理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)

Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
动静法：质点的达朗伯原理是用静力学的方法来研究动 力学问题,故又称为动静法 若质点沿已知平面曲线运动，则可将式 投影到自然轴上，得
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
解 (1)选取研究对象，画受力图 以摆球M为研究对象,并视为质点。它受有 重力P和绳的拉力T的作用。
(3)列平衡方程，求未知量。由汇交力系的平衡方程得
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
例11-2球磨机滚筒内装有钢球和矿石，滚筒绕固定水平轴O以匀转 速n（r/min）作顺时针方向转动，带动钢球和矿石在滚筒中运动， 转到一定角度α时钢球离开滚筒内壁沿抛物线轨迹落下,可以得到最 大的打击力。设滚筒的半径为r，求钢球离开滚筒时的角度α应为多 少?
§11－2 刚体惯性力系的简化
当转轴z通过质心，惯性力系的简化结果为一力偶，该力 偶的力偶矩
ε
当刚体匀速转动,转轴不通过质心C时,惯性力系简化为过 简化中心的力。即
其大小为m rCω2，其中rC为质心到简化中心O的距离，方 向与质心C的法向加速度方向相反。
若转轴过质心，即刚体绕过质心的轴作匀 速转动，惯性力系向S内任一点简化的主矢 和主矩都等于零,则惯性力系是一平衡力系。
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对点O的主矩为
=－ Jzε
§11－2 刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
如果假想地把相应的惯性力加在每一个质点上，则质点 系的主动力、约束反力和惯性力在形式上组成平衡力系。 就是质点系动静法，也称质点系的达朗贝尔原理。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
例11-1 测定列车的加速度,采用一种称为加速度测定摆 的装置。这种装置就是在车厢顶上用绳悬挂一重球,如 图所示。当车厢作匀加速直线运动时,摆将偏向一方， 与铅垂线成不变的角θ,求车厢加速度α与θ的关系。
§11－2 刚体惯性力系的简化
将惯性力系向S上的质心C简化,由于主矢与简化主心的位置无关,而 主矩与简化中心的位置有关。其结果
JC为刚体对过质心且与转轴z
ε
平行的轴的转动惯量
FgR的大小和方向不变，只是其作用线通过质心C。
主矩与简化中心位置有关,大小发生了变化，转向仍与角加速度 转向相反，以MgC表示。简化结果如图c)所示。
第十一章 达朗贝尔原理（动静法）
主要研究内容
惯性力与质点的达朗贝尔原理
刚体惯性力系的简化
用动静法解质点系统动力学 问题的应用举例 定轴转动刚体轴承的附加动反力
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
动静法的原理是应用静力学研究平衡问题的方法去求解动力学问题。
惯性力的概念
当质点受力改变其运动状态时，由于质点的惯性,质点必将给施力 体一反作用力,这个反作用力称为质点的惯性力。惯性力方向与质 点加速度的方向相反，作用在使质点改变运动状态的施力物体上。
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
小车获得加速度a的惯性力Fg
球M在水平面内作匀速圆周运动的惯性力
只有当质点的运动状态发 生改变时才会有惯性力。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点的动静法
设一非自由质点的质量为m，加速度为a，作用在这个质点上的主动 力为F、约束反力为FN，如图所示。由质点动力学基本方程得
上式移项后，得
令 则得
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体作平面运动时惯性力系的简化
取质量对称面S，如图所示。取质心C作为பைடு நூலகம்点，设
某瞬时质心加速度为aC，平面图形的角加速度为ε， 转向如图。将平面内的惯性力系向质心C简化，由
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
解 (1)选取研究对象，画受力图 以最外层的一个钢球A为研究对象,不考虑刚
球间的相互作用力，则钢球所受的力有重力G、筒壁对钢球的摩擦力Ff和约束
力FN (2)分析运动，加惯性力。Fg= (3)列平衡方程，求未知量。
解得：
钢球脱离筒壁的瞬间，筒壁对钢球的约束力FN = 0，可求得脱离角α为
结论 对平移的刚体，惯性力系可简化为通过质 心的合力，其大小等于刚体的质量与质心加速度 的乘积，合力的方向与质心加速度的方向相反。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体绕固定轴转动时惯性力系的简化
设定轴转动刚体的质量对称面为S,与转轴的 交点记为O，某瞬时角速度和角加速度分别 为ω和ε，转向如图所示,质心为点C。取S内 任一质量为mi的点,记该点加速度为ai,则该 点的惯性力为Fgi=-miai,则Fgi= Fτgi＋ Fngi， 其中Fτgi=-mi aτi， Fngi=-mi ani。 对S内所有点,组成平面一般力系。由静力学知,向点O进行简化,可得到一 个力和一个力偶，该力为原力系的主矢量，即惯性力系的主矢为