行列式的计算方法文献综述
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《论文写作与研究方法指导》作业: 文献综述
行列式的计算方法
摘 要 ：本文叙述了行列式的发展历程，现状和研究方法分析。概述了一些计算方法， 最后提出一些行列式的计算方法值得进一步探讨的问题。 关键词 : 行列式； 方程组；计算方法；加边法
1. 引言
行列式是人们为了研究二、三元的线性方程组而创建的，它是大学数学学习的一个重 要内容，是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础。而它的应用并不止局限于 代数的范围,它也是许多其他学科研究的重要工具，如行列式经常被用于涉及到的电子工 程、控制论、数学物理方程的研究等。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，综合 性较强，在行列式计算中需要我们多观察总结，才能更熟练地计算出行列式的值。在行列 式的计算过程中，不同特征的行列式适用不同的方法，每一种方法都有它们各自的优点及 其独特之处，因此具有非常重要的研究价值。本论文主要从2000 年到2012 年发表的若干 期刊中，总结出行列式的计算的发展历程、现状以及研究的方向。
列式的详细步骤。
4.按拉普拉斯定理展开 就是在中任意取 k 行（或列） ，由这 k 行（或列）所组成的一切 k 级子式与它们的的 乘积的和等于原本行列式的值。通常很少用一般的拉普拉斯定理展开行列式进行计算,主 要是应用按一行(列) 的拉普拉斯展开来计算行列式的。但如果行列式里为零的元素较多 时, 运用一般的拉普拉斯展开来计算行列式会变得比较简单。南岳兵在期刊[18]中给出了 按拉普拉斯定理，并通过两道例题展开行列式并求解。 2.3 研究方法的分析 行列式的计算方法的研究大部分是从行列式的定义、性质、公式、定理、升降阶等角 度进行的，而部分计算方法的研究结合了函数、矩阵、计算机软件等，如文献[30]邓勇, 谭卫群从函数的角度出发对行列式进行探讨推导出有关行列式的一些理论。这些研究方法 是值得我们借鉴的，特别是利用定理、函数、计算机软件等。
n 1
依次类推可计算出 f x x a
x n 1 a 。文献[13]盛兴平给出了相应的行列式的
计算，文献[25]欧伯群对微积分在行列式计算中的应用做了较详细的讲解。 3.软件法 对于 n （已知）阶行列式的计算或一些稍复杂的行列式的计算，可以借助于一些数学 软件，如 EXCEL、Matlab 等来进行求解。文献[6]张玉兰给出了在软件 EXCEL、Matlab 中计算行
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2. 正文
2.1 行列式的历史： 行列式的概念最初是因方程组的求解而发展起来的，它的提出是在十七世纪，由日本 数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，那时已经使用行列式来 确定线性方程组解的个数以及形式。 十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。1750 年，瑞士数学家克莱 姆在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确 的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。后来，数学家贝祖将确定 行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线 性方程组有非零解。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推 广了他的展开行列式的方法。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善 。1815 年，柯西在一篇论文中给 出了行列式的第一个系统的处理，其中主要结果之一是行列式的乘法定理。1841 年，雅可 比发表了一篇关于函数行列式的论文， 讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系。 十 九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行 列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例 如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。与此同时，行列式也被应用于各种领域 中。 2.2 行列式的现状： 行列式的计算一直是代数研究的一个重要课题，国内外学者专家已经总结了很多常用 的技巧及方法，研究成果颇为丰硕。文献[1]-[23]黄娟霞、胡乔林、陈黎钦、李辉、毋光 先等学者对行列式的一些计算方法做出的归纳，其中有几种是目前较常用的方法，主要有 三角化法、拆项法、加边法、递推法、分离线性因子法、数学归纳法等，而几种尚未被广 泛使用的方法主要有超范德蒙行列式法、微积分法、软件法、按拉普拉斯定理展开等。这
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《论文写作与研究方法指导》作业: 文献综述
可将行列式看成关于这个未知量的多项式 f x ， 若易于求出某个初始值 f x0 ， 再对 f x 进行求导运算，求出 f k x ，最后根据微积分知识求出 f x 在初始值 f x0 处的解析表
nk 达 式 。 记 f x Dn ， 则 f a 0 。 同 上 可 得 f x
参考文献
3
[1]黄娟霞. n 阶行列式的几种特殊计算方法[J]. 吕梁教育学院学报,2009,03:69-71. [2]陈黎钦. 关于求解行列式的几种特殊的方法[J]. 福建商业高等专科学校学报,2007,01:95-98. [3]胡乔林. 关于行列式的定义及其计算法[J]. 科技信息(科学教研),2007,25:480. [4]李辉,毋光先. 行列式的常用计算方法[J]. 科技信息(学术研究),2008,06:81-86. [5]吴中林,吴常群. 行列式的几种计算方法[J]. 天中学刊,2007,05:83-84. [6]张玉兰. 行列式的几种计算方法[J]. 科技信息,2009,30:104-106. [7]张新功. 行列式的计算方法探讨[J]. 重庆师范大学学报(自然科学版),2011,04:88-92. [8]王作中. 行列式的计算方法与技巧[J]. 民营科技,2010,08:97+186. [9]韩宝燕. 行列式的计算方法与应用[J]. 科技信息,2010,03:168+87. [10]钱吉林,蔡剑芳,陈良植,张明辉,李淑琼,李桃生. 行列式的计算技巧[J]. 华中师院学报(自然科学 版),1980,03:106-114. [11]杨鹏辉. 行列式的计算技巧[J]. 宜春学院学报,2011,04:27-30. [12]徐安德. 行列式的两种计算方法探究[J]. 科技信息,2011,33:288+335. [13]盛兴平. 行列式计算的几种方法[J]. 阜阳师范学院学报(自然科学版),2002,01:46-48. [14]郭静莉. 几种不同类型行列式的计算[J]. 南昌教育学院学报,2011,01:82+84. [15]娄建军. 灵活运用行列式的性质计算 n 阶行列式[J]. 科技风,2011,14:251+253. [16]王玉华. 浅谈行列式的计算[J]. 临沧师范高等专科学校学报,2008,02:98-99+108. [17]齐成辉. 求解行列式的方法和技巧[J]. 陕西师范大学学报(自然科学版),2003,S1:26-29. [18]南岳兵. 谈谈关于行列式的计算[J]. 岳阳师专学报,1981,03:8-25. [19]曾海福. 一道行列式题的七种解法[J]. 科技信息,2012,33:257-258. [20]张福阁,磨晓丽. 一个行列式的计算与应用[J]. 齐齐哈尔大学学报,2006,05:69-71. [21]王开帅. 用待定系数法计算行列式[J]. 唐山高等专科学校学报,2001,04:21-24. [22]虞莉娟,熊惠民. 用递归法计算行列式[J]. 高等函授学报(自然科学版),2008,03:14-17. [23]陈炜. 用间接递推法计算行列式[J]. 绵阳师范学院学报,2007,11:142-146. [24]冯锡刚. 范德蒙行列式在行列式计算中的应用[J]. 山东轻工业学院学报,2000,06:77-80. [25]欧伯群. 微积分在行列式计算中的应用[J]. 广西师院学报(自然科学版),2000,01:61-64. [26]吴静. 对行列式的几点认识与思考[J]. 科技创新导报,2008,09:153. [27]陈文华. 计算行列式的几种特殊方法[J]. 保山师专学报,2009,02:17-19. [28]杨文泉. 行列式的应用[J]. 中国科技信息,2009,14:69-70. [29]梁波. 例谈行列式的几个应用[J]. 毕节学院学报(综合版),2006,04:27-29. [30]邓勇,谭卫群. 从函数的角度研究行列式[J]. 思茅师范高等专科学校学报,2009,03:87-88.
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些行列式的计算方法常常被用来求解线性方程组、求解几何图形方程、求逆矩阵证明微分 中值定理、证明等式和不等式、证明 Lagrange 中值定理、证明柯栖中值定理，还被用于 向量积、混合积、多项式理论中，在文献[29]、[30]中有详细的讲解。下面对这些计算方 法做简要的介绍： 一、目前常用的几种方法 1.三角化法 把行列式转换成上三角行列式（主对角线下方的元素全为零的行列式）或下三角行列 式（主对角线上方的元素全为零的行列式） ，这时行列式的值等于对角线上的元素之积。 李辉、张玉兰、张新功、王作中等人在文献[2]、[4]、[6]-[11]、[14]、[16]、[18]、[19] 中叙述了三角化法，且举出了相关的例题。 2.拆项法 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行 列式的和,使问题简化以利于计算。黄娟霞、胡乔林、韩宝燕、郭静莉、王玉华分别在文 献[1]、[3]、[9]、[14]、[16]中叙述了拆项法，且举出了相关的例题。 3.加边法 把等n阶行列式适当地增加一行一列得到一个n + 1阶行列式使其值不变,使新的行列 式较易求值。在文献[1]、[2]、[4]-[7]、[9]-[11]中各位作者对加边法进行了相关的描 述，并举出了相应的例子。 4.递推法 通过降阶等途径, 把给定的n阶行列式Dn用同样形式的n-1(或更低)阶行列式表示出 来, 得到递推关系, 再根据递推关系式求出Dn的一般表示式。 在文献[1]-[8]、 [10]、 [11]、 [13]、[15]、[16]、[18]、[22]、[23]中各位作者对递推法进行了相关的描述，并举出了 相应的例子，其中文献[22]虞莉娟,熊惠民给出了较多关于递推法的例题与讲解。 5.分离线性因子法 是把行列式看成含其中一个或多个字母的多项式, 变换它, 如果发现其值可被一些 线性因子所整除，且这些线性因子互质时, 其值可被这些因子的乘积整除。[1]-[3]、[5]、 [8]、[9]、[12]、[13]、[16]-[18]中各位作者对分离线性因子法进行了相关的描述，并 举出了相应的例子。 6.数学归纳法 一般是采用不完全归纳法，先分析猜想出行列式值的规律，得到一般性结论，然后再 利用数学归纳法证明结论的正确性，这种方法对就有一定规律性的n阶行列式的计算与证 明很有用处。[5]、[7]、[9]、[10]、[14]、[19]中作者都给出了相应的行列式的计算与 证明。 二、几种尚未被广泛使用的方法 1.利用范德蒙行列式的结果 范德蒙行列式是一种重要的行列式，在行列式的计算中可以利用各种方法把一些特殊 的或类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果, 把它计算出来。文献[18]南岳兵给出了相应的行列式的计算，文献[24]冯锡刚对范德蒙行 列式在行列式上的应用做了较详细的分析，文献[26]吴静对范德蒙行列式做了一种新证 法。 2.微积分法 根据所求行列式的特点，利用导数或积分对行列式进行计算。若行列式含有未知量 x ，
3. 结论与建议
对于行列式的计算，具有较大的技巧性和综合性，由于所用方法的不同，计算过程的 难易程度相差较大，要使计算过程简单明了，避免过多不必要的解题步骤，就应该善于选 择适当的方法，掌握一定的技巧，对这些技巧进行总结归纳，不仅对课程的建设有现实意 义，而且对理论方面也有深刻的意义。因此，我觉得应将着力于研究各种方法在各个领域 的使用，各种类型的题目最适合于何种方法。就目前而言，大家用的最多的还是一些比较 常规的方法，但是往往这些方法的计算量较大，因此就面临了如何推广一些没有经常被大 家使用且较简便的技巧这个问题。
n2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知 f x
a 0 ， f n1 x n !x ，求 f x 的表达式。由 f n1 x n !x ，
n! 2 n! n2 x c ，而 f n 2 a 0 ，得 f x x a x a 2 2
行列式的计算方法
摘 要 ：本文叙述了行列式的发展历程，现状和研究方法分析。概述了一些计算方法， 最后提出一些行列式的计算方法值得进一步探讨的问题。 关键词 : 行列式； 方程组；计算方法；加边法
1. 引言
行列式是人们为了研究二、三元的线性方程组而创建的，它是大学数学学习的一个重 要内容，是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础。而它的应用并不止局限于 代数的范围,它也是许多其他学科研究的重要工具，如行列式经常被用于涉及到的电子工 程、控制论、数学物理方程的研究等。而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，综合 性较强，在行列式计算中需要我们多观察总结，才能更熟练地计算出行列式的值。在行列 式的计算过程中，不同特征的行列式适用不同的方法，每一种方法都有它们各自的优点及 其独特之处，因此具有非常重要的研究价值。本论文主要从2000 年到2012 年发表的若干 期刊中，总结出行列式的计算的发展历程、现状以及研究的方向。
列式的详细步骤。
4.按拉普拉斯定理展开 就是在中任意取 k 行（或列） ，由这 k 行（或列）所组成的一切 k 级子式与它们的的 乘积的和等于原本行列式的值。通常很少用一般的拉普拉斯定理展开行列式进行计算,主 要是应用按一行(列) 的拉普拉斯展开来计算行列式的。但如果行列式里为零的元素较多 时, 运用一般的拉普拉斯展开来计算行列式会变得比较简单。南岳兵在期刊[18]中给出了 按拉普拉斯定理，并通过两道例题展开行列式并求解。 2.3 研究方法的分析 行列式的计算方法的研究大部分是从行列式的定义、性质、公式、定理、升降阶等角 度进行的，而部分计算方法的研究结合了函数、矩阵、计算机软件等，如文献[30]邓勇, 谭卫群从函数的角度出发对行列式进行探讨推导出有关行列式的一些理论。这些研究方法 是值得我们借鉴的，特别是利用定理、函数、计算机软件等。
n 1
依次类推可计算出 f x x a
x n 1 a 。文献[13]盛兴平给出了相应的行列式的
计算，文献[25]欧伯群对微积分在行列式计算中的应用做了较详细的讲解。 3.软件法 对于 n （已知）阶行列式的计算或一些稍复杂的行列式的计算，可以借助于一些数学 软件，如 EXCEL、Matlab 等来进行求解。文献[6]张玉兰给出了在软件 EXCEL、Matlab 中计算行
n! Dk (k 1, 2, n 1) 。 从 而 k!
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a 0 ，
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x n !x 。 接 下来 解 决 的问 题是 已知
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2. 正文
2.1 行列式的历史： 行列式的概念最初是因方程组的求解而发展起来的，它的提出是在十七世纪，由日本 数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，那时已经使用行列式来 确定线性方程组解的个数以及形式。 十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。1750 年，瑞士数学家克莱 姆在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确 的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。后来，数学家贝祖将确定 行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线 性方程组有非零解。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推 广了他的展开行列式的方法。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善 。1815 年，柯西在一篇论文中给 出了行列式的第一个系统的处理，其中主要结果之一是行列式的乘法定理。1841 年，雅可 比发表了一篇关于函数行列式的论文， 讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系。 十 九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行 列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例 如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。与此同时，行列式也被应用于各种领域 中。 2.2 行列式的现状： 行列式的计算一直是代数研究的一个重要课题，国内外学者专家已经总结了很多常用 的技巧及方法，研究成果颇为丰硕。文献[1]-[23]黄娟霞、胡乔林、陈黎钦、李辉、毋光 先等学者对行列式的一些计算方法做出的归纳，其中有几种是目前较常用的方法，主要有 三角化法、拆项法、加边法、递推法、分离线性因子法、数学归纳法等，而几种尚未被广 泛使用的方法主要有超范德蒙行列式法、微积分法、软件法、按拉普拉斯定理展开等。这
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《论文写作与研究方法指导》作业: 文献综述
可将行列式看成关于这个未知量的多项式 f x ， 若易于求出某个初始值 f x0 ， 再对 f x 进行求导运算，求出 f k x ，最后根据微积分知识求出 f x 在初始值 f x0 处的解析表
nk 达 式 。 记 f x Dn ， 则 f a 0 。 同 上 可 得 f x
参考文献
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[1]黄娟霞. n 阶行列式的几种特殊计算方法[J]. 吕梁教育学院学报,2009,03:69-71. [2]陈黎钦. 关于求解行列式的几种特殊的方法[J]. 福建商业高等专科学校学报,2007,01:95-98. [3]胡乔林. 关于行列式的定义及其计算法[J]. 科技信息(科学教研),2007,25:480. [4]李辉,毋光先. 行列式的常用计算方法[J]. 科技信息(学术研究),2008,06:81-86. [5]吴中林,吴常群. 行列式的几种计算方法[J]. 天中学刊,2007,05:83-84. [6]张玉兰. 行列式的几种计算方法[J]. 科技信息,2009,30:104-106. [7]张新功. 行列式的计算方法探讨[J]. 重庆师范大学学报(自然科学版),2011,04:88-92. [8]王作中. 行列式的计算方法与技巧[J]. 民营科技,2010,08:97+186. [9]韩宝燕. 行列式的计算方法与应用[J]. 科技信息,2010,03:168+87. [10]钱吉林,蔡剑芳,陈良植,张明辉,李淑琼,李桃生. 行列式的计算技巧[J]. 华中师院学报(自然科学 版),1980,03:106-114. [11]杨鹏辉. 行列式的计算技巧[J]. 宜春学院学报,2011,04:27-30. [12]徐安德. 行列式的两种计算方法探究[J]. 科技信息,2011,33:288+335. [13]盛兴平. 行列式计算的几种方法[J]. 阜阳师范学院学报(自然科学版),2002,01:46-48. [14]郭静莉. 几种不同类型行列式的计算[J]. 南昌教育学院学报,2011,01:82+84. [15]娄建军. 灵活运用行列式的性质计算 n 阶行列式[J]. 科技风,2011,14:251+253. [16]王玉华. 浅谈行列式的计算[J]. 临沧师范高等专科学校学报,2008,02:98-99+108. [17]齐成辉. 求解行列式的方法和技巧[J]. 陕西师范大学学报(自然科学版),2003,S1:26-29. [18]南岳兵. 谈谈关于行列式的计算[J]. 岳阳师专学报,1981,03:8-25. [19]曾海福. 一道行列式题的七种解法[J]. 科技信息,2012,33:257-258. [20]张福阁,磨晓丽. 一个行列式的计算与应用[J]. 齐齐哈尔大学学报,2006,05:69-71. [21]王开帅. 用待定系数法计算行列式[J]. 唐山高等专科学校学报,2001,04:21-24. [22]虞莉娟,熊惠民. 用递归法计算行列式[J]. 高等函授学报(自然科学版),2008,03:14-17. [23]陈炜. 用间接递推法计算行列式[J]. 绵阳师范学院学报,2007,11:142-146. [24]冯锡刚. 范德蒙行列式在行列式计算中的应用[J]. 山东轻工业学院学报,2000,06:77-80. [25]欧伯群. 微积分在行列式计算中的应用[J]. 广西师院学报(自然科学版),2000,01:61-64. [26]吴静. 对行列式的几点认识与思考[J]. 科技创新导报,2008,09:153. [27]陈文华. 计算行列式的几种特殊方法[J]. 保山师专学报,2009,02:17-19. [28]杨文泉. 行列式的应用[J]. 中国科技信息,2009,14:69-70. [29]梁波. 例谈行列式的几个应用[J]. 毕节学院学报(综合版),2006,04:27-29. [30]邓勇,谭卫群. 从函数的角度研究行列式[J]. 思茅师范高等专科学校学报,2009,03:87-88.
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些行列式的计算方法常常被用来求解线性方程组、求解几何图形方程、求逆矩阵证明微分 中值定理、证明等式和不等式、证明 Lagrange 中值定理、证明柯栖中值定理，还被用于 向量积、混合积、多项式理论中，在文献[29]、[30]中有详细的讲解。下面对这些计算方 法做简要的介绍： 一、目前常用的几种方法 1.三角化法 把行列式转换成上三角行列式（主对角线下方的元素全为零的行列式）或下三角行列 式（主对角线上方的元素全为零的行列式） ，这时行列式的值等于对角线上的元素之积。 李辉、张玉兰、张新功、王作中等人在文献[2]、[4]、[6]-[11]、[14]、[16]、[18]、[19] 中叙述了三角化法，且举出了相关的例题。 2.拆项法 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行 列式的和,使问题简化以利于计算。黄娟霞、胡乔林、韩宝燕、郭静莉、王玉华分别在文 献[1]、[3]、[9]、[14]、[16]中叙述了拆项法，且举出了相关的例题。 3.加边法 把等n阶行列式适当地增加一行一列得到一个n + 1阶行列式使其值不变,使新的行列 式较易求值。在文献[1]、[2]、[4]-[7]、[9]-[11]中各位作者对加边法进行了相关的描 述，并举出了相应的例子。 4.递推法 通过降阶等途径, 把给定的n阶行列式Dn用同样形式的n-1(或更低)阶行列式表示出 来, 得到递推关系, 再根据递推关系式求出Dn的一般表示式。 在文献[1]-[8]、 [10]、 [11]、 [13]、[15]、[16]、[18]、[22]、[23]中各位作者对递推法进行了相关的描述，并举出了 相应的例子，其中文献[22]虞莉娟,熊惠民给出了较多关于递推法的例题与讲解。 5.分离线性因子法 是把行列式看成含其中一个或多个字母的多项式, 变换它, 如果发现其值可被一些 线性因子所整除，且这些线性因子互质时, 其值可被这些因子的乘积整除。[1]-[3]、[5]、 [8]、[9]、[12]、[13]、[16]-[18]中各位作者对分离线性因子法进行了相关的描述，并 举出了相应的例子。 6.数学归纳法 一般是采用不完全归纳法，先分析猜想出行列式值的规律，得到一般性结论，然后再 利用数学归纳法证明结论的正确性，这种方法对就有一定规律性的n阶行列式的计算与证 明很有用处。[5]、[7]、[9]、[10]、[14]、[19]中作者都给出了相应的行列式的计算与 证明。 二、几种尚未被广泛使用的方法 1.利用范德蒙行列式的结果 范德蒙行列式是一种重要的行列式，在行列式的计算中可以利用各种方法把一些特殊 的或类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式，然后利用范德蒙行列式的结果, 把它计算出来。文献[18]南岳兵给出了相应的行列式的计算，文献[24]冯锡刚对范德蒙行 列式在行列式上的应用做了较详细的分析，文献[26]吴静对范德蒙行列式做了一种新证 法。 2.微积分法 根据所求行列式的特点，利用导数或积分对行列式进行计算。若行列式含有未知量 x ，
3. 结论与建议
对于行列式的计算，具有较大的技巧性和综合性，由于所用方法的不同，计算过程的 难易程度相差较大，要使计算过程简单明了，避免过多不必要的解题步骤，就应该善于选 择适当的方法，掌握一定的技巧，对这些技巧进行总结归纳，不仅对课程的建设有现实意 义，而且对理论方面也有深刻的意义。因此，我觉得应将着力于研究各种方法在各个领域 的使用，各种类型的题目最适合于何种方法。就目前而言，大家用的最多的还是一些比较 常规的方法，但是往往这些方法的计算量较大，因此就面临了如何推广一些没有经常被大 家使用且较简便的技巧这个问题。
n2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知 f x
a 0 ， f n1 x n !x ，求 f x 的表达式。由 f n1 x n !x ，
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