九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数的图象与性质第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性
2020春北师大版九年级数学下册第二章二次函数2二次函数的图像与性质练习
2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质1.填空：（1）y＝x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（2）y＝-x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（3）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.（4）在抛物线y＝-x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x 的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.2.如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是_________ ．3.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（）A．B．C．D．4.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；(2)画出图象；(3)根据图象，求出S ＝1cm 2时，正方形的边长； (4)根据图象，求出c 取何值时，S ≥4cm 2.2.2 二次函数的图象与性质第2课时 二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.7.在同一坐标系中，二次函数y=－21x 2，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 8.在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41 x 2的共同特点是( )A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小;D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点. 9.如图，函数y ＝ax 2与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).10.求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y=12x 2的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4.11..已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值.2.2 二次函数的图象与性质第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质1.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x yB. 32-=x yC. 2)3(+=x yD. 2)3(-=x y2.抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ） A.3),0,3(-=-x 直线 B. 3),0,3(=x 直线 C. 3),3,0(-=-x 直线 D. 3),3,0(-=x 直线3.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A.321y y y >>B. 312y y y >>C. 213y y y >>D. 123y y y >>4.把抛物线2)1(6+=x y 的图象平移后得到抛物线26x y =的图象，则平移的方法可以是（ ）A.沿y 轴向上平移1个单位长度B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度5.若二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）A. 2B. 2-C.0D. 2± 6.对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）A.22+-=x yB.22+=x y C.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y 7.对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 当0>x 时，y 随x 的增大而减小B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小8.二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0,0）； ③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大； ④它们的开口的大小是一样的. 其中正确的说法有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9.抛物线2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件
3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增 大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增 大而增大
y随x的增 大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二） 二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系： 二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大 小，a>0，图象开口向上，a<0，图象 开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一） 画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准： 答案正确加4分.
九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.2二次函数的图象与性质课件(新版)北师大版
图象形状 开口方向 对称轴
抛物线
抛物线 抛物线 向上 向上 向下 向下 y轴 y轴 y轴 y轴
顶点坐标
（0，0） （0，0）
（O，O）
（0，0）
y=-x2
抛物线
课堂探究
探究二 函数y=3x²及y=-3x²的图象会有哪些特点？
函 数
图象形状 开口方向 对称轴
抛物线 向上 y轴
顶点坐标
（0，0）
（O，O）
y=3x² y=-3x²
抛物线
向下
y轴
课堂探究
探究三
y=ax2（a≠0）的图象有哪些特征？
y=ax2 （a≠0）的图象是一条抛物线， 其顶点坐标是（0，0） 对称轴是y轴（也可写作直线x=0）
-4
y=2x2 y=x2
y
10 8
6
4
2
-2
0
2
x
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下 随着 ︱a︱的增大，开口将越来越小
(4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下. 随着︱a︱的增大，开口将越来越小.
2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系
y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的 当c>0 时，向上平移c个单位; 当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
随堂检测
1.（乐山·中考）将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式
x y=-2x2 y=-x2 -2 -1 0 1 2
y=2x2 10
y
y=x2
8 6 4
2
-8 -4
-2 -1
0 0
2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课件 初中数学北师大版九年级下册
2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为
(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向 向上 .
2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称
轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向 左
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第5课时PPT课件(华师大版)
例 3 [教材补充例题]
2
(1)已知 0≤x≤1,那么函数 y=-2x +8x-6 的
最大值是 ( B )
B.0
A.-6
C.2
D.4
2
(2)函数 y=x +2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别是 ( C )
A.4 和-3
B.-3 和-4
C.5 和-4
D.-1 和-4
第5课时
二次函数最值的应用
第26章
26.2
二次函数
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第26章
第5课时
二次函数
二次函数最值的应用
目标突破
总结反思
第5课时
二次函数最值的应用
目标突破
目标一 能用二次函数模型解决几何图形中的最值
例 1 [教材补充例题] 如图 26-2-4,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12
第5课时
二次函数最值的应用
2
2
则 y=(x-40)[90-3(x-50)]=-3x +360x-9600=-3(x-60) +1200.
∵a=-3<0,∴抛物线开口向下,y 有最大值,最大值为 1200,∴销售该
苹果每天能获得的最大利润是 1200 元.
上面的解答过程正确吗?如果不正确,错在哪里?并写出正确的
cm,BC=24 cm,动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 cm/s 的速度移动(不
与点 B 重合),动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 cm/s 的速度移动(不
与点 C 重合),点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发.
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
苏科版九年级数学下册_5.2.2二次函数y=ax2+k,y=a(x+ h)2,y=a(x+h)2+k
感悟新知
2. 二次函数y=a(x+h)2的图像与性质
函数
y=a(x＋h)2(a>0)
知2－讲
y=a(x＋h)2(a<0)
图像
开口方向 顶点坐标
对称轴 顶点位置
增减性
向上
向下
(h，0)
直线x=h
当h>0 时，顶点在y 轴的左侧(即x 轴的负半轴上)； 当h<0 时，顶点在y 轴的右侧(即x 轴的正半轴上)
感悟新知
特别解读：
知4－讲
①抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x＋h)2，y=a(x－h)2+k中a
值相等， 所以这四条抛物线的形状、大小完全一样，
故它们之间可互相平移得到.
②抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，所不
同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下
平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自
当k为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，
向下平移；“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：
抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
感悟新知
知1－讲
例 1 [模拟·镇江] 将抛物线y=－2x2－1 向上平移 3个单位 长度后，得到的抛物线的表达式是__y_=_－__2_x_22_＋__12_____.
解题秘方：根据上加下减的规律，直接在函数表 达式上加 3 可得新函数的表达式. 2
感悟新知
知1－讲
解：∵抛物线y=－2x2－1 向上平移 3 个单位长度，
∴ y=－2x2－1+
3 2
，即y=－2x2+
1 2
.
2
感悟新知
知1－讲
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，
2.2 二次函数的图象与性质 第5课时 教案
一、情境导入在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙的身高是1.5米，距甲拿绳的手水平距离为1米，绳子甩到最高处时，刚好通过他的头顶．当绳子甩到最高时，学生丁从距甲拿绳的手2.5米处进入游戏，恰好通过．你能根据以上信息确定学生丁的身高吗？二、合作探究探究点：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质【类型一】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的性质若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－b2a＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3，∴y2＞y3＞y1.故选C.方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的位置与各项系数符号的关系已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－b2a＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________(填序号)．解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；因为对称轴在y轴右侧，∴对称轴为－b2a＞0；由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③都正确．故答案为①②③.方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】二次函数y＝ax2＋bx＋c与一次函数图象的综合在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是()解析：若函数y＝mx＋m中的m＜0时，函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝下，对称轴为x＝－b2a＝－22m＝－1m＞0，则对称轴应在y轴右侧，故A、B选项错误，D选项正确；若函数y＝mx＋m中的m＞0时，函数y＝mx2＋2x＋2开口方向朝上，对称轴为x＝－b2a＝－22m＝－1m＜0，则对称轴应在y轴左侧，故C选项错误．故选D.方法总结：熟记一次函数y＝ax＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【类型四】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与几何图形的综合已知：如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点．(1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积S △MCB .解析：(1)将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式；(2)根据抛物线的解析式先求出点M 和点B 的坐标，可将S △MCB 化为其他图形面积的和差来解．解：(1)依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝8，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)令y ＝0，得(x －5)(x ＋1)＝0，解得x 1＝5，x 2＝－1，∴点B 的坐标为(5，0)．由y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，得点M 的坐标为(2，9)．作ME ⊥y 轴于点E ，可得S △MCB ＝S 梯形MEOB －S △MCE －S △OBC ＝12(2＋5)×9－12×4×2－12×5×5＝15. 方法总结：本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 【类型五】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的实际应用跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E .以点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋0.9.(1)求该抛物线的解析式；(2)如果身高为157.5厘米的小明站在OD 之间且离点O 的距离为t 米，绳子甩到最高处时超过他的头顶，请结合函数图象，求出t 的取值范围．解析：(1)已知抛物线解析式y ＝ax 2＋bx ＋0.9，选定抛物线上两点E (1，1.4)，B (6，0.9)，把坐标代入解析式即可得出a 、b 的值，继而得出抛物线解析式；(2)求出y ＝1.575时，对应的x 的两个值，从而可确定t 的取值范围．解：(1)由题意得点E 的坐标为(1，1.4)，点B 的坐标为(6，0.9)，代入y ＝ax 2＋bx ＋0.9，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋0.9＝1.4，36a ＋6b ＋0.9＝0.9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.1，b ＝0.6.故所求的抛物线的解析式为y ＝－0.1x 2＋0.6x ＋0.9； (2)157.5cm ＝1.575m ，当y ＝1.575时，－0.1x 2＋0.6x ＋0.9＝1.575，解得x 1＝32，x 2＝92，则t 的取值范围为32＜t ＜92.方法总结：解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．三、板书设计二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）函数有最小值B．对称轴是直线x=A．C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞03．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或24．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________．5．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线_________．6．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m=_________．7．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．8．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．9．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_________个；（2）∠求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；∠求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．总结二次函数性质，充分地相信学生，鼓励学生大胆地用自己的语言进行归纳，在教学过程中，注重为。
2.2.2 二次函数的图象与性质(课件)九年级数学下册课件(北师大版)
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
第二章 二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
20
解：存在．∵点B在x轴上，点C在y轴上， ∴当△BOC是等腰三角形时，只有BO＝CO. 由y＝－(x－m)2＋1＝0， 得x1＝m＋1，x2＝m－1. 又∵点B在点A右边，∴点B(m＋1，0)．
21
∴OB＝m＋1. 当x＝0时，y＝1－m2，∴C(0，1－m2)． 又∵图象开口向下，点C在x轴下方， ∴OC＝m2－1.∴m＋1＝m2－1. ∴m1＝2，m2＝－1(舍去)． ∴存在m的值使△BOC是等腰三角形，此时m＝2.返回
22
16．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高
度为1 m的喷水管喷出的抛物线型水柱最大高度为
返回
12
11．(中考•常德)将抛物线y＝2x2向右平移3个单位长度， 再向下平移5个单位长度，得到的抛物线对应的函 数解析式为( A ) A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5 C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－5
返回
13
12．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动， 而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位长度， 那么在新坐标系下此抛物线的解析式是( D ) A. y＝3(x－3)2＋3 B. y＝3(x－3)2－3 C. y＝3(x＋3)2＋3 D. y＝3(x＋3)2－3
2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段
位于x轴的上方，则a的值为( A )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
返回
6
5．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且 经过点(0，1)的是( C ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
返回
9
8．(中考•天津)已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自
2.2二次函数的图像和性质
<列表>
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
做一做
描点,连线
y
10 8 6 4
2 y=x
?
-4 -3 -2 -1
2 0 -2 1 2 3 4 x
议一议
观察图象,回答问题串
y
10
2 y=x
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流 . 8 (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出 6 几对对称点,并与同伴交流. 4 (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? 2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 1 的值如何变化？当x>0呢？
开口方向
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函 数y=x2和y=-x2的图象
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的
增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增
大而减小,当x=0时,函数y的值最大
想一想
二次函数y=ax²+bx+c的图象
驶向胜利 的彼岸
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经 作过的二次函数的图象有什么关系? 你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?
九年级数学二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
二 二次函数y=ax2的图象与y=a(x-h)2的图象的关系
想一想
抛物线 y 1 x 12，y 1 x 12 的图象与抛物线
2
2
y 1 x2 的图象有什么关系？
2
－4
y 1 x 12
2
－2 －2 －4
24
y 1 x 12
2
y 1 x 12
a,c的符号
a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0
a<0,c<0
图象
开口方向
向上
对称轴 顶点坐标
y轴（直线x=0） （0,c）
函数的增减性 最值
当x<0时，y随x增大 而减小；当x>0时，y 随x增大而增大.
x=0时，y最小值=c
向下 y轴（直线x=0）
（0,c）
当x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物 线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函 数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
当堂练习
1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么 平移后抛物线的解析式是 y=-(x+3)2或y=-(x-3)2 . 2顶.二点次坐函标数是y_=_2(_(32_x,_-0_) 23__).2图象的对称轴是直线___x__32__，
解析：∵抛物线y＝3(x＋ 2 )2的对称轴为x＝－ 2，a＝ 3＞0，∴x＜－ 2时，y随x的增大而减小；x＞－ 2 时， y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3 2，y1)，∴点 A在抛物线上的对称点A′的坐标为(3 2 ，y1)．∵－ 2＜ 1＜0＜3 2，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.
二次函数的图象与性质(第5课时)PPT课件
A. (5，0)
B. (0，5) C. (0，3) D. (3，0)
4、对于抛物线y=-2x2+4x+1，下列说法正确的是（ C ）
A. y最大值=1 B. y最小值=1 C. y最大值=3 D. y最小值=3
5. 画二次函数y=x2-2x-1的图象.
配方：y=(x-1)2-2 对称轴：x=1， 顶点坐标：(1，-2)
动脑筋 画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
配方：y
= =
-
2 2
x2 +
x-
6
3 2
x-1 =
2
+2×
- 2( x2 - 3 x)-1=
94-1
=
-2
x- 32
-
2
x2
2
+72
.
-
3
x
+
-
3 2
2
-
-
3 2
2
-1
对称轴是直线 x =
3 2
，顶点坐标是
3 2
,
7
A. y=-(x-1)2-3
B. y=-(x+1)2-3
C. y=-(x-1)2+3
D. y=-(x+1)2+3
2、抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐标是（ A ）
A. (0，2) B. (1，0) C. (0，-3) D. (0，0)
3、把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的顶点
坐标为（ B ）
这个最大值等于顶点的纵坐标
7 2
.
从二次函数
y
=
1( 2
x
北师版九年级下册数学精品教学课件 第二章二次函数 第五课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1 -1
1
则该二次函数图象的对称轴为( D )
A. y轴 C. 直线 x=2
B. 直线
x=
5 2
D. 直线 x= 3
2
2. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标 和最值：
(1) y 2x2 12x 13; 直线 x=3 3, 5 最小值-5
(2) y 5x2 80x 319; 直线 x=8 8,1 最大值1
想一想：配方的 方法及步骤是什么？
1 (x 6)2 3. 2
y 1 x2 6x 21 你知道是怎样配方的吗？
2
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
配
(3)“化”：化成顶点式.
方
提示：配方后的表达
式通常称为配方式或
y 1 (x 6)2 3 2
顶点式.
问题2 你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗？
当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. 5
试一试
O
5
10 x
你能用上面的方法讨论二次函数 y=2x2-8x+7 的图象和
性质吗？
典例精析 例1 求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴、顶点坐 标和增减性.
解： y 2x2 8x 7 2(x2 4x) 7
2(x2 4x 4) 8 7 2(x 2)2 1.
D. b≤1
当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，
∴抛物线 y =－x2＋2bx＋c 的对称轴应在直线 x=1 的左 侧而抛物线 y = －x2＋2bx＋c 的对称轴 x 2b b ，
第5课时 y=a(x-h)^2+k的图象与性质
第5课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质一、阅读课本： 二、学习目标：1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质； 3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 三、探索新知：画出函数y ＝－12 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．列表：x… －4 －3 －2 －1 0 1 2 … y ＝－12 (x ＋1)2－1……1．由图象归纳：2．把抛物线y ＝－12 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2－1．四、理一理知识点2．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________．五、课堂练习 1．2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同． 3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12x 2相同的解析式为（ ）A ．y ＝12 (x －2)2＋3B ．y ＝12 (x ＋2)2－3C ．y ＝12(x ＋2)2＋3D ．y ＝－12(x ＋2)2＋34．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值．7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为__________________．六、目标检测1．开口方向顶点对称轴y＝x2＋1y＝2 (x－3)2y＝－ (x＋5)2－42．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）A B C D4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）。
人教版 九年级数学讲义 二次函数的图像与性质(含解析)
第5讲二次函数的图象与性质知识定位讲解用时：2分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数的图象与性质，本节课的重点是掌握二次函数的平移法则，能够结合二次函数图象和性质判断a、b、c的之间的关系，而难点在于二次函数的图象和性质的综合考查，需要学生能够根据二次函数的图象与性质正确分析并解决问题。
希望同学们能够认真学习并掌握，为后面二次函数的应用打好基础。
知识梳理讲解用时：25分钟二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表；①描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点；①连线：用平滑的曲线按顺序连接各点；①在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来，画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧。
x…-223--112-0121232…2y x= (4)491140141494…（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|abac442-|个单位得到的。
12341234xyxyOO1212----图1图2向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位课堂精讲精练【例题1】抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析式是___________________。
【答案】218232y x x =++【解析】本题考查了二次函数平移规则，根据二次函数的平移法则，“上加下减，左加右减”，可知平移后的函数解析式为()21892y x =+-，整理即为218232y x x =++讲解用时：2分钟解题思路：牢记平移法则即可。
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教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
一、提出问题
1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
(函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。
2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
[因为y＝－ x2＋x－ ＝－ (x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)]
5．你能画出函数y＝－ x2＋x－ 的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?
二、解决问题
由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－ x2＋x－ 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－ x2＋x－ 的图象，进而观察得到这个函数的性质。
2．通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
教学要点
(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2
三、做一做
1．请你按照上面的方法，画出函数y＝ x2－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?
教学要点
(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；
(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－ ， )
四、课堂练习：P12练习。
五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？
作业
设计
必做
选做
教学
反思
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和
方 法
让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
情 感
态 度
价值观
教学重点
用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标
教学难点
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－ 、(－ ， )
(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)
3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?
(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)
4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－ x2＋x－ 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
2.2 二次函数的图象与性质
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
教学时间
课题
第5课时 二次函数y=a +bx+c的图象和性质
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2Байду номын сангаас使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过 程
以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；
y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋ x)＋c ＝a[x2＋ x＋( )2－( )2]＋c ＝a[x2＋ x＋( )2]＋c－ ＝a(x＋ )2＋
说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。
(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。
让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；