高等数学积分论文

二重积分与三重积分的算法比较
一、 二重积分的计算方法；
① 利用直角坐标计算二重积分 。

② 利用极坐标计算二重积分。

三重积分的计算方法；
① 利用直角坐标计算三重积分。

② 利用柱面坐标计算三重积分。

③ 利用球面坐标计算三重积分。

二、二重积分与三重积分算法步骤分析
二重积分D 分析; X 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界相交不多于两点；
X 型区域 适用公式一
()
21()
(,)[(,)]x x b a
D
f x y d f x y dy dx ϕ
ϕσ=⎰⎰⎰⎰
Y 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于
x 轴的直线与D 的边界相交不多于两点。

Y 型区域 适用公示二
()()21(,)(,)y y
d c D
f x y d f x y dx dy ϕϕσ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
=⎰⎰⎰⎰
X 型区域： 先Y 后X Y 型区域： 先X 后Y 三重积分Ω分析：如果平行于Z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与
闭区域Ω的边界曲线S 相交不多于两点，把闭区域Ω投影到x0y 平面上，得一平面区域xy D ，假如闭区域
{}
12(,)()(),xy D x y y x y y x a x b
=≤≤≤≤
把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式
(
)
()()()2,2,1
1
(,,)(,,)x x y x x y
b
y z a
y z f x y z dv dx dy f x y z dz Ω
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
同理，如果平行于x 轴或y 轴的话。

则穿出穿入点的竖坐标为
1(,)x y z 与2(,)x y z 和1(,)y x z 与2(,)y x z
Ω分析
{
()()()()
,122,1x x x y x y a x b
y z z z ϕϕ≤≤≤≤≤≤ 三、举例说明
① 直角坐标求解两种积分
例1 计算D
xyd σ⎰⎰，其中D 是由直线y=1,x=2及y=x 所围成的闭区域。

解： 首先画出积分区域D （如图），D 是X 型，先进行D 分析 D 分析：
D {121x y x
≤≤≤≤
利用公式⑴得：
2221112x D
y xyd xydy dx x dx σ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
==⋅⎰⎰⎰⎰⎰
=3322
129()228481x x x x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦
-=-=⎰ 例 2 计算三重积分xdxdydz Ω
⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面
x+2y+z=1所围成的闭区域。

解：作闭区域Ω（如图）
将Ω投影到x0y 面上，得投影区域xy D 为三角形闭区域OAB. 直线OA 、OB 及AB 的方程依次为y=0、x=0及x+2y=1,所以
Ω分析
{
01
102
012x x
y z x y
≤≤-≤≤≤≤-- 于是，由公式⑵得
11
122000
x x y xdxdydz dx dy xdz ---Ω
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=
()11
200
12x xdx x y dy ---⎰⎰
=1
230
1(2)4x x x dx --⎰
=
148
②极坐标求二重积分，柱面坐标求三重积分
例3
计算22
x y D
e
dxdy --⎰⎰，其中D 是由中心在原点、半径为a 圆周所围成的
闭区域.
解：在极坐标系中，闭区域D 分析：
{002a ρθπ
≤≤≤≤ 由公式得
22
2
2200a x y D
D
e dxdy e
d d
e d d π
ρρρρθρρθ----⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
==⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
=22
220
011(1)0
22
a a
e d e d π
πρθθ--⎡⎤⎢⎥⎣⎦-=-⎰
⎰
=2
(1)a e
π--
例4 利用柱面坐标计算三重积分
zdxdydz Ω
⎰⎰⎰
，其中Ω曲面22
z x y =+与平面z =4所围成的区域.
解：把闭区域Ω投影到x0y 面上，得半径为2的圆形区域
Ω分析
{
2202024
x y z ρθπ≤≤≤≤+≤≤
所以可得：
2224
00
zdxdydz z d d dz d d zdz π
ρ
ρρθθρρΩΩ
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=224
26002111(16)282260d d πθρρρπρρ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦-=⋅-⎰⎰
= 643
π
工学院 10机制本《3》班 李方强 100610047。