结构的阻尼

势能 (应变能: strain energy)：
ES
fs (x)dx
TD (kx)xdt
0
2π
0 ω k(x0sin(ωt φ))(ωx0cos(ωt φ))dt 0
动能 (kinetic energy)：
EK
dTdt TD (mx)xdt 0
0
5
粘弹性阻尼耗散的能量
mx cx kx f (t) p0sin(ωt)
规范的规定
1. 建筑结构抗震规范 GB 50011-2001的8.2.2条也有说 明,全文如下:钢结构在多遇地震下的阻尼比,对不超过 12层的钢结构可采用0.035,对超过12层的钢结构可采 用0.02;在罕遇地震下的分析,阻尼比可采用0.05.
2. 在日本道路公团2005年版的设计要领中,关于阻尼做如 下规定: 对于直接承受动荷载的桥梁上部结构，一般 不希望其工作在弹塑性阶段，阻尼系数取0.02~0.03。 对于在大地震时可能工作在弹塑性阶段的钢下部结构， 当其在弹性域范围内工作时，阻尼系数取0.03~0.05， 当其工作在弹塑性域，且采用等价线性化模型解析时， 阻尼系数取0.1~0.2。
c a0m a1k c a1k
c a0m
14
瑞利(Rayleigh)阻尼
习题 1：
400
2 1
m
1 386
400
, K 6101 2 1
400
1 1
已知结构为瑞利阻尼，给定第一阶和第二阶阻尼比为5%, 求第三阶的阻尼比？
15
John Strutt, 3rd Baron Rayleigh
fs (x) fd (x) kx cx
x x0sin(ωt φ) A πcωx02
kx cω x02 x02 sin2 (ωt φ)
kx cω x02 x2 (t)
x x0
2
f kx cωx0
2
1
讨论： ω 0, A 0
有塑性变形，plastic deformation
Rayleigh's textbook, The Theory of Sound, is still referred to by acoustic engineers today.
Rayleigh ratio (瑞雷商)；
Rayleigh-Ritz method (瑞雷-瑞兹法)； 16
模态阻尼矩阵的叠加法
弹性阶段为何？
7
试验方法 - 等效阻尼法
等效阻尼法为最普通的确定结构阻
尼的方法，它利用一个循环内的力
和位移曲线（滞回曲线）。
滞回曲线所围的面积为结构耗散
fD
的能量：
ED
f D du
2 0
/
(cu)udt
2 / cu 2dt
0
u0
c
2 /
0 [u0
cos(t
)]2 dt
cu02
2
n
ku02
fd (x) cx cωx0cos(ωt φ) cω x02 x02 sin2 (ωt φ) cω x02 x2 (t)
x x0sin(ωt φ)
x x0
2
f cωx0
2
1
A πcωx02
6
粘弹性阻尼耗散的能量
mx cx kx f (t) p0sin(ωt)
试验中测量的总抗力：
Tn [km1k]r r2Tnkr 0, n r. Tn [(km1)2k]r r2Tn [km1km1m]r 0
继续左乘：Tn (km1)l
Tn [(km1)l1k]r 0 Tn clr
cl左乘：I mm1 cl mm1km1km1 km1k m[m1k]l
N 1
第n个模态的模态阻尼为： Cn Tn cn alTn cln
Thomas K. Caughey Professor of Mech.Engr. Caltech, passed away rather suddenly on 7 December 2004, at the age of 77.
A Scotsman, while an undergraduate student in Scotland, he solved all the problems in the famous1940 textbook „Mathematical Methods in Engineering‟, by Theodore von Karman and Maurice Biot, a book used in the 1950‟s as a reference for a graduate course at Caltech. PhD in 1954 at Caltech, assistant prof.(1954), prof.(1962).
第一讲，结构的阻尼
结构动力学基本方程：
MX CX KX 0(P(t))
1
阻尼的分类
(Category of damping)
2
确定粘弹性阻尼的试验方法
粘弹性阻尼（与速度成正比
反向）的测量方法
1,自由振动衰减法
m 2m( / D )
m 2m
, 其中， m
ln(vn
vnm )
2,共振峰处放大系数法
2. Fluid pumping, in which the vibration of structure surfaces forces the fluid medium within which the structure is immersed to pass cyclically through narrow paths or leaks between different zones of the system or between the system and the exterior, thereby dissipating energy.
l 0时：Tn c0n Tn (m)n Mn
l 0
l 1时：Tn c1n Tn (k)n 2Mn
l 2时：Tn c2n Tn (km1k)n n2Tn kn n4Mn
N 1
Cn aln2l M n l 0
18
Caughey 阻尼的计算
1 1
12 22
1
2 N
14 24
N4
Contributions: applied mathematics, dynamics and control theory.
Design of the Caltech eccentric-mass vibration generator in the early 1960‟s, 振动台试验的开始。
)m
尼比为5%,用叠加法求阻尼矩阵，和第三阶阻尼比？
17
提示：计算阻尼矩阵对角化后再计算阻尼比
Caughey 阻尼(扩展的瑞利阻尼)
Caughey 阻尼可用于指定多于两个模态的阻尼比，是瑞利阻尼的扩展。
N 1
c m al[m1k]l l 0
两边左乘： Tnkm1
两边左乘：Tn (km1)2
kr r2mr
3. Coulomb friction damping, in which adjacent touching parts of the machine or structure slide cyclically relative to one another, on a macroscopic or a microscopic scale, dissipating energy, and etc. 10
TD 0
(cx)xdt
πcωx02
外力输入的能量：
EI
p(t)dx
TD 0
(
p0
sin(ωt
))
xdt
TD 0
(
p0
sin(ωt
))(ωx0
cos(ωt
φ))dt
πp0 x0 sin(φ) πcωx02
4
粘弹性阻尼的物理意义
mx cx kx f (t) p0sin(ωt) x x0sin(ωt φ)
2M 1
2M 2
2M N
2 2
2
a0
a1
aM 1
211
22
2
2 N N
矩阵的逆
a0 11 12 13 1M 211
a1
aM 1
21
M 1
Leabharlann Baidu
22
M 2
23
M3
2M
MM
22
2N
2 N
M
al 2 lrrr
John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh, OM (Nov.12,1842 – June,30, 1919) was an English physicist who, with William Ramsay, discovered the element argon(Ar-18 氩气), an achievement for which he earned the Nobel Prize for Physics in 1904.
He also discovered the phenomenon now called Rayleigh scattering, explaining why the sky is blue, and predicted the existence of the surface waves now known as Rayleigh waves.
结构内阻尼产生的原因
（INTERNAL MECHANISMS OF DAMPING）
1. 结构变形后有很多机制以热的形式耗散能量，都与物
质微观结构内部的原子或者分子重建，或者热效应有
关。在特定的条件下，对某种材料（金属，合金等）
只有其中的一种或者两种机制起主导作用。大多数金
属和合金在多数情况下阻尼很小，个别合金由于晶格
13
瑞利(Rayleigh)阻尼
瑞利(Rayleigh)阻尼，指定两个固有频率处的阻尼， 其它处的阻尼也随之确定。
c a0m a1k
m n
1 2
1/ m 1/ n
m a0
n
a1
优点： 1，能够有效解耦； 2，计算简单。 缺点：
两个参数决定所有阻尼， 且其余各阻尼相关。
n
a0 2n
a1n 2
指定模态的阻尼比，不指定处阻尼比为0。
Tc C,Cn n 2nMn
c T 1C1
Tm M
(M1Tm) I 1 (M1Tm)
T (mM1) I T 1 (mM1)
N
c (mM1)C(M1Tm) m(
习题 2：质量和刚度阵如习题 1，给定第一阶和第二阶阻 n1
n
2nn
Mn
Tn
应变能(Strain
energy)：Es0
1 2
ku02
ED
4 eq.
n
Es0
eq.
1
4
1
/ n
ED Es0
1
4
ED Es0
8
粘滞阻尼
(Hysteretic damping, rate-independent damping
试验发现：1，周期加载耗散能量不与频率相关； 2，结构各阶阻尼比相当，差别不大。
r 1
Explicit solution
Reference: T. K. Caughey (JPL, Caltech)，Classical Normal Modes in Damped Linear Dynamic Systems，Journal of Applied Mechanics，1960; 27(2):269 – 2711.9
结构特殊阻尼很大。
2. 结构的阻尼很难确定的原因还在于结构内部的接头和
接触面，以及部件连接处和支撑。
3. 由于这些原因，通常几乎不可能或者显然很不容易，
准确地确定和控制一个结构的初始阻尼水平，具体何
种机制产生也很难区分。
11
常 用 材 料 的 阻 尼
钢结构的阻尼系数为多少与其工作状态有关，一般试验确定1。2
3,半功率带宽法
1 2
ust 0 u0 n
,
ust
0
p0 k
4,等效阻尼法
3
粘弹性阻尼的物理意义
粘弹性阻尼(SDOF)稳态振动情况下:
mx cx kx f (t) p0sin(ωt) x x0sin(ωt φ)
粘弹性阻尼一周耗散的能量：
ED
fd (x)dx
TD 0
fd (x)dx
ED πcωx02
fD
ηk ω
x
EDH
π
ηk ω
ωx02
πηkx02 2πηES0
9
结构外阻尼产生的原因
(EXTERNAL MECHANISMS OF DAMPING)
1. Acoustic radiation damping, whereby the vibrational response couples with the surrounding fluid medium, leading to sound radiation from the structure.