构造法解导数不等式问题

构造法解导数不等式问题

一．知识梳理

常见的构造函数方法有如下法则构造函数 1.利用和差函数求导法则构造函数

（1）对于不等式()()()

00<>'+'或x g x f ，可构造函数()()()x g x f x F +=。 （2）对于不等式()()()

00<>'-'或x g x f ，可构造函数()()()x g x f x F -=。 特别地，对于不等式()()

()0≠<>'k k k x f 或，可构造函数()()kx x f x F -=。 2. 利用积商函数求导法则构造函数

（3）对于不等式()()()()()

00<>'+'或x g x f x g x f ，可构造函数()()()x g x f x F =。 （4）对于不等式()()()()()

00<>'-'或x g x f x g x f ，可构造函数()()()

x g x f x F =。 ！

（5）对于不等式()()()

00<>+'或x f x f x ，可构造函数()()x xf x F =。 （6）对于不等式()()()

00<>-'或x f x f x ，可构造函数()()()0≠=

x x

x f x F 。 （7）对于不等式()()()

00<>+'或x nf x f x ，可构造函数()()x f x x F n

=。 （8）对于不等式()()()

00<>-'或x nf x f x ，可构造函数()()()0≠=

x x

x f x F n 。 （9）对于不等式()()()

00<>+'或x f x f ，可构造函数()()x f e x F x

=。 （10）对于不等式()()()

00<>+'或x f x f ，可构造函数()()x e

x f x F =

。 （11）对于不等式()()()

00<>+'或x kf x f ，可构造函数()()x f e x F kx

=。

（12）对于不等式()()()

00<>-'或x kf x f ，可构造函数()()kx e

x f x F =

。 （13）对于不等式()()()

00tan <>'+或x x f x f ，可构造函数()()x xf x F sin =。

（14）对于不等式()()()

00tan <>'-或x x f x f ，可构造函数()()()0sin sin ≠=x x

x f x F 。 ·

二．例题讲解

a ．利用导数解不等式问题 （一）常规解不等式

例 1 设函数()f x ）是定义在（一∞，0）上的可导函数，其导函数为()x f ',且有

()()22x x f x x f >'+,则不等式()()()024*********

>--++f x f x 的解集为

答案：{}

2016-

变式训练1 ()x f 是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足()x f x '+()x f ≤0,对任意正数a 、b ,若a ＜b ，则必有（ ）

A.a f (b ) ≤b f (a )

B.b f (a ) ≤a f (b )

C.a f (a ) ≤f (b ) b (b ) ≤f(a ) 答案Ｃ

变式训练2 设函数()x f 在R 上的导函数为f’(x),且()x f x '+2()x f >x 2

,x 下面的不等式在R

内恒成立的是（ ）

—

A 0)(>x f

B 0)(

C x x f >)(

D x x f <)(

【答案】A

【解析】由已知，首先令0=x ，排除B ，D 。然后结合已知条件排除C,得到A 变式训练3 函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为（ ）

A ．（1-，1）

B ．（1-，+∞）

C ．（∞-，1-）

D ．（∞-，+∞）

答案B

（二）和函数性质相关解不等式

例 2 设函数'

()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，

'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）

A ．(,1)

(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞

@

C ．(,1)

(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞

【答案】A 【解析】

试题分析：记函数()()f x g x x =，则''

2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，

'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数

()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则

()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．

考点：导数的应用、函数的图象与性质．

变式训练1.已知定义R 在上的可导函数)(x f 的导函数为)(x f '，满足)()(x f x f <'，且

)2(+x f 为偶函数，f （4）=1，则不等式x e x f <)(的解集为（ ）

A ．(-2，＋∞)

B ．(0, ＋∞)

C ．(1, ＋∞)

D ．(4，＋∞)

答案.B

变式训练 2 设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0

,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(

（ ）