高中数学竞赛试题(模拟)有答案
高中数学竞赛模拟试题含详解
高中数学竞赛模拟试题一、选择题：1.设a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，则下列四个结论中正确的是 （ D ）（A ）ac b ≤2（B ）ac b >2（C ）ac b >2且0>a （D ）ac b >2且0<a提示：若0=a ,则0≠b ,则02=>ac b .若0≠a ,则对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由0)1(,0)2(<->f f 可得结论.2.在△ABC 中，若a BC AB A ===∠,2,450，则2=a 是△ABC 只有一解的 （ A ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件3.已知向量)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x b x x m a ,定义函数b a x f ⋅=)(.若对任意的]2,0[π∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，则m 的取值范围是 （ A ）（A ）),81(+∞（B ）)81,0[（C ）)2,81(（D ）),2(+∞4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是 （ D ） （A ）36arcsin （B ）33arccos 2+π（C ）2arctan2-π（D ）22cotarc -π5.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为 （ A ） （A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）18916.设n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2)1(1+=∑=n n x ni i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是 （ C ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9二、填空题：7. 若实数x 、y 满足条件122=-y x ，则x y x 212+的取值范围是___________________. 【答案】)2,2(-.提示:令ααtan ,sec ==y x .8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423nm C C =成立，则所有的m 一定形如_____________.（用n 的组合数表示）【答案】21-=n C m (4≥n ).提示:由423n m C C =得222)13()12(+-=-n n m ,从而21-=n C m (4≥n ).9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.【答案】3.0 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有43)0(11219===C C P ξ，4492)1(2121913===C C C P ξ，22092)2(3121923===C C C P ξ，22012)3(4121933===C C C P ξ. 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . 10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。
高中数学竞赛模拟试题及参考答案(可编辑)
数学奥林匹克高中训练题第一试一、填空题（每小题8份，共64分）1.函数3()2731xx f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,113a =,且12[]n n n a a a +=-,则20092010a a +=_____. 3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____. 4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____. 5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,,则在该四面体的表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为_____.7.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2kk e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.8.某校进行投篮比赛,共有64人参加.已知每个参赛者每次投篮的命中率均为34,规定只有连续命中两次才能被录取,一旦录取就停止投篮,否则一直投满4次.设ξ表示录取人数,则E ξ=_____.二、解答题（共56分）9.(16分)设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上点F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.(20分)是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.(20分)设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像Γ上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；(2)当点Q 在圆22(2)(3)1x y -+-=上时,求曲线Γ的切线斜率的最大值.加试一、(40分)设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、(40分)已知周长为1的i i i A B C ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c .设2224i i i i i i i p a b c a b c =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、(50分)是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、(50分)对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.参 考 答 案 第一试一、1.53-.令3xt =,[0,3]x ∈,则有3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而2'()3273(3)(3)g t t t t =-=-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.2.2009. 由已知可得113a =,223a =,343a =.下面用数学归纳法证明:21n n a a +-=,1n n a a n ++=.显然,当1n =时,结论成立.假设当n k =时,结论成立,即是有21k k a a +-=,1k k a a k ++=.则当1n k =+时,3122222[](2[])2()([][])2[1][])1k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ++++++-=---=---=-+-=（. 121(1)1k k k k a a a a k ++++=++=+. 即,当1n k =+时,结论也成立.综上所述,21n n a a +-=,1n n a a n ++=总成立.故200920102009a a +=.3.84.由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x A B ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.4.4. 由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4. 5.[0,3).由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2cx a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.6.32π. 如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=. 7.122n --.设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k k a c =,2k k k kce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n nn a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.8.1894. 由于每位参赛者被录取的概率均为331331133189444444444256p =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=,故录取人数ξ服从二项分布,即189(64,)256B ξ~,所以189189642564E ξ=⨯=.二、9.由已知得(,0)2p F ,设点(,0)A a ,则12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=.令1122(,),(,)M x y N x y ,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实数根,将该方程化简得:22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-.故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.10.当(0,)2πθ∈时,函数sin y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数tan y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有sin cos sin cos θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.11.因为32()f x ax bx cx d =+++,所以'2()32f x ax bx c =++.因为图像Γ上有一个极值点P 为坐标原点,所以'(0)0f =,且(0)0f =.故0c d ==.(1)当点Q 的坐标为(1,2)时,由'(1)0f =与(1)2f =可得:320a b +=,且2a b +=.解之,得:4,6a b =-=.此时,32()46f x x x =-+.(2)∵'2()32f x ax bx =+,且由题意点Q 在圆22(2)(3)1x y -+-=上知0a <,∴曲线Γ的切线斜率k 的最大值为'()f x 的最大值2max3b k a=-.设点Q 的坐标为(,)m n ,则有'()0f m =,且()f m n =,∴2320am bm +=,且32am bm n +=.∴32b m a =-,23nb m=. ∴2max 332b n k a m =-=⋅. ∵n m表示过原点且与圆22(2)(3)1x y -+-=有公共点的直线的斜率,而过原点且与圆22(2)(3)1x y -+-=有公共点的直线斜率的最大值为2∴2max33(23322b n k a m =-=⋅≤=+∴曲线Γ的切线斜率的最大值为3加 试一、由西姆松定理知,,P Q R 三点共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有D A C D P R D P ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理,可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PR DB DA DP PR BA BC QR DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅. 从而PR QR =的充要条件是DA BADC BC=.又由三角形的角平分线的性质定理可得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. 二、由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,于是不难得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=. 2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. 三、由640p q r s +++=,且,,,p q r s 是互不相同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由于23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故3(1)3226402qs p q r s p q s q s -+++=++=++=,即是有(32)(34)385771929q s ++==⨯⨯,于是得3419,32729s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====.四、所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,第二步说明26n =是可以的.首先说明当25n ≤时是不行的.我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.其次说明当26n =时是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
2024全国高中数学奥林匹克竞赛试题
1、设a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1，则1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值为多少？A. 1B. 3/2C. 2D. 5/2解析：本题主要考察不等式的应用及求解最值问题。
通过运用柯西不等式，我们可以推导出1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值。
经过计算，当且仅当a=b=c=1/3时，取得最小值1。
（答案）A2、在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√3，b=3，且三角形ABC的面积为(3√3)/4，则c的值为多少？A. 1B. 2C. √7D. √13解析：本题主要考察三角形的面积公式及余弦定理。
根据三角形面积公式S=(1/2)absinC，我们可以求出sinC的值，再利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，结合sin²C+cos²C=1，可以求出c的值。
经过计算，c=√7。
（答案）C3、设正整数n满足：对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k，则n的最大值为多少？A. 60B. 120C. 240D. 360解析：本题主要考察整除的性质及数论知识。
我们需要找到一个正整数n，使得对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k。
通过分解k⁵-k，我们可以发现其包含因子2, 3, 4,5等，结合这些因子的性质，我们可以求出n的最大值。
经过推导，n的最大值为120。
（答案）B4、已知数列{an}满足a₁=1，且对于任意的n∈N*，都有aₙ₊₁=aₙ+n+1，则a₁₀的值为多少？A. 46B. 50C. 55D. 66解析：本题主要考察数列的递推关系及求和公式。
根据题目给出的递推关系aₙ₊₁=aₙ+n+1，我们可以逐步求出数列的项，或者通过求和的方式直接求出a₁₀。
经过计算，a₁₀=55。
（答案）C5、在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(0,1)，C(2,3)，则三角形ABC外接圆的圆心到原点O的距离为多少？A. √2/2B. √5/2C. √10/2D. √13/2解析：本题主要考察三角形外接圆的性质及距离公式。
高中数学竞赛模拟试题(第一试)及参考答案
高中数学竞赛模拟试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．若对任意[],2x a a ∈+均有2x a x +≥，则实数a 的取值范围是 解：22323204602x a x x ax a a a +≥⇔--≤⇒+≤⇒≤-． 2．已知()220x y ≥>，则x y +的最小值为解：(221212x x x y y y ⎫+≥⇒≥⇒≥⎪⎪⎭（利用函数单调性）12x y y y+≥+≥，等号当且仅当1x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为2． 3．用[]x 表示不超过x 的最大整数.则211sin ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣等于解：22110sin20142014sin <<⇒>，222111tan 120152014sin tan >⇒=+<，所以2120141sin ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎢⎣．4．已知()()()()()21,,()21n n fx f x f x f x f x f f x x ===+个则12n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 解：1222211111111111121n nn n n n n ff f f f f x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒+=+==+=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2132n n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知棱长为1，点E 在11A D 上，点F 在CD 上，112,2A E ED DF FC ==.则三棱锥1B FEC -的体积为解：如图，作111FF C D ⊥,连接11B F 交1EC 于点K 三棱锥1B FEC -的体积为115327BFK EC S =△．6．已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上， 记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为解：（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==. 又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为14.（2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图所示，设1,(01),(0)2BC CR x x BRQ παα==≤≤∠=<<,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠= 在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+， 因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+. 这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号， 此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.7．设P 为抛物线22y x =上的一个动点，过P 作抛物线的切线与22:1O x y +=交于点,,M N O 在,M N 两点处的切线交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是8．选择集合{}()*1,2,,S n n N =∈的两个不同的非空子集A 和B ．则使B 中最小数大于A 中最大数的概率是 设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-，从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---，所以所有满足A 中最大数小于B 中最小数的集合对(A ，B )的个数为()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=--=-⋅-=-⋅+-∑．而所有的集合对(A ，B )的个数为()()2122nn --所以使B 中最小数大于A 中最大数的概率是()()1(2)212122n n nn --⋅+-- 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴于点P ，过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q .求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.（略）10.（本小题满分20分）已知函数22()1n nx xf x x -=+，12,n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=，证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥ （略）11.（本小题满分20分）.已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>． 证明：因为22221122112()n n n n n n n n n na b a b a b a b b a +++=+++++， 所以49492222505011221111()2()i i i i i i ii a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑221122111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=又1112n n n n n n a b a b a b ++=++，所以49505011111111124998100i i i a b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑. 所以222505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案加试一、（本小题满分40分） 已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=+*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N∈，使得2015m a ，并说明理由．（Ⅰ）由13n n a a +=+得2211640n n n n a a a a +++++=，（1）同理可得222212640n n n n a a a a +++++++=，（2），由（1）（2）可知，2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=- 因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.（Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a .一方面，2214m m m a a a ++=+，所以21314m a ++,即214(mod31)m a +≡-，所以301530142(mod31)m a +≡-≡-. 由费马小定理知3021(mod31)≡，所以3011(mod31)m a +≡-，另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314.矛盾.所以，由费马小定理得3011(mod31)m a +≡.这样得到11(mod31)≡-.矛盾. 所以不存在*m N ∈，使得2015m a二、（本小题满分40分）如图，在等腰ABC ∆中，A B A C B C =>，D 为ABC ∆内一点，满足.DA DB DC =+ 边AB 的中垂线与ADB ∠的外角平分线交于点P ，边AC 的中垂线与ADC ∠的外角平分线交于点Q .证明： B C P Q 、、、 四点共圆.三、（本小题满分50分）设p 为大于3的素数，证明：（1）()11pp -+至少含有一个不同于p 的素因子；（2）设()111inpi i p p α=-+=∏，其中12,,,n p p p 是互不相同的素数，12,,,n ααα为正整数，则212ni i i p p α=≥∑.四、（本小题满分50分）设X 是非空有限集合，12,,,k A A A … 是X 的k 个子集，满足下列条件：(1) 3,1,2,,i A i k ≤=…; (2) X 中任意一个元素属于12,,,k A A A …中的至少4个集合.证明：可从12,,,k A A A …中选出37k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个集合，使得它们的并集为X .解：令{}12,,,k S A A A =.现依次选定集合i A ，使得这些集合的并集i A 的元素个数每次递增3个，选出所有这样的集合后，不妨设{}3312,,,a S A A A =，30a ≥，又设33S X =，其中333X a =.因为3S 已是满足以上性质的最大集合，则对于剩下的任意集合3,i A i a >，有()32iA X X -≤.类似地，在集合3X X -中依次选定集合i A ，使得这些集合的并集i A 的元素个数每次递增2个，不妨设这些集合{}3332212,,,a a a a S A A A +++=全部被选出，则有()232S X X X ⋂-=，且222X a =；同理，对于剩下的任意集合23,i A i a a >+，有()321iA X X X --≤.类似地，{}3232321112,,,a a a a a a a S A A A ++++++=，以及321X X X X --=，注意到32112323X X X X a a a =++=++，323S S S X ⋃⋃= 且321123S S S a a a m ++=++=即为上述选定集合所满足的关系，现说明37km ≤. 注意到1X 中的每一个元素至少出现4次，但11iA X ≤，32i a a ≥+，因此有：3214k a a a ≥++ (1)在12X X +中，每个元素也至少出现4次，但()122iA X X +≤，3i a ≥，因此有：()21332124422a a k a aa a +≥+=++ (2)在X 中，每个元素也至少出现4次，因此有：()3213243a a a k ++≥ (3)现考虑20*(1)12*(2)27*(3)++，()12359140k a a a ≥++，所以5931407k m k ≤<，即为所求.。
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。
）。
A。
-x+9x-12B。
x+9x-12C。
-x-9x+12D。
x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。
）。
A。
①B。
②C。
①和③D。
②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。
）。
A。
B。
C。
1D。
44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。
）。
A。
36πB。
32πC。
20πD。
16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。
）。
A。
9B。
12C。
15D。
186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。
）。
A。
807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。
）。
A。
(-2-1,2)B。
(-2,2-1)C。
[,2-1)D。
(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。
）。
A。
B。
C。
D。
9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。
）。
A。
x<y<zB。
y<z<xC。
z<x<yD。
z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。
解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。
解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。
解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。
全国高中数学联赛模拟卷（1）（一试+二试_附详细解答）
全国⾼中数学联赛模拟卷（1）（⼀试+⼆试_附详细解答）全国⾼中数学联赛模拟卷(1)⼀试⼀、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，共64分）1229x <+的解集为． 2．过正⽅体外接球球⼼的截⾯截正⽅体所得图形可能为______________. ①三⾓形②正⽅形③梯形④五边形⑤六边形3．直线2kx y -=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是__ _______.4．复数z ，使322z z z+=，则z 的所有可能值为 _____ ____．5．所有的满⾜条件11aba b a b ab a b ---=?++的正整数对(,)a b 的个数为．6．设,,a b c 为⽅程3120x k x k --=的根（121k k +≠），则111111a b ca b c+++++=--- __. 7．将号码分别为1、2、…、9的九个⼩球放⼊⼀个袋中，这些⼩球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出⼀个球，其号码为a ，放回后，⼄从此袋中再摸出⼀个球，其号码为b . 则使不等式 0102>+-b a 成⽴的事件发⽣的概率等于．8．已知A , B , C 为△ABC 三内⾓, 向量)2sin 3,2(cosBA B A +-=α,2||=α.如果当C 最⼤时,存在动点M , 使得|||,||,|成等差数列, 最⼤值是__ ___.⼆、解答题（本⼤题共3⼩题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==-∑，求数列{a n }中的最⼤值．10．给定正实数k ，圆⼼为(b a ，)的圆⾄少与抛物线2kx y =有三个公共点，⼀个是原点(0, 0)，另两个点在直线b kx y +=上，求b a ，的值（⽤k 表⽰）． 11．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对(a , n )(n ∈N *),使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．ABCPQ ID O 1 I 1I 2⼆试⼀、（本题满分40分）在Rt ABC ?中，CD 是斜边AB 上的⾼，记12,,I I I 分别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内⼼，I 在AB 边上的射影为1O ，,CAB ABC ∠∠的⾓平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正⽅形．⼆、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：ba db a d a dc ad c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++333333333333.2222d c b a +++≥三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2)1(221+++=+n n nA A kn n ， ,2,1=n 证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(mod 21或≡n四、（本题满分50分）试求最⼩的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有⼀数，其各位数字之和是7的倍数.全国⾼中数学联赛模拟卷(1)答案⼀试1．由0211≠+-x 得0,21≠-≥x x ，原不等式可变为()922112+<++x x解得845x 故原不等式的解集为145,00,28-? ?U2．答案：②⑤，解：由对称性可知，所得图形应为中⼼对称图形，且②⑤可以截得3．提⽰：44[2,)(,2]33--?, 曲线为两个半圆，直线过定点（0，?2），数形结合可得.4．答案：0，1，12,12i i -+-- 解：322z z z +==2z z ?，∴2(12)0z z z +-=当 0z =时，满⾜条件，当 0z ≠时，2120z z +-= 设 22(,),212()z a bi a b R a b abi a bi =+∈-++--则∴ 22120(1)220(2)a b a ab b ?-+-=?+=? ，由(2) 2(1)0b a +=1）0b = 代⼊(1) 整理得：2(1)01a a -=?=2）0b ≠，则 1a =- 代⼊(1) 得：242b b =?=±，经检验复数1,12z i =-±均满⾜条件. ∴ z 的所有可能值为0，1，12,12i i -+--. 5．解：显然1a b >≥．由条件得11a a b a a b -->?1b a b -?>11b a b -?≥+，从⽽有bab b b ≥+即b b ab b ≤-，再结合条件及以上结果，可得11a b a b a b a b a b --?++=-aa ab b ≥-+，整理得 11a a b a ab a a b --+≥-?()11a b a a b --=?-1a a -≥，从⽽()211a a a a a a ab a -=+-≥+≥即31a a-≤，所以23a ≤≤．当2a =时，1b =，不符合；当3a =时，2b =（1b =不符合）．综上，满⾜本题的正整数对(),a b 只有()32，，故只有1解．6．答案：1212331k k k k ++--，由题意，312()()()x k x k x a x b x c --=--- 由此可得0a b c ++=，1ab bc ca k ++=-，2abc k =以及121(1)(1)(1)k k a b c --=---1113()()3111(1)(1)(1)a b c a b c ab bc ca abc a b c a b c +++-++-+++++=------1212331k k k k ++=-- 7．提⽰：甲、⼄⼆⼈每⼈摸出⼀个⼩球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个，由不等式a ?2b +10>0得2b6181135745=++++8．解: 2)cos(2)cos(2122sin 32cos 2||22=+--+=++-?=B A B A B A B A α ,21tan tan cos cos sin sin 2)cos(3)cos(=?=?+=-?B A B A B A B A B A22tan tan 4)tan (tan 2tan tan )tan(tan -=-≤+-=+=+-=B A B A BA B A C ,等号成⽴仅当22tan tan ==B A .令|AB |=2c ,因c 4||||=+, 所以 M 是椭圆1342222=+cy c x 上的动点.故点C (0,c 22), 设M (x ,y ), 则|MC |2＝x 2+(c y 22-)2＝c y c cy y c cy y y c 3||,2923122344222222≤+--=+-+-. 当y ＝c 3-时, |MC |2max =22627c +, |MC |max ＝c 216+. ||AB＝4. 9．解：经计算知22a =，33a =，45103a a ==，下⾯⽤数学归纳法证明：当5n ≥时，有103n a ≤ 假设()1053n a n ≤≥，则1211111111122122n n n n n n a n n n +-++++=+?+?++?-- 21111212212n n n n n n n n n n -++??=++?++? ?--?? 112n n n a n n ++=+ 1110186810233533n n n n n n +++≤+?=?≤?<所以数列{a n }中的最⼤值是45103a a ==10．解：设⊙O :,)()(2222b a b y a x +=-+- 即02222=-+-by y ax x抛物线与直线b kx y +=的两个交点坐标为),(),,,(2211y x y x ，则211222kx kx b kx kx b =+??=+?，即12121x x b x x k +==-??①, 这两点亦在圆上，即),(2)(222111*********b kx b b kx ax x by y ax x o +-++-=-+-=?02)1(21212=--+b ax x k同理 02)1(22222=--+b ax x k , 即 12221222,1.1a x x k b x x k ?+=??+?-?=?+?②⽐较①，②知：kk k k b k a 11),1(2122+=+=+= 11．解：⾸先，函数)(x f 以为π周期，且以)(42Z k k x ∈+=ππ为对称轴，即 ))(()2(),()(Z k x f x k f x f x f ∈=-+=+πππ，其次，42)43(,102)4(,7)2(-=+-=+-=a k f a k f a k f πππππ，∵)(x f 关于)(42Z k k x ∈+=ππ对称，∴)(x f 在)42,2(πππ+k k 及)22,42(ππππ++k k 上的零点个数为偶数，要使)(x f 在区间)0πn ，（恰有2011个零点，则上述区间端点必有零点（1）若7=a ，则0)42(,0)2(≠+=πππk f k f ，考虑区间)2,0(π及),2(ππ上的零点个数．ABCP Q ID O 1I 1 I 2令].2,1((cos sin ∈+=t x x t 则0473)(2=-+-==t t t g y ，解得11=t （舍），)4sin(2342π+==x t ，故在2 ,0(π内有两解．当),2(ππ∈x 时，72sin 3)cos (sin 7)(---=x x x x f ，令]2,1((cos sin ∈-=t x x t ，则01073)(2=-+==t t t g y ，解得11=t （舍），3102-=t （舍），故在),2(ππ内⽆解．因此，)(x f 在区间),0(π内有三个零点．.503201114)1(3),0(==-=-+n n n n n 个零点。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
高中数学竞赛模拟试题及详细解析答案
高中数学竞赛模拟试题及详细解析答案一. 选择题(本题满分30分,每题5分)1. 设()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,满足:()()223f x h x x x -=++.则()()f x h x +的表示式（ ）.A.223x x -+-B.223x x ++C. 223x x -+ D.()223x x -++2. ()()44040sin sin 60sin 60ααα+-++的值为（ ）.A.23B. 1C. 89D.983. 设,,A B C 分别在正四面体P KMN -的棱,,PK PM PN 上,已知1PA =,2PB =,3PC =.则截面ABC ∆的面积为（ ）.A.4. 已知I 是ABC ∆的内心,3,2,4BC AC AB ===,若AI mAB nAC =+uu r uu u r uu u r.则m n +的值为 （ ）.A.13B. 23C. 49D.595. 对于三位数abc ,满足()37abc a b c =++的三位数的个数共有（ ）.A.12个B. 15个C. 13个D.14 个6. 若两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点构成一正方形, 则22m n +的值（ ）. A.25 B. 7 C. 252D.72二. 填空题(本题满分30分,每题5分) 7. 己知b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====.则k =_____________.8. 设数列{}n a 的通项公式n a =.则99S =____________.9. 设P 是锐角ABC ∆内部任意一点, P 至边,,BC CA AB 的距离分别为,,PD PE PF . 则BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅的最小值是______________.10. 已知实系数方程320x ax bx c +++=的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的离心率.则ba的取值范围是______________.11. 计算 __________.12. 函数()3261321f x x x x =+++,已知()()1,21f a f b ==.则a b +=__________.三. 解答题(本题满分80分,每题20分)13. 设n N ∈，对于满足条件:22111000n a a ++=的所有等差数列:123,,,a a a L L .试求1221n n n S a a a +++=+++L 的最大值.14. 设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令tan ,tan ,tan A p B q C r ===. 求证(1).1qr rp pq ++< 的充分必要条件是:2A B C π++<; (2).1qr rp pq ++= 的充分必要条件是:2A B C π++=; (3).1qr rp pq ++> 的充分必要条件是:2A B C π++>.15. 己知双曲线22221x y a b -=的离心率e =2x =, 直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于,;,B C A D . (1).求双曲线的方程; (2). 求证AB CD =;(3). 如果AB BC CD ==,求证OBC ∆的面积为定值.16. 设D 是等腰ABC ∆的底边BC 的中点,P 是ABC ∆内部一点,满足PCA PBC ∠=∠.求证 0180BPD APC ∠+∠=.参考答案一. 选择题(本题满分30分,每题5分)1. 设()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,满足:()()223f x h x x x -=++.则()()f x h x +的表示式 (A)A.223x x -+-B.223x x ++C. 223x x -+ D.()223x x -++解 因为()f x 是奇函数,()h x 是偶函数,()()223f x h x x x -=++,则()()()()222323f x h x x x f x h x x x ---=-+⇔+=-+-故选A .2. ()()44040sin sin 60sin 60ααα+-++的值为 (D)A.23 B. 1 C. 89 D.98解 记()()44040sin sin 60sin 60T ααα=+-++,()()()()()()()2220002202041cos 21cos 12021cos 120232cos 2cos 1202cos 1202cos 2cos 1202cos 1202T ααααααααα⎡⎤⎡⎤=-+--+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+-++⎣⎦++-++而()()000cos 2cos 1202cos 1202cos 22cos120cos 2cos 2cos 20ααααααα+-++=+=-=()()()()()220202000cos 2cos 1202cos 12021cos 21cos 24041cos 24042131cos 41cos 240cos 422αααααααα+-++⎡⎤=++-+++⎣⎦=+++= 所以 339488T =+=.故填D.3. 设,,A B C 分别在正四面体P KMN -的棱,,PK PM PN 上,已知1PA =,2PB =,3PC =.则截面ABC ∆的面积为 (C)A.解 记,,PA a PB b PC c ===,根据余弦定理得:BC CA AB ==再由海仑公式得:S =将1,2,3PA a PB b PC c ======代入,计算得S ==故选C.4. 已知I 是ABC ∆的内心,3,2,4BC AC AB ===,若AI mAB nAC =+uu r uu u r uu u r.则m n +的值为 (B)A.13 B. 23 C. 49 D.59解 在ABC ∆中,延长AI 交BC 于D .则422AB AC λ===.故1233AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r .因为3,2,1BC BD CD =⇒==,在ABD ∆中,I 分AD 的比'422AB BD λ===. 224399AI AD AB AC ==+uu r uuu r uu u r uuu r , 所以242993m n +=+=.故选B .5. 对于三位数abc ,满足()37abc a b c =++的三位数的个数共有个. (B)A.12个B. 15个C. 13个D.14 个解 因为三位数abc ,满足()37abc a b c =++,所以()1001037a b c a b c ++=++,即()()63273673443a a c a b c a c b a =+⇔=+⇔-=-所以当a b c ==时,共有9种,即111;222;333;444;555;666;777;888;999当 3,7,0374,8,145,9,2a b c a c b c a b c b a a b c ===⎧-=⎧⎪⇒-=⇒===⎨⎨-=⎩⎪===⎩; 即370,481,592. 当 4,0,7375,1,846,2,9a b c a c b c a b c b a a b c ===⎧-=-⎧⎪⇒-=-⇒===⎨⎨-=-⎩⎪===⎩; 即407,518,629. 所以满足()37abc a b c =++条件的三位数共有15个.故选B.6. 若两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点构成一正方形, 则22m n +的值 (A) A.25 B. 7 C.252D.72解 根据两椭圆2222221,1169x y y x m n +=+=的四个焦点能构成一正方形,则 222216925m n m n -=-⇔+=或 222216925m n m n -=-⇔+=故选A.二. 填空题(本题满分30分,每题5分) 7. 己知b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====.则1k =-或3k =.解 因为b c d c d a d a b a b ck a b c d++++++++====,所以有 (){();;3;.b c d ak c d a bk a b c d k a b c d c a b ck a b c dk ++=⎧⎪++=⎪⇒+++=+++⎨++=⎪⎪++=⎩ 当0a b c d +++=时,1k =-;当0a b c d +++≠时,3k =.8. 设数列{}n a 的通项公式n a =.则99910S =.解 对n a 裂项分解n a ====所以1n S =,999110S ==9. 设P 是锐角ABC ∆内部任意一点, P 至边,,BC CA AB 的距离分别为,,PD PE PF .则BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅的最小值是2.解 因为 2S PD BC PE CA PF AB =⨯+⨯+⨯;BPC PA BC S S ∆⨯≥-, CPA PB CA S S ∆⨯≥-, APB PC AB S S ∆⨯≥-所以 32BPC CPA APB BC PA CA PB AB PC S S S S S ∆∆∆⨯+⨯+⨯≥---=.故2BC PA CA PB AB PCT PD BC PE CA PF AB⋅+⋅+⋅=≥⋅+⋅+⋅.当P 点是ABC ∆的垂心时,取得最小值是2.10. 已知实系数方程320x ax bx c +++=的三个根可以作为一椭圆,一双曲线,一抛物线的离心率.则b a 的取值范围是12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 解 记()32f x x ax bx c =+++,因为抛物线的离心率为1,所以()10f =,即101a b c c a b +++=⇔-=++()()()()323221111f x x ax bx c x ax bx a b x x a x a b =+++=++-++⎡⎤=-+++++⎣⎦因为()()211h x x a x a b =+++++在()0,1与()1,∞内各有一根,于是()()0010230010h a b a b h >⎧++>⎧⎪⇒⎨⎨++<<<⎩⎪⎩.由线性规划知,易得: 12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.11. 计算3=.解3=.12. 函数()3261321f x x x x =+++,已知()()1,21f a f b ==.则4a b +=-.解 ()()()332613212211f x x x x x x =+++=++++,记()3h x x x =+,则()()h x h x -=-,()h x 是奇函数.因为()()()()()()()()3322111210221121210f a a a h a f b b b h b =++++=⇒+=-=++++=⇒+=所以()()220h a h b +++=,故得2204a b a b +++=⇔+=-.三. 解答题(本题满分80分,每题20分)13. 设n N ∈，对于满足条件:22111000n a a ++=的所有等差数列:123,,,a a a L L .试求1221n n n S a a a +++=+++L 的最大值.解由柯西不等式得:()()()12111122131122501n n n n n n a a a a S a a a n n n +++++++-⎛⎫⎛⎫=+++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=+L当113n a a +=-,22111000na a ++=,即1110,30n a a +=-=时,S 的最大值为()501n +.14. 设,,0,2A B C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令tan ,tan ,tan A p B q C r ===. 求证 (1).1qr rp pq ++< 的充分必要条件是:2A B C π++<; (2).1qr rp pq ++= 的充分必要条件是:2A B C π++=; (3).1qr rp pq ++> 的充分必要条件是:2A B C π++>.证明 记1T qr rp pq =++-,cos cos cos S A B C =，则tan tan tan tan tan tan 1sin sin sin sin sin sin 1cos cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos T B C C A A B B C C A A BB C C A A BB C A C A B A B C A B C A B C=++-=++-++-=()()()sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos C A B C A B A B C A B C A B C+-+-++==因为,,A B C ∠∠∠均为锐角，所以cos cos cos 0S A B C =>.而302A B C π<++<. 故 ()0cos 02T A B C A B C π<⇔++>⇔++<.同理可证:02T A B C π=⇔++=; 02T A B C π>⇔++>.15. 己知双曲线22221x y a b -=的离心率e =2x =, 直线l 与双曲线右支及双曲线的渐近线交于,;,B C A D . (1).求双曲线的方程; (2). 求证AB CD =; (3). 如果AB BC CD ==,求证OBC ∆的面积为定值.解 由题设条件2c a a c ==,得1,a c ==所以双曲线的方程221x y -=. (2). 设直线l : y mx b =+,1m ≠±.11;.11A D A D b b x x y mx b y mx b m my x b y x by y m m -⎧⎧==⎪⎪=+=+⎧⎧⎪⎪-+⇒⇒⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩则AD 的中点坐标为22,11bmb m m ⎛⎫⎪--⎝⎭. 将y mx b =+代入221x y -=,得()()2221210m x bmx b ---+=.由韦达定理得BC 中点坐标也为22,11bmb m m ⎛⎫⎪--⎝⎭.从而AB CD =. (3). 设点()(),,,A a a D d d -,0,0a d >>.由AB BC CD ==得:22,33a d a d C +-⎛⎫⎪⎝⎭. 由点C 在双曲线上得222291338a d a d ad +-⎛⎫⎛⎫-=⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11133638BOC AOD S S OA OD ad ∆∆==⨯===16. 设D 是等腰ABC ∆的底边BC 的中点,P 是ABC ∆内部一点,满足PCA PBC ∠=∠.求证 0180BPD APC ∠+∠=.证明 因为AC AB =,将APC ∆旋转至AEB ∆,连,PE BE ,过B 点作BF ∥PC ,与PD 的延长线交于F .因为D 是BC 的中点,BF ∥PC ,所以BDF CDP ∆≅∆,即得 BF CP =.又,EBP FBP BE PC BF ∠=∠==,所以PBE PBF ∆≅∆,得,EPB FPB PBF ABC AEP ∠=∠∠=∠=∠,因此 在PBE ∆中,BPD APC EPB AEB ∠+∠=∠+∠EPB PEB AEP EPB AEP PBE π=∠+∠+∠=∠+∠+∠=。
2024年上海高三数学竞赛试题及答案
2024年上海市高三数学竞赛试题2024年3月24日上午9:30〜11:30一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。
的最小值是.192.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)3.计算「2|「4「6I I「2024、2，厂1厂3«「5「7<(厂2023、2_(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—>2024十^2024—口2024^2024；—4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。
— ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积的最大值是•7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3V Qb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有组.二、解答题(每小题15分，共60分)9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PB PC=0.求|OP|的最大值.10.求所有正整数n(n>3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1(q>b>0).11.数列｛。
曷满足：Q i=Q2=1,a n+2=a n+1+a n(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第2行的10个数之和为&(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.2024年上海市高三数学竞赛试题解析一、填空题1.【解析】解:整理得上注=1,因此"2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（&0）29,等号成立当且仅当a b a b b a〃=8=3时取得，则最小值是9.2.【解析】解:甲以3：0获胜的税率是P q=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）?=3*以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.株上所述，甲获It的概.率•是p=P q+P i+p?=共X I3.【解析】解:由二项式定理可加（"6）皿=㈡抽皿+Um湖"％…CicW板皿“，...+C魏〃皿2024令"=展=|可得（1“皿=£。
高中数学竞赛题
1、在一组数据中，平均数为15，中位数为14，众数为13。
如果将每个数据点增加2，新的平均数、中位数和众数分别是多少？A. 17, 16, 15B. 17, 15, 14C. 17, 16, 15（答案）D. 17, 15, 132、一个矩形的长是宽的2倍，如果矩形的周长是36厘米，那么矩形的长是多少厘米？A. 6厘米B. 9厘米C. 12厘米（答案）D. 18厘米3、一个等边三角形的边长是10厘米，那么这个等边三角形的面积是多少平方厘米？A. 25√3平方厘米B. 50√3平方厘米（答案）C. 75√3平方厘米D. 100√3平方厘米4、一个正方体的边长是5厘米，那么这个正方体的对角线长度是多少厘米？A. 5√3厘米（答案）B. 10√3厘米C. 15√3厘米D. 20√3厘米5、一个圆的直径是10厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？A. 25π平方厘米（答案）B. 50π平方厘米C. 75π平方厘米D. 100π平方厘米6、一个梯形的上底长4厘米，下底长8厘米，高是3厘米，那么这个梯形的面积是多少平方厘米？A. 6平方厘米B. 12平方厘米（答案）C. 18平方厘米D. 24平方厘米7、一个长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是3厘米，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？A. 12立方厘米B. 24立方厘米C. 36立方厘米D. 72立方厘米（答案）8、一个等腰三角形的底边长是12厘米，两腰各长10厘米，那么这个等腰三角形的高是多少厘米？A. 6厘米B. 8厘米（答案）C. 10厘米D. 12厘米。
全国高中数学联合竞赛预赛模拟试卷附答案
全国高中数学联合竞赛预赛模拟试卷一． 选择题（共6小题，每题6分）1．设()n n nx a x a a xx 221021+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为（A ）n3 （B ）23-n（C ）213-n （D ）213+n 答： 【 】2．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[- 答： 【 】 3．设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin)(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 】 4．正方体的截平面不可能是(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是：(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】 5．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅a c ，4=⋅b c 。
则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答： 【 】 6．设函数)(x f y =满足1)()1(+=+x f x f ，则方程x x f =)(根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答： 【 】 二．填空题（共6小题，每题9分） 7. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=32232332x x x x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=56656556x x x x x N ，求 N M = 。
8. 已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = 。
高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案
高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案一、选择题（本题满分30分，每小题5分）已知关于x 的方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，则实数a 的取值范围（A ）（A ）（B ）（C ）（D ） 解．利用数形结合，容易得出实数a 的取值范围a 1故选A 2．当直线所围成的图形的面积是(D)(A) (B)4 (C)9 (D)16解：直线方程可变为（x-1）cos +（y-1）sin =4于是求出点A （1，1）到直线的距离d=,所以当直线=+所围成的图形是以点A 为圆心，以4为半径的圆，从而所围成的图形的面积是16.故选D 3.数列{a n }中，相邻两项a n ,a n+1是方程x 2+3nx+b n =0的两根，已知a 10=－17.则b 51的值等于(B) （A ）5800（B ）5840（C ）5860（D ）6000解:∵a n +a n+1=－3n ，∴a n+2－a n =(a n+2+a n+1)－(a n+1+a n )=－3(n+1)－(－3n)=－3∴a 1,a 3,…,a 2n+1和a 2,a 4,…,a n 都是公差为－3的等差数列，∴{}1≥a a {}11-≤≥a a a 或{}11>-<a a a 或{}10<<a a ≥,取遍全体实数时ϑ)4sin(24sin cos πϑϑϑ++=+y x ππππϑϑ4sin cos 422=+ϑϑ,时R ∈ϑϑϑsin cos y x +4)4sin(2πϑ+πa 52=a 10+21(－3)=－80a 51=a 11+20(－3)∵a 10+a 11=－30∴a 11=－13∴a 51=－73，b 51=a 51·a 52=5840故选B4.已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数，且，，则的值等于(D)（A ）2（B ）1（C ）0（D ）解：由题意：， ∴a 、b 是方程的两根，∴，∴∴=.故选D5.设函数f(x)=,如果f()=，那么的值等于(C)（A ）3（B ）7（C ）（D ）解：取x=,有f()= 而当=时有x=所以故选C6、已知p,p+14,p+q 都是质数，并且p 有唯一的值和它对应，则q 只能取(A) A40B44C74D86解：q 只能取40。
竞赛数学高中试题及答案
竞赛数学高中试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为x1和x2，则x1 + x2的值为：A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，a3 = 8，则该数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 63. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的模|z|的取值范围为：A. [1, 3]B. [0, 3]C. [1, 5]D. [0, 5]4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值为：A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 25. 若a，b，c是等比数列，且a + b + c = 14，b^2 = ac，则a + c 的值为：A. 4B. 8C. 10D. 126. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 = c^2，求角C的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴有两个交点，则判别式Δ的取值范围为：A. Δ > 0B. Δ = 0C. Δ < 0D. Δ ≥ 08. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则向量a + b的坐标为：A. (4, 6)B. (-2, -2)C. (2, 6)D. (4, -2)9. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 2D. 010. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a > 0，b > 0），且双曲线C的一条渐近线方程为y = 2x，则a/b的值为：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5二、填空题（每题6分，共30分）11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 3^n - 1，求a5的值为________。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛加试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分 设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
2024年全国高中数学竞赛试题
选择题设函数f(x) = sin(x) + cos(2x)，则f'(π/4) 的值为：A. -√2/2B. √2/2C. -1D. 1（正确答案）已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，且a1 = 1，S3 = 9，则a4 的值为：A. 5B. 6C. 7（正确答案）D. 8若复数z 满足(1 + i)z = 2i，则z 的共轭复数为：A. 1 - iB. 1 + i（正确答案）C. -1 - iD. -1 + i已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则a 与b 的夹角的余弦值为：A. √5/5B. 2√5/5（正确答案）C. 3/5D. 4/5设函数f(x) = ex - x - 1，则不等式f(x) > 0 的解集为：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)（正确答案）C. (-∞, 1)D. (1, +∞)已知椭圆C: x2/4 + y2/3 = 1，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF1 ⊥ PF2，则|PF1| × |PF2| 的值为：A. 6/7B. 12/7C. 9/4（正确答案）D. 3/2已知函数f(x) = ln(x + 1) - x，则f(x) 的单调递增区间为：A. (-1, 0)（正确答案）B. (0, +∞)C. (-∞, -1)D. (-∞, 0)已知三角形ABC 的内角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，且a = 2，b = 3，cos C = -1/2，则三角形ABC 的面积为：A. 3√3/4B. 3√3/2（正确答案）C. 3/2D. 3已知数列{an} 满足a1 = 1，an+1 = 2an + 3，则数列{an} 的通项公式为：A. an = 2n - 1B. an = 2(n+1) - 3C. an = 2n + 3 - 4/2n（正确答案）D. an = 2(n-1) + 3。
2023-2024学年冬季竞赛高中数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年冬季竞赛高中数学模拟试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（ ）2log 4=A ．B ．0C ．1D ．21-2．平面向量，则（ ）(1,1),(2,3)a b == ||a b +=A ．3B ．5C ．7D ．113．已知实数x ，y 满足约束条件该约束条件在坐标平面上表示的区域如图所示，则1,2,1,x y x y x ≥-⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩y 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[2,2]-[1,1]-[2,1]-[1,2]-4．已知等比数列满足，若，则（ ）{}n a 1231a a a =>1n a =n =A ．2B ．3C ．4D ．55．设，集合．则“”是“”的（ ）,R a b ∈{}{}22,1,,1A a a B b b =+=+A B =a b =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能赋分97分及以上．若这些学生的原始分的最大值为a ，最小值为b ，令为满足的()f x ()100,()97f a f b ==一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分．已知()x b x a ≤≤()f x(2)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01；0.3p =(3)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99．0.9p =4．C【分析】根据给定条件，求出数列【详解】设等比数列{而，则，又11a >01q <<又，故，因此AB BC ⊥1111A B B C ⊥由，是的中点知1AD BC ⊥D 1BC ，故11tan tan BAC B AC ∠=∠∠）由题意可设直线(:A AB y y t x -=-代入抛物线得22y px =22p y y t -+设直线，同理可得():A A AC y y s x x -=-点不存在，所以，C 3t ≠-对于，想象这个图顺时针转了一个小角度，3t <-所以，3t <-。
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高中数学竞赛试题(模拟)一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( )A ．1292-+-x x B ．1292-+x xC ．1292+--x x D ． 1292+-x x2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上为单调增函数的是 ( )A ．①B ．②C ．①和③D ．②和④3.方程x x x x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．44.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( ) 5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．18 6.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80B ．40C ．24D ．-487.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( )A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则minmax S S的值为 ( )A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( )A ．x<y<zB ．y<z<xC ．z<x<yD ． z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中，==,，试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子17.设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 nnn n a a 111+≥+18.在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257. (1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||⋅的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证：33arcsin32≤++<γβαπ参考答案一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题：11. 25 12. 13. 4 14. 1三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根.由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22即 0122243=-+--a x x a x a 的实根 由A ⊆B ，知上方程左边含有一个因式12--x ax ，即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A=B ，即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根，则0)1(4222<--=∆a a a ，由此解得 43<a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得 ,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值范围是 ]43,41[-16.解：A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：76,117,129,108，且11712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设A 组做x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣，C 组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条) 依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因为 0≤x ≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax =125.因此，安排A 、D 组都做7天上衣，C 组做7天裤子，B 组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111 由算术-几何平均值不等式，可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a a a a a a 113120+-⋅⋅⋅注意到 110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即 nnn n a a 111+≥+18.解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C 又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+ 而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||BN BM ⋅的最小值的集合为空集.19.证明：由 题意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>当2πγβ≥+时，2πγβα>++.当2πγβ<+时，)(2γβπα+->，同样有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==， 则 1sin sin sin 12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大. 所以，当α=β=γ=33arcsin时，α+β+γ取最大值 333arcsin . 综上可知， 33arcsin32≤++<γβαπ。