利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分ppt课件
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三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
「9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分」
§9.５ 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分对于某些三重积分，由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分１、柱面坐标设M x y z (,,)为空间的一点,该点在xoy 面上的投影为P ,P 点的极坐标为r ,θ,则r z ,,θ三个数称作点M 的柱面坐标。
规定r z ,,θ的取值范围是0≤<+∞r ，02≤≤θπ，-∞<<+∞z柱面坐标系的三组坐标面分别为r =常数,即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数,即过z 轴的半平面;z =常数,即与xoy 面平行的平面。
点M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式x r y r z z ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪cos sin θθ (1) ２、三重积分f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面r=常数，θ=常数,z =常数,将Ω分割成许多小区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由r z ,,θ各取得微小增量dr d dz ,,θ所成的柱体,该柱体是底面积为rdrd θ,高为dz 的柱体,其体积为dv rdrd dz =θ这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到（１)式有f x y z dv f r r z rdrd dz (,,)(cos ,sin ,)ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=θθθ(２)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量z r ,,θ的三次积分,其积分限要由z r ,,θ在Ω中的变化情况来确定。
3、用柱面坐标r z ,,θ表示积分区域Ω的方法(1)、找出Ω在xoy 面上的投影区域D xy , 并用极坐标变量r ,θ表示之;(2)、在D xy 内任取一点(,)r θ, 过此点作平行于z 轴的直线穿过区域, 此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成r ,θ的函数)即为z 的变化范围。
2.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
规定: 规定: 0 ≤ r < +∞ ,
0 ≤ θ ≤ 2 π,
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平 面.
z
θ 为常数
z 为常数
M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
o
θ
r
P (r ,θ )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
Answer : (a ) r = 5 x 2 + y 2 = 55
(b) (c )
Question: In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, dV=dxdydz,
D1 2
8
2π
0
45 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 3 2
4 8
I 2 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
D2 2
2
2π
0
25 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I = π π = 336π . 3 6
球面坐标与直角坐标的关系为
x = ρ sin cosθ, y = ρ sin sin θ, z = ρ cos.
A
x
ρ M ( x , y, z )
0 ≤ θ ≤ 2 π,
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平 面.
z
θ 为常数
z 为常数
M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
o
θ
r
P (r ,θ )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
Answer : (a ) r = 5 x 2 + y 2 = 55
(b) (c )
Question: In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, dV=dxdydz,
D1 2
8
2π
0
45 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 3 2
4 8
I 2 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
D2 2
2
2π
0
25 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I = π π = 336π . 3 6
球面坐标与直角坐标的关系为
x = ρ sin cosθ, y = ρ sin sin θ, z = ρ cos.
A
x
ρ M ( x , y, z )
三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算 ppt课件
zz2(,)
(2)求区域Ω在xoy面的投影Dρθ . (3)定出z的上限和下限.
在Dρθ内作平行于z 轴的直线,
o
穿入区域时, Ω的边界曲面F(ρ,θ,z)=0确定
的z=z1(ρ,θ)为z的下限.
x
穿出区域时, Ω的边界曲面G(ρ,θ,z)=0确定
的z=z2(ρ,θ)为z的下限.
(4)将二重积分化为极坐标系下的累次积分.
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三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算 二、三重积分在球坐标系下的计算
2020/12/2
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二、三重积分在球坐标系下的计算
（一）球坐标系 （二）球坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
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二、三重积分在球坐标系下的计算
2020/12/2
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一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
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➢柱坐标系 平面极坐标系添加oz轴得到的空间坐标系
➢柱坐标
设 M (x,y,z) R 3, x , y
,
x, y, z
, , z
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一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
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一般地 在 f (x, y, z)dv中 若
➢Ω在xoy面的投影为圆或圆的一部分 ➢f(x,y,z)中含有 x 2 y 2或 a r c t a n y 的项
08-柱面坐标系下的三重积分计算PPT
z = z.
2、柱面坐标下的计算公式
一_
jffcMBTilMM IF JUT L; - _
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv = pdpd^dz,
JJJ f (旳 y，z
)dxdydz Q
。 =m f( Q pcos
, psin^, z )pdpdgz ・
3■例题
例1计算I = 0Jzdxdydz ,其中Q是球面
数p,(p, z就叫点M的柱面坐标.
规定：0 < p V +8,
0 < 伊 < In,
z
M ( x, y, z )
—8 V z V +8.
」y
(P P (P，P)
x
如图，三组坐标面分别为
P为常数F
员柱面;
(P为常数F半平面； 七为
常数=>平面.
柱面坐标与直角坐标的 关系为
,பைடு நூலகம்x = pcos9，
< y = psin^,
Q
x2 + y2 + z2 = 4 与抛物面 x2 + y2 = 3
z
所 的立体.
3■例题 L■J—
x =rcos。
丿 解由 y = rsin。, 知交线为
七-七
22
r+ z = 4
乓
n z = 1, r =】3,
r= 3z
把闭区域Q投影到xoy面上，如图,
Q : r2 < z <y 4 一 r2,
3 0<r<
0 <0< 2 丸.
- 13
兀
r
zdz
柱面坐标与直角坐标的关系为如图柱面坐标系中的体积元素为dvpdpddzjjj例1计算i0jzdxdydz其中q是球面rsin
2、柱面坐标下的计算公式
一_
jffcMBTilMM IF JUT L; - _
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv = pdpd^dz,
JJJ f (旳 y，z
)dxdydz Q
。 =m f( Q pcos
, psin^, z )pdpdgz ・
3■例题
例1计算I = 0Jzdxdydz ,其中Q是球面
数p,(p, z就叫点M的柱面坐标.
规定：0 < p V +8,
0 < 伊 < In,
z
M ( x, y, z )
—8 V z V +8.
」y
(P P (P，P)
x
如图，三组坐标面分别为
P为常数F
员柱面;
(P为常数F半平面； 七为
常数=>平面.
柱面坐标与直角坐标的 关系为
,பைடு நூலகம்x = pcos9，
< y = psin^,
Q
x2 + y2 + z2 = 4 与抛物面 x2 + y2 = 3
z
所 的立体.
3■例题 L■J—
x =rcos。
丿 解由 y = rsin。, 知交线为
七-七
22
r+ z = 4
乓
n z = 1, r =】3,
r= 3z
把闭区域Q投影到xoy面上，如图,
Q : r2 < z <y 4 一 r2,
3 0<r<
0 <0< 2 丸.
- 13
兀
r
zdz
柱面坐标与直角坐标的关系为如图柱面坐标系中的体积元素为dvpdpddzjjj例1计算i0jzdxdydz其中q是球面rsin
三重积分的计算法—球面坐标.ppt.ppt
r
o x
y
x
P(x,y,0)
④球面坐标下的体积元素
dv r sin drd d
2
4
为了把三重积分 中的变量从直角坐 标变换为球面坐标， 用三组坐标平面r = 常数， =常数， =常数把积分区域 分成许多小闭区域。
z
d
rsin
dr
rsin d
r
rd
d
o x
2 0
I r sin dr d d rsin
4 4 R 。 2 sin d r dr 0 15
2 0 3 R 4
9
2 0
R 2
2
2
x
0
2 2 2 2 2 2 ( 2 ) x y z dv , : x y z z 解 : 0 r c o s , 0 , 0 2 2
3．发展
(1)原因：
①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 ②修路成为中国人 (2)成果：1909年 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 修筑权 。
救亡图存 的强烈愿望。
京张铁路 建成通车；民国以后，各条商路修筑
正轨。
二、水运与航空
1．水运
(1)1872年,
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办 A．打破了外商对中国航运业的垄断 B．阻止了外国对中国的经济侵略 C．标志着中国近代化的起步 ( )
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵
第五部分利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分教学课件
1
.
三、求曲面z 5 x 2 y 2 及x 2 y 2 4z 所围成的立
体的体积. 四、曲面 x 2 y 2 az 4a 2 将球体 x 2 y 2 z 2 4az 分
成两部分,试求两部分的体积之比.
五、求由曲面z x 2 y 2 , x y a, x 0, y 0, z 0
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
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I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
2
dx
4 x2 dy 3( x2 y2 ) f ( x, y, z)dz ,
2 4 x2
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
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例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
第五节 利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结 思考题
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一、利用柱面坐标计算三重积分
利用柱面坐标与球面坐标计算三重积分
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.
rdrd
Dr
z2 ( r , ) z1 ( r , )
f ( r cos , r sin , z )dz .
通常化为先对 z、再对 r、后对θ 的三次积分.
先将Ω在xOy面上的投影域用极坐标不等式表示
设M(x, y, z)为空间内一点,记向量OM来自长为r , OM与z轴z
r
M ( x, y, z )
z
正方向间的夹角为 , 再将OM
A x
x
O
y
y
P
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的 夹角为 , 称 ( r , , ) 为点M的球面坐标. 规定 0 r , 0 , 0 2 .
=常数: 半平面P
0
y
x
直角坐标与柱面坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z.
在柱面坐标下 1. 若被积函数形如
x y r . 因此
2 2 2
f (x y ) ;
2 2
2. 积分区域Ω是由柱面、锥面、旋转抛物面、平 面或球面所围成.
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面r+d r
半平面 及+d ； 圆锥面及+d
rsind
半径为r及r+dr的球面；
r
圆锥面+d
1
1
2 1dr 2 0 1 r
1
1 r
Dxy
0
1
y
高等数学微积分课件三重积分的计算(柱面球面)描述
z r cos
r
O
x y
P(x, y, z)
P(r, ,)
z
y
Q
x r sin cos y r sin sin z r cos
x2 y2 z2 r2
r constant sphere： x2 y2 z2 constant
rR
rR
constant
dV rdrd dz dxdydz rdrd dz
f (x, y, z)dxdydz
z
rd
dr
r
dz
o
d
x
y
d
f (r cos , r sin , z)rdrd dz
Also
f (x, y, z)dxdydz f (r cos , r sin , z)rdrd dz
z x2 y2 z x2 y2
x2 y2 1
Cylinder (projection line)
The region D : x2 y2 1
z x2 y2
z x2 y2
D : x2 y2 1
with(plots): zuimian:=implicitplot3d(z=sqrt(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2,z=0..1.6,color=black,grid=[20,20,20]): paowumian:=implicitplot3d(z=x^2+y^2,x=-2..2,y=-2..2,z=0..1.8,color=red,grid=[20,20,20]):
Example
(x2 y2 )dV : x2 y2 z 2
r
O
x y
P(x, y, z)
P(r, ,)
z
y
Q
x r sin cos y r sin sin z r cos
x2 y2 z2 r2
r constant sphere： x2 y2 z2 constant
rR
rR
constant
dV rdrd dz dxdydz rdrd dz
f (x, y, z)dxdydz
z
rd
dr
r
dz
o
d
x
y
d
f (r cos , r sin , z)rdrd dz
Also
f (x, y, z)dxdydz f (r cos , r sin , z)rdrd dz
z x2 y2 z x2 y2
x2 y2 1
Cylinder (projection line)
The region D : x2 y2 1
z x2 y2
z x2 y2
D : x2 y2 1
with(plots): zuimian:=implicitplot3d(z=sqrt(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2,z=0..1.6,color=black,grid=[20,20,20]): paowumian:=implicitplot3d(z=x^2+y^2,x=-2..2,y=-2..2,z=0..1.8,color=red,grid=[20,20,20]):
Example
(x2 y2 )dV : x2 y2 z 2
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0
0
r2
(90 2 89). 60
19
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域关于 xoy平面对称，且 被积函数 f ( x, y, z)是关于z的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于z的偶函数，则 三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
为有向线段OM与 z轴正向所夹的角， o
z
为从正 z 轴来看自x 轴按逆时针方向
转到有向线段OP 的角，这里 P 为点 M
x
A
xy
•
P
y
在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，，
就叫做点M 的球面坐标．
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
规定： 0 r , 0 , 0 2.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
4
16
由三重积分的性质知 V dxdydz,
V
2
d
4 d
2a r 2 sin dr
0
0
0
2
4
sin
(
2a )3 d
4 (
2 1)a3 .
0
3
3
17
例 5 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物
面 z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空 间闭区域.
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
2
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z z.
z
• M (x, y, z)
z
or
• P(r, )
y
x
3
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
0
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
15
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 , 0 2,
12
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为 d
dr
r sin
r sind
dv r2 sindrdd ,
r
rd
d
o
y
f ( x, y, z)dxdydz
d
x
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
13
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r
r 2dz
25 6
,
原式I 45 25 336 . 36
9
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) 为空间内一点，则点
M 可用三个有次序的数r，， 来确 z
定，其中r 为原点O 与点 M 间的距离，
r
• M(x, y,z)
球 面； 圆锥面； 半平面．
11
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r • M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
则 OA x, AP y, PM z.
o
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解: 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
14
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
3.5 利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结
1
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
解法（一）
在球面坐标下分成两个部分：
V1
:
0
2
,0
4
,0
r
2;
V2
:0
2 ,
4
2
,0
r
cos sin2
;
18
解法（二）(类似于例1) 在柱面坐标下：
0 2, 0 r 1, r2 z 2 r2 ,
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
2
1
I d rdr
2r2 z2 2r(cos sin )z r2 (1 sin 2 ) dz
是曲线 y2 2z ，x 0 绕oz 轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2,z 8 所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
所围成的立体如图，
7
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
20
例 6 利用对称性简化计算
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
5
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
6
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
2
D2 : x2 y 2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
8
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
dv rdrddz,
z
rd
dr
r
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
4
例1 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x r cos
解
由
y
r
sin
,