2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{0，1，2}，，若A∩B＝B，则实数x的值为（）A．B．0C．1D．22．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米3．已知tanα＝2，则sinαcosα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知m是函数f（x）＝+2的零点，则实数m∈（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知角α的终边经过点，则sinα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总任储费用和最小为（）A．60万元B．160万元C．200万元D．240万元7．在平面直角坐标系中，是单位圆上的一段弧（如图），点P是圆弧上的动点，角α以Ox为始边，OP为终边．以下结论正确的是（）A．tanα＜cosα＜sinαB．cosα＜tanα＜sinαC．sinα＜cosα＜tanαD．以上答案都不对8．已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x2.若函数g（x）＝f（x）﹣a|x|有5个不同零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．[，1]D．（，1）二、多项选择题（共4小题）.9．下列命题中的真命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0C．∃x∈R，lgx＜2D．∃x∈R，tan x＝210．已知函数，将f（x）的图象向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（）A．y＝g（x）是偶函数B．函数g（x）的单调递减区间为C．直线是函数g（x）的图象的对称轴D．函数g（x）在上的最小值为11．设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝2，那么（）A．a+b有最小值B．a+b有最小值C．ab有最小值D．ab有最大值12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”．下列对应法则f满足函数定义的有（）A．f（|x﹣2|）＝x B．f（sin x）＝2cos2x﹣1C．f（sin x）＝x D．f（x2+2x）＝|x+1|三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝log2（2x+1）的定义域为．14．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值是．15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N＝N0•表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的.；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）16．如图，直线l是函数y＝x的图象，曲线C是函数x图象，P1为曲线C上纵坐标为1的点．过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；…，设点P1，P2，P3，…，P n的横坐标分别为x1，x2，x3，…，x n.若a，则x2020＝（用a表示）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知，求a+a﹣1的值；（2）计算：．18．已知集合A＝{x|1≤2x≤16}，B＝{x|m≤x≤m+2}．（1）若m＝3，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求m的取值范围．19．已知函数只能满足下列三个条件中的两个：①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象可由的图象平移得到；③函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）请写出满足f（x）的这两个条件序号，并说明理由；（2）求出f（x）的解析式；（3）求方程f（x）+1＝0在区间[﹣π，π]上所有解的和．20．已知函数为奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于m的不等式f（2m2）+f（m﹣3）≥0．21．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：sin20°＝0.3420，cos20°＝0.9397，tan20°＝0.3640）（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．①若小汽车卡在直角车道内（即点A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）∠PAB＝θ（rad），求水平截面的长（即AB的长，用θ表示）②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．结论1 ；结论2 若函数f（x）和函数g（x）都在区间I上单调递增，则函数f（x）+g（x）在区间I上单调递增．22．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．函数．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在x∈[e，e2]使得不等式f（lnx）﹣klnx≤0成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的范围．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{0，1，2}，，若A∩B＝B，则实数x的值为（）A．B．0C．1D．2解：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∵A＝{0，1，2}，∴，解得．故选：A．2．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S＝lr＝×45×＝270（平方米）．故选：B．3．已知tanα＝2，则sinαcosα的值是（）A．﹣B．C．﹣D．解：∵tanα＝2，则sinαcosα＝＝＝，故选：B．4．已知m是函数f（x）＝+2的零点，则实数m∈（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：由f（x）＝可得，，结合幂函数及指数函数的性质可知，当x无限增加时，指数函数爆炸式增加，当0＜x＜1时，f（x）＞0恒成立，没有零点，因为f（1）＝1＞0，f（2）＝＜0，故在（1，2）上有零点，结合图象可知，当x＞2时，即y＝恒在y＝2x的下方．故m∈（1，2）．故选：B．5．已知角α的终边经过点，则sinα的值为（）A．﹣B．C．﹣D．解：，∴P（﹣3，4），根据三角函数定义可知，＝，故选：D．6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总任储费用和最小为（）A．60万元B．160万元C．200万元D．240万元解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和：×6+4x≥2×＝240（万元）．当且仅当x＝30时取等号．故选：D．7．在平面直角坐标系中，是单位圆上的一段弧（如图），点P是圆弧上的动点，角α以Ox为始边，OP为终边．以下结论正确的是（）A．tanα＜cosα＜sinαB．cosα＜tanα＜sinαC．sinα＜cosα＜tanαD．以上答案都不对解：由题设可得上的动点P的坐标为（cosα，sinα），A（cosθ1，sinθ1），B（cosθ2，sinθ2），其中＜θ1＜α＜θ2＜π，＜θ1＜＜θ2＜π，注意到当α∈（θ1，]，tanα≤﹣1，故按如下分类讨论：若＜θ1＜α≤，则sinα＞0，cosα＞﹣1，tanα≤﹣1，故sinα＞cosα＞tanα，若＜α≤θ2，则sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，且0＜sinθ2≤sinα＜，所以sin2θ2+sinθ2﹣1≤sin2α+sinα﹣1＜，因为＜θ2＜π，故0＜sinθ2＜，故﹣1＜sin2θ2+sinθ2﹣1＜，所以sin2θ2+sinθ2﹣1有正有负，所以sin2α+sinα﹣1有正有负，而tanα﹣cosα＝，cosα＜0，故tanα﹣cosα有正有负，故tanα，cosα大小关系不确定．故选：D．8．已知定义在R上的函数y＝f（x）对任意的x都满足f（x+2）＝f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x2.若函数g（x）＝f（x）﹣a|x|有5个不同零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．[，1]D．（，1）解：原问题等价于函数f（x）与函数y＝a|x|有5个不同的交点，很明显，坐标原点为两函数的交点，且函数f（x）与函数y＝a|x|均为偶函数，则原问题转化为当x≥0时，函数f（x）与函数y＝ax有两个交点，绘制函数图象如图所示，由临界条件可得关于实数a的不等式组：，解得：，即实数a的取值范围是．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9．下列命题中的真命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0C．∃x∈R，lgx＜2D．∃x∈R，tan x＝2解：对于A，y＝2x﹣1的定义域为R，值域为（0，+∞），∀x∈R，2x﹣1＞0为真命题，则A 对；对于B，当x＝1∈N*时，（x﹣1）2＝0 不大于0，∀x∈N*，（x﹣1）2＞0为假命题，则B 错；对于C，当x＝1∈R时，lgx＝0＜2，∃x∈R，lgx＜2为真命题，则C对；对于D，当x＝arctan2∈R时，tan x＝a tan（rc tan2）＝2，∃x∈R，tan x＝2为真命题，则D 对；故选：ACD．10．已知函数，将f（x）的图象向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，则下列命题正确的是（）A．y＝g（x）是偶函数B．函数g（x）的单调递减区间为C．直线是函数g（x）的图象的对称轴D．函数g（x）在上的最小值为解：将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到y＝2sin[4（x﹣）+]＝2sin（4x），再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，即g（x）＝2sin（4x）＝2sin（2x），则函数g（x）是奇函数，故A错误，由2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为，故B正确，由2x＝kπ+，得x＝+，即函数的对称轴为x＝+，则x＝kπ+也是对称轴，故C正确，当0≤x≤时，0≤2x≤，则当2x＝时，函数g（x）取得最小值，最小值2sin ＝﹣2×＝﹣，故D正确，故选：BCD．11．设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝2，那么（）A．a+b有最小值B．a+b有最小值C．ab有最小值D．ab有最大值解：因为a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝2，所以ab＝2+（a+b），当且仅当a＝b时取等号，解得，a+b，或a+b（舍），故a+b有最小值2+2，A正确，B错误；由ab﹣2＝a+b，当且仅当a＝b时取等号，解得，ab，即ab有最小值4+2，C正确，D错误．故选：AC．12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”．下列对应法则f满足函数定义的有（）A．f（|x﹣2|）＝x B．f（sin x）＝2cos2x﹣1C．f（sin x）＝x D．f（x2+2x）＝|x+1|解：根据函数的定义，对于定义域内的任意自变量，函数的值唯一确定的．对于一个自变量|x﹣2|，x的值不一定唯一，如|x﹣2|＝1时，x＝1或3，故f（|x﹣2|）＝x不满足函数的定义，故排除A；对于一个任意一个sin x，存在唯一确定的1﹣2sin2x＝2cos2x﹣1，故f（sin x）＝2cos2x﹣1满足函数的定义，故B可以．对于一个任意一个sin x，存在多个x的值，故（sin x）＝x不满足函数的定义，故排除C；对于一个x2+2x＝（x+1）2﹣1，则|x+1|的值唯一，故f（x2+2x）＝|x+1|满足函数的定义，故D可以，故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡指定位置上. 13．函数f（x）＝log2（2x+1）的定义域为（﹣，+∞）．解：由函数f（x）＝log2（2x+1），得2x+1＞0，解得x＞﹣，所以f（x）的定义域为（﹣，+∞）．故答案为：（﹣，+∞）．14．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值是4．解：正数x，y满足x+y＝1，则＝（x+y）（+）≥2•2＝4，当且仅当x＝y＝，取得最小值4，故答案为：4．15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足N＝N0•表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的.；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．（参考数据：lg2≈0.3，lg7≈0.84，lg3≈0.48）解：∵N＝N0•，∴当t＝5730时，N＝N0•2﹣1＝，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的．由题意可知：，两边同时取以2为底的对数得：，∴＝≈﹣1.2，∴t＜6876，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．故答案为：，6876．16．如图，直线l是函数y＝x的图象，曲线C是函数x图象，P1为曲线C上纵坐标为1的点．过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；…，设点P1，P2，P3，…，P n的横坐标分别为x1，x2，x3，…，x n.若a，则x2020＝（log a））（用a表示）解：由题意可求出P1，P2，P3，Q1，Q2，Q3点的坐标．P1（，1），Q2（，），P2（，），Q3（，），P3（（（）），（）），故P1的横坐标为x1＝，由log x2＝，可得x2＝（），由log x3＝（），可得x3＝（（）），所以若a，则x2019＝（log a），x2020＝（log a））．故答案为：（log a））．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（1）已知，求a+a﹣1的值；（2）计算：．解：（1）由题意知，平方可得，所以a+a﹣1＝7；（2）原式＝＝＝＝1+2＝3．18．已知集合A＝{x|1≤2x≤16}，B＝{x|m≤x≤m+2}．（1）若m＝3，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求m的取值范围．解：（1）A＝{x|1≤2x≤16}＝{x|20≤2x≤24}＝{x|0≤x≤4}，当m＝3时，B＝{x|3≤x≤5}，所以A∪B＝{x|0≤x≤5}；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，由题意知B≠∅，则，解得：0≤x≤2，所以m的取值范围为[0，2]．19．已知函数只能满足下列三个条件中的两个：①函数f（x）的最大值为2；②函数f（x）的图象可由的图象平移得到；③函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）请写出满足f（x）的这两个条件序号，并说明理由；（2）求出f（x）的解析式；（3）求方程f（x）+1＝0在区间[﹣π，π]上所有解的和．解：（1）若①成立，则A＝2．若②成立，则A＝，ω＝1，若③成立，则＝，即T＝π，即＝π，则ω＝2．则满足条件的只能是①③，（2）由（1）知A＝2，ω＝2，则f（x）＝2sin（2x+）．（3）由f（x）+1＝0得f（x）＝﹣1，即2sin（2x+）＝﹣1，得sin（2x+）＝﹣，则2x+＝2kπ+或2x+＝2kπ+，得x＝kπ+或x＝kπ+，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴当k＝﹣1时，x＝﹣或x＝﹣，当k＝0时，x＝或x＝，则所有零点之和为﹣﹣++＝．20．已知函数为奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于m的不等式f（2m2）+f（m﹣3）≥0．解：（1）∵函数的定义域为R，且为奇函数，．∴f（0）＝0，即f（0）＝＝0，解得a＝﹣1，经检验，此时对任意的x都有f（﹣x）＝﹣f（﹣x），故a＝1．（2）由（1）可知f（x）＝＝1﹣，f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣+＝，∵x1＜x2，∴＜，即﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＝＜0，f（x1）＜f（x2），即f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．（3）∵f（x）是奇函数，∴f（2m2）+f（m﹣3）≥0等价为f（2m2）≥﹣f（m﹣3）＝f（3﹣m），∵f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．∴2m2≥3﹣m，即2m2+m﹣3≥0，解得m≤﹣或m≥1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．21．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：sin20°＝0.3420，cos20°＝0.9397，tan20°＝0.3640）（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．①若小汽车卡在直角车道内（即点A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）∠PAB＝θ（rad），求水平截面的长（即AB的长，用θ表示）②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．结论1 ；结论2 若函数f（x）和函数g（x）都在区间I上单调递增，则函数f（x）+g（x）在区间I上单调递增．解：（1）在△ABE中，∠ABE＝90°，∠BAE＝20°，则tan，又AB＝10，∴BE＝AB•tan∠BAE＝10tan20°≈3.6m，∵BC＝0.6m，∴CE＝BE﹣BC＝3m，在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD＝∠BAE＝20°，∴cos，∴CD＝CE•cos∠ECD＝3cos20°≈3×0.94≈2.8m；（2）①延长CD与直角走廊的边相交于E，F，则EF＝OE+OF＝，其中0＜θ＜，∴DE＝，CF＝BC•tanθ＝1.8tanθ，又∵AB＝DC＝EF﹣（DE+CF），∴AB的长f（θ）＝＝，其中0＜θ＜；②由①知f（θ）＝，其中0＜θ＜，令sinθ+cosθ＝t，则t＝，∴1＜t≤，则sinθcosθ＝．故f（θ）＝g（t）＝，1＜t≤，g′（t）＝﹣，当t∈（1，]时，g′（t）＜0恒成立，则g（t）在（1，]上为减函数，∴＞4.4．∴此车能顺利通过此直角拐弯车道．22．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4，最小值1．函数．（1）求函数g（x）的解析式；（2）若存在x∈[e，e2]使得不等式f（lnx）﹣klnx≤0成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的范围．解：（1）函数g（x）＝ax2﹣2ax+b（a＞0）对称轴为x＝1，所以函数g（x）在[2，3]上单调递增，所以g（x）max＝g（3）＝3a+b＝4，g（x）min＝g（2）＝b＝1，解得a＝1，所以g（x）＝x2﹣2x+1＝（m﹣1）2．（2）f（x）＝x﹣﹣2，x∈[e，e2]所以不等式f（lnx）﹣klnx≤0，变为≤k，令t＝lnx，t∈[1，2]所以不等式化为≤k，即1﹣+≤k，所以（﹣1）2≤k，所以0≤k≤，所以实数k的取值范围[0，]．（3）＝+﹣2k有三个零点，则g（|3x﹣1|）+3k﹣2k•|3x﹣1|＝0有三个根，令m＝|3x﹣1|，作出函数图象：则（m﹣1）2+3k﹣2km＝0，即m2﹣（2k+2）m+3k+1＝0有两个根m1，m2，其中0＜m1＜1，m2＞1或0＜m1＜1，m2＝0，记h（m）＝m2﹣（2k+2）m+3k+1，所以或解得﹣＜k＜0，所以实数k的取值范围为（﹣，0）．。