高二数学选修2-2函数的导数与单调性、极值

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人教A版选修2-2 函数的极值与导数.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作函数的极值与导数【教学目标】：知识与技能：掌握函数极值的定义,了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值过程与方法：结合实例，借助几何直观感知并探索函数的极值与导数的关系。

情感态度与价值观：感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质。

【教学过程】：一、创设情景：通过上节课的学习，学生已经知道导数和函数单调性的关系，当()0f x '>时，函数在这个区间上是单调递增；当()0f x '<时，函数在这个区间上是单调递减.让学生观察课本图3.3-8，引导学生思考最高点处的导数值，以及最高点附近的图像特点，导数的符号有什么变化规律。

进而引入本课主题。

通过学生分析、探究发现，在最高点处的导数为0，在最高点的左侧导数()0f x '>，图像单调递增，在最高点右侧导数()0f x '<，图像单调递减。

二、引导探究：对于这一事例是这样的，对其他的函数是不是也有这种性质呢？进而通过学生分组讨论，找出共同点，不同点，看是否能得到同样的规律。

用课本的探究试验来验证规律。

三、归纳应用：1．归纳总结以图2为例，通过探究，给出定义，函数()y f x =在点x a =处的函数值()f a 比它在点x a =附近的点的函数值都小，而且在点x a =附近的左侧()f x '<0，右侧()f x '>0。

类似地，函数()y f x =在点x b =处的函数值()f b 比它在点x b =附近的点的函数值都大，而且在点x b =附近的左侧()f x '>0，右侧()f x '<0。

我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值。

点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值。

北师版数学高二选修2-2课件函数的极值

(2)函数的单调性与极值 ①如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是_减__少__ 的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. ②如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是_增__加__ 的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
解答
命题角度2 含参数的函数求极值例2 设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间；
解答
(2)讨论f(x)的极值. 解由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值. 当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
跟踪训练3 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图像如图所示，且与直线y＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.
(1)求a，b，c的值；
解答
(2)求函数的递减区间.
解由(1)知，f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2). 由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，∴0<x<2， ∴函数f(x)的递减区间是(0，2).
第三章 §1 函数的单调性与极值
1.2 函数的极值
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
内容索引
问题导学题型探究当堂训练
问题导学
知识点一函数的极值点和极值
思考1
观察y＝f(x)的图像，指出其极大值点和极小值点及极值.
本课结束
答案
梳理求函数极值点的步骤
(1)求出导数 f′(x)； (2)解方程 f′(x)＝0， (3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号 (即f(x)的单调性)，确定极值点 . ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点 . ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点 . ③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点.

人教A版数学选修2—21.3.2函数的极值与导数

cd e f o g
h
I
jx
结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0
探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y yf(x)
极大值点两侧
f (x)>0
f (x)<0
f (x)<0
f (x)>0
Oa
x1
极小值点两侧
x2
bx
结论：
1、f ' (x0 ) 0
2、在x0左右两侧，若导数先正后负，那么f (x0 )是极大值若导数先负后正，那么f (x0 )是极小值
（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
y P(x1,f(x1))
y=f(x)
o
a
x1
Q(x2,f(x2))
x2
x3 x4
b
x
二、求函数极值的方法
练习：y=f(x)的图像如图，找出f(x)的极大值点，极小值点
y
cd e f o g
h
I
jx
探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？ y
极大值与极小值统称为极值.
视察下列图像，结合极值定义思考以下问题：
（11、）极极值值是是函某数一的点最附值近吗的，小为区什间么而？言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;
（22、）极函大数值在或整极个小定值义唯区一间吗内？可能有多个极3值、点极，大但值定与义极域小的值端大点小绝关不系是确极定值吗点？。
f
'( x)
1 x2
1
x2 1= x2
(x
1)( x x2
1)
=0，
x 1
当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表

(完整word版)高中数学选修2-2函数的单调性与导数

1.3.1函数的单调性与导数［学习目标］1•结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函.3.会求函数的单调区间(其中多项式数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式函数的最高次数一般不超过三次).尸知识梳理自主学习知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系:导数函数的单调性f' (x)>0单调递增f' (x)<0单调递减—f' (x) = 0常函数思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设X i V X2的前提下，比较f(x i)与f(X2)的大小，在函数y= f(x)比较复杂的情况下，比较f(x i)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减知识点二利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域.⑵求出函数的导数f' (x).(3)解不等式f' (x)>0,得函数的单调递增区间；解不等式f' (x)v0,得函数的单调递减区间.知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度如图，函数y= f(x)在(a,0)和(0, b)内的图象“陡峭”，在(一® a)和(b,+^ )内的图象“平题型一利用导数确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间.(1)f(x) = 3X2—2ln x; (2)f(x)= x2• e e；1(3)f(x) = x+ x .解⑴函数的定义域为 D = (0 ,+^). T f' (x)= 6x—2,令f (x) = 0，得x i = ¥, X2= —申x 3 3 (舍去)，用x i分割定义域D，得下表:x0,号3+ 8 3 ,+f' (x)一0+f(x)•••函数f(x)的单调递减区间为0,呼，单调递增区间为.3 3⑵函数的定义域为D = (— 8,+^). •/ f' (x)= (x2)' e—x+ x2(e—x)' = 2xe—x—x2e—x= e—x(2x —x2)，令f' (x)= 0，由于e x> 0, • x i = 0, x2= 2,用x i, x2分割定义域D，得下表：x(—8, 0)0(0,2)2(2, +8)f' (x)一0+ 0一f' (x)• f(x)的单调递减区间为(—8, 0)和(2, +8)，单调递增区间为(0,2).(3)函数的定义域为D = (—8 , 0)U (0, +8).1f ' (x)= 1 —~2,令f' (x)= 0，得x i=—1, X2= 1，用x i , X2 分割定义域D，得下表:xx(—8,—1)—1(—1,0)(0,1)1(1 ,+ 8 )f' (x)+0一一0+f(x)•••函数f(x)的单调递减区间为(一1,0)和(0,1)，单调递增区间为(一8,—1)和(1,+8).反思与感悟首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“U”.跟踪训练1 求函数f(x)= x3—3x的单调区间.解f' (x)= 3x2—3 = 3(x2—1).当f' (x)> 0 时，x v—1 或x> 1,此时函数f(x)单调递增；当f' (x)v 0时，一1 v x v 1,此时函数f(x)单调递减.•函数f(x)的递增区间是(—8,—1), (1,+ 8 )，递减区间是(一1,1).题型二利用导数确定函数的大致图象例2 画出函数f(x) = 2x3—3x2—36x+ 16的大致图象.解f' (x) = 6x2—6x—36= 6(x2—x—6)= 6(x—3)(x+ 2).由f' (x)> 0 得x v — 2 或x> 3,•函数f(x)的递增区间是(一8,—2)和(3,+ 8).由f' (x)v 0 得一2v x v 3,•函数f(x)的递减区间是(一2,3).由已知得f( —2) = 60, f(3)=—65, f(0) = 16.•结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).反思与感悟利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象跟踪训练2已知导函数f' (x)的下列信息：当2v x v 3 时，f' (x)v 0;当x> 3 或x v 2 时，f' (x)> 0;当x= 3 或x= 2 时，f' (x)= 0;试画出函数f(X )图象的大致形状•解当2 v X V 3时，f' (x)v 0，可知函数在此区间上单调递减；当x> 3或x v 2时，f' (x)> 0，可知函数在这两个区间上单调递增；当x= 3或x= 2时，f' (x)= 0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变综上可画出函数f(x)图象的大致形状，如图所示(答案不唯一).例3 已知函数f(x)= 2ax—x3, x€ (0,1］, a>0,若函数f(x)在(0,1］上是增函数，求实数a的取值范围•解f' (x) = 2a —3x2,又f(x)在(0,1］上是增函数等价于f' (x)>0对x€ (0,1］恒成立，且仅有有限个点使得f' (x) = 0,3••• x€ (0,1］时，2a —3x2>0,也就是a>3x2恒成立.3 3又x€ (0,1］时，/2€ 0, ,3• a的取值范围是-,+ ^反思与感悟已知函数在某个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：①利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即f' (x)> 0(或f' (x) w 0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；②利用子区间(即子集思想)，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集；③利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置•1跟踪训练 3 已知函数f(x)= In x, g(x)= 2ax2+ 2x, a^ 0.(1)若函数h(x) = f(x)—g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围;⑵若函数h(x) = f(x)—g(x)在［1,4］上单调递减，求a的取值范围1解(1)h(x) = In x —?ax2—2x, x€ (0, + ),1• h' (x)= -一ax— 2.xh(x)在(0, + m)上存在单调递减区间,1•••当 x € (0,+^)时，-一ax — 2v 0 有解，x 1 2即a >X — 2有解. 1 2设 G(x) = x 2-X ，只要a >G(x)min 即可. 工1 2而 G(x) = - — 1 2— 1,x--G (x)min = 一 1 , a > — 1.(2) •/ h(x)在［1,4］上单调递减，1• x € ［1,4］时，h ' (x) = 一一 ax — 2< 0 恒成立,x 1 2即a > £— 2恒成立，x 2 x- 1 …--a 》G(X )max ，而 G(x)= x 一 1 一 1 ,• ■ • a 》—16.1 1错解 y ' = 1 — i,令y ' = 1 —1 >0,得x > 1或x v 0,所以函数y = x — ln x 的单调递增区x x 1间为(1, + m ), (—g, 0).令y ' = 1 — _v 0,得0 v x v 1,所以函数y = x — In x 的单调递减 x 区间为(0,1).错因分析在解与函数有关的问题时，一定要先考虑函数的定义域，这是最容易忽略的地方. 正解函数y = x — ln x 的定义域为(0, + g ), 又 y ' = 1 —-,X ，1令y ' = 1 — ->0,得x > 1或x v 0(舍去)，所以函数y = x — ln x 的单调递增区间为(1, + g ). x 1令y ' = 1 — _v 0,得0v x v 1,所以函数y = x — ln x 的单调递减区间为(0,1). x 防范措施在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域--G (x)max =_7 16,例4 求函数y = x — ln x 的单调区间m当堂检测宜查自纠1•函数f(x) = x + In x 在(0,6)上是()A. 单调增函数B. 单调减函数1 1C. 在0,-上是减函数，在-，6上是增函数e e1 1D. 在0, -上是增函数，在-，6上是减函数e e答案A1解析•/ x€ (0,6)时，f，(x) = 1 + -> 0,•••函数f(x)在(0,6)上单调递增.x2. f，(x)是函数y= f(x)的导函数，若y= f，(x)的图象如图所示，则函数y= f(x)的图象可能是( )答案D解析由导函数的图象可知，当x v 0时，f，(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0v x v 2时, f，(x)< 0，即f(x)为减函数；当x> 2时，f，(x)> 0，即函数f(x)为增函数•观察选项易知D正确•3•若函数f(x)= x3—ax2- x+ 6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A. [1,+旳B.a= 1C.(—s, 1]D.(0,1)答案A解析T f，(x) = 3x2—2ax—1,且f(x)在(0,1)内单调递减，•不等式3x2—2ax—K 0在(0,1)内恒成立，• f，(0)w 0,且f，(1)w 0, • a> 1.4•函数y = x 2— 4x + a 的增区间为 ________ ，减区间为 ________ . 答案(2,+^ )( — 8, 2)解析 y ' = 2x — 4,令 y ' > 0,得 x > 2;令 y ' v 0,得 x v 2, 所以y = x 2— 4x + a 的增区间为(2,+ g )，减区间为(一^, 2).1 一5•已知函数 f(x) = 2ax — -, x € (0,1］.若f(x)在x € (0,1］上是增函数，则 a 的取值范围为x1答案—2，+m1解析由已知条件得f ' (x) = 2a +采.••• f(x)在 (0,1］上是增函数，1而g(x) = — 2"2在 (0,1］上是增函数,1f ' (x)=— 1 + p 对 x € (0,1］有 f ' (x)>0,且仅在 x = 1 时, —1• a =— 时，f(x)在(0,1］上是增函数一 1• a 的取值范围是一夕+g ._课堂小结 ------------------判断函数单调性的方法如下：(1)定义法.在定义域内任取 X 1 , x 2,且X 1V X 2，通过判断f(X 1)—f(x 2)的符号来确定函数的单调性.⑵图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数 (3)导数法.利用导数判断可导函数 f(x)在区间(a , b)内的单调性，步骤是：①求f ' (x);②确定f ' (x)在(a , b)内的符号；③确定单调性.(x)> 0, 12护在x € (0,1］上恒成立g(X )max = g(1)=— 12.f ' (x) = 0.求函数y = f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f' (x) > 0和f' (x) v 0所得的x的取值集合.反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f' (x)>0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值.同样可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题.课时精练一、选择题1•函数y=(3 —x1 2)e x的单调递增区间是()A. ( —g, 0)B.(0 ,+s )C.( — g,—3)和(1 ,+g )D.( —3,1)答案D解析求导函数得y' = (—x2—2x+ 3)e x.令y' = (—x2—2x+ 3)e x>0,可得x2+ 2x—3v 0,—3v x v 1.•••函数y = (3 —x2)e x的单调递增区间是(—3,1).2.已知函数f(x) = —x3+ ax2—x—1在(一g, +g )上单调递减，则实数a的取值范围是()A. ( —g,—.3] U [ 3,+g )B. [ —.3, .3]C. ( — g,—.3) U ( 3,+g )D. ( —. 3, .3)答案B解析由题意得f' (x) = —3x2+ 2ax—1< 0在(—g , + g)上恒成立，且仅在有限个点上f' (x)=0，则有△= 4a2—12W 0,解得—.3W a w 3.3. 下列函数中，在(0,+g )内为增函数的是()A.y= sin xB.y= xe2C. y= x3—xD.y= In x—x答案B解析显然y= sin x在(0, + g)上既有增又有减，故排除A；对于函数y= xe2,因e2为大于零的常数，1对于 D , y' = —— 1 (x> 0).x故函数在(1, + g)上为减函数，在(0,1)上为增函数.故选B.不用求导就知y= xe2在(0 ,+g)内为增函数；对于C, y' = 3x2— 1 = 3 x+于x —_33,故函数在—g,——3, -3, + g上为增函数，3 3在—专，专上为减函数；3 34•设f(x), g(x)在［a, b］上可导，且f' (x)>g ' (x),则当a v x v b 时，有()A. f(x)> g(x)B. f(x)v g(x)C. f(x) + g(a)> g(x) + f(a)D. f(x) + g(b)> g(x) + f(b)答案C解析■/ f' (x) - g' (x) > 0,•••(f(x)—g(x))' >0,••• f(x)- g(x)在［a, b］上是增函数，•••当a v x v b 时f(x)- g(x)> f(a)- g(a),• f(x) + g(a)> g(x) + f(a).5. 函数y= ln_|x|的图象大致是()x答案C解析T y= f(—x)= ln~! =—f(x),—x•- y= f(x) = ln |x l为奇函数,x• y= f(x)的图象关于原点成中心对称，可排除 B.又•••当x> 0 时，f(x)=乎，f' (x)= 1-x2l x,•当x> e 时，f' (x)v 0,•函数f(x)在(e,+s)上单调递减；当O v x v e 时，f' (x)>0,•函数f(x)在(0, e)上单调递增.故可排除A , D，而C满足题意.6. 定义在R上的函数f(x)满足：f' (x)> 1 —f(x) ,f(O)= 6 ,f' (x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x) >e x+ 5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(O,+s )B.( 0) U (3 ,+s )C.( — f, 0)U (1 ,+s )D.(3 ,+s )答案A解析由题意可知不等式为e x f(x) —e x—5> 0,设g(x) = e x f(x)—e x—5,••• g' (x)= ef(x)+ e x f' (x) —e x=e x[f(x) + f'x)—1] > 0.•函数g(x)在定义域上单调递增.又••• g(0) = 0, • g(x)> 0 的解集为(0,+^).二、填空题7•若函数f(x)= 2x2—In x在定义域内的一个子区间(k —1, k+ 1)上不是单调函数，贝U实数k的取值范围是__________________ .3答案1, 31 4x2—1解析显然函数f(x)的定义域为(0, + f), f' (x) = 4x — - = --- •由f' (x)> 0,得函数f(x)x x1 1的单调递增区间为2,+ m；由f'(x)< 0，得函数f(x)单调递减区间为0, 2 •因为函数在1 1 3区间(k—1, k+ 1)上不是单调函数，所以k—1v 2< k + 1,解得一2< k v3，又因为(k—1, k3+1)为定义域内的一个子区间，所以k— 1 >0，即k> 1•综上可知，K k<3.38•函数y= f(x)在其定义域—2, 3内可导，其图象如图所示，记y= f(x)的导函数为y= f' (x),则不等式f' (x)< 0的解集为__________ •1答案—3, 1 U [2,3)9.函数y= In(x2—x—2)的递减区间为________ •答案(— R, —1)2x—1 1解析f' (x)= -，令f' (x)< 0得x<—1或1<x< 2,注意到函数定义域为(―8,—x2—x— 2 2 4 4 U (2, + f)，故递减区间为(一8,—1)・1 110•若函数f(x)= x 2+ ax + -在2，+m上是增函数，则a 的取值范围是 _________X 2 答案 [3 ,+^ )1 1解析因为f(x)= x 2 + ax + -在2,+ m上是增函数,'X. 厶1 1故f ' (x)= 2x + a —采》0在2，+g 上恒成立， 1 1即a ＞尹—2x 在-,+ 上恒成立•2则 h ' (x)=— --3 — 2,入1当x € 2，+ g 时，h ' (x) v 0,贝U h(x)为减函数, 1所以 h(x) v h 2 = 3,所以 a >3. 三、解答题11. 已知函数f(x) = ax 3+ bx 2的图象经过点 M(1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线垂直.(1) 求实数a , b 的值；⑵若函数f(x)在区间[m , m + 1]上单调递增，求 m 的取值范围.解 (1) •••函数 f(x)= ax 3 + bx 2 的图象经过点 M(1,4)，二 a + b = 4.① f ' (x)= 3ax 2+ 2bx ,则 f ' (1) = 3a + 2b.1由条件 f ' (1) •— 9 =— 1,即 3a + 2b = 9.② 由①②解得a = 1, b = 3.(2) f(x) = x 3 + 3x 2，则 f ' (x)= 3x 2 + 6x. 令 f ' (x)= 3x 2 + 6x >0,得 x >0 或 x < — 2. •••函数f(x)在区间[m , m + 1]上单调递增， •••[m , m + 1]?(—g,— 2] U [0,+ g) /• m >0或 m + K — 2, • m >0 或 m W — 3.12. 已知函数f(x)= a x + x 2— xln a — b(a , b € R , a > 1), e 是自然对数的底数. (1)试判断函数f(x)在区间(0,+g )上的单调性；⑵当a = e , b = 4时，求整数k 的值，使得函数f(x)在区间(k , k + 1)上存在零点解 (1)f ' (x) = a x ln a + 2x — In a = 2x + (a x — 1)ln a.•/a > 1, •••当 x € (0, + g )时，ln a >0 , a x — 1>0 ,1令 h(x)=护—2x ,x + 9y = 0• f' (x)> 0,•函数f(x)在(0 , +g)上单调递增.⑵•/ f(x) = e x+ x2- X—4, ••• f (x) = e x+ 2x—1,••• f' (0) = 0.当x> 0 时，e x> 1, • f' (x) >0,• f(x)是(0, + g)上的增函数.同理，f(x)是(-g, 0)上的减函数•又f(0) =—3v 0, f(1) = e—4v 0, f(2) = e2—2>0, 当x>2 时，f(x)>0,•••当x> 0时，函数f(x)的零点在(1,2)内，•- k= 1满足条件.1 1f(0) = —3V0, f(—1)=——2V 0, f( —2) = -2+ 2>0, e e当x v—2 时，f(x)>0,•••当x v 0时，函数f(x)零点在(一2,—1)内，•- k=—2满足条件.综上所述，k= 1或—2.13. 求下列函数的单调区间.(1) y= In (2x+ 3) + x2;x一1(2) f(x) = aln x+ (a 为常数).x+ 13解(1)函数y= In (2x+ 3) + x2定义域为一§, + g •/y= In (2x+ 3) + x2, , 2 4x2+ 6x+ 2 2 2x+ 1 x+ 1…y = + 2x= =y 2x+ 3 2x+ 3 2x+ 3当y' > 0,即一3v x v —1 或x>—丄时，2 2函数y= In(2x+ 3) + x2单调递增.1当y' v 0,即一1 v x v —时，函数y= In(2x+ 3) + x2单调递减.3 1故函数y = In(2x + 3) + x 2的单调递增区间为一2, — 1 , — ?, 当a >0时，f ' (x)> 0,函数f(x)在(0,+s )上单调递增当 a v 0 时，令 g(x)= ax 2 + (2a + 2)x + a , 由于 △= (2a + 2尸一4a 2= 4(2a + 1),1①当 a =-㊁时，A= 0, g(x )w 0,1② 当 a v -号时,Av 0, g(x)v 0, f ' (x)v 0，函数f(x )在(0 ,+a )上单调递减 1③当一2< a v 0 时，A> 0.设x 1, X 2(X 1< X 2)是函数g(x)的两个零点, Qa 2+ 2a + — 2a + 1 >。

高二数学人教A版选修2-2课件：1.3.2 函数的极值与导数

一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=1处取得极值,且极值为0. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的另一个极值思路分析:由极值的定义可知f'(1)=0,再结合f(1)=0,建立关于a,b的方程即可求得a,b的值,从而得出另一个极值.
一二三
知识精要
典题例解
令 f '(x)=0 得 3x2-3=0,∴x=±1.
故函数 f (x)在 x=-1 处取得另一个极值,且极值等于
f (-1)=-1+3+2=4.
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.若函数f(x)=x3-6bx+3b在区间(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是
1.3.2 函数的极值与导数
目标导航
预习导引
学习目标
1.记住函数的极大值、极小值的概念; 2.结合图象,知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值.
重
点重点:利用导数求函数的极值;
难难点:极值的判断和与极值有关的参数问题. 点
目标导航
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
三、函数极值的综合应用
1.利用导数可探究出函数的单调性与极值情况,据图象走势及最高点、最低点画出函数的大致图象. 2.研究方程根的个数问题时,可利用数形结合的思想方法,将问题转化为两函数图象交点个数的问题,然后借助函数的单调性和极值情况进行求解.1<x<x2 时,g(x)>0,即 f'(x)>0,故 f(x)为增函数;

高中数学选修2-2函数的极值与导数课件

B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是（ C ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 f ' x 0 .当 f ' x0 0 时：
x （1）如果在 0 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
2如果在x0附近的左侧f ' x 0,右侧 f ' x 0, 那么f x0 是极小值.
f x0
是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例题讲解
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．解：定义域为R，y ’＝6x(x2－1)2.由y ’＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当x变化时，y ’ ，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B )
A. y=-x3 D. y=1/x
人教版高中数学选修2-2
第1章导数及其应用
函数的极值与导数
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系：在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内

高中数学理科选修知识点(2-2,2-3,4-1,4-4,4-5)

数学选修2-2知识点总结第一章导数及其应用一、导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数3.函数2()y f x x ==的导数4.函数1()y f x x ==的导数基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()logxa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x '=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三数学归纳法它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

高二数学下选修2-2利用导数研究含参函数的单调性课件(人教版1)

3.注意在定义域内求单调区间，单调区间之间不可以并
例3设函数 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
当 a 0 时求函数的单调区间。
跟踪练习
已知函数 f(x)＝(1＋ax2)ex－1，当 a≥0 时，讨论函数 f(x)的单
调性．
[解]f′(x)＝(ax2＋2ax＋1)ex，
当 a＝0 时，f′(x)＝ex＞0，此时 f(x)在 R 上单调递增．当 a＞0 时，方程 ax2＋2ax＋1＝0 的判别式Δ＝4a2－4a.
1.掌握导数与函数单调性的关系；
2.掌握用导数求含参函数单调区间的步骤，
3明确求导之后转化为不同类型下含参的不等式的处理方法；以及分类讨论时分类标准的确立方式。
含参函数单调性的判定
鞍山六中田宇
1－1，－1＋ a
1－1 a
上单调递减．
综上，当 0≤a≤1 时，f(x)在 R 上单调递增；当 a＞1 时，f(x)
在－∞，－1－
1－1 a
和
－1＋
1－1，＋∞ a
上单调递增，
在－1－
1－1，－1＋ a
1－1 a
上单调递减．
求导后是二次函数型的含参问题讨论： 1.如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论； 2.是二次函数时考虑是否有根，逻辑上先看能否因式分解，再是对判别式Δ≤0 和Δ＞0 分类讨论， 3.有根时求得两个根 x1，x2。讨论两根的大小， 4.注意根是否在定义域中
答案提示：f '(x) (2x 1)ex,
f
(x)的增区间为
-，- 12
；f
(x)的减区间为
-
Hale Waihona Puke 1 2，+，。例1 17'全国)设函数f (x) ae2x (a 2)ex x, 求函数f (x)的单调区间。

人教A版选修2-2导数及其应用优质课：函数的单调性与导数

[对点训练]
1．函数 f(x)＝2x2－ln x 的递增区间是
()
A．0，12
B．0，12和12，＋∞
C．12，＋∞
D．－∞，12和0，12
解析：选 C ∵f(x)＝2x2－ln x，
∴f′(x)＝4x－1x＝4x2x－1＝2x－1x2x＋1(x>0)，
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f′(x)＝x＋bx′＝1－xb2，令 f′(x)＞0，则x12(x＋ b)(x－ b)＞0， ∴x＞ b，或 x＜－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)．令 f′(x)＜0，则x12(x＋ b)(x－ b)＜0， ∴－ b＜x＜ b，且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
(1)利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为： ①确定函数 f(x)的定义域； ②求导数 f′(x)； ③ 在函数 f(x) 的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0； ④根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间． (2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． (2)先令 f′(x)>0(或 f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时 f(x)是否满足题意． 2．恒成立问题的重要思路 (1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max. (2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.

苏教版高中数学选修2-2导数复习(单调性、极值、最值)讲学稿

2011年官林高中高二数学讲学稿
课题：导数复习（单调性、极值、最值）出卷人：李俊峰审核人：薛建华
典例精析：
例题1、已知函数y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间.
例题2、已知在与时，都取得极值．
(1)求的值；(2)若，求的单调区间和极值。
例题3、求f（x）＝x3－3x2－9x＋5在[－4，4]上的最大值和最小值
例题4、已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（２）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围
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知识巩固：
1、函数已知时取得极值，则 =________.
2、函数，在时，有极值10，则 =, =。
3、设，当时，恒成立，则实数的取值范围为.
4．若函数是R是的单调函数，则实数的取值范围是_______.
5、已知函数的图象过点 ,且在点处的切线方程为 .
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.
6、已知是函数的一个极值点，其中，
（I）求与的关系式；（Ⅱ）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 ，求的取值范围.
教后反思：

【精品课件】高中数学选修2-2 导数的应用-函数极值与最值

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(元)
课下阅读材料：教材例4-例7.
是非题
极值点是不是驻点？满足什么条件的极值点是驻点？驻点是不是极值点？满足什么条件的驻点是极值点？最值点是不是极值点？满足什么条件的最值点是极值点？极值点是不是最值点？满足什么条件的极值点是最值点？
分清四类点：驻点—极值点—拐点—最值点.
2. 应用举例例求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的半径为R.
解设圆柱体的高为2h, 底半径为r, 体积为V, z (1) 目标函数 V r 2 2h
由r 2 h2 R2 , 得
O
y
V 2 (R2 h2 ) h, 0 h R
x
(2) 求最大值点
Vh 2 (R2 3h2 )
f ( x)
1
3( x 1)3
x (,1) 1 (1, 7 ) 7
11 11
f ( x) 0
0
( 7 ,1) 11
1 (1, )
不存在
非
极
极
f (x)
极
大小值ຫໍສະໝຸດ 值值极大值 f ( 7 ) 2.2
极小值 f (1) 0
11 单调增加区间: 单调减少区间:
(,1], ( 7 ,1).
1, 171
极值,且在x0处可导,则必有f ( x0 ) 0.
注 (1) 可导函数的极值点必是驻点, 但函数的
驻点却不一定是极值点.
y
y x3
如,y x3 , y x0 0, 但x 0不是极值点.
O•
x
拐(2点) 极可值能点在也两可类能点是中导取数到不：存在的点.
y
➢如二,阶y 导 3数x零2 ,点x； 0是极小值点.

数学教案北师大版选修2-2 同步备课-第3章导数应用第1节导数的单调性与极性

§1函数的单调性与极值1. 1 导数与函数的单调性学习目标核心素养1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．(重难点)3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其它函数的单调区间．(重点) 1．借助图象认识函数的单调性与导数的关系，提升学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数研究函数的单调性的学习，培养学生的数学抽象和数学运算的核心素养.1．函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0 常数函数2．函数图像的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图像越大大比较“陡峭”(向上或向下)越小小比较“平缓”(向上或向下) 思考：如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？[提示]函数f(x)为常函数．1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．不能确定A[由条件可知，f(x)在(a，b)内单调递增，∵f(a)≥0，∴在(a，b)内有f(x)>0.]2．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )B [由f′(x)图像可知，f′(x)>0，函数单调递增，且开始和结尾增长速度慢，故应选B.] 3．已知函数f(x)＝12x 2－x ，则函数f(x)的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)D [法一：f(x)＝12x 2－x ＝12(x －1)2－12，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，可知函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．法二：f′(x)＝x －1，令f′(x)>0，解得x>1．故函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．]单调性与导数的关系【例1】 (1)函数y ＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法： ①函数y ＝f(x)的定义域是[－1,5]； ②函数y ＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]； ③函数y ＝f(x)在定义域内是增函数； ④函数y ＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0. 其中正确的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图像如图所示，则导函数y ＝f′(x)的图像可能为( )A BC D思路探究：研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．(1)A (2)D[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.]1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )A B C D(2)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是( )(1)D (2)D [(1)A ，B ，C 均有可能；对于D ，若C 1为导函数，则y ＝f(x)应为增函数，不符合；若C 2为导函数，则y ＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)根据函数的导数的正负与单调性的关系，对照图像可知，答案应选D.]利用导数求函数的单调区间【例2】求函数f(x)＝x ＋ax(a≠0)的单调区间．思路探究：求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．[解] f(x)＝x ＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax 2.当a>0时，令f′(x)＝1－ax2>0，解得x>a 或x<－a ；令f′(x)＝1－a x 2<0，解得－a<x<0或0<x<a ；当a<0时，f′(x)＝1－ax2>0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a ，＋∞)；单调递减区间为(－a ，0)和(0，a)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域． 2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x 的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝e x－ex ，x∈R 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)(1)D (2)B [(1)∵f′(x)＝(e x－ex)′＝e x－e ，由f′(x)＝e x－e>0，可得x>1．即函数f(x)＝e x －ex ，x∈R 的单调增区间为(1，＋∞)，选D. (2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1x －1，由f′(x)＝1x－1>0，得0<x<1，所以函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是(0,1)，选B.]已知函数的单调性求参数的取值范围1．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b<0时，f(x)的单调性如何？ [提示] 求函数的导函数f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a 2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数．2．函数单调性的充要条件如何？[提示] (1)在某个区间内，f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件．例如，函数f(x)＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)＝3x 2≥0.(2)函数f(x)在(a ，b)内单调递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，且f′(x)在(a ，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．【例3】已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b.(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．思路探究：(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值． [解] y′＝3x 2－a.(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数．则y′＝3x 2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，即a≤3x 2在x∈(1，＋∞)时恒成立，则a≤(3x 2)min . 因为x>1，所以3x 2>3.所以a≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]．(2)令y′>0，得x 2>a3.若a≤0，则x 2>a3恒成立，即y′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符．若a>0，令y′>0，得x>a3或x<－a 3. 因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．将本例(1)改为“若函数y 在(1，＋∞)上不单调”，则a 的取值范围又如何？ [解] y′＝3x 2－a ，当a<0时，y′＝3x 2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y 在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x 2－a ＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x 2－a ＝0可得x ＝a3或x ＝－a3(舍去)．依题意，有a3>1，∴a>3， ∴a 的取值范围是(3，＋∞)．2．本例(1)中函数改为f(x)＝x 3－ax 2－3x.区间“(1，＋∞)”改为“[1，＋∞)，a 的取值范围如何？ [解] 由f(x)＝x 3－ax 2－3x 得 f′(x)＝3x 2－2ax －3，∵f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数， ∴3x 2－2ax －3≥0， ∴a 3≤x 2－12x. 令g(x)＝x 2－12x，x∈[1，＋∞)，g′(x)＝x 2＋12x2>0，即g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0， ∴a 的取值范围为a≤0.1．解答本题注意可导函数f(x)在(a ，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a ，b)上恒成立，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a ，b)上的单调性，求参数取值范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a ，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a ，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．3．已知函数f(x)＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． [解] f′(x)＝6ax 2＋8x ＋3.∵f(x)在R 上是增函数，∴f′(x)≥0在R 上恒成立，即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a≤0，a>0，解得a≥89.经检验，当a ＝89时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，＋∞.1．函数的单调性与导数符号的关系设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在(a ，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a ，b)为f(x)的单调增区间； (2)如果在(a ，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a ，b)为f(x)的单调减区间． 2．利用导数求函数的单调区间的步骤求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是所求的单调区间，其步骤如下：(1)求函数f(x)的定义域； (2)求出f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0可得函数f(x)的单调增区间，解不等式f′(x)<0可得函数f(x)的单调减区间． 3．函数f(x)在(a ，b)内单调递增(减)的充要条件是f ′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)A[因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝12x ＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.]3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2．] 4．已知函数f(x)＝x3－ax－1．(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．[解]f′(x)＝3x2－a.(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，∴－1<x<1是f′(x)<0的解，∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵y＝3x2在R上的最小值为0.∴a≤0，∴a的取值范围是(－∞，0]．1.2 函数的极值学习目标核心素养1．理解函数的极大值和极小值的概念．(难点) 2．掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值．(重点、难点) 1．借助图象理解函数的极大值和极小值，提升了学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数求函数的极值的学习，培养了学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.1．极大值点与极大值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．极小值点与极小值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．[提醒]在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．3．极值的判断方法如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．4．求函数y＝f(x)极值点的步骤(1)求出导数f′(x)．(2)解方程f′(x)＝0.(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．思考：导数为0的点都是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x ＝x 0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x 0两侧的符号是否相反．1．下列四个函数中，在x ＝0处取得极值的函数是( ) ①y＝x 3；②y＝x 2＋1；③y＝|x|；④y＝2x. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③B [y′＝3x 2≥0恒成立，所以函数y ＝x 3在R 上单调递增，无极值点，①不符合；y′＝2x ，当x>0时，函数y ＝x 2＋1单调递增，当x<0时，函数y ＝x 2＋1单调递减，②符合；结合该函数图像可知，函数y ＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合；函数y ＝2x在R 上单调递增，无极值点，④不符合．]2．函数y ＝x 3－3x 2－9x(－2＜x ＜2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值C [由y′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x ＜－1或x ＞3时，y′＞0；由－1＜x ＜3时，y′＜0， ∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．] 3．函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝__________处取得极小值． 2 [由f(x)＝x 3－3x 2＋1，得f′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．故当x ＝2时，函数f(x)取得极小值．]求函数的极值(1)f(x)＝x 2－2x －1； (2)f(x)＝x 44－23x 3＋x22－6；(3)f(x)＝|x|.[解] (1)f′(x)＝2x －2，令f′(x)＝0，解得x ＝1．因为当x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以函数在x ＝1处有极小值，且f(x)极小值＝－2．(2)f′(x)＝x 3－2x 2＋x ＝x(x 2－2x ＋1)＝x(x －1)2．令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝1．所以当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x)单调递减↘极小值单调递增↗无极值单调递增↗所以当x ＝0时，函数取得极小值，且f(x)极小值＝－6.(3)f(x)＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0.显然函数f(x)＝|x|在x ＝0处不可导，当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．故当x ＝0时，函数取得极小值，且f(x)极小值＝0.极值点与导数的关系1．可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点x 0是可导函数f(x)在区间(a ，b)内的极值点的充要条件： (1)f′(x 0)＝0；(2)点x 0两侧f′(x)的符号不同．2．不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x ＝0点)，也可能不是极值点(如y ＝x ，在x ＝0处不可导，在x ＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．1．已知函数f(x)＝x 2－2ln x ，则f(x)的极小值是________． 1 [∵f′(x)＝2x －2x ，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x ＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1．]利用函数的极值求参数【例2】已知f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－3时都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．思路探究：(1)求导函数f′(x)，则由x ＝1和x ＝－23是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a ，b.(2)由f(－1)＝32求出c ，再列表求解．[解] (1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x)＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f′(x)＝0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝b 3，∴a＝－12，b ＝－2．(2)由(1)知f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f(－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1，∴f(x )＝x 3－12x 2－2x ＋1，∴f′(x)＝3x 2－x －2．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，⎭⎪⎫－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递增 ↗4927单调递减 ↘－12单调递增 ↗∴f(x)的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1.当x ＝－23时，f(x)有极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4927；当x ＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－12.已知函数极值求解析式的两点注意(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．已知函数f(x)＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x(x∈R，m 为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f′(x)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m>3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．函数极值的综合应用[探究问题]1．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有几个极小值点？[提示] 一个．x 1，x 2，x 3是极值点，其中x 2是极小值点，x 1，x 3是极大值点． 2．函数y ＝f(x)在给定区间(a ，b)内一定有极值点吗？[提示] 不一定，若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内是单调函数，就没有极值点．【例3】已知函数f(x)＝x 3－3x ＋a(a 为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．思路探究：求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a 的取值范围．[解] 令f′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1．当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以当x ＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a ；当x ＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y ＝f(x)的图像与x 轴有三个交点，如图．由已知应有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a>0，－2＋a<0，解得－2<a<2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．1．本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？ [解] 由已知应有 2＋a<0或－2＋a>0. 即a>2或a<－2．2．本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实根”，结果如何？ [解] 由条件可知，只要 2＋a ＝0或－2＋a ＝0即可，即a ＝±2．转化的思想求导数范围的应用方程f(x)＝0的根就是函数y ＝f(x)的零点，是函数图像与x 轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图像与x 轴交点的问题．我们可以根据函数图像在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．3．设a 为实数，函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a. (1)求f(x)的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点？[解] (1)f′(x)＝3x 2－2x －1．令f′(x)＝0，则x ＝－13或x ＝1．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 1 (1，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗所以f(x)的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f(1)＝a －1．(2)函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f(x)>0， x 取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y ＝f(x)与x 轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f(x)极小值＝f(1)＝a －1．∵曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a －1>0，∴a<－527或a>1， ∴当a∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点．1．函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．由图可以看出，极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”．2．极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．3．函数在定义域内可能有许多极大值或极小值，但极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．4．若函数f(x)在[a ，b]上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋1必有两个极值． ( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． ( ) (3)函数f(x)＝1x 有极值．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．已知a 为函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意得f′(x)＝3x 2－12，令f′(x)＝0得x ＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x ＝2处取得极小值，∴a＝2．]3．设a ∈R，若函数y ＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． (－∞，－1) [∵y＝e x＋ax ，∴y′＝e x＋a ，令y′＝e x＋a ＝0，则e x＝－a ，即x ＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1．] 4．求函数y ＝x 4－4x 3＋5的极值． [解] y′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)．令y′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：故当x 极小值。

高中数学选修2-2课件1.3.1《函数的单调性与导数》课件

y y=x
y y = x2
y y = x3
y
y1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f (x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是常数。
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
如图,函数 y f (x) 在 (0,b)或 (a,0)内的图象“陡峭”,在(b,) 或(, a)
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
例3：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。
在(－ ∞,＋∞)上是增函数
(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。 (3)单调区间：针对自变量x而言的。

高二理科春季课第三讲北师大版选修2-2第三章导数应用§1函数的单调性与极值(共32张PPT)

在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f (x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.
极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为
极值点.
高新前景高中部
高二数学理科
一不留神就学会了！

点拨：
1.极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧区域而言的.极值点是区间内部的点而不会是端点.
f (x) 0在(-1,1)上恒成立，
a 3x2在(-1,1)上恒成立，则a （3x2）max 3 a的取值范围是[3,)
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（4）若在区间(－1,1)上存在减函数，试求a的取值范围.
f (x) 3x2 a
f (x)在区间(-1,1)上存在减函数， f (x) 0在(-1,1)上部分成立即可，
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变式训练
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变式1、函数
，已知在时取得极值，则 5
f (x) 3x2 2ax 3,
f (3) 0,即27 6a 3 0,即a 5
变式2、设函数
，若当时，有极值为1，则函数
的
单调减区间是________.(1, 5)
f (x) 3x2 2ax b,
当x变化时，f (x)与f (x)的变化情况如下表：
x
(- ,-1)
-1
(-1,1)
f '(x)
-
0
+
f (x)
↘
极小值-2
↗
1 0 极大值 2
(1,+ )
↘
则f (x)的单调增区间是（-1,1）;单调减区间是(,1)和（1，） f (x)的极小值是f (1) 2; f (x)的极大值是f (1) 2

高中数学选修2-2函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数[学习目标] 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点一函数极值的概念1.极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.2.极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.思考(1)可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？(2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？答案(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)符号不同.如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点.(2)不一定.知识点二求可导函数f(x)的极值方法与步骤1.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.2.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).1。

人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_函数的极值与最值_基础

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习导数的应用二------函数的极值与最值【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。

2. 会用导数求函数的极大值、极小值。

3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。

4. 掌握函数极值与最值的简单应用。

【要点梳理】知识点一：函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。

高二数学选修2-2函数的导数与单调性极值

导数与单调区间、极值重点：会利用导数解决函数的单调性，利用导数求函数的极值，以及单调性、极值求参数难点：导函数与原函数性质的区分、恒成立问题。

一、f ’(*)>0(<0)与f(*) 单调性的关系判断y=2x 的单调性，如何进展？判断函数f(*)=sin*-*的单调区间，如何进展？用图像法，定义法去试试思考函数的单调性与变化率有何关系？变化率又与导数有什么关系？① ()2x f x =，②3()log f x x =③222y x x =-+④sin y x =一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在*个区间〔a,b 〕如果f ’(*)＞0，则函数y=f(*)在〔a,b 〕上单调递增；如果f ’(*)＜0，则函数y=f(*)在〔a,b 〕上单调递减；特别的，如果'()0f x =时，求解函数()y f x =单调区间的步骤：〔1〕确定函数()y f x =的定义域；〔2〕求导数''()y f x =；〔3〕解不等式'()0f x >，解集在定义域内的局部为增区间；〔4〕解不等式'()0f x <，解集在定义域内的局部为减区间．典型题一、f ’(*)的图像与f(*) 图像例1．导函数'()f x 的以下信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状． A ．B ．C ．D ．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：根据原函数图象的单调性及极值点的情况，得到导函数的零点个数及导函数的正负取值，由此即可得到导函数的图象的大致形状．解解：由函数f 〔*〕的图象看出，在y 轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，答：在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y 轴右侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状．应选A．A变式2.函数y=f〔*〕的图象如下图，则y=f〔*〕的导函数y=f′〔*〕的图象可以是〔〕A．B．C．D．分析：排除法，由图象知*＜0时，图象从左向右降低，是减函数，得y的导函数y，＜0，排除A、B、C，即得．解答：解：由图象知，当*＜0时，y随*的增大而减小，是减函数，y=f〔*〕的导函数y，=f，〔*〕＜0；当*＞0时，y也随*的增大而减小，是减函数，y=f〔*〕的导函数y，=f，〔*〕＜0；所以，y=f〔*〕的导函数y，=f，〔*〕的图象可以是满足条件的D答案．应选：D．A变式3设f′〔*〕是函数f〔*〕的导函数，y=f′〔*〕的图象如下图，则y=f〔*〕的图象最有可能的是〔〕A．B．C．D．分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的*的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解答：解：由y=f'〔*〕的图象易得当*＜0或*＞2时，f'〔*〕＞0，故函数y=f〔*〕在区间〔﹣∞，0〕和〔2，+∞〕上单调递增；当0＜*＜2时，f'〔*〕＜0，故函数y=f〔*〕在区间〔0，2〕上单调递减；应选C．A变式4函数f〔*〕的导函数f′〔*〕=a〔*+b〕2+c的图象如下图，则函数f〔*〕的图象A．B．C．D．分析：此题利用排除法，由导函数的图象可以看出f〔*〕的单调区间，然后爱观察所给的选项，判断正误，问题得以解决．解答：解：由导函数的图象可知，当时*＜0时，函数f〔*〕单调递减，排除A，B；由f〔*〕在〔﹣∞，0〕上单调递减，在〔0，*1〕单调递增，因此当*=0时，f〔*〕有极小值，所以D正确．应选：D．B变式1以下各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的选项是〔〕A．B．C．D．分析：直接对四个选项利用原函数递增导函数值为正以及原函数递减导函数值为负，一一进展验证即可求出答案．解答：解；对于A，由图得，开口向下，且对称轴大于0，故对应的一次函数为减函数，且与轴的交点在轴的上方，即A符合；对于B，原函数的图象是先增，后减再增，对应的导函数的函数值应先正后负再正，故B符合．对于C，不管把哪条曲线对应的函数当成是原函数，均于函数的单调性与其导函数的正负之间的关系相矛盾，故C不符合；对于D，因为原函数的图象是先减后增，故其导函数的图象是先负后正，即D符合要求．应选 C．B变式2f′〔*〕是函数f〔*〕的导函数，将y=f〔*〕和y=f′〔*〕的图象画在同一个直A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：此题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f〔*〕和y=f′〔*〕在整个定义域内具有完全一样的走势，不具有这样的函数．解答：解：不可能正确的选项是D．因为把上面的作为函数：在最左边单调递增，其导数应为大于0，但是其导函数的值小于0，故不正确；同样把下面的作为函数，中间一段是减函数，导函数应该小于0，也不正确．因此D不正确．应选：D．f’(*)＜0 y=f(*) 单调递减f’(*)增减性与 y=f(*)增减性无关。

高中数学函数的导数与极值课件新人教A版选修2-2

当t a时,函数h(t)单调递减,h(t)0。
f(b)0
y
f(x)0 f(x)0 f(x)0
ao
f(a)(0图一)b
问题：
x
y f x
（1）函数 y f x在点 a , b 的函数值与这些点附近的
函数值有什么关系?
（2）函数 y f x在点 a , b 的导数值是多少?
（3）在点 a , b 附近,y f x 的导数的符号有什么规律?
极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.
思考：极大值一定大于极小值吗？
（1）如图是函数 y f x 的图象,试找出函数 y f x的
极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
（2）如果把函数图象改为导函数 y f ' x的图象?
y
x3
a x1o x2 x 4 x5
yyff' xx x6 b x
（1）当 f ' x 0 ，即 1x1时；
（2）当 f ' x 0 ，即 x 1 ，或 x 1 时。
当 x变化时，f' x, f x的变化情况如下表：
x , 1 1 1,1
1
1,
f 'x
0
0
f x 单调递减 2 单调递增 2 单调递减
∴当 x 1时,f ( x) 有极小值，并且极小值为 2 . 当 x 1 时, f ( x) 有极大值，并且极大值为 2 .
1.3.2 函数的极值与导数
问题：如图表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t
变化的函数 h(t)4.9t26.5t10的图象
h' a 0
h
单调递增
单调递减
h(t)0
h(t)0