2015届高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念教学案(含最新模拟、试题改编)
《第一章-集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计
《第一章集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计一、内容分析与整合(一)教学内容分析《第一章集合与常用逻辑用语》是高中数学学习的起点,为学生后续学习函数、数列、不等式等数学内容提供了重要的逻辑基础。
本章内容主要分为五个部分:集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、充分条件与必要条件、以及全称量词与存在量词。
这些内容不仅在数学内部逻辑上紧密相连,而且在实际问题解决中也具有广泛的应用价值。
集合是现代数学的基本概念之一,它是描述事物群体及其相互关系的重要工具。
通过学习集合的概念,学生能够理解集合的确定性、互异性、无序性,并掌握集合的表示方法(如列举法、描述法等)。
集合的学习有助于学生形成分类讨论的数学思想,为后续学习打下坚实基础。
集合间的基本关系主要包括子集、真子集、相等关系等。
这些关系揭示了集合之间的层次结构和相互联系,是学习集合运算和逻辑推理的基础。
学生需要掌握判断集合间关系的方法,并能根据具体问题灵活应用。
集合的基本运算包括并集、交集、补集等。
这些运算是集合论中的重要内容,也是解决实际问题中常用的数学工具。
学生需要掌握集合运算的定义、性质及运算法则,并能够进行复杂的集合运算。
充分条件与必要条件是逻辑推理中的基本概念,它们描述了条件与结论之间的逻辑关系。
通过学习充分条件与必要条件,学生能够理解命题之间的逻辑关系,掌握推理的基本方法,提高逻辑思维能力。
全称量词与存在量词是数学语言中的重要组成部分,它们用于描述具有普遍性或特殊性的数学命题。
学生需要理解全称命题与特称命题的区别,掌握全称量词与存在量词的含义及用法,并能够运用量词进行逻辑推理和命题证明。
(二)单元内容分析本单元内容不仅涵盖了集合论和逻辑推理的基础知识,更在数学学科中占据着举足轻重的地位。
集合论,作为现代数学大厦的基石之一,为我们提供了一个描述和研究数学对象及其相互关系的强大框架。
它使我们能够更清晰地理解和表达数学中的基本概念,为深入学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。
高考数学统考一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念及其运算(教师文档)教案 文
学习资料第一节集合的概念及其运算授课提示:对应学生用书第1页[基础梳理]1.集合的相关概念(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的两种关系:属于,记为∈,不属于,记为∉.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.(4)五个特定的集合:集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N+或N*Z Q R 2。
集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A⊆B且B⊆A⇔A=B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素A B或B A空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)3.集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪B={x|x∈A或x∈B}A∩B={x|x∈A且x∈B}∁U A={x|x∈U且x∉A}1.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅;∁U(∁U A)=A;∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B);∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).2.集合的子集个数若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个.3.两个防范(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,应时刻关注对空集的讨论,防止漏解.(2)在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互异性.[四基自测]1.(基础点:元素与集合的关系)若集合A={x∈N|x≤错误!},a=2错误!,则下面结论中正确的是()A.{a}⊆A B.a⊆AC.{a}∈A D.a∉A答案:D2.(基础点:补集运算)已知集合A={x|x2-16<0},则∁R A=()A.{x|x≥±4} B.{x|-4<x<4}C.{x|-4≤x≤4}D.{x|x≥4}∪{x|x≤-4}答案:D3.(易错点:定义不透)已知集合A={0,1,2},集合B满足A∪B={0,1,2},则集合B 有________个.答案:84.(易错点:交集运算)已知集合M={x∈N|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=________.答案:{0,1}授课提示:对应学生用书第2页考点一集合的概念挖掘1求集合元素的个数/ 自主练透[例1](1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A 中元素的个数为()A.9B.8C.5 D.4[解析]将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.[答案] A(2)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3 B.4C.5 D.6[解析]a∈{1,2,3},b∈{4,5},则M={5,6,7,8},即M中元素的个数为4,故选B.[答案] B[破题技法]与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定集合中的元素是什么.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)注意元素的三个特性,特别是互异性.挖掘2利用元素特性求参数/ 互动探究[例2]设集合A={x|(x-a)2〈1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为________.[解析]由题意得错误!解得错误!结合数轴得1〈a≤2。
人教统编部编版高中数学必修一A版第一章《集合与常用逻辑用语》全章节教案教学设计(含章末综合复习)
【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第一章教案教学设计1.1《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础.许多重要的数学分支,都是建立在集合理论的基础上.此外,集合理论的应用也变得更加广泛.教学目标【知识与能力目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;2.知道常用数集及其专用记号;3.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性;4.会用集合语言表示有关数学对象;5.培养学生抽象概括的能力.【过程与方法目标】1.让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义.2.让学生归纳整理本节所学知识.【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性,增加学生对数学学习的兴趣.教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法.【教学难点】对待不同问题,表示法的恰当选择.课前准备学生通过预习,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标.教学过程(一)创设情景,揭示课题请分析以下几个实例:1.正整数1,2,3,⋯⋯;2.中国古典四大名著;3.2018足球世界杯参赛队伍;4.《水浒》中梁山108好汉;5.到线段两端距离相等的点.在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体.(二)研探新知1.集合的有关概念(1)一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集).思考:上述5个实例能否构成集合?如果是集合,那么它的元素分别是什么?练习1:下列指定的对象,是否能构成一个集合?①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数⑧正三角形全体(2)关于集合的元素的特征(a)确定性:设A一个给定的集合,对于一个具体对象a,则a或者是集合A的元素,或者不是集合A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.(b)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素.(c)无序性:集合中的元素是没有顺序关系的,即只要构成两个集合的元素一样,我们称这两个集合是相等的,跟顺序无关.(3)思考1:列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学生的例子予以讨论、点评,进而讲解下面的问题.答案:(a)把3-11内的每一个偶数作为元数,这些偶数全体就构成一个集合.(b)不能组成集合,因为组成它的元素是不确定的.(4)元素与集合的关系;(a)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作a∈A(b)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A,记作a∉A例如:A表示方程x2=1 的解.2∉A,1∈A(5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.(a)列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法.如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…;思考2,引入描述法答案:(1)1~9内所有偶数组成的集合(2)不能,因为集合中元素的个数是无穷多个.说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.(b)描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},…;思考3:描述法表示集合应注意集合的代表元素{(x,y)|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集Z.(6)常用数集及其记法非负整数集(或自然数集),记作N正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z有理数集,记作Q实数集,记作R辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集},{R}也是错误的.如果写{实数}是正确的.说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.(7)集合的分类问题2:我们看这样一个集合:{ x |x 2+x +1=0},它有什么特征?显然这个集合没有元素.我们把这样的集合叫做空集,记作∅.练习:(1) 0 ∅ (填∈或∉)(2){ 0 } ∅ (填=或≠)集合的分类:(1)按元素多少分类:有限集、无限集;(2)按元素种类分类:数集、点集等(三)例题讲解例1.用集合表示:①x 2-3=0的解集;②所有大于0小于10的奇数;③不等式2x -1>3的解.例2.已知集合S 满足:1S ∉,且当a S ∈时11S a ∈-,若2S ∈,试判断12是否属于S ,说明你的理由.例3.设由4的整数倍加2的所有实数构成的集合为A ,由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B ,若,x A y B ∈∈,试推断x +y 和x -y 与集合B 的关系.(四)归纳小结本节课从实例入手,非常自然贴切地引出集合与集合的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明,然后介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法.1.2《集合间的基本关系》教案教材分析类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系,了解空集的含义.本节内容是在学习了集合的概念、元素与集合的从属关系以及集合的表示方法的基础上,进一步学习集合与集合之间的关系,同时也为下一节学习集合的基本运算打好基础.因此本节内容起着承上启下的重要作用.教学目标【知识与能力目标】1.了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;2.理解子集、真子集的概念;3.能使用Venn图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用.【过程与方法目标】让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义.【情感态度价值观目标】感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义.教学重难点【教学重点】集合间的包含与相等关系,子集与真子集的概念.【教学难点】属于关系与包含关系的区别.课前准备学生通过预习,观察、类比、思考、交流、讨论,发现集合间的基本关系.教学过程(一)创设情景,揭示课题复习回顾:1.集合有哪两种表示方法?2.元素与集合有哪几种关系?问题提出:集合与集合之间又存在哪些关系?(二)研探新知问题1:实数有相等、大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢?让学生自由发言,教师不要急于做出判断.而是继续引导学生;欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.投影问题2:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗? (1){1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==;(2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合;(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形(4){2,4,6},{6,4,2}E F ==.组织学生充分讨论、交流,使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系,从而类比得出两个集合之间的关系:①一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为B 的子集.记作:()A B B A ⊆⊇或读作:A 含于B (或B 包含A ).②如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等.教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处,强化学生对符号所表示意义的理解.并指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图.如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图.图1 图2投影问题3:与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比,在集合中,你能得出什么结论教师引导学生通过类比,思考得出结论: 若,,A B B A A B ⊆⊆=且则. 问题4:请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例,并用Venn 图表示.学生主动发言,教师给予评价.(三)学生自主学习,阅读理解然后教师引导学生阅读教材的相关内容,并思考回答下例问题:(1)集合A 是集合B 的真子集的含义是什么?什么叫空集?(2)集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别? (3)0,{0}与∅三者之间有什么关系?(4)包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈之间有什么区别?试结合实例作出解释.(5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?(6)能否说任何一人集合是它本身的子集,即A A ⊆?(7)对于集合A ,B ,C ,如果A ⊆B ,B ⊆C ,那么集合A 与C 有什么关系? 教师巡视指导,解答学生在自主学习中遇到的困惑过程,然后让学生发表对上述问题看法.(四)巩固深化,发展思维1.学生在教师的引导启发下完成下列两道例题:例1.某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品,B 表示质量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成立?,,,A B B A A C C A ⊆⊆⊆⊆试用Venn 图表示这三个集合的关系.例2.写出集合{0,1,2)的所有子集,并指出哪些是它的真子集.2.学生做教材习题,教师及时检查反馈.强调能确定是真子集关系的最好写真子集,而不写子集.(五)归纳整理,整体认识1. 请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些,所涉及到的主要数学思想方法又那些.2.在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出.1.3《集合的基本运算》教案教材分析集合的基本运算是人教版普通高中课程标准实验教科书,数学必修1第一章第三节的内容. 在此之前,学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系,这为学习本节内容打下了基础. 本节内容是函数、方程、不等式的基础,在教材中起着承上启下的作用. 本节内容是高中数学的主要内容,也是高考的对象,在实践中应用广泛,是高中学生必须掌握的重点.教学目标与核心素养课程目标1. 理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集;2. 理解全集和补集的含义,能求给定集合的补集;3. 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.数学学科素养1.数学抽象:并集、交集、全集、补集含义的理解;2.逻辑推理:并集、交集及补集的性质的推导;3.数学运算:求两个集合的并集、交集及补集,已知并集、交集及补集的性质求参数(参数的范围);4.数据分析:通过并集、交集及补集的性质列不等式组,此过程中重点关注端点是否含“=”及∅问题;5.数学建模:用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合课件
(5)集合的分类:有限集和无限集.
列举法
、
描述法
、Venn图法、
2.集合间的基本关系
关系
子集
自然语言
集合A中 任意一个元素 都是
集合B中的元素
真子 集合A⊆B,但 存在
集
集合
相等
符号语言
元素
A⊆B(或B⊇A)
A⫋B(或B⫌A)
x∈B,且x∉A
集合A的任何一个元素都是集
合B的元素,同时集合B的任何
a=(
)
A.-1
B.-2
C.1
D.2
答案 D
解析由题意得集合 A={x|-1<x<3},B={x|2x-a<0}= | <
因为
A∩B={x|-1<x<1},所以 =1,解得
2
a=2.
2
.
考向3.集合语言与思想的运用
典例突破
例5.某班45名学生参加植树节活动,每名学生都参加除草、植树两项劳动.
围为(
)
A.[-1,+∞)
B.(-1,+∞)
C.[1,+∞)
D.(1,+∞)
答案 C
解析 因为A= 1 ≤ 2 ≤ 8 ={x|-2≤x≤3},B={x|log2(x-a)>1}={x|x>a+2},
4
且A∩B=⌀,所以a+2≥3,即a≥1,故选C.
方法点拨根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法
解,此时注意集合中元素的互异性.
(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时
需检验端点值能否取到.
高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念教案(含解析)
第一章集合与常用逻辑用语考试内容等级要求集合及其表示 A子集 B交集、并集、补集 B命题的四种形式 A充分条件、必要条件、充要条件 B简单的逻辑联结词 A全称量词与存在量词 A§1.1集合的概念考情考向分析集合的含义与表示是集合运算和应用的基础,元素与集合的关系、集合间的关系多以填空题形式考查,低档难度;集合的概念有时与数列等知识交汇,中低档难度.1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、Venn图法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N+)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A 的任意一个元素都是集合B的元素(若x ∈A ,则x ∈B ) A ⊆B (或B ⊇A )真子集集合A 是集合B 的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A 中 A B (或B A )集合相等集合A ,B 中的元素相同或集合A ,B互为子集A =B概念方法微思考1.两个集合{a ,b }和{(a ,b )}是否相同? 提示 不同,{a ,b }是数集,{(a ,b )}是点集.2.若一个集合A 有n 个元素,则集合A 有几个子集,几个真子集? 提示 集合A 有2n 个子集,有2n-1个真子集. 题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )(2){x |y =x 2+1}={y |y =x 2+1}={(x ,y )|y =x 2+1}.( × ) (3)若{x 2,1}={0,1},则x =0或1.( × ) (4){x |x ≤1}={t |t ≤1}.( √ ) 题组二 教材改编2.[P10习题T5]已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则实数m =________. 答案 -32解析 当m +2=3时,m =1,此时2m 2+m =3,不符合集合中元素的互异性,舍去;当2m 2+m =3时,m =1或m =-32,m =1舍去,综上,m =-32.3.[P9练习T1]集合A ={x |0≤x <3且x ∈N }的真子集个数是________. 答案 7解析 A ={x |0≤x <3且x ∈N }={0,1,2}, ∴真子集有7个. 题组三 易错自纠4.若集合A ={-1,1},B ={0,2},则集合{z |z =x +y ,x ∈A ,y ∈B }中的元素的个数为________. 答案 3解析 当x =-1,y =0时,z =-1;当x =-1,y =2时,z =1;当x =1,y =0时,z =1;当x =1,y =2时,z =3,故集合{z |z =x +y ,x ∈A ,y ∈B }中的元素个数为3.5.已知集合A ={1,3,m },B ={1,m },A ∪B =A ,则m =________. 答案 0或3解析 A ={1,3,m },B ={1,m },A ∪B =A ,故B ⊆A ,所以m =3或m =m ,即m =3或m =0或m =1,其中m =1不符合题意,所以m =0或m =3.6.若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =________. 答案 0或98解析 若a =0,则A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫23,符合题意;若a ≠0,则由题意得Δ=9-8a =0,解得a =98.综上,a 的值为0或98.题型一 集合的含义1.已知集合A ={0,1,2},则集合B ={(x ,y )|x ≥y ,x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是________. 答案 6解析 当x =0时,y =0;当x =1时,y =0或y =1; 当x =2时,y =0,1,2.故集合B ={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B 中有6个元素.2.已知集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈Z ,且32-x ∈Z ,则集合A 中的元素个数为________. 答案 4解析 因为x ∈Z ,32-x ∈Z ,所以2-x 的取值有-3,-1,1,3,所以x 的值分别为5,3,1,-1,故集合A 中的元素个数为4. 3.已知集合A ={1,0,a },若a 2∈A ,则a =________.答案 -1解析 若a 2=0,则a =0,不符合集合中元素的互异性,舍去; 若a 2=1,则a =±1,由元素的互异性知a ≠1,∴a =-1, 若a 2=a ,则a =0或a =1,由以上知不符合. 综上,a =-1.4.若集合A ={x |(x +1)2<-3x +7,x ∈Z },则A 中元素个数为________. 答案 6解析 由(x +1)2<-3x +7得x 2+5x -6<0, ∴-6<x <1,其中共有6个整数.思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.(2)如果是根据已知列方程求参数值,一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性. 题型二 集合间的基本关系例1(1)集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =n2+1,n ∈Z,N =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y =m +12,m ∈Z,则集合M ,N 的关系为________.(填序号) ①M ∩N =∅;②M =N ;③M ⊆N ;④N ⊆M . 答案 ④解析 由题意,对于集合M ,当n 为偶数时,设n =2k (k ∈Z ),则x =k +1(k ∈Z );当n 为奇数时,设n =2k +1(k ∈Z ),则x =k +1+12(k ∈Z ),∴N ⊆M . (2)已知集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |0<x <5,x ∈N },则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________. 答案 4解析 A ={1,2},B ={1,2,3,4},满足条件的C 可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.思维升华 (1)两个集合相等,可知两集合中的元素完全相同,要注意集合中元素的互异性.(2)含n 个元素的集合有2n个子集,2n-1个真子集.跟踪训练1(1)已知集合A ={2,m },B ={2m ,2}.若A =B ,则实数m =________.答案 0解析 ∵集合A ={2,m },B ={2m ,2},A =B , ∴由集合相等的性质,有m =2m ,解得m =0.(2)已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={1,3,5,7,9},C =A ∩B ,则集合C 的真子集的个数为________. 答案 7解析 ∵A ={1,2,3,4,5},B ={1,3,5,7,9}, ∴C =A ∩B ={1,3,5},则集合C 的真子集的个数为23-1=8-1=7. 题型三 根据集合的关系求参数的值或范围例2(1)(2018·江苏省溧阳中学考试)已知集合A ={2+a ,a },B={-1,1,3},且A⊆B,则实数a的值是________.答案1解析易知a>0.当a=1时,A={1,3},B={-1,1,3},满足题意;当a=3时,A={3,2+3},B={-1,1,3},不满足题意.所以实数a的值为1.(2)已知集合A={x|x2-2020x+2019<0},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是___________.答案[2019,+∞)解析由x2-2020x+2019<0,解得1<x<2019,故A={x|1<x<2019}.又B={x|x<a},A⊆B,如图所示,可得a≥2019.引申探究本例(2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a 的取值范围是____________.答案(-∞,1]解析A={x|1<x<2019},B={x|x≥a},A⊆B,如图所示,可得a≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.跟踪训练2(1)已知集合A={x|x2-x≤0},B={y|y=2-x+a},若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是________.答案 (-∞,0)解析 A =[0,1],B =(a ,+∞), 由A ⊆B 得a <0.(2)已知集合A ={x |-1<x <3},B ={x |-m <x <m }.若B ⊆A ,则m 的取值范围为__________. 答案 (-∞,1]解析 当m ≤0时,B =∅,显然B ⊆A . 当m >0时,因为A ={x |-1<x <3},B ⊆A , 所以在数轴上标出两集合,如图, 所以⎩⎪⎨⎪⎧-m ≥-1,m ≤3,-m <m .所以0<m ≤1.综上所述,m 的取值范围为(-∞,1].1.设集合P ={x |0≤x ≤2},m =3,则m 与P 的关系是________. 答案 m ∉P2.若2∈{a +4,a 2+a },则实数a =________. 答案 1解析 由a +4=2得a =-2,此时a 2+a =2,不满足集合中元素的互异性舍去;由a 2+a =2得a =-2(舍去)或a =1,a =1符合题意.3.设集合A ={2,4},B ={a 2,2}(其中a <0),若A =B ,则实数a =________.答案 -2 解析因为A =B ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,a <0,所以a =-2.4.已知A ={x |x <-2},B ={x |x <m },若B 是A 的子集,则实数m 的取值范围为________. 答案 (-∞,-2]解析 根据题意,B 是A 的子集,且A ={x |x <-2},B ={x |x <m },则有m ≤-2,则实数m 的取值范围是(-∞,-2].5.已知集合A ={-1,2,2m -1},B ={2,m 2},若B ⊆A ,则实数m =________. 答案 1解析 由m 2=2m -1,得m =1.6.已知集合A ={x |2222x x -=},集合B ={x |y =2-x },则A 与B的关系是________.(填序号) ①AB ;②B A ;③A ∩B =∅.答案 ① 解析 由2222x x -=,得x 2-2=x ,即x 2-x -2=0,解得x =-1或x=2,即A ={-1,2}; 又B =(-∞,2],所以AB .7.(2017·江苏)已知集合A ={1,2},B ={a ,a 2+3},若A ∩B ={1},则实数a 的值为________. 答案 1解析 ∵A ∩B ={1},A ={1,2}, ∴1∈B 且2∉B .若a =1,则a 2+3=4,符合题意. 又a 2+3≥3≠1,故a =1.8.已知集合A ={x |2x 2-5x -3≤0,x ∈Z },那么A 的非空子集的个数是________. 答案 15 解析因为A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12≤x ≤3,x ∈Z={0,1,2,3},共有4个元素,所以其非空子集有15个.9.(2018·全国Ⅱ改编)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为________.答案 9解析 将满足x 2+y 2≤3的整数x ,y 全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.10.已知复数f (n )=i n (n ∈N *),则集合{z |z =f (n )}中元素的个数是________.答案 4解析 复数f (n )=i n (n ∈N *), 可得f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧i ,n =4k +1,-1,n =4k +2,-i ,n =4k +3,1,n =4k +4,k ∈N . 集合{z |z =f (n )}中元素的个数是4. 11.已知集合A ={x |y =lg(x -x 2)},B ={x |x 2-cx <0,c >0},若A ⊆B ,则实数c 的取值范围是________. 答案 [1,+∞) 解析 由题意知,A ={x |y =lg(x -x 2)}={x |x -x 2>0}=(0,1),B={x |x 2-cx <0,c >0}=(0,c ).由A ⊆B ,画出数轴,如图所示,得c ≥1.12.已知集合A ={y |0≤y <a ,y ∈N },B ={x |x 2-2x -3≤0,x ∈N },若A B ,则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为________.答案8解析B={x|x2-2x-3≤0,x∈N}={x|-1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},当a分别取1,2,3时,所得集合A分别为{0},{0,1},{0,1,2},均满足A B,当a=4时,A={0,1,2,3},不满足A B,同理,当a≥5时均不满足A B.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3},其子集有8个.13.已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤1},B={(x,y)|x2+y2≤1},则A与B的关系为________.(填序号)①A B;②B A;③A∩B=∅.答案①解析分别作出A,B所表示的平面图形(如图),判断可知A B. 14.已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,x∈R},若A中元素的最大值为3,则实数a的值为________.答案3解析不等式x2+a≤(a+1)x可化为(x-1)(x-a)≤0.当a≤1时,集合A中最大元素为1,不符合题意;当a>1时,解得1≤x≤a,其解集中最大元素为a,据题意得a=3.15.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为________.答案8解析依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有8个.16.已知集合A={x|x2-mx+2=0},B={x|x2-3x+2=0},且A ⊆B,则实数m组成的集合为________________.答案{m|-22<m<22或m=3}解析当A=∅时,Δ=m2-8<0,∴-22<m<22,符合A⊆B;当A≠∅时,B={1,2},对于方程x2-mx+2=0,若Δ=0,易知A⊆B不成立;当Δ>0时,由A=B可得m=3,∴实数m组成的集合为{m|-22<m<22或m=3}.。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1 第1讲 集合及其运算教学案-高三全册数学教学案
第一章集合与常用逻辑用语知识点最新考纲集合了解集合、元素的含义及其关系.理解集合的表示法.了解集合之间的包含、相等关系.理解全集、空集、子集的含义.会求简单集合间的并集、交集.理解补集的含义并会求补集.命题及其关系、充分条件与必要条件了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义,及其相互之间的关系.理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义,能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N+)Z Q R表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B,且存在x0∈B,x0∉AA B或B A 相等集合A,B的元素完全A⊆B,A=B相同B⊆A空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集任意x,x∉∅,∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B={x|x∈A,或x∈B}A∩B={x|x∈A,且x∈B}∁U A={x|x∈U,且x∉A}(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅.(4)∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )(3){x|x≤1}={t|t≤1}.( )(4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )(5)若A∩B=A∩C,则B=C.( )答案:(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×[教材衍化]1.(必修1P12A 组T3改编)若集合P ={x ∈N |x ≤ 2 021},a =22,则( )A .a ∈PB .{a }∈PC .{a }⊆PD .a ∉P解析:选D.因为a =22不是自然数,而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合,所以a ∉P .故选D.2.(必修1P11例9改编)已知U ={α|0°<α<180°},A ={x |x 是锐角},B ={x |x 是钝角},则∁U (A ∪B )=________.答案:{x |x 是直角}3.(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为________.解析:集合A 表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆,集合B 表示直线y =x ,圆x 2+y 2=1与直线y =x 相交于两点⎝⎛⎭⎪⎪⎫22,22,⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-22,-22,则A ∩B 中有两个元素. 答案:2 [易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误; (2)忽视空集的情况致误; (3)忽视区间端点值致误.1.已知集合A ={1,3,m },B ={1,m },若B ⊆A ,则m =________.解析:因为B ⊆A ,所以m =3或m =m ,即m =3或m =0或m =1,根据集合元素的互异性可知,m ≠1,所以m =0或3.答案:0或32.已知集合M ={x |x -2=0},N ={x |ax -1=0},若M ∩N =N ,则实数a 的值是________.解析:易得M ={2}.因为M ∩N =N ,所以N ⊆M ,所以N =∅或N =M ,所以a =0或a =12.答案:0或123.已知集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2<x <4},则A ∩B =________,A ∪B =________,(∁R A )∪B =________.解析:由已知得A ={x |1<x <3},B ={x |2<x <4},所以A ∩B ={x |2<x <3},A ∪B ={x |1<x <4},(∁R A )∪B ={x |x ≤1或x >2}.答案:(2,3) (1,4) (-∞,1]∪(2,+∞) 集合的含义(1)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={(x ,y )|x ≥y ,x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( )A .1B .3C .6D .9(2)若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( )A .92B .98C .0D .0或98(3)设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,则b -a =________.【解析】 (1)当x =0时,y =0;当x =1时,y =0或y =1;当x =2时,y =0,1,2.故集合B ={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B 中有6个元素. (2)当a =0时,显然成立; 当a ≠0时,Δ=(-3)2-8a =0, 即a =98.(3)因为{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,a ≠0,所以a +b =0,则ba=-1,所以a =-1,b =1. 所以b -a =2.【答案】 (1)C (2)D (3)2与集合中的元素有关问题的求解步骤1.(2020·温州八校联考)已知集合M ={1,m +2,m 2+4},且5∈M ,则m 的值为( )A .1或-1B .1或3C .-1或3D .1,-1或3解析:选B.因为5∈{1,m +2,m 2+4},所以m +2=5或m 2+4=5,即m =3或m =±1.当m =3时,M ={1,5,13};当m =1时,M ={1,3,5};当m =-1时,不满足互异性.所以m 的值为3或1.2.已知集合A ={x |x ∈Z ,且32-x ∈Z },则集合A 中的元素个数为________.解析:因为32-x ∈Z ,所以2-x 的取值有-3,-1,1,3,又因为x ∈Z ,所以x 的值分别为5,3,1,-1,故集合A 中的元素个数为4.答案:4集合的基本关系(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A ⊆B ,A ⊆C ,B ={2,0,1,8},C ={1,9,3,8},则集合A 可以为( )A .{1,8}B .{2,3}C .{0}D .{9}(2)已知集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________.【解析】 (1)因为A ⊆B ,A ⊆C ,所以A ⊆{B ∩C }={1,8},故选A.(2)因为B ⊆A ,所以①若B =∅,则2m -1<m +1,此时m <2. ②若B ≠∅,则⎩⎪⎨⎪⎧2m -1≥m +1,m +1≥-2,2m -1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得,符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.【答案】 (1)A (2)(-∞,3]1.(变条件)在本例(2)中,若A ⊆B ,如何求解?解:若A ⊆B ,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤-2,2m -1≥5,即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤-3,m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.2.(变条件)若将本例(2)中的集合A 改为A ={x |x <-2或x >5},如何求解?解:因为B ⊆A ,所以①当B =∅时,即2m -1<m +1时,m <2,符合题意. ②当B ≠∅时,⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,2m -1<-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2,m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2,m <-12.即m >4.综上可知,实数m 的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).1.设P ={y |y =-x 2+1,x ∈R },Q ={y |y =2x,x ∈R },则( ) A .P ⊆Q B .Q ⊆P C .∁R P ⊆QD .Q ⊆∁R P解析:选C.因为P ={y |y =-x 2+1,x ∈R }={y |y ≤1},Q ={y |y =2x,x ∈R }={y |y >0},所以∁R P ={y |y >1},所以∁R P ⊆Q ,选C.2.(2020·绍兴调研)设A={1,4,2x},B={1,x2},若B⊆A,则x=________.解析:由B⊆A,则x2=4,或x2=2x.当x2=4时,x=±2;当x2=2x时,x=0或x=2.但当x=2时,2x=4,这与集合中元素的互异性相矛盾.故x=-2或x=0.答案:-2或03.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x ∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________.解析:由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.答案:4集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点,每年必考,常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题,主要以选择题的形式出现.试题多为低档题.主要命题角度有:(1)求集合间的交、并、补运算;(2)已知集合的运算结果求参数.角度一求集合间的交、并、补运算(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5},A ={1,3},则∁U A=( )A.∅B.{1,3}C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5}(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U={-1,0,1,2,3},集∁U A∩B=( )合A={0,1,2},B={-1,0,1},则()A.{-1} B.{0,1}C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}(3)(2020·浙江高考模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-x-2<0},B={x|1<x<3},则A∪B=________,∁U(A∩B)=________.【解析】(1)因为U={1,2,3,4,5},A={1,3},所以∁U A={2,4,5}.故选C.(2)由题意可得∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.故选A.(3)因为A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},所以A∪B={x|-1<x<3}.又因为A∩B={x|1<x<2},所以∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥2}.【答案】(1)C (2)A (3)(-1,3) (-∞,1]∪[2,+∞)角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B ={1},则B=( )A.{1,-3} B.{1,0}C.{1,3} D.{1,5}(2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A={x|x>1},B={x|x<m}.若A∪B=R,则m的值可以是( )A.-1 B.0C.1 D.2【解析】(1)因为A∩B={1},所以1∈B,所以1-4+m=0,所以m=3.由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.所以B={1,3}.经检验符合题意.故选C.(2)因为A∪B=R,所以m>1.故m的值可以是2,故选D.【答案】(1)C (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的,常用Venn图求解.②若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.②若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.[提醒] 在求出参数后,注意结果的验证(满足互异性).1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=( )A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)解析:选B.由于Q={x|x≤-2或x≥2},∁R Q={x|-2<x<2},故得P∪(∁R Q)={x|-2<x≤3}.故选B.2.设全集S={1,2,3,4},且A={x∈S|x2-5x+m=0},若∁S A={2,3},则m=________.解析:因为S={1,2,3,4},∁S A={2,3},所以A={1,4},即1,4是方程x2-5x+m=0的两根,由根与系数的关系可得m=1×4=4.答案:4核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查考生对新概念的理解,充分体现了核心素养中的数学抽象.对于E={a1,a2,...,a100}的子集X={ai1,ai2,...,ai k},定义X的“特征数列”为x1,x2,...,x100,其中xi1=xi2=...=xi k =1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0, 0(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________;(2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,p i+p i+1=1,1≤i≤99,E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,q j+q j+1+q j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________.【解析】(1)由已知可得子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,…,0,故其前3项和为2.(2)由已知可得子集P 为{a 1,a 3,…,a 99},子集Q 为{a 1,a 4,a 7,…,a 100},则两个子集的公共元素为a 1到a 100以内项数被6除余1的数对应的项,即a 1,a 7,…,a 97,共17项.【答案】 (1)2 (2)17解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.(2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.设数集M ={x |m ≤x ≤m +34},N ={x |n -13≤x ≤n },且M ,N 都是集合U ={x |0≤x ≤1}的子集,定义b -a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”,则集合M ∩N 的长度的最小值为________.解析:在数轴上表示出集合M 与N (图略),可知当m =0且n =1或n -13=0且m +34=1时,M ∩N 的“长度”最小.当m =0且n =1时,M ∩N ={x |23≤x ≤34}, 长度为34-23=112;当n =13且m =14时,M ∩N ={x |14≤x ≤13}, 长度为13-14=112. 综上,M ∩N 的长度的最小值为112. 答案:112[基础题组练]1.已知集合A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8},则A ∩B 中元素的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2,4,所以A ∩B ={2,4},所以A ∩B 中元素的个数为2.2.(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ={}x |e x≤1,B ={}x |ln x ≤0,则A ∪B =( )A .(-∞,1]B .(0,1]C .[1,e]D .(0,e]解析:选A.因为A ={}x |e x ≤1={}x |x ≤0, B ={}x |ln x ≤0={}x |0<x ≤1,所以A ∪B =(-∞,1],故选A.3.(2020·宁波高考模拟)已知全集U =A ∪B ={x ∈Z |0≤x ≤6},A ∩(∁U B )={1,3,5},则B =( )A .{2,4,6}B .{1,3,5}C.{0,2,4,6} D.{x∈Z|0≤x≤6}解析:选C.因为全集U=A∪B={x∈Z|0≤x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},A∩(∁U B)={1,3,5},所以B={0,2,4,6},故选C.4.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )A.{2} B.{1,2,4}C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}解析:选B.因为A={1,2,6},B={2,4},所以A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|-1≤x≤5},所以(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.5.(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|2x<1},则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|2<x<3} B.{x|-1<x≤0}C.{x|0≤x<6} D.{x|x<-1}解析:选C.由x2-5x-6<0,解得-1<x<6,所以A={x|-1<x<6}.由2x<1,解得x<0,所以B={x|x<0}.又图中阴影部分表示的集合为(∁R B)∩A,因为∁R B={x|x≥0},所以(∁R B)∩A={x|0≤x<6},故选C.6.已知集合A={x|x2-3x<0},B={1,a},且A∩B有4个子集,则实数a的取值范围是( )A.(0,3) B.(0,1)∪(1,3)C .(0,1)D .(-∞,1)∪(3,+∞)解析:选B.因为A ∩B 有4个子集,所以A ∩B 中有2个不同的元素,所以a ∈A ,所以a 2-3a <0,解得0<a <3且a ≠1,即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3),故选B.7.设U ={x ∈N *|x <9},A ={1,2,3},B ={3,4,5,6},则(∁U A )∩B =( )A .{1,2,3}B .{4,5,6}C .{6,7,8}D .{4,5,6,7,8} 解析:选B.因为U ={1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁U A ={4,5,6,7,8},所以(∁U A )∩B ={4,5,6,7,8}∩{3,4,5,6}={4,5,6}.故选B.8.设集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫5,b a ,a -b ,B ={b ,a +b ,-1},若A ∩B ={2,-1},则A ∪B =( )A .{-1,2,3,5}B .{-1,2,3}C .{5,-1,2}D .{2,3,5}解析:选A.由A ∩B ={2,-1},可得⎩⎪⎨⎪⎧b a =2,a -b =-1或⎩⎪⎨⎪⎧b a =-1,a -b =2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a =2,a -b =-1时,⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =2.此时B ={2,3,-1},所以A ∪B ={-1,2,3,5};当⎩⎪⎨⎪⎧b a =-1,a -b =2时,⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1,此时不符合题意,舍去. 9.已知集合P ={n |n =2k -1,k ∈N *,k ≤50},Q ={2,3,5},则集合T ={xy |x ∈P ,y ∈Q }中元素的个数为( )A .147B .140C .130D .117 解析:选B.由题意得,y 的取值一共有3种情况,当y =2时,xy 是偶数,不与y =3,y =5有相同的元素,当y =3,x =5,15,25,…,95时,与y =5,x =3,9,15,…,57时有相同的元素,共10个,故所求元素个数为3×50-10=140,故选B.10.(2020·温州质检)已知全集U =R ,集合A ={x |x 2-3x +2>0},B ={x |x -a ≤0},若∁U B ⊆A ,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1)B .(-∞,2]C .[1,+∞)D .[2,+∞) 解析:选D.因为x 2-3x +2>0,所以x >2或x <1.所以A ={x |x >2或x <1},因为B ={x |x ≤a },所以∁U B ={x |x >a }.因为∁U B ⊆A ,借助数轴可知a ≥2,故选D.11.集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为________.解析:根据并集的概念,可知{a ,a 2}={4,16},故只能是a =4.答案:412.(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U =R ,集合A ={x |-1≤x≤3},集合B={x|log2(x-2)<1},则A∪B=________;A∩(∁U B)=________.解析:log2(x-2)<1⇒0<x-2<2⇒2<x<4⇒B=(2,4),所以A∪B =[-1,4),A∩(∁U B)=[-1,2].答案:[-1,4) [-1,2]13.设集合A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x||x-1|>3},则B =________,A∩(∁R B)=________.解析:当k=-1时,n=-4;当k=0时,n=-1;当k=1时,n=2;当k=2时,n=5.由|x-1|>3,得x-1>3或x-1<-3,即x>4或x<-2,所以B={x|x<-2或x>4},∁R B={x|-2≤x≤4},A∩(∁R B)={-1,2}.答案:{x|x<-2或x>4} {-1,2}14.(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R,集合M={x∈R|x2-4x+3>0},集合N={x∈R|2x>4},则M∩N=________;∁R(M∩N)=________.解析:M={x∈R|x2-4x+3>0}={x|x<1或x>3},N={x∈R|2x>4}={x|x>2},所以M∩N=(3,+∞),所以∁R(M∩N)=(-∞,3].答案:(3,+∞)(-∞,3]15.已知集合M={x|x2-4x<0},N={x|m<x<5},若M∩N={x|3<x<n},则m=________,n=________.解析:由x2-4x<0得0<x<4,所以M={x|0<x<4}.又因为N ={x|m<x<5},M∩N={x|3<x<n},所以m=3,n=4.答案:3 416.设全集U={x∈N*|x≤9},∁U(A∪B)={1,3},A∩(∁U B)={2,4},则B =________.解析:因为全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由∁U (A ∪B )={1,3},得A ∪B ={2,4,5,6,7,8,9},由A ∩(∁U B )={2,4}知,{2,4}⊆A ,{2,4}⊆∁U B .所以B ={5,6,7,8,9}.答案:{5,6,7,8,9}17.已知集合A ={x |1≤x <5},C ={x |-a <x ≤a +3},若C ∩A =C ,则a 的取值范围是________.解析:因为C ∩A =C ,所以C ⊆A .①当C =∅时,满足C ⊆A ,此时-a ≥a +3,得a ≤-32; ②当C ≠∅时,要使C ⊆A ,则⎩⎪⎨⎪⎧-a <a +3,-a ≥1,a +3<5,解得-32<a ≤-1. 综上,可得a 的取值范围是(-∞,-1].答案:(-∞,-1][综合题组练]1.(2020·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ,集合A ={x |x 2<16},B ={x |y =log 3(x -4)},则下列关系正确的是( )A .A ∪B =RB .A ∪(∁U B )=RC .(∁U A )∪B =RD .A ∩(∁U B )=A 解析:选D.因为A ={x |-4<x <4},B ={x |x >4},所以∁U B ={x |x ≤4},所以A ∩(∁U B )=A ,故选D.2.集合A ={x |y =ln(1-x )},B ={x |x 2-2x -3≤0},全集U =A ∪B ,则∁U (A ∩B )=( )A .{x |x <-1或x ≥1}B .{x |1≤x ≤3或x <-1}C .{x |x ≤-1或x >1}D .{x |1<x ≤3或x ≤-1}解析:选 B.集合A ={x |y =ln(1-x )}={x |1-x >0}={x |x <1},B ={x |x 2-2x -3≤0}={x |(x +1)(x -3)≤0}={x |-1≤x ≤3},所以U =A ∪B ={x |x ≤3},所以A ∩B ={x |-1≤x <1};所以∁U (A ∩B )={x |1≤x ≤3或x <-1}.故选B.3.(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ={1,2,m },B ={1,m },若B ⊆A ,则m =________,∁A B =________.解析:由题意,当m =2时,A ={1,2,2},B ={1,2},满足B ⊆A ;当m =m ,即m =0或1时,若m =0,则A ={1,2,0},B ={1,0},满足B ⊆A .若m =1,则A ={1,3,1},B ={1,1},不满足集合中元素的互异性,所以m =1舍去.当m =2时,∁A B ={2};当m =0时,∁A B ={2}.答案:0或2 {2}或{2}4.函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ∈P ,-x ,x ∈M ,其中P ,M 为实数集R 的两个非空子集,规定f (P )={y |y =g (x ),x ∈P },f (M )={y |y =g (x ),x ∈M }.给出下列四个命题:①若P ∩M =∅,则f (P )∩f (M )=∅;②若P ∩M ≠∅,则f (P )∩f (M )≠∅;③若P ∪M =R ,则f (P )∪f (M )=R ;④若P ∪M ≠R ,则f (P )∪f (M )≠R .其中命题不正确的有________.解析:①若P ={1},M ={-1},则f (P )={1},f (M )={1},则f (P )∩f (M )≠∅,故①错.②若P ={1,2},M ={1},则f (P )={1,2},f (M )={-1},则f (P )∩f (M )=∅.故②错.③若P ={非负实数},M ={负实数},则f (P )={非负实数},f (M )={正实数},则f (P )∪f (M )≠R ,故③错.④若P ={非负实数},M ={正实数},则f (P )={非负实数},f (M )={负实数},则f (P )∪f (M )=R ,故④错.答案:①②③④5.设[x ]表示不大于x 的最大整数,集合A ={x |x 2-2[x ]=3},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8,求A ∩B .解:不等式18<2x <8的解为-3<x <3, 所以B =(-3,3).若x ∈A ∩B ,则⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2[x ]=3-3<x <3, 所以[x ]只可能取值-3,-2,-1,0,1,2.若[x ]≤-2,则x 2=3+2[x ]<0,没有实数解;若[x ]=-1,则x 2=1,得x =-1;若[x ]=0,则x 2=3,没有符合条件的解;若[x ]=1,则x 2=5,没有符合条件的解;若[x ]=2,则x 2=7,有一个符合条件的解,x =7. 因此,A ∩B ={}-1,7.6.已知集合A ={x |1<x <3},集合B ={x |2m <x <1-m }.(1)当m =-1时,求A ∪B ;(2)若A ⊆B ,求实数m 的取值范围;(3)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.解:(1)当m =-1时,B ={x |-2<x <2},则A ∪B ={x |-2<x <3}.(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1-m >2m ,2m ≤1,1-m ≥3,得m ≤-2,即实数m 的取值范围为(-∞,-2].(3)由A ∩B =∅,得①若2m ≥1-m ,即m ≥13时,B =∅,符合题意; ②若2m <1-m ,即m <13时,需⎩⎪⎨⎪⎧m <13,1-m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13,2m ≥3,得0≤m <13或∅,即0≤m <13. 综上知m ≥0,即实数m 的取值范围为[0,+∞).。
高三数学第一轮复习教案(第一章集合与简易逻辑7课时)
第一章 集合与简易逻辑第 1课时 集合的概念一.课题:集合的概念二.教学目标:理解集合、子集的概念,能利用集合中元素的性质解决问题,掌握集合问题的常规处理方法.三.教学重点:集合中元素的 3个性质,集合的 3种表示方法,集合语言、集合思想的运用. 四.教学过程: (一)主要知识:1.集合、子集、空集的概念;2.集合中元素的 3个性质,集合的 3种表示方法;3.若有限集 A 有n 个元素,则 A 的子集有 2个,真子集有 21,非空子集有 2 1个,非空真n n n子集有2n 2个.(二)主要方法:1.解决集合问题,首先要弄清楚集合中的元素是什么; 2.弄清集合中元素的本质属性,能化简的要化简; 3.抓住集合中元素的 3个性质,对互异性要注意检验; 4.正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化. (三)例题分析: 例 1.已知集合P {y x G {x | x 1},则(A) P F 21},Q {y | y x 2 1}, E{x| y x 1}, F{(x,y)| y x 1}, 2 2( D ) (B) QE(C) EF(D) Q G解法要点:弄清集合中的元素是什么,能化简的集合要化简. 例 2.设集合Px y,x y,xy,Qx解:∵ P Q 且0Q ,∴0P . 2y 2 ,x 2 y 2,0,若 P Q ,求 x, y 的值及集合 P 、Q .(1)若 xy 0或 x y 0,则 x2 y 2 0,从而Q x y ,0,0,与集合中元素的互异性2 2 矛盾,∴ x y 0且 x y 0; (2)若xy 0,则 x 0或 y 0. 当 y 0时, P x,x,0,与集合中元素的互异性矛盾,∴ y 0;当 x 0时, P{y, y,0},Q {y 2 ,y 2,0},2 2 y y y y y 0 2y y 2由 P Q 得y y ① 或 ②y 0 由①得 y 1,由②得 y 1, x 0 ∴y 1或xy 10,此时 P Q {1,1,0}.例 3.设集合 M {x | x k 1,k Z}, N {x | xk 1,k Z},则2 4 4 2( B )(A) M N(B) M N (C) M N (D) M N解法一:通分;解法二:从 1 开始,在数轴上表示.4例 4.若集合 Ax | x 2ax 10,x R ,集合 B 1,2,且 A B ,求实数a 的取值范围. 40,解得 2 a 2;a 10,解得 a 2,此时 A {1},适合题意; 2a 10,解得 a 5,此时 A {2, 5},不合题意;2解:(1)若 A ,则a (2)若1A ,则1 2 2(3)若2A ,则22 2综上所述,实数m 的取值范围为[2,2). 例 5.设 f (x)xpx q , A {x | x f (x)}, B {x | f [ f (x)]x},2(1)求证: A B ; (2)如果 A {1,3},求 B . 解答见《高考 A 计划(教师用书)》第 5页. (四)巩固练习:1.已知M {x | 2x2 5x3 0},N {x |mx 1},若N M ,则适合条件的实数m 的集合 P 为{0,2,1}; P 的子集有8 个; P 的非空真子集有 6 个. 32.已知: f (x) x2ax b , A x | f (x) 2x 2,则实数a 、b 的值分别为2,4. 3.调查 100名携带药品出国的旅游者,其中 75人带有感冒药,80人带有胃药,那么既带感冒药又75,最小值为 带胃药的人数的最大值为 55 .4.设数集 M {x |m x m 3},N {x |n 1 x n},且M 、N 都是集合{x |0 x 1}的43子集,如果把 ba 叫做集合x | axb 的“长度”,那么集合MN 的长度的最小值是 1 .12五.课后作业:《高考 A 计划》考点 1,智能训练 4,5,6,7,8,9,11,12.第 2 课时集合的运算一.课题:集合的运算二.教学目标:理解交集、并集、全集、补集的概念,掌握集合的运算性质,能利用数轴或文氏图进行集合的运算,进一步掌握集合问题的常规处理方法.三.教学重点:交集、并集、补集的求法,集合语言、集合思想的运用. 四.教学过程: (一)主要知识:1.交集、并集、全集、补集的概念;2. A B A A B , A B A A B ;3.C U A C U B C U (A B),C U A C U B C U (A B).(二)主要方法:1.求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或文氏图的作用;2.含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题; 3.集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键. (三)例题分析: 例 1.设全集U x|0x 10,xN,若 AB 3,AC U B 1,5,7,C U A C U B 9,则 A1,3,5,7, B2,3,4,6,8. 解法要点:利用文氏图.例 2.已知集合 Ax | x 3x2x, Bx | x axb,若 A Bxx 2,3 2 2ABx | x 2,求实数a 、b 的值.解:由 x 3x 2x 0得 x(x 1)(x 2) 0,∴ 2 x 1或 x0, ∴ A (2,1)(0,),又∵ A B x |0 x 2,且 ABx | x2,32∴ B [1,2],∴1和2是方程 x ax b 0的根, 21 2 a a 1. ,∴b2 由韦达定理得:1 2 b 说明:区间的交、并、补问题,要重视数轴的运用. 例 3.已知集合 A {(x, y)| x 2y 0}, B {(x, y)| y 1 0},则 A B ;x 2A B {(x, y)|(x2y)(y1)0};(参见《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 6题).解法要点:作图.注意:化简 B {(x, y)| y1,x 2},(2,1)A .例 4.(《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 15题)已知集合 A{y| y 22 2(a a 1)ya(a 1)0},B {y | y1 x x 5,0 x 3},若 A B,求实数a 的取值范围. 222解答见教师用书第 9页.例 5.(《高考 A 计划》考点 2“智能训练”第 16题)已知集合 A (x, y)| x mx y 20,x R , 2B (x, y)| x y 10,0 x 2,若 A B ,求实数m 的取值范围. 分析:本题的几何背景是:抛物线 y x2mx 2与线段 yx 1(0 x 2)有公共点,求实数m的取值范围. 解法一:由x 2mx y 2 0得 x 2 (m 1)x 1 0xy1①∵ A B,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解,首先,由(m 1)24 0,解得:m 3或m1.设方程①的两个根为 x 1、 x 2,(1)当m 3时,由 x 1 x 2 (m 1) 0及 x 1 x 2 1知 x 1、 x 2都是负数,不合题意;(2)当m 1时,由 x 1 x 2 (m 1)0及 x 1 x 2 10知 x 1、 x 2是互为倒数的两个正数,故 x 1、 x 2必有一个在区间[0,1]内,从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解, 综上所述,实数m 的取值范围为(,1]. 解法二:问题等价于方程组yx1mx2在[0,2]上有解,即 x 令 f (x)x ∴抛物线 yf (x)在[0,2]上与 x 轴有交点等价于 f (2) 2 2(m 1)x 10在[0,2]上有解,(m 1)x 1,则由 f (0) 1知抛物线 yf (x)过点(0,1), 2(m1)10 22①(m 1) 240 或01m 2 ②2 f (2) 2 2 2(m 1) 1 0由①得m 3,由②得 3 m1, 2 2 ∴实数m 的取值范围为(,1].(四)巩固练习:1.设全集为U ,在下列条件中,是 BA 的充要条件的有 ( D )① A B A ,②C U A B ,③C U A C U B ,④ A C U B U , (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2.集合 A {(x, y)| y a | x |}, B{(x, y)| yxa},若 AB 为单元素集,实数a 的取值范围为[1,1].五.课后作业:《高考 A 计划》考点 2,智能训练 3,7, 10,11,12,13.第 3课时 含绝对值的不等式的解法一.课题:含绝对值的不等式的解法二.教学目标:掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法.三.教学重点:解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组),难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中,集合间 的交、并等各种运算.四.教学过程: (一)主要知识:1.绝对值的几何意义:| x |是指数轴上点 x 到原点的距离;| x 1x 2 |是指数轴上 x 1,x 2两点间的距离2.当c 0时,| ax b | c ax b c 或axb c ,| ax b |c c ax bc ;当c 0时,| axb |cxR ,| axb |cx.(二)主要方法: 1.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式 (组)进行求解;2.去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:| x | a (a 0) a x a ,| x | a (a 0) x a 或 x a . (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.(三)例题分析:例 1.解下列不等式: (1)4 | 2x 3|7;(2)| x 2 || x 1|;(3)| 2x 1| | x2 |4. 解:(1)原不等式可化为 4 2x 37或7 2x3 4,∴原不等式解集为[2,1)(7 ,5].2 2(2)原不等式可化为(x 2) 2(x 1),即 x 1 2 ,∴原不等式解集为[1 ,). 2 2 (3)当 x 1时,原不等式可化为2x 12x 4,∴ x 1,此时 x 1; 2当 1 x 2时,原不等式可化为 2x 12x 4,∴ x 1,此时1x 2; 2当 x 2时,原不等式可化为 2x 1x 2 4,∴ x 5,此时 x 2. 3 综上可得:原不等式的解集为(,1)(1,).例 2.(1)对任意实数 x ,| x1| | x 2 |a 恒成立,则a 的取值范围是(,3); (2)对任意实数 x ,| x 1| | x 3|a 恒成立,则a 的取值范围是(4,).解:( 1)可由绝对值的几何意义或 y| x 1| | x 2 |的图象或者绝对值不等式的性质 | x 1| | x2 || x1|| 2x || x 12x |3得| x 1| | x 2 |3,∴a3;(2)与(1)同理可得| x 1| | x 3|4,∴a 4.例 3.(《高考 A 计划》考点 3“智能训练第 13题”)设a 0,b 0,解关于 x 的不等式:| ax2 |bx .2解:原不等式可化为ax 2 bx 或ax 2 bx ,即(a b)x2①或(a b)x 2 x②, a b 2 2 2当a b 0时,由①得 x,∴此时,原不等式解为: x 或 x ;a b a b a b 2当a b 0时,由①得 x ,∴此时,原不等式解为: x ;a b2 2当0 a b 时,由①得 x,∴此时,原不等式解为: x .a b a b 2 2综上可得,当a b 0时,原不等式解集为(, ][ ,),a b a b2当0 a b时,原不等式解集为(, ].a b例4.已知A {x || 2x 3|a},B {x || x |10},且A B,求实数a的取值范围.解:当a 0时,A ,此时满足题意;当a 0时,| 2x 3| a 3 a x 3 a ,∵ A B,223 a10 23 a 10∴ a 17,2综上可得,a的取值范围为(,17].例5.(《高考A计划》考点3“智能训练第15题”)在一条公路上,每隔100km有个仓库(如下图),共有5个仓库.一号仓库存有10t货物,二号仓库存20t,五号仓库存40t,其余两个仓库是空的.现在想把所有的货物放在一个仓库里,如果每吨货物运输1km需要0.5元运输费,那么最少要多少运费才行?一二三四五解:以一号仓库为原点建立坐标轴,则五个点坐标分别为A1 :0, A2 :100, A3 :200, A4 :300, A5 :400,设货物集中于点B: x,则所花的运费y 5| x | 10| x 100| 20| x 200|,当0 x 100时,y 25x 9000,此时,当x 100时,y min 6500;当100 x 400时,y 5x 7000,此时,5000 y 6500;当x 400时,y 35x 9000,此时,当x 400时,y min 5000.综上可得,当x 400时,y min 5000,即将货物都运到五号仓库时,花费最少,为5000元.(四)巩固练习:xx 的解集是(1,0);| 2x 3|3x的解集是(, 3);1.| |1x 1 x 52.不等式| a b|| a | |b| 1成立的充要条件是| a ||b|;3.若关于x的不等式| x 4| | x 3|a的解集不是空集,则a(7,);4.不等式| 2x log2 x|2x|log2 x|成立,则x(1,).五.课后作业:《高考A计划》考点3,智能训练4,5,6,8,12,14.第4课时一元二次不等式的解法一.课题:一元二次不等式的解法二.教学目标:掌握一元二次不等式的解法,能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的关系解决综合问题,会解简单的分式不等式及高次不等式.三.教学重点:利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法.四.教学过程:(一)主要知识:1.一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系;2.分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中,分母要不为零; 3.高次不等式要注重对重因式的处理. (二)主要方法:1.解一元二次不等式通常先将不等式化为axbx c 0或ax bx c 0 (a 0)的形式,然后 2 2求出对应方程的根(若有根的话),再写出不等式的解:大于0时两根之外,小于0时两根之间;2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解. (三)例题分析:例 1.解下列不等式:(1) x 2 x 6 0;(2)x23x 10 0;(3) x(x 1)(x 2) 0.(x 2)(x 1)解:(1) 2x 3;(2) x 5 or x2;x(x 1)(x 2)(x 2)(x 1)0 2 x 1 or 0 x 1 or x2.(3)原不等式可化为(x 2)(x 1) 0例 2.已知 A {x | x 3x 2 0}, B {x | x(a 1)x a0},2 2 (1)若 A B ,求a 的取值范围; (2)若 B A ,求a 的取值范围.解: A {x |1 x 2}, 当 a1时, B{x |1 x a};当 a 1时, B {1};当 a 1时, B {x | a x1}.a 1 (1)若 A B ,则 a 2; a 2(2)若 B A ,当 a 1时,满足题意;当 a 1时, a 2,此时1 a 2;当 a 1时,不合题意. 所以,a 的取值范围为[1,2).例 3.已知 f (x)x2 2(a 2)x 4,(1)如果对一切 x R , f (x) 0恒成立,求实数a 的取值范围;(2)如果对 x [3,1], f (x) 0恒成立,求实数a 的取值范围.解:(1)4(a 2)216a4; (a 2) 3 3(a2) 1 (a 2) 1 (2)f (3) 0 或0 或f (1) 0,解得a 或1 a 4或 1 a 1,∴a 的取值范围为(1 ,4).2 2 例 4.已知不等式ax 2 bx c 0的解集为{x | 2 x 4},则不等式cx 2bx a 0的解集为 .解法一:∵(x 2)(x 4) 0即x26x 8 0的解集为{x | x 1 or x 1}, 2 4 ∴不妨假设 a 1,b 6,c 8,则cx bx a 0即为8x2 26x 10,解得{x | 1 x1}.4 2a 0c 0解法二:由题意:63b b ,a c 4 c 8 a 1c a 8 b a 3 x 1 0,解得{x | x1 or x1}. ∴cx2bxa 0可化为 x2 x 0即 x 2c c4 824例 5.(《高考 A 计划》考点 4“智能训练第 16题”)已知二次函数 f (x) ax 2bx c 的图象过点(1,0),问是否存在常数a,b,c ,使不等式 xf (x) 1 (1 x )对一切 xR 都成立?22解:假设存在常数a,b,c 满足题意, ∵ f (x)的图象过点(1,0),∴ f (1) a b c0 ① 又∵不等式 x f (x) 1 (1x )对一切 x R 都成立, 2 2∴当 x 1时,1 f (1) 1 (1 1 ),即1 a b c 1,∴ a b c 11 x (1 a), ② 22 由①②可得: a c 1 ,b 1 ,∴ f (x) ax 22 2 22 由 x f (x) 1 (1 x )对一切 x R 都成立得: x ax 1 x (1 a) 1 (1 x )恒成立, 2 22 2 2 2 21 x (1 a) 0 ax 2∴ 22 的解集为 R , (2a 1)x 2 x 2a 0a0 a 1 2a 1 0 a 0∴ 1 4 4a(1 a) 0且18a(2a 1) 0,即(14a) 且 2 , 20 (14a) 022∴ a 1,∴ c 1,4 4 ∴存在常数 a 1 ,b 1 ,c 1 使不等式 x f (x) 1 (1x )对一切 x R 都成立. 2 4 2 4 2 (四)巩固练习: 1.若不等式(a2)x 222(a 2)x 4 0对一切 x R 成立,则a 的取值范围是(2,2].ax a10有一正根和一负根,则a(1,1).2.若关于 x 的方程 x 23.关于 x 的方程m(x3)3m 2x 的解为不大于 2的实数,则m 的取值范围为(,3](0,1)(1,).24.不等式 (x 1)2(2 x) 0的解集为(,4)(0,2] or x 1.x(4 x)五.课后作业:《高考 A 计划》考点 4,智能训练 3,4,5,9,13,14,15.第 5课时 简易逻辑一.课题:简易逻辑二.教学目标:了解命题的概念和命题的构成;理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;理解四种命题及其互相关系;反证法在证明过程中的应用.三.教学重点:复合命题的构成及其真假的判断,四种命题的关系. 四.教学过程: (一)主要知识:1.理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题; 2.由真值表判断复合命题的真假; 3.四种命题间的关系. (二)主要方法:1.逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系,解题时注意类比; 2.通常复合命题“ p 或q ”的否定为“p 且q ”、“ p 且q ”的否定为“p 或q ”、“全为” 的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等;3.有时一个命题的叙述方式比较的简略,此时应先分清条件和结论,该写成“若 p ,则q ”的形式; 4.反证法中出现怎样的矛盾,要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、 公理、公式、法则等矛盾,甚至自相矛盾. (三)例题分析:例 1.指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题,并判断复合命题的真假: (1)菱形对角线相互垂直平分. (2)“ 2 3”解:(1)这个命题是“ p 且q ”形式, p:菱形的对角线相互垂直;q:菱形的对角线相互平分, ∵ p 为真命题,q 也是真命题∴ p 且q 为真命题.(2)这个命题是“ p 或q ”形式, p: 2 3;q: 2 3, ∵ p 为真命题,q 是假命题∴ p 或q 为真命题.注:判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式,然后判断构成它的简单命题的真假, 再由真值表判断复合命题的真假. 例 2.分别写出命题“若 xy0,则 x, y 全为零”的逆命题、否命题和逆否命题.2解:否命题为:若 x y 0,则 x, y 不全为零逆命题:若 x, y 全为零,则 xy 0逆否命题:若 x, y 不全为零,则 x y2 222 2 22 0注:写四种命题时应先分清题设和结论. 例 3.命题“若m0,则 xx m 0有实根”的逆否命题是真命题吗?证明你的结论.2解:方法一:原命题是真命题,∵m 0,∴14m 0, 因而方程 x 2 x m 0有实根,故原命题“若m 0,则 x 2x m 0有实根”是真命题; x m 0有实根”的逆否命题是又因原命题与它的逆否命题是等价的,故命题“若m0,则 x 2真命题.方法二:原命题“若m0,则 xx m 0有实根”的逆否命题是“若 x x m 0无实根,2 2则m 0”.∵ x x m 0无实根2∴14m 0即m10,故原命题的逆否命题是真命题.4例4.(考点6智能训练14题)已知命题 p :方程 x 2mx10有两个不相等的实负根,命题q :4(m 2)x 10无实根;若 p 或q 为真, p 且q 为假,求实数m 的取值范围. 分析:先分别求满足条件 p 和q 的m 的取值范围,再利用复合命题的真假进行转化与讨论.方程4x2m2 4 0 解:由命题 p 可以得到:m 0∴m 216 0∴ 2m 6由命题q 可以得到:[4(m 2)] 2∵ p 或q 为真, p 且q 为假 ∴ p,q 有且仅有一个为真 当 p 为真,q 为假时,m 2 m2,orm6 m 6 当 p 为假,q 为真时,m2 2 m 2 2 m6 所以,m 的取值范围为{m| m 6或 2 m 2}.例 5.(《高考 A 计划》考点 5智能训练第 14题)已知函数 f (x)对其定义域内的任意两个数a,b , 当 a b 时,都有 f (a) f (b),证明: f (x) 0至多有一个实根. 解:假设 f (x)0至少有两个不同的实数根 x 1,x 2,不妨假设 x 1x 2,由方程的定义可知: f (x 1) 0, f (x 2) 0 即 f (x 1) f (x 2)①由已知 x 1 x 2时,有 f (x 1) f (x 2)这与式①矛盾因此假设不能成立 故原命题成立.注:反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题.例 6.(《高考 A 计划》考点 5智能训练第 5题)用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程: ax2bx c 0(a 0)有有理根,那么a,b,c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是( ) A.假设a,b,c 都是偶数B.假设a,b,c 都不是偶数C.假设a,b,c 至多有一个是偶数D.假设a,b,c 至多有两个是偶数(四)巩固练习:1.命题“若 p 不正确,则q 不正确”的逆命题的等价命题是 ( ()A .若q 不正确,则 p 不正确 C.若 p 正确,则q 不正确B.若q 不正确,则 p 正确 D.若 p 正确,则q 正确2.“若b A.若b C.若b 24ac 0,则ax 2bx c 0没有实根”,其否命题是)2 4ac 0,则ax 2 bx c 0没有实根 B.若 b bx c 0有实根 D.若b2 4ac 0,则ax 4ac 0,则ax 22 bxc0有实根 2 4ac 0,则ax 2 2bxc 0没有实根五.课后作业:《高考A计划》考点5,智能训练3,4,8,13,15,16.第6课时充要条件一.课题:充要条件二.教学目标:掌握充分必要条件的意义,能够判定给定的两个命题的充要关系.三.教学重点:充要条件关系的判定.四.教学过程:(一)主要知识:1.充要条件的概念及关系的判定;2.充要条件关系的证明.(二)主要方法:1.判断充要关系的关键是分清条件和结论;2.判断p q是否正确的本质是判断命题“若p,则q”的真假;3.判断充要条件关系的三种方法:①定义法;②利用原命题和逆否命题的等价性;③用数形结合法(或图解法).4.说明不充分或不必要时,常构造反例.(三)例题分析:例1.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答)(1)在ABC中,p : A B,q :sin A sin B(2)对于实数x, y,p : x y 8,q : x 2或y 6(3)在ABC中,p :sin A sin B,q:tan A tan B(4)已知x, y R,p:(x 1) (y 2) 0,q :(x 1)(y 2)2 2 a b解:(1)在ABC中,有正弦定理知道:sin A sin B∴sin A sin B a b又由a b A B所以,sin A sin B A B即p是q的的充要条件.(2)因为命题“若x 2且y 6,则x y 8”是真命题,故p q,命题“若x y 8,则x 2且y 6”是假命题,故q不能推出p,所以p是q的充分不必要条件.(3)取A 120,B 30,p不能推导出q;取 A 30,B 120,q不能推导出p所以,p是q的既不充分也不必要条件.(4)因为P {(1,2)},Q {(x, y)| x 1或y 2},PQ,所以,p是q的充分非必要条件.例2.设x, y R,则x 2 y 2 2是| x | | y |2的()、是| x | | y |2的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:由图形可以知道选择B,D.(图略)例3.若命题甲是命题乙的充分非必要条件,命题丙是命题乙的必要非充分条件,命题丁是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件解:因为甲是乙的充分非必要条件,故甲能推出乙,乙不能推出甲,D.既不充分也不必要条件因为丙是乙的必要非充分条件,故乙能推出丙,丙不能推出乙, 因为丁是丙的充要条件,故丁能推出丙,丙也能推出丁,由此可知,甲能推出丁,丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件,选B . 例 4.设 x, y R ,求证:| x y || x | | y |成立的充要条件是 xy 0.证明:充分性:如果 xy0,那么,① x 0, y 0② x 0, y0③ x 0, y0于是| x y||x|| y| 如果 xy 0即 x 0, y 0或 x 0, y 0, 当 x 0, y 0时,| x y |x y | x | | y |, 当 x 0, y 0时,| x y |x y (x)(y) | x || y |, 总之,当 xy 0时,| x y || x | | y |. 必要性:由| x y || x | | y |及 x, y R 得(x y) 2 (| x | | y |) 2 即 x 2 2xy y 2 x 2 2| xy | y2 得| xy |xy 所以 xy 0故必要性成立,综上,原命题成立. 111 (t 1)11 20例 5.已知数列{a n }的通项a n,为了使不等式a n log t 2log 2(t 1) t n3 n 42n 3 对任意nN*恒成立的充要条件. 解:∵a n 1 a n 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )0,2n 5 2n 62n 4 2n 5 n 3 2n 4 2n 6 则a n a n 1 a n 2 a 2 a 1, 欲使得题设中的不等式对任意n N 恒成立,* 只须{a }的最小项a 1 logt2(t1)11log 2(t 1)t 即可, n 201 1 9,又因为a 14 5 20即只须t11且log t 2(t 1)9 log t 2 (t1) 11 0, 20 20 解得1log t (t 1) t(t1), 1 即0 t 1t(t2), t解得实数t 应满足的关系为t 15且t 2.2例 6.(1)是否存在实数m ,使得2xm 0是 x 2x 3 0的充分条件? 2(2)是否存在实数m ,使得2x m 0是 x解:欲使得2x m 0是 x 2x 3 0的充分条件,则只要{x| x }{x| x1或 x3}, m 2 2x 3 0的必要条件?m 22则只要1即m2,2 故存在实数m 2时,使2x m 0是x 22x 3 0的充分条件.m (2)欲使2x m 0是 x 2x 3 0的必要条件,则只要{x| x } {x| x1或 x3},22则这是不可能的,故不存在实数m时,使2x m 0是x 2x 3 0的必要条件.2(四)巩固练习:1.若非空集合M N,则“a M或a N”是“a M N”的2.0 x 5是| x 2|3的3.直线a,b 和平面,,a //b的一个充分条件是(条件.条件.)A.a //,b//B.a //,b// ,//C. a ,b ,//D. a ,b ,五.课后作业:《高考A计划》考点6,智能训练2,7,8,15,16.。
第一章 集合与常用逻辑用语 教案
第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念第二课时集合的表示方法教学目标1.掌握集合的表示法——列举法和描述法,使学生正确把握集合的元素构成与集合的特征性质的关系,从而可以更准确地认识集合.2.能选择适当的方法表示给定的集合,提高学生分析问题和解决问题的能力.重点难点教学重点:集合的表示法.教学难点:集合的特征性质的概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单的集合.课时安排1课时教学过程提出问题①上节所说的集合是如何表示的?②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合?③集合共有几种表示法?活动:①学生回顾所学的集合并作出总结.教师提示可以用字母或自然语言来表示.②教师可以举例帮助引导:例如,24的所有正约数构成的集合,把24的所有正约数写在大括号“{}”内,即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式,这种表示集合的方法是列举法.注意:大括号不能缺失;有些集合所含元素个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如:从1到100的所有整数组成的集合:{1,2,3,,100},自然数集N:n;区分a与{}a:{}a表示一个集合,该集合只有一个元素,a表示这{0,1,2,3,4,,,}个集合的一个元素;用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序,相同的元素不能出现两次.又例如,不等式32x ->的解集,这个集合中的元素有无数个,不适合用列举法表示. 可以表示为{|32}x x ∈->R 或{|32}x x ->,这种表示集合的方法是描述法. ③让学生思考总结已经学习了的集合表示法.讨论结果:方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合,例如常见的数集N 、Q ,所有的正方形组成的集合记为A 等等;方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方形”组成的集合等等. 方法三(列举法):把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法.方法四(描述法):在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只需去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{|x x 是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.③表示一个集合共有四种方法:字母表示法、自然语言、列举法、描述法.应用示例例1.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程290x -=的解组成的集合;(4){15以内的质数};(5)6{|,}3x x x∈∈-Z Z . 活动:教师指导学生思考列举法的书写格式,并讨论各个集合中的元素.明确各个集合中的元素,写在大括号内即可.提示学生注意:(2)中满足条件的数通常按从小到大排列时,从第二个数起,每个数比前一个数大3;(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数;(5)中3x -是6的约数,6的约数有±1,±2,±3,±6.解:(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3,故用列举法表示为{1,3};(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12,故用列举法表示为{6,9,12};(3)方程290x -=的解为3-、3,故用列举法表示为{3,3}-;(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13,故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13};(5)满足63x∈-Z 的x 有31x -=±、2±、3±、6±,解之,得2x =、4、1、5、0、6、3-、9,故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6,3,9}-.点评:本题主要考查集合的列举法表示.列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合.用列举法表示集合:先明确集合中的元素,再把元素写在大括号内并用逗号隔开,相同的元素写成一个.变式训练1用列举法表示下列集合:(1)24x -的一次因式组成的集合;(2)方程2690x x ++=的解集;(3){20以内的质数};(4)2{|5140}x x x ∈+-=R ;(5){(,)|6,,}x y x y x y +=∈∈N N .分析:用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地用“,”隔开放在大括号内.【解析】(1)24(2)(2)x x x -=+-,故符合题意的集合为{2,2}x x +-;(2)由2690x x ++=,得123x x ==-,∴方程2690x x ++=的解集为{3}-;(3){20以内的质数}{2,3,5,7,11,13,17,19}=;(4)25140x x +-=的解为17x =-,22x =,则2{|5140}{7,2}x x x ∈+-==-R ;(5){(,)|6,,}{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}x y x y x y +=∈∈=N N . 例2.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数2y x =图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式73x -<的解集.活动:让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点,如何表示数轴上的点,如何表示不等式的解.学生板书,教师在其他学生中间巡视,及时帮助思维遇到障碍的同学.必要时,教师可提示学生:(1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(,)x y 来表示,其特征是满足2y x =;(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用x 来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x 来表示,把不等式化为x a <的形式,则这些实数的特征是满足x a <.【解析】(1)二次函数2y x =上的点(,)x y 的坐标满足2y x =,则二次函数2y x =图象上的点组成的集合表示为2{(,)|}x y y x =;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合, 则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{|||6}x x ∈>R ;(3)不等式73x -<的解是10x <,则不等式73x -<的解集表示为{|10}x x <.点评:本题主要考查集合的描述法表示.描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合.用描述法表示集合时,集合元素的代表符号不能随便设,点集的元素代表符号是(,)x y ,数集的元素代表符号常用x .集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述,最好用数学符号表示,必须抓住其实质.变式训练2用描述法表示下列集合:(1)方程25x y +=的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程组11x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合;(4){1,3,5,7,};(5)非负偶数;【解析】(1),25{()|}x y x y +=;(2){|010,}x x x ≤<∈Z ;(3)1{(,)|}1x y x y x y +=⎧⎨-=⎩; (4)*{|21,}x x k k =-∈N ;(5)*{|2,}x x k k =∈N .当堂检测1.(口答)说出下面集合中的元素:(1){大于3小于11的偶数};(2){平方等于1的数};(3){15的正约数}.【解析】(1)其元素为4,6,8,10;(2)其元素为-1,1;(3)其元素为1,3,5,15.2.用列举法表示下列集合:(1)所有绝对值等于8的数的集合A ;(2)所有绝对值小于8的整数的集合B .【解析】(1){8,8}A =-;(2){7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7}B =-------.3.定义集合运算{|(,)}AB z z xy x y x A y B ==+∈∈,,设集合{}0,1A =,{}2,3B =,则集合A B 的所有元素之和为( ) A .0 B .6C .12D .18【解析】∵x ∈A ,∴x =0或x =1.当x =0,y ∈B 时,总有z =0.当x =1时,若x =1,y =2,有z =6;若x =1,y =3,有z =12.综上所得,集合A B 的所有元素之和为061218++=,故选D .4.分别用列举法、描述法表示方程组322327x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集.【解析】322327x yx y+=⎧⎨-=⎩的解为37xy=⎧⎨=-⎩,用描述法表示该集合为32 {(,)|}2327x yx yx y+=⎧⎨-=⎩;用列举法表示该集合为{(3,7)}-.。
高中数学《第一章集合与常用逻辑用语复习课》教学设计
《第一章集合与常用逻辑用语复习课》教学设计一、内容和内容解析1.内容2.内容解析本章学习内容包括集合的有关概念,关系和运算,还有充分条件、必要条件、充要条件、全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题及其否定。
这些知识在后续学习中会得到大量应用,是进一步学习的重要基础。
复习本章所学知识,在知识的复习和再现的基础上,用联系的观点和递进的方式可以加深对本章内容的理解。
复习本章知识能有效总结和提升学习内涵,整理学习方法提高学习效率,对于全章知识的联系和整合也能有更好的效果。
在本章内容的复习中,首先应掌握集合语言的表述方式,学习了集合的含义,明确了集合中元素的确定性、无序性、互异性等特征;再学习了列举法、描述法等集合的表示法,其中描述法利用了研究对象的某种特征,需要先理解研究对象的性质;类比数与数的关系,我们研究了集合之间的包含关系与相等关系,这些关系是由元素与集合的关系决定的,其中集合的相等关系很重要;类比数的运算,我们学习了集合的交、并、补运算,通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合,由此可以表示研究对象的某些关系。
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分,是逻辑思维的基本语言,也是数学表达和交流的工具。
充分条件、必要条件和充要条件,全称量词命题,存在量词命题及它们的否定都能与许多已学过的内容进行融合,如初中学习过的数学定义、定理、命题及许多代数结论等都可以用常用逻辑用语表示。
利用常用逻辑用语表述数学内容,进行推理论证,可以大大提升表述的逻辑性和准确性,提升逻辑推理素养。
结合以上分析,确定本节课的教学重点是:引领复习全章重点内容。
二、目标和目标解析1.目标(1)理解集合的含义,表示法,明确元素与集合,集合与集合的关系;(2)理解并掌握集合的运算法,能解决集合的交、并、补运算问题;(3)能通过“若p,则q”形式命题的真假性,判断充分条件、必要条件、充要条件;(4)能辨别全称量词命题和存在量词命题的真假,并能写出否定形式。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课时 集合的概念与运算学案(含解析)
集合的概念与运算导学目标: 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算.自主梳理1.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.2.元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.3.集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法.4.集合间的基本关系对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B(或B⊇A).若A⊆B,且在B中至少有一个元素x∈B,但x∉A,则A B(或B A).若A⊆B且B⊆A,则A=B.5.集合的运算及性质设集合A,B,则A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A或x∈B}.设全集为S,则∁SA={x|x∈S且x∉A}.A∩∅=∅,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A∩B=A⇔A⊆B.A∪∅=A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪B=B⇔A⊆B.A∩∁U A=∅;A∪∁U A=U.自我检测1.(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号).①M={(3,2)},N={(2,3)};②M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1};③M={4,5},N={5,4};④M={1,2},N={(1,2)}.答案③2.(2009·辽宁改编)已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则M∩N=________.答案 {x |-3<x <5}解析 画数轴,找出两个区间的公共部分即得M ∩N ={x |-3<x <5}.3.(2010·湖南)已知集合A ={1,2,3},B ={2,m ,4},A ∩B ={2,3},则m =________. 答案 3解析 ∵A ∩B ={2,3},∴3∈B ,∴m =3.4.(2010·常州五校联考)集合M ={y |y =x 2-1,x ∈R },集合N ={x |y =9-x 2,x ∈R },则M ∩N =________. 答案 [-1,3]解析 ∵y =x 2-1≥-1,∴M =[-1,+∞). 又∵y =9-x 2,∴9-x 2≥0. ∴N =[-3,3].∴M ∩N =[-1,3].5.已知集合A ={1,3,a },B ={1,a 2-a +1},且B ⊆A ,则a =________. 答案 -1或2解析 由a 2-a +1=3,∴a =-1或a =2,经检验符合.由a 2-a +1=a ,得a =1,但集合中有相同元素,舍去,故a =-1或2.探究点一 集合的基本概念例1 若a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }={0,b a,b },求b -a 的值.解题导引 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但解出后应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性.解 由{1,a +b ,a }={0,b a,b }可知a ≠0,则只能a +b =0,则有以下对应法则:⎩⎪⎨⎪⎧a +b =0,ba =a ,b =1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a +b =0,b =a ,b a =1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1,符合题意;②无解.∴b -a =2.变式迁移1 设集合A ={1,a ,b },B ={a ,a 2,ab },且A =B ,求实数a ,b .解 由元素的互异性知,a ≠1,b ≠1,a ≠0,又由A =B ,得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=1,ab =b ,或⎩⎪⎨⎪⎧a 2=b ,ab =1,解得a =-1,b =0.探究点二 集合间的关系例2 设集合M ={x |x =5-4a +a 2,a ∈R },N ={y |y =4b 2+4b +2,b ∈R },则M 与N 之间有什么关系? 解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系,应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系.解 集合M ={x |x =5-4a +a 2,a ∈R }={x |x =(a -2)2+1,a ∈R }={x |x ≥1},N ={y |y =4b 2+4b +2,b ∈R }={y |y =(2b +1)2+1,b ∈R }={y |y ≥1}.∴M =N .变式迁移2 设集合P ={m |-1<m <0},Q ={m |mx 2+4mx -4<0对任意实数x 恒成立,且m ∈R },则集合P 与Q 之间的关系为________.答案 PQ解析 P ={m |-1<m <0},Q :⎩⎪⎨⎪⎧m <0,Δ=16m 2+16m <0,或m =0.∴-1<m ≤0.∴Q ={m |-1<m ≤0}.∴P Q .探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R ,A ={x |2x 2-7x +3≤0},B ={x |x 2+a <0}. (1)当a =-4时,求A ∩B 和A ∪B ; (2)若(∁R A )∩B =B ,求实数a 的取值范围.解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性. 解 (1)A ={x |12≤x ≤3}.当a =-4时,B ={x |-2<x <2}, ∴A ∩B ={x |12≤x <2},A ∪B ={x |-2<x ≤3}.(2)∁R A ={x |x <12或x >3}.当(∁R A )∩B =B 时,B ⊆∁R A , 即A ∩B =∅.①当B =∅,即a ≥0时,满足B ⊆∁R A ;②当B ≠∅,即a <0时,B ={x |--a <x <-a }, 要使B ⊆∁R A ,需-a ≤12,解得-14≤a <0.综上可得,a 的取值范围为a ≥-14.变式迁移3 已知A ={x ||x -a |<4},B ={x ||x -2|>3}. (1)若a =1,求A ∩B ;(2)若A ∪B =R ,求实数a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,A ={x |-3<x <5},B ={x |x <-1或x >5}.∴A ∩B ={x |-3<x <-1}. (2)∵A ={x |a -4<x <a +4},B ={x |x <-1或x >5},且A ∪B =R ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a -4<-1a +4>5⇒1<a <3.∴实数a 的取值范围是(1,3).分类讨论思想在集合中的应用例 (14分)(1)若集合P ={x |x 2+x -6=0},S ={x |ax +1=0},且S ⊆P ,求由a 的可取值组成的集合;(2)若集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},且B ⊆A ,求由m 的可取值组成的集合. 【答题模板】解 (1)P ={-3,2}.当a =0时,S =∅,满足S ⊆P ;[2分] 当a ≠0时,方程ax +1=0的解为x =-1a,[4分]为满足S ⊆P 可使-1a =-3或-1a=2,即a =13或a =-12.[6分]故所求集合为{0,13,-12}.[7分](2)当m +1>2m -1,即m <2时,B =∅,满足B ⊆A ;[9分]若B ≠∅,且满足B ⊆A ,如图所示,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1≥-2,2m -1≤5,即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2,m ≥-3,m ≤3,∴2≤m ≤3.[13分]故m <2或2≤m ≤3,即所求集合为{m |m ≤3}.[14分] 【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论,分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答. 【易错点剖析】(1)容易忽略a =0时,S =∅这种情况.(2)想当然认为m +1<2m -1忽略“>”或“=”两种情况.解答集合问题时应注意五点:1.注意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时注意检验.2.注意描述法给出的集合的元素.如{y |y =2x},{x |y =2x},{(x ,y )|y =2x}表示不同的集合. 3.注意∅的特殊性.在利用A ⊆B 解题时,应对A 是否为∅进行讨论.4.注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化,一般地,集合元素离散时用Venn 图表示,元素连续时用数轴表示,同时注意端点的取舍.5.注意补集思想的应用.在解决A ∩B ≠∅时,可以利用补集思想,先研究A ∩B =∅.的情况,然后取补集.(满分:90分)一、填空题(每小题6分,共48分)1.(2010·北京改编)集合P ={x ∈Z |0≤x <3},M ={x ∈Z |x 2≤9},则P ∩M =________. 答案 {0,1,2}解析 由题意知:P ={0,1,2},M ={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴P ∩M ={0,1,2}.2.(2011·南京模拟)设P 、Q 为两个非空集合,定义集合P +Q ={a +b |a ∈P ,b ∈Q }.若P ={0,2,5},Q ={1,2,6},则P +Q =________________.答案 {1,2,3,4,6,7,8,11} 解析 P +Q ={1,2,3,4,6,7,8,11}.3.满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________.答案 3解析A={1}∪B,其中B为{2,3}的子集,且B非空,显然这样的集合A有3个,即A={1,2}或{1,3}或{1,2,3}.4.(2010·天津改编)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A∩B=∅,则实数a 的取值范围是______________.答案a≤0或a≥6解析由|x-a|<1得-1<x-a<1,即a-1<x<a+1.由图可知a+1≤1或a-1≥5,所以a≤0或a≥6.5.设全集U是实数集R,M={x|x2>4},N={x|2x-1≥1},则如图中阴影部分所表示的集合是________.答案{x|1<x≤2}解析题图中阴影部分可表示为(∁U M)∩N,集合M为{x|x>2或x<-2},集合N为 {x|1<x≤3},由集合的运算,知(∁U M)∩N={x|1<x≤2}.6.(2011·泰州模拟)设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数为________.答案 4解析由题意知B的元素至少含有3,因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}.7.(2009·天津)设全集U=A∪B={x∈N*|lg x<1},若A∩(∁U B)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B=______________.答案{2,4,6,8}解析A∪B={x∈N*|lg x<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩(∁U B)={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}.8.(2010·江苏)设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=____.答案 1解析∵3∈B,由于a2+4≥4,∴a+2=3,即a=1.二、解答题(共42分)9.(14分)集合A={x|x2+5x-6≤0},B={x|x2+3x>0},求A∪B和A∩B.解∵A={x|x2+5x-6≤0}={x|-6≤x≤1}.(3分)B ={x |x 2+3x >0}={x |x <-3或x >0}.(6分)如图所示,∴A ∪B ={x |-6≤x ≤1}∪{x |x <-3或x >0}=R .(10分)A ∩B ={x |-6≤x ≤1}∩{x |x <-3或x >0}={x |-6≤x <-3,或0<x ≤1}.(14分)10.(14分)(2011·南通模拟)已知集合A ={x |0<ax +1≤5},集合B ={x |-12<x ≤2}.若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.解 当a =0时,显然B ⊆A ;(2分)当a <0时, 若B ⊆A ,如图, 则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤-12,-1a >2,(6分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥-8,a >-12.∴-12<a <0;(8分)当a >0时,如图,若B ⊆A ,则⎩⎪⎨⎪⎧-1a ≤-12,4a ≥2,(11分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2,a ≤2.∴0<a ≤2.(13分)综上知,当B ⊆A 时,-12<a ≤2.(14分)11.(14分)已知集合A ={x |x -5x +1≤0},B ={x |x 2-2x -m <0}, (1)当m =3时,求A ∩(∁R B );(2)若A ∩B ={x |-1<x <4},求实数m 的值. 解 由x -5x +1≤0, 所以-1<x ≤5,所以A ={x |-1<x ≤5}.(3分) (1)当m =3时,B ={x |-1<x <3}, 则∁R B ={x |x ≤-1或x ≥3},(6分) 所以A ∩(∁R B )={x |3≤x ≤5}.(10分) (2)因为A ={x |-1<x ≤5},A ∩B ={x |-1<x <4},(12分)所以有42-2×4-m =0,解得m =8. 此时B ={x |-2<x <4},符合题意, 故实数m 的值为8.(14分)。
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合教学案(含解析)新人教A版-新人教A版高三
五年高考考点统计精准分析高效备考证明直线过定点证明直线过定点线问题线与椭圆的位置关系位置关系轨迹方程义、直线与抛物线质,直线与椭圆位置关系21导数与不等式,证明函数极值点的存在性导数与函数的单调性及函数的零点导数与不等式的综合运用导数与函数的单调性、零点、证不等式导数与函数的单调性、不等式、最值函数与导数的最值、不等式导数的几何意义与函数的零点问题导数与函数的单调性与求最值22极坐标方程与直角坐标参数方程的应用参数方程、极坐标的应用参数方程与极坐标方程互化极坐标方程与参数方程互化参数方程,极坐标方程极坐标方程的应用极坐标方程与求距离23不等式证明解含绝对值的不等式,不等式的综合运用含绝对值不等式的解法及不等式的综合运用解含绝对值的不等式解与证明含绝对值的不等式解含绝对值的不等式,求参数解绝对值不等式及函数的图象不等式的证明与充要条件的判断第1节集合考试要求 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集:假设对任意x∈A,都有x∈B,那么A⊆B或B⊇A.(2)真子集:假设A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,那么A B或B A.(3)相等:假设A⊆B,且B⊆A,那么A=B.(4)空集的性质:是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B假设全集为U,那么集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A=A,A∩=,A∩B=B∩A.(2)A∪A=A,A∪=A,A∪B=B∪A.(3)A∩(∁U A)=,A∪(∁U A)=U,∁U(∁U A)=A.[常用结论与微点提醒]1.假设有限集A中有n个元素,那么A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.2.子集的传递性:A ⊆B ,B ⊆C ⇒A ⊆C .3.注意空集:空集是任何集合的子集,是非空集合的真子集,应时刻关注对于空集的讨论.4.A ⊆B ⇔A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔∁U A ⊇∁U B .5.∁U (A ∩B )=(∁U A )∪(∁U B ),∁U (A ∪B )=(∁U A )∩(∁U B ).诊 断 自 测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( )(2){x |y =x 2+1}={y |y =x 2+1}={(x ,y )|y =x 2+1}.( ) (3)假设{x 2,1}={0,1},那么x =0,1.( )(4)对于任意两个集合A ,B ,关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立.( ) 解析 (1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x |y =x 2+1}=R ,{y |y =x 2+1}=[1,+∞),{(x ,y )|y =x 2+1}是抛物线y =x 2+1上的点集.(3)错误.当x =1时,不满足集合中元素的互异性. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(新教材必修第一册P9T1(1)改编)假设集合P ={x ∈N |x ≤ 2 021},a =22,那么( ) A.a ∈P B.{a }∈P C.{a }⊆P D.a ∉P解析 因为a =22不是自然数,而集合P 是不大于 2 021的自然数构成的集合,所以a ∉P ,只有D 正确. 答案 D3.(老教材必修1P44A 组T5改编)集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|x ,y ∈R 且y =x },那么A ∩B 中元素的个数为________.解析 集合A 表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上的点,集合B 表示直线y =x 上的点,圆x 2+y 2=1与直线y =x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22,22,⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,-22,那么A ∩B 中有两个元素. 答案 24.(2019·全国Ⅲ卷)集合A ={-1,0,1,2},B ={x |x 2≤1},那么A ∩B =( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}解析 因为B ={x |x 2≤1|}={x |-1≤x ≤1},又A ={-1,0,1,2},所以A ∩B ={-1,0,1}. 答案 A5.(2019·全国Ⅱ卷改编)集合A ={x |x 2-5x +6>0},B ={x |x -1≥0},全集U =R ,那么A ∩(∁UB )=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)解析 由题意A ={x |x <2或x >3}.又B ={x |x ≥1},知∁U B ={x |x <1},∴A ∩(∁U B )={x |x <1}. 答案 A6.(2020·某某模拟)设P 和Q 是两个集合,定义集合P -Q ={x |x ∈P ,且x ∉Q },如果P ={x |1<2x<4},Q ={y |y =2+sin x ,x ∈R },那么P -Q =( ) A.{x |0<x ≤1} B.{x |0≤x <2} C.{x |1≤x <2} D.{x |0<x <1}解析 由题意得P ={x |0<x <2},Q ={y |1≤y ≤3}, ∴P -Q ={x |0<x <1}. 答案 D考点一 集合的基本概念[例1] (1)定义P ⊙Q =⎩⎨⎧⎭⎬⎫z |z =y x+xy,x ∈P ,y ∈Q ,P ={0,-2},Q ={1,2},那么P ⊙Q =( )A.{1,-1}B.{1,-1,0}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,-1,-34D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,-34(2)设集合A ={x |(x -a )2<1},且2∈A ,3∉A ,那么实数a 的取值X 围为________. 解析 (1)由定义,当x =0时,z =1,当x =-2时,z =1-2+-21=-1或z =2-2-1=-34.因此P ⊙Q =⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,-1,-34.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧〔2-a 〕2<1,〔3-a 〕2≥1,解得⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3,a ≤2或a ≥4. 所以1<a ≤2.答案 (1)C (2)(1,2]规律方法1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.[训练1] (1)(2018·全国Ⅱ卷)集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },那么A 中元素的个数为( ) A.9 B.8 C.5 D.4(2)设A 是整数集的一个非空子集,对于k ∈A ,如果k -1∉A ,且k +1∉A ,那么称k 是A 的一个“孤立元〞.给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8},由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元〞的集合共有________个.解析 (1)由题意知A ={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故集合A 中共有9个元素.(2)依题意可知,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元〞时,这三个元素一定是连续的三个整数.∴所求的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6个. 答案 (1)A (2)6 考点二 集合间的基本关系[例2] (1)(2019·某某六校联考)集合A ={-1,1},B ={x |ax +1=0}.假设B ⊆A ,那么实数a 的所有可能取值的集合为( )A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}(2)(2020·某某长郡中学模拟)集合A ={x |y =log 2(x 2-3x -4)},B ={x |x 2-3mx +2m 2<0(m >0)},假设B ⊆A ,那么实数m 的取值X 围为( ) A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞)解析 (1)当B =时,a =0,此时,B ⊆A .当B ≠时,那么a ≠0,∴B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x =-1a .又B ⊆A ,∴-1a∈A ,∴a =±1.综上可知,实数a 所有取值的集合为{-1,0,1}. (2)由x 2-3x -4>0得x <-1或x >4, 所以集合A ={x |x <-1或x >4}. 由x 2-3mx +2m 2<0(m >0)得m <x <2m . 又B ⊆A ,所以2m ≤-1(舍去)或m ≥4. 答案 (1)D (2)B规律方法 1.假设B ⊆A ,应分B =∅和B ≠∅两种情况讨论.2.两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图,化抽象为直观进行求解.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否那么易增解或漏解. [训练2] (1)假设集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},那么( ) A.M =N B.M ⊆N C.M ∩N =D.N ⊆M(2)(2020·武昌调研)集合A ={x |log 2(x -1)<1},B ={x ||x -a |<2},假设A ⊆B ,那么实数a 的取值X 围为( ) A.(1,3) B.[1,3] C.[1,+∞) D.(-∞,3]解析 (1)易知M ={x |-1≤x ≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1}={y |0≤y ≤1},∴N ⊆M . (2)由log 2(x -1)<1,得0<x -1<2,所以A =(1,3). 由|x -a |<2得a -2<x <a +2,即B =(a -2,a +2).因为A ⊆B ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a -2≤1,a +2≥3,解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值X 围为[1,3]. 答案 (1)D (2)B 考点三 集合的运算 多维探究角度1 集合的基本运算[例3-1] (1)(2019·全国Ⅰ卷)集合U ={1,2,3,4,5,6,7},A ={2,3,4,5},B ={2,3,6,7},那么B ∩(∁U A )=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}(2)(2020·某某模拟)全集U=R,集合A={x|x-4≤0},B={x|ln x<2},那么∁U(A∩B)=( )A.{x|x>4}B.{x|x≤0或x>4}C.{x|0<x≤4}D.{x|x<4或x≥e2}解析(1)由题意知∁U A={1,6,7}.又B={2,3,6,7},∴B∩(∁U A)={6,7}.(2)易知A={x|x≤4},B={x|0<x<e2},那么A∩B={x|0<x≤4},故∁U(A∩B)={x|x≤0或x>4}. 答案(1)C (2)B角度2 抽象集合的运算[例3-2] 设U为全集,A,B是其两个子集,那么“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁U C〞是“A∩B =〞的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由图可知,假设“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁U C〞,那么一定有“A∩B=〞;反过来,假设“A∩B=〞,那么一定能找到集合C,使A⊆C且B⊆∁U C.答案 C规律方法 1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用:(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;(2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.[训练3] (1)(角度1)(2018·某某卷)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},那么A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}(2)(角度1)集合A={x|x2-x≤0},B={x|a-1≤x<a},假设A∩B只有一个元素,那么a=( )A.0B.1C.2D.1或2(3)(角度2)假设全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,2},B={x|x2-1=0},那么图中阴影部分所表示的集合为( )A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{-1,1}D.{0}解析(1)因为B={x|x≥1},所以∁R B={x|x<1},又A={x|0<x<2},所以A∩(∁R B)={x|0<x<1}.(2)易知A=[0,1],且A∩B只有一个元素,因此a-1=1,解得a=2.(3)B={x|x2-1=0}={-1,1},阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).又A∪B={-2,-1,1,2},全集U={-2,-1,0,1,2},所以∁U(A∪B)={0}.答案(1)B (2)C (3)DA级基础巩固一、选择题1.(2019·全国Ⅰ卷)集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},那么M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}解析M={x|-4<x<2},N={x|-2<x<3},∴M∩N={x|-2<x<2}.答案 C2.(2019·某某卷)全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},那么(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}解析由题意,得∁U A={-1,3},∴(∁U A)∩B={-1}.答案 A3.(2020·某某测试)集合A={1,2,3,4},B={y|y=2x-3,x∈A},那么集合A∩B的子集个数为( ) A.1 B.2 C.4 D.8解析 由题意,得B ={-1,1,3,5},∴A ∩B ={1,3}. 故集合A ∩B 的子集个数为22=4. 答案 C4.设集合M ={x |x 2-x >0},N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x<1,那么( )A.M NB.N MC.M =ND.M ∪N =R解析 集合M ={x |x 2-x >0}={x |x >1或x <0},N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x<1={x |x >1或x <0},所以M =N .答案 C5.设集合A ={x |-1<x ≤2},B ={x |x <0},那么以下结论正确的选项是( ) A.(∁R A )∩B ={x |x <-1} B.A ∩B ={x |-1<x <0} C.A ∪(∁R B )={x |x ≥0} D.A ∪B ={x |x <0}解析 易求∁R A ={x |x ≤-1或x >2},∁R B ={x |x ≥0}, ∴(∁R A )∩B ={x |x ≤-1},A 项不正确.A ∩B ={x |-1<x <0},B 项正确,检验C 、D 错误.答案 B6.集合M ={x |y =x -1},N ={x |y =log 2(2-x )},那么∁R (M ∩N )=( ) A.[1,2) B.(-∞,1)∪[2,+∞) C.[0,1] D.(-∞,0)∪[2,+∞)解析 由题意可得M ={x |x ≥1},N ={x |x <2},∴M ∩N ={x |1≤x <2},∴∁R (M ∩N )={x |x <1或x ≥2}.答案 B7.(2020·日照一中月考)A =[1,+∞),B =[0,3a -1],假设A ∩B ≠∅,那么实数a 的取值X 围是( )A.[1,+∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞D.(1,+∞) 解析 由题意可得3a -1≥1,解得a ≥23,∴实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞.答案 C8.设集合A ={(x ,y )|x +y =1},B ={(x ,y )|x -y =3},那么满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1,x -y =3,得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-1,∴A ∩B ={(2,-1)}.由M ⊆(A ∩B ),知M =∅或M ={(2,-1)}. 答案 C 二、填空题9.(2019·某某卷)集合A ={-1,0,1,6},B ={x |x >0,x ∈R },那么A ∩B =________. 解析 由交集定义可得A ∩B ={1,6}. 答案 {1,6}10.集合A ={1,3,4,7},B ={x |x =2k +1,k ∈A },那么集合A ∪B 中元素的个数为________. 解析 由得B ={3,7,9,15}, 所以A ∪B ={1,3,4,7,9,15}, 故集合A ∪B 中元素的个数为6. 答案 611.集合A ={x |x 2-5x -14≤0},集合B ={x |m +1<x <2m -1},假设B ⊆A ,那么实数m 的取值X 围为________.解析 A ={x |x 2-5x -14≤0}={x |-2≤x ≤7}. 当B =∅时,有m +1≥2m -1,那么m ≤2. 当B ≠∅时,假设B ⊆A ,如图.那么⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1,解得2<m ≤4.综上,m 的取值X 围为(-∞,4]. 答案 (-∞,4]12.假设全集U =R ,集合A ={x |x 2-x -2≥0},B ={x |log 3(2-x )≤1},那么A ∩(∁U B )=________.解析 由题意,得集合A ={x |x 2-x -2≥0}={x |x ≤-1或x ≥2}, 因为log 3(2-x )≤1=log 33,所以0<2-x ≤3, 解得-1≤x <2,所以B ={x |-1≤x <2}, 从而∁U B ={x |x <-1或x ≥2}, 故A ∩(∁U B )={x |x <-1或x ≥2}. 答案 {x |x <-1或x ≥2}B 级 能力提升13.(2020·某某检测)集合A ={x |x 2-16<0},B ={x |3x 2+6x =1},那么( ) A.A ∪B =B.B ⊆AC.A ∩B ={0}D.A ⊆B解析 由题意,得A ={x |x 2-16<0}={x |-4<x <4},B ={x |3x 2+6x =1}={0,-6},A ∪B ={x |x =-6或-4<x <4},A ∩B ={0},故A 错误,显然B 、D 错误,故C 正确. 答案 C14.集合A ={x |y =4-x 2},B ={x |a ≤x ≤a +1},假设A ∪B =A ,那么实数a 的取值X 围为( )A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)解析 集合A ={x |y =4-x 2}={x |-2≤x ≤2}, 因A ∪B =A ,那么B ⊆A . 又B ≠,所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥-2,a +1≤2,所以-2≤a ≤1.答案C15.(多填题)集合A ={x ∈R ||x +2|<3},集合B ={x ∈R |(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),那么m =________,n =________.解析 A ={x ∈R ||x +2|<3}={x ∈R |-5<x <1}, 由A ∩B =(-1,n ),可知m <1,那么B={x|m<x<2},画出数轴,可得m=-1,n=1.答案-1 116.集合U=R,A={x|x2-x-2<0},B={x|y=ln(1-x)},那么图中阴影部分所表示的集合是________.解析易知A=(-1,2),B=(-∞,1),∴∁U B=[1,+∞),A∩(∁U B)=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)={x|1≤x<2}.答案[1,2)C级创新猜想17.(多填题)对于任意两集合A,B,定义A-B={x|x∈A且x∉B},A*B=(A-B)∪(B-A),记A={y|y≥0},B={x|y=lg(9-x2)},那么B-A=________,A*B=________.解析由题意,得A={y|y≥0},B={x|-3<x<3},∴A-B={x|x≥3},B-A={x|-3<x<0}.因此A*B={x|x≥3}∪{x|-3<x<0}={x|-3<x<0或x≥3}.答案{x|-3<x<0} {x|-3<x<0或x≥3}。
2015年高考数学一轮总复习精品课件:第一章+集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算(共31张
答案
答案
考点一
考点一
考点二
考点二
考点三
考点三
误区警示
误区警示
第十七页,编辑于星期五:十一点 十分。
18
探究突破
考点二
集合间的基本关系
【例 2】若集合 P={x|3<x≤22},非空集合 Q={x|2a+1≤x<3a-5},则能
使 Q⊆ (P∩Q)成立的所有实数 a 的取值范围为( )
A.(1,9)
第五页,编辑于星期五:十一点 十分。
6
梳理自测
7.集合相等:若 A⊆ B,且 B⊆ A
8.集合的并、交、补运算:
,则 A=B.
并集:A∪B=
{x|x∈A,或 x∈B} ;
交集:A∩B= {x|x∈A,且 x∈B} ;
补集:∁ UA= {x|x∈U,且 x∉ A} ;U 为全集,∁ UA 表示集合 A 相对于
方法提炼
1.集合运算的常用方法
(1)集合元素离散时借助 Venn 图运算;
(2)集合元素连续时借助数轴运算,借助数轴运算时应注意端点值的取
舍.
2.常用重要结论
(1)A∩B=A⇔A⊆ B;
(2)A∪B=A⇔A⊇ B.
3.A∩B=A∪B⇔A=B.
考点一
考点一
考点二
考点二
考点三
考点三 误区警示
误区警示
第二十二页,编辑于星期五:十一点 十分。
①当 a=-2 时,a2+3a+3=(a+1)2=1,不符合题意.
②当 a=-1 时,a2+3a+3=a+2=1,不符合题意.
综上所述,a=0.∴2 015a=1.
2015年高考数学总复习新课标课件:第一章第1课时
集合的基本概念
(1)(2013·高考江西卷)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0} 中只有一个元素,则a=( )A A.4 B.2 C.0 D.0或4
第十五页,编辑于星期五:十一点 二十三分。
(2)(2013·高考山东卷)已知集合A={0,1,2},则集合B={x- y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( C) A.1 B.3 C.5 D.9
第二十九页,编辑于星期五:十一点 二十三分。
3.(1)(2013·高考湖南卷)已知集合 U={2,3,6,8},A={2, 3},B={2,6,8},则(∁UA)∩B=_{_6_,__8_}__. (2)(2014·湖北省重点中学阶段性统一考试)已知全集 U=R, 设集合 A={x|y=ln(3x-1),集合 B={y|y=sin(x+2)},则(∁ UA)∩B 为( C )
5.(2014·杭州模拟)已知集合A={-1,0,4},集合B={x|x2-2x- 3≤0,x∈N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是________ . {-1,4}
解析:∵B={x|x2-2x-3≤0,x∈N}={x|-1≤x≤3,x∈N}={0 ,1,2,3}.而图中阴影部分表示的集合为属于A且不属于B的元素 构成,故该集合为{-1,4}.
第一章 集合与常用逻辑用语
第一页,编辑于星期五:十一点 二十三分。
2015高考导航
内容
知识要求
了解 理解 掌握
(A) (B) (C)
集 集 集合的含义
√
合 合 集合的表示
√
与 集合间的基本关系
√
常 集合的基本运算
√
用 常 “若p,则q”形式的命题及其逆命题、√
2015届高考数学教材知识点集合的含义和表示复习导学案
★精选文档★2015 届高考数学教材知识点会合的含义和表示复习导教案学习目标: 1. 认识会合的含义,领会元素与会合的“属于”关系;2.能选择自然语言、图形语言、会合语言(列举法或描绘法)描绘不一样的详细问题,感觉会合语言的意义和作用;3.掌握会合的表示方法、常用数集及其记法、会合元素的三个特色 .学习要点:掌握会合的基本观点。
学习难点:元素与会合的关系。
知识链接:复习:1.会合的含义2.会合的表示法3.数学中一些常用数集及其记法4.列举法学习过程:研究 1:(1)你能用自然语言描绘会合{2,4,6,8}吗?( 2)你能用列举法表示不等式的解集吗?2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创1 / 3描绘法:用会合所含元素的共同特色表示会合的方法称为描绘法。
详细方法是:在花括号内先写上表示这个几何元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个会合中元素所拥有的共同特色。
例一试分别用列举法和描绘法表示以下会合:(1)方程的全部实数根构成的会合;(2)由大于 10 小于 20 的全部整数构成的会合。
思虑:联合上述实例,试比较用自然语言列举法和描绘法表示会合时,各自的特色和合用的对象。
当堂检测:1.用符号“”或“”填空:(1)设 A 为全部亚洲国家构成的会合,则:中国▁▁ A, 美国▁▁ A,印度▁▁ A,英国▁▁ A;(2)若 A={x|}, 则 -1 ▁▁ A;(3)若 B={x|} ,则 3▁▁ B;(4)若 c={x|}, 则 8▁▁ c,9.1 ▁▁ c.2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创2 / 32.试选择适合的方法表示以下会合:(1)由方程的全部实数根构成的会合;(2)由小于 12 的全部素数构成的会合;(3)一次函数 y=2x+1 与 y=-2x+11 的图象的交点构成的会合;(4)不等式 8x+92016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创3 / 3。
2015年高考数学(理)一轮总复习课件:第一章+集合与常用逻辑用语 第1节 集 合
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一种方法 Venn 图是研究集合的工具,借助 Venn 图和数轴即数形 结合能使抽象问题直观化,其中运用数轴图示法要特别注意 端点是实心还是空心.
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两个防范 1.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集, 应时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 2.在解决含参数的集合问题时,要检验集合中元素的互 异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.
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从近两年课标区高考题看,本章的命题 思路是以基础知识和基本方法为主,重点考 查学生对概念的理解和基本运算.题目以选 择题或填空题的形式出现,属容易题目. 1.集合的概念、集合间的关系及运算是高 考重点考查的内容,正确理解概念是解决此 类问题的关键. 2.命题及充要条件这部分内容,重点关注 两个方面,一是命题的四种形式及原命题与 逆否命题的等价性;二是充要条件的判定. 3.全称命题、特称命题的否定也是高考考 查的重点,正确理解两种命题的否定形式是 解决此类问题的关键. 4.本章内容为补集思想、正难则反思想提 供了理论依据,同时也应注意这两种思想的 应用.
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变式训练 1 (2014·黄山质检)已知集合 A={x∈R|ax2- 3x+2=0},若 A=∅,则实数 a 的取值范围为________.
【解析】 ∵A=∅,∴方程 ax2-3x+2=0 无实根, 当 a=0 时,x=23不合题意, 当 a≠0 时,Δ=9-8a<0,∴a>98. 【答案】 98,+∞
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高考数学总复习 第一章 集合、常用逻辑用语 第1讲 集合学案
第1讲集合最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.(2)真子集:若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则A B或B A.(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.(2)子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.(4)∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B),∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)任何集合都有两个子集.( )(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )解析(1)错误.空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的.(2)错误.集合A是函数y=x2的定义域,即A=(-∞,+∞);集合B是函数y=x2的值域,即B=[0,+∞);集合C是抛物线y=x2上的点集.因此A,B,C不相等.(3)错误.当x=1,不满足互异性.(4)错误.当A=∅时,B,C可为任意集合.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P7练习2改编)若集合A={x∈N|x≤10},a=22,则下列结论正确的是( )A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A解析由题意知A={0,1,2,3},由a=22,知a∉A.答案 D3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( )A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}解析因为A={1,3,5,7},而3,5∈A且3,5∈B,所以A∩B={3,5}.答案 B4.(2017·杭州模拟)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)等于( )A.{1,4}B.{1,5}C.{2,5}D.{2,4}解析由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,4}.答案 D5.(2017·绍兴调研)已知全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则A∪B=________,(∁U A)∩B=________.解析∵A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},∴A∪B={x|x≥0},(∁U A)∩B={x|0≤x<2}.答案{x|x≥0}{x|0≤x<2}6.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B 的元素个数为________.解析集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.答案 2考点一 集合的基本概念【例1】 (1)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( ) A.1B.3C.5D.9(2)若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( ) A.92B.98C.0D.0或98解析 (1)当x =0,y =0,1,2时,x -y =0,-1,-2; 当x =1,y =0,1,2时,x -y =1,0,-1; 当x =2,y =0,1,2时,x -y =2,1,0.根据集合中元素的互异性可知,B 的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.(2)若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2-3x +2=0只有一个实根或有两个相等实根. 当a =0时,x =23,符合题意;当a ≠0时,由Δ=(-3)2-8a =0,得a =98,所以a 的取值为0或98.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素,要分a =0与a ≠0两种情况进行讨论,此题易忽视a =0的情形.(2)用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.【训练1】 (1)设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,ba,b ,则b -a =________.(2)已知集合A ={x ∈R |ax 2+3x -2=0},若A =∅,则实数a 的取值范围为________. 解析 (1)因为{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a,b ,a ≠0,所以a +b =0,且b =1,所以a =-1,b =1,所以b -a =2. (2)由A =∅知方程ax 2+3x -2=0无实根, 当a =0时,x =23不合题意,舍去;当a ≠0时,Δ=9+8a <0,∴a <-98.答案 (1)2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-98 考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ={x |y =1-x 2,x ∈R },B ={x |x =m 2,m ∈A },则( ) A.A BB.BA C.A ⊆B D.B =A(2)已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是________.解析 (1)易知A ={x |-1≤x ≤1}, 所以B ={x |x =m 2,m ∈A }={x |0≤x ≤1}. 因此B A .(2)当B =∅时,有m +1≥2m -1,则m ≤2. 当B ≠∅时,若B ⊆A ,如图.则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1,解得2<m ≤4. 综上,m 的取值范围为(-∞,4]. 答案 (1)B (2)(-∞,4]规律方法 (1)若B ⊆A ,应分B =∅和B ≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图,化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2017·镇海中学质检)若集合A ={x |x >0},且B ⊆A ,则集合B 可能是( ) A.{1,2} B.{x |x ≤1} C.{-1,0,1}D.R(2)(2016·郑州调研)已知集合A ={x |x =x 2-2,x ∈R },B ={1,m },若A ⊆B ,则m 的值为( ) A.2 B.-1 C.-1或2D.2或2解析 (1)因为A ={x |x >0},且B ⊆A ,再根据选项A ,B ,C ,D 可知选项A 正确. (2)由x =x 2-2,得x =2,则A ={2}. 因为B ={1,m }且A ⊆B , 所以m =2. 答案 (1)A (2)A 考点三 集合的基本运算【例3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },B ={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )A.5B.4C.3D.2(2)(2016·浙江卷)设集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=( )A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2)∪[1,+∞)解析(1)集合A中元素满足x=3n+2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.(2)易知Q={x|x≥2或x≤-2}.∴∁R Q={x|-2<x<2},又P={x|1≤x≤3},故P∪(∁R Q)={x|-2<x≤3}.答案(1)D (2)B规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化. (2)一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】(1)(2017·石家庄模拟)设集合M={-1,1},N={x|x2-x<6},则下列结论正确的是( )A.N⊆MB.N∩M=∅C.M⊆ND.M∩N=R(2)(2016·山东卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( )A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}解析(1)易知N=(-2,3),且M={-1,1},∴M⊆N.(2)∵A={1,3,5},B={3,4,5},∴A∪B={1,3,4,5},又全集U={1,2,3,4,5,6},因此∁U(A∪B)={2,6}.答案(1)C (2)A[思想方法]1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。
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第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念第二章 (对应学生用书(文)、(理)1~2页)考点新知1. (必修1P 10第5题改编)已知集合A ={m +2,2m 2+m},若3∈A ,则m =________.答案:-32解析:因为3∈A ,所以m +2=3或2m 2+m =3.当m +2=3,即m =1时,2m 2+m =3,此时集合A 中有重复元素3,所以m =1不合题意,舍去;当2m 2+m =3时,解得m =-32或m =1(舍去),此时当m =-32时,m +2=12≠3满足题意.所以m =-32.2. (必修1P 7第4题改编)已知集合{a|0≤a<4,a ∈N },用列举法可以表示为________. 答案:{}0,1,2,3解析:因为a ∈N ,且0≤a<4,由此可知实数a 的取值为0,1,2,3.3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A =[1,4),B =(-∞,a),A ÍB ,则a ∈________. 答案:[4,+∞)解析:在数轴上画出A 、B 集合,根据图象可知.4. (原创)设集合A ={x|x =5-4a +a 2,a ∈R },B ={y|y =4b 2+4b +2,b ∈R },则A 、B 的关系是________.答案:A =B解析:化简得A ={x|x ≥1},B ={y|y ≥1},所以A=B.5. (必修1P 17第8题改编)满足条件{1}ÍM Í{1,2,3}的集合M 的个数是________. 答案:4个解析:满足条件{1}ÍM Í{1,2,3}的集合M 有{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4个.1. 集合的含义及其表示 (1) 集合的定义:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.其中集合中的每一个对象称为该集合的元素.(2) 集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性.(3) 集合的常用表示方法:列举法、描述法、Venn 图法.(4) 集合的分类:若按元素的个数分类,可分为有限集、无限集、空集;若按元素的属性分类可分为点集、数集等.应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合,解题时切勿忽视空集的情形.(5) 常用数集及其记法:自然数集记作N ;正整数集记作N 或N +;整数集记作Z ;有理数集记作Q ;实数集记作R ;复数集记作C .2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系,反映了个体与整体之间的从属关系.(2) 集合与集合之间的关系 ① 包含关系:如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 称为集合B 的子集,记为A ÍB 或B ÊA ,读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”. ② 真包含关系:如果A ÍB ,并且A ≠B ,那么集合A 称为集合B 的真子集,读作“集合A 真包含于集合B ”或“集合B 真包含集合A ”.③ 相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素,则称这两个集合相等.(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个,真子集共有2n -1个,非空子集共有2n -1个,非空真子集有2n -2个.题型1 正确理解和运用集合概念例1 已知集合A ={x|ax 2-3x +2=0,a ∈R }. (1) 若A 是空集,求a 的取值范围;(2) 若A 中只有一个元素,求a 的值,并将这个元素写出来; (3) 若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.解: (1) 若A 是空集,则Δ=9-8a <0,解得a >98.(2) 若A 中只有一个元素,则Δ=9-8a =0或a =0,解得a =98或a =0;当a =98时这个元素是43;当a =0时,这个元素是23.(3) 由(1)(2)知,当A 中至多有一个元素时,a 的取值范围是a ≥98或a =0.备选变式(教师专享)已知a ≤1时,集合[a ,2-a]中有且只有3个整数,则a 的取值范围是________. 答案:-1<a ≤0解析:因为a ≤1,所以2-a ≥1,所以1必在集合中.若区间端点均为整数,则a =0,集合中有0,1,2三个整数,所以a =0适合题意;若区间端点不为整数,则区间长度2<2-2a<4,解得-1<a<0,此时,集合中有0,1,2三个整数,-1<a<0适合题意.综上,a 的取值范围是-1<a ≤0.变式训练设集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k 2+14,k ∈Z ,N ={x|x =k 4+12,k ∈Z },则M________N. 答案:真包含于题型2 集合元素的互异性例2 已知a 、b ∈R ,集合A ={a ,a +b ,1},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ,b a ,0,且A ÍB ,B ÍA ,求a-b 的值.解:∵ A ÍB ,B ÍA ,∴ A =B.∵ a ≠0,∴ a +b =0,即a =-b ,∴ ba=-1,∴ b =1,a =-1,∴ a -b =-2. 备选变式(教师专享)已知集合A ={a ,a +b, a +2b},B ={a ,ac, ac 2}.若A =B ,则c =________.答案:-12解析:分两种情况进行讨论.① 若a +b =ac 且a +2b =ac 2,消去b 得a +ac 2-2ac =0.当a =0时,集合B 中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a ≠0.∴ c 2-2c +1=0,即c =1.但c =1时,B 中的三元素又相同,此时无解.② 若a +b =ac 2且a +2b =ac ,消去b 得2ac 2-ac -a =0. ∵ a ≠0,∴ 2c 2-c -1=0,即(c -1)(2c +1)=0.又c ≠1,故c =-12.变式训练集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a ,1,集合B ={a 2,a +b ,0},若A =B ,求a 2 013+b 2 014的值.解:由于a ≠0,由ba =0,得b =0,则A ={a ,0,1},B ={a 2,a ,0}.由A =B ,可得a 2=1.又a 2≠a ,则a ≠1,则a =-1. 所以a 2 013+b 2 014=-1.题型3 根据集合的含义求参数范围例3 集合A ={x|-2≤x ≤5},集合B ={x|m +1≤x ≤2m -1}. (1) 若B ÍA ,求实数m 的取值范围;(2) 当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围. 解:(1) 当m +1>2m -1即m <2时,B =Æ满足B ÍA ;当m +1≤2m -1即m ≥2时,要使B ÍA 成立,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,2m -1≤5,解得2≤m ≤3.综上所述,当m ≤3时有B Í A. (2) 因为x ∈R ,且A ={x|-2≤x ≤5},B ={x|m +1≤x ≤2m -1},又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,则① 若B =Æ,即m +1>2m -1,得m <2时满足条件;② 若B ≠Æ,则要满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1>5,解得m >4.或⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,2m -1<-2,无解. 综上所述,实数m 的取值范围为m <2或m >4. 备选变式(教师专享)已知集合A ={y|y =-2x ,x ∈[2,3]},B ={x|x 2+3x -a 2-3a>0}.若A ÍB ,求实数a 的取值范围.解:由题意有A =[-8,-4],B ={x|(x -a)(x +a +3)>0}.① 当a =-32时,B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ,x ≠-32,所以A ÍB 恒成立; ② 当a<-32时,B ={x|x<a 或x>-a -3}.因为A ÍB ,所以a>-4或-a -3<-8,解得a>-4或a>5(舍去),所以-4<a<-32;③ 当a>-32时,B ={x|x<-a -3或x>a}.因为A B ,所以-a -3>-4或a<-8(舍去),解得-32<a<1.综上,当A ÍB 时,实数a 的取值范围是(-4,1).1. 设集合A ={x|x <2},B ={x|x <a},且满足A 真包含于B ,则实数a 的取值范围是____________.答案:(2,+∞)解析:利用数轴可得实数a 的取值范围是(2,+∞).2. 已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y)|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A},则B 中元素的个数为________.答案:10解析:B 中所含元素有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4).3. 若x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是“伙伴关系集合”,集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,12,2,3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________.答案:3解析:具有伙伴关系的元素组是-1;12,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,2,⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,2.4. 已知全集U =R ,集合M ={x|-2≤x -1≤2}和N ={x|x =2k -1,k =1,2,…}的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有________个.答案:2 解析:由题图示可以看出阴影部分表示集合M 和N 的交集,所以由M ={x|-1≤x ≤3},得M ∩N ={1,3},有2个.5. 设P 、Q 为两个非空实数集合,定义集合P +Q ={a +b|a ∈P ,b ∈Q},若P ={0,2,5},Q ={1,2,6},则P +Q 中元素的个数为________.答案:8解析:(1) ∵ P +Q ={a +b|a ∈P ,b ∈Q},P ={0,2,5},Q ={1,2,6},∴ 当a =0时,a +b 的值为1,2,6;当a =2时,a +b 的值为3,4,8;当a =5时,a +b 的值为6,7,11,∴ P +Q ={1,2,3,4,6,7,8,11},∴ P +Q 中有8个元素.1. 已知A ={x|x 2-2x -3≤0},若实数a ∈A ,则a 的取值范围是________. 答案:[-1,3]解析:由条件,a 2-2a -3≤0,从而a ∈[-1,3].2. 现有含三个元素的集合,既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a ,1,也可表示为{a 2,a +b ,0},则a 2013+b 2 013=________. 答案:-1解析:由已知得ba=0及a ≠0,所以b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1,又根据集合中元素的互异性可知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 013+b 2 013=(-1)2 013=-1.3. 已知集合A ={x|(x -2)[x -(3a +1)]<0},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x -a x -(a 2+1)<0. (1) 当a =2时,求A ∩B ;(2) 求使B 真包含于A 的实数a 的取值范围. 解:(1) A ∩B ={x|2<x <5}. (2) B ={x|a <x <a 2+1}.①若a =13时,A =Æ,不存在a 使B ÍA ;②若a >13时,2≤a ≤3;③若a <13时,-1≤a ≤-12.故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤-1,-12∪[2,3]. 4. 已知A ={a +2,(a +1)2,a 2+3a +3}且1∈A ,求实数a 的值. 解:由题意知:a +2=1或(a +1)2=1或a 2+3a +3=1, ∴ a =-1或-2或0,根据元素的互异性排除-1,-2, ∴ a =0即为所求.1. 研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分{x|y =f(x)}、{y|y =f(x)}、{(x ,y)|y =f(x)}三者的不同.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.2. 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A B ,则需考虑A =和A ≠两种可能的情况.3. 判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系.4. 已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析.请使用课时训练(A )第1课时(见活页).[备课札记]。