复变函数4章泰勒级数和洛朗级数
复变函数第四章复函数项级数第四节洛朗级数
n = −∞ ∞
cn z n , ∑
eζ 1 1 f (ζ ) 其中 cn = ∫C (ζ − z0 )n+1dζ = 2πi ∫C ζ n+3dζ 2πi
C : z = ρ (0 < ρ < ∞ ) , ( n = 0 , ± 1, ± 2L)
17
当 n ≤ −3 时,
常见的特殊圆环域: 常见的特殊圆环域:
R2
. z0
R1 . z0
. z0
0 < z − z0 < R2 R1 < z − z0 < ∞
0 < z − z0 < ∞
4
2. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开 问题: 成级数? 成级数? 1 在z = 0及z = 1 都不解析 都不解析, 例如, 例如, f ( z ) = z (1 − z ) 但在圆环域 0 < z < 1及 0 < z − 1 < 1内都是解析的 内都是解析的.
由 z >2 此时
2 <1 z
o
2
x
1 1 1 =− ⋅ 2− z z 1− 2 z
23
1 2 4 = − 1 + + 2 + L z z z
1 2 此时 < < 1, z z
1 1 1 1 1 1 = − 1 + + 2 + L =− ⋅ 仍有 z z z 1− z z 1− 1 z 1 2 4 − 1 1 + 1 + 1 + L 故 f ( z ) = 1 + + 2 + L 2 z z z z z z
第四章、级数
的复变函数项级数,简记为 ∑ f n ( z ) .
17
一、基本概念
2. 复变函数项级数收敛的定义
定义 设 ∑ f n ( z ) 为区域 G 内的复变函数项级数,
n
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 sn ( z ) = ∑ f k ( z ) 为级数 ∑ f n ( z ) 的部分和。
注意 级数在收敛圆的边界上 各点的收敛情况是不一定的。 约定 R = 0 表示级数仅在 z = 0 点收敛;
⇒ lim z n = 0 ,
n→ +∞
7
二、复数项级数
1. 基本概念
定义 设 { z n }n=1 , 2 ," 为一复数序列,
第四章 解析函数的级数表示
(1) 称 ∑ z n = z1 + z 2 + " 为复数项级数, 简记为 ∑ z n .
n =1
+∞
(2) 称 sn = ∑ z k = z1 + z 2 + " + z n 为级数的部分和;
⇒ | an z
n
n | = | a n z0 |⋅
z z0
n
z ≤ Mq , 其中 q = z , 0
n
+∞
n Mq | a z | ≤ ∑ | z | < | z | q < 1 , 当 即得 ∑ n 收敛。 0 时,
n
+∞
n= 0
n= 0
20
二、幂级数
2. 阿贝尔 ( Abel ) 定理
定理 对于幂级数 ∑ a n z ,有
n→ +∞
第四章 解析函数的级数表示
高等数学课件-复变函数与积分变换 第四章 级数
称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时,
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解: 将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解:
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列,表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数,其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。 称级数收敛,
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和,
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛,则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛,那么对满足
0
| z || z0 | 的z,
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散,那么对满足 0
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
泰勒级数与洛朗级数是两种常见的复变量函数级数求解方法,它们在日常生活
中有着广泛的应用。
两者之间有着着明显的区别和联系。
首先,从理论上来说,泰勒级数和洛朗级数之间有着显著的区别。
泰勒级数是
基于泰勒展开,可以采用数学递推的方式推出各系数,可以比较准确求出复变量函数的近似值;而洛朗级数则是基于洛朗展开,它以hessenberg行列式的方式利用
级数法进行估算导数,求出复变量函数的近似值。
其次,从实践应用上来说,两者之间也有着一定的联系。
尽管泰勒级数和洛朗
级数有着不同的理论基础,它们都在日常的数学中可以得到实际的应用。
例如,当求解相对较为简单的复变量函数时,通常可以采用泰勒级数,以较快的速度准确求解此函数;当复变量函数本身比较复杂时,可以采用洛朗级数,以较慢的速度求解,但是更精确。
总之,泰勒级数和洛朗级数都在日常的数学应用中占据了重要的地位,它们既
有着明显的区别,又有着紧密的联系,是复变量函数求解的重要方法。
复变函数 第四章 级数
∞
∞
n
Proof:
2 α n = a n + ibn , | α n |= a n + bn2
∞ ∞
2 2 由: |α n |= ∑ a n + bn ∑ n =1 n =1
| a |≤ a 2 + b 2 n n n 收敛, 收敛,及 2 2 | bn |≤ an + bn
y R
R 0 x
则称:( ) 为收敛半径 则称:(1)R为收敛半径 :( (2)| z |< R 为收敛圆域 )
返回
╬
2、幂级数的三种收敛情况: 、幂级数的三种收敛情况:
处收敛, ,收敛圆域为点圆; (1)只在原点 z = 0 处收敛,R=0,收敛圆域为点圆; ) (2)在整个复平面上处处收敛, = +∞ )在整个复平面上处处收敛, R (3)在复平面上有时收敛,有时发散,则R为一个 )在复平面上有时收敛,有时发散, 为一个 确定的正实数。 确定的正实数。
(5) 令 ζ = z − 1, )
z 是复变量。 是复变量。
注:当 a = 0 时,幂级数为
∞ n =0 ∞
cn z n , ∑
n =0 n ∞ n =0
∞
ζ = z − a , 则 : c n ( z − a ) = ∑ c nζ n 令 ∑
故:只须讨论形如
c n z n 的幂级数。 ∑ 的幂级数。
n =0
返回
╬
2、幂级数在一点 z 0 的收敛性 、
收敛, (1) 若 ∑ c n z 0 收敛,则 z 0 称为 )
n n =0 ∞
c n z n 的收敛点。 ∑ 的收敛点。
n=0
∞
第4章-复变函数项级数04-洛朗级数
利用洛朗级数展开式的唯一性及双边幂级数在收敛圆环 域内可以逐项求导和逐项积分的性质。
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
解:1)直接展开法 解析,故积分为0;
1
1
z
n0
zn,
z 1
1
1
z
n0
zn,
的收敛区域为
可以证明:双边幂级数在收敛环域内的和函数是解析函数, 可以逐项求导、逐项积分
Re
当 R e 时,
Re
2 解析函数的洛朗展开定理
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
f (z) cn (z z0 )n R2 z z0 R1 n
说明:
(1)洛朗级数是双边幂级数,泰勒级数只有正幂项; (2)洛朗级数是泰勒级数的推广,泰勒级数是洛朗级数 的特殊情况; (3)系数公式不同,洛朗系数不能利用高阶导数公式.
3 求解析函数洛朗展开式的方法
R2 z z0 R1
第四章 复变函数项级数
第四讲 洛朗级数
主要内容
1. 双边幂级数 2. 解析函数的洛朗展开定理 3. 求解析函数洛朗展开式的方法
1 双边幂级数
1
1
z
1
z
z2
z3
zn
,
n0
zn ,
z 1
双边幂级数
既含有正幂项又含有负幂项的级数
无首项, 不能用部分和来定义收敛和发散.
结论: 双边幂级数 圆环域
z 1
1
1全是负幂项,有无穷多项)
1
1
z
工程数学《复变函数》(第四版)课件 4-4 西安交大
1 1 1 f z 3 z z 1 z 4
在1 z 4内 :
1 1 1, z 4
1 1 z 1 z 1 1 z
1 1 1 1 2 z z z
例3 把 f z z 3e 在 0 z 内展成洛朗级数。
2 3 n z z z z 解 e 1 z 2! 3! n!
1 z
1 1 1 z 1 1 3 2 f z z 3 1 z z 2 3 z 2! z 2! 3! 4! z 3! z 12
1 1 z z 4 dz z 1
解法2(柯西积分公式)
1 z 1z 4 dz dz z z 1z 4 z z 3 C1
C2
1 1 2i 2i z 1 z 4 z z 4 z 0 z 1
(2) 洛朗级数
(3)
1
其中 z 0 及 cn n 0,1,2, 为常数。
规定 当且仅当2、 3收敛, 1收敛.
设2收敛域为: z z0 R2 ;
即为前面讨论的级数;
n
对于(3),
c 1 z z 0 c n z z 0
n
称为 f z 在以 z 0为中心的圆环域 R1 z z0 R2内的洛朗展
开式。 右端级数(洛朗级数)中,正整数次幂部分称为洛朗级数的 解析部分;负整数次幂部分称为洛朗级数的主要部分。
⑵ 洛朗级数是泰勒级数的推广。
当 f z 在 z 0 不解析但在 z 0 的去心邻域内解析时可用洛朗级数 展开,展开式是唯一的,展开时尽量用间接展开法。
复变函数第四版(第四章)
1 n 1) a n 1 e ; n
i
2) a n n cos in
}
[解] 1) 因
1 n 1 a n 1 e 1 cos i sin n n n n 1 1 an 1 cos , bn 1 sin . n n n n lim an 1, lim bn 0
第4章
级数
§4.1 复数项级数 §4.2 幂级数 §4.3 泰勒级数 §4.4 洛朗级数
}
n
n
n
任意给定e>0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-
a|<e在n>N时成立 则a称为复数列{an}当n时的 §4.1 ,复数项级数
极限, 记作
lim a n a
n
此时也称复数列{an}收敛于a.
(-1) n n n 1
(8i ) 8 , 由正项级数的比值审敛法知 n! n!
故原级数收敛 . 但因 n n
}
§4.2 幂级数
1. 幂级数的概念 设{fn(z)}(n=1,2,...)为一复变函数 序列,其中各项在区域D内有定义.表达式
f
n 1
n
( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z ) (4.2.1)
z
n
在圆 |
1
内收敛.
}
再证当
| z |
| z |
1
时, 级数
n0
cn z n
发散. 假设在
n0
圆 收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|<|z0|, 那么根据阿
复变函数与积分变换课堂第四章PPT课件
称为无穷级数, 其最前面n项的和
sn12 n
称为级数的部分和。
如果部分和数列{sn}收敛, 则级数 n 称为收敛,且 n 1
极限 lim n
sn
s
称为级数的和。如果数列
{
s
n
}
不收敛,则
级数 n 称为发散。 n 1
定理二 级数 n 收敛的充要条件是级数 a n 和
n 1
n 1
b n 都收敛。
1 n1 2 n
收敛,仍断定原级数发散。
另外, 因为 | n | 的各项都是非负的实数, 所以它的 n 1
收敛也可用正项级数的判定法来判定。
例2 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限。
1)n 11 n ein; 2)nncosin
[解] 1) 因n 11 n ei n 11 n cos nisin n ,故
an2bn2 |an||bn|,因此
, an2bn2 |an| |bn|
n1
n1n1所以当 Nhomakorabeaa n 与
b n 绝对收敛时,
n 也绝对收敛,因此
n 1
n 1
n 1
n 绝对收敛的充要条件是 a n 和 b n 绝对收敛。
n 1
n 1
n 1
例1
考察级数
n 1
(
1 n
i 2n
)
的敛散性。
[解]
因 发散,虽 1 n1 n
n 1
[证] 因 s n 1 2 n ( a 1 a 2 a n )
i(b 1 b 2 b n )n in
其中s n a 1 a 2 a n ,n b 1 b 2 b n 分别为 a n 和 n 1
复变函数级数泰勒级数和洛朗级数孤立奇点的分类本章讨论
第四章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类本章讨论解析函数的级数性质,先介绍复变函数级数的基本概念特别是幂级数的有关概念;然后讨论解析函数展开为泰勒级数和洛朗级数的问题;最后讨论单值函数孤立奇点的分类这也是为第五章讨论定积分的计算作准备。
§4.1 复变函数级数和解析函数级数复变函数级数的基本概念有很多地方与实变函数级数相同,这里仅作扼要的介绍,其中有关定理将不予证明。
一个复变函数级数∑∞==++++121)()()()(k k k z u z u z u z u (4.1)如果它的部分和∑∞==1)()(k k n z u z S (4.2)的极限)(lim z S n n ∞→在一点z 存在,则称级数(3.1)在z 点收敛,而这个极限为级数在z 点的和;否则称级数在z 点发散。
由于)(Im )(Re )(z u i z u z u k k k += ),2,1( =k ,所以级数(3.1)的收敛和发散问题就归结为两个实变函数级数∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 的收敛和发散问题;在一点z ,若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 都收敛,则级数(3.1)在此点收敛;若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 至少有一个发散,则级数(4.1)在此点发散。
级数(4.1)收敛的必要条件是 0)(lim =∞→z u n n (4.3) (4.1)式收敛的充要条件是:任意给定一个小的数ε>0,总存在充分大的正整数N ,使当n>N 时,对于任何自然数p ,恒有 1|()()||()|pn p n n k k S z S z u z ε++=-=<∑ (4.4)这称为柯西收敛判据。
如果级数 1|()|k k u z ∞=∑ (4.5)在z 点收敛,则称级数(4.1)在此点绝对收敛。
复变函数与积分变换第4章解析函数的级数展开及其应用
解当 ≥1时,
,故 发散;
当 <1时,
又部分和函数
故和函数为
于是 的收敛域为z<1.
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定理4.6设{fn(z)}(n=1,2,…)是定义在平面点集E上的复变函数列, 对充分大 的n,存在正数列 (n=1,2,…)使得
如果正项级数
收敛,则
证由正项级数的比较原理知 收敛.
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
下面的定理给出了求收敛半径的方法,其证明完全类似于实函数的情形. 定理4.9如果幂级数式(4.2)的系数满足
则幂级数式(4.2)的收敛半径
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复变函数与积分变换
定理4.10如果幂级数式(4.2)的系数满足 则幂级数式(4.2)的收敛半径
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复变函数与积分变换
例4.8求sin z,cos z在
处的Taylor级数.
解利用f(z)=sin z的定义及展开式(4.7)得
但当n为偶数时
于是
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复变函数与积分变换
因为 所以有 应用定理4.11中的逐项微分性质,在等式(4.8)两边微分有 即cos z在z0=0处的Taylor级数为
和 都绝对收敛,再由定理4.2
知
收敛.
定义4.3若
收敛,则称
绝对收敛,若
收敛,而
发散,则称
条件收敛.
定理4.5假设zn =xn+iyn(n=1,2,…),则
绝对收敛的充分必要条件是
复变函数05(吉大)
根据实正项级数的比较判别法, 可知级数
xn 和 yn 收 敛. 从 而 xn 与 yn
n1
n1
n1
n1
收敛, 进一步可知级数 zn收敛.
n1
9
绝对收敛与条件收敛
若级数 zn 收 敛 则 称 级 数 zn绝对收
n1
n1
敛. 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛.
关于定理我们作如下两点说明
(1) 若f(z)在z0解析, 则f(z)在z0的泰勒级数 的收敛半径R等于从z0到f(z)的距离z0最近
的一个奇点 之间的距离, 即R =| z0 |.
(2) 由本定理与和函数的性质有, 函数在一
点解析的充要条件是它在该点邻域内可以
展成幂级数. 29
利用泰勒级数展开的唯一性, 我们可以用
利用反证法根据上述结论可得定理另一部
分的证明. 利用阿贝尔定理, 可以确定幂级
数的收敛范围.
16
幂级数的收敛半径
对于幂级数 cnzn来说, 它的收敛情况可 以分为下述三n0种:
①在原点收敛,除原点外发散. (R=0) ②在全平面上处处绝对收敛. (R=+ ) ③除上述两种极端情形之外, 由阿贝尔定
比较简便的方法将一个函数展开为泰勒
级数即幂级数. 展开的方法有两种. 一种
是由泰勒展开式,直接通过计算系数
cn
f (n)(z0 ) n!
把f(z)在z0展开为幂级数,称为直接法; 另一种是利用幂级数的运算与性质, 以唯
一性为依据把函数展开成幂级数, 称为间
接法. 30
例 求函数f(z) = ez在z = 0的泰勒展开式
复变函数4章泰勒级数和洛朗级数
a z n n n 1 z n 0 b
n
n
R2
(a与b为复常数)
n n
z0 R1
a a a 中的负幂项级数 n , 当 1, z n 1 z n 1 z z 即 | z || a | 时收敛, 而正幂项级数 n 则当 n 0 b | z || b | 时收敛. 所以当 | a || b | 时,原级数在 圆环域 | a || z || b | 收敛;当 | a || b | 时,原级 数处处发散.
由于积分变量z 取在圆周K 上, 点z在K的内部,
z - z0 ( z - z0 ) n 1 所以 1, z - z0 z - z n 0 (z - z0 ) n 1
1 f (z ) d z n f ( z) ( z z ) 0 n 1 n 0 2 π i K (z - z0 ) 1 f (z ) n ( z - z0 ) d z . n 1 2 π i K n N (z - z0 )
f ( z ) cn ( z - z0 ) n 成立 , 其中
n 0
1 (n) cn f ( z0 ), n 0,1, 2, . n! 注: 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式 成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点 a 的距离, 即R=|a-z0|.
2 n 1 z (-1) n (2n 1)! 2n z (-1) n (2n)!
z z
除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级 数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函 数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0 的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:
第四章 复变函数
n 1
in 1 n n 1 n
例 4.2 判别下列级数的收敛性
n i in 1 i 1 n ; 2 ; 3 2 2 n 1 n n 1 n n 1 n
解:
3
n 1
in 1 2 2 n n 1 n
z2 1 在 1内,即 z 2 2内, 右端级数绝对收敛, 其和为 2 z
z 2 2时, 级数发散
1 n 例4.5 把函数 表成形如级数 Cn z 2 的幂级数 z n 1
1 2 n 1 g z g z g z 1 g z
n
n
z z0 当 z z 0 z1 z 0 时, 1, z1 z 0
z z0 级数 M z1 z 0 n 1
n
收敛。
C n z z 0 n 收敛
n 1
C n z z 0 n 绝对收敛
n 1
例4.4 求级数
n 1
z 1n 的收敛半径
n
解:
Cn 1 n lim lim 1, R 1 n C n n 1 n
收敛圆 z 1 1
当 z 0 时, 原级数成为 1
n 1 n
1 , 为交错级数, 是收敛的 n
1 当 z 2 时, 原级数成为 , 为调和级数, 是发散的 n 1 n
§4.2复变函数项级数
§4.2.1 复变函数项级数
设 f n z n 1,2, 为区域 D 内的函数,则称
f z f z f z f z
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
李景和,苏国忠,孙光坤,徐勇
【摘要】摘要:针对学生的困惑和疑问,分析了复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系.通过在教学中进行分析和讨论,使学生更深入地理解和掌握相关知识,从而使复变函数的教学收到更好的效果.
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2019(039)010
【总页数】3
【关键词】幂级数;泰勒级数;洛朗级数;解析
泰勒级数和洛朗级数是复变函数教学中的重要内容,在教学中发现,不少学生对这2个级数的区别和联系模糊不清,存有许多疑惑,在给学生课外答疑时遇到此类问题较多.目前,许多教材对此已有一些解释和说明,为了根据教材上所讲的内容给学生直观、简洁和完整的解释,本文从学生的疑惑出发,参考和结合不同教材的内容,对2个级数的区别和联系给出解释.将教材上的相关定理整理概括为2个便于学生对比的结论[1-10] :结论 1 在内解析的充要条件是:在内可展开成的幂级数,有,其中:,,而且展开式是唯一的,此展开式称为在的泰勒展开式,展开式右边的级数称为泰勒级数,称为泰勒系数.
结论 2 在内解析的充要条件是:在内可展开成的两端幂级数,有,其中:,,而且展开式是唯一的,此展开式称为在的洛朗展开式,展开式右边的级数称为洛朗级数,称为洛朗系数.
对这 2 个结论有以下几点解释:。
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z e 1 z 2!
z
2
z n!
n
.
z
因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成 立, 收敛半径为+.
同样, 可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:
z3 z5 sin z z - 3! 5! z2 z4 cos z 1 - 2! 4!
y
a
z0
x
任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的. 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:
1 (n) cn f ( z0 ) (n 0,1,2,) n!
把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法
例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) , 故有
例1 把函数 1 1 z 展开成z的幂级数. [解] 由于函数有一奇点z-1, 而在|z|<1内处处解析, 所以 可在|z|<1内展开成z的幂级数.
2
1 2 1 z z 因为 1 z
(-1) n z n
, | z | 1.
将上式两边求导得
1 2 1 2 z 3 z 2 (1 z ) (-1) n -1 nz n -1 , | z | 1.
2 n 1 z (-1) n (2n 1)! 2n z (-1) n (2n)!
z z
除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级 数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函 数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0 的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:
N
( z0 ) f ( z) ( z - z0 ) n K n! n 0 在K内成立, 即 f (z)可ห้องสมุดไป่ตู้K内用幂级数表达.
f
(n)
z z z0
z - z0 z - z0 令 q , q与积分变量z无关, 且0q<1. z - z0 r
K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因 此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.
由于积分变量z 取在圆周K 上, 点z在K的内部,
z - z0 ( z - z0 ) n 1 所以 1, z - z0 z - z n 0 (z - z0 ) n 1
1 f (z ) d z n f ( z) ( z z ) 0 n 1 n 0 2 π i K (z - z0 ) 1 f (z ) n ( z - z0 ) d z . n 1 2 π i K n N (z - z0 )
1 iz -iz 1 (iz ) n (-iz ) n sin z (e - e ) - 2i 2i n 0 n ! n 0 n ! z3 z5 z 2 n 1 n z - - (-1) z 3! 5! (2n 1)! n 0
z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况
在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0
为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.
讨论下列形式的级数:
n - n c ( z z ) n 0
c- n ( z - z0 ) - n
c-1 ( z - z0 ) -1 ,
,
1 这是z 的幂级数, 设收敛半径为R: R z - z0 R1 R 则当|z-z0|>R1时, 即| z |<R, c- nz n c- n ( z - z0 )- n 收敛。
n 1 n 1
因此, 只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
例如级数
x
定理 设 f (z)在圆环域 R1< |z-z0| < R2内解析, 则
f ( z)
n - n c ( z z ) n 0
其中
1 cn 2πi
C
f (z ) d z . (n 0, 1, 2, ) n 1 (z - z0 )
C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线. 证明:由柯西积分公式得
其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数: y 1 1 1 f ( z) z (1 - z ) 1 - z 1 (1 z ) O 1
1 [1 (1 - z ) (1 - z ) 2 (1 - z ) n ] 1- z (1 - z ) -1 1 (1 - z ) (1 - z ) 2 (1 - z ) n -1
c0 c1 ( z - z0 )
可将其分为两部分考虑:
cn ( z - z0 ) n
n c ( z z ) c0 c1 ( z - z0 ) n 0 n 0 -n -1 c ( z z ) c ( z z ) -n 0 -1 0 n 1
cn ( z - z0 ) n c- n ( z - z0 ) - n
例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.
[解] ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|<1展开为z的幂级数.
y
-1
O
x
1 因为 [ln(1 z )] (-1) n z n , 逐项积分得 1 z n 0 z 1 z z n n d z d ( 1) d , 0 1 0 0 n 1 z 2 z3 z 即 ln(1 z ) z - - (-1)n | z | 1. 2 3 n 1 推论1:
(正幂项部分) (负幂项部分)
只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的
和. 正幂项是一幂级数, 设其收敛半径为 R2:z - z0 R2 . 对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到:
-n n 2 c ( z z ) c z c z c z -n 0 -n -1 -2 n 1 n 1
z z0 K1 K2
1 f (z ) 1 f (z ) f ( z) dz dz 2 i K2 z - z 2 i K1 z - z
z
z
1 f (z ) 于是 f ( z ) cn ( z - z0 ) , cn d z ,(n 0, 1, 2, ) n 1 2 π i C (z - z0 ) n -
n
幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数
n - n c ( z z ) n 0
c- n ( z - z0 ) - n
c-1 ( z - z0 ) -1
n
c0 c1 ( z - z0 )
cn ( z - z0 )
,
在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛
§3 泰勒级数 设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以 z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点.
z z0 K
z
按柯西积分公式, 有
且
1 f (z ) f ( z) dz , 2πi K z - z 1 1 1 1 z - z (z - z0 ) - ( z - z0 ) z - z0 1 - z - z0 z - z0
例1 把 f z
z -1 z - 2
1
在复平面上展开为z的幂级数。
解: 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 < |z| <1; ii) 1<| z| < 2;
iii) 2 < |z| < + 内是处处解析的, 应把 f (z)在
这些区域内展开成洛朗级数. y y y
a z n n n 1 z n 0 b
n
n
R2
(a与b为复常数)
n n
z0 R1
a a a 中的负幂项级数 n , 当 1, z n 1 z n 1 z z 即 | z || a | 时收敛, 而正幂项级数 n 则当 n 0 b | z || b | 时收敛. 所以当 | a || b | 时,原级数在 圆环域 | a || z || b | 收敛;当 | a || b | 时,原级 数处处发散.
函数f ( z)在z0解析
f ( z)在z0的某邻域内可展开为 z - z0的幂级数
函数f ( z)在区域D解析
f ( z)在D内任一点处可展开为z - z0的幂级数
§4 洛朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该 圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在
1 | RN ( z ) | 2π
K
f (z ) n ( z z ) ds 0 n 1 n N (z - z 0 )
n 1 | f (z ) | z - z0 ds 2π K n N | z - z0 | z - z0 1 M n Mq N q 2π r N 0 2π n N r 1- q f ( n ) ( z0 ) ( z - z0 ) n 因此, 下面的公式在K内成立: f ( z ) n! n 0
n
称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1<|z-z0|<R2内的洛
朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内
的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项