生命表构造理论共38页共38页
合集下载
第二章 生命函数与生命表理论
第八节 有关分数年龄的假设
基本原理:插值法 基本原理 插值法 1）均匀分布假定(线性插值 ）均匀分布假定 线性插值) 线性插值 2）常数死亡力假定 几何插 ）常数死亡力假定(几何插 值) 3）Balducci假定 调和插值 假定(调和插值 ） 假定 调和插值)
均匀分布假定(线性插值 均匀分布假定 线性插值) 线性插值
选择和终极表：选择效果和终极表合在一起 选择和终极表：选择效果和终极表合在一起. 表2-3 假定两位老人今年都是65岁 例.假定两位老人今年都是 岁，甲老人是今年刚刚体检合 假定两位老人今年都是 格购买的保险，乙老人是10年前购买的保险 年前购买的保险， 格购买的保险，乙老人是 年前购买的保险，至今仍在保障 范围内。使用表2-3的选择 的选择-终极生命表估计两位老人分别活 范围内。使用表 的选择 终极生命表估计两位老人分别活 岁的概率。 到73岁的概率。 岁的概率
剩余寿命的期望和方差
∞ w−x
o
期望剩余寿命：剩余寿命的期望值 均值 均值),简记 期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值 简记 ex
ex = E(T(x)) = ∫ t ⋅ fT (t)dt =
0
o
∫
0
t
pxdt
o2
剩余寿命的方差： 剩余寿命的方差：
Var(T(x)) = E(T(x)2 ) − E(T(x))2 = 2 ∫ t ⋅ t pxdt −ex
s(x + t) = (1−t)s(x) +ts(x +1) , 0 < t <1
q[x]+n 编制的生命表称为选择生命表 编制的生命表称为选择生命表.
若选择期为r年 投保期超过 年的同一年龄上的死亡概率 若选择期为 年，投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率 相等. 相等
第二章 生命表函数与生命表构造
设生存分布函数
s(t ) e , t 0, 其中 0为参数。 求死亡力（t）,（t）,F t）。 f （
t
例1.1答案
(t ) e t -s 根据定义：（t）= t s (t ) e f (t ) - s(t ) e
t t
死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x x t
px exp{ s ds} exp{ x s ds}
x 0
t
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
死力的性质
1、当x 0时， x 0； 2、对于任意x 0，都有 3、 x 是死力，则
＋ t 0 ＋ x
s ds ；
p x s ds 1
死力性质2的证明
s( x t ) 证：性质 、显然成立,由于t p x＝ 13 , 且 lim s( x) 0 s ( x) x 故有lim t p x＝lim
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
0
x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 fT (t ) & g (t )
s ( x) s ( x t ) FT (t ) t qx 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t fT (t ) FT (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
第二章 生命函数与生命表理论
1 x
x2
2
0
0
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。 T(x)=X-x，如新生儿的剩余寿 命T(0)=X。 分布函数 t qx ：
t
qx Pr(T ( X ) t ) Pr( x X x t X x) s ( x) s ( x t ) s( x t ) 1 s ( x) s ( x)
t
0
t
px dt ex
o 2
剩余寿命期望的推导过程
E (T )
x
0
td (1 t px ) td t px
x
x
0
t t px |0
x
t 0
பைடு நூலகம்
x
t
0
px dt
px dt
剩余寿命方差的推导过程
Var (T ) E (T 2 ) [ E (T )]2
剩余寿命
剩余寿命的生存函数 t px ：
t
px Pr(T ( x) t ) Pr( X x t X t ) s( x t ) s ( x)
特别：
x
p0 s( x)
剩余寿命
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1 qx
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 p x 1 px
De Moivre模型(1729)
x 1 s ( x) 1 x x , 0 x
注：死亡年龄X在[0，ω]上服从均匀分布。 Gompertze模型(1825)
第一章 生命表
从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下的 特征： 1. 存在两种状态：生存和死亡。 2. 单个的人──经常称作生命个体──可被划分为生存者或死亡者， 也就是说，我们可说出他们所处的状态。 3. 生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。 4. 任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们应从生存或死亡概 率的探讨而着手生存状况的研究。 5. 生存模型就是对此过程建立的一个数学模型，用数学公式进行清晰 的描述，从而对死亡率的问题作出了一些解释
本章结构
寿命分布
生命表
生命表 各年龄内的寿命分布
1.1
寿命分布
主要内容
寿命X的分布（分布函数和生存分布） 未来寿命（余命）的分布 死力（瞬时死亡率） 重点掌握： a. 各函数的符号表示及理解其涵义 b. 各种函数之间的关系
1.1.1
寿命X的分布函数
连续型死亡年龄
1. X: 死亡年龄（从生存到死亡的时间长度） 是一连续型随机变量
含义：
(x)生存t 年后，在x+t岁与x+t+u岁之间死亡的概率 (x)在活过 t 年后的u年内死亡的概率等于(x)在x+t岁时 仍活着的条件概率与(x+t)在以后的u年内死亡的概率之积。
1.1.3
未来寿命T的分布
t u
其他特殊符号b 特别地
p x t p x u p x t
平均余命
ex E[T ( x)]
0
0
tfT (t ) dt
t
0
p x dt
1.1.3
未来寿命T的分布
其他特殊符号a
s( x t ) s( x t u ) t T ( x) t u ] t | u q x Pr[ s ( x) t u qx t qx t px t u px t px u qx t
第四章 生命表
生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。
• 生命表的发展历史
– 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。 – 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
s '( x) f ( x) x [ ln s( x)]' s ( x ) 1 F ( x)
• 死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x
(1.4)
px exp{ s ds}
x
x t
• 含义：
s ( x) s ( x x ) x lim x0 x s ( x) P{x将在 x x岁之前死亡} lim x0 x x瞬间死亡的比率
生命表基本函数
• lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 • ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx • nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生存分布
• 一、新生儿的生存函数
• 二、x岁余寿的生存函数
• 三、死亡力
• 四、整值平均余寿与中值余寿
• 人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都 会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。 – 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属 于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。 – 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
生命表理论
解2.4
e • 在常数死亡力下， t px t ，则
e e e t
p25
15
0.04t
p25
, 0 t 15
p t15 40
0.0415
0.06(t 15)
,t 15
.
• 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
0
25
e25:25 0 t p25dt
死亡效力
•
( 定义：
x)
的瞬时死亡率，简记
x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
• 死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0 xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
lx l0 S (x)
• l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期
望个数n：dx
特别：n=1时，记作d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表的构造
l0
t Lx
• 个新生生命在年龄x至xx+t t区间共存活年数：
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
例2.2
• 已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
《生命表分析》课件
02
生命表的基本概念
生命期望
总结词
生命期望是描述一个个体预期能够生存的年数，基于其年龄和性别。
详细描述
生命期望是生命表分析中的一个重要指标，它表示一个个体预期能够生存的年数。这个指标基于年龄和性别进行 计算，反映了不同年龄和性别的个体在特定条件下的预期寿命。生命期望的计算有助于了解不同人群的生命风险 和生存状况，为制定相关政策和措施提供依据。
生命表分析在保险精算中发挥着关键作用，通过对不同年 龄、性别、地区等人群的生命数据进行统计分析，评估保 险产品的风险和价值，为保险公司制定保险策略、产品设 计等提供科学依据。
健康风险评估
总结词
健康风险评估是生命表分析在健康领域的应用，通过分 析人口健康数据，评估个人和群体的健康风险。
详细描述
生命表分析在健康风险评估中发挥着重要作用，通过对 健康状况、疾病发病率、死亡率等数据的分析，评估个 人和群体的健康风险，为制定健康管理策略、预防措施 等提供科学依据。同时，生命表分析还可以用于评估新 药、新治疗方法的疗效和安全性。
风险函数
总结词
风险函数描述了在给定年龄段内个体死亡或 患病的概率。
详细描述
风险函数是生命表分析中用于描述个体在给 定年龄段内死亡或患病的概率的函数。这个 函数提供了关于健康风险的综合信息，有助 于深入了解不同年龄段的健康状况和潜在的 健康问题。通过比较不同群体或不同时期的 风险函数，可以评估健康状况的变化趋势，
未来人口变化的不确定性问题
总结词
未来人口变化的不确定性是生命表分析面临的另一个 挑战。
详细描述
生命表分析通常需要对未来人口变化进行预测和估计， 但这些预测和估计可能存在不确定性。未来人口变化受 到多种因素的影响，如生育率、死亡率、移民率等，这 些因素的变化可能难以准确预测和估计。此外，未来人 口变化的趋势也可能受到政策和环境变化的影响，进一 步增加了预测的不确定性。因此，在生命表分析中，需 要充分考虑未来人口变化的不确定性问题，并采取适当 的策略和方法来处理和减少这种不确定性对分析结果的 影响。
第三章-单生命生存模型与生命表-第二节-生命表PPT课件
二、生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号
新生生命组个体数：l 0
年龄：x
极限年龄：
l 0 个新生生命能生存到年龄 x的期望个数：l x
-
4
二、生命表的构造
l 0 个新生生命中在年龄 x与xn之间死亡的期望个
数：n d x
实务中，通常设定一个年限r，当选择经过了r年后， 我们q 认[x 为k] 这k个j r年qx就j称;j为0 选,1 择, 期。
由选择期内的死亡率构造的生命表就称为选择表。 在选择期结束后，死亡率只与到达年龄有关，与 选择年龄无关。以选择影响消失后的死亡率构造 的生命表称为终极表。习惯上，将终极表并列在 选择表的右边，就构成了选择-终极表。
-
11
思考题
（1）相比较新旧两个生命表，从数据上反映了 十年间有哪些变化？
（2）试分析这些变化的原因。
（3）这些变化对保险公司开发险种，设立保险 条款，确定保险费以及准备金等将产生什么 影响？
注：以上问题没有标准答案，就其所能尽量
发挥。
-
12
三、选择-终极生命表
选择-终极生命表构造的原因
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新 成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成 员。因此那些在投保时健康状况良好的被保险人 的死亡率低于没有接受健康状况检查的人。
-
6
例2.10答案
利用旧生命表中的数据，有 （1）80p20ll1200098 31 91 14 100.003986.
（2）5 0q 2 0 1 5 0p 2 0 1 ll7 2 0 09 6 8 8 1 7 1 0 4 7 0 40 .2 9 9 7 2 .
《生命表分析》PPT课件
• 开口组平均预期寿命＝开口组死亡率倒数。
完整版ppt
27
3、完全生命表与简略生命表
完整版ppt
28
年龄的标识
• 生命表根据年龄组划分情况的不同分为完全生命 表和简略生命表两种。完全生命表中年龄是按1岁 一组划分的。在简略生命表中，第一组的组距是1 岁，第二组距是4岁，第三组以后都是按5岁一组 划分的。
Chapter6 生命表分析
• 一、生命表的产生和涵义 • 二、生命表的基本概念 • 三．生命表函数 • 四、生命表编制 • 五、生命表的有关解释 • 六、生命表的应用
Байду номын сангаас
完整版ppt
1
一、生命表的产生和涵义
• 统计学的产生来源于英国的政治算术学派， 而政治算术学派的著名创始人之一格兰特的 代表性著作《关于死亡表的自然的和政治的 观察》一书，不仅对统计学产生具有极大影 响、而且为人口统计学的创立打下了一个良 好的基础。该书首次提出了死亡表的概念， 并且根据大量的实际死亡率资料，以百名出 生婴儿为基础，编制了死亡表。
n
当
1
Lx
时，
1 2
(l
x
lx1 )
完整版ppt
16
但 是 在0岁 组 ， 死 亡 人 口 的 分 布 是 非 常 不 均 匀 的 l， 若 l1 用和进 行 简 单 平 均 的 办 法 来 计 算 生 存 人 年 数 ， 误 差 就 会 很 大 。 一 般 用 下 面 的 经 验 公 式 计 算 L ：
的生存人数
• ndx ：number dying between ages x and x + n，
(x,x+n)内的死亡人数
• qn x ： probability of dying from age x to age x
完整版ppt
27
3、完全生命表与简略生命表
完整版ppt
28
年龄的标识
• 生命表根据年龄组划分情况的不同分为完全生命 表和简略生命表两种。完全生命表中年龄是按1岁 一组划分的。在简略生命表中，第一组的组距是1 岁，第二组距是4岁，第三组以后都是按5岁一组 划分的。
Chapter6 生命表分析
• 一、生命表的产生和涵义 • 二、生命表的基本概念 • 三．生命表函数 • 四、生命表编制 • 五、生命表的有关解释 • 六、生命表的应用
Байду номын сангаас
完整版ppt
1
一、生命表的产生和涵义
• 统计学的产生来源于英国的政治算术学派， 而政治算术学派的著名创始人之一格兰特的 代表性著作《关于死亡表的自然的和政治的 观察》一书，不仅对统计学产生具有极大影 响、而且为人口统计学的创立打下了一个良 好的基础。该书首次提出了死亡表的概念， 并且根据大量的实际死亡率资料，以百名出 生婴儿为基础，编制了死亡表。
n
当
1
Lx
时，
1 2
(l
x
lx1 )
完整版ppt
16
但 是 在0岁 组 ， 死 亡 人 口 的 分 布 是 非 常 不 均 匀 的 l， 若 l1 用和进 行 简 单 平 均 的 办 法 来 计 算 生 存 人 年 数 ， 误 差 就 会 很 大 。 一 般 用 下 面 的 经 验 公 式 计 算 L ：
的生存人数
• ndx ：number dying between ages x and x + n，
(x,x+n)内的死亡人数
• qn x ： probability of dying from age x to age x
列克西斯图和生命表ppt课件
的年龄分布影响，也就是要受到人口构成状态的 影响，缺乏可比性。 （2）平均死亡年龄只对已经死亡的群体具有说明 的意义，对现存的人口总体没有积极的意义，不 能反映现存总体未来的生命过程。 （3）把不同年代出生的人的死亡年龄加以平均， 抹杀了各自生存条件的差异对人口过程的不同影 响。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 同岁人生存总体：确切年龄相同的人（横线表示） • 同时人生存总体：某时点上存活的人（竖线表示）
• 因此，对于同时出生的人来说，生存到某一确切 年龄的人和生存到某一时点的人数是完全不同的。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 表上死亡率mx – 指寿命表上达到某一确切年龄x的尚存人数在达 到另一确切年龄之间的平均死亡水平。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 平均生存人年数累计Tx – 指达到某一确切年龄x岁的一批人，按照某一 中死亡水平计算的他们在未来可能存活的时间 总长。
0
OABE：2000年出生而且在1周岁前死亡的人
OAP
2000 2001 2002 2003 2004 （时间）
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 生存总体 – 图中的横线与竖线和生命线的交点构成生存总 体。 – 通常用线段来表示
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 同岁人生存总体：确切年龄相同的人（横线表示） • 同时人生存总体：某时点上存活的人（竖线表示）
• 因此，对于同时出生的人来说，生存到某一确切 年龄的人和生存到某一时点的人数是完全不同的。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 表上死亡率mx – 指寿命表上达到某一确切年龄x的尚存人数在达 到另一确切年龄之间的平均死亡水平。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 平均生存人年数累计Tx – 指达到某一确切年龄x岁的一批人，按照某一 中死亡水平计算的他们在未来可能存活的时间 总长。
0
OABE：2000年出生而且在1周岁前死亡的人
OAP
2000 2001 2002 2003 2004 （时间）
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
• 生存总体 – 图中的横线与竖线和生命线的交点构成生存总 体。 – 通常用线段来表示
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
第二章生命表
本章中英文单词对照
• 死亡年龄
• Age-at-death
• 生命表
• Life table
• 剩余寿命
• Time-until-death
• 整数剩余寿命
• Curtate-future-lifetime
• 死亡效力
• Force of mortality
• 极限年龄
• Limiting ate
第二章生命表
第1页，本讲稿共48页
本章的主要问题
生命表的概念 生命表函数 生命表的编制
第2页，本讲稿共48页
本章重点
• 生命表函数 – 生存函数
– 剩余寿命
– 死亡效力
• 生命表的构造
– 有关寿命分布的参数模型 – 生命表的起源 – 生命表的构造 – 选择与终极生命表
• 有关分数年龄的三种假定
第3页，本讲稿共48页
Tx
期初存活者平 均剩余寿命
ex
7387758 7387485 7385850
73.88 74.22 74.38
7387758 7288785 7190091
73.88 73.82 72.89
第36页，本讲稿共48页
例2.1：
• 已知
lx
1000(10 x ) 100
• 计算下面各值：
（1）d30,20p30,30q30,10q30
参数模型的问题
• 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这 四个常用模型的拟合效果不令人满意。
• 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误 差
• 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用 非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
• 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
第二章 生命表
• 运用生命表函数可以定义和表述寿险精算中常 用的死亡概率： • 如：（1）
d x n lx n d x n q n| x lx lx lx n （2）
n
px qx n
•
lx n lx n m q n px n m px n px m qx n |m x n lx
• 生命表的特点
– 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
• 原理
– 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率）
• 常用符号
– 新生生命组个体数：l0 – 年龄：x – 极限年龄：
生命表的构造
• l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：x l
t
Lx l y dy
x
x t
• l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总 数： x T
Tx l y dy
x
Tx ex lx
oHale Waihona Puke 生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比 期初生 期间死亡 间 例 存数 数 在年龄区间 共存活年数
有关寿命分布的参数模型
• Makeham模型(1860)
x A Bc
x
s ( x) exp{ Ax B (c x 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0
• Weibull模型(1939)
x kx n
s ( x) exp{kx n 1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
s( x) s( x t ) G (t ) 1 t px s( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s( x) s( x)
d x n lx n d x n q n| x lx lx lx n （2）
n
px qx n
•
lx n lx n m q n px n m px n px m qx n |m x n lx
• 生命表的特点
– 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
• 原理
– 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率）
• 常用符号
– 新生生命组个体数：l0 – 年龄：x – 极限年龄：
生命表的构造
• l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：x l
t
Lx l y dy
x
x t
• l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总 数： x T
Tx l y dy
x
Tx ex lx
oHale Waihona Puke 生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比 期初生 期间死亡 间 例 存数 数 在年龄区间 共存活年数
有关寿命分布的参数模型
• Makeham模型(1860)
x A Bc
x
s ( x) exp{ Ax B (c x 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0
• Weibull模型(1939)
x kx n
s ( x) exp{kx n 1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
s( x) s( x t ) G (t ) 1 t px s( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s( x) s( x)
2.2生命表
p65 (1 q65 )(1 q66 )(1 q67 )(1 q68 )(1 q69 )(1 q70 )(1 q71 )(1 q72 ) 0.52941
• 内容小结 (1)生命表函数的计算 (2) 生命表的特点与构造原理 (3)选择终极生命表 作业： P39 2.4
0 t
6.剩余寿命总和Tx
t
能活到x岁的所有个体的剩余寿命总和记作Tx Tx
7.中位死亡率mx 中位死亡率是指x岁的人平均每存活一年会发生的死亡数，记作mx dx mx = Lx
x
0
lx t dt
8.剩余寿命 ex 能活到x岁的个体平均剩余寿命记作 ex Tx ex lx
0 0
0
2.2.1生命表的起源
• 生命表的发展历史 1662年，英国数学家Jone Graunt根据17世纪初写过 《生命表的自然和政治观察》一书中通过对60年来伦敦居 民出生和死亡数据的统计分析得出一个重要的人口统计规 律：尽管单个人的死亡是不可预测的，但是对于一大群人 而言，在无传染病的情况下，他们的死亡具有稳定的统计 规律。 1693年，Hally制作了《哈雷死亡表》，第一次使用表 格估计了不同年龄的死亡率，该表对现代人寿保险的形成 和国民寿命的统计工作产生巨大的推动作用，所以现在通 常把Hally称为生命表的创始人。
.0424 .0463 .0507 .0554 .0607 .0664 .0727
.0518 .0566 .0620 .0678 .0742 .0812 .0889
.0596 .0652 .0714 .0781 .0855 .0936 .1024
66 67 68 69 70 71 72
例2.2.2
例2. 2.1
第2章 生命表基础
tu
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
u|t
p x = u p x ⋅ t p x +u
特别地，有：
x +t
p0 = x p0 ⋅ t px
整值剩余寿命
定义：( x)未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) = k, k ≤ T ( x) < k + 1, k = 0,1,L
概率函数
Pr( K ( X ) = k ) = Pr(k ≤ T ( x) < k + 1) = k +1 qx − k qx = k px − k +1 px = k px ⋅ qx + k = k qx
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参 数方法）
生命表的分类
总体上可分为：国民生命表和经验生命表两大类。 国民生命表：完全生命表和简易生命表。 经验生命表：由寿险公司编制。分为： 综合生命表：仅考虑到达年龄（被保人已经达到的年 龄）而不考虑进入年龄（被保人投保时的年龄）。国民 生命表和终极和进入年龄的生命表。 终极生命表：按照承保选择的影响消失后的死亡率数 据编制而成的生命表称为终极表。 选择-终极生命表：选择表和终极表编制在同一张表 格中。
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
u|t
p x = u p x ⋅ t p x +u
特别地，有：
x +t
p0 = x p0 ⋅ t px
整值剩余寿命
定义：( x)未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) = k, k ≤ T ( x) < k + 1, k = 0,1,L
概率函数
Pr( K ( X ) = k ) = Pr(k ≤ T ( x) < k + 1) = k +1 qx − k qx = k px − k +1 px = k px ⋅ qx + k = k qx
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参 数方法）
生命表的分类
总体上可分为：国民生命表和经验生命表两大类。 国民生命表：完全生命表和简易生命表。 经验生命表：由寿险公司编制。分为： 综合生命表：仅考虑到达年龄（被保人已经达到的年 龄）而不考虑进入年龄（被保人投保时的年龄）。国民 生命表和终极和进入年龄的生命表。 终极生命表：按照承保选择的影响消失后的死亡率数 据编制而成的生命表称为终极表。 选择-终极生命表：选择表和终极表编制在同一张表 格中。
CH1 生命表
三、死亡力与未来生存时间的分布函数，密度函数之间的关系
根据 f x (t ) ＝
d dt
F x (t ) d dt P [T x t ]
1
f x (t ) ＝
＝ Iim
h 0
h
P [T x t h ] P [T x t ] P [T x t h | T x ] P [T x t | T x ]
f x (t ) ＝
S (x t) S (x)
h 0
Iim
1 P [T x t h ] P [T x t ] h S (x t)
＝ S x (t ) × Iim
h 0
1
P [T x t h | T x t ]
h
＝ S x (t ) × x t 或者，用精算符号，对 0 到 w 间的某一年龄 x
下面就是生存模型可回答的例子：
1.一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少? 2.假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少 人可能在下一年内死亡? 3.如果某一45岁的男性公民，在投保了一个10年 的定期的某种人寿保险，那么应该向他收多少 保费?
4.一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民 的未来生存时间的影响是怎样的?
1. 2. 3. 4. 5.
从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下 的特征： 存在两种状态：生存和死亡。 单个的人──经常称作生命个体──可被划分为生存者或死亡者， 也就是说，我们可说出他们所处的状态。 生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。 任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们应从生存或死 亡概率的探讨而着手生存状况的研究。 生存模型就是对此过程建立的一个数学模型，用数学公式进行 清晰的描述，从而对死亡率的问题作出了一些解释.
第3章生命表
图解式生命表
第三节 生命表参数分析
• 生命表可直观地观察种群数量动态的某些 特征，如种群不同年龄或发育阶段的死亡 数量、死亡原因、生命期望等。另外，将 生命表中的数据资料加以综合、归纳和分 析，则可进一步了解种群数量动态的规律 和机制。下面介绍根据生命表的数据分析 得出的几个主要的种群参数和曲线：
• 生存曲线有3种基本类型： • （1）类型I，凹曲线。早期死亡率极高，一 旦活到某一年龄，则死亡率较低。这类生 物的寿命短，具较高的出生率。如低等脊 椎动物、寄生虫、许多植物等。 • （2）类型II，直线或对角线。种群各年 龄阶段的死亡率大致相等，没有引起个体 大量死亡的因素。如一些小型兽类、某些 多年生的植物等。 • （3）类型III，凸曲线。大多个体能活到其 生理年龄，早期死亡率极低，但当达到一 定生理年龄后，死亡率骤然增加。如人类、 大型兽类等。
五、关键因素分析（K 五、关键因素分析（K因素分析）
• 主要是根据有关资料编制成关键因素表，然后 找出影响整个种群死亡率的关键因素。 这一方法可以辩明关键因子对死亡率
K-因子分析
的作用。连续几年获得的特定阶段k值与总死亡率 （k总）相比。K因子分析强调那些死亡率最高的 阶段，这些阶段是种群丧失率和种群大小波动的 关键。
静态生命表
根据某一特定时间对生物种群作一个年 龄结构调查，并根据调查结果而编制的生 命表.如去某村调查所有人口（规定时间特 别严）。它是某一个特定时间的静态横切 面，所研究的种群成员的各年龄组都是在 不同的年中所经历过来的，但在此假定了 种群所经历的环境条件是年复一年地没有 变化的。
静态生命表
• 适用于世代重叠的生物，表中的数据是根据在某一特定 时刻对种群年龄分布频率的取样分析而获得的，实际反映 了种群在某一特定时刻的剖面 。它是生命表的最常见形 式。 假设条件：（1）假定种群所经历的环境年复一年地没有 变化；（2）种群大小稳定；（3）年龄结构稳定。 优点：（1）易于看出种群的生存对策和生殖对策；（2） 易于编制。 缺点：（1）所描述的死亡过程与实际死亡过程会存在差 异；（2）无法分析引起死亡的原因；（3）不能对种群的 密度制约过程和种群调节过程进行定量分析；（4）难以 根据它来建立更详细的种群模型；（5）不适用于世代不 重叠的生物。 注意：如何确定年龄分组，即如何科学有效地划分种群年 龄段，这很重要。