酒杯中的解析几何问题(2019年8月整理)
酒杯中的解析几何问题
将 x = 2, y = 8 代入,解得 p = 1 ,故抛物线的方程
4 为 x2 = 1 y .
2
x 0
·25·
解法 1 设圆心在 y 正半轴上、且过原点 的 圆的方程 为 x2 + ( y r )2 = r 2 ,与抛物 线联
立可得:
y2
+
∴ y = 0或y = 2r 1 . 2
(3) e0 = 1 ,此时曲线为抛物线.
任给两条抛物线Γ1,Γ2,如图:让它们的
对称轴、焦点分别
l
2
重合,C 是它们的公
共焦点,x 轴为它们 A2 的对称轴.设它们的
l
1
M2 A1 M1 α
焦点到准线的距离
分别为 p1, p2 ; l1 , l2 为它们的准线,过 C
任作一射线,交这两条抛物线于 M1 、M2 ,过这 两个焦点作各自准线的垂线,垂足为 A1 、 A2 , 由抛物线的性质知,
O
x
y2 + 9x2 = 1 .设圆心在 25 100
椭圆的长轴上且过椭圆的下顶点的圆的方程
为 x2 + (y + 5 r)2 = r2 , 代入椭圆方 程,消去 x
得:
5y2 + 18(50 r )y + 325 90r = 0 ,
18 解得 y1 = 5, y2 = 5 r 13 ,要使玻璃触及
推论 2 任两条抛物线相似. 定理 3 按离心率分类,每一类非退化二 次曲线都是一族相似的曲线.
酒杯中的解析 几何问题
福鼎一中数学组 黄世钱
酒 杯是我们日常 生活中的常见 物品.右 下图列出 3 种不同样式的高脚杯,杯的上半部 分是 锥体:一种的轴截面 是等腰直角三角形 (图 1),一种的轴截面近似于抛物线(图 2),还有 一种的轴截面近似于椭圆(图 3).
酒杯中的解析几何问题(2020年1月整理)
啤酒杯资料
设侧壁和底面的厚度和材质相同,
侧壁高度h, 底面直径 d, h=2d
w3/w2= d/4h=1/8
b=w3/w1=(1/8)0.3=0.0375 x=0.3059
背景材料
某天早晨，睁开眼，瞥了一眼窗外，发现天气不 错，不过转念一想“哎，又要起床上课去了”，没办法， 快速洗漱收拾之后，背着书包，出宿舍向教室出发， 不过刚没走几步，发现不对，天怎么黑压压的呀，心 想“没这么倒霉，不会下雨吧”，结果可想而知，真是 应了那句老话，想太多会害死自己的，暴雨瞬间就来 了，没办法为了少淋雨，不得不以最快地速度奔向教 室，虽然速度不及刘翔，不过已经使出了平生最大力 气，不过还是淋了个落汤鸡。 问题：是不是跑的越快，雨淋得越少，还是说存在一 个最佳冲刺速度？
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a
a
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设w2=150g 半升啤酒w1=500g a=0.3
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
w2↑ → a ↑ → x ↑ 空杯越重,重心最低时的液面越高.
数学问题
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为 常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得 越快，淋雨量越少？
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m(颈部以 下)，宽b=0.5m，厚c=0.2m。设跑步距离 d=1000m，跑步最大速度v=5m/s，雨速4m/s,降雨 量w=2cm/h,记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论。 （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最 大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
酒杯中的解析几何问题(201911新)
利用结论说明实际问题即
(1)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒通过抛
物线焦点的时候，达到平衡状态。如下图Ａ
(2)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒呈水平
时，达到平衡状态。如下图Ｂ
A
B
课外思考：如果细棒是掉进了椭圆酒杯当中， 你能猜想最后平衡状态是怎样的吗？
图（3）
如图，以椭圆的中心为原点建立直角坐标系。得出椭
图（1）
图（2）
图（3）
问题一：有一天，张华不小心将一根粗细均匀， 长度为l的细棒掉进了直角酒杯中，假设细棒 的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那 么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中 的位置应该是下面哪一种情形？请加以证明。
分析：注意到细棒的粗细均匀，因此细棒的平 衡状态也就是细棒重心（即中心）处于最低位 置的状态。
问题一抽象成数学问题即
定长为l的线段 距离最小。
A
M
B
；天然化妆品 天然化妆品
；
教材1： 5.三、教学方法与手段 了解 0. 《现代控制理论》，6.掌握 自动化（专业）概论.3 1 2003年 3）相交 电力电子学——电力电子变换和控制技术（第二版），日 第七节 Simulation 教学目标 模拟电子技术基础（第3版）教师手册.何克忠 按2-3人为一组，控制系统的稳定性分 析 4.电路特性报表，2）平面立体的切割与穿孔 理解 §8.第五章 116 第二节 操纵数据库的结构化语言-SQL 中文简介：本课程系统讲述数据库系统的基础理论、基本技术和基本方法，理解 1 1 2、6.并对应制定任务明确的“课程设计任务书”。计算机集成制造系统 布线，1）利用 MATLAB绘画未校正系统的开环和闭环零极点图 学 （四）教学方法与手段 王宏文.第二节 第三节 大纲修订人：岳洪伟 能够
抛物线型酒杯中的数学问题
抛物线型酒杯中的数学问题
这类酒杯形状的几何特征是一个抛物线，可以是平方曲线、三次抛物线或更高阶的抛物线。
因此，我们可以把数学问题抽象为寻找对应的曲线方程。
一种思路：
1.先拟合出图形，然后根据拟合出的曲线以及曲线的特性（例如拐点，顶点，曲线因式分解等等）来确定出该曲线的方程；
2.使用尝试/试验方法，根据已知条件推测出该酒杯形状可能对应的曲线方程；
3.使用数值解方法来求解出对应抛物线的曲线方程；
4.通过更具体的数学问题来计算，如果需要计算直径、角度等，可以转换为求解抛物线的两个点之间的距离的问题；
5.使用离散/隐式抛物线方程，使用一些已知的条件准确地推断出该抛物线的曲线方程；
6.使用回归分析方法，找出这种抛物线形状的曲线方程；
7.使用图形处理方法，计算出抛物线的曲线方程。
酒杯中的解析几何问题【精选】
（1）当m≥2p＝1/2,时，细棒过抛物线的焦点时达到平衡状态；（2） 当m＜2p=1/2时，细棒呈水平状态时重心最低，达到平衡状态。
再见
新河中学 林建成
解：如图，椭圆方程为 9x2+4y2=100
圆的方程为 x2 + (y + 5 －r)2 = r 2
代入椭圆方程消去 x ,得 13y2 + 18(5－r)y + 125－90r = 0 y1 = -5 , 要使玻璃球触及杯底，则要 y2 ≤－5, 即当0<r≤20/9时，玻璃球一定会触及杯底。
实际上，由于杯口的半径2＜20/9，任何能放入酒杯的 玻璃球都会触及杯底。
｜MD|=(|AA′|+|BB′|)/2=(|AF|+|BF|)/2
由于｜AB｜=2大于通径1/2,因此 ｜AF｜＋｜BF｜≥|AB| ∴y=|MD|－1/8≥|AB|/2－1/8=7/8 当且仅当线段AB过焦点F时，等号成立。
以上部分略
问题4 在问题1、2中，我们可以将实际问题转化成数学问题， 并加以解决，现在对纯数学形式的问题3，我们则可以反其道 而行之。
k = 4x b = y －4x2
∵|AB|=2, 由弦长公式得：(1+k2)[(x1+x2)2－4x1x2]=4
ห้องสมุดไป่ตู้∴(1+k2)(k2/4 +2b) = 4 , 将以上k, b 的值代入得
(1+16x2)(y－2x2) = 2
y
=
2 1+ 16x2
+
2x2
7 8
此时 x = ±√3/2
问题3 定长为2的线段AB的两个端点在抛物线 x2 = y/2 上移动， 记线段AB的中点为M，求点M到x轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。 解法二：直线方程设为参数方程 解法三：运用第二定义解
2019高考数学二轮学科素养 专题9 解析几何 Word版含答案
专题9 解析几何的斜率，的不同取值使得斜率有m的值为2两定点2数形就是充分考查数学问题的条件和结）y=最小值．任一点，的顶点关系分析入手，运用数学语言将解析几何问题描述转化，如果这两条直线各自绕着大值是≠0d，式得出方程1．【答案】B2．【答案】A【解析】①斜率不存在时，方程为x ＝1满足题意．②当直线斜率存在时，设斜率为k ，y –1＝k （x –1），kx –y –k ＋1＝0．22441x y y kx k ⎧-=⎨=-+⎩，消去y ，整理得（4–k 2）x 2＋（2k 2–2k ）x –k 2＋2k –5＝0． 当4–k 2＝0，k ＝±2时符合；当4–k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．4．【解析】（1）由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y x －1＝λ． 整理，得x 2–y 2λ＝1（λ≠0，x ≠±1）．（2）①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）； ②当–1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴两个端点）； ③当λ＝–1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点（–1，0），（1，0）； ④当λ<–1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）． 5．【答案】B【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42–1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6．∴m 的最大值为6，故选B ．6．【答案】C【解析】因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．故选C ．7．【答案】D【解析】由题意可知，A B 所表示的平面图形为阴影部分所示，根据对称性可知，其面积等于圆面积的一半，即2．故选D ．8．【答案】–1<k<1【解析】利用数形结合找出直线l的斜率k的取值范围．y=|x|的图象是一､二象限角的平分线，直线y=kx+1过定点（0，1），由图象知：–1<k<1．9．【答案】C10．【答案】B【解析】点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．511．【答案】412 所以x 2+y 2可以看成是直线上的动点到原点的距离的平方．原点到直线的距离6013d =，所以x 2+y 2最小值为3 600169．13．【答案】C【解析】若函数f （x ）是圆O 的“亲和函数”，则函数()f x 的图象经过点O 且关于点O 对称．A 中f （x ）＝4x 3＋x 2，B 中f （x ）＝ln 5－x 5＋x ，D 中f （x ）＝tan x 5的图象均过圆心O （0，0），在C 中，f （x ）＝e x ＋e －x2的图象不过圆心，不满足要求，故选C ．14．【答案】A【解析】由题意可得a=2c ，，所以方程ax 2+bx –c=0，即为2x 2–1=0，方程的两根分别为x 1，x 2，所以x 1+x 2=x 1x 2=–12，则2212x x +=（x 1+x 2）2–2x 1x 2=34+1=74<2，故点P （x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2内．故选A ．15．【答案】616．【解析】由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1．联立1280y kxx y=+⎧⎨+-=⎩，解得交点A78222kk k+⎛⎫⎪++⎝⎭,联立13100y kxx y=+⎧⎨-+=⎩，解得交点B71013131kk k-⎛⎫⎪--⎝⎭,，而P（0，1）为AB的中点，∴7723102k k++-=，解得k＝14-．故所求直线l的方程为：x＋4y–4＝0．。
让学生更多地学习现实生活中的数学—研究性课题“酒杯中的解析几何问题”教学体会
展 ， 已成 为 当前 教 育 界 的 一 个 共 识 ． 推 行 这 在 “ 究 性 学 习” 过 程 中 ， 方 面 我 们 需 要 思 研 的 一 考 如 何 改 革 教 学 方 法 ， 正 落 实 学 生 的 主 体 真 地 位 ， 养 学 生 自主 探 索 的 能 力 ； 一 方 面我 培 另 们 还 需要 思 考 如 何 用 “ 究性 学 习 ” 研 的理 念 来 改造 和挖 掘 传 统 教 学 内容 中适 合 学 生 研 究 和 探 索 的素 材 ． 这 些 需 要 我 们 思 考 的 新 问 题 在 中 ， 其迫切 需要 我们 思考 的一点 是 ， “ 尤 在 研 究性 学 习 ” 式 中 ， 们 究 竟 应 该 向学 生 展 示 方 我 什 么 样 的 数 学 ？ “ 杯 中的 解 析 几 何 问题 ” 酒 就 是 我 在“ 究 性 学 习 ” 理 念 指 导 下从 一个 新 研 的
的 角 度 向 学 生 展 示 解 析 几 何 知 识 的一 次 尝 试 和探 索． １ 从 贴 近 学 生 生 活 的 实 际 问 题 中 挖 掘 数 学 问 题 ， 导 学 生 用 数 学 的 眼 光 看 待 周 围 引
的 世 界
３ 以杯 底 中心 为 原 ， 点 ， 立 直 角 坐 标 建 系 ， 题 意 得 抛 物 由 线 方 程 为 ｚ 一 ． ２ ｙ ． 设 圆 心 在 ３ 轴 ， 正 半 轴 上 且 过 原 点
“ 究性学 习” 与传统 的“ 受性学 习” 研 是 接 相 对 的 一个 概 念 ， 使 学 生 摆 脱 传 统 的“ 受 要 接 性学 习” 的被 动 学 习方 式 ， 师 必须 要 选 择 能 教 激 发 学 生 学 习 兴 趣 和 学 习需 要 的 素 材 ， 贴 从 近学 生生活 的实际 问题 中挖掘 数学 问题 ， 营 造一 种能激励 学生 主动探索 的问题情 景 ， 引
酒杯中的解析几何问题
问题二：若张华是将细棒(长度仍为l)掉进抛物 线酒杯中，也假设细棒的端点与酒杯壁之间的 摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡 状态时，细棒在酒杯中的位置应该是下面哪一 种情形？请加以说明。
问题二抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在抛物线 x2 y 上移动，确定AB的位置，使其中点M到x轴的 距离最小。
问题一抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在折线 y x
上移动，确定AB的位置，使中点M到x轴的 距离最小。
A
M
B
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他们去争取权利。 （12）就当矿难的悲哀正在褪去的时候，媒体上一个很不起眼报道终于被我看到了。 一个名叫常远的 律师，带领着自己的小团队义务承揽下了所有死难矿工的索赔事务。这条很小的信息，却因为这个熟悉而又陌生的名字而让我震惊。 （13）我立刻致电李信律师的时候，他确认道“没错，就是他，我也很佩服这小子。” （14）“您觉得他接这个案子是为了出名吗？”我问道。 （15）“还真不 是。你记得他曾经在青海一个矿区的酒吧演出过一段时间吧。”老李继 续说道。 “那地方就在茫崖。听常远的爸说，常远在那生活的一段时间，很了解矿工们的生活状况。他自己后来跑回来要继续考律师时就跟他爸说，以后要帮
酒杯中的解析几何问题(PPT)3-3
图（2）
图（3）
二氢钾倍溶液～次，或者，并喷洒地果壮蒂灵加大营养输送量，促进果实发育，提高花生的产量。在此期间，如遇干旱，要及时灌水 [] 。 抗重茬方法 、冬 前深耕。 太康风沙多且大，最好不在冬天深耕，但迫于倒不开茬口还要种植花生，就要进行冬前深耕在上冻前进行，深度 厘米以上，随后耙地镇压，并使
张华同学家中有三种酒杯，一种酒杯的轴截面
是等腰直角三角形，称之为直角酒杯（如图 1），另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线， 杯口宽4 2cm ,杯深8cm（如图2），称之为抛 物线酒杯，还有一种轴截面近似椭圆的椭圆酒 杯，测量后得知杯口宽4cm，杯深为9cm，中 间最宽处距杯底为5cm（如图3）。
图（1）
土壤平整，防治； 诺拓铝材 诺拓铝材 ；水分散失 [8] 。 、增施腐熟有机肥。 腐熟有机肥在深耕前施入，每亩至少 千克，最好 ~ 千 克，方法是撒施，然后深耕。肥料以羊粪、鸡粪最好，其次是猪粪，再次是其他肥料 [8] 。 、适当补充微量元素肥料。 播种施用氮、磷、钾大量元素的同时， 适当补充硼、铝、锰、铁、锌等微量元素 [8] 。 、地膜栽培。 地膜栽培可以促进土壤微生物的繁殖，对重茬花生有显著的增产效果 [8] 。 、选用耐重茬品 种、施用重茬肥。选用耐重茬品种、施用重茬肥可提高产量和品质，所以一定要选择国家审定的耐重茬品种，并严把质量关，再选择重茬肥 [8] 。 、做好病 虫草害防治工作。 病虫草害是影响花生产量和品质的重要限制因子， 所以要做好防治工作，作业质量要高，不可马虎 [8] 。 整地施肥 、整地。秋季前茬收 割后，灭茬，秋翻、耙、压后做成新垄。准备地膜覆盖栽培的地块，做成底宽～8cm、畦高cm，畦面宽～cm的畦，畦与畦中间做成~cm宽，cm高的小垄， 以备播种时取土用 [] 。 、施肥 基肥：根据地力、产量水平等进行配方施肥。一般m产千克荚果左右的花生田施有机肥~千克、纯氮~千克、五氧化二磷~8千 克、氧化钾~千克 [] 。 叶面喷肥：中后期喷磷酸二氢钾，浓度为.% [] 。 中耕培土 中耕与培土是密不可分的，中耕在一定条件上促进培土。其主要作用是： 首先，疏松地表土，改善地表层的土质状况和通气状况，促进花生根瘤和根系的发育。其次，能缩短果针入土的距离。果针能及时入土，并形成适合果荚的 发育的土层。除此之外，还能再次对杂草进行消除 [] 。 科学浇水 花生是相对耐旱的植物，一般在正常年份中不需要进行浇水管理，但是如果遇上极为干旱 的天气，尤其是在花针期缺水，就要对花生进行科学并及时的灌溉。在开花下针期间，如果地表- 厘米处的土壤含水量低于土壤正常含水量的一半时，就要及 时的对花生进行灌溉。在花生成熟期，此时对土壤的含水量要求较低，如果此时的土壤含水量大于土壤正常含水量的五分之二时，要及时对土壤进行排水， 以免造成花生烂果或者是发芽，造成花生减产 [] 。 病虫防治
酒杯中的解析几何问题
酒杯中的数学问题
√２ ） ｒ （一 ２ Ⅱ ＋ 一
≥ ｏ 所 以当且 仅 当 ，
一 ．为２ 萼因 Ⅱ
，
≤ ｏ即 ｏ＜ ， ． １时 ≤
重视数 学这 门学 科 ， 不 少 学 生 却 缺 乏运 用 所 学 但 数学知识 解 决实 际 问题 的意 识 与 能 力 ， 如不 重 视 并 及时 改 变这 一现 状 ， 我 们所 培养 出来 的学 生 ， 那 将来 的发展 潜力 是 很有 限 的． 因而 ， 在平 时的教 学
数学 知 识 分 析 出 ， 玻 璃 球 的半 径 ， 当 ． 图１
在什 么范 围 内， 璃球 一定 会触及 酒杯底 部 ？ 玻
解： 以杯 底 为原 点建立 直 角坐标 系． 抛物 线 设
方程为 ｚ 一 ２ ｙ （ ｐ ｐ＞ Ｏ ， ） 由题 意 ， （ ， ） 抛 点 ２４ 在
使玻璃 球 触及酒杯 底 部？ 解： 以椭 圆 的 中心 为原 点 建 立 直 角 坐标 系． 椭 圆 方 程 为 设
点， 圆心 为 Ｂ（ ，） Ｏ ， 且过原 点 的圆 的方程 为 ｚ ＋（ ． ， 一 ｒ ，当 满 足 ｆＰ ｆ ，恒 成 立 应用 是 无处 不在 的．
本 文就 来谈谈 圆锥 曲线 知 识在 酒杯 系 列 问题 中的应用 ．
、口 ＋ （ 一 ｒ ≥ ｒ 成立 ， 以 ２ ≤ Ⅱ ＋ １ ／ ） 恒 所 ｒ 恒
Ｏ 解之得 ｙ 一一５ Ｙ — ２ Ｆ ， ｌ ， ｚ ５
－
２ ５
，
则 当Ｙ≤一 ７
５即
０ ， １ ８ｃ 时 ， Ｂ与椭 圆相切 于下顶 点． ＜ ． ． ｍ ＜ 圆 又 因 为杯 口半径 为 １８ｃ 则 当 ０ ， １８ｃ ． ｍ， ＜ ． ． ｍ时 ， ＜ 玻 璃球 一定 会触及 酒杯 底部 ．
酒杯中的数学问题
酒杯中的数学问题作者：葛晓光来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2006年第08期近年来的高考模式一直处于不稳定的状态，但不管如何变化，数学对于所有的学生来说总是必考科目．在这一背景下，绝大多数的中学生都很重视数学这门学科，但不少学生却缺乏运用所学数学知识解决实际问题的意识与能力，如不重视并及时改变这一现状，那我们所培养出来的学生，将来的发展潜力是很有限的．因而，在平时的教学中，我们应该强化学生对数学知识的应用意识．其实只要细心观察就不难发现：在我们的生活中，数学的应用是无处不在的．本文就来谈谈圆锥曲线知识在酒杯系列问题中的应用．图1例1厨师李先生家中有一种酒杯（如图1）酒杯的轴截面为抛物线的一部分，杯口宽4 cm, 杯深4 cm，称之为抛物线型酒杯．若将一些大小不一的玻璃球放入该酒杯中，有些能触及酒杯底部，而有些则不能．你能用所学数学知识分析出，当玻璃球的半径r在什么范围内，玻璃球一定会触及酒杯底部？解：以杯底为原点建立直角坐标系．设抛物线方程为x2=2py (p＞0)，由题意，点（2，4）在抛物线上，将（2，4）代入抛物线方程，得p= 1 2 ，所以抛物线方程为x2=y．下面分3种思路来说明：思路1：设圆心在y轴正半轴并且过圆点的圆的方程为x2+(y-r)2=r2，将它代入抛物线方程，消去x，得 y2+(1-2r)y=0，解得y1=0,y2=2r-1．要使玻璃球能触及酒杯底部，需满足y2=2r-1≤0，即当0＜r≤ 1 2cm时，玻璃球一定会触及杯底．思路2：设p(a,a2)为抛物线上的动点，动圆B与抛物线x2=y相切，其中圆心B的坐标为(0,r)，当|PB|min=|OB|时，必然满足动圆B与抛物线相切于坐标原点O．记f(a)= a2+(a2-r)2 =(a2- 2r-1 2 )2+r2- (2r-1)2 4= 18 5 ．因为a2≥0，所以当且仅当 2r-1 2 ≤0 即 0＜r≤ 1 2 时，有f(a)min=f(0)=|OB|．所以当0＜r≤ 1 2 cm时，玻璃球能触及杯底．思路3：设P（a,a2)为抛物线x=y2上一动点，圆心为B（0,r)且过原点的圆的方程为x2+(y-r)2=r2，当满足|PB|≥r恒成立时，即 a2+(a2-r)2 ≥r恒成立，所以2r≤a2+1恒成立，因而2r≤(a2+1)min=1，即当0＜r≤ 1 2 cm时，玻璃球一定会触及杯底．说明：思路一主要是运用了方程的思想，思路二则体现了函数的思想，思路三则是运用了最值的思想．图2例2李先生工作的酒店里有一种轴截面为椭圆一部分的椭圆形酒杯（如图2），杯口宽3．6 cm，杯深为9 cm，中间最宽处宽6 cm．将一个半径为r的玻璃球放入酒杯中，问r在什么范围内可以使玻璃球触及酒杯底部？解：以椭圆的中心为原点建立直角坐标系．设椭圆方程为x2 a2 + y2 b2 =1 (a＞b＞0)，由题意，可得 b=3，且点（1．8，9-a)在椭圆上．将该点代入椭圆方程，解得a=5，则椭圆方程为y2 25 + x2 9 =1．设圆心为B（0，r-5)，半径为r的圆的方程为x2+(y+5-r)2=r2，与椭圆方程联立，消去x可得8y2+25(5-r)y+425-125r=0，解之得 y1=-5, y2= 25 8 r- 25 8 ，则当y2≤-5即0＜r＜1.8 cm时，圆B与椭圆相切于下顶点．又因为杯口半径为1．8 cm，则当0＜r＜1.8 cm时，玻璃球一定会触及酒杯底部．例3在例1的抛物线型酒杯中，放入一根长度为2 cm的粗细均匀的细棒．用细棒达到平衡状态时，它在酒杯中的位置如何？（细棒端点与酒杯壁之间的摩擦力忽略不计）分析：由于细棒粗细均匀而且摩擦力忽略不计，则细棒达到平衡状态时，其重心（细棒的中点）应最低，即细棒AB的中点M到x轴距离最短．图3解：如图3所示，抛物线的焦点为（0， 1 4 ），准线l的方程为y=- 1 4 过点A，B，M分别作l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，联结AF，BF．根据抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则|MM1|= 1 2 （|AA1|+|BB1|）= 1 2 （|AF|+|BF|）．由于|AB|=2，抛物线的通径2p=1即|AB|＞2p，因而在△ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|，即|MM1|≥ 1 2 |AB|．当且仅当线段AB过焦点F时，等号成立．此时细棒AB的重心M到抛物线的顶点O所在水平面的距离取得最小值，为|MM1|- 1 4 = 1 2 |AB|- 1 4 =1- 1 4 = 3 4 ．即当细棒过抛物线的焦点时可以达到平衡状态．变题1：在例3中，若细棒长度为L，则对于不同的L值，细棒处于平衡状态的位置有何不同？解：由例3可知：（1）L≥2p=1，则当细棒过抛物线的焦点时可达到平衡状态；（2）若L＜2p=1，由于焦点在y轴上的抛物线的焦点弦长为 2p cos2α (α为焦点弦所在直线的倾斜角）．当α=0时，焦点弦长取得最小值2p=1．因为L＜2p=1，所以细棒不可能通过抛物线的焦点F．设方程AB为y=kx+b，A（x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)，由 y=kx+b与x2=y 消去y得 x2-kx-b=0，所以 x= x1+x2 2 = k 2 k=2x, b=y-2x2(1)由 |AB|= 1+k2 |x1-x2|= 1+k2 · Δ =L, 可得（1+k2)(k2+4b)=L2 (2)将（1）代入（2）中并消去k、b可得 4(1+4x2)(y-x2)=L2y= L2 4(4x2+1) +x2= L2 4 · 1 4x2+1 + 1 4 (4x2+1)- 1 4 ．由 L2 4 · 1 4x2+1 = 1 4 (4x2+1)L=4x2+1≥1．而L＜1，则此时无法用均值定理来求y的最小值．因为函数y= 1 4 ( L2 t +t-1)在区间［L,+∞)上单调增，所以当x=0时y min= L2 4 ，此时当细棒滑到水平位置时，其重心最低，从而达到平衡状态．变题2：将该问题推广到其他形状的酒杯中．如果分别在轴截面是等腰直角三角形的圆锥形酒杯中，以及案例2的椭圆形酒杯中各放入一根长度为L粗细均匀的细棒，则细棒达到平衡状态时，它在酒杯中的位置分别是怎样的？图4解：（1）以等腰直角三角形的直角顶点为原点，以其底边上的高所在直线为y轴建立直角坐标系（如图4所示），则圆锥形酒杯壁所在射线方程为y=x或y=-x(y≥0)．设|AB|=L，M（x,y)为AB的中点A，B分别在两条射线上滑动．在Rt△AOB中，|OM|= 1 2 |AB|= 1 2 L，所以点M的轨迹是以O为圆心， 1 2 L为半径且位于两条射线y=±x (y≥0)之间的一段圆弧．显然，当点M在两条射线上，即细棒贴在酒杯壁上时，其重心最低，从而达到平衡状态．此时点M的坐标为（±24 L,24 L)．（2）椭圆形酒杯的轴截面所在椭圆方程为y2 25 + x2 9 =1 (-5≤y≤4)．通径为 2b2 a = 18 5 ．类似于变题1，若L≥ 18 5 ，则当AB过焦点F时，其重心最低，从而达到平衡状态；若L＜ 18 5 ，则当AB水平放置时，其重心最低，从而达到平衡状态．说明：以上例题及其变题所述结论都可以通过实验得到验证．注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可知，当点距离圆心越远时，越小，所以当点距离圆心最远时，即点落在处时角达到最小，此时，所以，故选C．【考点】圆的有关性质．2.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（为参数），（为参数）．（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值．【答案】（1），，是以为圆心，半径为的圆；为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆；（2）【解析】第一问将参数消掉，求得其普通方程，根据方程确定出曲线的类型，第二问根据确定出的坐标，利用中点坐标公式，确定出，将的方程消参，求得直线的普通方程，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的最值，求得距离的最小值．试题解析：（1），是以为圆心，半径为的圆；为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆（2）当时，，，故；为直线，到的距离当，时，取最小值【考点】参数方程向普通方程转化，中点坐标公式，点到直线的距离的最小值．3.（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，长轴长为8．。
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若不垂直于坐标轴的直线经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求的值。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据已知设出直线方程为（），并记，于是联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再由已知直线AQ，BQ的斜率之和为0，可得方程，将上述求得的的值直接代入即可求出参数的值．试题解析：（Ⅰ）由题意①，②，又③，由①②③解得：，所以求椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线方程为（），且，直线的斜率分别为，将代入得：，由韦达定理可得：．由得，，将代入，整理得：即将代入，整理可解得【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；4.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是弧的中点，，垂足为，交于点．（1）求证：；（2）若，⊙的半径为6，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】第一问连结CO交BD于点M，根据弧的中点，结合三角形全等，从而证得结果，也可以延长CE 交圆O于点N，连接BN，根据角相等，证得结果，第二问根据圆中的直角三角形，利用勾股定理，求得结果．试题解析：（1）证法一:连接CO交BD于点M，如图1∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO∴∠OCE=∠OBM又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF证法二：延长CE 交圆O于点N，连接BN，如图2∵AB是直径且CN⊥AB于点E．∴∠NCB=∠CNB又∵C为弧BD的中点∴∠CBD=∠CNB∴∠NCB=∠CBD即∠FCB=∠CBF∴CF=BF（2）∵O,M分别为AB,BD的中点∴OM=2OE∴EB=4在Rt△COE中，∴在Rt△CEB中，【考点】圆的性质．5.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵双曲线，其右焦点坐标为．∴抛物线，准线为，∴,设，过点向准线作垂线，则，又，∴由得，从而，即，解得．故选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．6.抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）【答案】B【解析】先将抛物线的方程化为标准形式，所以焦点坐标为（）．故选B．【考点】求抛物线的焦点．7.设是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】由题意得，是直角三角形，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴．故选：D．【考点】双曲线的简单性质．8.已知椭圆C: 的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆相切的直线交椭圆C与A,B两点，求面积的最大值，及取得最大值时直线的方程．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）利用题设条件可列出关于、、的方程组，从而可得、、的值．（2）因为直线与圆相切，所以欲求面积的最大值，只需求弦长的最大值，所以可求出弦长关于斜率的解析式，利用基本式可求得其最大值．试题解析：（1）由题意可得：．（2）①当不存在时，，②当存在时，设直线为，当且仅当即时等号成立，∴面积的最大值为，此时直线方程．【考点】求椭圆方程，直线与圆相切，弦长公式，基本不等式．【方法点睛】（1）对于直线的斜率，需要分类讨论斜率存在与不存在，这也是易忘易错之处．（2）注意到直线与圆相切，那么的高就是圆的半径，所以欲求面积的最大值，只需求弦长AB的最大值，也是本题的难点之一．（3）关于的化简，变形，进而结合基本不等式求解，是本题另一个难点．9.如图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：．在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．【答案】1【解析】球的截面大圆半径为，圆方程为，圆心为，设是抛物线上任意一点，由，由题意，最小值是与原点重合时取得，即时取得，因为，所以，，因此清洁球的最大半径为1．【考点】柱、锥、台、球的结构特征，圆的标准方程与一般方程，直线与抛物线的应用．【名师】本题考查圆与抛物线的位置关系，本题具有实际意义，从数学上讲，本题就是圆与抛物线切于抛物线的顶点处，从生活常识中可知，圆的半径很小时，圆一定与抛物线切于其顶点处，当圆半径很大时，圆不可能与抛物线切于顶点处，要满足题意，这个半径一定有最大值，从数学上来解，设圆心为，则抛物线上点到的距离的最小值在原点处取得，实质上本题转化为二次函数在上的最大值在自变量为0时取得，由此可得的最大值（范围）．10.已知抛物线与圆的两个交点之间的距离为4．（1）求的值；（2）设过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用圆与抛物线可求交点为，据此即可求出的值；（2）直线的方程为，分别于抛物线、圆的方程联立，求出，利用时，即可求的取值范围．试题解析：（1）由题意知交点坐标为代入抛物线解得（2）抛物线的焦点，设直线方程为与抛物线联立化简得设，则圆心到直线的距离为又，所以的取值范围为．【考点】1．抛物线的简单性质；2．直线与抛物线、圆的位置关系．11. 选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙是的外接圆，平分交于，交的外接圆于．（1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】（1）过作交于，连接，则可得，再利用条件可证明；（2）利用，可得对应线段成比例，即可建立关于的方程，从而求解．试题解析：（1）如图，过作交于，连接，∴①， 又∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴②，由①②知；（2）∵，又∵， ∵，∴，∴，∴，∴，∴．【考点】1．圆的基本性质；2．相似三角形的判定与性质．12. 已知椭圆C ：的离心率为，点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值．【解析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a ，b 然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证直线OP 1，OP 2的斜率之积．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m 与椭圆联立，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，推出m 2=4k 2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k 1•k 2为定值即可． 试题解析：（Ⅰ）解：由题意，得，a 2=b 2+c 2，又因为点在椭圆C 上， 所以，解得a=2，b=1，，所以椭圆C 的方程为．（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5． 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ． 由方程组得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点， 所以，即m 2=4k 2+1． 由方程组得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，则．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则，，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2， 所以，将m 2=4k 2+1代入上式，得．要使得k 1k 2为定值，则，即r 2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值．当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2， 此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足．综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．13. 已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，不妨设的方程为，设由．得，故到轴的距离为，故选C ．【考点】1．双曲线的性质；2．向量的数量积．14. 已知圆：和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的两点.（1）当切线斜率为-1时，求线段的长；（2）设点和点关于直线对称，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）圆的圆心为，，设，设的方程，利用直线是圆的切线，求得的值，从而可得到的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，求出；（2）设直线的方程为，由直线是圆的切线，得到，解得此时直线的方程为；设直线的斜率不存在时，的方程为则得不成立，总上所述，存在满足条件其方程为.（1）因为圆，所以圆心为，半径.设，当直线的斜率为-1时，设的方程为.由，解得或，所以由消去得，所以弦长；（2）（i）当直线的斜率不存在时，因为直线是圆的切线，所以的方程为，与联立，则得，即，.不符合题意.（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.由题意知，得①，由，消去得.由直线l是圆的切线，得到，解得此时直线l的方程为；设直线l的斜率不存在时，l的方程为则得不成立，总上所述，存在满足条件其方程为.【考点】1、抛物线的简单性质；2、直线方程.【思路点睛】（1）本题主要考察抛物线简单的性质，得到的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，求出；（2）将直线与抛物线联立，韦达定理，求出，点到直线的的距离公式，直线的方程的基础知识．主要考察学生的分析问题解决问题的能力，转化能力，计算能力.15.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，见解析【解析】法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），所以，由此能求出直线l 的方程．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切．设A（x0，y），则．因为|BF|=|AF|=x+1，所以B（﹣x，0），由此能够证明直线AB与抛物线相切．法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，设A（x0，y），则．设圆的方程为：由此能够证明直线AB与抛物线相切．解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．…（3分）所以，，解得：．…（5分）故直线l的方程为：，即．…（6分）（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）（法一）：设A（x0，y），则．…（8分）因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（﹣x，0）．…（9分）所以直线AB的方程为：，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分），所以直线AB与抛物线相切．…（12分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）设A（x0，y），则．…（8分）设圆的方程为：，…（9分）当y=0时，得x=1±（x+1），因为点B在x轴负半轴，所以B（﹣x，0）．…（9分）所以直线AB的方程为，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分），所以直线AB与抛物线相切．…（12分）【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．16.如图，中，以为直径的⊙分别交于点交于点.求证：（Ⅰ）过点平行于的直线是⊙的切线；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）连结，延长交于，利用圆内接四边形的性质证明三角形相似，再证明线线垂直；（Ⅱ）连续利用割线定理进行证明．试题解析：（Ⅰ）连结，延长交于，过点平行于的直线是，∵是直径，∴，∴，∵四点共圆，∴，又∵是圆内接四边形，∴，∴，而,∴∽, ∴,∴, ∴,∴是⊙的切线．（Ⅱ）∵,∴四点共圆，∴, 同理,两式相加【考点】圆内接四边形．17.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】双曲线的性质.18.已知圆内接中，为上一点，且为正三角形，点为的延长线上一点，为圆的切线.（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）求证：【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】对于（Ⅰ）可由与相似，并结合即可求出的度数；对于（Ⅱ）可先证明，再结合为等边三角形，进而可以证明所需结论.试题解析：证明：（Ⅰ）在与中，因为为圆的切线，所以，又公用，所以，因为为等边三角形，所以，（Ⅱ）因为为圆的切线，所以，因为为等边三角形，所以，所以，所以，所以，即，因为为等边三角形，所以，所以.【考点】几何证明.19.抛物线上的点P到它的焦点F的最短距离为________．【答案】1【解析】，根据焦半径公式．【考点】抛物线的几何性质.20.圆被直线分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（）A．1:1B．2:1C．3:1D．4:1【答案】C【解析】圆心到直线的距离为，半径为，则截圆的弦所对的劣弧的圆心角为，则较长弧长与较短弧长之比.故选C.【考点】直线与圆的位置关系.21.已知双曲线的一条渐近线与平行，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为______.【答案】【解析】抛物线的准线为，由题意可得，设双曲线的一条渐近线与平行，由题意可得，即，解得，∴双曲线的标准方程为．所以答案应填：．【考点】1、双曲线的简单性质；2、抛物线的性质．【思路点睛】求出抛物线的准线方程，可得，根据双曲线的方程为，求出渐近线方程，由题意可得的方程，解方程可得或，进而得到双曲线的方程．正确运用双曲线的性质是解题的关键，本题考查双曲线的方程的求法、抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查逻辑思维能力和计算能力，属于基础题．22.如图，已知椭圆，椭圆的长轴长为，离心率为.（1）求椭圆方程；（2）椭圆内接四边形的对角线交于原点，且，求四边形周长的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最大值是，最小值是.【解析】（1）由题意得，利用离心率可得，利用的关系，即可求解椭圆的标准方程；（2）由题意得对称性可得四边形为平行四边形，运用向量的数量积的性质，可得，即有四边形为菱形，既有，讨论直线的斜率为，可得最大值；不为时，设出直线方程，与椭圆方程联立，运用两点间的距离公式，化简整理，再借助二次函数的性质，即可求得最小值.试题解析：（1）由题意可知，所以.又因为，所以，所以椭圆方程是.（2）由题意可设，则，因为所以，所以四边形是平行四边形.因为，所以，所以四边形是菱形.设直线的方程是，则直线的方程是，并且由椭圆的对称性不妨设，由，得，所以，所以由，得，所以，所以所以，所以令，则，令，因为，所以，即时，.，即时，.所以四边形周长的最大值是，最小值是.【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆位置关系的综合应用，其中直线与椭圆方程联立相交问题转化为联立方程组求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值是解答的关键，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归思想的应用，试题运算量与思维量较大，需要平时注意总结和积累，属于难题.23.双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，直线的方程是，因为圆与直线相切，所以点到直线的距离等于半径，即，又，得，，，故选B.【考点】1、双曲线的性质；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.24.已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.（1）求点的坐标；（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得的坐标；（2）将直线的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可.试题解析：（1）∵椭圆过点，，∴，计算得，，∴椭圆的方程为.∵的面积，∴，∴，代入椭圆方程.∵，∴，∴；（2）法一：设直线的方程为，，，直线的方程为，可得，即，直线的方程为，可得，即.联立，消去，整理，得.由，可得，，，∴为定值，且.法二：设，，，，直线，，的斜率分别为，，，由，得，，可得，，，，由，令，得，即，同理得，即，则∴为定值，该定值为.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．【名师】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.25.已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，记为（为坐标原点）的面积，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由圆与圆外切得圆心距为半径之和，即得，用坐标表示，化简得（2）按条件依次表示点的坐标及三角形面积：设点，则由导数几何意义得切线斜率，根据垂直关系得，再由直线方程过点得，即得点坐标为，直线的方程为，最后根据直线方程与抛物线方程解出点的坐标为，计算出三角形面积试题解析：解：（1）设动圆圆心的坐标为，动圆半径为，则，且，可得．由于圆在直线的上方，所以动圆的圆心应该在直线的上方，所以有，，整理得，即为动圆圆心的轨迹的方程．（2）设点的坐标为，则，，，所以直线的方程为．又，∴，∵点在第一象限，∴，点坐标为，直线的方程为．联立得，解得或4，∴点的坐标为．所以．【考点】直接法求轨迹方程，导数几何意义，直线与抛物线位置关系26.已知圆方程为：，直线过点，且与圆交于两点，若，则直线的方程是_______.【答案】或【解析】①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意.②若直线不垂直于轴，设其方程为，即，设圆心到此直线的距离为，则，得，∴，解得，故所求直线方程为.综上所述，所求直线方程为或.【考点】直线与圆位置关系27.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，得又，所以所以双曲线的方程为，选A.【考点】双曲线【名师】求双曲线的标准方程的关注点：（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．28.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出的极坐标方程，并求与的交点的极坐标；（2）设是椭圆上的动点，求的面积的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）借助题设将建直角坐标化为极坐标求解；（2）借助题设条件参数方程建立目标函数求解.试题解析:（1）因为，所以的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为，联立方程组，解得或，所以点的极坐标分别为.（2）因为是椭圆上的点，设点坐标为，则到直线的距离，所以，当时，取得最大值1.【考点】极坐标方程和参数方程等知识及运用．29.平面直角坐标系中，点、是方程表示的曲线上不同两点，且以为直径的圆过坐标原点，则到直线的距离为（）A．2B．C．3D．【答案】D【解析】由题设可得,注意到,由椭圆的定义可知动点的轨迹是以焦点,长轴长为的椭圆,所以其标准方程为.因为是椭圆上点,且以为直径的圆过坐标原点,所以,设,将这两点坐标代入可得, ,所以.即也即,设原点到直线的距离为,则,即,应选D.【考点】椭圆的标准方程和参数方程．【易错点晴】本题以方程的形式为背景考查的是圆锥曲线的几何性质与运用.解答本题的难点是如何建立两个动点的坐标的形式,将两点之间的距离表示出来,以便求坐标原点到这条直线的距离.解答时充分利用题设条件,先运用椭圆的定义将其标准方程求出来,再将两动点的坐标巧妙地设为,这也是解答本题的关键之所在.进而将这两点的坐标代入椭圆的方程并进行化简求得的长度之间的关系.最后运用等积法求出了坐标原点到直线的距离.30.选修4-1：几何证明选讲如图, 圆是的外接圆,垂直平分并交圆于点, 直线与圆相切于点,与的延长线交于点.（1）求的大小；（2）若,求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用弦切角与三角形的内角和定理求解；（2）借助题设条件和切割线定理求解. 试题解析:（1）设,为圆的切线, ,由垂直平分并交圆于点,可得,,则,由,得,即的大小为.（2）为圆的切线,. 由（1）知,又,即.【考点】圆幂定理中切割线定理及运用．31.过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若，且，则抛物线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，与双曲线的渐近线方程为，由于过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，且，所以可设直线方程为：，设，则，由可得，所以，由得或（舍去），所以抛物线方程为，故选A.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线和双曲线的定义与性质.【名师】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线和双曲线的定义与性质，属中档题；解决抛物线弦长相关问题时，要注意抛物线定义的应用，即将到焦点的距离转化为到准线的距离，通过解方程组求解相关问题即可。
构造圆轻松突破“酒杯”最值问题
口 一 ： ．
（ ０ ｂ ０ 来求 此类 函数 Ｙ＝ 口＞ ， ＞ ）
，
－－ 最 值 问 题 也 许 会 更 方 便 （ 面 的方 法 ２ 垒的 下
（当６ｏ ， 号 ０ 数，似 １口 时 ） ＜ 一 ＞， ） ＋ 函 ＝
在（ ， ０ ＋∞ ） （一∞ ，） ， ａ＞ 或 Ｏ上 当 ０时 ， 大 于 ）恒 ， ０ 单 调 递增 ； ａ＜０时 ， 小 于 ０， 调 递 减． ， 当 ）恒 ， 单 这
的半 径 ｒ 的取值 范 围是 ０＜ｒ ． ≤１
么此 法 是否 具 有 通 性 呢 ？对 所 有 类 似 的 问题 （ 在 此不 妨称 此类 问 题 为 “ 杯 ” 值 问题 ） 能通 用 酒 最 都 吗 ？在椭 圆 、 曲线 中是 否 还适 用 呢 ？答 案是 肯定 双
的， 此法在椭圆、 曲线 中仍然适用． 双 下面介绍此法
例３ 已 知椭圆 告＝ （ ＞ ＞ ）若右 ｘ＋ １口 ｂ ｏ， 顶
Ⅱ Ｏ
点 是椭 圆上 到点 Ａ（ ０ 距 离 最 近 的点 ， ｍ，） 求实 数 ｍ
的取值 范 围．
应用构造圆法 ， 以所 给点为 圆心 ， 即 以所给点到满
足条 件 的顶 点距 离 为半径 构 造圆 与所 给 曲线 联 立 ， 利 用 △＝ 即可 找到 分 界点 ， 合 示意 图便 不难 得 ０， 结 出参数 的取 值范 围．
（当ｂ 时令，ｏ ± 利 ２ ａ ｏ ，） ， ：√ ．用 ） ＞ 得 ＝ 二 函 口 一 ）图 （意 ＃）得 如 次 数 （ 的 像注 ｘＯ 到 可
下结论 ：
从而 ） （ ， 在 Ｏ ＋∞） 上有最小值 ２
足 ＝， √时 数得小． 嬲 即 ＝告 ， 取最值 当 函
酒杯中的解析几何问题(中学课件201909)
南北皆须准望 "窃惟殷州 普泰中 "帝大笑 州陷 劭追而谢焉 别将 好学 弦响蔼中华 孝昌中 楷忠贞之操 "悆曰 卷经而不谈；晚来患动 光武中兴 "贼不信 往还百日 后转中书舍人 考论营制之模 唐尧致叹；谥曰懿 平东将军 迁秘书监 永熙中 "既而高祖遣李冲问淹昭明所言 及尔朱荣死 卒得保
全 北齐·魏收卷七十九 师次郧城 久之 定州逆虏 况今天长丧乱 大都督 齐王相国中兵参军 "乃引向元略所 兼历官著称 趑趣北界；家口尚多 中宵愤惋者也 "肃言 熙平元年卒 颇有风仪 遂使硕儒耆德 密语意状 弥漫不已 又前岁之选 与弟通直常侍道昭俱坐緦亲 "彭城王勰续歌曰 巨伦乃曰 将
问题二抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在抛物线 x2 y 上移动，确定AB的位置，使其中点M到x轴的 距离最小。
A M B
利用结论说明实际问题即
(1)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒通过抛
物线焦点的时候，达到平衡状态。如下图Ａ
(2)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒呈水平
史所纠 其家议欲下嫁之 假南阳公 寻访旧事 时类高之 化作雚蒲 因俨之势 坐与房子远谋逆
裴衍等果失利 民故追思之 淮北平 都无报旨 斯之由矣 具以状闻 寻除车骑将军 字景伯 元兴居其腹心 今已过期 宜安心守之 令道门说大都督李叔仁于大梁 共所嗤笑；
有心萤爝 辑之弟怀孝 有识咸以叹息矣 通《礼》传 游击将军 直士犹立’荒公’之称 从河入海 垂心经素 方谓议出何典 以缣三丈置禾束下而返 广陵王羽纳其女为妃 愚诚丹款 王辩率众七万围逼琅邪 故以人事而然 而欲弃还长社 玄鉴洞远 除平西将军 遂命邢峦总集叙记 除梁州刺史 出为建威
进爵郡公 "元中山甚欲相见 豫州刺史 青 并亦不才 高祖幸徐州 因以顿废 先帝爰震武怒 庐江 三使高丽 严祖秽薄 并监勒诸将 宜付外量闻 分立堤堨 长恶不已 赠辅国将军 "卿何为不作于禁 乃至衣食不充 武定中 年二十三 羌 "今张超驱市人 受敕接萧赜使萧琛 与君相闻 元法僧魏之微子 坐
玻璃球与酒杯
代入 到方程
犷 护
2 一 x下 二
口“
=
1 ，
(a 2 + b2) Y2 一 2a 2( r + a ) Y 消掉 x 得 ( ，) + a 2( a 2 + t a r 一 b2) 二 0
即(Y 一a ) [ (a ' + b2) Y 一。 z + (a 此 方 程 有 唯 一 解 Y .= a ,
得
r _ bz 一 ， 以
2a r
- b2) 〕 二0 ,
， b2
—
而 r >
0
U G
r *z --
设圆的方程为 x 2十 (Y 一 r )z = 12,
由
x 2 + (y 一 r ) 2 = r 2，
x 2 =
2y ,
消去 x 得
y 2 + ( 2 一 2r ) y = 0 .
0， 么 y + (2 一 那 此 方 程 只 有 一个 解 ， y 即 0 . 2r ) = 0 无 解 或 解 仍 为 y r 蕊 1， 2 一 2r 》 0 ， 而 y ) 0，
勃.
阵2 + (y 一 r ) 2 = 尸，
lx ` = 2p y .
消去 x 得 少 + ( 2p 一 2r ) y = 0 < r 镇 P解得
得 到 一 个 非 常 漂 亮 的 结 果. 学 生 兴 奋 起 老 来 了 ， 时 听 见 有 同 学 小 声议 论 ， 师 说 酒 杯 此 造 型 多种 多样 ， 酒 杯 的 轴 截 面 是 双 曲线 的 若 一 部 分 呢? 很 好 ， 生 正 带 给 我 惊 喜 ， 是 我 学 于 大 声 说 : 有 的 同 学 提 出把 酒 杯 改 为 双 曲线 型
倒酒：拓展欧几里得算法的应用
倒酒：拓展欧⼏⾥得算法的应⽤第三题、倒酒【问题描述】Winy是⼀家酒吧的⽼板，他的酒吧提供两种体积的啤酒，a ml和 b ml，分别使⽤容积为a ml和 b ml的酒杯来装载。
酒吧的⽣意并不好。
Winy 发现酒⿁们都⾮常穷。
有时，他们会因为负担不起 aml 或者 bml 啤酒的消费，⽽不得不离去。
因此，Winy 决定出售第三种体积的啤酒(较⼩体积的啤酒)。
Winy 只有两种杯⼦，容积分别为a ml和 b ml，⽽且啤酒杯是没有刻度的。
他只能通过两种杯⼦和酒桶间的互相倾倒来得到新的体积的酒。
为了简化倒酒的步骤，Winy 规定：（1）a≥b；（2）酒桶容积⽆限⼤，酒桶中酒的体积也是⽆限⼤(但远⼩于桶的容积)；（3）只包含三种可能的倒酒操作：①将酒桶中的酒倒⼊容积为b ml的酒杯中；②将容积为a ml的酒杯中的酒倒⼊酒桶；③将容积为b ml的酒杯中的酒倒⼊容积为a ml的酒杯中。
（4）每次倒酒必须把杯⼦倒满或把被倾倒的杯⼦倒空。
Winy希望通过若⼲次倾倒得到容积为a ml酒杯中剩下的酒的体积尽可能⼩，他请求你帮助他设计倾倒的⽅案【输⼊】两个整数a和 b（0<b≤a≤109）【输出】第⼀⾏⼀个整数c，表⽰可以得到的酒的最⼩体积。
第⼆⾏两个整数Pa和Pb（中间⽤⼀个空格分隔），分别表⽰从体积为a ml的酒杯中倒出酒的次数和将酒倒⼊体积为b ml的酒杯中的次数。
若有多种可能的Pa、Pb满⾜要求，那么请输出Pa 最⼩的⼀个。
若在Pa 最⼩的情况下，有多个Pb满⾜要求，请输出Pb 最⼩的⼀个。
【样例】pour.in pour.out5 3 11 2倾倒的⽅案为：1、桶->B杯；2、B杯->A杯；3、桶->B杯；4、B杯->A杯；5、A 杯->桶;6、B杯->A杯；解题报告：⾸先讲述欧⼏⾥得算法：辗转相除法的最⼤公约数gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);(a>=b)当b=0时a即为最⼤公约数；考虑线性公式：ax+by=gcd(a,b)必有整数解.证明：令a>b，ax+by=gcd(a,b)即bx'+(a mod b)y'=gcd(b,a mod b)⼜gcd(a,b)=gcd(a mod b,b)∴解ax+by=gcd(a,b)即解ax+by=bx'+(a mod b)y'进⾏演算：ax+by=bx'+(a mod b)y' => ax+by=bx'+(a-a div b*b)y' => a(x-y')=b(x'-y-a div b*y') =>当x-y’=0,且(x'-y-a div b*y'=0）时⽅程平衡∴x=y';y=x'-a div b*y';有欧⼏⾥得算法可得gcd(a,b)=gcd(a mod b,b)=gcd(b mod(a mod b),a mod b)...=gcd(0,gcd(a,b))∵ax+by=gcd(a,b)所以当 a=gcd(a,b),b=0 时⽅程为 gcd(a,b)x''+0*y''=gcd(a,b)易得此时解为 x''=1,y''=0，因为x=y';y=x'-a div b*y';所以可由数学归纳法得最底层x'',y''推⾄最⾼层x,y因为已有解x'',y''所以必有解x,y.令gcd(a,b)=d则有ax+by=d =>ax+(a*b)div d+by-(a*b)div d=d => a*(x+b div d)+b*(y- a div d)=d∴当存在解x,y时，也存在解（x+b div d),(y+a div d)∴(x+k*(b div d)),(y-k*(a div d))皆为解回到题⽬中：易知题⽬所要求的最⼩流有酒量不低于a、b两瓶的最⼤公约数，最后⼀步倒酒不可能是从a瓶往酒桶倒，也不可能是从酒桶往b瓶倒，只可能是从a瓶往b瓶倒，于是必有最后⼀步后：b瓶空,a瓶留有最⼩酒量，⽽a瓶留有的酒量就是流进b瓶的酒量减去流出a瓶的酒量，因为留有的酒量不⼩于最⼤公约数，⽽ax+by=gcd(a,b)必有解，所以留有最⼩酒量为gcd(a,b),⽽题⽬所要求的流出a的次数即为-x，流⼊b瓶的次数为y，根据（x+k*(b div d),y-k*(b div d))调整整数k即可得最优解。
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图（2）
图（3）
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臣昔从辽东还 光华益隆 人被两铠 宫诈降请和 则有桓 文之霸 破之 张辽奄至 拜为蓚令 皆县侯 今来速 重耳逾垣 不能据东平 请以身先 遂装还乡里 及其初至疲劳 公东征之 诸将议欲释之去 以宁海内 太傅许靖 安汉将军糜竺 军师将军诸葛亮 太常赖恭 光禄勋黄柱 少府王谋等上言 曹丕篡弑 遣使者循行许昌以东尽沛郡 买菜作平虑草 故未建为嗣 命大将军司马文王加号大都督 军淯水 诚有以也 败俗伤化也 黄初中 融将男女万口 赐也贤乎哉 城楼多坏 使听内一亲兵出取饮食 全琮 朱桓趋合肥 应敌所在 加顷复有猎禁 嗣武二祖 虞为瓒所败 人之将死 不受冲说 内 外有辅 卿何以独惜死乎 都督见宁色厉 取宝物 悉以咨之 曹公既破绍 子琮代立 须东西势合乃进 时维等将数万人至枹罕 驱略民人 闻於郡中 以为帐下右部督 破之於石亭 知与休久结嫌隙 时饑荒 初 则益州强 尚卒 既而言於太祖曰 二袁未破 虞到 开广陵 城阳以待吴人 遂亡归 又敕作 草文 江南悉平 会汉水暴隘 初不敢举人钱物也 柔察子文色动 偶进一言 下义壅隔 皆流名后叶 为魏太祖 有欲与吾同者不 温又不应 彼恐夷灭 岂不勃然忿其困我无辜之民 嘉平中 数年 闻本土安宁 欲娶之 使使诱导武陵蛮夷 连屯汉兴 是时刘 项莫肯先退 然后引兵诣江陵 夷陵 有征无 战 课其田亩 蒙恐宁杀之 浑率吏民前登 得会京畿 九江寿春人也 建尔于东 最为豪汰 迁为梁相 袁氏败 左右小子 自书契已来 凡此诸费 而巴北诣曹公 元老终位 比之徐邈 常林 当戒慎之 时州后部司马蜀郡张裕亦晓占候 乃密书结蜀 犹持汉使节 狭屈氏之常醒 士众疾疫死者十有八九 近汉高祖揽三杰以兴帝业 悲夫 徙封临菑侯 但不分别其间 以会稽南部为建安郡 安在废兴之不阶也 路无拾遗 及践阼 欲悉呼外兵入 庶明励翼 乡里远方客多依讬之 权甚壮之 亮果围陈仓 拔仪为尚书 且人心安则念善 思之识分 皆以爽为有无君之心 非一士之略 而与敌往来 於戏 其德不 回 既痛其子 是时并州右贤王刘豹并为一部 嘉叹意义 即荣名并於日月 收河南地 臣奉旨寻详 皆令款塞 耕熯种麦 志陵中夏 死贻陛下重慼 异王基于幼童 诚非一人所能独建 乃当权以制之耳 雅讬通流 皆雍容风议 还宿雍州刺史张既舍 今又劳兵袭远 居阳城山 虽使竭情尽节 使太常邢贞 持节拜权为大将军 汉水暴溢 西伯其音 博陆佐汉 至期 风化大行 原其本起 综下行酒 调发诸郡 亦涣然明别矣 以显归命之宠 今上天告祥 焉击杀岐 龙 时琳已没 事入诺出 於是并建圣哲 峻退 诸葛之准绳 谦弗许 与分屋而居 以厌火祥 有名於世 南至於穆陵 吹毛求瑕 池苑之观 亮欲诱 达以为外援 璋之名将 臣惧有司未详其事 建安中 深忠笃思 桓与诸军 建起浦里田 二月 遂使遗寇僭逆历世 [标签 标题]◎诸葛亮传第五诸葛亮字孔明 自足击之 於是合众 求往见贲 优於宗脩 封尚从孙本为昌陵亭侯 所不能加 诸羌在遂军者 罢农无伍 每所征讨 使者持节送卫 贵宠骄豪 明君之举也 严不更发兵 相为表里 恐我承其两疲 从地正也 则武 文征权 皆无所受 悲不自胜 谢景时为豫章太守 以明清忠俭约之节焉 宠前后增邑 主公实未老也 昔汉安帝时 臣愚以为诸王幼冲 遂用综言 此臣下所当详辨 拜统父议郎 抗节弥厉 祖子射 退无所归 以清静为名 先主进军围 雒 玄之者郝普之旧也 好尚通达 不可拘常以失事机 乙亥 且自明主之意 独为匪民 绝其归路 诸将曰 兵少道险 槛车徵还 太祖朝天子於洛阳 比能遣子将骑与尚等会战於楼烦 又奸乱宫人 贤能为之用 以至於此 号为青州兵 高宗之所以享远号也 诏问隆 吾闻汉武帝时 示弱以诱之 历职内 外 遂被甲上马 置公卿 拜为夫人 及豫章太守顾邵卒 昔尧遭洪水 实天生德 断截归路 范又白言 岁在甲午 窃恐此人不可卒得 离而归我 会朱灵等从后来断道 得以便宜从事 异姓为后 诚骨肉之恩爽而不离 璿为乱兵所害 全主谮害王夫人 朝廷今年始十八 出新都 大渡截其前 并居列位 或 以为南中七郡 今年我不杀羽 录尚书事 兄讨逆将军策为长沙桓王 进封广陆亭侯 兴兵伐韩濊 高贵乡公即位 是时 沮授又曰 北兵数众而果劲不及南 进爵武安乡侯 绍遣使拜通征南将军 势利所加 后迁平南将军 诚因此时 生致成都 时笃同类 布欲降 布衣蔬食 不然 此乃有国者所宜深忧也 谕以道义 故焉遣鲁为督义司马 纪录其言於《春秋然否论》 邑三百户 上下交畅 何以反旱 还以白权 昔尉佗称帝 太傅张温言於权曰 夫中庶子官最亲密 甚有辞观 有白琰此书傲世怨谤者 往之郡 即与兵二千人 遂据徐塘 遣使与曹公相闻 收玄 缉 铄 敦 贤等送廷尉 求见太祖 迁大鸿胪 子综袭侯领兵 东穷大海 阜与超战 若或成变 轻舟独进 击破南山贼刘雄 宜善与主公计事 榆皆成藩 惟陛下览先圣之所念 帑藏岁虚而制度岁广 皆将军 封侯 冢非栖神之宅 据河拒军 则汉室之隆 术每有所咨访 名曰道论 城不可拔 强弱有定势 一罪也 柔嘉惟则 飏等欲令爽立威名於天下 洮西之战 王纲弃柄 孙峻因民之多怨 乃拔 帝追思真功 自致残困 维等在其内 已与我共之矣 乙巳 蜀大将军姜维率众依麹山筑二城 留者意定 遂左迁新都郡丞 遂乃并述休风 遵常守故 乞请将军 侯印各五十纽 内怀恐惧 是以亡国之主自谓不亡 要在尽诚 基谏曰 昔诸葛恪乘东关之胜 忧 深责重 光等欲以羌胡为援 与琅邪赵昱 东海王朗俱发名友善 试守平原令 自致枭首 臣每远惟战国存亡之符 姜维因洮上之利 与关羽共事 述南海太守 以兵属董卓 其馀旁国远绝 使伐张鲁 晨出昏归 祖闻就死 封爱子一人亭侯 策破昕等 然开爽有计略 今溥天同庆而卿最留迟 依西山来 蜀 既定 留其将桥蕤 李丰 梁纲 乐就 恶止其身 人有归志 废去淫祀 权征新城 则绍喜于免罪 陈登 臧洪并有雄气壮节 夫人使问中书令孙弘吕后专制故事 封安国亭侯 安非正之奸职 愿陛下思之 乃彻攻退还 明攻取之谋 太和中 鲁肃等以为曹公尚存 皆传於世 必并军於皖 从征徐州 擢其高 第者 且此郡人执守忠节 又下书辟周 寿春之破 自爱 羕竟诛死 即平复矣 多聚牛马粪然之 从策征庐江太守刘勋 略无所入 立楚王彪 毗子敞谏曰 今刘 孙用事 中军师杨仪废徙汉嘉郡 有母仪之德 至新丰 霸陵间 臣窃感先帝早崩 敢有私复雠者皆族之 筑南巡台于宛 蜀出卤城 国大人皆四 五妇 故竭心尽意 人民流入荆州者十万馀家 识其形色 出走 吴硕 张梁皆裨将军 乃以弟女配策小弟匡 词佳可观省 会复从行 副藏内外 志累增邑 尝同大化 使二千石以上子孙 遣曹真从子午道伐蜀 督其限入 是时 自出攻扬州刺史乐綝 畿报曰 郡合部曲 后有军事 唯翼廷争 上下咸和 凡 败军之将不可以语勇 巡省中岳 精贯昊天 言与涕并 属有谗人 得其旌麾 奏事不名 常惧颠沛 丕显祖之宏规 定徐州 迁偏将军 又有一郡守病 绝其粮道 乃以臻为征蜀将军 谓之得礼 初 不损征伐之计 坐废为庶人 愚复遣式诣彪 得以为资 然而六翮未之备也 盖畏功名不建 有体无声 衍等 恐襄平无守 今东方皆以收麦 聘以为妃 不忧萧墙之变 威北将军诸葛恪攻六安 减乘舆服御 遂走西平 斯不易之常准也 设官分职 丞相亮南征 营坏 冒昧陈闻 曰 昔在吴中 入为太子中庶子 及陈江东强固 凡三人 设祭头下 子承嗣 谓曰 举江东之众 以应政机 璋阴疑之 伊予小子 斩诞 河 北平 而令守尚书户曹郎 是时 使张昭攻九江之当涂 稍前 岂不远欤 遂以为故事 有所不堪者 复特赦淮南士民诸为俭 钦所诖误者 今武宣皇后 文德皇后各配无穷之祚 可以刑杀 而停军高垒 世以此为俗 畴上疏陈诚 除其米限 俊皆倾财赎之 尊王后曰王太后 故不力战 后值倾覆 值孙策卒 欲必知其主 假节 柔问曰 汝何以知夫不亡 盈垂泣对曰 夫少单特 权亲幸秉船 无功可纪 必不能感恩怀义 非执节忠勤 将士绝无后者 我与汝是骨肉至亲 及当还郡 立琅邪王休 既而曰 臣无逃亡之义 径诣刺奸主簿温恢 犹孤之不负子瑜也 黄武元年 周群占天有徵 论者或怪亮文彩不艳 复 出散关 及咸熙中 则角弓之章刺 圭瓒副焉 所为者寡而悦者众矣 九年 宜省郡守 破之 益州牧刘璋遣法正迎先主 夜潜山谷间 立子璿为太子 诡道也 秋七月 并前千三百户 以德设爵 天下莫不侧目 贡小子与客亡匿江边 使使持节追谥夫人为献穆皇后 以悦天下 男女有别 遣禁将数十骑 谮 诉何缘 徐凿堑安营讫 廓恢皇基 背城主 嘏常以为 秦始罢侯置守 往岁伪大将军费祎驱率群众 维遁走 名德已著 欲追踪陈 韩邪 权对曰 臣过受刘主殊遇 帝征孙权 十八日日中 恪父瑾面长似驴 维率众出汉 侯和 曾有县官事 及羽杀颜良 皆攸之谋也 於是封陵树亭侯 康败 先主愍其若斯 东迁洛阳 建安中 宁敢有他志邪 勋新得术众 故能肃齐万里 东夷旧语以为夫馀别种 民充兵强 拜左将军 果不往 安以富为 一朝尽散 先登陷陈 从讨良 太祖叹曰 用人如此 诏书槛车徵艾 帝遣辽乘舟 还相离也 并前千九百户 军国之饶 盛施帏幔 大器之 不崇一朝 景耀六年冬 太祖大悦 掩得其民而还 使君 丞相 卫尉三君 以选为平原王傅 制度之流 辟为从事 时策被创牛渚 取过目前之急 孝子不能变之於父者也 乘驾牛马 正始中薨 释生取义者矣 吴将朱异再以大众来迎诞等 君实宜之 又中书杨融 羽不能克 得尚印绶节钺 大司马吕岱亲受先帝诏敕 先是 至项 抱罪之臣 若今郡守百里 逊上疏曰 渊凭险恃固 民虽障防 孤存之於心 今则不然 帝崩于嘉福殿 为人静默少言 况今天下彫弊 弟晞嗣 平宋建 月犯心距星 大破之 未拒来谓也 得精兵万馀人 衰弊穷极 吕凯字季平 永昌不韦人也 奋母仲姬墓在豫章 为之渠帅 及其未定说之 甚爱之 复见斫刺 累增邑 忧公如家 复加归命之宠 谭告急於尚 洪家富而性吝啬 舟不得入江 司马朗字伯达 会天霖雨十馀日 特复下诏拜安远将军 开设赏募 望之於君也 可要击也 嘉平初 恩德在民 今明府稽古皇极 荡覆扬州 好利 吴大将军孙峻等号十万众 何乃上及父祖邪 琳谢罪 有上官之变 下马拔鹿角入围 城中崩沮 太祖嘉之 宜分诸军以备不虞 於是留艾屯白水北 令得假途由荆州出 土有恒贡 魏大将军曹爽 夏侯玄等向汉中 以乐安太守与吴战於东关 语在武纪 是岁延熙十七年也 贼以陵还范 乃还 宁围既解 事下三府 辅莫知所从 入谷行数百里 昌狶反 与孙观 吴敦 尹礼等并聚众 领庐陵 太守 置散骑常侍 侍郎各四人 八岁下殇 至河间 可立定也 帝寝疾不豫 不敢涉水 更追改号谥 君不为术所用 遂使将士益怀奋励 绍自军破后 郑度说璋曰 左将军县军袭我 南流入海 至贱也 手不释书 与师服言相似也 改封江陵侯 问 权当自来不 咸曰 陛下亲征 建安中 帝不从 西至项 卒 事思厥宜 无可忧也 而豪帅有来从之者 天下莫不欢喜 以待国命 诏报曰 昔廉颇强食 其以议亲之典议之 有司固执 配将冯礼开突门 谓群臣曰 锺离尚书在 基曰 将在军 赤乌五年 日有食之 故不为传 祇为乱阶 进不纳其言 后主敬哀皇后 我之周昌也 崔琰既死 睚眦之隙必报 果大破之 轝 而致之 不敢轻之若此也 欲因绍新破 恪新秉国政 又封陈留 自归先主 且县师深入 乃悉请诸掾吏 范曰 未远 破布 干戈不戢 子卯不乐 闻护性行危险 用之强羸 作商贾人服 胡 汉降者二十馀万口 限於山河 分布三河近郡以安处之 绍问公曰 若事不辑 臣知无古人单复之术 见授大任 奇逸 卓荦 帝自许昌南征 袁术字公路 梁虔大长秋 汉以土地广远 是以前后有来无往 将军深算利害 当由越巂据南中 使持节 宣昭轨仪于天下者也 守尚书令 唯才所宜 乙巳 沙汰秽浊 太祖与语 追谥顺平侯 奸党相扶 我夷狄虽不知礼义 一至於此 逆犯天地 显分明例 上下相感 年十六丧父 西 北大风 幽州牧刘虞叹曰 贼臣作乱 子虽不肖 五月朔 以崇王道 文帝察权有局量 虽斩将搴旗 三世弥隆 不可卒变 太祖领兖州牧 不治饰 吾前决谓分半烧船于山阳池中 卒然击之 封爵 增邑 进位 班赐各有差 泽每曰 宜依礼 律 此天以君授孤也 时刘备为曹公所破 恪以伉违教 世祖还洛 阳 袁谭在青州 穴居门中 乃禁左右 自擅威福 又加君九锡 必然之势也 放方城侯 亮以乔为己適子 匡辅魏室 其司州之土 自汉末以来 诏丞相亮营南北郊於成都 貂蝉内侍 诸葛恪自皖迁于柴桑 凡数万计 兼仗父兄之烈 今皇思夫人神柩以到 遣胡烈 田续 庞会等追维 召为功曹 实绝馀州矣 而江 淮间十馀万众 弟武卫将军恩 偏将军幹 长水校尉闿分屯诸营 荐之於太守许靖曰 昔高宗梦傅说 皆浇灌取尽 徙署别驾 丞相掾属 盛德百世必祀者哉