考研高数总复习导数概念

lim f (x0 x) f (x0 ) 存在
函数f (x)在x0点可导： x0
x
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
x0
x
六、小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ( x0 ) a f( x0 ) f( x0 ) a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点 x0可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f (x x) f (x);
x
x
y lim y .
x0 x
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
可导性.
x x0 , x x0
讨论在点 x0的
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0
x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0
x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
总成本平均变化率 C f (x0 x) f (x0 )
x
x
平均变化率的极限：lim C lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x
x0
x
表示产量为x0时的边际成本。
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
y y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
( f (x 0 ) 0).
例7 求等边双曲线 y 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4.
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
★ 对于任一 x I,都对应着 f (x)的一个确定的 导数值.这个函数叫做原来函数 f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
即 y lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两
者的联系是：在某点x0 处的导数 f ( x0 )即是导 函数 f ( x)在x0 处的函数值．
h
lim
lim 1.
h0
h
h h 0
即 f(0) f(0), 函数y f ( x)在x 0点不可导.
四、导数的几何意义
1.几何意义
y
f (x0 )表示曲线 y f (x)
在点M (x0, f (x0 ))处的
切线的斜率,即
o
y f (x)
T
M
x0
x
f (x0 ) tan, (为切线与x轴正向的夹角)
dy dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
Fra Baidu bibliotek
lim
x0
f ( x0 x) x
f (x0 )
其它形式
f ( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
关于导数的说明：
★ 点导数是因变量在点x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★ 如果函数 y f ( x)在开区间I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间I 内可导.
x 0, x0
y
y x2
yx
0
x
在 x 0处不可导, x 0为 f ( x)的角点.
练习：讨论函数f
(
x)
x
sin
1 x
,
x
0 在x
0处的连续性和可导性。
0, x 0
函数f (x)在x0点连续：
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim
xx0
f (x)
lim
xx0
f (x)
f (x0 )
大家好
第二章 导数与微 分
2.1 导数的概念
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v s s s0 t t t0
当 t t0时, 取极限得
瞬时速度 v lim s(t) s(t0 ) tt0 t t0
( x ) x 1 .
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1)x 11
1 x2 .
( R)
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
h0
h
a x lim a h 1 h0 h
a x ln a.
解
f ( x) lim h0
f ( x h) h
f ( x) lim C h0
C h
0.
即 (C ) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x .
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
4
h0
h
lim cos( x
h0
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导.
直接用定义; 连续
看左右导数是否存在且相等.
思考题
函数 f ( x)在某点x0 处的导数 f ( x0 ) 与导函数 f ( x)有什么区别与联系？
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体的 数值， f ( x)是由于 f ( x) 在某区间I 上每一 点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x) 与之对应，所以两
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
★
设函数
f (x)
( x), ( x),
即 (a x ) a x ln a.
(e x ) e x .
例5 求函数 y log a x(a 0, a 1)的导数.
解 y lim loga ( x h) loga x
h0
h
lim
log a
(1
h) x
1
h0
h
x
x
1 x
lim
h0
log
a
(1
h
)
x h
x
1 x
log a
e.
即
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
★ 单侧导数
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
h) 2
sin h
h 2
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4
2. 2
例3 求函数 y x3 的导数.
解 (x3) lim (x h)3 x3
h0
h
lim[3x2 3xh h2 ] 3x2 h0
更一般的有： (xn ) nxn1.
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
3. 产品总成本的变化率
总成本C是产量x的函数：C f (x) 产量x： x0 x0 x
总成本相应的改变量 C： f (x0 x) f (x0 )
t0
t t
y
2如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
x 0
y
lim[
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函数 f ( x)连续 , 若 f( x0 ) f( x0 )则称点 x0 为函数 f ( x) 的角点 ,函数在角点不可导.
例如, x2,
f (x) x,
如果函数f (x)在点x0处连续，但
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
极限不存在，f (x)在点x0处不可导.
为方便起见，称之为无穷大（含
正无穷大和负无穷大），也就是说：
f (x)在点x0处有无穷导数。
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
(loga
x)
1 x
loga
e
1 x
1. ln a
(ln x) 1 . x
例6 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 h) f (0) h ,
h
h
lim f (0 h) f (0) lim h 1,
h0
h
h h 0
y y x
o
x
f (0 h) f (0)
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
五、可导与连续的关系
定理 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim