高等数学积分论文

二重积分与三重积分的算法比较

一、 二重积分的计算方法；

① 利用直角坐标计算二重积分 。

② 利用极坐标计算二重积分。 三重积分的计算方法；

① 利用直角坐标计算三重积分。 ② 利用柱面坐标计算三重积分。 ③ 利用球面坐标计算三重积分。 二、二重积分与三重积分算法步骤分析

二重积分D 分析; X 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界相交不多于两点；

X 型区域 适用公式一

()

21()

(,)[(,)]x x b a

D

f x y d f x y dy dx ϕ

ϕσ=⎰⎰⎰⎰

Y 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于

x 轴的直线与D 的边界相交不多于两点。

Y 型区域 适用公示二

()()21(,)(,)y y

d c D

f x y d f x y dx dy ϕϕσ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

=⎰⎰⎰⎰

X 型区域： 先Y 后X Y 型区域： 先X 后Y 三重积分Ω分析：如果平行于Z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与

闭区域Ω的边界曲线S 相交不多于两点，把闭区域Ω投影到x0y 平面上，得一平面区域xy D ，假如闭区域

{}

12(,)()(),xy D x y y x y y x a x b

=≤≤≤≤

把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式

(

)

()()()2,2,1

1

(,,)(,,)x x y x x y

b

y z a

y z f x y z dv dx dy f x y z dz Ω

=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

同理，如果平行于x 轴或y 轴的话。则穿出穿入点的竖坐标为

1(,)x y z 与2(,)x y z 和1(,)y x z 与2(,)y x z

Ω分析

{

()()()()

,122,1x x x y x y a x b

y z z z ϕϕ≤≤≤≤≤≤ 三、举例说明

① 直角坐标求解两种积分

例1 计算D

xyd σ⎰⎰，其中D 是由直线y=1,x=2及y=x 所围成的闭区域。

解： 首先画出积分区域D （如图），D 是X 型，先进行D 分析 D 分析：

D {121x y x

≤≤≤≤

利用公式⑴得：

2221112x D

y xyd xydy dx x dx σ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

==⋅⎰⎰⎰⎰⎰

=3322

129()228481x x x x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦

-=-=⎰ 例 2 计算三重积分xdxdydz Ω

⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面

x+2y+z=1所围成的闭区域。 解：作闭区域Ω（如图）

将Ω投影到x0y 面上，得投影区域xy D 为三角形闭区域OAB. 直线OA 、OB 及AB 的方程依次为y=0、x=0及x+2y=1,所以

Ω分析

{

01

102

012x x

y z x y

≤≤-≤≤≤≤-- 于是，由公式⑵得

11

122000

x x y xdxdydz dx dy xdz ---Ω

=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

=

()11

200

12x xdx x y dy ---⎰⎰

=1

230

1(2)4x x x dx --⎰

=

148

②极坐标求二重积分，柱面坐标求三重积分

例3

计算22

x y D

e

dxdy --⎰⎰，其中D 是由中心在原点、半径为a 圆周所围成的

闭区域.

解：在极坐标系中，闭区域D 分析：

{002a ρθπ

≤≤≤≤ 由公式得

22

2

2200a x y D

D

e dxdy e

d d

e d d π

ρρρρθρρθ----⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

==⎰⎰⎰⎰⎰

⎰

=22

220

011(1)0

22

a a

e d e d π

πρθθ--⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-⎰

⎰

=2

(1)a e

π--

例4 利用柱面坐标计算三重积分

zdxdydz Ω

⎰⎰⎰

，其中Ω曲面22

z x y =+与平面z =4所围成的区域.

解：把闭区域Ω投影到x0y 面上，得半径为2的圆形区域

Ω分析

{

2202024

x y z ρθπ≤≤≤≤+≤≤

所以可得：

2224

00

zdxdydz z d d dz d d zdz π

ρ

ρρθθρρΩΩ

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

=224

26002111(16)282260d d πθρρρπρρ⎡⎤⎢⎥⎣

⎦-=⋅-⎰⎰

= 643

π

工学院 10机制本《3》班 李方强 100610047