高等数学积分表(同济6版)
同济大学高等数学第六版上册第五章第一节定积分的概念与性质
三、存在定理
定理1
当函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上连续时, [
[ 称 f ( x ) 在区间 a , b] 上可积.
定理2
[ 设函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上有界,
且只有有限个间断点, 则 f ( x ) 在
区间[a , b ]上可积.
证
b
b
b
a [ f ( x ) g( x )]dx
n
b
lim [ f ( i ) g ( i )]xi
0 i 1
n
n
lim f ( i )xi lim g( i )xi
a f ( x )dx g( x )dx. a
b
0 i 1 b
注意:
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关.
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
(2)定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
b
b
b
[ (3)当函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上的定积分存在时,
难点
定义及换元法和分部法的运用
基本要求
①正确理解定积分的概念及其实际背景 ②记住定积分的性质并能正确地运用 ③掌握变上限定积分概念,微积分基本定理, 并会用N-L公式计算定积分, ④能正确熟练地运用换元法和分部积分法 计 算定积分 ⑤正确理解两类广义积分概念, 并会用定义 计算一些较简单的广义积分。
定积分的概念
前一章我们从导数的逆运算引出了不定积 分,系统地介绍了积分法,这是积分学的第一类 基本问题。本章先从实例出发,引出积分学的第 二类基本问题——定积分,它是微分(求局部量 )的逆运算(微分的无限求和——求总量),然 后着重介绍定积分的计算方法,它在科学技术领 域中有着极其广泛的应用。 重点 定积分的概念和性质,微积分基本公 式,定积分的换元法和分部积分法
积分计算(二) 高等数学 专升本 同济第六版
4、 co nxsc do x s1co n 1x sC
n1
换元积分法
(二)、三角函数的积分
❖ 1、cx o(fs sx )d in 、 x sixn (fcx )o d型s x c2 s x( c fc x ) d o 、 s x t2 e x( c ftx ) a dn x
方法:
coxsf (sinx)dx f(sinx)dsinx sin x f (cosx)dx f (coxs)dcosx
1 2(si8nxsin 2x)dx
1 2si8 nxdx1 2si2 nxdx
1 cos8x1cos2xC
16
4
§4.3.1 换元积分法
课堂 练习
求下列不定积分
1、 sin5xsin7xdx2、 co3sxsinxdx 3、 co2sxco3sxdx
1、 1sin 2x1si1nx2C
4
24
tanx1tan3 xC 3
§4.3.1 换元积分法
随堂练习
求下列不定积分
1、se3cxtanxdx 2、ta3nxse2cxdx
3、ta2nxse4cxdx
§4.3.1 换元积分法
解:1、 se3cxtan xdxsec2 xdsecx
1sec3 xC 3
2、 ta3n xse2x cdxtan3 xdtanx
9、 co7sxdx
1 7
sin7x
C
10、11x2 dx arcxt aC n
1、 111x2 d(1x2)ln1(x2)C
1、 21s1i2nxd(sixn)arctan(xs)inC
换元积分法
特注
1、 sia nxd xa 1coasxC 2、 coasxd a 1xsia nxC 3、 sinn xsdixn 1sin n 1xC
高等数学(同济第6版习题课4-1)
(3) xd x = d( x2 ) ;
(4) xd x = d(5 x2 ) ;
(5) xd x = d(1 - x2 ) ;
(6) x3 d x = d(3 x4 - 2) ;
(7) e2 x d x = d(e2 x ) ;
(8)
e-
x 2
dx
=
d(1
+
e-
x 2
)
;
(9)
1
x -
x都是
1的 x - x2
原函数 畅
证 [arcsin(2 x - 1)]′ =
1
·2=
1 - (2 x - 1)2
1, x - x2
[arccos(1 - 2 x)]′ = -
1
· ( - 2) =
1 - (1 - 2 x)2
1, x - x2
2arctan
x 1- x
′
=
2
1
+
1 1
x -
dx =3
dx 1 + x2
-2
dx 1 - x2
= 3arctan x - 2arcsin x + C .
∫ ∫ ∫ (15)
ex
1 - e- x x
dx=
exd x -
x-
1 2
d
x
=
ex
1
- 2x2
+
C.
∫ ∫ (16) 3x ex d x =
(3e) x d x
=
(3e) x ln(3e)
+
t= 0
(2)
求使
d d
s t
=
0的
t值
;
(3) 求使 s = 50 的 k 值 畅
9高等数学同济大学第六版本Word版
习题9-21 计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22, 其中D {(xy )| |x |1 |y |1};解 积分区域可表示为D1x 1 1y 1 于是⎰⎰+Dd y x σ)(22y d y x dx ⎰⎰--+=111122)(x d y y x ⎰--+=111132]31[ x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=(2)⎰⎰+Dd y x σ)23(, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是⎰⎰+Dd y x σ)23(y d y x dx x⎰⎰-+=2020)23(dx y xy x ⎰-+=2022]3[ dx x x ⎰-+=202)224(0232]324[x x x -+=320=(3)⎰⎰++Dd y y x x σ)3(223, 其中D {(x y )| 0x 1, 0y 1}解 ⎰⎰++Dd y y x x σ)3(323⎰⎰++=1032310)3(dx y y x x dy ⎰++=1001334]4[dy x y y x x ⎰++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=1412141=++=(4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(, 其中D 是顶点分别为(0, 0), (p , 0), 和(p , p )的三角形闭区域.解 积分区域可表示为Dx 0y x 于是,⎰⎰+Dd y x x σ)cos(⎰⎰+=x dy y x xdx 0)cos(π⎰+=π)][sin(dx y x x x⎰-=π0)sin 2(sin dx x x x ⎰--=π0)cos 2cos 21(x x xd+--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分:(1)⎰⎰Dd y x σ, 其中D 是由两条抛物线xy = 2x y =所围成的闭区域;解 积分区域图如并且D{(xy )| 0x 1 x y x ≤≤2} 于是⎰⎰Dd y x σ⎰⎰=102dy y x dx xx⎰=10223]32[dx y x x x 556)3232(10447=-=⎰dx x x(2)⎰⎰Dd xy σ2, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及y 轴所围成的右半闭区域;解 积分区域图如 并且D{(xy )| 2y 2 240y x -≤≤} 于是⎰⎰⎰⎰⎰----=22402240222222]21[dy y x dx xy dy d xy y y Dσ1564]10132[)212(22225342=-=-=--⎰y y dy y y (3)⎰⎰+Dy x d e σ, 其中D {(x y )| |x ||y |1}解 积分区域图如 并且 D {(x y )| 1x 0 x 1y x 1}{(x y )| 0x 1x 1y x 1} 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+---++=111111x x y xx x yxDyx dy e dx e dy e dx e d eσ⎰⎰+---+--+=1110111][][dy e e dx e e x x y x x x y x ⎰⎰---+-+-=11201112)()(dx e e dx e ex x 101201112]21[]21[---+-+-=x x e ex x e e =e -e -1(4)⎰⎰-+Dd x y x σ)(22, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域解 积分区域图如并且D{(xy )| 0y 2 y x y ≤≤21} 于是⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=-+2022232222022]2131[)()(dy x x y x dx x y x dy d x y x y y y y Dσ613)832419(2023=-=⎰dy y y3. 如果二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的被积函数f (x , y )是两个函数f 1(x )及f 2(y )的乘积, 即f (x , y )= f 1(x )f 2(y ), 积分区域D {(x y )| a x b , c y d },证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dcbaD⎰⎰⎰⎰⋅=⋅证明 dxdy y f x f dy y f x f dx dxdy y f x f dcb a d cb aD⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅])()([)()()()(212121而 ⎰⎰=⋅dcd cdyy f x f dy y f x f )()()()(2121故 dxdy y f x f dxdy y f x f b adcD⎰⎰⎰⎰=⋅])()([)()(2121由于⎰dcdy y f )(2的值是一常数因而可提到积分号的外面于是得])([])([)()(2121dy y f dx x f dxdy y f x f dcbaD⎰⎰⎰⎰⋅=⋅4. 化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解积分区域如图所示并且D {(x y )|x y x x 2 ,40≤≤≤≤} 或D {(x y )| y x y y ≤≤≤≤241 ,40}所以 ⎰⎰=xxdy y x f dx I 240),(或⎰⎰=yy dxy x f dy I 4402),((2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y 0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示并且D {(x y )|220 ,x r y r x r -≤≤≤≤-} 或D{(xy )| 2222 ,0y r x y r r y -≤≤--≤≤}所以 ⎰⎰--=220),(x r r rdyy x f dx I 或⎰⎰---=2222),(0y r y r r dx y x f dy I(3)由直线y =x , x =2及双曲线x y 1=(x >0)所围成的闭区域;解积分区域如图所示并且D {(x y )|x y x x ≤≤≤≤1 ,21}或D{(xy )| 21 ,121≤≤-≤≤x yy }{(x y )|2 ,21≤≤≤≤x y y }所以 ⎰⎰=xxdyy x f dx I 1),(21或⎰⎰⎰⎰+=22121121),(),(yydxy x f dy dx y x f dy I(4)环形闭区域{(x , y )| 1x 2+y 24}.解 如图所示 用直线x =-1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ⎰⎰⎰⎰--------+=222244411112),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx⎰⎰⎰⎰--------++222214442111),(),(x x x x dy y x f dx dy y x f dx用直线y =1, 和y =-1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4,如图所示. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=4321),(),(),(),(D D D D d y x f d y x f d y x f d y x f I σσσσ⎰⎰⎰⎰--------+=222244141121),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy⎰⎰⎰⎰--------++222241441211),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy5 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域,证明:⎰⎰⎰⎰=bybaxabadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.证明 积分区域如图所示 并且积分区域可表示为D {(x y )|a x b a y x } 或D {(x y )|a y by x b } 于是 ⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=xab adyy x f dx ),( 或⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=byb a dxy x f dy ),(因此 ⎰⎰⎰⎰=byb ax ab adx y x f dy dy y x f dx ),(),(.6 改换下列二次积分的积分次序(1)⎰⎰ydx y x f dy 01),(;解 由根据积分限可得积分区域D {(x y )|0y 1 0x y } 如图因为积分区域还可以表示为D {(x y )|0x 1 x y 1} 所以 ⎰⎰⎰⎰=111),(),(xydyy x f dx dx y x f dy(2)⎰⎰yydx y x f dy 2202),(;解由根据积分限可得积分区域D{(x y)|0y2y2x2y}如图图.(5)⎰⎰exdy y x f dx 1ln 0),(;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1£x £e , 0£y £ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0£y £1, e y £x £ e }, 所以 ⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(⎰⎰=10),(eey dx y x f dy}arcsin 2 ,01|),{(π≤≤-≤≤-=x y y y x D}arcsin arcsin ,10|),{(y x y y y x -≤≤≤≤⋃π,7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为m (x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为⎰⎰=Dd y x M σμ),(⎰⎰+=Dd y x σ)(22⎰⎰-+=10222)(yydx y x dy⎰⎰--=Ddxdy y x V )326(⎰⎰--=110)326(dy y x dx10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积.解 由⎩⎨⎧--=+=2222262y x z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2£2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以⎰⎰+---=Dd y x y x V σ)]2()26[(2222⎰⎰--=Dd y x σ)336(22⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(8232=-=⎰dx x .11 画出积分区域把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2a 2}(a >0); 解积分区域D 如图 因为D {( )|02 0a } 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (d f d a(2){(x , y )|x 2+y 22x };解 积分区域D 如图因为}cos 20 ,22|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤-=D 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰-=22cos 20)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d(3){(x , y )| a 2x 2+y 2b 2}, 其中0a <b 解 积分区域D 如图 因为D {( )|02 a b } 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰=πρρθρθρθ20)sin ,cos (bad f d(4){(x , y )| 0y 1-x , 0x 1}.解 积分区域D 如图因为}sin cos 10 ,20|),{(θθρπθθρ+≤≤≤≤=D 所以⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρ)sin ,cos (),(⎰⎰+=θθρρθρθρθπsin cos 1020)sin ,cos (d f d12 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1)⎰⎰11),(dy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示 因为}csc 0 ,24|),{(}sec 0 ,40|),{(θρπθπθρθρπθθρ≤≤≤≤⋃≤≤≤≤=D所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ)sin ,cos (),(),(101⎰⎰=40sec 0)sin ,cos (πθρρθρθρθd f d ⎰⎰+24csc 0)sin ,cos (ππθρρθρθρθd f d(2)⎰⎰+xxdy y x f dx 32220)(;解 积分区域D 如图所示并且}sec 20 ,34|),{(θρπθπθρ≤≤≤≤=D所示 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+x xDDd d f d y x f dy y x f dx 3222220)()()(θρρρσ⎰⎰=34sec 20)(ππθρρρθd f d(3)⎰⎰--21110),(x xdy y x f dx ;解 积分区域D 如图所示并且}1sin cos 1 ,20|),{(≤≤+≤≤=ρθθπθθρD所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==10112)sin ,cos (),(),(x xDDd d f d y x f dy y x f dx θρρθρθρσ⎰⎰+=2sin cos 101)sin ,cos (πθθρρθρθρθd f d(4)⎰⎰21),(x dy y x f dx .解 积分区域D 如图所示 并且}sec tan sec ,40|),{(θρθθπθθρ≤≤≤≤=D所以 ⎰⎰2010),(x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰==DDd d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθρρθρθρθd f d13 把下列积分化为极坐标形式, 并计算积分值: (1)⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ;解 积分区域D 如图所示 因为}cos 20 ,20|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤= 所以⎰⎰-+2202220)(x ax ady y x dx ⎰⎰⋅=Dd d θρρρ2⎰⎰⋅=20cos 202πθρρρθa d d ⎰=2044cos 4πθθd a 443a π=(2)⎰⎰+xa dy y x dx 0220;解 积分区域D 如图所示 因为}sec 0 ,40|),{(θρπθθρa D ≤≤≤≤= 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+Dxad d dy y x dx θρρρ0220⎰⎰⋅=40sec 0πθρρρθa d d ⎰=4033sec 3πθθd a )]12ln(2[63++=a(3)⎰⎰-+xxdy y xdx 221221)(;解 积分区域D 如图所示 因为}tan sec 0 ,40|),{(θθρπθθρ≤≤≤≤=D 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+--Dxx d d dy y xdx θρρρ21212212)(12tan sec 40tan sec 02140-==⋅=⎰⎰⎰-πθθπθθθρρρθd d d(4)⎰⎰-+220220)(y a a dx y x dy .解 积分区域D 如图所示因为}0 ,20|),{(a D ≤≤≤≤=ρπθθρ 所以⎰⎰⎰⎰⋅=+-Dy a a d d dx y x dy θρρρ22222)(420028a d d aπρρρθπ=⋅=⎰⎰14. 利用极坐标计算下列各题: (1)⎰⎰+Dy xd e σ22,其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域;解 在极坐标下D ={(r , q )|0£q £2p , 0£r £2}, 所以⎰⎰⎰⎰=+DDy x d d e d e θρρσρ222)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ.(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰+=++DDd d d y x θρρρσ)1ln()1ln(222)12ln 2(41)12ln 2(212)1ln(20102-=-⋅=+=⎰⎰πρρρθπd d .(3)σd xy Darctan⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域.解 在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=DDDd d d d d xyθρρθθρρθσ)arctan(tan arctan⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==40321643ππρρθθd d . 15 选用适当的坐标计算下列各题: (1)dxdy y x D22⎰⎰,其中D 是由直线x =2,y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域解 因为积分区域可表示为}1 ,21|),{(x y x x y x D ≤≤≤≤=, 所以dxdy y x D22⎰⎰dy ydx x x x ⎰⎰=211221⎰-=213)(dx x x 49=(2)⎰⎰++--Dd y x y x σ222211, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下}10 ,20|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD , 所以⎰⎰⎰⎰⋅+-=++--DDd d d y x y x θρρρρσ2222221111)2(811102220-=+-=⎰⎰ππρρρρθπd d(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解 因为积分区域可表示为D {(x y )|ay 3a y a x y }, 所以⎰⎰+Dd y x σ)(22⎰⎰-+=aaya y dx y x dy 322)(4332214)312(a dy a y a ay aa =+-=⎰(4)σd y x D22+⎰⎰ 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2x 2+y 2b 2}解 在极坐标下D{()|02 a b }, 所以σd y x D 22+⎰⎰)(3233202a b dr r d ba -==⎰⎰πθπ16 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线2上一段弧(20πθ≤≤)与直线2πθ=所围成, 它的面密度为(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量.解 区域如图所示 在极坐标下}20 ,20|),{(θρπθθρ≤≤≤≤=D 所以所求质量⎰⎰⎰⎰⋅==Dd d d y x M 20202),(πθρρρθσμ⎰==254404ππθθd17 求由平面y =0 y =kx (k >0) z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积解 此立体在xOy 面上的投影区域D {(x y )|0arctan k0R } ⎰⎰--=Ddxdy y x R V 222kR d R d kRarctan 313arctan 022=-=⎰⎰ρρρθ18 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D {(x y )|x 2y 2ax } 在极坐标下}cos 0 ,22|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-= 所以⎰⎰≤++=axy x dxdy y xV 22)(22πθθρρρθππθππ422cos 022442323cos 4a d a d d a ==⋅=⎰⎰⎰--(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)。
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导数公式:(tgxY = sec 2 x (ctgx\ = -cscr x (secx)/ = secx・tgx (cscx)' = -cscx-ctgx (a x y = a x \na (log “)‘ = -^一 xina(arcsinx)' = ‘ 「,VI-x 2(arccosL¥)'=——.Vl-x 2(^W=T __基本积分表^ 三角函数的有理式积分:j tgxdx = - ln|cosx| + C J ctgxdx = In |s in x| + C jsec xdx = ln|sec x + tg^ + C J c scxdx = ln|cscx- ctgx\ + C \^-^- = -arctg-+C j 。
+JT a a JJ f -a『仝亠4+cJcr -x* 2a a-x f . JA =arcsin^ + C J 7777 G f —— = [sec 2xdx = tgx + C Jcos* x 」f = fcsc 2 xdx = -ctgx+ C J sin ~ x 」 J secx • tgxdx = secx + CJcscx ・c7gM: = -cscx + C [a x dx=— + C J In a ^shxdx = chx + C J chxdx = shx + C jj :" 2 = b(x +±(r ) + CZ/?-2n_2j y/x 2 +a 2dx = — ylx 2 +a 2 + 牛ln(x + y/x 2 +a 2) + C2 2f ^jx 2 -a 2dx = - Jx 2 -a 2 -— J 2 2 j >la 2 -x 2clx = ?-Ju 2 -x 2+ 牛arcsin — + C高等数学公式x-a x + a In *2 "2 I n = J sin" xdx =J cos" xdx =111 X + J + C2・ 2u1一"2sin x = ----- , cosx 二 ----- ?1 + w 21 + w 2双曲正^.thx = — =e ~e chx e x +e r arshx = ln(x + Jx' +1)archx = ±ln(x + y/x 2 一 1) arthx = —In2三角函数公式: •诱导公式:、^数 角卜、sin costgctg ・a・ sina cosa-tga-ctga90°-a cosa sina ctga tga 90°+a cosa ・ sina -ctga -tga 180°-a sina ・ cosa -tga -ctga 180°+a ・ sina ・ cosa tga ctga 270°-a -cosa ・ sina ctga tga 270°+a -cosa sina -ctga-tga 360°-a -sina cosa・tga -ctga 360°+a sina cosa tgactga•倍角公式:dx =2du 1 +w 2一些初等函数: 双曲正弦:曲¥ =X . -x双曲余弦乂加=__—2两个重要极限:v sinx ‘lini ------ = 1lim (1 + 丄)x =e = 2.718281828459045... x X•和差角公式:sin(a±0) = sinacos0 土 cosasin 0 cos((z±/7) = cosacos/7 + sin<zsin 0 fg(a±0) =tga 土 tg 。
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高等数学公式导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dxCshx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx xtgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , 一些初等函数: 两个重要极限:三角函数公式:·诱导公式:函数角A sincos tg ctg -α-sinαcosα-tgα-ctgα90°-αcosαsinαctgαtgα90°+αcosα-sinα-ctgα-tgα180°-αsinα-cosα-tgα-ctgα180°+α-sinα-cosαtgαctgα270°-α-cosα-sinαctgαtgα270°+α-cosαsinα-ctgα-tgα360°-α-sinαcosα-tgα-ctgα360°+αsinαcosαtgαctgα·和差角公式: ·和差化积公式:2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.211(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式:·半角公式:ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg ·正弦定理:·余弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin ===C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质:arcctgxarctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ 高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ 中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。
高等数学同济六版第十章10-2
取 F (ξ i ,η i ) = P (ξ i ,η i ) i + Q (ξ i ,η i ) j ,
∆Wi ≈ F (ξ i ,η i ) ⋅ M i −1 M i ,
y
F(ξi ,ηi )
B
L
A
M2 M1
Mi−1 x i ∆
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
y
变力沿曲线所作的功
L : A → B,
F ( x , y) = P ( x , y)i + Q ( x, y) j
B
L
A
M2 M1
Mi−1 xi ∆
∆yi
Mi Mn−1
常力所作的功 W = F ⋅ AB . o
x
分割 A = M 0 , M 1 ( x1 , y1 ),⋯ , M n−1 ( x n−1 , y n−1 ), M n = B .
n
n
性质 (1) 如α 与β 是 常数 则 常数,则
∫L [α F 1 ( x , y ) + β F 2 ( x , y )] ⋅ d r = α ∫ F 1 ( x , y )d r + β ∫ F 2 ( x , y )d r L L
( 2) 若有向曲线弧 L可分成两段光滑的有向 曲线弧 L1和 L2 , 则
i =1
n
精确值
定义
设L为 xoy面内从点 A到点 B的一条有
向光滑曲线弧 , 函数 P ( x , y ), Q ( x , y )在 L 上有界 . 用 L上的点 M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), ⋯ , M n−1 ( xn−1 , yn−1 )把 L分成 n个有向小弧段 M i −1 M i ( i = 1,2,⋯, n; M 0 = A, M n = B ). 设∆xi = xi − xi −1 , ∆yi = yi − yi −1 , 点( ξ i , ηi )为 M i −1 M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 λ → 0时 ,
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ,每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用,例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用,例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用,例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广,表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质,这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ,表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率,是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质,如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量,用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值,这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种,是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
同济大学高等数学6.2二重积分的计算
A dxdy dd
y
D
D
3
a 2 cos 2
4
4
4 4 d
0
0
d
2 4 2a2 cos2 d 0
2a2 sin 2 4 2a2
0
o
x
5
7
4
4
三.二重积分的换元法
定理1
设(1)f x, yCD,
x
xu, v
(2)变换T: y yu, v
把 uv平面上的区
域 D 一对一的变为 D,
cos
2
d
cos f t an d o
Hale Waihona Puke 20xa
2ax x2
(3)
0
dx
x2 a
f
解:
D
:
x
2
a
0x y
a 2ax
x2
x, y dy
在极坐标下,将D分
为二部分表示:
4
2
0 2a cos
0
及
0
4
a sin cos2
于是
a
2ax x2
dx x2
f x, y dy
2
17 5 9 2 64
例3 计算
x 2e y2 dxdy
D
D :由 x 0, y 1, y x围成的区域
解:由于 ey2 的原函数不能用初等函数
表示,故不能先对y积分
y
1y
x2ey2 dxdy dy x2ey2 dx
D
00
1
D
1
y
ey2 dy
x2dx
1
1
y3ey2 dy
D
解:
完整word版,高等数学常用积分公式查询表
导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , (一)含有ax b +的积分(0a ≠)1.d x ax b +⎰=1ln ax b C a ++2.()d ax b x μ+⎰=11()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-)3.d x x ax b +⎰=21(ln )ax b b ax b C a +-++4.2d x x ax b +⎰=22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5.d ()xx ax b +⎰=1ln ax b C b x+-+ 6.2d ()xx ax b +⎰=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +⎰=21(ln )b ax b C a ax b++++ 8.22d ()x x ax b +⎰=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9.2d ()xx ax b +⎰=211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10.x C11.x ⎰=22(3215ax b C a -12.x x ⎰=22232(15128105a x abx b C a-+13.x=22(23ax b C a -14.2x=22232(34815a x abx b C a -+ 15.=(0)(0)C b C b ⎧+><16.=2a bx b --⎰17.d x x ⎰=b 18.2d x x ⎰=2a +(三)含有22x a ±的积分19.22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20.22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰21.22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++(四)含有2(0)ax b a +>的积分22.2d x ax b +⎰=(0)(0)C b C b ⎧+>+<23.2d x x ax b +⎰=21ln 2ax b C a++24.22d x x ax b +⎰=2d x b xa a ax b-+⎰ 25.2d ()x x ax b +⎰=221ln 2x C b ax b++ 26.22d ()x x ax b +⎰=21d a xbx b ax b --+⎰27.32d ()x x ax b +⎰=22221ln 22ax b a C b x bx +-+28.22d ()x ax b +⎰=221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰ (五)含有2ax bx c ++(0)a >的积分29.2d x ax bx c ++⎰=22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30.2d x x ax bx c ++⎰=221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31.=1arshxC a +=ln(x C ++ 32.=C +33.x=C34.x=C +35.2x =2ln(2a x C ++36.2x =ln(x C +++37.=1ln aC a x +38.C +39.x 2ln(2a x C ++40.x =2243(25ln(88x x a a x C +++41.x ⎰C +42.x x ⎰=422(2ln(88x a x a x C+++43.d x x ⎰a C +44.x =ln(x C +++(0)a >的积分45.=1arch x xC x a+=ln x C ++ 46.C +47.x =C48.x =C +49.2x 2ln 2a x C ++50.2x =ln x C +++51.=1arccos aC a x +52.2C a x+53.x 2ln 2a x C -++54.x =2243(25ln 88x x a a x C -+++55.x ⎰C +56.x x ⎰=422(2ln 88x a x a x C -++57.x =arccos aa C x -+58.x =ln x C ++(0)a >的积分59.=arcsinxC a + 60.C +61.x =C +62.x =C +63.2x =2arcsin 2a x C a ++ 64.2x arcsinxC a-+65.=1C a +66.2C a x -+67.x 2arcsin 2a x C a++68.x =2243(52arcsin 88x x a x a C a-+69.x ⎰=C70.x x ⎰=422(2arcsin 88x a x x a C a-+71.x ln a a C x +72.x =arcsin xC a-+(0)a >的积分73.2ax b C +++74.x22ax b C +++75.x2ax b C +++76.=C +77.x 2C +78.x =C ++79.x =((x b b a C -+-+80.x =((x b b a C -+-+81.2arcsinC +()a b <82.x 2()4b a C - ()a b <(十一)含有三角函数的积分 83.sin d x x ⎰=cos x C -+84.cos d x x ⎰=sin x C + 85.tan d x x ⎰=ln cos x C -+ 86.cot d x x ⎰=ln sin x C +87.sec d x x ⎰=ln tan()42x C π++=ln sec tan x x C ++ 88.csc d x x ⎰=ln tan 2xC +=ln csc cot x x C -+ 89.2secd x x ⎰=tan x C +90.2csc d x x ⎰=cot x C -+91.sec tan d x x x ⎰=sec x C + 92.csc cot d x x x ⎰=csc x C -+93.2sin d x x ⎰=1sin 224x x C -+ 94.2cos d x x ⎰=1sin 224x x C ++95.sin d n x x ⎰=1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96.cos d n x x ⎰=1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97.d sin n x x ⎰=121cos 2d 1sin 1sin n n x n x n x n x----⋅+--⎰ 98.d cos n x x ⎰=121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99.cos sin d m nx x x ⎰=11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n-+--+++⎰ =11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100.sin cos d ax bx x ⎰=11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101.sin sin d ax bx x ⎰=11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102.cos cos d ax bx x ⎰=11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103.d sin xa b x +⎰tanx a b C ++22()a b >104.d sin xa b x +⎰C+22()a b <105.d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106.d cos x a b x +⎰C +22()a b <107.2222d cos sin x a x b x +⎰=1arctan(tan )bx C ab a + 108.2222d cos sin xa xb x -⎰=1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109.sin d x ax x ⎰=211sin cos ax x ax C a a -+ 110.2sin d x ax x ⎰=223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111.cos d x ax x ⎰=211cos sin ax x ax C a a ++112.2cos d x ax x ⎰=223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+(十二)含有反三角函数的积分(其中0a >)113.arcsin d x x a ⎰=arcsin x x C a+114.arcsin d x x x a⎰=22()arcsin 24x a x C a -+115.2arcsin d x x x a ⎰=3221arcsin (239x x x a C a +++116.arccos d x x a ⎰=arccos x x C a117.arccos d x x x a⎰=22()arccos 24x a x C a --+118.2arccos d x x x a ⎰=3221arccos (239x x x a C a -++ 119.arctan d x x a ⎰=22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120.arctan d x x x a ⎰=221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121.2arctan d x x x a ⎰=33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ (十三)含有指数函数的积分122.d x a x ⎰=1ln x a C a+ 123.e d ax x ⎰=1e ax C a+ 124.e d ax x x ⎰=21(1)e ax ax C a-+ 125.e d n ax x x ⎰=11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126.d x xa x ⎰=21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127.d n x x a x ⎰=11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128.e sin d ax bx x ⎰=221e (sin cos )ax a bx b bx C a b-++ 129.e cos d ax bx x ⎰=221e (sin cos )ax b bx a bx C a b +++130.e sin d ax n bx x ⎰=12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131.e cos d ax n bx x ⎰=12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ (十四)含有对数函数的积分132.ln d x x ⎰=ln x x x C -+ 133.d ln x x x ⎰=ln ln x C +134.ln d n x x x ⎰=111(ln )11n x x C n n +-+++ 135.(ln )d n x x ⎰=1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136.(ln )d m n x x x ⎰=111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ (十五)含有双曲函数的积分137.sh d x x ⎰=ch x C + 138.ch d x x ⎰=sh x C + 139.th d x x ⎰=lnch x C + 140.2sh d x x ⎰=1sh224x x C -++ 141.2ch d x x ⎰=1sh224x x C ++ (十六)定积分142.cos d nx x π-π⎰=sin d nx x π-π⎰=0 143.cos sin d mx nx x π-π⎰=0144.cos cos d mx nx x π-π⎰=0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145.sin sin d mx nx x π-π⎰=0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146.0sin sin d mx nx x π⎰=0cos cos d mx nx x π⎰=0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147.n I =20sin d n x x π⎰=20cos d n x x π⎰n I =21n n I n -- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- (n 为大于1的正奇数),1I =1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-(n 为正偶数),0I =2π。
高数同济六版课件D44有理函数积分
)
2 1t
2
dt
1 2
t21t dt
1 2
1 t 2 2t ln t 2
C
1 tan2 x tan x 1lntanx C
sinx 12tt2
cosx
1 1
t t
2 2
4 2 22 2
dx12t2 dt
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例8. 求 a 2si2x n d x b 2c2 o xs (ab0 ).
解法 1
原式
dx (atanxb)2cos2 x
令 ttaxn
dt (at b)2
1 C a(at b)
coxs C a(asixnbcox)s
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例9. 求 (asixn 1bco x)2 sdx (ab0)
解法 2
令
a sin , b co s
a2b2
a2b2
;
(2) x2x5x36; (3) (12x)1(1x2).
解: (1) 用拼凑法
x(x11)2xx (x(x1)12)
(
x
1 1)
2
1 x( x 1)
1 ( x 1)2
x(x1) x( x 1)
1 ( x 1)2
1 x 1
1 x
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(2) 用赋值法
x3 x2 5x 6
12(xd(1xx)2 1x)212(xd(x1x)21x) 2 (见P363 公式21)
212arrccttaaxnn2221xx1 12 4 12 21 2lnlnxx22xx11xx22xx2211CC(x0)
常规法 目录 上页 下页 返回 结束
《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
v(t ) ( g ) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0
再求
由 知
O
2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
思考与练习
1. 证明
(P193题7)
2. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e
f (ln x) e
ln x
1 x
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3. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
(完整版)高等数学积分表大全
常 用 积 分 公 式(一)含有ax b +的积分(0a ≠)1.d xax b +⎰=1ln ax b C a++ 2.()d ax b x μ+⎰=11()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-)3.d x x ax b +⎰=21(ln )ax b b ax b C a+-++ 4.2d x x ax b +⎰=22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5.d ()xx ax b +⎰=1lnax b C b x +-+ 6.2d ()xx ax b +⎰=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +⎰=21(ln )b ax b C a ax b++++8.22d ()x x ax b +⎰=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++ 9.2d ()xx ax b +⎰=211ln ()ax b C b ax b b x +-++的积分10.x C11.x ⎰=22(3215ax b C a -+12.x x ⎰=22232(15128105a x abx b C a-+13.x=22(23ax b C a -+14.2x=22232(34815a x abx b C a -++ 15.=(0)(0)C b Cb +><⎧⎪⎪⎩16.=2a bx b -- 17.x=b + 18.2d x x ⎰=2a + (三)含有22x a ±的积分19.22d x x a +⎰=1arctan x C a a + 20.22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a-++ 21.22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰ (四)含有2(0)ax b a +>的积分22.2d x ax b +⎰=(0)(0)x C b C b ⎧+>⎪⎪⎨+<23.2d x x ax b +⎰=21ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +⎰=2d x b x a a ax b -+⎰ 25.2d ()x x ax b +⎰=221ln 2x C b ax b++ 26.22d ()x x ax b +⎰=21d a x bx b ax b --+⎰27.32d ()x x ax b +⎰=22221ln 22ax b a C b x bx +-+28.22d ()x ax b +⎰=221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰ (五)含有2ax bx c ++(0)a >的积分29.2d x ax bx c ++⎰=22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30.2d x x ax bx c ++⎰=221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31.=1arshxC a +=ln(x C ++ 32.C + 33.xC34.x=C +35.2x2ln(2a x C ++ 36.2x=ln(x C +++37.=1C a + 38.2C a x -+ 39.x2ln(2a x C ++ 40.x=2243(25ln(88x x a a x C ++++41.x ⎰C42.x x ⎰=422(2ln(88x a x a x C +++43.x a C ++44.x =ln(x C +++(0)a >的积分45.=1arch x xC x a +=ln x C +46.C + 47.x C +48.x =C +49.2x 2ln 2a x C ++50.2x =ln x C +++51.=1arccos a C a x + 52.C +53.x 2ln 2a x C +54.x =2243(25ln 88x x a a x C -+++55.x ⎰C56.xx ⎰=422(2ln 88x a x a x C -++57.x arccos aa C x+58.x =ln x C +++(0)a >的积分59.=arcsinx C a + 60.C +61.x =C 62.x C +63.2x =2arcsin 2a x C a + 64.2x arcsinxC a-+65.=1C a + 66.C +67.x 2arcsin 2a x C a+68.x =2243(52arcsin 88x xa x a C a -+69.x ⎰=C +70.x x ⎰=422(2arcsin 88x a x x a C a-++71.x ln a a C x-+72.x =arcsin xC a-+(0)a >的积分73.2ax b C +++74.x22ax b C +++75.x2ax b C -+++76.=C +77.x 2C78.x =C +或79.x =((x b b a C --+80.x =((x b b a C --81.C ()a b <82.x 2()4b a C -()a b < (十一)含有三角函数的积分83.sin d x x ⎰=cos x C -+ 84.cos d x x ⎰=sin x C + 85.tan d x x ⎰=ln cos x C -+ 86.cot d x x ⎰=ln sin x C +87.sec d x x ⎰=ln tan()42xC π++=ln sec tan x x C ++88.csc d x x ⎰=ln tan2xC +=ln csc cot x x C -+ 89.2sec d x x ⎰=tan x C + 90.2csc d x x ⎰=cot x C -+ 91.sec tan d x x x ⎰=sec x C + 92.csc cot d x x x ⎰=csc x C -+93.2sin d x x ⎰=1sin 224x x C -+ 94.2cos d x x ⎰=1sin 224x x C ++ 95.sin d n x x ⎰=1211sin cos sin d n n n x x x x n n ----+⎰96.cos d n x x ⎰=1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97.d sin n x x ⎰=121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x----⋅+--⎰ 98.d cos n x x ⎰=121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99.cos sin d m n x x x ⎰=11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n-+--+++⎰ =11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100.sin cos d ax bx x ⎰=11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101.sin sin d ax bx x ⎰=11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102.cos cos d ax bx x ⎰=11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103.d sin xa b x +⎰tanxa b C ++22()a b >104.d sin x a b x +⎰C+22()a b <105.d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106.d cos x a b x +⎰C +22()a b <107.2222d cos sin x a x b x +⎰=1arctan(tan )bx C ab a +108.2222d cos sin xa xb x-⎰=1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++- 109.sin d x ax x ⎰=211sin cos ax x ax C a a -+ 110.2sin d x ax x ⎰=223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111.cos d x ax x ⎰=211cos sin ax x ax C a a ++112.2cos d x ax x ⎰=223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+(十二)含有反三角函数的积分(其中0a >)113.arcsin d x x a ⎰=arcsin xx C a++114.arcsin d xx x a ⎰=22()arcsin 24x a x C a -++ 115.2arcsin d xx x a⎰=3221arcsin (239x x x a C a ++116.arccos d x x a ⎰=arccos xx C a-+117.arccos d xx x a⎰=22()arccos 24x a x C a --118.2arccos d xx x a⎰=3221arccos (239x x x a C a -+119.arctan d x x a ⎰=22arctan ln()2x ax a x C a -++120.arctan d x x x a ⎰=221()arctan 22x aa x x C a +-+121.2arctan d xx x a⎰=33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++(十三)含有指数函数的积分122.d x a x ⎰=1ln x a C a + 123.e d ax x ⎰=1e ax C a + 124.e d ax x x ⎰=21(1)e ax ax C a -+ 125.e d n ax x x ⎰=11e e d n ax n ax nx x x a a--⎰126.d x xa x ⎰=21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127.d n x x a x ⎰=11d ln ln n x n x nx a x a x a a --⎰ 128.e sin d ax bx x ⎰=221e (sin cos )axa bxb bx C a b -++ 129.e cos d ax bx x ⎰=221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++ 130.e sin d ax n bx x ⎰=12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131.e cos d ax n bx x ⎰=12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d axn n n b bx x a b n--++⎰ (十四)含有对数函数的积分132.ln d x x ⎰=ln x x x C -+ 133.d ln xx x⎰=ln ln x C + 134.ln d n x x x ⎰=111(ln )11n x x C n n +-+++135.(ln )d n x x ⎰=1(ln )(ln )d n nx x n x x --⎰ 136.(ln )d m n x x x ⎰=111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ (十五)含有双曲函数的积分137.sh d x x ⎰=ch x C + 138.ch d x x ⎰=sh x C + 139.th d x x ⎰=lnch x C + 140.2sh d x x ⎰=1sh224x x C -++ 141.2ch d x x ⎰=1sh224x x C ++ (十六)定积分142.cos d nx x π-π⎰=sin d nx x π-π⎰=0 143.cos sin d mx nx x π-π⎰=0144.cos cos d mx nx x π-π⎰=0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩145.sin sin d mx nx x π-π⎰=0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩146.0sin sin d mx nx x π⎰=0cos cos d mx nx x π⎰=0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147. n I =20sin d nx x π⎰=20cos d n x x π⎰n I =21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- (n 为大于1的正奇数),1I =1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-(n 为正偶数),0I =2π。