(优选)结构动力学第三章多自由度

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结构动力学三自由度振型叠加

结构动力学三自由度振型叠加

结构动力学三自由度振型叠加
结构动力学三自由度振型叠加是指以系统无阻尼的振型(模态)为空间基底,通过坐标变换,使原动力方程解耦,求解n个相互独立的方程获得各阶模态振型,进而通过叠加各阶模态振型的贡献求得系统的响应。

在振型叠加法中,由于利用了振型的正交性,使得质量与刚度矩阵中的非对角项、耦合项得以消除,将联立的运动微分方程转换为N个独立的正规坐标方程,分别求解每一个正规坐标的反应,然后根据叠加原理得出用原始坐标表示的反应。

振型叠加法只适用于线性体系的动力分析,若体系为非线性,则可采用逐步积分法进行反应分析。

结构动力学-多自由度系统的振动

结构动力学-多自由度系统的振动

sin(1t sin(1t
1) 1)
A2Y1(2) A2Y2(2)
sin(2t sin17
m1 y1 m2 y2
(k1 k2
y1
k2 ) y1 (k2
k2 y2 k3 ) y2
0 0
方程的全解:
y1(t) y2 (t)
A1Y1(1) A1Y2(1)
2
1 2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
正实根,仅依赖于结构体系的物理性质,
即质量和弹簧刚度。
2021/6/24
13
2
1 2
k11 m1
k22 m2
1
2
k11 m1
k22 m2
2
k11k22 k12k21 m1m2
具有两个自由度的体系共有两个自振频率, 1 表示其中最小的圆频率,称为第一圆频率或 基本圆频率(fundamental frequency); 2 称为第二圆频率。
y1 (t) y2 (t)
YY12ssiinn((tt))
1)、在振动过程中,两个质点具有相同的频
率 和相同的相位角 。
2)、在振动过程中,两个质点的位移在数值上 随时间而变化,但两者的比值始终保持不变:
y1(t) Y1 常数 y2 (t) Y2
2021/6/24
10
主振型:结构位移形状保持不变的振动形式称
设方程的解为:
y1(t) Y1 sin(t ) y2 (t) Y2 sin(t )
2k m 2
k
2k
k
m
2
YY12
0

结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)

结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)

结构动力学Dynamics of Structures 第三章单自由度体系Chapter 3 Single-Degree-of-Freedom SystemsPart 1华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪本章主要目的及内容目的:z 通过单自由度体系介绍动力学的基本概念z 若干实际问题的解内容:(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)对简谐荷载的反应(4)对周期荷载的反应(5)对任意荷载的反应(6)体系的阻尼和振动过程中的能量(7)隔振(震)原理(8)结构地震反应分析的反应谱法自由振动free vibration强迫振动forced vibration第三章单自由度体系SDOF Systems自由振动:结构受到扰动离开平衡位置以后,不再受任何外力影响的振动过程。

0mucu ku ++= 无阻尼自由振动单自由度系统的运动方程()mucu ku P t ++=00c muku =⇒+= 自由振动运动方程单自由度系统无阻尼自由振动的运动方程0muku += 初始扰动:00(0)(0)t t u u uu ==== 初始位移初始速度二阶齐次常微分方程Homogeneous second orderordinary differential equation无阻尼自由振动的数学模型000;(0),(0)t t muku u u uu ==+=== 初始条件Initial conditions2()0stC ms k e +=设解有以下形式()stu t Ce=代入方程得 C 和s 为待定常数。

因此,方程通解为:121212()n n i ti ts t s tu t C e C eC eC eωω−=+=+或模型求解0muku += 2ms k ⇒+=1,2n ks i mω⇒=±=±()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+00(0)(0)t n t u A u uB u ω====== (0)()(0)cos sin n n nuu t u t tωωω=+(0)(0),nuA uB ω⇒==利用初始条件,我们有单自由度系统无阻尼自由振动问题的解其中n kmω=无阻尼自由振动为简谐运动Simple harmonic motion ωn 称为圆频率或角速度Angular frequency / velocity ()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+振幅无阻尼自由振动问题解的图示(1)振幅–Amplitude of motion[]220(0)(0)n u u u ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦基本参数(2)固有周期–Natural period of vibration2n nT πω=(3)固有频率–Natural frequency of vibration1n nf T =Hz (赫兹)固有频率s (秒)固有周期rad/s (弧度/秒)固有圆频率单位定义物理量名称2n nT πω=1n nf T =n k m ω=单自由度系统无阻尼自由振动系统参数§3.2 有阻尼自由振动0c uk u m u ++= 运动方程2()0stC ms cs k e ++=设解有以下形式()stu t Ce =代入方程得解为:221,222nc c s m m ω⎛⎞=−±−⎜⎟⎝⎠粘性阻尼模型2ms cs k ++=2c k s s m m++=22n c s s mω++=阻尼系数影响此项的取值进一步决定解的特征Critical damping and damping ration临界阻尼22022n cr n c c m m k c m ωω⎛⎞−=⇒⎜⎟⎝⎠===此时运动方程的解为12ns s ω==−()()n tu t A Bt e ω−=+0mucu ku ++= 验证—分别将两个解代入方程()n tu t Aeω−=()n tu t Bteω−=()22220n t nnnAem m m ωωωω−=−+=()2n t nnAem c k ωωω−−+左端=()()221n t nnnBem t c t kt ωωωω−⎡⎤−++−+⎣⎦左端=()2220n tnnnBec m t m k ωωωω−⎡⎤=−+−+=⎣⎦Critical damping and damping ration运动方程的解为()()n tu t A Bt e ω−=+()()(0)(1)(0)n tn u t u t ut e ωω−=++ (0)(0)n u AuA B ω==−+ 因此,解为根据初始条件,有()()n tn u t A Bt B eωω−=−++⎡⎤⎣⎦ 对应的速度表达式为(0)(0)(0)n A u B u uω==+ 或者(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦ 解的特征由此项控制当阻尼大于临界阻尼时,0mucu ku ++= 220n n uu u ζωω++= 2n crc cm c ζω==其中,阻尼比1221120()s ts ts s u t C e C e<<=+临界阻尼可定义为:体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。

结构动力学多自由度体系的自由振动

结构动力学多自由度体系的自由振动
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
Y 1
1 1
Y
2
1 1
12
22
对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型
一组为反对称振型
按对称振型振动
m
l/3 l/6
=1 l/3
11
5 162
l3 EI
2 1 m11
5.692 EI / ml3
按反对称振型振动
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
三.求多自由度体系频率、振型例题
例1.求图示体系的频率、振型

11
22
4 243
l3 EI
12
21
7 486
l3 EI
I 2 m 0
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
11m1 1/ 2
m212
0
m1 21
22m2 1/ 2

1
11m1
2
1 12 / 11 0 21 / 11 1
(I 2 m)Y 0
频率方程
I 2 m 0
6。求振型、频率可列幅值方程.
按振型振动时
y1 y2
Y1 sin( t ) Y2 sin( t )
yy21
Y1 2 Y2 2
sin( t sin( t
) )
FI
1
(t
)
FI 2 (t)
m1Y12 sin( t ) m2Y22 sin( t )
YY1222
s
in(2t
2)
通解
yy12((tt))
A1
YY1211

高等结构动力学 多自由度系统的振动

高等结构动力学 多自由度系统的振动

(i n
)
]T
An
[] [{}(1) {}(2)
{}(n1) ]——模态矩阵
系统按第i阶固有频率所作的振动称作系统的第 i 阶主振动.
{x}(i) i{}(i) sin(it i )
其中 i 为i 任意常数,取决于初始运动条件。

K
x1
K
x2 K
x3
m
m
m
m
0
0 m
0 0
2.当 0 时
X1 1P X 2 2P
m121X1 (m222 1/ 2 ) X 2 2P / 2
解方程,得
X1
1
X2
2
其中
(m1112 1) X1 m212 X 22 1P
2m121X1 (2m222 1) X 2 2P
3.当 时 X1 0 X 2 0
§3.4简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析
1
1
m2
k2
和弹簧 为辅助系统,称
m2
x2
k2
m1
x1
F sint
k1
m1
0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2
x1 x2
F
0
sin
t
设其稳态响应为
x1 x2
X1 X2
sin
t
(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22
X 2 21(P I1) 22I2
X1 I1 / m1 2 X 2 I2 / m22
P sin t
m1
m2
l / 3 x1 lE/I3x2 l / 3
P
X1 I1
X2 I2

结构动力学习题解答(三四章)

结构动力学习题解答(三四章)

第三章 多自由度系统3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。

图3-10解:〔1〕系统自由度、广义坐标图示系统自由度N=2,选x1、x2和x3为广义坐标; 〔2〕系统运动微分方程根据牛顿第二定律,建立系统运动微分方程如下:;)(;)()(;)(34233332625323122222121111x K x x K x m x K x K x x K x x K xm x x K x K xm ---=------=---= 整理如下;0)(;0)(;0)(3432333332653212222212111=++-=-++++-=-++x K K x K xm x K x K K K K x K xm x K x K K xm 写成矩阵形式;000)(0)(0)(00000321433365322221321321⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+++--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x K K K K K K K K K K K K x x x m m m 〔1〕 〔3〕系统特征方程设)sin(,)sin(,)sin(332211ϕωϕωϕω+=+=+=t A x t A x t A x 代入系统运动微分方程〔1〕得系统特征方程;000)(0)(0)(321234333226532222121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+++---+A A A m K K K K m K K K K K K m K K ωωω〔2〕 〔4〕系统频率方程系统特征方程〔2〕有非零解的充要条件是其系数行列式等于零, 即;0)(0)(0)(234333226532222121=-+---+++---+ωωωm K K K K m K K K K K K m K K展开得系统频率方程;0))(())(()))(())(()((21212323432223432265322121=-+--+--+-+++-+ωωωωωm K K K m K K K m K K m K K K K m K K进一步计算得;0;0)()())()(()))(())((())()()(()()()()())(()())(())(())()(())(())(()))(()()())((())(())(()))(())(()((02244662123432265324321236532214321231233224316532214332216321231232123232243226321421434322124321243165322165324323653221653243212121232343222343421221265322165322121212323432223432265322121==++++-+-+++++++++++-++-+++++++++++-=++-++--++++++-++++++++-++++-+++++=-+--+--+++-+++-++++=-+--+--+-+++-+a a a a K K K K K K K K K K K K K K m K K K K K K K K K K m m m K m K m m K K K K m m K K m m K K m m m m m K K K K m K K K K m m m m m K K m m K K K K K K m m m K K K K m K K K K K K m K K K K K K K K K K K K K K m K K K m K K K m K K m m K K m K K K K m K K K K K K m K K K m K K K m K K m K K K K m K K ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω (3)其中;3216m m m a -= ;)()()(316532214332214m m K K K K m m K K m m K K a +++++++=;))(())((36532214321231233222m K K K K K K K K K K m m m K m K a ++++-++-+=);()())()((21234322653243210K K K K K K K K K K K K K K a +-+-+++++=求解方程〔3〕得系统固有频率;)3,2,1(),,,,,,,,,(654321321==i K K K K K K m m m f i i ω 〔4〕 〔5〕系统固有振型 将系统固有频率代入系统特征方程〔2〕得系统固有振型, 即各阶振型之比:)3(3)3(1)3(3)3(2)3(1)3(2)2(3)2(1)2(3)2(2)2(1)2(2)1(3)1(1)1(3)1(2)1(1)1(21,1;1,1,1,1A A A A A A A A A A A A ======γγγγγγ 〔5〕 〔6〕系统振动方程)sin()sin()sin()sin()sin()sin(33)3(1)3(3)3(1)3(2)3(122)2(1)2(3)2(1)2(2)2(111)1(1)1(3)1(1)1(2)1(133)3(3)3(2)3(122)2(3)2(2)2(111)1(3)1(2)1(1321ϕωγγϕωγγϕωγγϕωϕωϕω+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧t A A A tA A A tA A A t A A A t A A A t A A A x x x 〔6〕在方程〔6〕中含有6个待定常数:)1(1A 、)2(1A 、)3(1A 、1ϕ、2ϕ和3ϕ。

结构动力学3-2

结构动力学3-2
( 1) 当
0
0
频率比 ω /ωn

1 2 1 2
时, Rd 1 ,即体系不发生放大反应。
2
ζ=0.2
( 2) 当
时 , ( R d ) m ax
1 2 1
2
, (
) n 峰值
1 2
2

1
ζ=0.8 ζ =1
0 0 1
ζ=0.5
2 3
23/73
, Rd ( 3) 当 / n 1 ( 共 振 时 ) ( 4) 当 / n
C ust D ust
1 ( / n ) [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
2
u(t ) e t ( AcosDt B sinDt ) (C sint D cost )
n
2 / n [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
3.3.3 共振反应(=n)
u(t)/ust
1/2ζ
u ( A cosDt B sin Dt ) st cost 2
u C 0 , D st 2
满足零初始条件:
A
1 1 u st , B u st 2 2 1 2
1/2ζ
u sin Dt ) cosnt 运动解:u(t ) st e nt (cosDt 2 2 1 u st 当=0时 : u ( t ) ( n t cos n t sin n t ) 2 与无阻尼时的结果完全相同 19/73
tan
1
2 ( / n ) 1 ( / n ) 2
总体反应 稳态反应
ζ=0.02

第三章多自由度机构的动力学分析

第三章多自由度机构的动力学分析
1
M3
M6
Q1 M 1 , Q2 M 3 , Q3 M 6
广义力用虚功 原理求解
动能均为角速度 (广义速度)的函数,
H1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
H2
注:轮系中,一般类角速度是 定值。所以有惯性系数为定值。
M 1 (驱)
M3
M6
1 J12 q 2 J13q 3 Q1 J11q 1 J 22 q 2 J 23q 3 Q2 J 21q J q 2 J 33 q 3 Q3 31 1 J 32 q
N
J q
j 1 N
kj j
Jkj 1 J jj 2 1 Jkk 2 j k ( )q q 2 qk 2 qk j 1 q j
Jkk jq k q j 1 q j
j k
N 1 N
j k N
M 1 LM 1 M k Lk
( q
JkM
L

JkL JML M q L )q qM qk
J ij 的下标的含义:与i、j广义坐标同时有关的构件 的等效质量或惯量。

J 23 (mi (ui 2 x ui 3 x ui 2 y ui 3 y ) J is ii 2 ii 3 )
空间任一运动的刚体
三、系统势能
势能只与位置有关,即仅与广义坐标本身有关,因 此在系统运动明确之后,势能也可求得,一般在拉 格朗日方程中用“U”表示。 常见势能有
四、广义力
哪些?
广义力一般用虚位移原理求得,如果系统仅有有势 力做功,引入拉氏函数广义力为零(如一些震动系 统)。引入拉氏函数后广义力不包括有势力
例1:如图,已知各转动惯量、力矩 H z1 z 2 z 4 z5 20 z3 z6 60

结构动力学-多自由度系统振动

结构动力学-多自由度系统振动

k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解:①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得:(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为:M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得:M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以,得到质量矩阵为: M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程,关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ,分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼,建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦,刚度耦合方程。
kij 的物理意义:j 坐标发生单位位移,其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义:仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程:
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统,建立振动微分方程。

结构动力学第三章

结构动力学第三章

x(t)
m
− m&x&
l
EI
Psinθt
EI
Psinθt
EI EI
l
l
解:结构的变形、质量的运动和自由度如右上图所示,列出质量处变形方程:
x(t) = δ11 ⋅ (−m&x&) + δ12 ⋅ Psinθt
其中柔度系数δ 和δ 的物理意义如下图所示
1
2
δ11
δ12
1
1
作出两个力单位弯矩图如下,
1 M1
第3章 单自由度体系
• 单自由度体系,就是只有1个自由度的结构动力系统,是最 简单也是最重要的结构振动系统。其重要性体现在:
– 工程实际中许多结构体系简化为单自由度体系,得到的 结果具有相当高的精度,完全满足工程误差要求,而对 单自由度体系的研究比对多自由度体系的研究简便得 多;
– 单自由度体系振动的研究和结论是研究多自由度体系和 无限自由度体系的基础。
弯矩图如右下图所示,由结构力学的图乘法
1
l/2
1
EI
δ
M
l/4
δ = 1 (1 ⋅ l ⋅l × 2 ⋅ l + 1 ⋅ l ⋅ l × 2 ⋅ l × 2) = 5l 3
EI 2 2 3 2 2 4 2 3 4
48EI
将柔度系数带入变形方程并化简得
m&y& +
48EI 5l 3
y
=0
例3.9 简支梁的右端为弹簧支承,跨中有一集中质量。
m
− m&y&
EI
k
=
48EI l3
l/2
l/2
EI y (t)

哈工大研究生课程-高等结构动力学-第三章2

哈工大研究生课程-高等结构动力学-第三章2

解:选用广义坐标 x 和
T
V
1 2
1 2
Mx
2
2
1 2
2 2 2 2 m [( x l co s ) l sin ]
K x m g l (1 co s )
对于线性系统运动,运动是微幅的 代入动能和势能:
1 x M m T 2 m l
x1 x2

2
A1
(i)
i 1
2
1 ( i ) sin ( it i ) u2
A1 sin ( it i )
(i) i
x u
i 1
u1 u2
(1)
(1)
u1
(2)
u i
振型,主振型也称为主模态。
u1 1 (i) (i ) u2 u2
3
2
2 10
3
A1 0 3 2 2 1 0 1 0 .2 2 A 2 2 10
11 16 11
17 11 9
设 q
l
3
768EI
则有
0 1 0 0 0 1
K
1
1 M m 0 0
23 1 22
9 22 23
V V0
( q
i 1
n
V
i
) qi
0
1
( q q 2
i 1 j 1 i
n
n
V
2
)0 qi q j
j
为势能在平衡位置处的大小,(0)0表示(0) 在平衡位置处的值。

结构动力学多自由度

结构动力学多自由度


pbT
~ fpa
paT ~fpb paT ~fpb T pbT ~f T pa pbT ~fpa
故 ~f 、 k 均为对称矩阵。
单元刚度矩阵
单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。
单元刚度系数由虚位移法求得。
例如,课本P106图11-5所示简支梁中,令a端发生单位转角, 并给该处一竖向虚位移,零外力所做的功,等于内力所做的 功。
表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所 产生的的力。
弹性特性
柔度的定义:
~ fij —在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。
则任意荷载组合下: vi ~fi1 p1 ~fi2 p2 ~fiN pN
用矩阵表示:
v1



vi
v N

略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响: mv kv 0
假定以上多自由度体系的振动是简谐振动:
v(t) vˆ sin(t )
vˆ 表示体系的形状,不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
无阻尼自由振动—振动频率分析
k 2m vˆ 0
即: k 2m 0
上式的N个根,表述体系可能存在的N个振型的频率。
1

2




3


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WI v1 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx

结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件

结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型,可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] - λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关;另外,当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时,往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此,要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率,或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动,对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1)如果各质体的初速度为零,而初位移和某 一振型成比例,然后任其自然,则系统就按 这个振型作简谐自由振动,此解答就相应于 该振动的一组特解;

结构力学课件之多自由度体系的振动

结构力学课件之多自由度体系的振动

y y y i点位移: yi = − fi1m1 ɺɺ1 − fi2m2 ɺɺ2 − ⋯ − fin mn ɺɺn 点位移: y y y 即: fi1m1 ɺɺ1 + fi2m2 ɺɺ2 + ⋯ + finmn ɺɺn + yi = 0
二、柔度法
同理, 同理,体系中的每一个质点都可以列出相应的动力位移方程 即用柔度法多自由度体系自由振动时的运动微分方程式。 式,即用柔度法多自由度体系自由振动时的运动微分方程式。
m2
ɺ MYɺ + KY = 0
方程特解: 方程特解:
X (1) y1 y X ( 2 ) 2 ω sin( t + ϕ ) = ⋮ ⋮ yn X ( n )
ω 即 :Y = X sin( t + ϕ )
二、柔度法
柔度法:由各质点运动的位移协调条件建立微分方程 柔度法:由各质点运动的位移协调条件建立微分方程; 按照力法的概念求解: 按照力法的概念求解: n 1 3 2 a. 确定体系的振动自 由度; 由度; b. 依次给予质点施加 f n1 f 11 f 31 f 21 一单位力。 一单位力。在此力 1 作用下, 作用下,各质点产 生的位移。 生的位移。 f n2 f 12 f 32 f 22 如质点受力: 如质点受力: y 惯性力: 惯性力: − mi ɺɺi 1
用柔度法。可分别在 、 、 用柔度法。可分别在1、2、 3点作用单位力,画出弯 点作用单位力, 点作用单位力 矩图, 矩图,利用图乘法就可以 求出各柔度系数值fij。
4m m
1
m
2
0.5m
3
(a)
4m
4m
4

结构动力学解题思路及习题解答

结构动力学解题思路及习题解答
0
bi
2 T
T
F (t ) sin(it )dt
0
因为 F (t) H sin 2 (0t) 是偶函数,所以 bi 0 。
于是
F (t )
H 2
H 2
c os (2 0 t )

x(t)
H 2k
A s in(2 0 t
a
/
2)

式中
H
A
2m

( n 2 402 ) 16n202
a arctan 2n ; n 2 4 0 2
进一步推导有
2 , 1 2
.-
结构动力学作业
因为 较小, 所以有 。 2
方法二:共振法求单自由度系统的阻尼比。 (1)通过实验,绘出系统的幅频曲线, 如下图:
单自由度系统的幅频曲线 (2)分析以上幅频曲线图,得到:
于是
1,2 max / 2 2 / 4 ;
进一步
12
(1
2
)
2 n

最后
-2-
.
弹性力作功为
Wc 0 、
阻尼力做功为
Wd c A2 、
激振力做作功为
W f F0 sin ;
(2) 由机械能守恒定理得,弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零,
即:
Wc +Wd +W f 0 ;
于是
F0 sin - c A2 0
进一步得:
A F0 sin c ;
mB rA2A
K
A
KB
rA 2 rB 2
A
0;
因此系统的固有频率为:
n
2 K A K B
rA 2 rB 2
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drk dt
n i 1
rk qi
dqi dt
n i 1
rk qi
qi
系统动能等于各质点动能之和
n i 1
n j 1
1 2
m k 1
mk
rk qi
rk q j
qiq j
显然 mij m ji 是对称的。
则T是关于广义速度的二次型,
n i 1
n1 j1 2 mij qiq j
1 qT Mq 2
..
M Y kY F
通常当质点较多,约束比较复杂时,适
合用能量分析方法,例如 Lagrange 第 2 类方程。m 个质点,r
个约束,n 个广义坐标 qi (i 1, 2,..., n) 。
n 3m r
rk rk q1, q2,..., qn (质点 k 的矢径)
稳定约束。所以有
Vk
22
16 12
l3 EI
11
33
9 12
l3 EI
13
31
7 12
l3 EI
23
32
12
21
11 12
l3 EI
作用单位力后在 mi 上产生的位移,用 ij 表示。
y1
F1
m1
..
y1
11
F2
m2
..
y2
12
F3
m3
..
y3
13
y2
F1
m1
..
y1
21
F2
m2
..
y2
22
1 qTCq 2
cij c ji 是对称的, 0 所以C是正半定的
代入拉格拉日方程, L T U ,
d dt
L
qi
L qi
Qi
通常情况下,势能与广义速度无关
d T
dt
qi
T qi
U qi
Qi
对于有耗散力的方程为
d dt
T
qi
T qi
U qi
qi
Qi
..
.
M q C q Kq Q
m1 0 0
M
0
m2
0
0 0 m3
k1 k2
c
k2
0
k2 k2 k3
k3
例2
c1 c2
c
c2
0
0
k3
k3 k4
c2 c2 c3
c3
0
c3
c3 c4
跨度为 4l ,每跨之间均为 l ,抗弯刚度为 EI 的梁,
可用材料力学的知识得到各响应系数,即在 m j 上
作用单位力后在 mi 上产生的位移,用 ij 表示。
由于T>0,是正定二次型,则M正定对称的。
在完整约束系统中,势能只是定义坐标的函数
U U q1, q2,..., qn
通常将静平衡位置作为势能零点,并且以静平衡
位置为坐标原点。我们研究的是在静平衡位置附
近的微振动,则将U 在静平衡位置作泰勒展开有
0 n U
1 n n 2U
U U0 i1 qi
性去掉第一个方程,将其它方程中有1i 项移到方程 右边有
k22 m22i2
Rk k rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m k 1
12k
rk
rk
m k 1
1
2
k
n i 1
rk qi
dqi dt
n j 1
rk q j
dq j dt
1 2
qi
rk q j
qiq j
1 2
n i 1
n
cij qiq j
j 1
ii) i 有不等实根(多数情况下,多数的实际工程
系统)。
1 2... n
但可能 1 0 ,对应系统有刚性运动(在振动同 时伴随有刚体运动) iii) 有重根,称为亏损系统
3.2.2 系统的主振型 从代数上是一个广义特征值问题,可化为标
准特征值问题 M 1K I2 0,其中 M 1K 一般不对
3.2 无阻尼自由振动
3.2.1 多自由度系统的固有频率
Mx Kx 0
xt sint
M2 sint K sint 0
K M2 0
K M2 0 ,关于 2 的 n 次代数方程
i)由 M 正定,K 正半定,由矩阵理论可知,特征 根均为正数或零,即有实数的 i ,称为固有频率。
(modal)。由于没有重根所以, i 回代后仅有一
个方程不独立
k11 m11i2
1i
k12 m12i2
2i ...
k1n m1ni2
ni 0
.
.
.
kn1 mn1i2 1i kn2 mn2i2 2i ... knn mnni2 ni 0
n 个方程中仅有一个不独立,在1i ,...,ni 中有一个 可任意选取,而其它都与之成一定比例。不失一般
F3
m3
..
y3
23
y3
F1
m1
..
y1
31
F2
m2
..
y2
32
F3
m3
..
y3
33
y1 y2
F1
F2
m1 m2
..
y1
..
y2
(F
M
..
y1
.. y2
)
y3
..
F3
m3
y3
..
y
3
..
..
Y (F M Y) M Y 1Y F
(优选)结构动力学 第三章多自由度
对于 m 个质点的质点系,共约束是 r 个,那么广义 坐标系 n=3m-r 个,也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF 有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成
3.1.2 多自由度系统振动微分方程(动力学方程,运 动控制方程)的建立。
可用牛顿力学与分析力学的任何一种方法均 可,常用的牛顿第二定律、达朗贝尔原理,Lagrange 第二类方程。 例 1:
0qiq j
,令
kij
2U qiq j
0
kij k ji 则有
U
1 2
n i 1
n
kij qiq j
j 1
1 qT Kq 2
U 是关于广义坐标q的二次型,U 0 ,等于零对应
无有势力作用下的运动,关于广义坐标的正半定二
次型。所以,矩阵 K 是对称半正定的。
对应的广义力,阻尼力,耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
称除非 M 是对角阵。求出i 后回代方程
(K M i2 )i 0
得到 n 个i特征向量,i
1i ,2i ,...,ni
T
,则
x(i) t i sin it i
称为第 i 阶主振动
x(i) t x1(i) , x2(i) ,..., xn(i) T
这里的i 称为第 i 阶主振型,也称第 i 阶模态
0
qi 0
2 i1
j1 qiq j 0
qi 0
q j 0 ......
静平衡位置为势能零点。
U0 0
U 0 qi 0
广义坐标的零点取在静平衡位置上,势能函数是关于 广义坐标的二阶以上函数,代入零广义坐标一定为零。 由于是微振动,第四项为高阶微量,省略.
U 1 n n 2U
2 i1 j1 qiq j
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