北京市西城区2020届九年级上期末考试数学试题有答案新人教版

合集下载

【精选】2019-2020学年北京市西城区九年级上册期末数学试卷(有答案)

2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣47．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于．12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于．14．2019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝（m）．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：1212抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝（用α的代数式表示），∠BFC的度数为°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）24．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE＝∠B．（1）求证：CE是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝，b＝．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．27．（7分）如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝°，此时OM和BD′之间的位置关系为；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是；②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．2019-2020学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝3，AB＝5，那么sin B等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．2．点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出y1，y2，从而可判断它们的大小．【解答】解：∵A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，∴y1＝﹣＝﹣6，y2＝﹣＝﹣2，∴y1＜y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．3．抛物线y＝（x﹣4）2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是（）A．（4，﹣5），开口向上B．（4，﹣5），开口向下C．（﹣4，﹣5），开口向上D．（﹣4，﹣5），开口向下【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．【解答】解：由y＝（x﹣4）2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标（4，﹣5）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，4．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（）A．48πB．24πC．4πD．2π【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算．【解答】解：根据扇形的面积公式，得S＝＝24π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要是考查了扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）A．34°B．46°C．56°D．66°【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．6．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣4【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△≥0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，∴方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即△＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选：C．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于m'的不等式是解此题的关键．7．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．AB2＝AP•AC D．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C、当AB2＝AP•AC即＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx ﹣8＝0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案．【解答】解∵关于x的方程ax2+bx﹣8＝0，有一个根为4，∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），∵抛物线的对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），∴方程的另一个根为x＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌握二次函数的对称性．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为（0，3）．【分析】把x＝0代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝x2+3与y轴交点的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．10．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果＝，AC＝10，那么EC＝4．【分析】由DE∥BC，推出＝＝，可得EC＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∵AC＝10，∴EC＝×10＝4，故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，PC⊥y轴于点C，PD⊥x轴于点D，那么矩形ODPC的面积等于4．【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积．【解答】解：设点A（2，2）在反比例函数y＝的图象上，可得：，解得：k＝4，因为第一象限内的点P（x，y）与点A（2，2）在同一个反比例函数的图象上，所以矩形ODPC的面积等于4，故答案为：4【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出k的值．12．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜2．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜2【点评】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．13．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB 的距离等于2．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解答】解：如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝．故答案为：2【点评】此题考查了垂径定理、含30°角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．14．2019-20209月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD的中点为E，最长的斜拉索CE长577m，记CE与大桥主梁所夹的锐角∠CED为α，那么用CE的长和α的三角函数表示主跨BD长的表达式应为BD＝1154cosα（m）．【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【解答】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．【分析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．16．如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB＝，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为1．【分析】如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；【解答】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB＝∠PAB＝90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB＝∠APB，∴tan∠AOM＝tan∠APB＝＝，设AM＝4k，OM＝3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2＝32，解得k＝（负根已经舍弃），∴AM＝，OM＝，AN＝MN﹣AM＝∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠MAB+∠PAN＝90°，∴∠ABM＝∠PAN，∵∠AMB＝∠PNA＝90°，∴△AMB∽△PNA，∴＝，∴＝，∴BM＝，∴OB＝OM﹣BM＝1．故答案为1【点评】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．三、解答题（本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题5分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．计算：2sin30°+cos245°﹣tan60°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝2×+（）2﹣＝1+﹣＝﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，∴AB2＝AC•AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE ∽△ACB．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：1212抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x与x轴的交点为（0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的2倍【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°．将△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，B，C两点的对应点分别为点D，E，BD，CE所在直线交于点F．（1）当△ABC旋转到图1位置时，∠CAD＝α﹣45°（用α的代数式表示），∠BFC 的度数为45°；（2）当α＝45时，在图2中画出△ADE，并求此时点A到直线BE的距离．【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，则∠CAD＝α﹣45°；再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABD＝∠ACE，所以∠BFC＝∠BAC＝45°．（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，利用旋转的性质得点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，则△ABE为等腰直角三角形，所以BE＝AB＝2，再证明AG⊥BE，然后根据等腰直角三角形的性质求出AG的长即可．【解答】解：（1）∵△ABC绕点A逆时针旋转α度（0＜α＜180）得到△ADE，如图1，∴∠BAD＝∠CAE＝α，AB＝AD，AE＝AC，而∠BAC＝45°，∴∠CAD＝α﹣45°；∵AB＝AD，AE＝AC，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC＝45°．故答案为α﹣45°；45°；（2）如图2，△ADE为所作，BE与AC相交于G，∵△ABC绕点A逆时针旋转45度得到△ADE，而AB＝AC，∠BAC＝45°，∴点D与点C重合，∠CAE＝45°，AE＝AB＝2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝AB＝2，而AG平分∠BAE，∴AG⊥BE，∴AG＝BE＝，即此时点A到直线BE的距离为．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．21．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．【分析】（1）设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），然后再根据表格代入t ＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20可得关于a、b的方程组，再解即可得到a、b的值，进而可得函数解析式；（2）根据函数解析式，代入t＝3可得h的值；（3）把函数解析式写成顶点式的形式可得小球飞行的最大高度，进而可得答案．【解答】解：（1）∵t＝0时，h＝0，∴设h与t之间的函数关系式为h＝at2+bt（a≠0），∵t＝1时，h＝15；t＝2时，h＝20，∴，解得，∴h与t之间的函数关系式为h＝﹣5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t＝3（s），此时h＝﹣5×32+20×3＝15（m）．答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，双曲线上一点P的横坐标为1，直线PA，PB与x轴的交点分别为点M，N，连接AN．（1）直接写出a，k的值；（2）求证：PM＝PN，PM⊥PN．【分析】（1）依据双曲线y＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，可得点A与点B关于原点对称，进而得到a，k的值；（2）根据双曲线y＝上一点P的横坐标为1，可得点P的坐标为（1，2），进而得到直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，求得直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN．【解答】解：（1）∵双曲线y ＝（k≠0）与直线y＝的交点为A（a，﹣1），B（2，b）两点，∴点A与点B关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝1，∴把A（﹣2，﹣1）代入双曲线y＝，可得k＝2；（2）证明：∵双曲线y＝上一点P的横坐标为1，∴点P的坐标为（1，2），∴直线PA，PB的函数表达式分别为y＝x+1，y＝﹣x+3，∴直线PA，PB与x轴的交点坐标分别为M（﹣1，0），N（3，0），∴PM＝2，PN＝2，MN＝4，∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2，∴∠MPN＝90°，∴PM⊥PN．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及勾股定理的逆定理的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解．解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．23．如图，线段BC长为13，以C为顶点，CB为一边的∠α满足cosα＝．锐角△ABC的顶点A落在∠α的另一边l上，且满足sin A＝．求△ABC的高BD及AB边的长，并结合你的计算过程画出高BD及AB边．（图中提供的单位长度供补全图形使用）2122【分析】先利用直角作出BD ，再用勾股定理求出BD ，再用锐角三角函数求出AB ，AD ，即可得出结论．【解答】解：如图，作BD ⊥l 于点D ，在Rt △CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝13，∴cos C ＝cos α＝，∴CD ＝BC •cos C ＝13×＝5，BD＝＝12，在Rt △ABD 中，BD ＝12，sin A＝，∴tan A ＝，∴AB＝＝15，AD＝＝9，作图，以点D 为圆心，9为半径作弧与射线l 交于点A ，连接AB ，【点评】此题是解直角三角形，主要考查了基本作图，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出AB 和AD ．24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD 上，∠DCE ＝∠B ．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD＝10，tan B＝，求半圆的半径．【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BCO＝∠B，进而判断出∠BCO+∠BCE＝90°，即可得出结论；（2）先求出sin B，再利用同角的余角相等判断出∠D＝∠B即可得出结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦，∴∠ACB＝90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B，∵∠DCE＝∠B，∴∠BCO+∠BCE＝90°，即：∠OCE＝90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是半圆的切线；（2）解：如图1，在Rt△ABC中，tan B＝，设AC＝2k，则BC＝3k，根据勾股定理得，AB＝k，23∴sin B ＝＝，∵OD⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠D＝∠B，∴sin D＝sin B＝，在Rt△CDF中，sin D＝＝，∴cos B＝设CF＝2m，DE＝m，根据勾股定理得，DF2﹣CF2＝CD2，∴13m2﹣4m2＝100，∴m＝﹣（舍）或m＝，∴CF ＝，在Rt△BOF中，BF＝＝k，∴BC＝BF+CF＝k+＝3k，∴k＝8，∴OB＝k＝4【点评】此题主要考查了切线的性质，同角的余角相等，勾股定理，圆的性质，解本题的关键是判断出∠BCO＝∠B．25．已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；24（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在C的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）中，k＝1，b＝0．【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；②根据①中的结果可以解答本题；③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【解答】解：（1）当a＝3时，y＝x2﹣6x+3﹣1＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a，∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a，∴顶点坐标为（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝x，25∴k＝1，b＝0，故答案为：y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．（1）求抛物线M的函数表达式；（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1．①抛物线M1的顶点B1的坐标为（2t，﹣1）；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）①根据旋转的性质，可得B与B′关于F点对称，根据中点公式，可得答案；②根据图象过A，B点，可得点的坐标符合解析式，根据图象，可得答案．【解答】解：（1）由抛物线M的顶点坐标为B（0，1），设抛物线的解析式为y＝ax2+1，将A（﹣1，2）代入解析式，得a×（﹣1）2+1＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，（2）①由旋转的性质，得B1（x，y）与B（0，1）关于F（t，0）对称，＝t，＝0，解得x＝2t，y＝﹣1，B1（2t，﹣1）；故答案为：（2t，﹣1）；26②如图1，由题意，得顶点是B1（2t，﹣1），二次项系数为1，∴抛物线M1的解析式为y＝（x﹣2t）2﹣1 （t＞0），当抛物线M1经过A（﹣1，0），时（﹣1﹣t）2﹣1＝0，解得t1＝﹣1，t2＝0．当抛物线M1经过B（0，1）时，（2t）2﹣1＝1，解得t ＝，结合图象分析，∵t＞0，∴当抛物线M1与线段AB有公共点时，t的取值范围0＜t≤．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用待定系数法是解（1）的关键；利用旋转得出B与B′关于F点对称是解（2）①的关键，利用象过A，B点得出点的坐标的坐标符合解析式是解②关键．27．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM．（1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝150°，此时OM和BD′之间的位置关系为垂直；（2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明．2728【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABD ′+∠C ′D ′B ＝180°，根据周角的定义即可得到结论；（2）取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于N ，根据三角形的中位线的性质得到EM ∥OC ′，EM＝OC ′，根据相似三角形的性质得到∠AOM ＝∠2，，根据垂直的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵C ′D ′∥AB ，∴∠ABD ′+∠C ′D ′B ＝180°，∵∠ABO ＝∠C ′D ′O ＝60°，∴∠OBD ′+∠BD ′O ＝60°，∴∠BOD ′＝120°，∴∠BOC ′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，∴α＝150°，此时，OM ⊥BD ′；故答案为：150，垂直；（2）OM ⊥BD ′，OM＝BD ′，证明：取AO 的中点E ，连接ME ，延长MO 交BD ′于N ，∵AC ′的中点M ，∴EM ∥OC ′，EM ＝OC ′，∴∠OEM +∠AOC ′＝180°，∵∠AOB ＝∠C ′OD ′＝90°，∴∠BOD ′+′AOC ′＝180°，∴∠OEM ＝∠BOD ′，∵∠OAB ＝∠OC ′D ′＝30°，∴＝＝＝，∴，∴△EOM∽△OBD′，∴∠AOM＝∠2，，即OM＝BD′，∵∠AOB＝90°，∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴OM⊥BD′．【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（2，2），B（2，﹣2）．对于给定的线段AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q′落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点．（1）已知点P（4，﹣1）．①在Q1（1，﹣1），Q2（1，1）两点中，是点P关于线段AB的内称点的是点Q1；②若点M在直线y＝x﹣1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；（2）已知点C（3，3），⊙C的半径为r，点D（4，0），若点E是点D关于线段AB 的内称点，且满足直线DE与⊙C相切，求半径r的取值范围．【分析】（1）①利用内对称点的意义即可得出结论；②先判断出点O关于直线AB的对称点P'在直线y＝x﹣1上，即可判断出结论；（2）判断出DE与圆C相切时，圆C最大的半径和最小的位置，计算即可得出结论．【解答】解：（1）29。

2020.1北京市西城区初三年级第一学期期末-数学试题答案

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．解：3 tan 30° + 4 cos45° - 2 sin 60°=342 =． ·············································································································· 5分18．解：（1）对称轴是直线 x =2，顶点是（2，-1）．2=43y x x -+的图象，如图．（2）当1＜x ＜3时， y ＜0．······························································································································5分19．（1）证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD =∠CAD．∵BE=BD，∴∠BED =∠BDE．∴∠AEB =∠ADC．∴△ABE∽△ACD．（2）解：∵△ABE∽△ACD，∴AE BE AD CD=．∵BE =BD =1，CD = 2，∴12 AEAD=．······················································································································5分20．（1）△DEF是等腰直角三角形．证明：在正方形ABCD中，DA=DC，∠ADC=∠DAB=∠DCB=90°．∵F落在边BC的延长线上，∴∠DCF=∠DAB=90°．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴DE=DF．∴Rt△ADE≌Rt△CDF．∴∠ADE =∠CDF．∵∠ADC =∠ADE+∠EDC =90°，∴∠CDF +∠EDC =90°，即∠EDF =90°．∴△DEF是等腰直角三角形．（2）△DEF的面积为8．··························································································5分21．解：（1）6；（2）设如果全校一共进行36场比赛，那么有x支球队参加比赛．依题意，得(1)362x x-=．解得x1= 9，x2= -8（不合题意，舍去）．所以x = 9．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．·························5分22．证明：（1）∵ PB ，PC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ．∴ PB =PC ，∠BPO =∠CPO ． ∴ PO ⊥BC ，BE =CE ． ∵ OB =OA ， ∴ OE =12AC ．（2）∵ PB 是⊙O 的切线，∴ ∠OBP =90°．由（1）可得 ∠BEO =90°，OE =12AC =3． ∴ ∠OBP = ∠BEO =90°． ∴ tan BE PBBOE OE OB∠==在Rt △BEO 中，OE =3，OB =5， ∴ BE =4． ∴ PB=203． ·················································································· 5分23．（1）解：在Rt △ABC 中，1tan 2α=， BC =3， ∴ AC =6．∴ 点B 的坐标为（6，3）．∵ B （6，3），E （4，4）在抛物线2y ax bx =+上，∴ 22663,44 4.a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得 1,42.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴ y 关于x 的函数关系式为2124y x x =-+．（2）当x ＝2时，212224y =-⨯+⨯＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．···························································································· 6分24．解：（1）相切．证明：连接BD ，如图．∵ 四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°， ∴ BD 是⊙O 的直径，即点O 在BD 上． ∴ ∠BCD = 90°． ∴ ∠CED +∠CDE = 90°． ∵ ∠CED =∠BAC ．又 ∵∠BAC =∠BDC ，∴ ∠BDC +∠CDE = 90°，即∠BDE = 90°． ∴ DE ⊥OD 于点D ． ∴ DE 是⊙O 的切线．（2）如图，BD 与AC 交于点H ．∵ DE ∥AC ，∴ ∠BHC =∠BDE = 90°．∴ BD ⊥AC ． ∴ AH = CH ．∴ BC = AB =4，CD = AD =2． ∵ ∠F AD =∠FCB = 90°，∠F =∠F ， ∴ △F AD ∽△FCB ． ∴AD AFCB CF=． ∴ CF =2AF ．设 AF = x ，则DF = CF -CD=2x -2．在Rt △ADF 中，222DF AD AF =+， ∴ 222(22)2x x -=+．解得 183x =，20x =（舍去）． ∴ 83AF =． ····································································· 6分25．解：（1）① 2y ax b x c =++，（a ，b ，c 是常数，0a ≠）．（2）图象如图1所示．图1 图2（3）①③．（4）如图2，-1，0．···························································································· 6分26．解：（1）∵ 抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m - 2与直线y = 2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上，∴ 点B 的坐标为（0，2）． ∴ -2m - 2= 2． ∴ m = -2．∴ 抛物线的表达式为 y = x 2 + 4 x + 2． ∵ A ，B 两点关于直线x = -2对称， ∴ 点A 的坐标为（-4，2）．（2）① y = x 2 + 4 x + 2的图象，如图1所示． G 1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．② 对于任意的实数m ，抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m – 2与直线y = - x -2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C ．当m ≤-1时，若G 2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2.图1∴ -2≤32m<-．当m＞-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴12m<≤1．图2 图3综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤32m<-或12m<≤1．··························································································6分27．解：（1）如图．当BQ∥AP时，n = 60．（2）n = 120．证明：延长PM至N，使得MN=PM，连接BN，AN，QN，如图．∵M为线段BQ的中点，∴四边形BNQP是平行四边形．∴BN∥PQ，BN=PQ．∴∠NBP=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC =∠ACB = 60°．∴∠ABN=∠ACP =120°．∵以P为中心，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，∴PQ =PC．∴BN =PC．∴△ABN≌△ACP．∴∠BAN =∠CAP，AN=AP．∴∠NAP =∠BAC = 60°．∴△ANP是等边三角形．∴PN=AP．又MP=PN，∴MP=12 AP． ·······························································7分28．解：（1）①2．②BC关于△ABC的内半圆，如图1，BC关于△ABC的内半圆半径为1．（2）过点E作EF⊥OE，与直线=y x交于点F，设点M是OE上的动点，i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图2．∴当34≤R≤1时，t的取值范围是32≤t≤3．12图2 图3ii ）当点P 在OF 的延长线上运动时，OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点E 且与OP 相切的半圆，如图3． ∴ 当 R =1 时，t 的取值范围是 t ≥3．iii)当点P 在OF 的反向延长上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点O 且与EP 相切的半圆，如图4.∴ 当34≤R ＜1时，t 的取值范围是t ≤95+-．图4综上，点P 在直线y x 上运动时（P 不与O 重合），当34≤R ≤1时，t 的取值范围是 t ≤95+-或t ≥ 32． ································································································ 7分。

2020西城区初三数学期末试题北京西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学含参考答案及评分标准

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第1页（共16页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学 2020.11. 本试卷共 8 页，共三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2. 在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ADC = 80°，则∠ABC 的度数是（A ）40° （B ）80° （C ）100° （D ）120°2．在平面直角坐标系中，将抛物线2=y x 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（A ）2=(2)1y x -+ （B ）2=(2)1y x -- （C ）2=(2)1y x ++ （D ）2=(2)1y x +- 3．圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（A ）5 π（B ）10 π （C ）20 π （D ）25 π4．如图，在△ABC 中，以C 为中心，将△ABC 顺时针旋转35° 得到△DEC ，边ED ，AC 相交于点F ，若∠A =30°，则∠的度数为（A ）60° （B ）65° （C ）72.5°（D ）115°5．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，若∠ABC =30°，OE OD 长为（A ）3 （B （C ）（D ）2北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第2页（共16页）6．下列关于抛物线 y = x 2 ＋bx －2的说法正确的是（A ）抛物线的开口方向向下（B ）抛物线与y 轴交点的坐标为（0，2）（C ）当b ＞0时，抛物线的对称轴在y 轴右侧（D ）对于任意的实数b ，抛物线与x 轴总有两个公共点 7．A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数2=(2)y x k --+的图象上，则 y 1，y 2，y 3的大小关系为（A ）y 1＜y 2＜y 3 （B ）y 1＜y 3＜y 2 （C ）y 3＜y 1＜y 2 （D ）y 3＜y 2＜y 18．如图， AB =5，O 是AB 的中点， P 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的一个动点（点P 与点A ，B 可以重合），连接P A ，过P 作 PM ⊥AB 于点M ．设AP =x ，AP AM y -=，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 函数y ＝ax 2+bx +c （0≤x ≤3）的图象如图所示，则该函数的最小值是．第9题图第10题图第11题图10．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，添加一个条件使得△ADE ∽△ACB ，添加的一个条件是．11．如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A （-2， 4），B （-4，0），O （0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为12．北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第3页（共16页）12．如图，A ，B 两点的坐标分别为A （3，0），B （0，3），将线段BA 绕点B 顺时针旋转得到线段BC ．若点C 恰好落在x 轴的负半轴上，则旋转角为 °．第12题图第13题图13．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若11a =米，210a =米，h=1.5 米，则这个学校教学楼的高度为米． 14．我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π 3.14≈．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R ，圆内接正六边形的周长66p R =，计算π632p R≈=；圆内接正十二边形的周长1224sin15p R =︒，计算π123.102p R≈=；请写出圆内接正二十四边形的周长24p = ，计算π≈ . （参考数据：sin150.258︒≈，sin7.50.130︒≈）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第4页（共16页）15．在关于x 的二次函数2y ax bx c =++中，自变量x 可以取任意实数，下表是自变量x 与函数y 的几组对应值：根据以上信息，关于x 的一元二次方程0ax bx c ++=的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位小数）．16．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 是边BC 的中点，点P 在边AD 上，设DP =x ，若以点D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点，则所有满足条件的x 的取值范围是．三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）17．计算 3tan304cos452sin60︒+︒-︒． 18．已知二次函数2=43y x x -+．（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；（2）利用图象回答：当x 取什么值时，y ＜0．19．如图，在△ABC 中，AD平分∠BAC ，E 是AD 上一点，且BE =BD ．（1）求证：△ABE∽△ACD ；（2）若BD =1，CD =2，求AE AD的值．20．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上，将点E 绕点D 逆时针旋转得到点F ，若点F 恰好落在边BC 的延长线上，连接DE DF ，EF ．（1）判断△DEF 的形状，并说明理由；（2）若EF =DEF 的面积为．21．某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第5页（共16页）（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？ 22．如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ．连接PO 交⊙O 于点D ，交BC 于点E ，连接AC ．（1）求证：OE =12AC ；（2）若⊙O 的半径为5，AC =6，求PB 的长．23．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，tan α =12．斜坡顶端B 与地面的距离BC 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A ，喷头A 喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A 的水平距离为x （单位：米），y 与x 之间近似满足函数关系2y ax bx =+（a ，b 是常数，0a ≠），图2记录了x 与y 的相关数据．图1 图2（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A 的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水珠能否越过这棵树．24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AC 是对角线．点E 在BC 的延长线上，且∠CED =∠BAC ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若DE ∥AC ，AB =4，AD =2，求AF 的长．北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第6页（共16页）25．下面给出六个函数解析式：21=2y x，21y +，212y x x =--， 2=231y x x --，2=21y x x -++，234y x x =---．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如y = ，其中x 为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数2=21y x x -++的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：① 函数图象关于y 轴对称② 有些函数既有最大值，同时也有最小值③ 存在某个函数，当x ＞m （m 为正数）时， y 随x 的增大而增大，当x ＜-m 时，y 随 x 的增大而减小④ 函数图象与x 轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 的方程221x x x k -++=-+有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为．北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第7页（共16页）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2 – 2 m x – 2m – 2．（1）若该抛物线与直线y = 2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上．求该抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点．① 将（1）中的抛物线在 A ，B 两点之间的部分记作G 1(不含A ，B 两点)，直接写出G 1上的横整点的坐标；② 抛物线y = x 2 – 2 m x – 2m – 2与直线y = –x – 2 交于C ，D 两点，将抛物线在C ，D 两点之间的部分记作G 2（不含C ，D 两点），若G 2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．27. △ABC 是等边三角形，点P 在BC 的延长线上，以P 为中心，将线段PC 逆时针旋转n °（0 ＜ n ＜ 180）得线段PQ ，连接AP ，BQ ．（1）如图1，若PC =AC ，画出当BQ ∥AP 时的图形，并写出此时n 的值；（2） M 为线段BQ 的中点，连接PM . 写出一个n 的值，使得对于BC 延长线上任意一点P ，总有1=2MP AP ，并说明理由．图1 备用图北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第8页（共16页）28．对于给定的△ABC ，我们给出如下定义：若点M 是边BC 上的一个定点，且以M 为圆心的半圆上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的半圆为BC 边上的点M 关于△ABC 的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M 关于△ABC 的最大内半圆.若点M 是边BC 上的一个动点（M 不与B ，C 重合），则在所有的点M 关于△ABC 的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC 关于△ABC 的内半圆. （1）在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，① 如图1，点D 在边BC 上，且CD =1，直接写出点D 关于△ABC 的最大内半圆的半径长；② 如图2，画出BC 关于△ABC 的内半圆，并直接写出它的半径长；图1 图2 （2）在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为（3，0），点P在直线=3y x 上运动（P 不与O 重合），将OE 关于△OEP 的内半圆半径记为R ，当34≤R ≤1时，求点P 的横坐标t 的取值范围.北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第9页（共16页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学答案及评分参考2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17．解：3 tan 30° + 4 cos45° - 2 sin 60°=3422+⨯- =． ·············································································································· 5分18．解：（1）对称轴是直线 x =2，顶点是（2，-1）．2=43y x x -+的图象，如图．（2）当1＜x ＜3时， y ＜0．······························································································································ 5分北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第10页（共16页）19．（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ． ∵ BE =BD ， ∴∠BED =∠BDE ． ∴∠AEB =∠ADC ． ∴△ABE ∽△ACD ．（2）解：∵ △ABE ∽△ACD ，∴AE BEAD CD=． ∵ BE =BD =1，CD = 2，∴12AE AD =． ······················································································································ 5分20．（1）△DEF 是等腰直角三角形．证明：在正方形ABCD 中，DA =DC ，∠ADC =∠DAB =∠DCB =90°．∵ F 落在边BC 的延长线上， ∴ ∠DCF =∠DAB =90°．∵ 将点E 绕点D 逆时针旋转得到点F ， ∴ DE =DF ．∴ Rt △ADE ≌ Rt △CDF ． ∴ ∠ADE =∠CDF ．∵ ∠ADC =∠ADE +∠EDC =90°， ∴ ∠CDF +∠EDC =90°，即∠EDF =90°．∴ △DEF 是等腰直角三角形．（2）△DEF 的面积为8．·························································································· 5分21．解：（1）6；（2）设如果全校一共进行36场比赛，那么有x 支球队参加比赛．依题意，得(1)362x x -=．解得 x 1 = 9，x 2 = -8（不合题意，舍去）．所以 x = 9．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛． ························· 5分北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第11页（共16页）22．证明：（1）∵ PB ，PC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ．∴ PB =PC ，∠BPO =∠CPO ．∴ PO ⊥BC ，BE =CE ．∵ OB =OA ，∴ OE =12AC ．（2）∵ PB 是⊙O 的切线，∴ ∠OBP =90°．由（1）可得 ∠BEO =90°，OE =12AC =3． ∴ ∠OBP = ∠BEO =90°．∴ tan BE PB BOE OE OB∠== 在Rt △BEO 中，OE =3，OB =5，∴ BE =4．∴ PB=203． ·················································································· 5分 23．（1）解：在Rt △ABC 中，1tan 2α=， BC =3， ∴ AC =6．∴ 点B 的坐标为（6，3）．∵ B （6，3），E （4，4）在抛物线2y ax bx =+上，∴ 22663,44 4.a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得 1,42.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴ y 关于x 的函数关系式为2124y x x =-+．（2）当x ＝2时，212224y =-⨯+⨯＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．···························································································· 6分北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第12页（共16页）24．解：（1）相切．证明：连接BD ，如图．∵ 四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，∴ BD 是⊙O 的直径，即点O 在BD 上．∴ ∠BCD = 90°．∴ ∠CED +∠CDE = 90°．∵ ∠CED =∠BAC ．又 ∵∠BAC =∠BDC ，∴ ∠BDC +∠CDE = 90°，即∠BDE = 90°．∴ DE ⊥OD 于点D ．∴ DE 是⊙O 的切线．（2）如图，BD 与AC 交于点H ．∵ DE ∥AC ，∴ ∠BHC =∠BDE = 90°．∴ BD ⊥AC ．∴ AH = CH ．∴ BC = AB =4，CD = AD =2．∵ ∠F AD =∠FCB = 90°，∠F =∠F ，∴ △F AD ∽△FCB ．∴ AD AF CB CF=． ∴ CF =2AF ．设 AF = x ，则DF = CF -CD=2x -2．在Rt △ADF 中，222DF AD AF =+，∴ 222(22)2x x -=+．解得 183x =，20x =（舍去）． ∴ 83AF =． ····································································· 6分北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第13页（共16页）25．解：（1）① 2y ax b x c =++，（a ，b ，c 是常数，0a ≠）．（2）图象如图1所示．图1 图2（3）①③．（4）如图2，-1，0．···························································································· 6分26．解：（1）∵ 抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m - 2与直线y = 2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上，∴ 点B 的坐标为（0，2）．∴ -2m - 2= 2．∴ m = -2．∴ 抛物线的表达式为 y = x 2 + 4 x + 2．∵ A ，B 两点关于直线x = -2对称，∴ 点A 的坐标为（-4，2）．（2）① y = x 2 + 4 x + 2的图象，如图1所示． G 1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．② 对于任意的实数m ，抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m – 2与直线y = - x -2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C ．当m ≤-1时，若G 2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2.∴ -2≤32m <-．图1北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第14页（共16页）当m ＞-1时，若G 2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3. ∴12m <≤1．图2 图3 综上，G 2恰有两个横整点，m 的取值范围是-2≤32m <-或12m <≤1． ·························································································· 6分27．解：（1）如图．当BQ ∥AP 时，n = 60．（2）n = 120．证明：延长PM 至N ，使得MN =PM ，连接BN ，AN ，QN ，如图．∵ M 为线段BQ 的中点，∴ 四边形BNQP 是平行四边形．∴ BN ∥PQ ，BN=PQ ．∴ ∠NBP =60°．∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB=AC ，∠ABC =∠ACB = 60°．∴∠ABN=∠ACP =120°．∵以P为中心，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，∴PQ =PC．∴BN =PC．∴△ABN≌△ACP．∴∠BAN =∠CAP，AN=AP．∴∠NAP =∠BAC = 60°．∴△ANP是等边三角形．∴PN=AP．又MP=PN，∴MP=AP． ·······························································7分28．解：（1）①22．②BC关于△ABC的内半圆，如图1，BC关于△ABC的内半圆半径为1．（2）过点E作EF⊥OE，与直线3=3y x交于点F，设点M是OE上的动点，i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图2．∴当34≤R≤1时，t的取值范围是32≤t≤3．图2 图3 1212图1北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第15页（共16页）ii）当点P在OF的延长线上运动时，OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图3．∴当R=1 时，t的取值范围是t ≥3．iii)当点P 在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图4.∴当34≤R＜1时，t的取值范围是t≤95+-．图4综上，点P在直线y x上运动时（P不与O重合），当34≤R≤1时，t的取值范围是t≤95+-或t ≥32．································································································7分北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级数学第16页（共16页）。

北京西城2020-2020学年九年级上期末测试试卷--数学

北京市西城区2020——2020学年度第一学期期末测试初三数学试卷2020.1第Ⅰ卷（机读卷共32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）1. 若方程250x x-=的一个根是a，则252a a-+的值为（）.A.-2B. 0C. 2D.42. 如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D ，若OD=3，则弦AB的长为（）.A. 10B. 8C. 6D. 43. 将抛物线22y x=经过怎样的平移可得到抛物线22(3)4y x=++？答：（）.A. 先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B. 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C. 先向右平移3个单位，再向上平移4个单位D. 先向右平移3个单位，再向下平移4个单位4. 小莉站在离一棵树水平距离为a 米的地方，用一块含30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为（）.A.3 ()米B.(3)a米C.3 (1.5)3+米D.(1.53)a米5. 如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ，记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为（）.A. (00)，，2B. (22)，，12C. (22)，，2D. (22)，，36. 将抛物线 21y x =+ 绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）. A. 2y x =- B. 21y x =-+ C.21y x =- D. 21y x =--7．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切，切点分别为A 、B ，PA =3，∠P=60°，若 AC 为⊙O 的直径，则图中阴影部分的面积为（）. A.2π3π3π D. π8. 已知b ＞0时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示.根据图象分析，a 的值等于．．．．（）. A. -2 B.-1 C. 1 D. 2第Ⅱ卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）9. 若△ABC ∽△DEF ，且对应边BC 与EF 的比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于．10. 如图，⊙O 的直径是AB ，CD 是⊙O 的弦，若∠D=70°，则∠ABC 等于．11. 如图，∠ABC =90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，21OB 长为半径作⊙O ，若射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转至BA '，若BA '与⊙O 相切，则旋转的角度α（0° ＜α＜180°）等于．12. 等腰△ABC 中，8BC =，若AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的根，则m 的值等于．三、解答题（本题共29分，13～17题每小题5分，第18题4分） 13．解方程：22610x x -+=.14．计算：2cos60tan 45sin 45sin30︒-︒+︒︒.15．已知：关于x 的方程 2234x x k +=- 有两个不相等的实数根（其中k 为实数）. （1）求k 的取值范围；（2）若k 为非负整数，求此时方程的根.16．已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B=30°，延长BA到D，使∠BDC=30°.（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AB=2，求DC的长.17．已知：如图，△ABC中，A B=2，B C=4，D为BC边上一点，BD=1.（1）求证：△ABD ∽△CBA；（2）若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长.18．已知：如图，∠MAN=45°，B为AM上的一个定点，若点P在射线AN上，以P为圆心，PA为半径的圆与射线AN的另一个交点为C，请确定⊙P的位置，使BC恰与⊙P相切.（1）画出图形（不要求尺规作图，不要求写画法）；（2）连结BP并填空：①∠ABC= °；②比较大小：∠ABP ∠CBP.（用“＞”、“＜”或“=”连接）四、解答题（本题共21分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分）19．已知抛物线 2y ax bx c =++ 经过点034310A B C （，）、（，）、（，）. （1）填空：抛物线的对称轴为直线x= ，抛物线与x 轴的另一个交点D的坐标为；（2）求该抛物线的解析式.20．已知：如图，等腰△ABC 中，AB= BC ，AE ⊥BC 于E ， EF ⊥AB 于F ，若CE=2，4cos 5AEF ∠=，求EF 的长.21．某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）如果市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠．．．．．．．．．．，那么每千克这种水果涨了多少元？（2）设每千克这种水果涨价x 元时（0＜x ≤25），市场每天销售这种水果所获利润为y 元.若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天销售这种水果盈利最多？最多盈利多少元？22．已知：如图，△ABC中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D为AB延长线上一点，BD=1，点P在∠BAC 的平分线上，且满足△PAD是等边三角形.（1）求证：BC=BP；（2）求点C到BP的距离.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的方程2220x ax a b--+=，其中a、b为实数.（1）若此方程有一个根为2 a（a ＜0），判断a与b的大小关系并说明理由；（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b的取值范围.24．已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC =15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E.（1）求∠D的度数；（2）求证：2AC AD CE=⋅；（3）求BCCD的值.25．已知：抛物线221)2)y a x a a=---与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1< 1 < x2.（1）求A、B两点的坐标(用a表示)；（2）设抛物线得顶点为C, 求△ABC的面积；（3）若a是整数, P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x 轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的解析式及线段PQ的长的取值范围.北京市西城区2020——2020学年度第一学期期末初三数学试卷答案及评分参考 2020.1第Ⅰ卷（机读卷共32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）第Ⅱ卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）三、解答题（本题共29分，13～17题每小题5分，第18题4分）13．解：因为261a b c==-=，，， - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分所以224642128b ac-=--⨯⨯=（）．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分代入公式，得x =- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - 3分== 所以原方程的根为12x x ==，（每个根各1分）- - - - - - - - - - - - - 5分 14．解：2cos60tan 45sin 45sin30︒-︒+︒︒. 212112=-+- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分1.2=- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分15．（1）解一：原方程可化为 2(1)44x k +=-.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分∵ 该方程有两个不相等的实数根，∴ 440k ->.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分解得 1k <.∴ k 的取值范围是1k <.- - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -3分解二：原方程可化为 22430x x k ++-=.- - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - 1分224(43)4(44)k k ∆=--=-.以下同解法一.（2）解：∵ k 为非负整数，1k <，∴ k = 0 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分此时方程为223x x +=，它的根为13x =-，21x =. - - - - - - - - - -- - - - - - - - - 5分 16．（1）证明：连结OC. ∵ OB=OC ，∠B=30°，∴ ∠OCB=∠B=30°.∴ ∠COD=∠B+∠OCB=60°. - - - - - - - - - - 1分 ∵ ∠BDC=30°，∴ ∠BDC +∠COD =90°， DC ⊥OC. - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - 2分∵ BC 是弦， ∴ 点C 在⊙O 上.∴ DC 是⊙O 的切线. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分（2）解：∵ AB=2，∴ 12ABOC OB ===. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分∵ 在Rt △COD 中，∠OCD=90°，∠D=30°，∴DC =- - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 17．（1）证明：∵ AB=2 ，BC=4 ，BD=1 ， ∴AB BDCB BA=．- - - - - - - - - - - - 1分 ∵ ∠ABD =∠CBA ，- - - - - - - - 2分∴ △ABD ∽△CBA ．- - - - - - -3分（2）答：△ABD ∽ △CDE ；DE = 1.5 . - - - - - - - - - - - - - - 5AB CDE18．解：（1）图形见右. - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分（2）①∠ABC= 45 °；- - - - - - -3分②∠ABP ＜∠CBP . - - - - - - 4分四、解答题（本题共21分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分）19．解：（1）抛物线的对称轴为直线x= 2 ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为（3，0）；- - - 2分（2）∵抛物线经过点1030C D（，）、（，），∴设抛物线的解析式为(1)(3)y a x x=--由抛物线经过点03A（，），得a =1. - - - - - - - - - - - - - - 5分∴抛物线的解析式为243y x x=-+.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6分20．解：∵ AE⊥BC， EF⊥AB，∴∠1+∠2=90°，∠B+∠2=90°.∴∠1=∠B . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分∵4 cos5AEF∠=，∴ Rt△ABE中，4cos5BEBAB==.- - - - - - - - - - - - 2分设BE =4k，则AB=BC=5k，2EC BC BE k=-==.∴ BE =8. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分∴ Rt△BEF中，324sin855EF BE B=⋅=⨯=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - -21FE CBA- - - - - - - 4分21．解：（1）设市场某天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x元.由题意得(10)(50020)6000x x+-=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分整理，得215500x x-+=.解得15x=，210x=. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分因为顾客得到了实惠，应取5x=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分答：市场某天销售这种水果盈利6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了5元.（2）因为每千克这种水果涨价x元时，市场每天销售这种水果所获利润为y元，y关于x的函数解析式为(10)(50020)y x x=+-（0＜x≤25）.- - - - - - - - - - 4分而22(10)(50020)203005000=20(7.5)6125.y x x x x x=+-=-++--+所以，当 x=7.5 时（0＜7.5≤25），y取得最大值，最大值为 6 125. - - - - - - 6分答: 不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6 125元.22.（1）证明：如图1，连结PC.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分∵ AC=1，BD =1，∴ AC=BD.∵∠BAC=120°，AP平分∠BAC，∴11602BAC∠=∠=︒.∵△PAD是等边三角形，∴ PA=PD ，∠D=60°. ∴ ∠1=∠D.∴ △PAC ≌△PDB. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分 ∴ PC= PB ，∠2=∠3.∴ ∠2+∠4=∠3+∠4， ∠BPC=∠DPA=60°. ∴ △PBC 是等边三角形，BC=BP. - - - - - - - - - - 3分证法二：作BM ∥PA 交PD 于M ，证明△PBM ≌△BCA. （2）解法一：如图2，作CE ⊥PB 于E ， PF ⊥AB 于F.∵ AB=3，BD=1， ∴ AD=4.∵ △PAD 是等边三角形，PF ⊥AB ， ∴ 122DF AD ==，sin 60PF PD =⋅︒=.∴ 1BF DF BD =-=，BP ==- - - - - - - 4分∴sin 60sin 60CE BC BP =⋅︒=⋅︒=- - - - - 5分即点C 到BP. 解法二：作BN ⊥DP 于N ，DN=12，72NP DP DN =-=，BP =以下同解法一.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 方程 2220x ax a b --+=有一个根为2a ，∴ 224420a a a b --+=.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1分整理，得 2ab =.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2分∵ 0a <， ∴ 2a a <，即ab <.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分（2） 2244(2)448a a b a a b ∆=--+=+-.- - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - -4分∵ 对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴ 对于任何实数a ，都有2448a a b +-≥0 ，即22a a b +-≥0. - - - - -- - - 5分∴ 对于任何实数a ，都有b ≤22a a +.∵ 22111()2228a a a +=+- ，当 12a =-时，22a a +有最小值18-.- - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -6分∴ b 的取值范围是b ≤18-. - - - - - - - - - - -7分24．（1）解：如图3，连结OB.- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分∵ ⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC=45°，∴ ∠BOC =2∠BAC =90°.∵ OB=OC ，∴ ∠OBC =∠OCB =45°. ∵ AD ∥OC ，∴ ∠D =∠OCB =45°. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分（2）证明：∵ ∠BAC =45°，∠D =45°，∴ ∠BAC =∠D . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3分∵ AD ∥OC ，∴ ∠ACE =∠DAC . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -DO EACB- - - - - - - - - - - - - - - - - - -4分∴ △ACE ∽△DAC ． ∴AC CEDA AC=． ∴ 2AC AD CE =⋅．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分（3）解法一：如图4，延长BO 交DA 的延长线于F ，连结OA .∵ AD ∥OC ， ∴ ∠F=∠BOC =90°.∵ ∠ABC =15°，∴ ∠OBA =∠OBC －∠ABC =30°. ∵ OA = OB ，∴ ∠FOA=∠OBA ＋∠OAB =60°，∠OAF =30°. ∴ 12OF OA =. ∵ AD ∥OC ， ∴ △BOC ∽△BFD ．∴BC BOBD BF=． ∴ 2BC BO OA CD OF OF ===，即BC CD的值为2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -7分解法二：作OM ⊥BA 于M ，设⊙O 的半径为r ，可得，OM=2r ，30MOE ∠=︒，tan 30ME OM =⋅︒，，，所以2BC BECD EA==. 25．解：（1）∵ 抛物线与x 轴交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），∴ x 1、x 2是关于x 的方程221)2)0a x a a ---=的解. 方程可化简为 222(1)(2)0x a x a a +-+-=.解方程，得x a =- 或2x a =-+. - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - 1分BCAFEOD∵ x 1 < x 2 ，2a a -<-+，∴ 1x a =- ，22x a =-+.∴ A 、 B 两点的坐标分别为(,0)A a - ，(2,0)B a -+. - - - - - - - - - - - - - -- - 2分（2）∵ AB=2，顶点C- - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - 3分∴ △ABC- - - - - - - - - - - 4分（3）∵ x 1 < 1 < x 2 ， ∴ 12a a -<<-+.∴ 11a -<<. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - 5分∵ a 是整数，∴ a = 0，所求抛物线的解析式为2y =+. - - - - - - - -- - - - - - - - 6分解一：此时顶点C 的坐标为C (1. 如图5，作CD ⊥AB 于D ，连结CQ.则AD=1，tan ∠. ∴ ∠BAC=60°.由抛物线的对称性可知△ABC由 △APM 和△BPN 是等边三角形，线段的中点为Q 可得，点M 、N 分别在AC 和BC 边上，四边形PMCN 为平行四边形，C 、Q 、P 三点共线，且12PQ PC =.- - - - - - - - - - - - - - -7分∵ 点P 在线段AB 上运动的过程中，P 与A 、B 两点不重合，DC ≤PC ＜AC，DC =AC=2， ∴≤PQ ＜1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -8分解二：设点P 的坐标为P (0)x ，（0＜x ＜2）.如图6，作MM 1⊥AB 于M 1 ，NN 1⊥AB 于N 1.∵ △APM 和△BPN 是等边三角形，且都在x 轴上方， ∴ AM=AP= x ，BN=BP=2x -，∠MAP=60°，∠NBP=60°.∴ 1cos 2x AM AM MAB =⋅∠=，1sin MM AM MAB =⋅∠， 12cos 2xBN BN NBP -=⋅∠=，1sin NN BN NBP =⋅∠=. ∴ 1122222x xAN AB BN -+=-=-=. ∴ M 、 N两点的坐标分别为(2x M，2(2x N +. 可得线段MN 的中点Q的坐标为1(2x Q +.由勾股定理得PQ ==分∵ 点P 在线段AB 上运动的过程中，P 与A 、B 两点不重合，0＜x ＜2 ，∴ 3≤2(1)3x -+＜4. ∴≤PQ ＜1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8分。

2019-2020学年北京市西城区初三第一学期期末试题(含答案)

∴点B的坐标为（6，3）．
∵B（6，3），E（4，4）在抛物线上，
∴
解得
∴y关于x的函数关系式为．
（2）当x＝2时，＝3＞1+1.8，
所以水珠能越过这棵树．
6分
24．解：（1）相切．
证明：连接BD，如图．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上．
∴∠BCD=90°．
11．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（-2，4），B（-4，0），O（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为．
12．如图，A，B两点的坐标分别为A（3，0），B（0，），将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC．若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为°．
第12题图第13题图
（A）（B）（C）（D）
3．圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为
（A）5π（B）10π（C）20π（D）25π
4．如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°
得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠EFC
的度数为
（A）60°（B）65°
（C）72.5°（D）115°
∴PO⊥BC，BE=CE．
∵OB=OA，
∴OE= AC．
（2）∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=90°．
由（1）可得∠BEO=90°，OE= AC=3．
∴∠OBP=∠BEO=90°．
∴
在Rt△BEO中，OE=3，OB=5，
∴BE=4．
∴PB= ．
5分
23．（1）解：在Rt△ABC中，，BC=3，
∴AC=6．
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷

西城区2020届初三期末数学试题及答案(官方版)

西城区2020届初三第一学期期末数学 2020.1考生须知1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2. 在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。

第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC=80°，则∠ABC的度数是（A）40°（B）80°（C）100°（D）120°2. 在直角坐标系中，将抛物线y=x2向右平移2个单位长度，向上平移一个单位长度，得到抛物线（A）y=（x−2）2+1（B）y=（x−2）2−1（C）y=（x+2）2+1（D）y=（x+2）2−13. 圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（A）5π（B）10π（C）20π（D）25π4. 如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠EFC的度数为（A）60°（B）65°（C）72.5°（D）115°5. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC=30°，OE=√3，则OD长为（A）3 （B）√6（C）2√3（D）26. 下列关于抛物线y=x2+bx−2的说法正确的是（A）抛物线的开口方向向下（B）抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）（C）当b>0时，抛物线的对称轴在y轴右侧（D）对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点7. A（−12，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y=−(x−2)2+k的图像上，则y1，y2，y3的大小关系为（A）y1<y2<y3（B）y1<y3<y2（C）y3<y1<y2（D）y3<y2<y18. 如图，AB=5，O是AB的中点，P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的一个动点（点P与点A,B可以重合），连接PA，过P作PM⊥AB于点M.设AP=x，AP−AM=y，则下列图像中，能表示y与x的函数关系的图像大致是二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 函数y=ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则该函数的最小值是.10. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件使得△ADE~△ACB，添加的一个条件是.11. 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（−2，4），B（−4，0），C（0，0），以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为1.212. 如图，A，B两点的坐标分别为A（3，0），B（0，√3），将线段BA绕点B顺时针旋转得到线段BC.若点C恰好落在x轴的负半轴上，则旋转角为°.13. 在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示.若a1=1米，a2=10米，ℎ=1.5米，则这个学校教学楼的高度为米.14. 我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率π≈3.14.刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，⋯，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆.设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长P6=6R，计算π≈P6 2R =3；圆内接正十二边形的周长P12=24Rsin15°，计算π≈P122R=3.10；请写出圆内接正二十四边形的周长P24=，计算π≈.（参考数据：sin15°≈0.258，sin7.5°≈0.130）15. 在关于x的二次函数y=ax2+bx+c中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：x⋯ 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋯y=ax2+bx+c⋯-3.19 -3.10 -2.17 -2.05 -1.10 0.14 1.47 3.48 ⋯根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位小数）.16. 如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是边BC的中点，点P在边AD上，设DP=x，若以点D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点，则所有满足条件的x的取值范围是.三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27题，第28题，每小题7分）17. 计算：3tan30°+4cos45°−2sin60°.18. 已知二次函数y=x2−4x+3（1）写出该二次函数图像的对称轴及顶点坐标，再描点画图；（2）利用图像回答：当x取什么值时，y<0.19. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE=BD.（1）求证：△ABE~△ACD；（2）若BD=1，CD=2，求AEAD的值.20. 如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC的延长线上，连接DE，DF，EF.（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若EF=4√2，则△DEF的面积为.21. 某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）.（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？22. 如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C.连接PO角⊙O于点D，交BC于点E，连接AC.AC；（1）求证：OE=12（2）若⊙O的半径为5，AC=6，求PB的长.23. 图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，tanα=12.斜坡顶端B与地面的距离BC为3米.为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分.设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系y=ax2+bx（a，b是常数，a≠0），图2记录了x与y的相关数据.（1）求y关于x的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树.24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，AC是对角线，点E在BC的延长线上，且∠CED=∠BAC.（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB=4，AD=2，求AF的长.25. 下面给出六个函数解析式：y=12x2，y=√3x2+1，y=−x2−12|x|，y=2x2−3|x|−1，y=−x2+2|x|+1，y=−3x2−|x|−4.小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象性质.下面是小明的分析研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都有共同的特点，可以表示为形如y=,其中x为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y=−x2+2|x|+1的部分图像，用描点法将这个函数的图像补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当x>m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x<−m时，y随x的增大而小④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程−x2+2|x|+1=−x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为.26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx−2m−2.（1）若该抛物线与直线y=2交于A，B两点，点B在y轴上.求该抛物线的表达式及点A的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点.①将（1）中的抛物线在A，B两点之间的部分记作G1（不含A，B两点），直接写出G1上的横整点的坐标；②抛物线y=x2−2mx−2m−2与直线y=−x−2交于C，D两点，将抛物线在C，D两点之间的部分记作G2（不含C，D两点），若G2上恰有两个横整点，结合函数的图象，求m的取值范围.27. △ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0<n<180）得线段PQ，连接AP，BO.（1）如图1，若PC=AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段BQ的中点，连接PM.写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有MP=12AP，并说明理由.28. 对于给定的△ABC，我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，①如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；x上运动（P不与O重合），将OE关（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线y=√33≤R≤1时，求点P的横坐标t的取值范围.于△OEP的内半圆半径记为R，当342020北京西城初三（上）期末数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）7分）17．解：3 tan 30° + 4 cos45° - 2 sin 60°=342 =． ··························· 5分18．解：（1）对称轴是直线 x =2，顶点是（2，-1）．2=43y x x -+的图象，如图．（2）当1＜x ＜3时， y ＜0．························· 5分19．（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ． ∵ BE =BD ， ∴∠BED =∠BDE ． ∴∠AEB =∠ADC ． ∴△ABE ∽△ACD ．（2）解：∵ △ABE ∽△ACD ，∴AE BE AD CD=．∵BE =BD =1，CD = 2，∴12AEAD=．5分20．（1）△DEF是等腰直角三角形．证明：在正方形ABCD中，DA=DC，∠ADC=∠DAB=∠DCB=90°．∵F落在边BC的延长线上，∴∠DCF=∠DAB=90°．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴DE=DF．∴ Rt△ADE≌ Rt△CDF．∴∠ADE =∠CDF．∵∠ADC =∠ADE+∠EDC =90°，∴∠CDF +∠EDC =90°，即∠EDF =90°．∴△DEF是等腰直角三角形．（2）△DEF的面积为 8．·····························5分21．解：（1）6；（2）设如果全校一共进行36场比赛，那么有x支球队参加比赛．依题意，得(1)362x x-=．解得x1= 9，x2= -8（不合题意，舍去）．所以x = 9．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．······5分22．证明：（1）∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．∴PB=PC，∠BPO =∠CPO．∴PO⊥BC，BE=CE．∵OB =OA，∴OE =12 AC．（2）∵ PB 是⊙O 的切线，∴ ∠OBP =90°．由（1）可得 ∠BEO =90°，OE =12AC =3∴ ∠OBP = ∠BEO =90°．∴ tan BE PBBOE OE OB ∠==在Rt △BEO 中，OE =3，OB =5，∴ BE =4．∴ PB=203．··························5分 23．（1）解：在Rt △ABC 中，1tan 2α=， BC =3，∴ AC =6．∴ 点B 的坐标为（6，3）．∵ B （6，3），E （4，4）在抛物线2y ax bx =+上，∴ 22663,44 4.a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 1,42.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴ y 关于x 的函数关系式为2124y x x =-+．（2）当x ＝2时，212224y =-⨯+⨯＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．·····························6分24．解：（1）相切．证明：连接BD ，如图．∵ 四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，∴ BD 是⊙O 的直径，即点O 在BD 上．∴ ∠BCD = 90°．∴ ∠CED +∠CDE = 90°．∵ ∠CED =∠BAC ．又 ∵∠BAC =∠BDC ，∴ ∠BDC +∠CDE = 90°，即∠BDE = 90°．∴ DE ⊥OD 于点D ．∴ DE 是⊙O 的切线．（2）如图，BD 与AC 交于点H ．∵ DE ∥AC ，∴ ∠BHC =∠BDE = 90°．∴ BD ⊥AC ．∴ AH = CH ．∴ BC = AB =4，CD = AD =2．∵ ∠FAD =∠FCB = 90°，∠F =∠F ，∴ △FAD ∽△FCB ．∴ AD AF CB CF=． ∴ CF =2AF ．设 AF = x ，则DF = CF -CD=2x -2．在Rt △ADF 中，222DF AD AF =+，∴ 222(22)2x x -=+．解得 183x =，20x =（舍去）． ∴ 83AF =． ····················· 6分25．解：（1）① 2y ax b x c =++，（a ，b ，c 是常数，0a ≠）．（2）图象如图1所示．图1 图2（3）①③．（4）如图2，-1，0．····························· 6分26．解：（1）∵ 抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m - 2与直线y = 2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上，∴ 点B 的坐标为（0，2）．∴ -2m - 2= 2．∴ m = -2．∴ 抛物线的表达式为 y = x 2 + 4 x + 2．∵ A ，B 两点关于直线x = -2对称，∴ 点A 的坐标为（-4，2）．（2）① y = x 2 + 4 x + 2的图象，如图1所示．G 1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．② 对于任意的实数m ，抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m – 2与直线y = - x -2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C ．当m ≤-1时，若G 2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2. ∴ -2≤32m <-．图1当m＞-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴12m<≤1．图2 图3综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤32m<-或12m<≤1．·····························6分27．解：（1）如图．当BQ∥AP时，n = 60．（2）n = 120．证明：延长PM至N，使得MN=PM，连接BN，AN，QN，如图．∵M为线段BQ的中点，∴四边形BNQP是平行四边形．∴BN∥PQ，BN=PQ．∴∠NBP=60°．∵△ABC是等边三角形，∴ AB=AC，∠ABC =∠ACB = 60°．∴∠ABN=∠ACP =120°．∵以P为中心，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，∴ PQ =PC ．∴ BN =PC ．∴△ABN ≌△ACP ．∴∠BAN =∠CAP ，AN=AP ．∴∠NAP =∠BAC = 60°． ∴ △ANP 是等边三角形． ∴ PN =AP ．又 MP =PN ， ∴ MP =AP ． ····················· 7分 28．解：（1）① 2． ② BC 关于△ABC 的内半圆，如图1，BC 关于△ABC 的内半圆半径为1．（2）过点E 作EF ⊥OE ，与直线3=3y x 交于点F ，设点M 是OE 上的动点， i ）当点P 在线段OF 上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，分别与OP ，PE 相切的半圆，如图2．∴ 当 34≤R ≤1时，t 的取值范围是32≤t ≤3．图2 图3ii ）当点P 在OF 的延长线上运动时，OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点E 且与OP 相切的半圆，如图3．∴ 当 R =1 时，t 的取值范围是 t ≥3．iii)当点P 在OF 的反向延长上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点O 且与EP 相切的半圆，如图4.1212图1∴ 当34≤R ＜1时，t 的取值范围是t ≤．综上，点P 在直线=3y x 上运动时（P 不与O 重合），当34≤R ≤1时，t 的取值范围是t ≤或t ≥ 32．······························· 7分。

北京市西城区2020~2021学年第一学期期末考试初三数学试题(含答案解析)

北京市西城区2020-2021学年度第一学期期末试卷九年级数学202L1考生须知1.本试卷共6页，共三道大题，25道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3.试题答案一律填弓在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束时，将本试卷、答题卡一并交回。

一、选择题(本题共24分，每小题3分)第卜8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.••1.在抛物线y = x2-4x-5±的一个点的坐标为A.(0,-4)B. (2,0)C. (1,0)D. (-1,0)2.在半径为6cm的圆中，60。

的圆心角所对弧的弧长是A. 7t cmB. 2K cmC. 3n cmD. 6兀 cm3.将抛物线y = x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得拋物线的解析式为A. J =(X+3)2+5B. y = (x-3)2^5C. y = (x+5)2 + 3D. y = (x-5)2 + 34.2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品.图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰.如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形(图2),我们发现设计师巧妙地使用了数学元素(忽略误差)，图2中的四边形ABCD与四边形AB'Ciy是位似图形，点O是位似中心，点才是线段Q4的中点，那么以下结论正确的是：A.四边形ABCD与四边形A'B'C'D1的相似比为1:1B.四边形ABCD与四边形才BVQ的相似比为1:2C.四边形ABCD与四边形A,B,C,D,的周长比为3:1D.四边形ABCD与四边形A'B'C'D1的面积比为4:1图15.如图乡虫B是G»O的直径，CD是弦，若ZCDB = 32°，则如C等于A, 68°玖64°ffC. 58°D. 32°6.若抛物线y=ax1^bx^c (舜0)经过/(1,0), 〃⑶0)两点，则抛物线的对称轴为A.x = lB. x=2C. = 3D. x=*47.近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员己正式成为国家认可的新职业.中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人.若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机鸳驶执照人数的年平均增长率为心则可列出关于x的方程为A・ 2.44 (l+x) = 6.72 B・ 2.44 (1+2^) = 6.72C. 2.44 (I*)'二6.72D. 2.44 (l-^)2 = 6.728.现有函数y= V4 {X<2如果对于任遐的实数也都存在实数汕使得当"=加时，y = n,(X2-2X (4)，那么实数4的取值范围是A,-5W&W4 B, - 1W“W4 C. —4WaWl D.—4W Q W5二、填空题(本题共24分，每小题3分)9. _____________________________________ 若正六边形的边长为2,则它的半径为10.若抛物线y=ax2 (占0)经过川1,3),则该抛物线的解析式为____________11.如图，在 RtA^^C 中,ZC-900 , AC^6, AB=9,贝ij sin B .12.若抛物线y=ax2+bx^C (殍0)的示意图如图所示，则 a 0, b 0, c 0 (填“aS “=刃或《”).13.如图，为O0的直径，J^=10, CP是弦，AB丄CD于点E.若 CD=6,则 EB= ________ .14.如图，PA,是OO的两条切线，J, B为切点,若04=2,ZAPB=6Q Q ,则.15.放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小.制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺检分别在点A, B. C, D处连接起來，使得直尺可以绕着这些点转动，0为固定点，OD=DA=CB, DC=AB=BE,在点A, E 处分别装上画笔.画图：现有一图形A/,画图时固定点O,控制点力处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点£处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N.原理:若连接Q4, 0E,可证得以下结论：①△0D4和AOCE为等腰三角形，贝'J /.DOA = i(l80° -Z ODA), ZCOE = *(180°-Z _ )；②四边形ABCD为平行四边形(理由是—)；③ZDOA = ZCOE、于是可得O A, E三点在一条直线上;④当鄂|时，图形N是以点。

北京市西城区2020 年新人教版九年级上期末数学试卷含答案解析

2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣22．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜20200．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是(写出一个即可)13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=°．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整方程两根的情况对应的二次函数的大致图象a，b，c满足的条件方程有两个不相等的负实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx2﹣(2m+3)x﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．抛物线y=(x﹣1)2+2的对称轴为()A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解:∵y=(x﹣1)2+2，∴对称轴为直线x=1，故选A．2．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解:A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长度为()A．2 B．8 C．D．【考点】解直角三角形．【分析】根据角的正切值与三角形边的关系求解．【解答】解:∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∴tanA===，∴BC=2．故选A．4．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 (x﹣1)2﹣2，下列平移方式中，正确的是()A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解:∵y=﹣3x2的顶点坐标为(0，0)，y=﹣3(x﹣1)2﹣2的顶点坐标为(1，﹣2)，∴将抛物线y=﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y=﹣3(x﹣1)2﹣2．故选D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是()A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解:∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2，0)，D(5，0)，∴=，∵A(1，2)，∴C(，5)．故选:B．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为()A．55°B．45°C．35°D．25°【考点】圆周角定理．【分析】推出Rt△ABC，求出∠B的度数，由圆周角定理即可推出∠ADC的度数．【解答】解:∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故选C．7．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB=4，CD=1，则⊙O的半径为()A．5 B．C．3 D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】设⊙O的半径为r，在Rt△ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值．【解答】解:设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=r﹣1，∵OD⊥AB，AB=4，∴AC=AB=2，在Rt△ACO中，OA2=AC2+OC2，∴r2=22+(r﹣1)2，r=，故选D．8．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．右图是一段弯形管道，其中∠O=∠O’=90°，中心线的两条弧的半径都是1000mm，这段变形管道的展直长度约为(取π3.14)()A．9280mm B．6280mm C．6140mm D．457mm【考点】弧长的计算．【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度3000即可．【解答】解:图中管道的展直长度=2×+3000=1000π+3000≈1000×3.14+3000=6140mm．故选C．9．当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h(单位:m)的范围是()A．3＜h＜5 B．5＜h＜10 C．10＜h＜15 D．15＜h＜2020考点】平行投影．【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．【解答】解:AC=10．①当∠A=30°时，BC=ACtan30°=10×≈5.7．②当∠A=45°时，BC=ACtan45°=10．∴5.7＜h＜10，故选B．10．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，则a的取值范围是()A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D．＜a＜【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】根据图象得出a＜0，b＞0，由抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，得出a+b=﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【解答】解:根据图象得:a＜0，b＞0，∵抛物线与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B (0，3)，∴，∴a+b=﹣3，∵b＞0，∴﹣3＜a＜0，故选:B．二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．二次函数y=x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到△=(﹣2)2﹣4m=0，然后解关于m的方程即可．【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4m=0，解得m=1．故答案为1．12．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是EF∥BC(写出一个即可)【考点】相似三角形的判定．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解答】解:当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．13．如图，⊙O 的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为3．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=AO=，于是得到结论．【解答】解:∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，而∠APB=60°，∴∠APO=30°，△PAB是等边三角形，∴PA=AO=，∴△PAB的周长=．故答案为:3．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=kx+m(k≠0)的抛物线y2=ax2+bx+c(a ≠0)交于点A(0，4)，B(3，1)，当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．【考点】二次函数与不等式(组)．【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解:∵两函数图象交于点A(0，4)，B(3，1)，∴当y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3．故答案为:0≤x≤3．15．如图，在△ABC中，∠BAC=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若C'C∥AB，则∠BAB'=50°．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．【解答】解:解:∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，∴AC′=AC，∠B′AB=∠C′A C，∴∠AC′C=∠ACC′，∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∴∠AC′C=∠ACC′=65°，∴∠CAC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠B′AB=50°，故答案为50．16．考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．(1)请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；(2)写出作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理的应用．【分析】(1)直接在圆形残片上确定3点，进而作出两条垂直平分线的交点得出圆心即可；(2)利用垂直平分线的性质得出圆心的位置．【解答】(1)如图所示，点O即为所求作的圆心；(2)作图的依据:线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆．三、解答题(本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算:4cos30°﹣3tan60°+2sin45°•cos45°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解:原式=4×﹣3×+2××=1﹣．18．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．(1)求证:∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】(1)由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；(2)由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，∵，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．(2)如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．19．已知二次函数y=x2+4x+3．(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=a (x﹣h)2+k 的形式；(2)在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；(3)根据(2)中的图象，写出一条该二次函数的性质．【考点】二次函数的三种形式；二次函数的图象．【分析】(1)利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；(2)利用描点法画出二次函数图象；(3)利用二次函数的性质求解．【解答】解:(1)y=x2+4x+3=x2+4x+22﹣22+3=(x+2)2﹣1；(2)列表:x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…30﹣103…如图，(3)当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．2020图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．(1)求证:△ABD∽△CAE；(2)若AB=6，AC=，BD=2，求AE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】(1)由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．(2)由(1)△ABD∽△CAE，得到，把AB=6，AC=，BD=2，代入计算即可解决问题．【解答】(1)证明:∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．∴∠ADB=∠CEA．∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．(2)解:由(1)△ABD∽△CAE，∴．∵AB=6，AC=，BD=2，∴AE=．21．一张长为30cm，宽2020的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．【考点】一元二次方程的应用；展开图折叠成几何体．【分析】设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为(30﹣2x)cm，宽为(2020x)cm，然后根据底面积是81cm2即可列出方程求出即可．【解答】解:设剪掉的正方形纸片的边长为x cm．由题意，得(30﹣2x)(2020x)=264．整理，得x2﹣25x+84=0．解方程，得x1=4，x2=21(不符合题意，舍去)．答:剪掉的正方形的边长为4cm．22．一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．【考点】二次函数的应用．【分析】(1)以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．(1)求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．【解答】解:(1)本题答案不唯一，如:以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示．∴A(﹣4，0)，B(4，0)，C(0，6)．设这条抛物线的表达式为y=a(x﹣4)(x+4)．∵抛物线经过点C，∴﹣16a=6．∴a=﹣∴抛物线的表达式为y=﹣x2+6，(﹣4≤x≤4)．(2)当x=1时，y=，∵4.4+0.5=4.9＜，∴这辆货车能安全通过这条隧道．23．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．(1)求证:DC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．【考点】切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．【分析】(1)连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到结论；(2)根据三角函数的定义得到OD=5，AD=8．根据圆周角定理得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】(1)证明:连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线；(2)解:在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8．∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴．∴AF=．24．测量建筑物的高度在《相似》和《锐角三角函数》的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪:把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物(如图1)；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角α的度数(如图2，3)．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998年被确认为世界…文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿(如图4)．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求:(1)写出所使用的测量工具；(2)画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；(3)写出求天坛祈年殿高度的思路．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意画出图形，根据正切的概念解答即可．【解答】解:(1)测量工具有:简单测角仪，测量尺；(2)设CD表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；需要测量的几何量如下:①在点A，点B处用测角仪测出仰角α，β；②测出A，B两点之间的距离s；(3)设CD的高度为x m．在Rt△DBC中，，在Rt△DAC中，，∵AB=AC﹣BC，∴，解得，x=．25．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM．(1)求证:AM=BM；(2)若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【分析】(1)由垂径定理可求得AF=BF，可知DE为AB的垂直平分线，可得AM=BM；(2)连接AO，BO，可求得∠ACB=60°，可求得∠AOF，由DE的长可知AO，在Rt △AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，则可求得BC的长．【解答】(1)证明:∵直径DE⊥AB于点F，∴AF=BF，∴AM=BM；(2)连接AO，BO，如图，由(1)可得AM=BM，∵AM⊥BM，∴∠MAF=∠MBF=45°，∴∠CMN=∠BMF=45°，∵AO=BO，DE⊥AB，∴∠AOF=∠BOF=，∵∠N=15°，∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°，即∠ACB=60°，∵∠ACB=．∴∠AOF=∠ACB=60°．∵DE=8，∴AO=4．在Rt△AOF中，由，得AF=，在Rt△AMF中，AM=BM==．在Rt△ACM中，由，得CM=，∴BC=CM+BM=+．26．阅读下列材料:有这样一个问题:关于x 的一元二次方程a x2+bx+c=0(a＞0)有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程:①设一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)对应的二次函数为y=ax2+bx+c(a＞0)；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下:方程根的几何意义:请将(2)补充完整a，b，c满足的条件方程两根的情况对应的二次函数的大致图象方程有两个不相等的负实根方程有一个负实根，一个正实根方程有两个不相等的正实根(1)参考小明的做法，把上述表格补充完整；(2)若一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m 的取值范围．【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】(1)由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案；(2)根据题意得出关于m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解:(1)补全表格如下:方程两根的情况二次函数的大致图象得出的结论方程有一个负实根，一个正实根故答案为:方程有一个负实根，一个正实根，，；(2)解:设一元二次方程mx 2﹣(2m +3)x ﹣4m=0对应的二次函数为:y=x 2﹣(2m +3)x ﹣4m ，∵一元二次方程mx 2+(2m ﹣3)x ﹣4=0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1， ∴解得0＜m ＜2．∴m 的取值范围是0＜m ＜2．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B 的左侧)．(1)抛物线的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1，y1)和N(x2，y2)，若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】(1)先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；(2)根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；(3)根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．【解答】解:(1)抛物线y=﹣x2+mx+n的对称轴为直线x=﹣3，AB=4．∴点A(﹣5，0)，点B(﹣1，0)．∴抛物线的表达式为y=﹣(x+5)( x+1)∴y=﹣x2﹣6x﹣5．(2)如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为:y=﹣x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线，抛物线与x正半轴交于点C(b，0)．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标(，﹣+)，∵△OCP是等腰直角三角形，∴=﹣∴b=2．∴点P的坐标(1，1)．(3)如图2，当m=4时，抛物线表达式为:y=﹣x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线x=2．∵点M(x1，y1)和N(x2，y2)在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2﹣x1＜x2﹣2，∴点P到直线x=2的距离比点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线．在Rt△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，AF＜AC．连接BF，M，N分别为线段AF，BF的中点，连接MN．(1)如图1，点F在△ABC内，求证:CD=MN；(2)如图2，点F在△ABC外，依题意补全图2，连接CN，EN，判断CN与EN的数量关系与位置关系，并加以证明；(3)将图1中的△AEF绕点A旋转，若AC=a，AF=b(b＜a)，直接写出EN的最大值与最小值．【考点】几何变换综合题．【分析】(1)利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半和三角形的中位线即可；(2)构造出△EMN≌△DNC进而利用互余即可得出结论；(3)借助(2)的结论，先判断出点N是以点D为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解:(1)证明:在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的中线．∴CD=AB．在△ABF中，点M，N分别是边AF，BF的中点，∴MN=AB，∴CD=MN．(2)答:CN与EN的数量关系CN=EN，CN与EN的位置关系CN⊥EN．证明:连接EM，DN，如图．与(1)同理可得CD=MN，EM=DN．在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∴CD⊥AB．在△ABF中，同理可证EM⊥AF．∴∠EMF=∠CDB=90°．∵D，M，N分别为边AB，AF，BF的中点，∴DN∥AF，MN∥AB．∴∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．∴∠FMN=∠BDN．∴∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BCN．∴∠EMN=∠NDC．∴△EMN≌△DNC．∴CN=EN，∠1=∠2．∵∠1+∠3+∠EMN=10°，∴∠2+∠3+∠FMN=90°．∴∠2+∠3+∠DNM=90°，即∠CNE=90°．∴CN⊥EN．(3)点N是以点D为圆心，为半径的圆上，在Rt△ABC中，AC=BC=a，∴AB=a，∵CD为AB边上的中线．∴CD=AB=，∴CN最大=CD+=，CN最小=CD﹣=由(2)知，EN=CN，∴EN最大=，EN最小=即:EN的最大值为，最小值为．29．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义:对于⊙C及⊙C外一点P，M，N 是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1，1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1，2)，直线l:y=kx+b(k＞0)经过点D(﹣2+1，0)，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于12020直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．。

北京市西城区2020届人教版九年级上学期期末考试数学试题解析版

（B）抛物线与 y 轴交点的坐标为（0，2）
（C）当 b＞0 时，抛物线的对称轴在 y 轴右侧
（D）对于任意的实数 b，抛物线与 x 轴总有两个公共点
7．A（ − 1 ，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数 y= − (x − 2)2 + k 的图象上，则 2
y1，y2，y3 的大小关系为
（A）y1＜y2＜y3
（B）y1＜y3＜y2
（C）y3＜y1＜y2
（D）y3＜y2＜y1
8．如图， AB=5，O 是 AB 的中点， P 是以点 O 为圆心，AB 为直径的
半圆上的一个动点（点 P 与点 A，B 可以重合），连接 PA，过 P 作 PM⊥AB 于点 M．设 AP=x， AP − AM = y ，则下列图象中，能表
添加的一个条件是
．
11．如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A（-2， 4），B（-4，0），O（0，0），以原点 O
为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为 1 ． 2
12．如图，A，B 两点的坐标分别为 A（3，0），B（0， 3 ），将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转得
到线段 BC．若点 C 恰好落在 x 轴的负半轴上，则旋转角为
°．
第 12 题图
第 13 题图
13．在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所
示．若 a1 = 1米， a2 = 10 米，h=1.5 米，则这个学校教学楼的高度为
米．
14．我国魏晋时期的数学家刘徽（263 年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 π 3.14 ．

北京市西城区2020—2021年九年级上期末数学试题含答案解析

北京市西城区2020—2021年九年级上期末数学试题含答案解析九年级数学 2021.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．二次函数()257y x =-+的最小值是A ．7-B ．7C ．5-D ．5 【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】当x=5时，二次函数取最小值，最小值是7，因此选B【答案】B2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，则cos A 的值为A ．35 B ．53C ．45 D ．34【考点】锐角三角函数【试题解析】∵AC=3,BC=4∴AB=5∴cosA=选A【答案】A3．如图，⊙C 与∠AOB 的两边分别相切，其中OA 边与⊙C相切于点P ．若∠AOB =90°，OP =6，则OC 的长为A ．12B ．122C ．62D ．3【考点】切线的性质与判定【试题解析】∵OP=CP=6∠CPO=90°∴OC=【答案】C4．将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是A ．2(6)5y x =-+B ．2(3)5y x =-+C ．2(3)4y x =--D ．2(3)9y x =+-【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】选C【答案】C5．若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是12π cm ，则此扇形的圆心角等于A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【考点】弧长运算【试题解析】设圆心角为x ，依照题意得：解得：x=120°选D【答案】D6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1-，2)，AB ⊥x 轴于点B ．以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原先的2倍，得到△OA 1B 1，且点A 1在第二象限，则点A 1的坐标为 A ．(2-，4) B ．(12-，1)C ．(2，4-)D ．(2，4)【考点】位似图形【试题解析】位似比是2，因此(-1,2)，横坐标和纵坐标都扩大2倍，因此点的坐标为(-2,4)选A【答案】A7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时刻后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长能够表示为A．40海里B．40tan37°海里C．40cos37°海里D．40sin37°海里【考点】解直角三角形【试题解析】∠A=37°∴BP=40sin37°(海里)∴选D【答案】D8．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为A．30°B．45°C．50°D．70°【考点】弦、弧、圆心角的关系【试题解析】∠ABC=70°，∠ACB=30°∴弧BAC所对的圆周角为100°∵点D是中点∴∠DBC的度数为50°【答案】C9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，假如调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为A．60(30020)y x=+B．(60)(30020)y x x=-+C．300(6020)y x=-D．(60)(30020)y x x=--【考点】二次函数的概念及表示方法【试题解析】y=(60-x)(300+20x),BAC选B【答案】B10．二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x <<时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为A ．8B ．10-C ．42-D ．24-【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】把x=-2带入得：8+16+m=0因此m=-24选D【答案】D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若34a b =，则a b b+的值为．【考点】分式的差不多性质【试题解析】【答案】12．点A (3-，1y )，B (2，2y )在抛物线25y x x =-上，则1y 2y ．（填“>”，“<”或“=”）【考点】二次函数的概念及表示方法【试题解析】=24y2=-6因此>y2【答案】>13．△ABC 的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF 的最小边长为15，则△DEF 的周长为．【考点】相似三角形的应用【试题解析】依照相似比等于周长比因此15：5=3△ABC的周长为30因此△DEF的周长=90【答案】9014．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=．【考点】三角形的性质及其分类【试题解析】当BD垂直AC时AD取值最大因此0<AD<，因此AD能够等于10.【答案】1015．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知那个人身高是5尺．漂亮的小姐和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为．【考点】垂径定理及推论【试题解析】依照题意得：EA=DB-AC=4OE=x-4在直角三角形OEB中应用勾股定理得：【答案】16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证∠OAP =∠OBP =90°，其依据是；由此可证明直线P A ，PB 差不多上⊙O 的切线，其依据是．【考点】切线的性质与判定【试题解析】依照定理，直径所对的圆周角是直角，∠OAP 和∠OBP 差不多上圆O 直径所对的圆周角 ∵∠OAP=∠OBP=90°∴PA,PB 确实是⊙O 的切线，通过半径外端同时垂直于这条半径的直线是圆的切线．【答案】直径所对的圆周角是直角；通过半径外端同时垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．运算：24cos30tan60sin 45︒⋅︒-︒．尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P 为⊙O 外一点．求作：通过点P 的⊙O 的切线． PO 如图，（1）连接OP ，作线段OP 的垂直平分线MN交OP 于点C ；（2）以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交⊙O 于A ，B 两点；（3）作直线P A ，PB ．因此直线P A ，PB 确实是所求作的切线．【考点】专门角的三角函数值【试题解析】原式===．【答案】18．如图，△ABC 中，AB =12，BC =15，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD =30°．求tan C 的值．【考点】锐角三角函数【试题解析】∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵在Rt △ABD 中，AB=12，∠BAD=30°，∴BD=AB=6，AD=AB ·cos ∠BAD = 12·cos30°=． ∵BC=15，∴CD= BC －BD=15－6=9．∴在Rt △ADC 中，tanC===．【答案】19．已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）求A ，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C ，点D 与点C 关于x 轴对称，求四边形ACBD 的面积．【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】（1）令，则．解得，．∵点A在点B的左侧，∴A（，0），B（3，0）．对称轴为直线．（2）∵当时，，∴顶点C的坐标为（1，4）．∵点C，D关于x轴对称，∴点D的坐标为（1，）．∵AB=，∴【答案】(1)x=1;(2)16.20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【考点】相似三角形判定及性质【试题解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB．（2）∵△ABD∽△DCB，∴．∵AB=12，AD=8，CD=15，∴．∴DB=10．【答案】（1）见解析（2）DB=1021．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区打算在其中修建两块完全相同的矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．假如这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【考点】一元二次方程的应用【试题解析】依照题意，得．整理得．解得，． ∵不符合题意，舍去， ∴．答：人行通道的宽度是2米．【答案】2米22．已知抛物线1C ：2124y x x k =-+与x 轴只有一个公共点．（1）求k 的值；（2）如何样平移抛物线1C 就能够得到抛物线2C ：222(1)4y x k =+-？请写出具体的平移方法；（3）若点A （1，t ）和点B （m ，n ）都在抛物线2C ：222(1)4y x k =+-上，且n t <，直截了当写出m 的取值范畴．【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】（1）∵抛物线：与x 轴有且只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根． ∴．解得．（2）∵抛物线：，顶点坐标为（1，0），抛物线：的顶点坐标为（-1，-8）， ∴将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就能够得到抛物线．（3）【答案】（1）（2）见解析（3）23．如图，AB 是⊙O 的一条弦，且AB =3C ，E 分别在⊙O 上，且OC ⊥AB 于点D ，∠E =30°，连接OA ．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为22，直截了当写出∠BAF的度数．【考点】圆的综合题【试题解析】（1）∵OC⊥AB于点D，∴AD=DB，∠ADO=90°．∵AB=，∴AD=．∵∠AOD=2∠E，∠E=30°，∴∠AOD=60°．∵在Rt△AOD中，sin∠AOD=，∴OA==4．（2）∠BAF=75°或15°．【答案】（1）4;（2）75°或15°24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请关心他们运算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【考点】解直角三角形【试题解析】∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°，∴∠BAD=90°—∠B=45°．∴∠BAD=∠B．∴AD=DB．设AD=x，∵在Rt△ADC中，tan∠ACD=，∠ACD=58°，∴DC=．∵DB= DC+ CB=AD，CB=90，∴+90=x．将tan58°≈1.60代入方程，解得x≈240．答：最高塔的高度AD约为240米．【答案】240m25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE=∠PEC；（2）若AB=10，ED=32，sin A=35，求PC的长．【考点】圆的综合题【试题解析】（1）证明：连接OC，如图1．∵ PC是⊙O的切线，C为切点，∴OC⊥PC．∴∠PCO=∠1+∠2=90°．∵PD⊥AB于点D，∴∠EDA=90°．∴∠A+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠A=∠1．∴∠2=∠3．∵∠3=∠4，∴∠2=∠4．即∠PCE=∠PEC．（2）作PF⊥EC于点F，如图2．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵在Rt△ABC中，AB=10，，∴BC=AB·sinA=6．∴AC==8．∵在Rt△AED中，ED=，∴AE==．∴EC=AC－AE=．∵∠2=∠4，∴PE=PC．∵PF⊥EC于点F，∴FC=EC=，∠PFC=90°．∴∠2+∠5=90°．∵∠A+∠2=∠1+∠2=90°．∴∠A=∠5．∴sin∠5 =．∴在Rt△PFC中，PC==【答案】见解析26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2k y x=交于A （1，3）和B （3-，1-）两点．观看图象可知：①当3x =-或1时，12y y =；②当30x -<<或1x >时，12y y >，即通过观看函数的图象，能够得到不等式k ax b x +>的解集．有如此一个问题：求不等式32440x x x +-->的解集．某同学依照学习以上知识的体会，对求不等式32440x x x +-->的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化当0x =时，原不等式不成立；当0x >时，原不等式能够转化为2441x x x+->；当0x <时，原不等式能够转化为2441x x x +-<；（2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x= 中分别画出这两个函数的图象．双曲线44y x=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线．．．．．2341y x x =+-；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标图1图2观看所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足34y y =的所有x 的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观看两个函数的图象可知：不等式32440x x x +-->的解集为．【考点】反比例函数与一次函数综合【试题解析】（2）抛物线如图所示；（3）依照图像，两个函数的相交时y 相等，得到x 的值.，或；（4）依照函数图像或．在上面，成立【答案】见解析27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象通过点A （1，0），且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数212y x bx c =-++的表达式；（2）连接AB ，求AB 的长；（3）连接AC ，M 是线段AC 的中点，将点B 绕点M 旋转180°得到点N ，连接AN ，CN ，判定四边形ABCN 的形状，并证明你的结论．【考点】二次函数与一次函数综合【试题解析】（1）∵二次函数，当和时所对应的函数值相等，∴二次函数的图象的对称轴是直线．∵二次函数的图象通过点A（，），∴解得∴二次函数的表达式为．（2）过点B作BD⊥x轴于点D，如图1．∵一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，∴．解得，．∴交点坐标为（2，1），（5，）．∵点B在第一象限，∴点B的坐标为（2，1）．∴点D的坐标为（2，）．在Rt△ABD中，AD=1，BD=1，∴AB==．（3）结论：四边形ABCN的形状是矩形．证明：设一次函数的图象与x轴交于点E，连接MB，MN，如图2．∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴M是线段BN的中点．∴MB= MN．∵M是线段AC的中点，∴MA= MC．∴四边形ABCN是平行四边形．∵一次函数的图象与x轴交于点E，当时，．∴点E的坐标为（3，0）．∴DE=1= DB．∴在Rt△BDE中，∠DBE=∠DEB=45°．同理∠DAB=∠DBA=45°．∴∠ABE=∠DBA+∠DBE=90°．∴四边形ABCN是矩形．【答案】见解析28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN=_______，NM与AB的位置关系是____________；（2）当4<BD<8时，①依题意补全图2；②判定（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直截了当写出结果．图1 图2 备用图【考点】图形的旋转【试题解析】（1），垂直；（2）①补全图形如图所示；②结论：（1）中NM与AB的位置关系不变．证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°．∴∠CAN +∠NAM=45°．∵AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD=AE，∠DAE=90°．∵N为ED的中点，∴∠DAN=∠DAE=45°，AN⊥DE．∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND=90°．∴∠NAM =∠DAC．在Rt△AND中，=cos∠DAN= cos45°=．在Rt△ACB中，=cos∠CAB= cos45°=．∵M为AB的中点，∴AB=2AM．∴．∴．∴．∴△ANM∽△ADC．∴∠AMN=∠ACD．∵点D在线段BC的延长线上，∴∠ACD=180°－∠ACB =90°．∴∠AMN=90°．∴NM⊥AB．（3）当BD的长为 6 时，ME的长的最小值为 2 ．【答案】见解析29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照耀在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．专门地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．图1 图2 图3 （1）自⊙C内一点动身的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照耀在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°；，0)动身的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第②自点A(1二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________；（3）如图4，点M的坐标为(0，2)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O动身的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范畴．图4【考点】圆的综合题【试题解析】（1）所得图形，如图1所示．（2）①45°；②(，)或(，)；（3）①如图2，直线OQ与⊙M相切于点Q，点Q在第一象限，连接MQ，过点Q作QH⊥x轴于点H．∵直线OQ与⊙M相切于点Q，∴MQ⊥OQ．∴∠MQO=90°．∵MO=2，MQ=1，∴在Rt△MQO中，sin∠MOQ=．∴∠MOQ=30°．∴OQ=OM×cos∠MOQ=．∵QH⊥x轴，∴∠QHO=90°．∵∠QOH=90°∠MOQ=60°，∴在Rt△QOH中，QH= OQ﹒sin∠QOH=．②如图3，当反射光线PN与坐标轴平行时，连接MP并延长交x轴于点D，过点P作PE⊥OD于点E，过点O作OF⊥PD于点F．∵直线l是⊙M的切线，∴MD⊥l．∴∠1+∠OPD=∠2+∠NPD =90°．∵∠1=∠2，∴∠OPD=∠NPD．∵PN∥x轴，∴∠NPD=∠PDO．∴∠OPD=∠PDO．∴OP=OD．∵OF⊥PD，∴∠MFO =90°，PF=FD．∵，设PF=FD=，而MO=2，MP=1，∴．解得．∵，∴．∵PE⊥OD，∴∠PED =90°=∠MOD ．∴PE∥MO．∴∠EPD =∠OMF ．∴cos∠EPD = cos∠OMF ．∴．∴==．可知，当反射点P从②中的位置开始，在⊙M上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，因此反射点P的纵坐标的取值范畴是．【答案】见解析。

北京西城区2020届初三第一学期期末数学试题(Word版含答案)

西城区2020届初三第一学期期末数学 2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 如图，四边形内接于，若∠ ，则∠ 的度数是（A ）40° （B ）80° （C ）100°（D ）120°2. 在直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移一个单位长度，得到抛物线（A ）（）（B ）（）（C ）（）（D ）（）3. 圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（A ）（B ）（C ）（D ）4. 如图，在中，以为中心，将顺时针旋转35°得到，边，相交于点，若∠ ，则∠ 的度数为（A ）60° （B ）65° （C ）72.5°（D ）115°5. 如图，AB 是的直径，弦于，若∠ 30°，，则长为（A ）3 （B ）（C ）（D ）26. 下列关于抛物线的说法正确的是（A ）抛物线的开口方向向下（B ）抛物线与轴交点的坐标为（，）（C ）当时，抛物线的对称轴在轴右侧（D ）对于任意的实数，抛物线与轴总有两个公共点7. （，），（，），（，）三点都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（A）（B）（C）（D）8. 如图，，是的中点，是以为圆心，为直径的半圆上的一个动点（点与点可以重合），连接，过作于点.设，，则下列图像中，能表示与的函数关系的图像大致是二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 函数（0）的图象如图所示，则该函数的最小值是.10. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件使得，添加的一个条件是.11. 如图，三个顶点的坐标分别为A（，），B（，），C（，），以原点为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为.12. 如图，，两点的坐标分别为（，），（，），将线段绕点顺时针旋转得到线段.若点恰好落在轴的负半轴上，则旋转角为°.13. 在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示.若1米，=10米，ℎ 1.5米，则这个学校教学楼的高度为米.14. 我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 3.14.刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆.设圆的半径为，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；请写出圆内接正二十四边形的周长，计算.（参考数据：，）15. 在关于的二次函数中，自变量可以取任意实数，下表是自变量与函数的几组对应值：根据以上信息，关于的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位小数）.16. 如图，矩形中，，，是边的中点，点在边上，设，若以点为圆心，为半径的与线段只有一个公共点，则所有满足条件的的取值范围是.三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27题，第28题，每小题7分）17. 计算：.18. 已知二次函数（1）写出该二次函数图像的对称轴及顶点坐标，再描点画图；（2）利用图像回答：当取什么值时，.19. 如图，在中，平分∠，是上一点，且.（1）求证：；（2）若，，求的值.20. 如图，在正方形中，点在边上，将点绕点逆时针旋转得到点，若点恰好落在边的延长线上，连接，，.（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，则的面积为.21. 某校要组织“风华杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）.（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？22. 如图，AB是的直径，，是的两条切线，切点分别为，.连接角于点，交于点，连接.（1）求证：；（2）若的半径为5，，求的长.23. 图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面，.斜坡顶端与地面的距离为3米.为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头，喷头喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分.设喷出水珠的竖直高度为（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头的水平距离为（单位：米），与之间近似满足函数关系（，是常数，），图2记录了与的相关数据.（1）求关于的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头的水平距离为2米，通过计算判断从喷出的水珠能否越过这棵树.24. 如图，四边形内接于，∠，是对角线，点在的延长线上，且∠∠.（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）与的延长线交于点，若，，，求的长.25. 下面给出六个函数解析式：，，，，，.小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象性质.下面是小明的分析研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都有共同的特点，可以表示为形如,其中x 为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图像，用描点法将这个函数的图像补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当（为正数）时，随的增大而增大，当时，随的增大而小④函数图象与轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是；（4）结合函数图象，解决问题：若关于的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为.26. 在平面直角坐标系中，抛物线.（1）若该抛物线与直线交于，两点，点在轴上.求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）横坐标为整数的点称为横整点.①将（1）中的抛物线在，两点之间的部分记作（不含，两点），直接写出上的横整点的坐标；②抛物线与直线交于，两点，将抛物线在，两点之间的部分记作（不含，两点），若上恰有两个横整点，结合函数的图象，求的取值范围.27. 是等边三角形，点在的延长线上，以为中心，将线段逆时针旋转（）得线段，连接，.（1）如图1，若，画出当时的图形，并写出此时的值；（2）为线段的中点，连接.写出一个的值，使得对于延长线上任意一点，总有，并说明理由.28. 对于给定的，我们给出如下定义：若点是边上的一个定点，且以为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上，则称这样的圆为边上的点关于的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点关于的最大内半圆.若点是边上的一个动点（不与，重合），则在所有的点关于的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为关于的内半圆.（1）在中，∠，，①如图1，点在边上，且，直接写出点关于的最大内半圆的半径长；②如图2，画出关于的内半圆，并直接写出它的半径长；（2）在平面直角坐标系中，点的坐标为（，），点在直线上运动（不与重合），将OE关于的内半圆半径记为，当时，求点的横坐标的取值范围.2020北京西城初三（上）期末数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）每小题7分）17．解：3 tan 30° + 4 cos45° - 2 sin 60°=342 =． ··························· 5分18．解：（1）对称轴是直线 x =2，顶点是（2，-1）．2=43y x x -+的图象，如图．（2）当1＜x ＜3时， y ＜0．19．（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ． ∵ BE =BD ， ∴∠BED =∠BDE ． ∴∠AEB =∠ADC ． ∴△ABE ∽△ACD ．（2）解：∵△ABE∽△ACD，∴AE BE AD CD=．∵BE =BD =1，CD = 2，∴12AEAD=．5分20．（1）△DEF是等腰直角三角形．证明：在正方形ABCD中，DA=DC，∠ADC=∠DAB=∠DCB=90°．∵F落在边BC的延长线上，∴∠DCF=∠DAB=90°．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴DE=DF．∴ Rt△ADE≌ Rt△CDF．∴∠ADE =∠CDF．∵∠ADC =∠ADE+∠EDC =90°，∴∠CDF +∠EDC =90°，即∠EDF =90°．∴△DEF是等腰直角三角形．（2）△DEF的面积为 8．·····························5分21．解：（1）6；（2）设如果全校一共进行36场比赛，那么有x支球队参加比赛．依题意，得(1)362x x-=．解得x1= 9，x2= -8（不合题意，舍去）．所以x = 9．答：如果全校一共进行36场比赛，那么有9支球队参加比赛．······5分22．证明：（1）∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．∴PB=PC，∠BPO =∠CPO．∴PO⊥BC，BE=CE．∵ OB =OA ，∴ OE =12AC ．（2）∵ PB 是⊙O 的切线，∴ ∠OBP =90°．由（1）可得 ∠BEO =90°，OE =12AC =3． ∴ ∠OBP = ∠BEO =90°．∴ tan BE PB BOE OE OB∠== 在Rt △BEO 中，OE =3，OB =5，∴ BE =4．∴ PB=203． ·························· 5分23．（1）解：在Rt △ABC 中，1tan 2α=， BC =3， ∴ AC =6．∴ 点B 的坐标为（6，3）．∵ B （6，3），E （4，4）在抛物线2y ax bx =+上， ∴ 22663,44 4.a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 1,42.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴ y 关于x 的函数关系式为2124y x x =-+．（2）当x ＝2时，212224y =-⨯+⨯＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．····························· 6分24．解：（1）相切．证明：连接BD ，如图．∵ 四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，∴ BD 是⊙O 的直径，即点O 在BD 上．∴ ∠BCD = 90°．∴ ∠CED +∠CDE = 90°．∵ ∠CED =∠BAC ．又 ∵∠BAC =∠BDC ，∴ ∠BDC +∠CDE = 90°，即∠BDE = 90°．∴ DE ⊥OD 于点D ．∴ DE 是⊙O 的切线．（2）如图，BD 与AC 交于点H ．∵ DE ∥AC ，∴ ∠BHC =∠BDE = 90°．∴ BD ⊥AC ．∴ AH = CH ．∴ BC = AB =4，CD = AD =2．∵ ∠FAD =∠FCB = 90°，∠F =∠F ，∴ △FAD ∽△FCB ．∴ AD AFCB CF =．∴ CF =2AF ．设 AF = x ，则DF = CF -CD=2x -2．在Rt △ADF 中，222DF AD AF =+，∴ 222(22)2x x -=+．解得 183x =，20x =（舍去）． ∴ 83AF =． ······················ 6分 25．解：（1）① 2y ax b x c =++，（a ，b ，c 是常数，0a ≠）．（2）图象如图1所示．图1 图2（3）①③．（4）如图2，-1，0．····························· 6分26．解：（1）∵ 抛物线y = x 2 - 2 m x - 2m - 2与直线y = 2交于A ，B 两点，点B 在y 轴上，∴ 点B 的坐标为（0，2）．∴ -2m - 2= 2．∴ m = -2．∴ 抛物线的表达式为 y = x 2 + 4 x + 2∵ A ，B 两点关于直线x = -2对称，∴ 点A 的坐标为（-4，2）．（2）① y = x 2 + 4 x + 2的图象，如图1所示．G 1上的横整点分别是（-3，-1），（-2，-2），（-1，-1）．图1②对于任意的实数m，抛物线y=x2-2m x-2m–2与直线y= -x-2总有一个公共点（-1，-1），不妨记为点C．当m≤-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为-3，-2，如图2.∴ -2≤32m<-．当m＞-1时，若G2上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3.∴12m<≤1．图2 图3综上，G2恰有两个横整点，m的取值范围是-2≤32m<-或12m<≤1．·····························6分27．解：（1）如图．当BQ∥AP时，n = 60．（2）n = 120．证明：延长PM至N，使得MN=PM，连接BN，AN，QN，如图．∵M为线段BQ的中点，∴四边形BNQP是平行四边形．∴BN∥PQ，BN=PQ．∴∠NBP=60°．∵△ABC是等边三角形，∴ AB=AC，∠ABC =∠ACB = 60°．∴∠ABN=∠ACP =120°．∵以P为中心，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，∴ PQ =PC．∴ BN =PC．∴△ABN≌△ACP．∴∠BAN =∠CAP，AN=AP．∴∠NAP =∠BAC = 60°．∴△ANP是等边三角形．∴PN=AP．又MP=PN，∴MP=AP．·····················7分28．解：（1）①2．② BC关于△ABC的内半圆，如图1，BC关于△ABC的内半圆半径为1．（2）过点E作EF⊥OE，与直线=3y x交于点F，设点M是OE上的动点，i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于△OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图2．∴当34≤R≤1时，t的取值范围是32≤t≤3．1212图2 图3ii ）当点P 在OF 的延长线上运动时，OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点E 且与OP 相切的半圆，如图3．∴ 当 R =1 时，t 的取值范围是 t ≥3．iii)当点P 在OF 的反向延长上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，经过点O 且与EP 相切的半圆，如图4.∴ 当34≤R ＜1时，t 的取值范围是t ≤95+-．综上，点P 在直线=3y x 上运动时（P 不与O 重合），当34≤R ≤1时，t 的取值范围是 t≤95+- 或t ≥ 32． ······························· 7分。