考研高数总复习导数概念
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
导数知识点总结考研
导数知识点总结考研一、导数的定义导数是微积分学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在几何上，一个函数在某一点处的导数可以理解为这个函数在该点处的切线斜率。
在代数上，函数f(x)在点x=a处的导数可以用极限来表示，即f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a)) / (x - a)如果这个极限存在，那么函数f(x)在点x=a处是可导的，其导数即为f'(a)。
如果导数存在，那么函数在该点处是光滑的，即函数在该点处的变化率是连续的。
二、导数的计算1. 基本导数法则- 常数导数法则：如果f(x) = c，其中c为常数，那么f'(x) = 0。
- 幂函数导数法则：如果f(x) = x^n，其中n为自然数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
- 指数函数导数法则：如果f(x) = a^x，其中a为正数且不等于1，那么f'(x) = a^x * ln(a)。
- 对数函数导数法则：如果f(x) = log_a(x)，其中a为正数且不等于1，那么f'(x) = 1/(x *ln(a))。
2. 导数的四则运算- 和差法则：如果f(x) = g(x) + h(x) (或f(x) = g(x) - h(x))，那么f'(x) = g'(x) + h'(x) (或f'(x)= g'(x) - h'(x))。
- 积法则：如果f(x) = g(x) * h(x)，那么f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。
- 商法则：如果f(x) = g(x) / h(x)，那么f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / h(x)^2。
3. 链式法则如果f(x) = g(h(x))，那么f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)。
考研高数总复习隐函数导数
例6.求心形线 1 sin在点 处的法线方程
3
解.利用直角坐标与极坐标的关系，有：
x cos (1 sin ) cos
y
sin
(1
sin
)
sin
dy [(1 sin ) cos ]' sin 2 cos dx [(1 sin ) cos ]' cos 2 sin
将 代入以上各式。
y x2 y2 x
3 3 1.
(,) 22
所求切线方程为
y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点. 22
例3：求由下列方程所确定的函数的二阶导数
y 2x (x y) ln(x y)
解：关于自变量x求导 : y '- 2 (1 y ') ln(x y) (x y) 1 y ' x y
ln f ( x) v( x) ln u( x)
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
设 (cos y)x (sin x)y , 其中sin x 0, cos y 0 求y '
解：两边分别求对数：ln(cos y)x ln(sin x)y x ln(cos y) y ln(sin x)
分别求导：x sin y y ' ln(cos y) y 'ln(sin x) y cos x
cos y
sin x
得：y ' ln cos y y cot x x tan y ln sin x
考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第二章上课资料
第二章导数与微分第一节导数概念一、导数的定义 定义：若极限()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，此极限值称为函数()y f x =在点0x 处的导数。
记为： ()0f x '、0x x y ='、0x x dy dx =、()0x x df x dx = （或极限()()lim 000x x f x f x x x →--存在也可）()()lim lim 0000x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆单侧导数：左导数：()()lim 000x f x x f x x-∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x -→--存在，则称左导数存在，记为：()0f x -'。
右导数：()()lim 000x f x x f x x+∆→+∆-=∆()()lim 000x x f x f x x x +→--存在，则称右导数存在，记为：()0f x +'。
【例1】（89一）已知()32f '=，则【例2】（87二）设()f x 在x a =处可导，则（A ）()f a '. （B ）()2f a '.（C ）0. （D ）()2f a '.【例3】（89二）设()()()()12f x x x x x n =+++，则()0f '= .（C）可导，但导数不连续. （D）可导，但导数连续.处的（A）左、右导数都存在. （B）左导数存在，但右导数不存在.（C）左导数不存在，但右导数存在.（D）左、右导数都不存在.【例7】（96二）设函数()f x在区间(,)-δδ内有定是()f x的（A）间断点. （B）连续而不可导的点. （C）可导的点，且()00f'=.（D）可导的点，且()00f'≠.【例8】（90三）设函数()f x 对任意的x 均满足等式()()1f x af x +=，且有()0f b '=，其中a 、b 为非零常数，则（A ）()f x 在1x =处不可导.（B ）()f x 在1x =处可导，且()1f a '=.（C ）()f x 在1x =处可导，且()1f b '=.（D ）()f x 在1x =处可导，()1f ab '=.二、导数的几何意义和物理意义导数的几何意义： 切线的斜率为：()()tan lim 00x x f x f x k x x →-==-α， ()()00f x f x x x --导数的物理意义：某变量对时间t 的变化率，常见的有速度和加速度。
考研高等数学导数部分的重点
考研高等数学导数部分的重点考研高等数学导数部分的重点在考研的时候，高数中导数的出题比例较大，考生应着重。
店铺为大家精心准备了考研高等数学导数部分的要点，欢迎大家前来阅读。
考研高等数学导数部分的考点第一，理解并牢记导数定义。
导数定义是考研数学的出题点，大部分以选择题的形式出题，01年数一考一道选题，考查在一点处可导的充要条件，这个并不会直接教材上的导数充要条件，他是变换形式后的，这就需要们真正理解导数的定义，要记住几个关键点：1)在某点的领域范围内。
2)趋近于这一点时极限存在，极限存在就要保证左右极限都存在，这一点至关重要，也是01年数一考查的点，我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项。
3)导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告诉等于零，那极限表达式中就可以不出现，否就不能推出在这一点可导，请同学们记清楚了。
4)掌握导数定义的不同书写形式。
第二，导数定义相关计算。
这里有几种题型：1)已知某点处导数存在，计算极限，这需要掌握导数的广义化形式，还要注意是在这一点处导数存在的前提下，否则是不一定成立的。
第三，导数、可微与连续的关系。
函数在一点处可导与可微是等价的，可以推出在这一点处是连续的，反过来则是不成立的，相信这一点大家都很清楚，而我要提醒大家的是可导推连续的逆否命题：函数在一点处不连续，则在一点处不可导。
这也常常应用在做题中。
第四，导数的计算。
导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。
要能很好的掌握不同类型题，首先就需要我们把基本的导数计算弄明白：1)基本的求导公式。
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数这些基本的初等函数导数都是需要记住的，这也告诉我们在对函数变形到形式的时候就可以直接代公式，也为后面学习不定积分和定积分打基础。
2)求导法则。
求导法则这里无非是四则运算，复合函数求导和反函数求导，要求四则运算记住求导公式;复合函数要会写出它的`复合过程，按照复合函数的求导法则一次求导就可以了，也是通过这个复合函数求导法则，我们可求出很多函数的导数;反函数求导法则为我们开辟了一条新路，建立函数与其反函数之间的导数关系，从而也使我们得到反三角函数求导公式，这些公式都将要列为基本导数公式，也要很好的理解并掌握反函数的求导思路，在13年数二的考试中相应的考过，请同学们注意。
考研导数知识点总结
一、导数的定义与概念1.1 导数的定义在数学中，函数的导数是描述函数变化速率的概念。
给定函数y=f(x)，在点x处的导数可以用极限表示：\[ f'(x)=\lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{\Delta x} \]其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，也可以记作y'或dy/dx。
1.2 几何意义导数的几何意义是函数的切线斜率。
在函数图像上，给定点P(x, f(x))，函数在该点的切线斜率即为函数在该点的导数值。
1.3 导数的符号表示导数可以表示为函数y=f(x)关于自变量x的一阶偏导数：\[ f'(x)=\frac{{dy}}{{dx}} \]二、导数的计算方法2.1 导数的基本计算方法导数的基本计算方法包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数的导数、三角函数的导数、常见函数的和、积、商的导数等。
通过这些法则，可以求解各种函数的导数值。
2.2 链式法则对于复合函数，可以使用链式法则求导。
链式法则描述了复合函数求导的方法，对于函数y=f(g(x))，其导数可以表示为：\[ \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} \]其中，u=g(x)。
2.3 隐函数求导对于隐函数y=f(x)和g(x)=c，若y=f(g(x))，则可以使用隐函数求导的方法计算导数。
2.4 参数方程求导对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以使用参数方程求导的方法计算导数。
3.1 常数函数的导数对于常数函数y=c，其导数为0，即f'(x)=0。
3.2 幂函数的导数对于幂函数y=x^n，其中n为常数，其导数为f'(x)=nx^{n-1}。
3.3 指数函数和对数函数的导数指数函数y=a^x（a>0，且a≠1）和对数函数y=log_a x（a>0，且a≠1）的导数分别为f'(x)=a^x \cdot ln a和f'(x)=\frac{1}{x \cdot ln a}。
导数知识点归纳总结
导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。
在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。
这个值就是在点a处的导数。
它是一个数值，常常用f'(a)表示。
3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。
4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。
二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。
2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。
三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。
3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。
四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。
2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。
3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。
4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。
微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。
研究生数学导数知识点总结
研究生数学导数知识点总结1.导数的概念导数是微积分的基本概念之一，它描述了一个函数在某一点的变化率。
更具体的说，导数表示了函数在该点附近的局部变化情况，即函数的斜率或变化速率。
导数的定义是函数在某一点的极限，表示函数在该点的切线斜率。
2.导数的计算导数的计算方法有很多种，其中最基本的方法是使用极限的定义来求导。
对于一个函数y=f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，也可以写成dy/dx或者y'。
导数的计算方法包括基本的导数公式、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、高阶导数等。
3.导数的性质导数有很多重要的性质，其中包括导数的线性性质、导数的乘积法则、导数的商法则、导数的链式法则等。
这些性质对于导数的计算和应用非常重要，其中最重要的是链式法则，它描述了复合函数的导数计算方法。
4.导数的应用导数在数学和物理等领域有着广泛的应用，其中包括函数的极值问题、函数的图像研究、曲线的切线问题、函数的凹凸性分析、微分方程的求解等。
导数还在物理学中被用来描述物体的运动情况，如速度和加速度的概念。
5.高阶导数导数不仅仅限于一阶导数，还可以求得函数的高阶导数。
高阶导数描述了函数变化率的更加详细的信息，它包括二阶导数、三阶导数等。
高阶导数在函数的曲线研究和物理学中有着重要的应用。
6.反函数与反常导数反函数是一个很重要的概念，它指的是对于给定的函数f(x)，存在一个函数g(x)使得g(f(x))=x。
对于反函数的导数计算和性质研究有着很重要的意义。
反常导数是指在某些点上导数不存在或者无穷大的情况，这种情况的研究对于函数的极限与连续性有着很重要的关系。
7.导数的近似计算在实际应用中，导数的计算有时候比较困难，或者需要花费大量的计算时间。
因此，人们发明了一些近似计算导数的方法，其中最常见的是泰勒级数展开法和微分逼近法。
这些方法使得导数的计算更加方便和实用。
8.总结导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率，具有很多重要的应用。
导数的概念和定义高数
导数的概念和定义高数高等数学中，导数是一个重要的概念，用于描述函数的变化速率。
导数的定义及其性质是高等数学学习的重点内容之一。
本文将对导数的概念和定义进行详细论述。
1. 导数的概念导数是描述函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它在点x=a处的导数可以用极限的形式表示：f'(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)], x→a其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，也可以记作dy/dx|{x=a}或df(x)/dx|{x=a}。
导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。
2. 导数的定义导数的定义基于极限的概念。
一个函数在某一点上的导数等于函数曲线在该点处的切线斜率，也就是曲线与x轴之间的夹角的正切值。
具体来说，对于函数f(x)，在点x=a处的导数可以用以下公式表示：f'(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)], x→a对于函数f(x)=kx^n，其中k和n都是常数，可通过求导的方式计算导数。
根据定义和导数的特性，我们可以得到：- 常数的导数为0：如果f(x)=k，其中k是一个常数，那么f'(x)=0。
- 幂函数的导数：对于f(x)=x^n，其中n是正整数，f'(x)=nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：对于f(x)=a^x，其中a为正实数且a≠1，f'(x)=a^x * ln(a)。
3. 导数的几何意义导数具有重要的几何意义。
对于函数f(x)，在点x=a处的导数f'(a)表示函数曲线在该点处的切线斜率。
当导数为正时，函数曲线在该点处向上增长；当导数为负时，函数曲线在该点处向下减小；当导数为零时，函数曲线在该点处具有极值（最大值或最小值）。
通过导数可以描绘出函数的整体特征，包括函数的增减性、极值点、拐点等。
通过对导数图像的分析，可以得到函数图像的大致形态。
4. 导数的计算规则导数的计算有一些特定的规则。
考研数学一大纲导数与微分
考研数学一大纲导数与微分导数与微分是高等数学中重要的概念，也是考研数学一大纲的一部分。
理解和掌握导数与微分的相关知识对于考研数学的学习至关重要。
本文将从定义、性质和应用等方面进行论述，旨在帮助考生全面理解与应用导数与微分。
一、导数的定义与性质弄清楚导数的定义是理解该概念的第一步。
在微积分中，导数表示了函数在某一点处的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，在区间[a, b]内某一点x0上的导数可由以下定义给出：f'(x0) = lim (h→0) [f(x0+h) -f(x0)] / h。
导数的性质是导数理论中的重要部分。
其中，基本导数公式如下：1. 常数函数导数为0：d/dx (c) = 0；2. 幂函数导数：d/dx (x^n) = nx^(n-1)；3. 指数函数导数：d/dx (e^x) = e^x；4. 对数函数导数：d/dx (lnx) = 1/x；5. 三角函数导数：d/dx (sinx) = cosx，d/dx (cosx) = -sinx。
二、微分的定义与性质微分是导数的一个重要应用。
在微积分中，微分表示了函数在某一点附近的局部线性近似。
定义中，对于函数f(x)，在区间[a, b]内某一点x0上的微分可由以下公式给出：dy = f'(x0)dx。
微分的性质如下：1. 乘法法则：d(uv) = u dv + v du；2. 链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，则dy=f'(u)g'(x)dx；3. 高阶导数：导数可以被多次求导，二阶导数记为f''(x)，依此类推；4. 隐函数求导：对于含有隐函数的方程，可以采用隐函数求导法进行求导数。
三、导数与微分的应用导数与微分在自然科学和社会科学中有广泛应用。
在数学上，导数与微分有助于解决极值问题、函数图像的绘制以及函数的近似计算等。
在实际应用中，导数与微分被广泛用于物理学的运动学、经济学的边际效应分析、生物学的模型建立等领域。
导数定义公式知识点总结
导数定义公式知识点总结导数的基本概念导数的定义是描述一个函数在某一点处的变化率。
具体来说，当自变量x在给定点a处发生微小改变dx时，函数f(x)在该点处相应地发生微小的改变df。
这个微小的改变df与dx 之比就是函数在点a处的导数。
导数用符号f'(a)表示，其定义公式如下：f'(a) = lim (h -> 0) [f(a+h) - f(a)] / h这个公式描述了函数f(x)在点a处的变化率。
函数f(x)的导数f'(a)表示了当x在点a处发生微小变化时，f(x)对应的变化率。
导数的计算方法是通过极限的概念，即当自变量x的变化趋于0时，函数在点a处的变化率。
导数的性质导数具有一些重要的性质，这些性质在微积分的应用中起到了重要的作用。
其中，最重要的性质是导数的线性性质。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)分别在点a处有导数，则它们的和、差、积和商也分别在点a处有导数。
这些性质可以用数学公式表示如下：1. (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)2. (f-g)'(a) = f'(a) - g'(a)3. (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)4. (f/g)'(a) = [f'(a)g(a) - f(a)g'(a)] / [g(a)]^2这些性质证明了导数具有线性性质，这对于计算复杂函数的导数是非常有用的。
导数的线性性质使得微积分计算变得更加简单和方便。
另外，导数还有一些重要的性质，如导数的非负性和导数的单调性。
导数的非负性指的是如果函数f(x)在某一点处的导数大于0，则该函数在该点处是增函数；如果函数f(x)的导数小于0，则该函数在该点处是减函数。
这个性质可以通过微积分的概念和数学公式来证明。
导数的计算方法导数的计算方法有多种，其中最基本的是用导数的定义公式进行计算。
导数知识点总结大全
导数知识点总结大全一、基本概念1.1 导数的定义对于函数y = f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它定义为函数在该点的变化率。
导数可以用极限的概念来定义：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中，h表示自变量x的小变化量，当h趋近于0时，这个极限就表示了函数在点x处的导数。
导数也可以表示为函数的微分形式，即dy = f'(x)dx。
1.2 导数的几何意义导数有着重要的几何意义，它表示了函数在某一点上的切线斜率。
对于函数y = f(x)，在点(x, f(x))处的切线的斜率恰好等于函数在该点的导数f'(x)。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化速率和方向。
1.3 导数的物理意义在物理学中，导数也有着重要的物理意义。
对于物理量s关于时间t的函数s(t)，它的导数s'(t)表示了速度的变化率，即s'(t) = ds/dt。
类似地，速度关于时间的函数v(t)的导数v'(t)表示了加速度的变化率，即v'(t) = dv/dt。
因此，导数在描述物理过程中的变化率和速度方面也有着重要的应用。
1.4 导数的符号表示导数的符号表示通常有几种形式，常见的包括f'(x)、dy/dx、y'等。
它们都表示对函数y =f(x)的自变量x求导所得到的结果，即函数在某一点上的变化率或者斜率。
二、导数的性质2.1 导数存在性对于一个函数f(x)，它在某一点上的导数可能存在也可能不存在。
如果函数在某一点上导数存在，那么称该函数在该点上可导。
对于大多数常见的函数，它们在定义域内是可导的，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
但也存在一些特殊的函数，在某些点上导数可能不存在，例如绝对值函数在原点处的导数就不存在。
2.2 导数的连续性如果一个函数在某一点上导数存在，并且它在该点上是连续的，那么称该函数在该点上是可微的。
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结高等数学是考研数学中的重要一部分，对于考研学生来说，掌握高等数学的知识点是非常重要的。
下面是对高等数学知识点的总结，希望对考研学生有所帮助。
一、函数与极限1. 函数的概念：函数的定义域、值域和图像2. 函数的性质：奇偶性、周期性等3. 极限的概念：数列极限和函数极限4. 极限的性质：极限的四则运算、夹逼定理等5. 单调性与有界性：单调递增、单调递减、有界二、导数与微分1. 导数的概念：导数的定义、几何意义、物理意义2. 导数的运算法则：加法减法法则、乘法法则、复合函数法则等3. 高阶导数与隐函数求导4. 微分与微分近似三、高阶导数与泰勒公式1. 高阶导数的定义与运算法则2. 泰勒展开式与泰勒公式四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与运算法则2. 反常积分：可积性、柯西准则、比较判别法等3. 定积分的概念与性质：函数积分的线性性、可加性、区间可加性等4. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用五、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义与性质：定义域、值域、图像等2. 偏导数的概念：一阶偏导数、高阶偏导数3. 隐函数求导与全微分的概念4. 多元函数的极值与条件极值六、重积分与曲线曲面积分1. 二重积分的概念与计算方法：极坐标法、换元法、直角坐标系下的积分法2. 三重积分的概念与计算方法：柱面坐标法、球面坐标法、直角坐标系下的积分法3. 曲线积分与曲面积分的概念与计算方法七、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：初值问题、解的存在唯一性2. 高阶线性常微分方程与常系数齐次线性方程3. 常微分方程的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性非齐次方程法等4. 常微分方程的应用：动力学模型、电路网络分析等八、级数1. 级数的概念与基本性质：收敛、发散、极限、级数的四则运算等2. 正项级数与比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 幂级数与泰勒级数展开高等数学知识点总结完毕，以上知识点对考研的高等数学考试来说是基础中的基础。
导数的概念及运算知识点讲解(含解析)
导数的概念及运算一、知识梳理1.函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim x ∆→ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.导数公式表4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y x ′＝y u ′·u x ′.知识点小结：1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错.(3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9B.－3C.9D.15解析 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9. 答案 C3.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2.解析 v ＝h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，a ＝v ′(t )＝－9.8. 答案 －9.8t ＋6.5 －9.84.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A.e 2B.1C.ln 2D.e解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x .由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. 答案 B5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________.解析 由题意得f ′(x )＝e xln x ＋e x·1x ，则f ′(1)＝e.答案 e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________.解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋1考点一 导数的运算角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e xx ＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3. (3)因为y ＝ln1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4考点二 导数的几何意义 角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12(2)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________. 解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)，∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12， ∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x . 因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2). (2)f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，a ＝2.当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1. ∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1). (2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 (1)D (2)y ＝2x三、课后练习1.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( ) A.1B.0C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2. 答案 D2.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时， 由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1]. 答案 [－2，－1]3.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________. 解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)，∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. 答案 224.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)。
导数的概念和定义高数
导数的概念和定义高数导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。
它在数学和物理学等领域中具有广泛应用，并且是理解微积分的基础之一。
本文将详细介绍导数的概念和定义，并探讨其在高等数学中的意义和应用。
一、导数的概念导数描述了函数在某一点的切线斜率，或者说函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，若它在某一点x处的导数存在，那么导数f'(x)表示函数在该点的切线斜率。
如果函数在每一个点的导数都存在，那么这个函数被称为可导函数。
导数的概念可以用极限来精确定义。
设函数f(x)在点x处连续，那么该点的导数f'(x)可以通过以下极限公式来计算：```f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h```其中，h表示自变量的增量，即x+h代表一个比x更接近的点。
上述极限即为切线的斜率。
二、导数的定义导数的定义是导数概念的具体表达，用来计算函数在某一点处的导数值。
根据导数的概念，导数的定义可表示为：```f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h```这就是导数的一种常见形式定义。
根据这个定义，我们可以计算函数在某一点的导数值。
三、导数的意义和应用导数在高等数学中具有重要的意义和应用。
首先，导数可以用来求函数的极值点。
对于一个可导函数，在其极值点处导数等于0。
通过求导，我们可以找到函数的极值点，并进一步研究函数的性质。
其次，导数可以用来描述函数的变化趋势。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点的变化快慢。
如果导数为正，表示函数在该点递增；如果导数为负，表示函数在该点递减；如果导数为零，表示函数在该点取得极值。
此外，导数还可以用来求解曲线的切线方程。
利用导数的概念，我们可以求得曲线在某一点的切线斜率，并通过点斜式方程来求解切线方程。
切线方程在物理学等应用领域中具有重要意义。
导数的概念和定义在高数中是非常基础的概念，它为后续的微积分学习奠定了坚实的基础。
导数考研总结报告
导数考研总结报告导数是微积分的重要概念之一，在数学中有广泛的应用。
在考研数学中，导数也是一个常见的考点，因此掌握导数的相关知识对于考研数学的学习和备考非常重要。
本文将从导数的定义、性质以及应用等方面进行总结和报告。
首先，导数的定义是导数是函数在其中一点的变化率。
设函数f(x)在其中一点x0的其中一去心邻域内有定义，若极限lim(x→x0) ( f(x) - f(x0) ) / ( x - x0 )存在，那么这个极限的值就称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。
其次，导数的计算方法如下：1.求常数函数的导函数时，导数恒为0；2.对于幂函数，有公式f'(x)=n*(x^(n-1))，其中n为整数；3. 对于指数函数，有公式 f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为常数；4. 对于对数函数，有公式 f'(x) = 1 / ( x * ln(a) )，其中a为底数。
导数具有以下基本性质：1.导数存在的充要条件是函数在该点可导；2.导函数具有可加性，即若函数f(x)在点x0处可导，函数g(x)在点x0处可导，则(f+g)'(x0)=f'(x0)+g'(x0)；3.导函数具有可乘性，即若函数f(x)在点x0处可导，函数g(x)在点x0处可导，则(f*g)'(x0)=f'(x0)*g(x0)+f(x0)*g'(x0)；4.导函数具有链式法则，即若函数u=g(f(x))可导，则链式法则为u'(x)=f'(x)*g'(f(x))。
导数的应用非常广泛，主要有以下几个方面：1.判定函数在其中一点的增减性和极值情况。
通过求导函数，并对导函数进行分析，可以判定函数在其中一点的增减性，从而确定极值点；2.研究函数的凹凸性。
通过求导函数的导数，可以判定函数的凹凸性，从而研究函数的曲线形状和变化趋势；3.近似计算。
考研高阶导数公式
考研高阶导数公式一、导数的基本概念与意义导数是微积分学中的一个基本概念，表示函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，其在x点的导数f"(x)可以用以下公式表示：f"(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx二、考研高阶导数公式概述在考研数学中，高阶导数是指二阶及以上的导数。
高阶导数在求解函数的极值、曲率、拐点等问题中具有重要意义。
以下为一些常见的高阶导数公式：1.二阶导数：f""(x) = lim(Δx→0) [(f"(x+Δx) - f"(x)) / Δx]2.三阶导数：f"""(x) = lim(Δx→0) [(f""(x+Δx) - f""(x)) / Δx]三、一阶导数的求解方法1.求导法则：对于基本初等函数及其复合函数，可以使用求导法则进行求解。
2.隐函数求导：对于隐函数y = f(x)，可以先求出显函数，然后对显函数求导。
3.参数方程求导：对于参数方程x = x(t)，y = y(t)，可以先将参数方程转化为普通方程，然后对普通方程求导。
四、二阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数再求一次导数。
2.隐函数求导：对隐函数的一阶导数求导。
3.参数方程求导：对参数方程的一阶导数求导。
五、高阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数、二阶导数再求导。
2.利用导数的性质：如和差、积、商的导数公式。
六、导数在实际问题中的应用1.极值问题：求函数的极值点、极值、最值。
2.曲率问题：求曲线的曲率、曲率半径。
3.拐点问题：求函数的拐点。
4.实际问题：求质点运动的瞬时速度、加速度等。
七、总结与建议导数是考研数学中的重要知识点，掌握导数的求解方法及实际应用对于解题具有重要意义。
在学习过程中，要注重理论知识与实际例题的结合，加强运算能力的培养。
考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结
考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结来源：文都教育导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。
基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。
下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。
第一节 导数1．基本概念（1）定义0000000000()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或 注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.（2）左、右导数'000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--==∆-. 0'000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--==∆-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+⇔=.（3）导数的几何应用曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-.法线方程：0001()()'()y f x x x f x -=--. 2．基本公式（1）'0C = （2）'1()a a x ax -=（3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-（7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =-（9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =-（11）21(arcsin )'1x x =- （12）21(arccos )'1x x =--（13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x=-+ （1522221[ln()]'x x a x a ++=+3．函数的求导法则（1）四则运算的求导法则()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2''()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=.例5 求函数21sin x y e =的导数.（3）反函数的求导法则设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则11'()'()'(())g y f x f g y ==. （4）隐函数求导设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x yF y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数4．高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式：（1）()()ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =（2） ()(sin )sin()2n n kx k kx n π=+ （3）()(cos )cos()2n n kx k kx n π=+ （4）()1(1)(1)n n nn x x --+=-+ （5）()()(1)(2)(1)k n k n x k k k k n x -=---+（6）莱布尼茨公式：()()()0()nn k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v ==第二节 微分1．定义背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆.注：,y dy x dx ∆≠∆=2．可导与可微的关系一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =.3．微分的几何意义4．微分的计算（1）基本微分公式'()dy f x dx =.（2）微分运算法则②四则运算法则()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2()u vdu udv d v v -= ②一阶微分形式不变若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.。
高数三导数知识点总结大一
高数三导数知识点总结大一高数三导数知识点总结一、导数的概念及性质导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在x=a处的导数记作f'(a)，其定义为：f'(a) = lim┬(h→0)((f(a+h)-f(a))/h)其中，h为自变量的变化量。
导数具有以下性质：1. 导数存在性：函数在某一点可导，意味着该点上函数的变化率有一个确定的值；2. 导数与函数的图像：函数在某一点可导，则在该点处函数的图像有一条切线，其斜率等于该点处的导数值；3. 导数的几何意义：导数表示函数变化的速率，即函数在某一点上的瞬时变化率；4. 导数的计算：根据导数的定义和一些基本导数公式，可以计算出各种函数的导数。
二、常见函数的导数1. 幂函数的导数：设常数a≠0，f(x) = x^n，其中n为自然数，则有f'(x) = nx^(n-1)2. 指数函数的导数：设常数a>0，a≠1，f(x) = a^x，则有f'(x) = ln(a)・a^x3. 对数函数的导数：设常数a>0，a≠1，f(x) = logA(x)(以a为底的对数函数)，则有f'(x) = 1/(x・ln(a))4. 三角函数的导数：(1) 正弦函数的导数：f(x) = sin(x)f'(x) = cos(x)(2) 余弦函数的导数：f(x) = cos(x)f'(x) = -sin(x)(3) 正切函数的导数：f(x) = tan(x)f'(x) = sec^2(x)(4) 余切函数的导数：f(x) = cot(x)f'(x) = -csc^2(x)三、复合函数及其导数复合函数是由两个或多个函数构成的函数，导数的计算依据链式法则。
设函数y=f(u)和u=g(x)可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可表示为：dy/dx = dy/du・du/dx四、隐函数及其导数隐函数是指函数关系中的某一变量以外的变量无法显式表示出来的情况，其导数的计算需要利用隐函数的微分法。
高数考研知识点归纳
高数考研知识点归纳高等数学是考研数学的重要组成部分，其知识点广泛且深入，以下是对高数考研知识点的归纳总结：一、极限与连续性- 极限的定义与性质- 无穷小的比较- 函数的连续性与间断点- 连续函数的性质二、导数与微分- 导数的定义与几何意义- 基本导数公式- 高阶导数- 隐函数与参数方程的导数- 微分的概念与应用三、中值定理与导数的应用- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理- 泰勒公式- 导数在几何、物理等领域的应用四、不定积分与定积分- 不定积分的概念与性质- 基本积分公式- 换元积分法- 分部积分法- 定积分的定义与性质- 定积分的计算方法五、级数- 级数的概念与性质- 正项级数的收敛性判别- 幂级数与泰勒级数- 函数项级数的一致收敛性六、多元函数微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的极值问题- 方向导数与梯度- 多元函数的泰勒展开七、重积分与曲线积分、曲面积分- 二重积分与三重积分- 重积分的计算方法- 曲线积分与曲面积分- 格林公式、高斯公式与斯托克斯定理八、常微分方程- 一阶微分方程的解法- 高阶微分方程- 线性微分方程的解法- 微分方程的应用结束语：考研高等数学的知识点繁多，要求考生不仅要掌握基本的概念和公式，还要能够灵活运用这些知识点解决实际问题。
通过系统地复习和大量的练习，可以提高解题速度和准确率，为考研数学取得高分打下坚实的基础。
希望以上的知识点归纳能够帮助考生更好地复习和准备考研高等数学。
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即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
log a
e.
即
x 0
y
lim[
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x)连续 , 若 f( x0 ) f( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x) 的角点 ,函数在角点不可导.
例如, x2,
f (x) x,
(loga
x)
1 x
loga
e
1 x
1. ln a
(ln x) 1 . x
例6 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两
者的联系是：在某点x0 处的导数 f ( x0 )即是导 函数 f ( x)在x0 处的函数值．
总成本平均变化率 C f (x0 x) f (x0 )
x
x
平均变化率的极限：lim C lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x
x0
x
表示产量为x0时的边际成本。
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
t0
t t
y
2如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C h0
C h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x .
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
4
h0
h
lim cos( x
h0
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
思考题
函数 f ( x)在某点x0 处的导数 f ( x0 ) 与导函数 f ( x)有什么区别与联系？
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体的 数值， f ( x)是由于 f ( x) 在某区间I 上每一 点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x) 与之对应，所以两
大家好
第二章 导数与微 分
2.1 导数的概念
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v s s s0 t t t0
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim s(t) s(t0 ) tt0 t t0
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f (x0 )
其它形式
f ( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f () . x x0
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f (x x) f (x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
★ 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
h) 2
sin h
h 2
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例3 求函数 y x3 的导数.
解 (x3) lim (x h)3 x3
h0
h
lim[3x2 3xh h2 ] 3x2 h0
更一般的有： (xn ) nxn1.
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
★
设函数
f (x)
( x), ( x),
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的几何意义
1.几何意义
y
f (x0 )表示曲线 y f (x)
在点M (x0, f (x0 ))处的
切线的斜率,即
o
y f (x)
T
M
x0
x
f (x0 ) tan, (为切线与x轴正向的夹角)
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
五、可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
y y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
( f (x 0 ) 0).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
x 0, x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x)的角点.
练习：讨论函数f
(
x)
x
sin
1 x
,
x
0 在x
0处的连续性和可导性。
0, x 0
函数f (x)在x0点连续：
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim
xx0
f (x)
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
如果函数f (x)在点x0处连续，但
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
极限不存在，f (x)在点x0处不可导.
为方便起见，称之为无穷大（含
正无穷大和负无穷大），也就是说：
f (x)在点x0处有无穷导数。
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
lim f (x0 x) f (x0 ) 存在
函数f (x)在x0点可导： x0
x
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 )
x0