．当f′(x)＝a＋e x＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln(－a)，由x＞0，得参数a的范围为a＜－1.6.答案：A f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)最大＝m，∴m＝3.从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值为－37.7.答案：B8.答案：A f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．∵当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0，∴当x＝－1时，f(x)有极大值，当x＝1时，f(x)有极小值．要使f(x)有3个不同的零点，只需10,10,ff(-)>⎧⎨()<⎩解得－2＜a＜2.9.答案：C令y＝f(x)·g(x)，则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＜0，所以y在R上单调递减，又x＜b，故f(x)g(x)＞f(b)g(b)．10.答案：D由函数y＝f(x)的图象知，当x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减，故f′(x)＜0；当x＞0时，f(x)先增，再减，然后再增，故f′(x)先正，再负，然后再正．故选D.11.答案：5x－y－4＝012.答案：(0,2)13.答案：4 214.答案：[－2，＋∞)∵f(x)＝a ln x＋x，∴f′(x)＝ax＋1.又∵f(x)在[2,3]上单调递增，∴ax＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．15.答案：④对于①，f″(x)＝－(sin x＋cos x)，π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f″(x)＜0恒成立；对于②，21()f x x ''=-，在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ″(x )＜0恒成立；对于③，f ″(x )＝－6x ，在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ″(x )＜0恒成立；对于④，f ″(x )＝(2＋x )e x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ″(x )＞0恒成立，所以f (x )＝x e x 不是凸函数．16. 答案：分析：(1)极值点是f ′(x )＝0的根，利用根与系数的关系解决即可． (2)f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数方程f ′(x )＝0的判别式Δ≤0. 解：f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .(1)∵x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点， ∴f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，即x 1，x 2是18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a ＝0的两个根，从而x 1x 2＝218a＝1，∴a ＝9. (2)∵Δ＝36(a ＋2)2－4×18×2a ＝36(a 2＋4)＞0，∴不存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数．17. 答案：分析：(1)将R (x )与C (x )的关系式代入P (x )＝R (x )－C (x )即可；然后将P (x )关系式代入边际利润函数MP (x )即可．(2)利用用导数求其定义域上最值的方法求最大值． (3)利用用导数求单调区间的方法求单调区间．解：(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3 240x －5(x ∈N *且1≤x ≤20)； MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3 275(x ∈N *且1≤x ≤19)． (2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3 240＝－30(x －12)(x ＋9)， ∵x ＞0，∴P ′(x )＝0时，x ＝12，∴当0＜x ＜12时，P ′(x )＞0，当x ＞12时，P ′(x )＜0，∴x ＝12时，P (x )有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． (3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3 275＝－30(x －1)2＋3 305. 所以，当x ≥1时，MP (x )是减函数，所以单调减区间为[1,19]，且x ∈N *. MP (x )是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润比较，利润在减少．。

人教课标版高中数学选修1-1单元测试：导数及其应用1

高中人教版选修1-1第三章单元测试一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。

1．物体运动方程为s ＝41t 4－3，则t ＝5时的瞬时速率为（）A ．5 m/sB ．25 m/sC ．125 m/sD ．625 m/s 2．曲线y ＝x n（n ∈N ）在点P （2，)22n处切线斜率为20，那么n 为（）A ．7B ．6C ．5D ．43．细杆AB 长为20 cm ，AM 段的质量与A 到M 的距离平方成正比，当AM ＝2 cm 时，AM 段质量为8 g ，那么，当AM ＝x 时，M 处的细杆线密度ρ（x ）为（）A ．2xB ．4xC ．3xD ．5x4．若f(x)=ax 3+bx 2+cx+d （a ＞0）为增函数，则（）A ．b 2-4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0C ．b=0，c ＞0D ．b 2-3ac ＜05．函数f(x)=x 3-6bx+3b 在（0，1）内有极小值，则（）A ．0＜b ＜1B ．b ＜1C ．b ＞0D ．0＜b ＜216．()()()为则设hf h f f h 233lim ,430--='→（）A ．－１Ｂ．－2C ．－3D ．17．两曲线32xy 1y 2b ax x y +-=++=与相切于点（1,－1）处，则a ，b 值分别为（）A ．0，2B ．1，－3C ．－1，1D ．－1，－18．曲线y=ln(2x －1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离（）A ．5B ．25C ．35D ．09．设函数y ＝f （x ）在1x x =处有(),0x f 1='在2x x =时()2x f '不存在，则（） A ．一定都是极值点及21x x x x == B ．是极值点只有1x x =C ．都可能不是极值点及21x x x x ==D ．至少有一个点是极值点及21x x x x ==10．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（）A ．21<<-aB ．63<<-aC ．63>-<a a 或D ．21>-<a a 或二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。

高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习题及答案

|xn | ⩽ M ．
函数极限函数极限可以分成 x → x0 , x → +∞, x → −∞ 三种．
x → x0 : 设函数 f (x) 在点 x 0 的某一去心邻域，即 (x 0 − δ, x 0 ) ∪ (x 0 , x 0 + δ)(δ > 0) 内有定义，如果存在常数 A ，对于任意给 δ 0 < |x − | < δ f (x)
n→+∞
1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( − ) + ( − ) + ( − )+⋯+ ( − )] 4 1 5 5 9 9 13 4n − 7 4n − 3 1 1 = lim (1 − ) n→+∞ 4 4n − 3 1 = . 4
（3）由
S n = 2n2 − n ，得 S1 +
Sn = 2n − 1 ．所以 n S2 S S + 3 + ⋯ + n = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2n − 1) = n2 . 2 3 n
Δx→0 Δx→0
设函数 f (x) 在 x = x0 处可导，且 f ′ (x 0 ) = 2，求下列各极限的值.
f (x0 − Δx) − f (x0 ) ； Δx f ( x 0 + 2k ) − f ( x 0 ) （2） lim ． k→0 k
（1） lim
Δx→0
解：（1）
原式 = lim
Δx→0 Δx→0
Δx 2 + 3Δx Δx→0 Δx = lim (Δx + 3) = 3.
Δx→0
因此，抛物线在点 (1, 0) 的切线方程为 y − 0 = 3(x − 1)，即 y = 3x − 3．

人教新课标版数学高二数学选修1-1第三章《导数及其应用》章末检测(B)

第三章章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定2．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x －11 D ．y ＝－4x ＋74．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎦⎤0，π2 ∪2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎡⎦⎤0，2π3 5．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．(－∞，－3) 6．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －27．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A.33 B ．－33 C.36 D ．－369．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋110. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．函数f (x )＝x1－x 的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( )A ．0.012B ．0.024C ．0.032D ．0.036 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________________________________________________________________________.14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________________________________________________________________________．15. 如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？20．(12分)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x.(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；(2)设f(x)在[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．21.(12分)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋ln x.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝23x3＋12x2的下方．第三章导数及其应用(B) 答案1．B[f′(x A)和f′(x B)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(x A)<f′(x B)．] 2．B[物体的初速度即为t＝0时物体的瞬时速度，即函数s(t)在t＝0处的导数．s′(0)＝s′|t＝0＝(3－2t)|t＝0＝3.]3．B[∵曲线过点(a，3)，∴3＝2a2＋1，∴a＝1，∴切点为(1,3)．由导数定义可得y′＝4ax＝4x，∴该点处切线斜率为k＝4，∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.]4．B5．B[f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，则a≥－3x2，x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.]6．A [∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2，∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.] 7．C8．A [f ′(x )＝a cos x －13sin x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0，即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33.]9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数．∴当x ＝π时， y max ＝π.]10．A [由图象看，在图象与x 轴的交点处左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0的点才满足题意，这样的点只有一个B 点．]11．C [∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]12．B [由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2， x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]13．3解析由切点(1，f (1))在切线y ＝12x ＋2上，得f (1)＝12×1＋2＝52.又∵f ′(1)＝12，∴f ′(1)＋f (1)＝12＋52＝3.14．4解析若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0 可转化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间[－1,0)上单调递增．因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上所述，a ＝4. 15.439解析设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，0. 点B 坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x 34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的， x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，当x ＝23时，f (x )取最大值439.16．①③解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得f (0)＝0， f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π4＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233.根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.x ＝233是极小值点也是最小值点．f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确． 17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立．由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0，即x 2－1≤a (x －1)． ∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)， ∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ① 由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0，即x 2－1≥a (x －1)． ∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0， ∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ② ∵①②同时成立，∴5≤a ≤7. 经检验a ＝5或a ＝7都符合题意， ∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2.f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1，令f ′(x )<0，得－23<x <1.所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x ·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元．令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%，y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%.令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．20．解 (1)对函数f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x .令f ′(x )＝0，得[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ＝0，从而x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2，其中x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：1处取得极大值，在x ＝x 2处取到极小值．当a ≥0时，x 1<－1，x 2≥0.f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数．而当x <0时，f (x )＝x (x －2a )e x >0；当x ＝0时，f (x )＝0，所以当x ＝a －1＋1＋a 2时，f (x )取得最小值．(2)当a ≥0时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥34.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 21．(1)解由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0，即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x .∵x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝12x 2－23x 3＋ln x ， ∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x .∵x >1，∴F ′(x )<0，∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴F (x )<F (1)＝12－23＝－16<0.∴f (x )<g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．。