组合例题+隔板法
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(3) 分成的组别彼此相异
1.“至少分配一个”型
将n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置）， 每人（或位置）至少有一个。 【例1】将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子，要求每个 盒子至少放1个球，一共有多少种不同的放法？
C93种放法
将例1中10个球改为8个球，4个盒子改为3个盒子，有多少种放法呢？
练习、将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少 1个名额，有多少种不同的分配方法？
C17 19
2.“至少分配n个”型 （减球 插板）
【例2】将8个完全相同的小球放入3个编号为1、2、3的盒子， 要求每个盒子的球数不少于其编号，一共有多少种不同的放法？
111
2
3
C42种放法
将例2改为：16个完全相同的球放入3个不同盒子，每个盒子至少3个球，有 多少种放法呢？
3.“允许空位”型
（添球 插人（或位置）， 允许若干个人（或名额）为空。
例3．有8个相同的球放到三个不同的盒子里， 允许盒子为空，共有多少种不同方法.
111
C120种放法
练习、将20个大小形状完全相同的小球放入3个不 同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多 少种不同的方法？
C222 231
分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些 小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允 许有若干组无元素，用隔板法.
应用
1． (1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?
(2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 每盒可空，问不同的放法有多少种?
(3)C33n8n
C 3n 21 n
二、分组分配问题
• 昨日作业讲解
隔板法又称隔墙法、插板法，是处理名额 分配、相同物体的分配等排列组合问题的 重要方法。
应用插板法必须满足三个条件： （1） 这n个元素必须相同 （2） 所分成的每一组至少分得一个元素
一、判断组合问题
Cnm
Anm m!
n!
m!n
m!
(m
n),
Cnn Cn0 1, Cnn1 Cn1 n,
C nm n
Cnm
Cnm1 Cnm Cnm1
例如：C93 C94 C9299 C9390
(3)C33n8n
C 3n 21 n
(3)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的 放法有多少种?
解：(1)将12个小球排成一排，中间有11个间隔， 在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，这样 每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即 每一种从11个间隔中选出了3个间 隔的组合对应
于一种放法，所以不同的放法有C131 =165(种)。
（2)由隔板法可知： C135 =455种。
(3)解法一：用(1)的处理问题的方法。 将1个、2 个、3个小球放入编号为2、3、4的盒子中，将余 下的6个小球放在4个盒子中，每个盒子至少一个
C 小球，据(1)有 3 =10(种)。 5
2、从5个学校选出8名学生组成代表团，每校至少 有一人的选法种数是多少？
解析：按常规，从5个学校选8名学生，要考虑 5个学校人员的分配，需要分类讨论，太繁琐。 逆向思考，假设8名学生的代表团已组建好，现 将其返回到5个学校， 每校至少一人，这样
问题转化为将8个学生分成5组，每组至少一人，
在上图中，7个空档中插入4块隔板即可将其分
成5组，故有
C=3745种选法。
3: 将10个相同的小球放人编号为1，2，3的 三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于该 盒子的编号数，则不同的放法共有多少种?
分析：先在2号盒子内放人1个小球，在3号盒 子内放人2个小球，则原题意可转化为：“将7个 相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每 个盒子中至少1个小球，不同的放法共有多少种?”， 可知共有 C(6,2)=15种不同的放法．
1.“至少分配一个”型
将n件相同物品（或名额）分给m个人（或位置）， 每人（或位置）至少有一个。 【例1】将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子，要求每个 盒子至少放1个球，一共有多少种不同的放法？
C93种放法
将例1中10个球改为8个球，4个盒子改为3个盒子，有多少种放法呢？
练习、将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少 1个名额，有多少种不同的分配方法？
C17 19
2.“至少分配n个”型 （减球 插板）
【例2】将8个完全相同的小球放入3个编号为1、2、3的盒子， 要求每个盒子的球数不少于其编号，一共有多少种不同的放法？
111
2
3
C42种放法
将例2改为：16个完全相同的球放入3个不同盒子，每个盒子至少3个球，有 多少种放法呢？
3.“允许空位”型
（添球 插人（或位置）， 允许若干个人（或名额）为空。
例3．有8个相同的球放到三个不同的盒子里， 允许盒子为空，共有多少种不同方法.
111
C120种放法
练习、将20个大小形状完全相同的小球放入3个不 同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多 少种不同的方法？
C222 231
分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些 小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允 许有若干组无元素，用隔板法.
应用
1． (1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?
(2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 每盒可空，问不同的放法有多少种?
(3)C33n8n
C 3n 21 n
二、分组分配问题
• 昨日作业讲解
隔板法又称隔墙法、插板法，是处理名额 分配、相同物体的分配等排列组合问题的 重要方法。
应用插板法必须满足三个条件： （1） 这n个元素必须相同 （2） 所分成的每一组至少分得一个元素
一、判断组合问题
Cnm
Anm m!
n!
m!n
m!
(m
n),
Cnn Cn0 1, Cnn1 Cn1 n,
C nm n
Cnm
Cnm1 Cnm Cnm1
例如：C93 C94 C9299 C9390
(3)C33n8n
C 3n 21 n
(3)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中， 要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的 放法有多少种?
解：(1)将12个小球排成一排，中间有11个间隔， 在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，这样 每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即 每一种从11个间隔中选出了3个间 隔的组合对应
于一种放法，所以不同的放法有C131 =165(种)。
（2)由隔板法可知： C135 =455种。
(3)解法一：用(1)的处理问题的方法。 将1个、2 个、3个小球放入编号为2、3、4的盒子中，将余 下的6个小球放在4个盒子中，每个盒子至少一个
C 小球，据(1)有 3 =10(种)。 5
2、从5个学校选出8名学生组成代表团，每校至少 有一人的选法种数是多少？
解析：按常规，从5个学校选8名学生，要考虑 5个学校人员的分配，需要分类讨论，太繁琐。 逆向思考，假设8名学生的代表团已组建好，现 将其返回到5个学校， 每校至少一人，这样
问题转化为将8个学生分成5组，每组至少一人，
在上图中，7个空档中插入4块隔板即可将其分
成5组，故有
C=3745种选法。
3: 将10个相同的小球放人编号为1，2，3的 三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于该 盒子的编号数，则不同的放法共有多少种?
分析：先在2号盒子内放人1个小球，在3号盒 子内放人2个小球，则原题意可转化为：“将7个 相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每 个盒子中至少1个小球，不同的放法共有多少种?”， 可知共有 C(6,2)=15种不同的放法．