第五章--趋势外推预测方法
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人力需要预测之趋势外推预测法
人力需要预测之趋势外推预测法将人力资源需求量的历史数据按时间顺序排列，即可形成一个时间数列。
时间数列分为绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列三种，人力资源需求量是绝对数，因而其数列是绝对数时间数列。
按数列反映的现象性质不同，又可分为时期数列和时点数列，人力资源需求量是期末时点上的数据，因而其数列是时点数列。
在明确人力资源需求时点数列的性质后，考虑采用恰当的预测方法。
针对时点数列，一般可选用三种方法：方法一，当时点数列不存在长期趋势和季节变动时，宜采用平滑方法预测；方法二，当时点数列存在长期趋势但不含季节变动时，宜采用趋势外推方法预测；方法三，当时点数列存在长期趋势和季节变化时，宜采用趋势季节模型方法预测。
当人力资源需求时点数列不存在长期趋势，但中短期内有一定规律可循时，可采用方法一。
但是当随时间变化的趋势不明显时，一般最好不要采用该类数量方法预测，所以方法一在人力资源需求预测方面运用较少。
当人力资源需求呈现长期发展趋势，又随季节变化时，采用方法三。
在组织中，一般人员是较为固定的，不会轻易随季节变化而变动，否则会严重地影响员工的忠诚度，甚至有些企业提倡经济萧条时也不裁员，因随便增减人员对企业危害巨大。
也有符合该要求的人力资源需求数列，比如有淡旺季之分的产品促销员，这些促销员是临时招聘，而非正式员工，市场上供给充分，不需要过早预测，所以方法三更少运用。
事实上，当正式员工需求呈现长期发展趋势时，不会考虑季节变动，一般选用方法二，所以趋势外推预测法（trend analysis）是人力资源需求预测中运用最广泛的时点数列预测方法。
趋势外推预测法中，最重要的是找出趋势线。
找出趋势线的方法有多种，一般有绘图法、分段平均法、最小二乘法、指数平滑法等。
最简单、最直观的方法是绘图法。
以人力资源需求量为纵轴，以时间为横轴，在坐标图上描出各年的历史数据。
观察这些点是否有一定的发展规律，如果有，尝试在图上画出一条直线或曲线，使得大多数点尽可能地与这条线重合或接近。
趋势外推法ppt课件
两边取对数：ln yˆt ln a bt
产生序列 ln yt ，之后进行普通最小二乘估计该 模型,最终得到估计模型为：
yˆt 303.69 e0.0627t
20
其中调整的 R2 0.9547 ，F 632.6 F0.05(1,30) ，则 方程通过显著性检验，拟合效果很好。标 准误差为：175.37。
所求修正指数曲线预测模型:
yt 73.1738 22.2719 0.5556t
预测2000年的社会总需求量:
yt 73.1738 22.2719 0.55569 73.1
29
此例反映了这样的时间序列变化规律: 初期迅速增加,一段时期后增长量逐渐降低,而逐增
长量的环比速度又大体上一致,最后发展水平趋向于 某一正的常数极限,那么,这种时间序列的发展趋势就 适宜用修正指数曲线来描述和预测。
SE ( y yˆ)2 n
例3:下表是我国1952年到1983年社会商品零售 总额(按当年价格计算），分析预测我国社会商 品零售总额 。
16
年份
1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
时序 （t）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
yt ,
t 0,1,2,3n 1
n1
2n1
3n1
S1 yt , S2 yt , S3 yt
t0
tn
t2n
于是得A、B、K的估计式为
1
B
S3 S2
S2 S1
n
A
B
1S
2
S1
n
2
B 1
K
1 n
S1
A
B
产生序列 ln yt ，之后进行普通最小二乘估计该 模型,最终得到估计模型为：
yˆt 303.69 e0.0627t
20
其中调整的 R2 0.9547 ，F 632.6 F0.05(1,30) ，则 方程通过显著性检验，拟合效果很好。标 准误差为：175.37。
所求修正指数曲线预测模型:
yt 73.1738 22.2719 0.5556t
预测2000年的社会总需求量:
yt 73.1738 22.2719 0.55569 73.1
29
此例反映了这样的时间序列变化规律: 初期迅速增加,一段时期后增长量逐渐降低,而逐增
长量的环比速度又大体上一致,最后发展水平趋向于 某一正的常数极限,那么,这种时间序列的发展趋势就 适宜用修正指数曲线来描述和预测。
SE ( y yˆ)2 n
例3:下表是我国1952年到1983年社会商品零售 总额(按当年价格计算），分析预测我国社会商 品零售总额 。
16
年份
1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962
时序 （t）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
yt ,
t 0,1,2,3n 1
n1
2n1
3n1
S1 yt , S2 yt , S3 yt
t0
tn
t2n
于是得A、B、K的估计式为
1
B
S3 S2
S2 S1
n
A
B
1S
2
S1
n
2
B 1
K
1 n
S1
A
B
5时间序列趋势外推预测
yn
1
^
yn
1
^
yn
1
yn1
n
1
^
yn
1
yn1
^
yn
1
n
1
9.2 有非水平趋势样本序列的趋势外推法
• 如果时间序列是均值缓慢变动的，则使用局部均值模型。
• 1.加权滑动平均预测法
• 滑动平均预测
• 对时间序列
y1 y2 L yn 要外推预测值为
记 yn1
^
yn 1
^
yn 1
yn yn1 L ynN1
• （2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向， 则a就取大一点，如（0.6~0.8）。
• 在实用上，类似移动平均法，多取几个a值进行试 算，看哪个预测误差小，就采用哪个。
年份
1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
例7 某市1976~1987年某种电器销售额如下表所示。试
• 在加权平均算法中，如果所加权数随数据的时限增长而几何方式减小，
则
yt 1
的预测值
^
yn
可以写为：
•
^
n1
yn 1 C t ynt
其中C
n1
t
1由于
t0
t0
n1 t
1n 1
t0
则C
1 1n
^
n1
yn 1 1 t yn j 1 yn yn1 2 yn2 L
j0
• 令 1 则：
^
yn 1
yn 1 yn1 1 2 yn2 L
简化得到一次指数平滑公式为：
^
y (1) t
1
^
yn
1
^
yn
1
yn1
n
1
^
yn
1
yn1
^
yn
1
n
1
9.2 有非水平趋势样本序列的趋势外推法
• 如果时间序列是均值缓慢变动的，则使用局部均值模型。
• 1.加权滑动平均预测法
• 滑动平均预测
• 对时间序列
y1 y2 L yn 要外推预测值为
记 yn1
^
yn 1
^
yn 1
yn yn1 L ynN1
• （2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向， 则a就取大一点，如（0.6~0.8）。
• 在实用上，类似移动平均法，多取几个a值进行试 算，看哪个预测误差小，就采用哪个。
年份
1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
例7 某市1976~1987年某种电器销售额如下表所示。试
• 在加权平均算法中，如果所加权数随数据的时限增长而几何方式减小，
则
yt 1
的预测值
^
yn
可以写为：
•
^
n1
yn 1 C t ynt
其中C
n1
t
1由于
t0
t0
n1 t
1n 1
t0
则C
1 1n
^
n1
yn 1 1 t yn j 1 yn yn1 2 yn2 L
j0
• 令 1 则：
^
yn 1
yn 1 yn1 1 2 yn2 L
简化得到一次指数平滑公式为：
^
y (1) t
趋势外推预测方法简介
2. 皮尔曲线模型
5.4 包络曲线法
分析和预测复杂的技术系统，特别是从事长远预 测时，不仅要预测技术发展的量变过程，同时要预测 技术发展的质变过程。若用一条相切于这些S形生长 曲线的平滑的包络线来描述这一过程，则可以得到表 示一种技术特性发展总体趋势的曲线，这就是包络曲 线法。R．Ａyres在科学技术预测和长远规划一书中 ，列举了许多实例用以说明很多整体技术系统是符合 包络曲线发展规律的。
5.3 生长曲z）模型
取对数， 特征：
修正指数曲线 。
7. 逻辑（Logistic）增长型曲线模型
y=k, y=0, 上、下两条渐近线
缓慢
k
快速增长
平稳发展 饱和状态 特征：
企业集团形成发展行为，技术创 新扩散的基本规律，手机普及率等。
5.3 生长曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
注意：并不是任何一组数据都可以用修正指数曲线 拟合。采用前应对数据检验，检验方法是看给定数
据的逐年增长量的比率是否接近某一常数e-K，即
5.2 修正指数曲线法例题
例：根据统计资 料，某厂收音机 连续15年的销售 量如下表所示， 试用修正指数曲 线预测1986年 的销售量
趋势外推预测方法简介
2020年4月21日星期二
第五章 趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件是： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物
的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不
变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合 未来，能代表未来趋势变化的情况。
基本思想
模型库 模型识别 参数估计 预测
5.4 包络曲线法
分析和预测复杂的技术系统，特别是从事长远预 测时，不仅要预测技术发展的量变过程，同时要预测 技术发展的质变过程。若用一条相切于这些S形生长 曲线的平滑的包络线来描述这一过程，则可以得到表 示一种技术特性发展总体趋势的曲线，这就是包络曲 线法。R．Ａyres在科学技术预测和长远规划一书中 ，列举了许多实例用以说明很多整体技术系统是符合 包络曲线发展规律的。
5.3 生长曲z）模型
取对数， 特征：
修正指数曲线 。
7. 逻辑（Logistic）增长型曲线模型
y=k, y=0, 上、下两条渐近线
缓慢
k
快速增长
平稳发展 饱和状态 特征：
企业集团形成发展行为，技术创 新扩散的基本规律，手机普及率等。
5.3 生长曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
注意：并不是任何一组数据都可以用修正指数曲线 拟合。采用前应对数据检验，检验方法是看给定数
据的逐年增长量的比率是否接近某一常数e-K，即
5.2 修正指数曲线法例题
例：根据统计资 料，某厂收音机 连续15年的销售 量如下表所示， 试用修正指数曲 线预测1986年 的销售量
趋势外推预测方法简介
2020年4月21日星期二
第五章 趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件是： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物
的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不
变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合 未来，能代表未来趋势变化的情况。
基本思想
模型库 模型识别 参数估计 预测
第5章-趋势外推预测法
yt a0 a1t ... amt
yt a0 a1t a2t
特征：
2
m
若增长曲线为二次抛物线，则其二阶差分为常数。
二阶差分
2 yt yt yt 1
△y t= △y t-1=
y t－ y t-1 y t-1－ y t-2
适用于时间序列观察值数据随时间变动呈现一 种由高到低再到高（或由低到高再到低）趋势变化。
6
3. 简单指数曲线
yt ab
特征：
t
或
yt ae
0 b 1
6 5 4 3 2
kt
b 1
ln yt 线性地依赖
于时间 t .
与
y 的增长速率 ty 成正比。
t
1
-1
-0.5
0.5
1
适用：若对象增长速度越来越快，其趋势近似指 数函数曲线，且判断他在预测期限内不会出现突然变 化，可考虑采用。
ˆ xt 0 a
t 1
n
yt
t 1
n
n
y
ˆ b
x y
t 1 n t 2 x t t 1
n
t
29
2) 计算求待定系数所需的数据资料
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 编号 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 利润 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020 额
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 利润额t y 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020 6650
趋势外推预测法
趋势外推预测法摘要: 电力负荷预测是电力系统规划的重要组成部分, 也是电力系统经济运行的基础, 任何时候, 电力负荷预测对电力系统规划和运行都极其重要。
近年来, 随着我国电力供需矛盾的突出及电力工业市场化营运机制的推进, 电力负荷预测的准确性有待进一步提高；然而, 由于社会运转速度的不断加快和信息量的膨胀, 使准确的负荷预测变得愈加困难。
关键字: 电力；负荷预测；预测方法；趋势外推。
负荷预测方法可分为确定性负荷预测方法和不确定性负荷预测方法。
确定性负荷预测方法是把电力负荷预测用一个或者一组方程来描述, 电力负荷与变量之间有明确的一一对应的关系。
其中又可分为经验技术预测法、经典技术预测法、经济模型预测法、时间序列预测法、相关系数预测法和饱和曲线预测法等。
不确定性预测方法基于类比对应等关系进行推理预测的, 包括灰色理论预测法、专家系统法、模糊预测法、神经网络法、小波分析预测法等。
常用到的确定性负荷预测方法主要有: 回归分析法；时间序列预测法；趋势外推预测法。
本文主要介绍和分析趋势外推预测法。
一、回归分析法回归分析法就是通过对历史数据的分析、研究, 并考虑和电力负荷有关的各种影响因素, 建立起适当的回归预测模型, 用数理统计中的回归分析方法对变量的观测数据统计分析, 从而预测未来的电力负荷。
回归预测模型可以是线性的也可以是非线性的, 可以是一元的也可以是多元的, 其中一元线性回归预测是最基本的、最简单的预测方法。
回归分析法适用于中、短期预测, 它的预测精度依赖于模型的准确性和影响因子（如国民生产总值、工农业生产总值、人口、气候等）预测值的准确度, 该方法只能预测出综合用电负荷的发展水平, 无法预测出各供电区的负荷发展水平, 无法进行具体的电网建设规划。
二、时间序列法时间序列预测方法就是根据到目前为止的历史资料数据, 即时间序列所呈现出来的发展趋势和规律, 设法建立一个数学模型, 在该数学模型的基础上用数学方法进行延伸、外推, 预测出今后各时期的指标值。
趋势外推预测法
表3.2某家电企业1993～2003年年利润及加权拟合直线法计算表（单位：万元）
年份
1993
1Hale Waihona Puke 9419951996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
利润额
200
300
350
400
500
630
700
750
850
950
1020
6650
10
9
8
7
6
5
4
3
2
3.1.1
时间序列的变化趋势从图形上看，就是序列呈现某种增长或衰减的趋势，这种趋势是长期趋势。尽管时间序列的项值是各方面因素综合作用的结果，但序列呈现的线性趋势，说明其中有的因素是长期起决定作用而致。必须把这个长期趋势研究清楚，才能进行外推预测。
线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同，因而只要将其趋势直线加以延伸，便可预测未来的项值。一般而言，这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。
1) 列表计算有关数据。按式（3.11）与式（3.12）的要求，分别计算各年的 , , ， ， ， ，并加总求和，然后代入上式，有：
联立求解得 ， ，故预测模型为
(3.1.13)
2）预测值。
当 时， =101.68＋83.66×12=1105.6(万元)
当 时， =101.68＋83.66×13=1189.26(万元)
大量事实证明，事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。据统计,约有80％的技术预测使用这种方法。这种方法的主要优点是,可以揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。利用趋势外推法进行预测,在国外的工业公司和科研机构已经得到了广泛的应用，我国的某些技术和经济部门也已开始应用。
年份
1993
1Hale Waihona Puke 9419951996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
1
2
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利润额
200
300
350
400
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630
700
750
850
950
1020
6650
10
9
8
7
6
5
4
3
2
3.1.1
时间序列的变化趋势从图形上看，就是序列呈现某种增长或衰减的趋势，这种趋势是长期趋势。尽管时间序列的项值是各方面因素综合作用的结果，但序列呈现的线性趋势，说明其中有的因素是长期起决定作用而致。必须把这个长期趋势研究清楚，才能进行外推预测。
线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同，因而只要将其趋势直线加以延伸，便可预测未来的项值。一般而言，这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。
1) 列表计算有关数据。按式（3.11）与式（3.12）的要求，分别计算各年的 , , ， ， ， ，并加总求和，然后代入上式，有：
联立求解得 ， ，故预测模型为
(3.1.13)
2）预测值。
当 时， =101.68＋83.66×12=1105.6(万元)
当 时， =101.68＋83.66×13=1189.26(万元)
大量事实证明，事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。据统计,约有80％的技术预测使用这种方法。这种方法的主要优点是,可以揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。利用趋势外推法进行预测,在国外的工业公司和科研机构已经得到了广泛的应用，我国的某些技术和经济部门也已开始应用。
趋势外推预测法
1、最小二乘法确定直线方程
最小二乘法：通过对时间序列拟合直线，使得直线 上的预测值与实际观察值之间的离差平方和最小。
n
2
Q ( yt aˆ bˆxt )
t 1
❖ 然后利用数学上的最优化求解方法，通过求导 使Q值达到最小。
❖ 解得： aˆ y bˆx
n
(xt x)(yt y)
bˆ t1 n
❖ Ｍt(2)＝(Ｍt(1)＋Ｍt-1(1)＋…Mt-N+1(1))/N
式动中平：均Ｍ值t；(2)为N为第移t期动二时次期移数动。平均值；Ｍt(1)为一次移
设时间序列从某时期t开始具有线性增长趋势，且认为 未来时期也按线性趋势变化，则可建立如下趋势直 线方程：
at=2Mt(1)-Mt(2)
bt=2/(N-1)*(Mt(1)-Mt(2) )
模型关键：确定平滑系数和初始值
平滑系数a的确定：
（1）当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，a 应取小一些，如0.1~0.3，以减小修正幅度。 （2）当时间序列的波动较大时，应选择居中 的a值，如0.3-0.5。
❖ （3）当时间序列波动很大时，并呈现明显的 且上升或下降趋势时， a值应取大些，如0.60.8，以使预测模型灵敏度高些，能迅速跟上 数据的变化。（4）在实际预测值中，可以取 几个a值进行试算，比较他们的预测误差，选 择误差小的那个a值。
(xt x)2
t 1Leabharlann ❖ 例1：已知A公司1998年—2008年的销售利润 如下表所示，是预测该公司2009年的销售利 润。
❖ 首先：判断数据的特点。
❖ 形式1：统计图 ❖ 形式2：差分
其次：确定参数。 方法1：利用“工具”——数据分析——回归 这里的回归是对时间t的回归。
管理会计_第五章_预测分析
定量分析法：1、趋势外推法
又称时间序列法，将某指标过去的变化趋势作为预测的 依据，而把未来作为历史的自然延续的一种方法。
算术平均法 移动平均法
趋势平均法
平滑指数法 加权平均法
定量分析法：2、因果预测 法
根据预测对象与其他相关指标之间相互依存、 相互制约的、有规律性的联系，来建立相应的
因果数学模型所进行的预测分析方法。
（二）移动平均法
预测销售量＝最后m期算术平均销售量＋趋势值b
某企业2011年上半年实际销售额
月份 1
2
3
4
销售额 1030 1200 1100 1210
单位：万元
5
6
1240 1300
依前例，假设移动期为3，预测7月份的销售额。 最后两期的预测算术平均值为：
6月份的预测销售额=（1100+1210+1240）÷3=1183（万元） 7月份的预测销售额=（1210+1240+1300）÷3=1250（万元） 所以：趋势值 b ＝1250-1183＝67 则：8月份预测销售额＝1250 + 67＝1317（万元）
二、趋势外推法（趋势预测分析法）
趋势预测分析法又称时间序列分析法，是 根据销售的历史资料，采用一定的数理统计 方法，来推测未来销售的一种定量分析方法。
算术平均法
加权平均法
趋势平均法
移动平均法
平滑指数法
（一）算术平均法
预测销售量（额）=各期销售量（额）之和 ÷ 期数
某企业2011年上半年实际销售额
月份 1
2
3
4
销售额 1030 1200 1100 1210
单位：万元
5
6
第五章-趋势外推预测法
类型、特征 属何种类型 确定模型
预测
2021/5/18
7
5.1趋势外推法概述
3趋势模型的选择 （1）图形识别法：
这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将 时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察 值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函 数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适 的模型。
2021/5/18
没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线 反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。 趋势外推法的两个假定： （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，
其条件不变或变化不大。
2021/5/18
3
5.1趋势外推法概述
（2）常见的趋势预测模型 ①多项式曲线外推模型：
一次（线性）预测模型：
yˆt b0 b1t
二次（二次抛物线）预测模型：y ˆt b0b1tb2t2
三次（三次抛物线）预测模型：yˆt b0b1tb2t2b3t3
一般形式：
y ˆt b 0 b 1 t b 2 t2 b k tk
2021/5/18
4
5.1趋势外推法概述
②指数曲线预测模型： 一般形式 ：
yˆt aebt
修正的指数曲线预测模型 ：
yˆt abct
2021/5/18
5
5.1趋势外推法概述
③对数曲线预测模型： yˆt ablnt
④生长曲线趋势外推法：
皮尔曲线预测模型 ：
yt
1
L aebt
yˆ k a 龚珀兹曲线预/18
6
5.1趋势外推法概述
（3）基本思想 模型库 模型识别 参数估计
编号 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 利润 额 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020
定量预测趋势外推法
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二 趋势(qūshì)模型及选择
• 正确识别并选择趋势模型是应用趋势外推法 的首要工作，基本方法有两种： 1 图形(túxíng)识别法
• 2 差分计算
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1 直线， 指数 ，二次抛物线， 三次曲线等模型(móxíng)的 图形
直线(zhíxiàn)
二次抛物线
三次曲线
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指数
2差分法
10.73是市场(shìchǎng) 的饱和点
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二、皮尔曲线
模型形式：yˆ
1
L aebt
数学特点：倒数的一阶
差分的环比为常数
皮尔：美国生物学家和人口统计学家(Raymond Pearl， 1870～1940年)， 皮尔曲线有时也被称作逻辑斯蒂(logistic) 曲线或生长曲线。由于该曲线可以反映生物的生长过程，所 以皮尔曲线在生物繁殖、人口发展统计和产品生命周期分析 等方面(fāngmiàn)都有着广泛的应用。L为时间序列中Y值的 极限值。
• 所谓差分，是变量的微小变化。根据历史数据计 算差分把数据修匀，将非平稳时间序列转换为平 稳序列，通过该平稳序列的表现，来发现该套用 那个(nà ge)模型。
• 假设时间序列为yt （t=1 ,2，3 ……，n） • 一阶向后差分为： y’t = yt - yt -1 • 二阶向后差分为： y”t= y’t -y’t -1 • 三阶向后差分为： y”’t= y”t –y”t -1 • 多阶以此类推
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函数(hánshù)图形
Yˆ
t
a
ln
bbt
Yˆ
t
aln
b2
bt
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• 指数曲线模型不能预测接近极限值时的特性值，因为当 接近某一极限值时，特性值已不按指数规律增长。在产 品导入期阶段，产品需求增长很慢，而随着时间的推移， 社会需求不断增大，产品在早期的市场中也逐渐完善起 来，因而需求量会快速增加，当产品的市场容量接近市 场上限时，需求量的增长速度就会慢下来。产品市场发 展(fāzhǎn)的全过程就会经历发生、发展(fāzhǎn)、成熟 和衰退四个阶段，而这正是生长曲线所能描述的。生长 曲线又称S曲线。S曲线（又称逻辑增长曲线）包括龚珀 兹曲线和皮尔曲线。两种曲线模型特别适用于成熟期商 品的预测。
二 趋势(qūshì)模型及选择
• 正确识别并选择趋势模型是应用趋势外推法 的首要工作，基本方法有两种： 1 图形(túxíng)识别法
• 2 差分计算
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1 直线， 指数 ，二次抛物线， 三次曲线等模型(móxíng)的 图形
直线(zhíxiàn)
二次抛物线
三次曲线
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指数
2差分法
10.73是市场(shìchǎng) 的饱和点
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二、皮尔曲线
模型形式：yˆ
1
L aebt
数学特点：倒数的一阶
差分的环比为常数
皮尔：美国生物学家和人口统计学家(Raymond Pearl， 1870～1940年)， 皮尔曲线有时也被称作逻辑斯蒂(logistic) 曲线或生长曲线。由于该曲线可以反映生物的生长过程，所 以皮尔曲线在生物繁殖、人口发展统计和产品生命周期分析 等方面(fāngmiàn)都有着广泛的应用。L为时间序列中Y值的 极限值。
• 所谓差分，是变量的微小变化。根据历史数据计 算差分把数据修匀，将非平稳时间序列转换为平 稳序列，通过该平稳序列的表现，来发现该套用 那个(nà ge)模型。
• 假设时间序列为yt （t=1 ,2，3 ……，n） • 一阶向后差分为： y’t = yt - yt -1 • 二阶向后差分为： y”t= y’t -y’t -1 • 三阶向后差分为： y”’t= y”t –y”t -1 • 多阶以此类推
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函数(hánshù)图形
Yˆ
t
a
ln
bbt
Yˆ
t
aln
b2
bt
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• 指数曲线模型不能预测接近极限值时的特性值，因为当 接近某一极限值时，特性值已不按指数规律增长。在产 品导入期阶段，产品需求增长很慢，而随着时间的推移， 社会需求不断增大，产品在早期的市场中也逐渐完善起 来，因而需求量会快速增加，当产品的市场容量接近市 场上限时，需求量的增长速度就会慢下来。产品市场发 展(fāzhǎn)的全过程就会经历发生、发展(fāzhǎn)、成熟 和衰退四个阶段，而这正是生长曲线所能描述的。生长 曲线又称S曲线。S曲线（又称逻辑增长曲线）包括龚珀 兹曲线和皮尔曲线。两种曲线模型特别适用于成熟期商 品的预测。
趋势外推法
( 3)
三阶差分
一阶差分环比指数
y t y t 1
y t y t1
注意：
增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着一阶 差分 、二阶差分 、三阶差分 、一阶差分 环比指数 为一常数的特征。
曲线趋势外推预测法
y 一、直线趋势外推法(Liner tend ) 1、principle
2 3 t
2.指数曲线外推模型
一般形式 ： 对数曲线 3.增长曲线外推法： 修正的指数曲线 罗吉斯曲线 龚珀兹曲线
ˆt ab y
t
ˆt a b ln t y
ˆt K ab y
1 ˆt y t K ab
t
ˆt Ka y
bt
差分概念
一阶差分
二阶差分
y t y t y t 1 y t y t y t1 yt
Q 2 ( yt a bt) a a 2 ( yt a bt) 0
y
t
na bt 0
（2）
Q 2 ( yt a bt) b b 2t ( yt a bt) 0
2 ty a t b t t 0
-4 -3 -2 -1
25
16 9 4 1
-1000
-2000 -1050 -800 -500
191.0
273.7 356.4 439.1 521.8
0
1 2 3 4
0
1 4 9 16
0
300 700 1200 2000
1999
2000 2001
630
700 750
0
1 2
0
1 4
0
700 1500
三阶差分
一阶差分环比指数
y t y t 1
y t y t1
注意：
增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着一阶 差分 、二阶差分 、三阶差分 、一阶差分 环比指数 为一常数的特征。
曲线趋势外推预测法
y 一、直线趋势外推法(Liner tend ) 1、principle
2 3 t
2.指数曲线外推模型
一般形式 ： 对数曲线 3.增长曲线外推法： 修正的指数曲线 罗吉斯曲线 龚珀兹曲线
ˆt ab y
t
ˆt a b ln t y
ˆt K ab y
1 ˆt y t K ab
t
ˆt Ka y
bt
差分概念
一阶差分
二阶差分
y t y t y t 1 y t y t y t1 yt
Q 2 ( yt a bt) a a 2 ( yt a bt) 0
y
t
na bt 0
（2）
Q 2 ( yt a bt) b b 2t ( yt a bt) 0
2 ty a t b t t 0
-4 -3 -2 -1
25
16 9 4 1
-1000
-2000 -1050 -800 -500
191.0
273.7 356.4 439.1 521.8
0
1 2 3 4
0
1 4 9 16
0
300 700 1200 2000
1999
2000 2001
630
700 750
0
1 2
0
1 4
0
700 1500
趋势外推预测方法简介
1996 1997 1998 1999 2000 60.0 68.0 69.6 71.1 71.7
2001 2002 72.3 72.8
2003 73.2
第五章 趋势外推预测方法
5.3 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到 衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的 速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到 快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长 速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎 停止生长。指数曲线模型不能预测接近极限值时 生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生 长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过 程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲 线）。本节主要介绍两种最为常用的生长曲线龚 珀兹曲线和皮尔曲线。
lg yˆ lg k bt lg a （5.3.2）
式（5.3.2）在形式上已与式（5.3.1）表示的修正指数曲线相同。
第五章 趋势外推预测方法
6. 龚帕兹（Compertz）模型
yt kabt
取对数， ln yt ln k (ln a)bt 修正指数曲线。
特征： yt 线性变化。 yt
2 1.75
1.5 1.5
1.25
1 1
0.75
0.5
0.5
0.25
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
ln a 0 0 b 1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
ln a 0 b 1
第五章 趋势外推预测方法
150 25
125 20
100
15 75
10 50
5
25
2001 2002 72.3 72.8
2003 73.2
第五章 趋势外推预测方法
5.3 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到 衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的 速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到 快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长 速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎 停止生长。指数曲线模型不能预测接近极限值时 生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生 长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过 程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲 线）。本节主要介绍两种最为常用的生长曲线龚 珀兹曲线和皮尔曲线。
lg yˆ lg k bt lg a （5.3.2）
式（5.3.2）在形式上已与式（5.3.1）表示的修正指数曲线相同。
第五章 趋势外推预测方法
6. 龚帕兹（Compertz）模型
yt kabt
取对数， ln yt ln k (ln a)bt 修正指数曲线。
特征： yt 线性变化。 yt
2 1.75
1.5 1.5
1.25
1 1
0.75
0.5
0.5
0.25
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
ln a 0 0 b 1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
ln a 0 b 1
第五章 趋势外推预测方法
150 25
125 20
100
15 75
10 50
5
25
第五章 趋势外推预测法
天津理工大学管理学院
2) 计算求待定系数所需的数据资料
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 编号 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 利润 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020 额
ˆ y t a b ln t
L 1 ae
bt
④生长曲线趋势外推法： 皮尔曲线预测模型 ：
yt
龚珀兹曲线预测模型 ：
ˆ yt ka
b
t
天津理工大学管理学院
5.1趋势外推法概述
（3）基本思想 模型库 模型识别 参数估计 预测
天津理工大学管理学院
类型、特征 属何种类型 确定模型
5.1趋势外推法概述
时序 （t） 12 13
总额 （ yt ） 604.5 638.2
年份 1974 1975
时序 （t） 23 24
总额 （ yt ） 1163.6 1271.1
1954
1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961
3
4 5 6 7 8 9 10
381.1
392.2 461.0 474.2 548.0 638.0 696.9 607.7
n
xt 0
ˆ a
n
yt y
t 1
ˆ b
n
xt yt xt
n
t 1 n
t 1
n
n
2
t 1
n
yt 6650
xt yt 9 1 0 0
05第五章 非线性趋势外推预测法
• 二次曲线外推法是研究时间序列观察值数据随时 间变动呈现一种由高到低再升高(或由低到高再降 低)的趋势变化的曲线外推预测方法。由于时间序 列观察值的散点图呈抛物线形状，故也被称之为 二次抛物线预测模型。
第五章>>第一节
一、二次多项式曲线预测
• 二次多项式曲线模型的形式为： Yt a0 a1t a2t 2 ut (5.2)
对应的时间序列{t}也以相同的权数求加权平均值： 3n 7 11 4 t t3 n t1 2 6 3 3
第五章>>第一节
将这三个点代入二次模型中，可得：
11 11 2 Y1 a0 a1 a2 ( ) 3 3
3n 7 3n 7 2 Y2 a0 a1 ( ) a2 ( ) 6 6
第五章>>第二节
第二节 对数曲线趋势预测
第五章>>第二节
一、对数曲线模型
• 一般情况下，经济数据的时间序列较多地呈现出对数变 化趋势，常见的对数曲线模型有三种： (5.4) ln Yt a bt ut (5.5) ln Yt a b ln t ut (5.6) • 其中，最常见的对数模型为模型（5.4），经过变换有：
五项加权平均
7 49 a R b c 3 9 T R 3n 5 b c n3 3 2( R T 2 S ) c 2 ( N 3)
三项加权平均
第五章>>第一节
• 2.二次多项式曲线趋势预测的适用条件
– 一种方法是简单的直观法，它是将预测对象的时间序 列数据绘制成散点图并对其进行观察，若呈现先升后 降或先降后升的发展趋势，即可采用二次多项式曲线 预测法。简单直观是该方法的优点，但是由于制图比 例、观察者的目测等因素影响，该方法又显得较为粗 糙和不精确。
5.非线性趋势外推预测分析法分析
t 2 y b0
t 2 b1
t 3 b2
t4
解这个三元一次方程，就可求得参数。
• 例5-1 某商店某种产品的销售量如表5-1所示
表5-1 某产品销售量资料 年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 销售量（万件） 10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38
6
• 上述预测2012年销售量为36.15万件，在 给定90%的概率保证程度下，其近似的预测 置信区间为：
yˆ t0.10SE 36.15 1.943 0.32
即在35.53万件~36.77万件之间。
二、三次多项式曲线预测模型及其应用 三次多项式曲线预测模型为：
yˆt b0 b1t b2t 2 b3t3
表5-4 估计标准误差计算表
时序（t） yi
-4
10.0
yˆi
yi yˆi
9.73 0.27
-3
18.0 18.13 -0.13
-2
25.0 25.15 -0.15
-1
30.5 30.79 -0.29
0
35.0 35.05 -0.05
1
38.0 37.93 0.07
2
40.0 39.43 0.57
5.1 趋 势 外 推 法 概 述
一、趋势外推法的概念和假定条件
• 基本概念 • 趋势外推预测是指根据时间序列的长期趋势，以时间t
为自变量，时间序列 为因变量，拟合非线性趋势模型 ， 然后以顺延的时间单位作为已知条件，进行外推预测。 • 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有 明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种 变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。
第五章 趋势外推预测方法
根据曲线形 状选择模型 (模 型 识 别 ）
模型检验
求解模型 参数，确 定模型
第一节 直线趋势外推法
一、直线趋势外推法
在实际应用中，很多时间序列像销售额、进出口额和
产品的产量等都近似是一条直线。那么，可以用线性 趋势方程来描述。
适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。 此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通 过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。
45 40
Y10预测 y11预测
35 30 25 20 15 10 5 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
某商场某种商品过去9个月的销量
30000
y2005预测
25000
20000
15000
y2004预测
10000
5000
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
或者我们看到输出结果中P值为0.9856> 0.05 ,接受原假设 不存在显著性关系，可以舍去，于是将n－1。
A3
，表明
步骤四：对二级和一级自回归模型重复进行步骤二和步骤三，并且 通过显著性检验一级自回归模型是最适合给定的时间序列的，下图是 使用Excel进行一级自回归分析的结果输出图：
2 t 1 t t 1 t t
ˆt 1 b ˆt y ˆt y y
n
n
2
对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。
用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使 趋势值都落在拟合的直线上。
例5-2：假定某企业1986-2005年20年的销售额序列表 如表所示（例5-2数据）。
5预测与决策-趋势外推法
2019 350 3 9 1050 356.4
2019 400 4 16 1600 439.1
2019 500 5 25 2500 521.8
2019 630 6 36 3780 604.5
2019 700 7 49 4900 687.2
2000 750 8 64 6000 769.9
2019 850 9 81 7650 852.6
yabtct2
45
销 销售 售量 量（ （万 万件 件） ）
40 35 30
1 0000000 9 000000 8 000000 7 000000 6 000000
总总需需求求量量（（件件））255 Nhomakorabea000000
20
4 000000
15
33 000000
10
22 000000
5
11 000000
趋势外推法概述
某一些客观事物（如：经济现象）的发展相对于时间推 移，常常有一定的规律。这时，若预测对象变化无明显的季 节波动，又能找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势，即 可建立其趋势模型： y f (t)
当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来的 某个t值就可得到相应时序未来值，这就是趋势外推法。
y2019预测
1400 1200
y2019预测
1000 800
600
利润额 yt
系列2
线性 (利润额 yt)
400
200
0 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
某家用电器厂1993～2019年利润额数据资料
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2 t 1 t t 1 t t
ˆt 1 b ˆt y ˆt y y
n
n
2
对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。
用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使 趋势值都落在拟合的直线上。
例5-2：假定某企业1986-2005年20年的销售额序列表 如表所示（例5-2数据）。
xt 1 2 3 4 5
xt2 1 4 9 16 25
xt*yt 200
预测 值y 191
1 n 1 n a yt b xt n t 1 n t 1 b n xt yt ( xi )( yt )
t 1 t 1 t 1 n n n
600 273.7 1050 356.4 1600 439.1 2500 521.8
利润额yt 利润额 yt
线性 (利润额 yt)
y a bx
某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料
1400
y2005预测
1200 1000
利润额 yt 系列2 线性 (利润额 yt)
y2004预测
800 600 400 200 0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
A0 , A1 , A2 ,, An 都是参数，可以用最小二乘法进行参
数的估计。
用自回归预测模型预测的具体步骤为：
（1）确定最大滞后值n。
（2）形成一系列的滞后时间序列。
（3）运用Excel给出滞后序列的回归结果，确定 自回归方程。
（4）对模型中最高级别参数进行显著性检验
a. 如果通过检验，那么n级自回归模型适用于时 间序列的预测。 b. 如果不拒绝零假设，那么第n个变量将舍弃。 重复进行第三步和第四步，直到最高级别的自回 归参数具有统计上的显著性。这个自回归模型将 选择用于时间序列的预测。
n xt2 ( xt ) 2
t 1 t 1
n
n
1998
1999 2000 2001
630
700 750 850
6
7 8 9
36
49 64 81
3780 604.5
4900 687.2 6000 769.9 7650 852.6
a 108.3
b 82.7
2002
2003 ∑
950
1020
绪 论
趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求 事物发展变化规律，从而推测出事物未来状况的 一种比较常用的预测方法。当预测对象依时间变 化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波 动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化 趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。
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趋势外推法的两个假定： （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物过去的发展因素也决定事物未 来的发展，其条件是不变或变化不大。 惯性原理
n n
上述方程中，t可以取时间序列中的任意时期为原点。假定 时间序列的中间项为0，这样上述公式可以简化为 ：
ty b t
2
a y
例 5-1 ：某家用电器厂 1993~2003 年利润额数据资料 如表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。
年份 利润额
利润额 1200 1000 800 600 400 200 0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
可以清楚的观察到一条逐渐向上的直线，其直线回归的调 整后的可决系数为0.966。
第二节 有趋势序列的自回归预测模型
通常情况下，时间序列的各期观察值之间必定存 在着一定程度的自相关。利用时间序列中各期数 据的相关性，通过前期数据计算后期数据或者预 测未来，这就是自回归预测模型（Autoregressive Modeling）。自回归预测模型可分为一级自回归 模型、二级自回归模型和n级自回归模型。
10 100
506
9500 935.3
1018
49000
y 108.3 82.7t
2004年，t 12, y 1100.7
11 121 11220
6650 66
2005年，t 13, y 1183.4
拟合直线方程法的特点
拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数）
ˆ) e (y y 只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。
1200 1200 1000 1000 800 800 600 600 400 400 200 200 0 0
1992 1992 1993 1993 1994 1994 1995 1995 1996 1996 1997 1997 1998 1998 1999 1999 2000 2000 2001 2001 2002 2002 2003 2003 2004 2004 2005 2005
根据曲线形 状选择模型 (模 型 识 别 ）
模型检验
求解模型 参数，确 定模型
第一节 直线趋势外推法
一、直线趋势外推法
在实际应用中，很多时间序列像销售额、进出口额和
产品的产量等都近似是一条直线。那么，可以用线性 趋势方程来描述。
适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。 此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通 过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。
或者我们看到输出结果中P值为0.9856> 0.05 ,接受原假设 不存在显著性关系，可以舍去，于是将n－1。
A3
，表明
步骤四：对二级和一级自回归模型重复进行步骤二和步骤三，并且 通过显著性检验一级自回归模型是最适合给定的时间序列的，下图是 使用Excel进行一级自回归分析的结果输出图：
1993 1994 200 300
1995 1996 350 400
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 500 630 700 750 850 950 1020
利润额 yt 年份 1993 1994 1995 1996 1997 200 300 350 400 500
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ˆ a bt Y t
式中， Y ˆ 是时间t 的预测值；
t 是时间标号；
a 是趋势线在纵轴上的截距；
b 是趋势线的斜率。
应用最小二乘法，可得到线形趋势方程中未知参数的表达式：
b n tY ( Y )( t ) n t 2 ( t ) 2
a
Y b( t )
H 1 : A3 0
将图4-11的数据结果代入到公式中可以得到t值
a3 A3 0.006 0 t 0.018 S a3 0.3263
根据显著性水平 0.05 ，自由度为 t 2n 1 20 2 3 1 13 ， 查t分布表，得到临界值为 2.1604 。由于 2.1604 t -0.018 2.1604
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
趋势模型的选择
图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时 间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为 纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线 模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。
预测步骤
根据观察 的历史数 据画出散 点图
根据模型 预测
45 40
Y10预测 y11预测
35 30 25 20 15 10 5 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
某商场某种商品过去9个月的销量
30000
y2005预测
25000
20000
15000
y2004预测
10000
5000
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
例5-5 我们参看例5-2中某企业1986-2005年20年的销售额序列表，数据资 料如上节中表所示。 步骤一：确定最大滞后值n=3，形成滞后1年、2年、3年的时间序 列如下图显示。
步骤二：运用Excel进行滞后序列的回归。我们使用Excel分析三级
自回归模型时，我们选择数据分析中的回归分析，并且在X变量范围 里面输入如图所示得D5：F21，在Y变量范围里面输入如图所示得C5：
某商场某种商品过去9个月的销量
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
y a ebt
y a bx cx2
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10来自销售量（万件） 销售量（万件）
10000 10000
总需求量（件） 总需求量（件）
使用Excel的做直线趋势分析 ，输出结果如下：
ˆ 453.2563 45.4718t 从分析结果得直线趋势方程为： Y t
直线曲线方程如下所示 ：
Linear curve fit 1,600.00 1,400.00 1,200.00
销售值
1,000.00 800.00 600.00 400.00 200.00 0.00 0 5 10 t 15 20 y = 45.485x + 498.66 R2 = 0.9681
C21；同样的分析二级自回归模型时，在X变量范围里面输入如图所示
得D4：E21，在Y变量范围里面输入如图所示得C4：C21；分析一级自 回归模型时，在X变量范围里面输入如图所示得D3：D21，在Y变量范 围里面输入如图所示得C3：C21。
图 某企业销售额的一级、二级、三级自回归模型序列
我们从三级自回归模型开始分析选择一个最适合这个时间序列的自回 归模型，使用Excel的分析结果如下图所示：
ˆt 1 b ˆt y ˆt y y
n
n
2
对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。
用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使 趋势值都落在拟合的直线上。
例5-2：假定某企业1986-2005年20年的销售额序列表 如表所示（例5-2数据）。
xt 1 2 3 4 5
xt2 1 4 9 16 25
xt*yt 200
预测 值y 191
1 n 1 n a yt b xt n t 1 n t 1 b n xt yt ( xi )( yt )
t 1 t 1 t 1 n n n
600 273.7 1050 356.4 1600 439.1 2500 521.8
利润额yt 利润额 yt
线性 (利润额 yt)
y a bx
某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料
1400
y2005预测
1200 1000
利润额 yt 系列2 线性 (利润额 yt)
y2004预测
800 600 400 200 0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
A0 , A1 , A2 ,, An 都是参数，可以用最小二乘法进行参
数的估计。
用自回归预测模型预测的具体步骤为：
（1）确定最大滞后值n。
（2）形成一系列的滞后时间序列。
（3）运用Excel给出滞后序列的回归结果，确定 自回归方程。
（4）对模型中最高级别参数进行显著性检验
a. 如果通过检验，那么n级自回归模型适用于时 间序列的预测。 b. 如果不拒绝零假设，那么第n个变量将舍弃。 重复进行第三步和第四步，直到最高级别的自回 归参数具有统计上的显著性。这个自回归模型将 选择用于时间序列的预测。
n xt2 ( xt ) 2
t 1 t 1
n
n
1998
1999 2000 2001
630
700 750 850
6
7 8 9
36
49 64 81
3780 604.5
4900 687.2 6000 769.9 7650 852.6
a 108.3
b 82.7
2002
2003 ∑
950
1020
绪 论
趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求 事物发展变化规律，从而推测出事物未来状况的 一种比较常用的预测方法。当预测对象依时间变 化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波 动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化 趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。
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趋势外推法的两个假定： （1）假设事物发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物过去的发展因素也决定事物未 来的发展，其条件是不变或变化不大。 惯性原理
n n
上述方程中，t可以取时间序列中的任意时期为原点。假定 时间序列的中间项为0，这样上述公式可以简化为 ：
ty b t
2
a y
例 5-1 ：某家用电器厂 1993~2003 年利润额数据资料 如表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。
年份 利润额
利润额 1200 1000 800 600 400 200 0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
可以清楚的观察到一条逐渐向上的直线，其直线回归的调 整后的可决系数为0.966。
第二节 有趋势序列的自回归预测模型
通常情况下，时间序列的各期观察值之间必定存 在着一定程度的自相关。利用时间序列中各期数 据的相关性，通过前期数据计算后期数据或者预 测未来，这就是自回归预测模型（Autoregressive Modeling）。自回归预测模型可分为一级自回归 模型、二级自回归模型和n级自回归模型。
10 100
506
9500 935.3
1018
49000
y 108.3 82.7t
2004年，t 12, y 1100.7
11 121 11220
6650 66
2005年，t 13, y 1183.4
拟合直线方程法的特点
拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数）
ˆ) e (y y 只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。
1200 1200 1000 1000 800 800 600 600 400 400 200 200 0 0
1992 1992 1993 1993 1994 1994 1995 1995 1996 1996 1997 1997 1998 1998 1999 1999 2000 2000 2001 2001 2002 2002 2003 2003 2004 2004 2005 2005
根据曲线形 状选择模型 (模 型 识 别 ）
模型检验
求解模型 参数，确 定模型
第一节 直线趋势外推法
一、直线趋势外推法
在实际应用中，很多时间序列像销售额、进出口额和
产品的产量等都近似是一条直线。那么，可以用线性 趋势方程来描述。
适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。 此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通 过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。
或者我们看到输出结果中P值为0.9856> 0.05 ,接受原假设 不存在显著性关系，可以舍去，于是将n－1。
A3
，表明
步骤四：对二级和一级自回归模型重复进行步骤二和步骤三，并且 通过显著性检验一级自回归模型是最适合给定的时间序列的，下图是 使用Excel进行一级自回归分析的结果输出图：
1993 1994 200 300
1995 1996 350 400
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 500 630 700 750 850 950 1020
利润额 yt 年份 1993 1994 1995 1996 1997 200 300 350 400 500
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ˆ a bt Y t
式中， Y ˆ 是时间t 的预测值；
t 是时间标号；
a 是趋势线在纵轴上的截距；
b 是趋势线的斜率。
应用最小二乘法，可得到线形趋势方程中未知参数的表达式：
b n tY ( Y )( t ) n t 2 ( t ) 2
a
Y b( t )
H 1 : A3 0
将图4-11的数据结果代入到公式中可以得到t值
a3 A3 0.006 0 t 0.018 S a3 0.3263
根据显著性水平 0.05 ，自由度为 t 2n 1 20 2 3 1 13 ， 查t分布表，得到临界值为 2.1604 。由于 2.1604 t -0.018 2.1604
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
趋势模型的选择
图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时 间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为 纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线 模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。
预测步骤
根据观察 的历史数 据画出散 点图
根据模型 预测
45 40
Y10预测 y11预测
35 30 25 20 15 10 5 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
某商场某种商品过去9个月的销量
30000
y2005预测
25000
20000
15000
y2004预测
10000
5000
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
例5-5 我们参看例5-2中某企业1986-2005年20年的销售额序列表，数据资 料如上节中表所示。 步骤一：确定最大滞后值n=3，形成滞后1年、2年、3年的时间序 列如下图显示。
步骤二：运用Excel进行滞后序列的回归。我们使用Excel分析三级
自回归模型时，我们选择数据分析中的回归分析，并且在X变量范围 里面输入如图所示得D5：F21，在Y变量范围里面输入如图所示得C5：
某商场某种商品过去9个月的销量
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
y a ebt
y a bx cx2
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10来自销售量（万件） 销售量（万件）
10000 10000
总需求量（件） 总需求量（件）
使用Excel的做直线趋势分析 ，输出结果如下：
ˆ 453.2563 45.4718t 从分析结果得直线趋势方程为： Y t
直线曲线方程如下所示 ：
Linear curve fit 1,600.00 1,400.00 1,200.00
销售值
1,000.00 800.00 600.00 400.00 200.00 0.00 0 5 10 t 15 20 y = 45.485x + 498.66 R2 = 0.9681
C21；同样的分析二级自回归模型时，在X变量范围里面输入如图所示
得D4：E21，在Y变量范围里面输入如图所示得C4：C21；分析一级自 回归模型时，在X变量范围里面输入如图所示得D3：D21，在Y变量范 围里面输入如图所示得C3：C21。
图 某企业销售额的一级、二级、三级自回归模型序列
我们从三级自回归模型开始分析选择一个最适合这个时间序列的自回 归模型，使用Excel的分析结果如下图所示：