2020-2021人教A版数学选修4-5学案-第一讲-二-绝对值不等式-1-绝对值三角不等式-含解析
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
2021版高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第1讲绝对值不等式教案文新人教A版
第1讲绝对值不等式一、知识梳理1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．常用结论1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立．(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．2．解绝对值不等式的两个要点(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”．二、教材衍化1．求不等式3≤|5－2x |<9的解集．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．2．求不等式|x ＋1|＋|x －2|≤5的解集．解：不等式|x ＋1|＋|x －2|≤5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ＋1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x ＋1＋x －2≤5，解得－2≤x ≤3，所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤3}．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、易错纠偏常见误区(1)解集中等号是否成立不注意； (2)含参数的绝对值不等式讨论不清． 1．不等式|x －4|＋|x －1|－3≤2的解集．解： 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <4，0≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2x －8≤2，解得0≤x ≤5，故不等式|x －4|＋|x －1|－3≤2的解集为[0，5]．2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，求实数k 的值．解：因为|kx －4|≤2，所以－2≤kx －4≤2，所以2≤kx ≤6.因为不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，所以k ＝2.含绝对值不等式的解法(师生共研)(2020·安徽安庆质量检测)已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ， 由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.所以不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为{x |x ≤－a2}．由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤a 4. 由a4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.含绝对值不等式解法的常用方法设函数f (x )＝|x ＋4|.求不等式f (x )>1－12x的解集．解：f (x )＝|x ＋4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x >－4，0，x ＝－4，－4－x ，x <－4，所以不等式f (x )>1－12x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4>1－12x （x >－4），0>1－12x （x ＝－4），－4－x >1－12x （x <－4），解得x >－2或x <－10，故不等式f (x )>1－12x 的解集为{x |x >－2或x <－10}．绝对值不等式性质的应用(师生共研)(2020·昆明市质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4；(2)当x ≠0，x ∈R 时，证明：f (－x )＋f (1x)≥4.【解】 (1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4等价于|2x －1|＋|2x ＋1|≥4， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－4x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，4x ≥4， 解得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)当x ≠0，x ∈R 时，f (－x )＋f (1x )＝|－2x －1|＋|2x －1|，因为|－2x －1|＋|2x－1|≥|2x＋2x|＝2|x|＋2|x|≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧（2x＋1）（2x－1）≥02|x|＝2|x|，即x＝±1时等号成立，所以f(－x)＋f(1x)≥4.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．(2020·陕西省五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)<|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)<1.解：(1)因为f(x)<|x|＋1，所以|2x－1|<|x|＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，2x－1<x＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x<12，1－2x<x＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，1－2x<－x＋1，得12≤x<2或0<x<12或无解．故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0<x<2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y －1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝56<1.绝对值不等式的综合应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ )已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x≤－1，2x，－1<x<1，2，x≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0，2]．(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决，这是常用的思维方法．(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知f (x )＝|x |＋2|x －1|.(1)解不等式f (x )≥4；(2)若不等式f (x )≤|2a ＋1|有解，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )≥4，即|x |＋2|x －1|≥4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <0，2－3x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，2－x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x －2≥4⇒x ≤－23或无解或x ≥2.故不等式的解集为(－∞，－23]∪[2，＋∞)．(2)f (x )≤|2a ＋1|有解等价于f (x )min ≤|2a ＋1|. f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x （x <0）2－x （0≤x ≤1），3x －2（x >1）故f (x )的最小值为1，所以1≤|2a ＋1|，得2a ＋1≤－1或2a ＋1≥1， 解得a ≤－1或a ≥0，故实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．[基础题组练]1．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5. 当2<x <5时，－3<2x －7<3， 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}． 2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|·(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)． 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0； 当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．3．(2020·陕西宝鸡中学二模)设函数f (x )＝x 2－x －1. (1)解不等式：|f (x )|<1；(2)若|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 解：(1)由|f (x )|<1得－1<f (x )<1， 即－1<x 2－x －1<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x >0，x 2－x －2<0，解得－1<x <0或1<x <2，所以原不等式的解集为(－1，0)∪(1，2)．(2)证明：因为|x －a |<1，所以|f (x )－f (a )|＝|x 2－a 2＋a －x | ＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1| ≤|x －a |＋|2a |＋1<|2a |＋2＝2(|a |＋1)．4．(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)若f (x )>a 成立有解，求a 的取值范围； (2)解不等式f (x )<x 2－2x .解：(1)f (x )＝|x －2|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1<x <2，－3，x ≥2，故f (x )∈[－3，3]，所以若使f (x )>a 成立有解，应有a <f (x )max ，即a <3， 所以a 的取值范围是(－∞，3)． (2)当x ≤－1时，x 2－2x >3， 所以x <－1；当－1<x <2时，x 2－2x >－2x ＋1. 所以1<x <2；当x ≥2时，x 2－2x >－3，故x ≥2.综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5．(2020·陕西汉中重点中学3月联考)已知函数f (x )＝|4x －1|－|x ＋2|. (1)解不等式f (x )<8；(2)若关于x 的不等式f (x )＋5|x ＋2|<a 2－8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤－2，－5x －1，－2<x <14，3x －3，x ≥14， 当x ≤－2时，由－3x ＋3<8，得x >－53，无解；当－2<x <14时，由－5x －1<8，得x >－95，即－95<x <14；当x ≥14时，由3x －3<8，得x <113，即14≤x <113.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－95<x <113.(2)f (x )＋5|x ＋2|＝|4x －1|＋|4x ＋8|≥9. 则由题可得a 2－8a >9. 解得a <－1或a >9.6．(2020·原创冲刺卷三)已知函数f (x )＝|x －2a |，a ∈R ，若∀x ∈R ，f (x )都满足f (x )＝f (4－x )．(1)求a 的值；(2)若∃x ∈R ，使得不等式f (2x －1)－f (x )≤4－2m 成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )＝|x －2a |的图象关于直线x ＝2a 对称，所以2a ＝2，a ＝1.(2)令h (x )＝f (2x －1)－f (x )＝|2x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤32，3x －5，32<x <2，x －1，x ≥2，h (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，所以h (x )min＝h (32)＝－12，故－12≤4－2m ，解得m ≤94，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94.[综合题组练]1．(2020·河北省九校第二次联考)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>2；(2)记函数g (x )＝f (x )＋f (－x )，若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|<g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12x ＋2，－12<x <1，3x ，x ≥1于是得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x >2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，x ＋2>2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13x >2，解得x <－23或0<x <1或x ≥1.故不等式f (x )>2的解集为{x |x <－23或x >0}．(2)g (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1|＋(|2x ＋1|＋|2x －1|)≥|(x －1)－(x ＋1)|＋|(2x ＋1)－(2x －1)|＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋1）≤0（2x －1）（2x ＋1）≤0，即x ∈[－12，12]时取等号，若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|<g (x )恒成立，则|k －1|<g (x )min ＝4， 所以－4<k －1<4，解得－3<k <5，即实数k 的取值范围为(－3，5)． 2．已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式|x －13|＋f (x )≥1；(2)设不等式|x －13|＋f (x )≤x 的解集为M ，若[13，12]⊆M ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3， ①当x ≤13时，1－3x ＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13<x <2时，3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x <2；③当x ≥2时，3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}． (2)不等式|x －13|＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ，依题意不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在x ∈[13，12]上恒成立，所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1， 即a －1≤x ≤a ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.。
人教新课标版数学高二-数学(人教A)选修4-5学案 绝对值不等式
1.2.1绝对值不等式☆学习目标：1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握;2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用☻知识情景：定理3 如果,,a b c R+∈, 那么33a b cabc++≥, 当且仅当a b c==时, 等号成立.定理3的国语表述:推论：对于n个正数12,,,na a a, 它们的即当且仅当a b c==时,等号成立.探究：许多不等关系都涉及到距离的长短、面积或体积的大小、重量，等等，它们都要通过非负数来表示.因此，研究含有绝对值的不等式具有重要大的意义.☻建构新知：1．绝对值的定义：a R∀∈，||a⎧⎪=⎨⎪⎩2. 绝对值的几何意义：⑴实数a的绝对值||a，表示数轴上坐标为a的点A⑵∀两个实数,a b，它们在数轴上对应的点分别为,A B，那么||a b-的几何意义是例1 设函数()14f x x x=+--．()1解不等式()2f x>；()2求函数()y f x=的最值．2. 绝对值三角不等式：探究||a ，||b ，||a b -之间的关系.①0a b ⋅>时,如下图, 容易得：||||||a b a b ++.②0a b ⋅<时,如图, 容易得：||||||a b a b ++.③0a b ⋅=时,显然有：||||||a b a b ++. 综上,得定理1 如果,a b R ∈, 那么||||||a b a b ++. 当且仅当 时, 等号成立. 在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b ,则当,a b 不共线时, 由向量加法三角形法则:向量,a b ,a b +构成三角形, 因此有||||||a b a b ++ 它的几何意义就是:定理2 如果,,a b c R ∈, 那么||||||a c a b b c --+-. 当且仅当 时, 等号成立.☆案例学习：例2、 ⑴已知 2,2c b y c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+，⑵已知0,,x a y b εεε>-<-<，求证：23235x y a b ε+--<。
人教A版选修4-5 绝对值不等式 第1课时 绝对值不等式 教案
章节：
4.5.2
课时： 1 备课人；二次备课人课题名称第一讲 2.1 绝对值不等式
三维目标学习目标
1.理解绝对值的定义及其几何意义;
2.会用绝对值三角不等式的解决简单的问题
重点目标理解绝对值的定义及其几何意义
难点目标
会用绝对值三角不等式的解决简单的问
题
导入示标
目标三导学做思一：
自学探究
问题1.用恰当的方法在数轴上把||||,||
a b a b
+
，表示出来，你能发现它们之间有什么关系吗？
学做思二
问题2.如果把定理1中的实数,a b分别换为向量,a b
r r
，能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？
问题3.你能根据定理1的研究思路，探究一下||||,||,||
a b a b a b
+-
，等之间的其他关系吗？
例如||||||||||||||||||
a b a b a b a b a b a b
-++---
与，与，与等之间的关系.
学做思三
技能提炼
1.设函数()14
f x x x
=+--．
(1)解不等式()2
f x>；
(2)求函数()
y f x
=的最值．
★ 2.使不等式a
x
x<
-
+
-3
4有解的条件是( )
A1
>
a B1
10
1
<
<a C
10
1
<
a D
10
1
0<
<a。
数学人教A版选修4-5学案：第一讲二绝对值不等式(第2课时)含解析
2.绝对值不等式的解法1．掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题．2．了解绝对值不等式的几何解法．1．含有绝对值的不等式的解法（同解性）（1)｜x｜＜a错误!(2)|x|＞a错误!对于不等式｜x｜＜a(a＞0)，由绝对值的几何定义知，它表示数轴上到原点的距离小于a的点的集合．如图：【做一做1】若集合M＝{x｜｜x|≤2},N＝{x|x2－3x＝0｝，则M∩N＝(）A．{3｝B．{0} C．{0,2} D．｛0，3}2．|ax＋b｜≤c（c＞0），|ax＋b|≥c(c＞0）型不等式的解法（1)|ax＋b｜≤c(c＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组__________,再利用不等式的性质求出原不等式的解集．(2）|ax＋b｜≥c（c＞0）的解法是：先化为________或__________，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集．【做一做2－1】若条件p：|x＋1｜≤4,条件q：x2＜5x－6，则p是q的(）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【做一做2－2】|2x＋1｜＞｜5－x｜的解集是__________．3．｜x－a｜＋｜x－b|≥c和｜x－a|＋｜x－b|≤c型不等式的解法有三种不同的解法：解法一可以利用绝对值不等式的________．解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的“______”为分界点，将数轴分成几个区间,然后确定各个绝对值中的多项式的______,进而去掉__________．解法三可以通过________，利用__________，得到不等式的解集．|x－a|＋|x－b｜≥c或｜x－a｜＋|x－b|≤c型的不等式的三种解法可简述为:①几何意义；②根分区间法;③构造函数法．【做一做3】不等式|x－1｜＋｜x－2｜＜2的解集是__________．答案：1．（1)－a＜x＜a无解(2)x＞a或x＜－a x≠0x∈R【做一做1】B方法一：由代入选项验证可排除选项A、C、D,故选B.方法二：M＝｛x|－2≤x≤2｝，N＝{0，3｝，∴M∩N＝｛0｝．2．（1)－c≤ax＋b≤c（2）ax＋b≥c ax＋b≤－c【做一做2－1】A∵由p：|x＋1|≤4，得－4≤x＋1≤4,即－5≤x≤3，又q：2＜x＜3，∴p为x＞3或x ＜－5，q为x≥3或x≤2。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一1不等式的基本性质同步配套教学案新人教A版选修4_5
——教学资料参考参考范本——高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一1不等式的基本性质同步配套教学案新人教A版选修4_5______年______月______日____________________部门对应学生用书P1 1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0，那么＞(n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c>b ＋d ，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd ，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n 取正奇数时可放宽条件，a>b ⇒an>bn(n ＝2k ＋1，k∈N)，a>b ⇒>(n ＝2k ＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a ＞b ，ab ＞0⇒＜，而反之不成立．对应学生用书P1实数大小的比较[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝＋，n ＝，试比较m 和n 的大小．[思路点拨] 两式作差――→变形转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小[解] m－n＝＋－＝－＝＝，∵x，y均为正数，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n.(当x＝y时，等号成立)．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3)＝a3(a－b)＋b3(b－a)＝(a－b)(a3－b3)＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2≥0(当且仅当a＝b时，取“＝”号)所以a4＋b4≥a3b＋ab3.2．在数轴的正半轴上，A点对应的实数为，B点对应的实数为1，试判别A点在B点的左边，还是在B点的右边？解：因为－1＝≤0，所以≤1.当且仅当a＝±时取“＝”，所以当a≠±时，A点在B点左边，当a＝±时，A点与B点重合．不等式的证明[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：>.[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：－＝＝，∵a>b>0，c<d<0， ∴b －a<0，c －d<0. ∴b －a ＋c －d<0.又∵a>0，c<0，∴a－c>0. 同理b －d>0， ∴(a －c)(b －d)>0. ∵e<0，∴>0.即>. 法二：⇒⎭⎬⎫a－c>b－d>0⇒1a－c <1b－d e<0⇒＞.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．判断下列命题的真假，并简述理由．(1)若a>b，c>d，则ac>bd；(2)若a>b>0，c>d>0，则>；(3)若a>b，c<d，则a－c>b－d；(4)若a>b，则an＞bn，>(n∈N且n≥2)．解：(1)取a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，即3>2，－2>－3.此时ac＝bd＝－6.因此(1)为假命题．(2)因同向不等式不能相除，取a＝6，b＝4，c＝3，d＝2，此时＝＝2.因此(2)为假命题．(3)∵c<d，∴－c>－d，因此(3)为真命题．(4)当a>b>0时，才能成立，取a＝－2，b＝－3，当n为偶数时不成立，因此(4)为假命题．4．已知a，b，x，y都是正数，且>，x>y，求证：>.证明：因为a，b，x，y都是正数，且>.x>y，所以>，所以<.故＋1<＋1，即<.所以>.利用不等式的性质求范围[例3] (1)已知：－≤α<β≤，求α－β的范围．(2)已知：－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的范围．[思路点拨] 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质．[解] (1)∵－≤α<β≤，∴－≤α＜，－≤－β＜.且α＜β.∴－π≤α－β＜π且α－β＜0.∴－π≤α－β<0.即α－β的范围为[－π，0)．(2)设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b.解得λ1＝，λ2＝－.∴－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－.∴－≤a＋3b≤1.即a＋3b的范围为.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．若8＜x＜10,2＜y＜4，则的取值范围是________．解析：∵2＜y＜4，∴＜＜.又8＜x＜10，∴2＜＜5.答案：(2,5)6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．解：设2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，∴⇒⎩⎪⎨⎪⎧m＝12，n＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12≤12α＋β－3≤32α－β32， ⇒－≤2α－β≤.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12对应学生用书P3 1．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x<y<0，则|x|与|y|对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：∵x<y<0，∴|x|>|y|>0.故P 在Q 的右边． 答案：B2．下列命题中不正确的是( )A．若>，则a>bB．若a>b，c>d，则a－d>b－cC．若a>b>0，c>d>0，则>bcD．若a>b>0，ac>bd，则c>d解析：当c>0，d>0时，才有a>b>0，ac>bd⇒c>d.答案：D3．已知a>b>c，则下列不等式正确的是( )A．ac>bc B．ac2>bc2C．b(a－b)>c(a－b) D．|ac|>|bc|解析：a>b>c⇒a－b>0⇒(a－b)b>(a－b)c.答案：C4．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若＜＜，则( )A．c＜a＜b B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．c＜b＜a解析：由＜＜，可得＋1＜＋1＜＋1，即＜＜，又a，b，c∈(0，＋∞)，所以a＋b＞b＋c＞c＋a.由a＋b＞b＋c可得a＞c；由b＋c＞c ＋a可得b＞a，于是有c＜a＜b.答案：A5．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．解析：∵a－＝＜0，∴a＜.又a－a2＝a(1－a)＞0，∴a＞a2.∴a2＜a＜.答案：a2＜a ＜1a6．给出四个条件：①b>0>a ，②0>a>b ，③a>0>b ，④a>b>0. 能得出＜成立的有________．解析：由<，得－<0，<0，故①②④可推得<成立． 答案：①②④7．设x ＝a2b2＋5，y ＝2ab －a2－4a ，若x>y ，则实数a ，b 应满足的条件为________．解析：∵x>y，∴x －y ＝a2b2＋5－2ab ＋a2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab≠1或a≠－2. 答案：ab≠1或a≠－28．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b. 证明：∵＋－a －b ＝(a －b)⎝⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝，(a －b)2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b>0，ab>0. ∴≥0.∴＋≥a ＋b.9．若f(x)＝ax2＋bx ，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解：∵f(－1)＝a －b ，f(1)＝a ＋b ，f(－2)＝4a －2b ＝Af(－1)＋Bf(1)，则⇒⎩⎨⎧ A＝3，B＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．∵2≤f(1)≤4,1≤f(－1)≤2，∴3≤3f(－1)≤6，∴5≤f(1)＋3f(－1)≤10，∴5≤f(－2)≤10.10．已知a>0，a≠1.(1)比较下列各组大小．①a2＋1与a ＋a ；②a3＋1与a2＋a ；③a5＋1与a3＋a2.(2)探讨在m ，n∈N＋条件下，am ＋n ＋1与am ＋an 的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a>0，a≠1，∴①a2＋1－(a ＋a)＝a2＋1－2a＝(a －1)2>0.∴a2＋1>a ＋a.②a3＋1－(a2＋a)＝a2(a －1)－(a －1)＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a3＋1>a2＋a ，③a5＋1－(a3＋a2)＝a3(a2－1)－(a2－1)＝(a2－1)(a3－1)．当a>1时，a3>1，a2>1，∴(a2－1)(a3－1)>0.当0<a<1时，0<a3<1,0<a2<1，∴(a2－1)(a3－1)>0.即a5＋1>a3＋a2.(2)根据(1)可探讨，得am＋n＋1＞am＋an.(证明如下) am＋n＋1－(am＋an)＝am(an－1)＋(1－an)＝(am－1)(an－1)．当a>1时，am>1，an>1，∴(am－1)(an－1)>0.当0<a<1时，0<am<1,0<an<1，∴(am－1)(an－1)>0.综上(am－1)(an－1)>0，即am＋n＋1>am＋an.。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学
第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学习目标 1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ； 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N ，n ≥2)． (6)开方：如果a ＞b ＞0n a ＞nb n ∈N ，n ≥2)． 3．基本不等式(1)定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． (2)定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)．(3)引理：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． (4)定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)．(5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立；(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求． 4．绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法(1)根据绝对值的定义．(2)分区间讨论(零点分段法)．(3)图象法．5．绝对值三角不等式(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离．(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).类型一不等式的基本性质的应用例1 “a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d. 反思与感悟利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．跟踪训练1 如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )A．a2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2答案 B解析由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.类型二 基本不等式及其应用命题角度1 用基本不等式证明不等式 例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a －b )＋(b －c )＋(c －d )] ≥331a －b ·1b －c ·1c －d·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟 不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式． 跟踪训练2 设a ，b ，c 均为正数，证明：(ab ＋a ＋b ＋1)(ab ＋ac ＋bc ＋c 2)≥16abc . 证明 (ab ＋a ＋b ＋1)·(ab ＋ac ＋bc ＋c 2) ＝(b ＋1)(a ＋1)(b ＋c )(a ＋c ) ≥2b ·2a ·2bc ·2ac ＝16abc ， ∴所证不等式成立．命题角度2 求最大、最小值例3 若x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2xsin2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x ＝cos x sin x ＋4sin xcos x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0.故f (x )＝cos x sin x ＋4sin xcos x ≥2cos x sin x ·4sin xcos x＝4，当且仅当cos x ＝2sin x ＞0时，等号成立．故选C.类型三 含绝对值的不等式的解法 例4 解下列关于x 的不等式． (1)|x ＋1|＞|x －3|； (2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x . 解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}． 方法二 分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅； 当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3， 即x ＞1，∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3. ∴原不等式的解集为{x |x ＞1}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－52.②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ， 解得x ＜－73，∴原不等式无解．综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－35. 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|，得2≥4，无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型四 恒成立问题例5 设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a . (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x |－1＝4，∴f (x )min ＝4.(2)f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4.当a ＜0时，上式成立； 当a ＞0时，a ＋4a≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法．跟踪训练5 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2， ∵f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意． 又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，∴a ＝2.(2)令h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，∴h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h (x )|≤1，∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则a lg c ＞b lg c ；②若a ＞b ，c ＞0，则a lg c ＞b lg c ；③若a ＞b ，则a ·2c＞b ·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞cb. 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c＞0；④正确，由a ＜b ＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞cb.2．设6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．9＜c ＜30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15＜c ＜30答案 A解析 因为a 2≤b ≤2a ，所以3a2≤a ＋b ≤3a .又因为6＜a ＜10，所以3a2＞9,3a ＜30.所以9＜3a2≤a ＋b ≤3a ＜30，即9＜c ＜30.3．不等式4＜|3x －2|＜8的解集为_______________________________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103 解析 由4＜|3x －2|＜8，得⎩⎪⎨⎪⎧|3x －2|＞4，|3x －2|＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.∴－2＜x ＜－23或2＜x ＜103.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜－23或2＜x ＜103. 4．解不等式3≤|x －2|＜4.解 方法一 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥3， ①|x －2|＜4. ②由①得x －2≤－3或x －2≥3， ∴x ≤－1或x ≥5. 由②得－4＜x －2＜4， ∴－2＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．方法二 3≤|x －2|＜4⇔3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3⇔5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}．1．本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法． 2．重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＞2b B ．－b a＞－1 C ．2a ＞2bD ．lg(a －b )＞1答案 C解析 ∵y ＝2x 是增函数，又a ＞b ，∴2a ＞2b. 2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的为( ) ①ab ＞2aba ＋b； ②a ＞|a －b |－b ； ③a 2＋b 2＞4ab －3b 2； ④ab ＋2ab＞2.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”； ②恒成立，因为a ，b 均为正数； ④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2.3．若a ＞b ，b ＞0，则下列与－b ＜1x＜a 等价的是( )A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b或x ＞1a答案 D解析 －b ＜1x ＜a ，当x ＜0时，－bx ＞1＞ax ，解得x ＜－1b；当x ＞0时，－bx ＜1＜ax ，解得x ＞1a，故选D.4．不等式|x ＋3|－|x －3|＞3的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32＜x ≤3 C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3＜x ≤0}答案 A解析 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－(x ＋3)＋(x －3)＞3，无解；②由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x ＜3，x ＋3＋x －3＞3，得32＜x ＜3； ③由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋3－(x －3)＞3，得x ≥3.综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32. 5．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 ∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4， ∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件成立；对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立． 二、填空题 6．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 令f (x )＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3， ∵x >0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤12＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即f (x )的最大值为15. 若使不等式恒成立，只需a ≥15即可． 7．已知不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x ||≤|x ＋2－x |＝2，∴2≥|x ＋2|－|x |≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x |≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2.8．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案 2解析 因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy. 又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立． 9．不等式14(3|x |－1)≤12|x |＋3的解集为________． 答案 {x |－13≤x ≤13}解析 当x ＜0时，不等式为14(－3x －1)≤－12x ＋3， 解得－13≤x ＜0，当x ≥0时，不等式为14(3x －1)≤12x ＋3， 解得0≤x ≤13，∴不等式的解集为{x |－13≤x ≤13}．10．若f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|且f (x )≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 ∵f (x )＝2x 是增函数，∴f (x )≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32，①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f (x )＝|x －a |，若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________．答案 2解析 由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝|x －3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a ， 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a (其中a ＞0)．(1)当a ＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a 的取值范围．解 (1)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当a ＝4时，f (x )≤2，当x ＜－12时，f (x )＝－x －2≤2，得－4≤x ＜－12； 当－12≤x ≤1时，f (x )＝3x ≤2，得－12≤x ≤23； 当x ＞1时，f (x )＝x ＋2≤2，此时x 不存在．所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －4≤x ≤23.(2)设f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2，x ＜－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x ＞1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32， 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24， 即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞. 15．已知不等式|2x －3|＜x 与不等式x 2－mx ＋n ＜0的解集相同．(1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a ＋b ＋c 的最小值． 解 (1)|2x －3|＜x ，即－x ＜2x －3＜x ，解得1＜x ＜3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝3.∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2.∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ， ∴a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1. ∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＋2≥3(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)， ∴a ＋b ＋c 的最小值是 3.。
高二下学期数学人教A版选修4-5第一讲含绝对值不等式的解法课件
0
-1 0
34
原不等式的解集是 {x | 1 x 0，或3 x 4}.
解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2：3 |3 2x | 5 3 | 2x 3 | 5
3 2x 3 5，或 5 2x 3 3
3 x 4，或 1 x 0 .
原不等式的解集是 {x | 1 x 0，或3 x 4}.
解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5
取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解： 由绝对值的意义，原不等式转化为： -(6-x)<5x-6<(6-x)
解(Ⅰ)得：0<x<2;
综合得0<x<2
练习 (1) 3x 1 x 2 ;
{x | 1 x 3}
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是 | 3x-1 | >2如何解？
题型一:研究|ax+b|<(>)c型不等式 在 这 里 ， 我 们 只 要 把 ax+b 看 作 是
整体就可以了，此时可以得到：
| ax b | c c ax b c | ax b | c ax b c 或 ax b c
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.解题总结：1、采 Nhomakorabea了整体换元。
2、归纳型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a(a>0) 不等式的解法。
| f(x)|<a | f(x)|>a
-a<f(x)<a f(x)<-a或f(x)>a
变式例题：型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中
2020版人教A版数学选修4-5同步配套___第一讲 不等式和绝对值不1.1.1
与
������-������ ������+������
的大小.
解:
������ 3 -������ 3 ������ 3 +������ 3
−
������-������ ������ +������
=(a-b)
������
2+������������ +������2 ������3+������ 3
剖析：(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另
一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如a≤b,b<c⇒a<c.(2)在乘
法法则中,要特别注意乘数c,例如,当c≠0时,有a>b⇒ac2>bc2;若无
c≠0这个条件,则a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,取
“=”).(3)a>b>0⇒an>bn>0成立的条件是“n为大于0的数”,如果去掉
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
题型四
易错辨析
易错点 同向不等式相加时,忽视前提条件致错
【例 4】
已知−
π2≤α<β≤π2
,
求
������+������ 2
,
������-������ 2
的取值范围.
错解：∵−
π2≤α<β≤π2,∴−
π 4
≤
������ 2
≤
π 4
,
−
π 4
≤
������ 2
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
123
3.作差比较法
(1)理论依据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
人教版高中数学选修4-5《绝对值不等式的解法》教案
《绝对值不等式的解法（一）》教学设计课题绝对值不等式解法（一）课型新授课教者课时1课时教学目标知识与技能：（1）理解绝对值的几何意义.（2）掌握cbaxcbax≥+≤+,型不等式的解法.过程与方法：通过绝对值的几何意义来理解绝对值不等式的解法，体会数形结合的思想方法和分类讨论的思想方法。
培养学生观察、分析、类比、概括的能力.情感态度与价值观：激发学生学习兴趣，鼓励学生大胆探索，使学生形成良好的个性品质和学习习惯。
教材分析解绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解，而去绝对值的方法主要有绝对值几何意义观察、分类讨论法、平方法、图象法。
本节主要学习利用绝对值几何意义观察的方法，即运用绝对值不等式的几何意义及数形结合、整体代换等思想来去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式求解。
学情分析学生已经具备一定的不等式知识基础，之前学习的不等式的性质与不等式组的解法为本节学习做了铺垫。
在能力方面已经初步具备了数形结合思想，分类讨论思想以及化归等数学思想，通过教师的引导能够探究得出绝对值不等式的解法，能够发现从特殊到一般的规律。
重点难点重点：型不等式的解法和axax><难点: 去掉绝对值符号的等价转化教学方法启发引导，合作探究，小组讨论教具多媒体环节教学过程师生活动设计意图引入制造一个模具，长度设计尺寸为16毫米，上下偏差不超过0.01毫米，设实际长度是x毫米，那么x在什么范围时，模具长度合格？引出绝对值不等式01.016≤-x教师提出问题，学生回答明确研究绝对值不等式的必要性复习引入1.绝对值的定义：⎩⎨⎧<-≥=,,xxxxx2.绝对值不等式的几何意义：举例：|-1|,|1|教师引导，学生思考回答问题以旧引新，启发学生发现不等式的多种解法新知探究新知探究探究1.不等式1<x的解集方法一：利用绝对值的几何意义观察：不等式1<x的解集表示到原点的距离小于1的点的集合所以，不等式1<x的解集为{}11<<-xx方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，需要分类讨论①当0≥x时，原不等式可化为1<x10<≤∴x②当0<x时，原不等式可化为1<-x，即1->x-1<<∴x综合①②得，原不等式的解集为{}11<<-xx方法三：两边同时平方去掉绝对值符号对原不等式两边平方得12<x解得11-<<x所以，不等式1<x的解集为{}11<<-xx方法四：利用函数图象观察从函数观点，不等式1<x的解集表示函数xy=的图象位于函数1=y的图象下方的x的取值范围。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案含解析新人教A版选修4_5
——教学资料参考参考范本——高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案含解析新人教A版选修4_5______年______月______日____________________部门1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c>0)型的不等式的解法解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求解．(1)|5x －2|≥8⇔5x －2≥8或5x －2≤－8⇔x≥2或x≤－， ∴原不等式的解集为.(2)原不等式价于⎩⎨⎧|x－2|≥2， ①|x－2|≤4. ②由①得x －2≤－2，或x －2≥2，∴x≤0或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.∴原不等式的解集为{x|－2≤x ≤0或4≤x ≤6}．|ax ＋b|≥c 和|ax ＋b|≤c 型不等式的解法：①当c>0时，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b|≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c.②当c ＝0时，|ax ＋b|≥c 的解集为R ，|ax ＋b|<c 的解集为∅. ③当c<0时，|ax ＋b|≥c 的解集为R ，|ax ＋b|≤c 的解集为∅.1．解下列不等式：(1)|3－2x|<9；(2)|x －x2－2|>x2－3x －4；(3)|x2－3x －4|>x ＋1.解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.∴－9<2x －3<9. 即－6<2x<12.∴－3<x<6.∴原不等式的解集为{x|－3<x<6}． (2)∵|x－x2－2|＝|x2－x ＋2|， 而x2－x ＋2＝2＋>0，∴|x －x2－2|＝|x2－x ＋2|＝x2－x ＋2.故原不等式等价于x2－x ＋2>x2－3x －4⇔x>－3.∴原不等式的解集为{x|x>－3}．(3)不等式可转化为x2－3x－4>x＋1或x2－3x－4<－x－1，∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.解得x>5或x<－1或－1<x<3，∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．2．已知常数a满足－1＜a＜1，解关于x的不等式：ax＋|x＋1|≤1.解：若x≥－1，则ax＋x＋1≤1，即(a＋1)x≤0.因为－1＜a＜1，所以x≤0.又x≥－1，所以－1≤x≤0.若x＜－1，则ax－x－1≤1，即(a－1)x≤2.因为－1＜a＜1，所以x≥.因为－1＜a＜1，所以－(－1)＝＜0.所以≤x＜－1.综上所述，≤x≤0.故不等式的解集为.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法解不等式|x－3|－|x＋1|<1.解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图象分析求解．法一：在数轴上－1,3，x对应的点分别为A，C，P，而B点对应的实数为，B点到C点的距离与到A点的距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P 在射线Bx 上(不含B 点)时不等式成立，故不等式的解集为.法二：原不等式⇔①⎩⎨⎧x<－1，或②⎩⎨⎧ －1≤x<3， 或③⎩⎨⎧x≥3，①的解集为∅，②的解集为， ③的解集为{x|x ≥3}．综上所述，原不等式的解集为.法三：将原不等式转化为|x －3|－|x ＋1|－1<0， 构造函数y ＝|x －3|－|x ＋1|－1，即y ＝x≤－1，－1<x<3，x≥3.作出函数的图象(如下图所示)，它是分段函数，函数与x 轴的交点是，由图象可知， 当x>时，有y<0，即|x －3|－|x ＋1|－1<0， 所以原不等式的解集是.|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．3．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解：①当x≤－时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－(3x＋2)≥8⇔－5x≥9⇔x≤－，∴x≤－；②当－<x<时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x＋3≥8⇔x≥5，∴x∈∅；③当x≥时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇔x≥，∴x≥.∴原不等式的解集为∪.4．设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．解：(1)证明：由a＞0，得f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)f(3)＝＋|3－a|.当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5，得3＜a＜.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5，得＜a≤3.综上所述，a的取值范围是.含绝对值不等式的恒成立问题已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的取值范围．解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m 的取值范围．法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.又(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为．6．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m时，分别求出m的取值范围．解：|x ＋2|＋|x ＋3|≥|(x＋2)－(x ＋3)|＝1，即|x ＋2|＋|x ＋3|≥1.(1)若不等式有解，m 为任何实数均可，即m∈R； (2)若不等式解集为R ，即m∈(－∞，1)； (3)若不等式解集为∅，这样的m 不存在，即m∈∅.课时跟踪检测(五)1．不等式|x ＋1|>3的解集是( ) A ．{x|x<－4或x>2} B ．{x|－4<x<2} C ．{x|x<－4或x≥2}D ．{x|－4≤x<2}解析：选A |x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x<－4或x>2.2．满足不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2)B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72解析：选C |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．3．不等式1≤|2x－1|<2的解集为( )A.∪B.∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32C.∪D.∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32解析：选D 由1≤|2x－1|<2，得1≤2x－1<2或－2<2x －1≤－1，因此－<x≤0或1≤x<.4．若关于x的不等式|x－1|＋|x＋m|＞3的解集为R，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，－4)∪(2，＋∞) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞)C．(－4,2) D．解析：选A 由题意知，不等式|x－1|＋|x＋m|＞3恒成立，即函数f(x)＝|x－1|＋|x＋m|的最小值大于3，根据绝对值不等式的性质可得|x－1|＋|x＋m|≥|(x－1)－(x＋m)|＝|m＋1|，故只要满足|m＋1|＞3即可，所以m＋1＞3或m＋1＜－3，解得m＞2或m＜－4，故实数m的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方，得(x＋2)2≥x2，∴x2＋4x＋4≥x2，即x≥－1，∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．答案：{x|x≥－1}6．不等式|2x－1|－x<1的解集是__________．解析：原不等式等价于|2x－1|<x＋1⇔－x－1<2x－1<x＋1⇔⇔0<x<2.答案：{x|0<x<2}7．已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－|a2－2a|，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围为________．解析：因为|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－(x－2)|＝3，所以f(x)的最小值为3－|a2－2a|.由题意，得|a2－2a|＜3，解得－1<a<3.答案：(－1,3)8．解不等式：|x2－2x＋3|<|3x－1|.解：原不等式⇔(x2－2x＋3)2<(3x－1)2⇔<0⇔(x2＋x＋2)(x2－5x＋4)<0⇔x2－5x＋4<0(因为x2＋x＋2恒大于0)⇔1<x<4.所以原不等式的解集是{x|1<x<4}．9．解关于x的不等式|2x－1|<2m－1(m∈R)．解：若2m－1<0，即m≤，则|2x－1|<2m－1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m－1>0，即m>，则－(2m－1)<2x－1<2m－1，所以1－m<x<m.综上所述：当m≤时，原不等式的解集为∅；当m>时，原不等式的解集为{x|1－m<x<m}．10．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x，x＜12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y ＜0， 所以原不等式的解集是{x|0＜x ＜2}． (2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3， 所以x≥a－2对x∈都成立． 故－≥a－2，即a≤. 从而a 的取值范围是.本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力．解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．真题体验1．(湖南高考)若实数a ，b 满足＋＝，则ab 的最小值为( ) A. B ．2 C ．2D ．4解析：选C 由＋＝，知a ＞0，b ＞0， 所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a ＝，b ＝2时取“＝”，所以ab 的最小值为2. 2．(重庆高考)设a ，b>0，a ＋b ＝5，则＋的最大值为________． 解析：令t ＝＋，则t2＝a ＋1＋b ＋3＋2＝9＋2≤9＋a ＋1＋b ＋3＝13＋a ＋b ＝13＋5＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时取等号，此时a ＝，b ＝. ∴tmax ＝＝3. 答案：3 23．(重庆高考)若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，则实数a ＝________.解析：由于f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|，当a>－1时，f(x)＝⎩⎨⎧作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，即a ＋1＝5，∴a＝4.同理，当a≤－1时，－a－1＝5，∴a＝－6.答案：－6或44.(全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)由题意得f(x)＝错误!故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，f(x)<－1的解集为.所以|f(x)|>1的解集为.5．(江苏高考)设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.证明：因为|x－1|＜，|y－2|＜，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.6．(全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，即＋≥.又min＝，所以≥，解得a≥2.所以a的取值范围是“a＋c>b＋d”是“a>b 且c>d”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件易得a>b且c>d时必有a＋c>b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a>b且c>d.A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种类型：①和为定值时，积有最大值；②积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．已知x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．由x－2y＋3z＝0，得y＝，则y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时，等号成立．3设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得＋＋≥3.即＋＋≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．所以＋＋＋abc≥＋abc，而＋abc≥2＝2.所以＋＋＋abc≥2，当且仅当abc＝时，等号成立.含绝对值的不等式的解法1.公式法|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)．2．平方法|f(x)|>|g(x)|⇔2>2.3．零点分段法含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．解下列关于x的不等式：(1)|x＋1|>|x－3|；(2)|x－2|－|2x＋5|>2x.(1)法一：|x＋1|>|x－3|，两边平方得(x＋1)2>(x－3)2，∴8x>8.∴x>1.∴原不等式的解集为{x|x>1}．法二：分段讨论：当x≤－1时，有－x－1>－x＋3，此时x∈∅；当－1<x≤3时，有x＋1>－x＋3，即x>1，此时1<x≤3；当x>3时，有x＋1>x－3成立，∴x>3.∴原不等式的解集为{x|x>1}．(2)分段讨论：①当x<－时，原不等式变形为2－x＋2x＋5>2x，解得x<7，∴原不等式的解集为.②当－≤x≤2时，原不等式变形为2－x－2x－5>2x，解得x<－.∴原不等式的解集为.③当x>2时，原不等式变形为x－2－2x－5>2x，解得x<－，∴原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为.不等式的恒成立问题对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法如下：(1)分离参数法运用“f(x)≤a ⇔f(x)max≤a，f(x)≥a ⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．(2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简便的解法．(3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题．设有关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)>a. (1)当a ＝1时， 解此不等式．(2)当a 为何值时，此不等式的解集是R? (1)当a ＝1时， lg(|x ＋3|＋|x －7|)>1， ⇔|x ＋3|＋|x －7|>10，⇔或⎩⎨⎧ －3<x<7，10>10或⎩⎨⎧x≤－3，4－2x>10，⇔x>7或x<－3.∴不等式的解集为{x|x<－3或x>7}． (2)设f(x)＝|x ＋3|＋|x －7|， 则有f(x)≥|(x＋3)－(x －7)|＝10， 当且仅当(x ＋3)(x －7)≤0，即－3≤x≤7时，f(x)取得最小值10.∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥1.要使lg(|x＋3|＋|x－7|)>a的解集为R，只要a<1.。
人教版数学高二A版选修4-5学案 绝对值不等式的解法导学案
1.2.2 绝对值不等式的解法学习目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c ；|ax ＋b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≤c.3．能利用绝对值不等式解决实际问题． 一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究探究1．|x |以及|x －a |±|x －b |表示的几何意义是什么？探究2．如何解|x －a |＜|x －b |、|x －a |＞|x －b |(a ≠b )型的不等式的解集？探究3 怎样解|x －a |＋|x －b |≤c 和|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式？【例1】 解下列不等式： (1)|x －1|≤2； (2)|2x －1|<2－3x ； (3)3≤|x －2|<4； (4)|x ＋2|>|x －1|； (5)⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x .【变式训练1】解下列不等式：(1)|3－2x|－4≥0；(2)2<|3x－1|<3；(3)|x2－1|>3；(4)(1＋x)(1－|x|)>0；(5)|2x－1|<x.【例2】解不等式|x＋3|＋|x－3|>8.【变式训练2】解不等式|3x－2|＋|x－1|>3.【例3】设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．【变式训练3】解不等式|2x＋3|<a＋1(a∈R)．参考答案探究1【提示】 |x |的几何意义是数轴上表示数x 的点到原点O 的距离；|x －a |±|x －b |的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数a ，b 的点的距离之和(差)． 探究2【提示】 可通过两边平方去绝对值符号的方法求解． 探究3【提示】 求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解．只要找到使|x －a |＋|x －b |＝c 成立的x 值，依据“大于取两边，小于取中间”的法则写出不等式的解集即可．(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号，以a ，b 为分界点，将实数集分为三个区间，在每个区间上x －a ，x －b 的符号都是确定的，从而去掉绝对值符号．(3)(图象法)联系函数图象，通过分析函数值的取值范围得到不等式的解集． 【例1】【解】 (1)∵|x －1|≤2⇔－2≤x －1≤2⇔－1≤x ≤3， ∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)原不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<2－3x ，2x －1>3x －2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <35，x <1⇒x <35.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <35.(3)3≤|x －2|<4⇔3≤x －2<4或－4<x －2≤－3. 即5≤x <6或－2<x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2<x ≤－1或5≤x <6}．(4)|x ＋2|>|x －1|⇔(x ＋2)2>(x －1)2⇔x 2＋4x ＋4>x 2－2x ＋1⇔6x >－3，即x >－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－12.(5)方法1：分类讨论求解． (ⅰ)当2x <0时，即x <0.∵⎪⎪⎪⎪x 2－12≥0对任意x ∈R 恒成立， ∴⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x 恒成立． ∴x <0是原不等式的解． (ⅱ)当2x ＝0时，即x ＝0. ∵⎪⎪⎪⎪x 2－12＝⎪⎪⎪⎪0－12＝12>0， ∴x ＝0是原不等式的解． (ⅲ)当2x >0时，即x >0.⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x ⇔x 2－12>2x 或x 2－12<－2x .由x 2－12>2x ，得x <2－62或x >2＋62.由x 2－12<－2x ，得－2－62<x <－2＋62.综合x >0知，x >2＋62或0<x <－2＋62是原不等式的解．综上所述，原不等式的解集是{x |x <0}∪{x |x ＝0}∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2＋62∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <－2＋62， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1＋62或x >1＋62. 方法2：直接去绝对值求解．⎪⎪⎪⎪x 2－12>2x ⇔x 2－12>2x 或x 2－12<－2x ，即2x 2－4x －1>0或2x 2＋4x －1<0. 由2x 2－4x －1>0，得x <1－62或x >1＋62. 由2x 2＋4x －1<0，得－1－62<x <－1＋62. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1＋62或x >1＋62. 【变式训练1】解 (1)|3－2x |－4≥0⇔|2x －3|≥4⇔2x －3≥4或2x －3≤－4⇔2x ≥7或2x ≤－1⇔x ≥72或x ≤－12.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥72.(2)2<|3x －1|<3⇔2<3x －1<3或－3<3x －1<－2⇔3<3x <4或－2<3x <－1 ⇔1<x <43或－23<x <－13.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <－13或1<x <43.(3)|x 2－1|>3⇔x 2－1>3或x 2－1<－3 ⇔x 2>4或x 2<－2(无解) ⇔|x |>2⇔x >2或x <－2.所以原不等式的解集为{x |x <－2或x >2}．(4)(1＋x )(1－|x |)>0⇔0(1)(1)0x x x ≥⎧⎨+->⎩或0(1)(1)0x x x <⎧⎨++>⎩⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ≠－1⇔0≤x <1，或x <0，且x ≠－1⇔x <1，且x ≠－1.所以原不等式的解集为{x |x <1，且x ≠－1}．(5)|2x －1|<x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<x ，2x －1>－x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >13⇔13<x <1. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <1. 【例2】 解不等式|x ＋3|＋|x －3|>8. 【解】 解法一：当x ≤－3时， 原不等式可化为－(x ＋3)－x ＋3>8， 即x <－4，此时，不等式的解为x <－4. 当－3<x <3时，原不等式可化为 x ＋3－x ＋3>8，此时不等式无解． 当x ≥3时，原不等式可化为 x ＋3＋x －3>8，即x >4. 此时不等式的解为x >4.综上所述，原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．解法二：如下图，设数轴上与－3,3对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点之间的距离为6，因此区间[－3,3]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧存在一点A 1，使得A 1到A ，B 的距离之和为8，即|A 1A |＋|A 1B |＝8，设点A 1对应的数为x ，则有－3－x ＋3－x ＝8，∴x ＝－4.同理，设点B 的右侧存在一点B 1，使|B 1B |＋|B 1A |＝8，设点B 1对应的数为x ，则有x －(－3)＋x －3＝8，∴x ＝4.从数轴上可以看到，A 1与B 1之间的点到A 、B 的距离之和都小于8，而点A 1的左侧或点B 1的右侧的任何点到A ，B 的距离之和都大于8.所以不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 解法三：原不等式可转化为|x ＋3|＋|x －3|－8>0， 构造函数y ＝|x ＋3|＋|x －3|－8， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －8 x ≤－3，－2 －3<x <3，2x －8 x ≥3.作出函数的图象(如图)．函数的零点是－4,4.由图象可知，当x <－4或x >4时，y >0，即|x ＋3|＋|x －3|－8>0. 所以原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)． 【变式训练2】 解不等式|3x －2|＋|x －1|>3.解 (1)当x ≤23时，原不等式化为2－3x ＋1－x >3，即3－4x >3，∴x <0.∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤23，|3x －2|＋|x －1|>3的解集为{x |x <0}．(2)当23<x <1时，原不等式化为3x －2＋1－x >3，即2x >4，∴x >2.又∵23<x <1，∴x ∈∅.(3)当x ≥1时，原不等式化为3x －2＋x －1>3，即4x >6，∴x >32.∴不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，|3x －2|＋|x －1|>3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32.由(1)、(2)、(3)知，原不等式解集为{x |x <0或x >32}．【例3】 设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0， 将此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.【变式训练3】 解不等式|2x ＋3|<a ＋1(a ∈R)． 解 因为a ∈R ，故分以下两种情况讨论：(1)当a ＋1≤0，即a ≤－1时，原不等式无解，即不等式的解集为∅.(2)当a ＋1>0，即a >－1时，原不等式可变为－a －1<2x ＋3<a ＋1.所以－a ＋42<x <a －22.综上可知，当a >－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－a ＋42，a －22；当a ≤－1时，原不等式的解集为∅.。
人教A版高中数学选修4-5 不等式选讲1.2.2绝对值不等式的解法教案设计
绝对值不等式的解法2教案时间：1课时课型：讲授为主、辅以讨论、探究.学习目标：1. 学习第一类绝对值不等c b x a <+||及c b x a >+||的解法；2. 学习第二类绝对值不等c b x a x <+++||||的解法.重难点：1.重点：利用等价性解第一类不等式，利用分区间讨论的方法解第二类不等式. 再研究数形结合、函数、等价转化等方法.2.难点：绝对值从运算到几何解释再到绝对值不等式性质运用都有难点，运用上就有障碍. 准备从分类、数形结合、函数、等价转化等方面突破难点.（下面填空及练习，可事前在导学案上做，然后讲评.）教学过程：一、 复习绝对值不等式的性质、运算与几何解释（一）复习绝对值不等式的性质：1.|x |≤a ⇔-a ≤|x |≤a2.|x |≥a ⇔x ≥a 或x ≤-a3.|a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |（二）复习绝对值不等式的运算：1.⎩⎨⎧<≥==)0____()0____(|||-|x x x x ； 2.______||2=x ； 3.________||=ab ；4..____0}(||=≠b ba 等等. （三）复习几何解释1.|x |表示：在数轴上x 对应的点与原点的距离；2.||a x -表示：_________________________________________；3.)0(||≠-a b x a 表示：_________________________________________. 讨论去绝对值的方法与解上面不等式的关系(讨论后要有中心发言人)二、 去不等式里的绝对值，通常有1._______________；2._________________________________________________________.利用上面思考，填空回答：解c b ax <+||与c b ax >+||通常采用_____________的方法；解c b x a x <+++||||通常采用________________的方法.三、 利用绝对值不等式的性质及运算求解问题1.|x +2|>3; 问题2.|2x -1|<5.四、 利用数形结合、函数法等求解问题3.|x +1|+|x -3|<6（根据导学案做的情况，多人展示）五、 讨论下面等价关系的真实性，并证明. 如何利用它求解第二类不等式. 对于⎩⎨⎧≤≤⇔≤++c b c a c b a b a |||||2-||2|. 的真实性进行讨论直至证明. (讨论后要有中心发言人)问题4.求解：|2x -1|+|x +3|<5.（根据导学案做的情况，多人展示）六、 练习：求解：1.|3x +5|<7；2.|x -1|+|x +3|<6；3.|x -1|+|x +3|≥6；4.|x -3+|x -2|>3x -15.|x +3|-|x -2|>2（导学案中这个内容可适度少一些，以备做当堂训练后展示）七、 归结出上不等式的解法：1.|ax +b |<c ⇔-c <ax +b <c ；2.|ax +b |>c ⇔ax +b <-c 或ax +b >c ；3.|x +a |+|x +b |<c 主要解法有：（1）__________________；（2）___________________；（3）__________________；(4)_____________________. 等等.八、 拓展训练：已知函数.|1|2|1|)(a x x x f --++=（I ）若1=a ，求不等式2)(+>x x f 的解集；（II ）若不等式)2()(+≤x a x f 的解集为非空集合，求a 的取值范围.九、 课堂小结：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ （小结可以指定中心发言人）十、 作业布置：1. 求解：（1）7|32|<-x ；（2）3|12|≥+x ；（3）5|13||12|<-++x x .2. 设函数.|2||1|)(-+-=x x x f（I ）求证：1)(≥x f ；（II ）12)(22++=a a x f 成立，求x 的取值范围.。
含多个绝对值的不等式的解法(人教A版选修4-5)
小结2：函数图像法解题步骤
1.构造函数 2.分段讨论去掉绝对值符号，写成分段函数 3.画出函数图像 4.观察图像，结合函数零点及不等号写出解集
小结3：利用绝对值的几何意义，先找边界值，再结合 数轴观察求解
变 式 训 练
三、自主练习
1．解不等式|x－1|＋|x－2|>5.
解析：方法一 分类讨论|x－1|＝0.|x－2|＝0的根1,2 把数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定 义．代数式|x－1|＋|x－2|有不同的解析表达式，因而原不 等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．
(1)因为在x≤1的限制条件之下：
|x－1|＋|x－2|＝1－x＋2－x＝3－2x，所以当x≤1时，
|x－1|＋|x－2|>5⇔3－2x>5⇔2x<－2⇔x<－1.
变 式 训 练
x≤1， 因此不等式组 的解集为(－∞，－1)． |x－1|＋|x－2|>5
(2)因为在 1<x<2 的限制条件之下： |x－1|＋|x－2|＝x－1＋2－x＝1. 所以当 1<x<2 时．不等式|x－1|＋|x－2|>5 无解． 1<x<2， 因此不等式组 的解集为∅. |x－1|＋|x－2|>5 (3)由于在 x≥2 的限制条件之下： |x－1|＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3， 所以当 x≥2 时，|x－1|＋|x－2|>5⇔2x－3>5⇔ a 0 a 0 a a 0
• 3.解绝对值不等式的关键是 • 4.去绝对值的常用方法有
二、新课教学
例1 解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
小结1：零点分段讨论法的解题步骤 1.求零点，即求使各绝对值等于零的值，并按顺序标 在数轴上，划分区间 2.分区间讨论，去掉绝对值符号并解不等式（组）， 得到每一区间上的解集 3.求每一区间所得解集的并集，即为原不等式的解集
高中数学人教新课标A版选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二绝对值不等式
将│2x-1│≤3两边除以2，得
x1 3, 22
它的解集是数轴上到坐标为
1 2
的点
的距离不大于 3 的点集合.
2
探究
如何求解│x-a│+│x-b│≥c和 │x-a│+│x-b│ ≤c型不等式？
提示
思路一：对几何意义作分析； 思路二：把含绝对值的不等式转化 为不含绝对值的不等式； 思路三：从函数的观点处理。
如果当a,b是实数，则 a b a b ,
当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理1 （很重要）
探究
如果把定理1中的实数a,b分别换为向 量a,b能得出什么结果？你能解释它的几 何意义吗？
(1)当向量a,b不共线时，向量a+b,a,b构成 三角形.
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
可以得到 x x1 a和 x x1 a的解集。
例3 解不等式│2x-1│≤3
分析 可以把 (2x-1) 看成一个整体X， 即所解不等式就是 X 2.
解： 由 2 x 1 3得：-3 ≤2x-1 ≤3 解得-1≤x ≤2 因此，原不等式的解集 为｛x│-1≤x ≤2｝
思考
该题解的几何解释是什么？
解法二： 作函数y=x2-2x的图像. │x2-2x│<3 表示函数图像中在直线 y=-3 和直线 y=3 之间相应部分的自变量的集合.
解方程x2-2x=3得x1=-1,x2=3 即不等式的解集是(-1,3).
2.求函数y=│x-4│+ │x-6│的最小值.
解： y=│x-4│+ │x-6│ = │x-4│+ │6-x│
0 a b a+b
高中数学人教A版选修4-5配套课件：1-2-1《绝对值三角不等式》
与|x
2．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| ，当且仅 当 ab≥0 时，等号成立．
试一试：证明：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.
提示 |a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2 ⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2 ⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2 ⇔ab≤|ab|.
x 2 ③若|x|＜2，|y|＞3，则y＜ ； 3
|A|＋|B| 1 ④若 AB≠0，则 lg ≥ (lg |A|＋lg |B|)． 2 2 其中正确的命题有 A．4 个 C．2 个 B．3 个 D．1 个 ( )．
[思维启迪]
|x－a|＜m (1)利用绝对值三角不等式，推证 |y－a|＜m
题型三
绝对值三角不等式定理的应用
【例3】 (1)“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y， a，m∈R)的 A．充分非必要条件 ( )．
B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
(2)以下四个命题： ①若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；
证明 设 0≤x1<x2≤1， 1 1 ①若 x2－x1≤ ，则|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|≤ . 2 2 1 即|f(x2)－f(x1)|< . 2 1 ②若2<x2－x1≤1，则 |f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)＋f(0)－f(1)－f(x1)| ＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)| ≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|
所以|x＋y|＜|x－y|. 答案 A
2．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是 ( A．当a，b异号时，左边等号成立 B．当a，b同号时，右边等号成立 )．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二绝对值不等式1绝对值三角不等式考纲定位重难突破1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题.重点：绝对值的几何意义．难点：1.绝对值三角不等式及其几何意义．2.会用绝对值三角不等式的两个性质定理证明简单的含绝对值的不等式以及解决含绝对值的不等式的最值问题.授课提示：对应学生用书第8页[自主梳理]一、绝对值的几何意义1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．二、绝对值三角不等式1．如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a，b换成向量a，b，则它的几何意义是三角形两边之和大于第三边．三、三个实数的绝对值不等式如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．[双基自测]1．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b为实数，则有()A．ab<0B．ab>0C．ab≥0 D．以上都不对解析：若|a＋b|＝|a|＋|b|，则ab≥0，选C.答案：C2．若|x－a|<h，|y－a|<k，则下列不等式一定成立的是()A．|x－y|<2h B．|x－y|<2kC．|x－y|<h＋k D．|x－y|<|h－k|解析：|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |<h ＋k ，故选C. 答案：C3．函数y ＝|x －1|＋|x －5|的最小值为________，此时x 的取值范围是________． 解析：|x －1|＋|x －5|＝|x －1|＋|5－x | ≥|x －1＋5－x |＝4， 当且仅当(x －1)(5－x )≥0， 即1≤x ≤5时等号成立． 答案：4 [1,5]4．不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________．解析：|a ＋b ||a |－|b |≥1⇔|a ＋b |－(|a |－|b |)|a |－|b |≥0⇔(|a |－|b |)[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0.而|a ＋b |≥|a |－|b |， ∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0. ∴|a |－|b |>0，即|a |>|b |. 答案：|a |>|b |授课提示：对应学生用书第9页探究一 与绝对值不等式有关的判断[例1] 若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式： ①|x lgn n ＋1|＜5|lg n n ＋1|； ②|x |lg n n ＋1＜5lg n n ＋1；③x lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1|；④|x |lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1|.其中，能够成立的有________． [解析] ∵0＜nn ＋1＜1. ∴lgnn ＋1＜0. 由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，∴可以否定①②③， 而|x |lg nn ＋1＜0，故④成立．[答案] ④与绝对值不等式相关的判断方法与技巧(1)判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了．(2)如果对不等式不能直接判断，往往需要对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断．1．|x －A |<ε2，|y －A |<ε2是|x －y |<ε的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若|x －A |<ε2，|y －A |<ε2，则有|x －y |＝|x －A ＋A －y |＝|(x －A )＋(A －y )|≤|x －A |＋|y －A |<ε2＋ε2＝ε.∴|x －A |<ε2，|y －A |<ε2是|x －y |<ε成立的充分条件．反之，若|x －y |<ε，则可以取|x －A |<34ε，|y －A |<ε4使得条件|x －A |<ε2，|y －A |<ε2得不到满足．因此，我们有|x －A |<ε2，|y －A |<ε2是|x －y |<ε成立的充分不必要条件，故选择A.答案：A探究二 含绝对值不等式的证明[例2] 求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.[证明] 法一：①当|a |≤|b |时，由|a 2－b 2|2|a |≥0，|a |2－|b |2≤0，知不等式成立．②当|a |>|b |时，|a 2－b 2|2|a |－(|a |2－|b |2)＝|a |2－|b |22|a |－|a |－|b |2 ＝|a |－|b |2·(|a |＋|b ||a |－1)＝|a |－|b |2·|ba|≥0， 即|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.综合①②知不等式成立． 法二：①当|a |≤|b |时，由|a 2－b 2|2|a |≥0，|a |2－|b |2≤0，知不等式成立．②若|a |>|b |， 左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |，∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |. ∴左边≥|a |－|b |2＝右边．由①②知不等式成立．含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2．已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .证明：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )| ＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c |≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |. 因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3，所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s3＝s .探究三 利用绝对值不等式求最值[例3] (1)求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值； (2)求函数f (x )＝|x －1|－|x ＋1|的值域．[解析] 法一：(1)∵|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2， 当且仅当(1－x )(1＋x )≥0， 即－1≤x ≤1时取等号，∴当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2. (2)∵||x －1|－|x ＋1||≤|(x －1)－(x ＋1)|＝2， 当且仅当(x －1)(x ＋1)≥0，即x ≥1或x ≤－1时取等号，即－2≤|x －1|－|x ＋1|≤2，当x ≥1时函数取得最小值－2，当x ≤－1时，函数取得最大值2，当－1<x <1时，－2<|x －1|－|x ＋1|<2，故函数f (x )的值域为[－2,2]． 法二：(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ， (x <－1)，2， (－1≤x ≤1)，2x ， (x >1)，其图象如图所示．由图象可知，当－1≤x ≤1时，f (x )min ＝2. (2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， (x ≤－1)，－2x ， (－1<x ≤1)，－2， (x >1)，其图象如图所示：由图象可知，f (x )的值域为[－2,2]．对于含有两个以上绝对值的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题．利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和，以达到所需要的结果．3．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．解析：a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．应用绝对值三角不等式求参数的取值范围[典例]已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，则实数a的取值范围是________．[解析]只要|a－1|大于f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|的最小值，则f(x)<|a－1|的解集非空．而f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|＝|2x＋1|＋|3－2x|≥|(2x＋1)＋(3－2x)|＝4，由|a－1|>4，即a－1>4或a－1<－4，解得a>5或a<－3，故a∈(－∞，－3)∪(5，＋∞)．[答案](－∞，－3)∪(5，＋∞)[规律探究]求不等式方程有解或恒成立时参数的取值范围．其原理是：先将不等式中的参数分离到不等式的一边，f(x)<A在集合D上有解⇔f(x)min<A；f(x)<A在集合D上恒成立⇔f(x)max<A；f(x)>A在集合D上有解⇔f(x)max>A；f(x)>A在集合D上恒成立⇔f(x)min>A.然后通过解不等式求出参数的范围.[随堂训练]对应学生用书第10页1．若|a －c |<b ，则下列不等式不成立的是( ) A ．|a |<|b |＋|c | B ．|c |<|b |＋|a | C ．b >||c |－|a ||D ．b <|a |－|c |解析：∵|a |－|c |≤|a －c |<b ≤|b |， ∴|a |<|b |＋|c |，故A 成立． ∵|c |－|a |≤|c －a |＝|a －c |<b ≤|b |， ∴|c |<|b |＋|a |，故B 成立． ∵|a |－|c |≤|a －c |，|c |－|a |≤|c －a |， ∴||a |－|c ||≤|a －c |<b ，∴b >||c |－|a ||成立，从而C 成立，因此只能是D 不成立． 答案：D2．若1<1a <1b ，则下列结论中不正确的是( )A ．log a b >log b aB ．|log a b ＋log b a |>2C ．(log b a )2<1D ．|log a b |＋|log b a |>|log a b ＋log b a | 解析：由1<1a <1b ，得0<b <a <1，∴log a b >1,1>log b a >0， 由绝对值的有关性质可得 |log a b ＋log b a |＝|log a b |＋|log b a |. 答案：D3．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]。