2020-2021人教A版数学选修4-5学案-第一讲-二-绝对值不等式-1-绝对值三角不等式-含解析

二绝对值不等式1绝对值三角不等式

考纲定位重难突破

1.理解定理1及其几何说明，理解定理

2.

2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题.

重点：绝对值的几何意义．

难点：1.绝对值三角不等式及其几何意义．

2.会用绝对值三角不等式的两个性质定理证

明简单的含绝对值的不等式以及解决含绝对

值的不等式的最值问题.

授课提示：对应学生用书第8页

[自主梳理]

一、绝对值的几何意义

1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．

2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．

二、绝对值三角不等式

1．如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

2．如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a，b换成向量a，b，则它的几何意义是三角形两边之和大于第三边．

三、三个实数的绝对值不等式

如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

[双基自测]

1．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b为实数，则有()

A．ab<0B．ab>0

C．ab≥0 D．以上都不对

解析：若|a＋b|＝|a|＋|b|，则ab≥0，选C.

答案：C

2．若|x－a|

A．|x－y|<2h B．|x－y|<2k

C．|x－y|

解析：|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |

3．函数y ＝|x －1|＋|x －5|的最小值为________，此时x 的取值范围是________． 解析：|x －1|＋|x －5|＝|x －1|＋|5－x | ≥|x －1＋5－x |＝4， 当且仅当(x －1)(5－x )≥0， 即1≤x ≤5时等号成立． 答案：4 [1,5]

4．不等式|a ＋b |

|a |－|b |

≥1成立的充要条件是________．

解析：|a ＋b ||a |－|b |≥1⇔|a ＋b |－(|a |－|b |)

|a |－|b |≥0⇔(|a |－|b |)[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0.

而|a ＋b |≥|a |－|b |， ∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0. ∴|a |－|b |>0，即|a |>|b |. 答案：|a |>|b |

授课提示：对应学生用书第9页

探究一 与绝对值不等式有关的判断

[例1] 若x ＜5，n ∈N ，则下列不等式： ①|x lg

n n ＋1|＜5|lg n n ＋1

|； ②|x |lg n n ＋1＜5lg n n ＋1；

③x lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1|；

④|x |lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1

|.

其中，能够成立的有________． [解析] ∵0＜n

n ＋1

＜1. ∴lg

n

n ＋1

＜0. 由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系，

∴可以否定①②③， 而|x |lg n

n ＋1＜0，故④成立．

[答案] ④

与绝对值不等式相关的判断方法与技巧

(1)判断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了．

(2)如果对不等式不能直接判断，往往需要对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断．

1．|x －A |<ε2，|y －A |<ε

2是|x －y |<ε的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 解析：若|x －A |<ε2，|y －A |<ε

2，

则有|x －y |＝|x －A ＋A －y |

＝|(x －A )＋(A －y )|≤|x －A |＋|y －A |<ε2＋ε

2＝ε.

∴|x －A |<ε2，|y －A |<ε

2

是|x －y |<ε成立的充分条件．

反之，若|x －y |<ε，则可以取|x －A |<34ε，|y －A |<ε4使得条件|x －A |<ε2，|y －A |<ε

2得不到满足．

因此，我们有|x －A |<ε2，|y －A |<ε

2是|x －y |<ε成立的充分不必要条件，故选择A.

答案：A

探究二 含绝对值不等式的证明

[例2] 求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |

2

.

[证明] 法一：①当|a |≤|b |时，

由|a 2－b 2|2|a |≥0，|a |2－|b |2≤0，知不等式成立．

②当|a |>|b |时，

|a 2－b 2|2|a |－(|a |2－|b |2)＝|a |2－|b |22|a |－|a |－|b |2 ＝

|a |－|b |2·(|a |＋|b ||a |－1)＝|a |－|b |2·|b

a

|≥0， 即|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.

综合①②知不等式成立． 法二：①当|a |≤|b |时，

由|a 2－b 2|2|a |≥0，|a |2－|b |2≤0，知不等式成立．

②若|a |>|b |， 左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |

＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b |

|a ＋b |＋|a －b |

＝

1

1|a ＋b |＋

1|a －b |

，

∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴

1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |

. ∴左边≥|a |－|b |

2＝右边．

由①②知不等式成立．

含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．

2．已知|A －a |

3

.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|